Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF
pengantar
Transformasi graf suatu fungsi merupakan salah satu konsep dasar matematika yang berhubungan langsung dengan kegiatan praktikum. Transformasi grafik fungsi pertama kali ditemui pada aljabar kelas 9 ketika mempelajari topik "Fungsi kuadrat". Fungsi kuadrat diperkenalkan dan dipelajari dalam hubungan yang erat dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Juga, banyak konsep matematika dipertimbangkan dengan metode grafis, misalnya, di kelas 10-11, studi fungsi memungkinkan untuk menemukan domain definisi dan ruang lingkup fungsi, area penurunan atau peningkatan, asimtot, interval tanda konstan, dll. Pertanyaan penting ini juga diajukan ke GIA. Oleh karena itu, konstruksi dan transformasi graf fungsi merupakan salah satu tugas utama pengajaran matematika di sekolah.
Namun, untuk memplot banyak fungsi, sejumlah metode dapat digunakan untuk memfasilitasi konstruksi. Di atas mendefinisikan relevansi topik penelitian.
Objek studi adalah studi tentang transformasi grafik dalam matematika sekolah.
Subyek studi - proses pembuatan dan transformasi graf fungsi di sekolah menengah.
pertanyaan masalah: apakah mungkin untuk membuat grafik fungsi yang tidak dikenal, memiliki keterampilan mengubah grafik fungsi dasar?
Target: memplot fungsi dalam situasi asing.
Tugas:
1. Menganalisis materi pendidikan pada masalah yang diteliti. 2. Mengidentifikasi skema untuk mengubah grafik fungsi dalam kursus matematika sekolah. 3. Pilih metode dan alat yang paling efektif untuk membuat dan mengonversi grafik fungsi. 4. Mampu menerapkan teori ini dalam memecahkan masalah.
Pengetahuan, keterampilan, kemampuan dasar yang diperlukan:
Tentukan nilai fungsi dengan nilai argumen dengan berbagai cara untuk menentukan fungsi;
Bangun grafik dari fungsi yang dipelajari;
Jelaskan perilaku dan sifat fungsi dari grafik dan, dalam kasus paling sederhana, dari rumus, temukan nilai terbesar dan terkecil dari grafik fungsi;
Deskripsi dengan bantuan fungsi berbagai dependensi, representasi grafisnya, interpretasi grafik.
Bagian utama
Bagian teoretis
Sebagai grafik awal dari fungsi y = f(x), saya akan memilih fungsi kuadrat y=x 2 . Saya akan mempertimbangkan kasus transformasi grafik ini yang terkait dengan perubahan rumus yang mendefinisikan fungsi ini dan menarik kesimpulan untuk fungsi apa pun.
1. Fungsi y = f(x) + a
Dalam rumus baru, nilai fungsi (koordinat titik grafik) diubah dengan angka a, dibandingkan dengan nilai fungsi "lama". Ini mengarah ke terjemahan paralel dari grafik fungsi di sepanjang sumbu OY:
naik jika a > 0; turun jika< 0.
KESIMPULAN
Jadi, grafik fungsi y=f(x)+a diperoleh dari grafik fungsi y=f(x) melalui translasi paralel sepanjang sumbu ordinat dengan satuan ke atas jika a > 0, dan dengan satu unit turun jika< 0.
2. Fungsi y = f(x-a),
Dalam rumus baru, nilai argumen (absis titik grafik) diubah dengan angka a, dibandingkan dengan nilai argumen "lama". Ini mengarah ke transfer paralel grafik fungsi di sepanjang sumbu OX: ke kanan jika a< 0, влево, если a >0.
KESIMPULAN
Jadi grafik fungsi y= f(x - a) diperoleh dari grafik fungsi y=f(x) dengan translasi sejajar sepanjang sumbu absis dengan satuan ke kiri jika a > 0, dan dengan satuan ke kanan jika< 0.
3. Fungsi y = k f(x), di mana k > 0 dan k 1
Dalam rumus baru, nilai fungsi (koordinat titik grafik) berubah k kali dibandingkan dengan nilai fungsi "lama". Hal ini menyebabkan: 1) "peregangan" dari titik (0; 0) sepanjang sumbu OY sebanyak k kali, jika k > 1, 2) "kompresi" ke titik (0; 0) sepanjang sumbu OY dengan faktor dari 0, jika 0< k < 1.
KESIMPULAN
Oleh karena itu: untuk membuat grafik fungsi y = kf(x), di mana k > 0 dan k 1, Anda perlu mengalikan ordinat titik-titik dari grafik fungsi y = f(x) yang diberikan dengan k. Transformasi seperti ini disebut peregangan dari titik (0; 0) sepanjang sumbu OY sebanyak k kali jika k > 1; kontraksi ke titik (0; 0) sepanjang sumbu OY dengan faktor jika 0< k < 1.
4. Fungsi y = f(kx), dimana k > 0 dan k 1
Dalam rumus baru, nilai argumen (absis titik grafik) berubah k kali dibandingkan dengan nilai argumen "lama". Hal ini menyebabkan: 1) “peregangan” dari titik (0; 0) sepanjang sumbu OX sebanyak 1/k kali jika 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
KESIMPULAN
Jadi: untuk membuat grafik fungsi y = f(kx), di mana k > 0 dan k 1, Anda perlu mengalikan absis titik-titik dari grafik fungsi y=f(x) yang diberikan dengan k . Transformasi seperti itu disebut peregangan dari titik (0; 0) sepanjang sumbu OX sebesar 1/k kali jika 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
5. Fungsi y = - f (x).
Dalam rumus ini, nilai fungsi (koordinat titik grafik) dibalik. Perubahan ini menghasilkan tampilan simetris dari grafik asli fungsi terhadap sumbu x.
KESIMPULAN
Untuk membuat grafik fungsi y = - f (x), Anda memerlukan grafik fungsi y = f (x)
mencerminkan simetris tentang sumbu OX. Transformasi seperti ini disebut transformasi simetri terhadap sumbu OX.
6. Fungsi y = f (-x).
Dalam rumus ini, nilai argumen (absis titik grafik) dibalik. Perubahan ini menghasilkan tampilan simetris dari grafik fungsi asli terhadap sumbu OY.
Contoh untuk fungsi y \u003d - x² transformasi ini tidak terlihat, karena fungsi ini genap dan grafik tidak berubah setelah transformasi. Transformasi ini terlihat ketika fungsi ganjil dan tidak genap maupun ganjil.
7. Fungsi y = |f(x)|.
Dalam rumus baru, nilai fungsi (koordinat titik grafik) berada di bawah tanda modul. Hal ini menyebabkan hilangnya bagian grafik fungsi asli dengan ordinat negatif (yaitu, yang terletak di setengah bidang bawah relatif terhadap sumbu Ox) dan tampilan simetris dari bagian ini relatif terhadap sumbu Ox.
8. Fungsi y= f (|x|).
Dalam rumus baru, nilai argumen (absis titik grafik) berada di bawah tanda modul. Hal ini menyebabkan hilangnya bagian grafik fungsi asli dengan absis negatif (yaitu, yang terletak di setengah bidang kiri relatif terhadap sumbu OY) dan penggantiannya dengan bagian grafik asli yang simetris terhadap OY sumbu.
Bagian praktis
Perhatikan beberapa contoh penerapan teori di atas.
CONTOH 1.
Keputusan. Mari kita ubah rumus ini:
1) Mari kita buat grafik fungsi
CONTOH 2.
Gambarkan fungsi yang diberikan oleh rumus
Keputusan. Kami mengubah rumus ini dengan menyorot kuadrat binomial dalam trinomial kuadrat ini:
1) Mari kita buat grafik fungsi
2) Lakukan transfer paralel dari grafik yang dibangun ke vektor
CONTOH 3.
TUGAS DARI PENGGUNAAN Merencanakan fungsi sepotong-sepotong
Grafik fungsi Grafik fungsi y=|2(x-3)2-2|; satu
Transformasi Grafik Fungsi
Pada artikel ini, saya akan memperkenalkan Anda pada transformasi linier dari grafik fungsi dan menunjukkan kepada Anda bagaimana menggunakan transformasi ini untuk mendapatkan grafik fungsi dari grafik fungsi. 
Transformasi linier suatu fungsi adalah transformasi fungsi itu sendiri dan/atau argumennya ke bentuk 
, serta transformasi yang berisi modul argumen dan/atau fungsi.
Tindakan berikut menyebabkan kesulitan terbesar dalam merencanakan grafik menggunakan transformasi linier:
- Isolasi fungsi dasar, sebenarnya, grafik yang kita ubah.
- Definisi orde transformasi.
Dan Pada poin-poin inilah kita akan membahas lebih detail.
Mari kita lihat lebih dekat fungsinya
Ini didasarkan pada fungsi. Mari kita panggil dia fungsi dasar.
Saat merencanakan fungsi kami membuat transformasi dari grafik fungsi dasar .
Jika kita mengubah fungsi dalam urutan yang sama di mana nilainya ditemukan untuk nilai argumen tertentu, maka
Mari kita pertimbangkan jenis argumen linier dan transformasi fungsi yang ada, dan bagaimana melakukannya.
Transformasi argumen.
1. f(x) f(x+b)
1. Kami membangun grafik fungsi
2. Kami menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu OX dengan |b| unit
- kiri jika b>0
- benar jika b<0
Mari kita plot fungsinya
1. Kami memplot fungsinya
2. Geser 2 satuan ke kanan:
2. f(x) f(kx)
1. Kami membangun grafik fungsi
2. Bagi absis titik grafik dengan k, biarkan ordinat titik tidak berubah.
Mari kita plot fungsinya.
1. Kami memplot fungsinya
2. Bagi semua absis titik grafik dengan 2, biarkan ordinat tidak berubah:
3. f(x) f(-x)
1. Kami membangun grafik fungsi
2. Kami menampilkannya secara simetris terhadap sumbu OY.
Mari kita plot fungsinya.
1. Kami memplot fungsinya
2. Kami menampilkannya secara simetris tentang sumbu OY:
4. f(x) f(|x|)
1. Kami memplot fungsinya
2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di sebelah kiri sumbu OY, bagian grafik yang terletak di sebelah kanan sumbu OY Kami menyelesaikannya secara simetris tentang sumbu OY:
Grafik fungsi terlihat seperti ini:
Mari kita plot fungsinya
1. Kami membuat grafik fungsi (ini adalah grafik fungsi yang digeser sepanjang sumbu OX sebanyak 2 unit ke kiri):
2. Bagian dari grafik yang terletak di sebelah kiri OY (x<0) стираем:
3. Bagian grafik yang terletak di sebelah kanan sumbu OY (x>0) diselesaikan secara simetris terhadap sumbu OY:
Penting! Dua aturan utama untuk konversi argumen.
1. Semua transformasi argumen dilakukan di sepanjang sumbu OX
2. Semua transformasi argumen dilakukan "sebaliknya" dan "dalam urutan terbalik".
Misalnya, dalam suatu fungsi, urutan transformasi argumen adalah sebagai berikut:
1. Kami mengambil modul dari x.
2. Tambahkan angka 2 ke modulo x.
Tapi kami melakukan plot dalam urutan terbalik:
Pertama, kami melakukan transformasi 2. - menggeser grafik sebanyak 2 unit ke kiri (yaitu, absis titik dikurangi 2, seolah-olah "sebaliknya")
Kemudian kami melakukan transformasi f(x) f(|x|).
Secara singkat, urutan transformasi ditulis sebagai berikut:
Sekarang mari kita bicara tentang transformasi fungsi . Transformasi sedang dilakukan
1. Sepanjang sumbu OY.
2. Dalam urutan yang sama di mana tindakan dilakukan.
Berikut adalah transformasinya:
1. f(x)f(x)+D
2. Geser sepanjang sumbu OY dengan |D| unit
- naik jika D>0
- turun jika D<0
Mari kita plot fungsinya
1. Kami memplot fungsinya
2. Pindahkan sepanjang sumbu OY sebanyak 2 unit ke atas:
2. f(x)Af(x)
1. Kami memplot fungsi y=f(x)
2. Kami mengalikan ordinat semua titik grafik dengan A, kami membiarkan absis tidak berubah.
Mari kita plot fungsinya
1. Gambarkan fungsinya
2. Kami mengalikan ordinat semua titik grafik dengan 2:
3.f(x)-f(x)
1. Kami memplot fungsi y=f(x)
Mari kita plot fungsinya.
1. Kami membangun grafik fungsi.
2. Kami menampilkannya secara simetris tentang sumbu OX.
4. f(x)|f(x)|
1. Kami memplot fungsi y=f(x)
2. Bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX dibiarkan tidak berubah, bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX ditampilkan secara simetris terhadap sumbu ini.
Mari kita plot fungsinya
1. Kami membangun grafik fungsi. Ini diperoleh dengan menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu OY sebanyak 2 unit ke bawah:
2. Sekarang bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX akan ditampilkan secara simetris terhadap sumbu ini:
Dan transformasi terakhir, yang sebenarnya tidak bisa disebut transformasi fungsi, karena hasil transformasi ini bukan lagi fungsi:
|y|=f(x)
1. Kami memplot fungsi y=f(x)
2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX, kemudian kami menyelesaikan bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX secara simetris terhadap sumbu ini.
Mari kita buat grafik persamaannya
1. Kami membangun grafik fungsi:
2. Kami menghapus bagian grafik yang terletak di bawah sumbu OX:
3. Bagian grafik yang terletak di atas sumbu OX diselesaikan secara simetris terhadap sumbu ini.
Dan akhirnya, saya sarankan Anda menonton PELAJARAN VIDEO di mana saya menunjukkan algoritma langkah-demi-langkah untuk merencanakan grafik fungsi
Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:
Perpindahan paralel.
TRANSFER MELALUI Sumbu Y
f(x) => f(x) - b
Biarkan diperlukan untuk memplot fungsi y \u003d f (x) - b. Sangat mudah untuk melihat bahwa ordinat grafik ini untuk semua nilai x pada |b| satuan lebih kecil dari ordinat yang sesuai dari grafik fungsi y = f(x) untuk b>0 dan |b| satuan lebih - di b 0 atau lebih tinggi di b Untuk memplot fungsi y + b = f(x), plotkan fungsi y = f(x) dan gerakkan sumbu x ke |b| satuan untuk b>0 atau dengan |b| unit turun di b
TRANSFER MELALUI X-AXIS
f(x) => f(x + a)
Biarkan diperlukan untuk memplot fungsi y = f(x + a). Pertimbangkan sebuah fungsi y = f(x), yang pada suatu titik x = x1 mengambil nilai y1 = f(x1). Jelas, fungsi y = f(x + a) akan mengambil nilai yang sama di titik x2, yang koordinatnya ditentukan dari persamaan x2 + a = x1, yaitu. x2 = x1 - a, dan persamaan yang dipertimbangkan berlaku untuk totalitas semua nilai dari domain fungsi. Oleh karena itu, grafik fungsi y = f(x + a) dapat diperoleh dengan perpindahan paralel grafik fungsi y = f(x) sepanjang sumbu x ke kiri oleh |a| satu untuk a > 0 atau ke kanan dengan |a| satuan untuk a Untuk memplot fungsi y = f(x + a), plotkan fungsi y = f(x) dan pindahkan sumbu y ke |a| satuan ke kanan untuk a>0 atau |a| satuan ke kiri untuk a
Contoh:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Refleksi.
GRAFIK FUNGSI TAMPILAN Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Jelas, fungsi y = f(-x) dan y = f(x) mengambil nilai yang sama pada titik-titik yang absisnya sama dalam nilai absolut tetapi berlawanan tanda. Dengan kata lain, ordinat grafik fungsi y = f(-x) pada daerah nilai positif (negatif) x akan sama dengan ordinat grafik fungsi y = f(x) dengan nilai x negatif (positif) yang sesuai dengan nilai absolut. Dengan demikian, kita mendapatkan aturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = f(-x), Anda harus memplot fungsi y = f(x) dan mencerminkannya sepanjang sumbu y. Grafik yang dihasilkan adalah grafik fungsi y = f(-x)
GRAFIK FUNGSI TAMPILAN Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Koordinat grafik fungsi y = - f(x) untuk semua nilai argumen adalah sama dalam nilai absolut, tetapi berlawanan tanda dengan ordinat grafik fungsi y = f(x) untuk nilai argumen yang sama. Dengan demikian, kita mendapatkan aturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = - f(x), Anda harus memplot fungsi y = f(x) dan mencerminkannya terhadap sumbu x.
Contoh:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Deformasi.
DEFORMASI GAMBAR SEPANJANG Sumbu Y
f(x) => kf(x)
Pertimbangkan fungsi bentuk y = k f(x), di mana k > 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk nilai argumen yang sama, ordinat grafik fungsi ini akan k kali lebih besar dari ordinat grafik fungsi y = f(x) untuk k > 1 atau 1/k kali lebih kecil dari ordinat grafik fungsi y = f(x) untuk k ) atau turunkan ordinatnya sebesar 1/k kali untuk k
k > 1- membentang dari sumbu Ox
0 - kompresi ke sumbu OX
DEFORMASI GRAFIK SEPANJANG Sumbu X
f(x) => f(kx)
Misalkan diperlukan untuk memplot fungsi y = f(kx), di mana k>0. Pertimbangkan sebuah fungsi y = f(x), yang mengambil nilai y1 = f(x1) pada sembarang titik x = x1. Jelas, fungsi y = f(kx) mengambil nilai yang sama di titik x = x2, yang koordinatnya ditentukan oleh persamaan x1 = kx2, dan persamaan ini berlaku untuk totalitas semua nilai x dari domain dari fungsi tersebut. Akibatnya, grafik fungsi y = f(kx) dimampatkan (untuk k 1) sepanjang sumbu absis relatif terhadap grafik fungsi y = f(x). Dengan demikian, kita mendapatkan aturannya.
Untuk memplot fungsi y = f(kx), plotkan fungsi y = f(x) dan kurangi absisnya sebanyak k kali untuk k>1 (kecilkan grafik sepanjang absisnya) atau naikkan absisnya sebesar 1/k kali untuk k
k > 1- kompresi ke sumbu Oy
0 - membentang dari sumbu OY
Pekerjaan itu dilakukan oleh Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov di bawah pengawasan Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014
Mundur ke depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.
Tujuan pelajaran: Menentukan pola transformasi grafik fungsi.
Tugas:
Pendidikan:
- Untuk mengajarkan siswa membangun grafik fungsi dengan mengubah grafik dari fungsi yang diberikan, menggunakan terjemahan paralel, kompresi (peregangan), berbagai jenis simetri.
Pendidikan:
- Mendidik kualitas pribadi siswa (kemampuan mendengarkan), niat baik terhadap orang lain, perhatian, ketepatan, disiplin, kemampuan bekerja dalam kelompok.
- Meningkatkan minat pada subjek dan kebutuhan untuk memperoleh pengetahuan.
Mengembangkan:
- Untuk mengembangkan imajinasi spasial dan pemikiran logis siswa, kemampuan untuk bernavigasi dengan cepat di suatu lingkungan; mengembangkan kecerdasan, akal, melatih memori.
Peralatan:
- Instalasi multimedia: komputer, proyektor.
Literatur:
- Bashmakov, M.I. Matematika [Teks]: buku teks untuk institusi awal. dan rata-rata prof. pendidikan / M. I. Bashmakov. - Edisi ke-5, dikoreksi. - M.: Pusat Penerbitan "Academy", 2012. - 256 hal.
- Bashmakov, M.I. Matematika. Buku Soal [Teks]: buku teks. tunjangan pendidikan. institusi pada awalnya dan rata-rata prof. Pendidikan / M. I. Bashmakov. - M .: Pusat Penerbitan "Akademi", 2012. - 416 hal.
Rencana belajar:
- Momen organisasi (3 menit).
- Memperbarui pengetahuan (7 menit).
- Penjelasan materi baru (20 menit).
- Konsolidasi materi baru (10 menit).
- Ringkasan pelajaran (3 menit).
- Pekerjaan rumah (2 menit).
Selama kelas
1. Organisasi saat (3 menit).
Memeriksa mereka yang hadir.
Pesan tentang tujuan pelajaran.
Sifat utama fungsi sebagai ketergantungan antar variabel tidak boleh berubah secara signifikan ketika metode pengukuran besaran-besaran ini berubah, yaitu ketika skala pengukuran dan titik acuan berubah. Namun, karena pilihan metode yang lebih rasional untuk mengukur variabel, biasanya dimungkinkan untuk menyederhanakan notasi hubungan di antara mereka, untuk membawa notasi ini ke beberapa bentuk standar. Dalam bahasa geometris, mengubah cara kuantitas diukur berarti beberapa transformasi grafik sederhana, yang sekarang akan kita pelajari.
2. Aktualisasi pengetahuan (7 menit).
Sebelum kita berbicara tentang transformasi graf, mari kita ulangi materi yang dibahas.
pekerjaan lisan. (Slide 2).
Fungsi yang diberikan:
3. Jelaskan grafik fungsi: , , , .
3. Penjelasan materi baru (20 menit).
Transformasi graf yang paling sederhana adalah translasi paralel, kompresi (peregangan) dan beberapa jenis simetri. Beberapa transformasi disajikan dalam tabel (Lampiran 1), (Slide 3).
Pekerjaan kelompok.
Setiap kelompok memplot fungsi yang diberikan dan mempresentasikan hasilnya untuk didiskusikan.
| Fungsi | Transformasi Grafik Fungsi | Contoh fungsi | Menggeser |
| OU pada TETAPI satuan jika A>0, dan pada |A| unit turun jika TETAPI<0. | , | (Slide 4)
|
|
| Terjemahan paralel sepanjang sumbu Oh pada sebuah satuan ke kanan jika sebuah>0, dan di - sebuah satuan ke kiri jika sebuah<0. | , | (Slide 5)
|
