Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Agar lebih jelas, mari kita selesaikan masalah berikut:

Hitung \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \

Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa satu angka direpresentasikan dalam bentuk aljabar, yang lain - dalam bentuk trigonometri. Itu perlu disederhanakan dan dibawa ke bentuk berikut:

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Ungkapan \ mengatakan bahwa, pertama-tama, kita melakukan perkalian dan peningkatan ke pangkat 10 menurut rumus Moivre. Rumus ini diformulasikan untuk bentuk trigonometri bilangan kompleks. Kita mendapatkan:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Mengikuti aturan untuk mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kita akan melakukan hal berikut:

Dalam kasus kami:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Membuat pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] benar, kami menyimpulkan bahwa adalah mungkin untuk "memutar" 4 putaran \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Jawaban: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara pada membawa angka ke-2 ke dalam bentuk aljabar, kemudian melakukan perkalian dalam bentuk aljabar, menerjemahkan hasilnya ke dalam bentuk trigonometri dan menerapkan rumus Moivre:

Di mana saya dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan bilangan kompleks secara online?

Anda dapat memecahkan sistem persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

Untuk memecahkan masalah dengan bilangan kompleks, Anda perlu memahami definisi dasar. Tujuan utama dari artikel ulasan ini adalah untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks dan menyajikan metode untuk menyelesaikan masalah dasar dengan bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk z = a + bi, di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Re(z), b=Im(z).
saya disebut satuan imajiner. saya 2 \u003d -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah nyata. Jika a = 0 dan b 0, maka bilangan tersebut disebut imajiner murni.

Kami sekarang memperkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.

Mempertimbangkan z = a + bi.

Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan bilangan rasional, dan seterusnya. Rantai penyematan ini dapat dilihat pada gambar: N - bilangan asli, Z - bilangan bulat, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks.

Representasi bilangan kompleks

Notasi aljabar.

Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + bi, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Kami telah membahas bentuk penulisan ini secara rinci di bagian sebelumnya. Cukup sering menggunakan gambar ilustrasi berikut:

bentuk trigonometri.

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa bilangan z = a + bi dapat ditulis berbeda. Jelas bahwa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat nyaman. Misalnya, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks ke pangkat bilangan bulat, yaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus De Moivre.

Bentuk demonstratif.

Mempertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i adalah bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kami menulisnya dalam bentuk yang berbeda z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti dari rumus Euler, jadi kita mendapatkan bentuk baru penulisan bilangan kompleks: z = re iφ, yang disebut demonstratif. Bentuk notasi ini juga sangat nyaman untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e inφ, di sini n belum tentu bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real arbitrer. Bentuk tulisan ini cukup sering digunakan untuk memecahkan masalah.

Teorema dasar aljabar tinggi

Bayangkan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 . Jelas bahwa diskriminan persamaan ini negatif dan tidak memiliki akar real, tetapi ternyata persamaan ini memiliki dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema utama aljabar tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar kompleks. Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki tepat n akar kompleks, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Teorema ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematika dan diterapkan secara luas. Akibat wajar sederhana dari teorema ini adalah bahwa terdapat tepat n akar derajat n yang berbeda.

Jenis tugas utama

Pada bagian ini, jenis utama dari masalah bilangan kompleks sederhana akan dipertimbangkan. Secara konvensional, masalah pada bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.

• Melakukan operasi aritmatika sederhana pada bilangan kompleks.
• Menemukan akar polinomial dalam bilangan kompleks.
• Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
• Ekstraksi akar dari bilangan kompleks.
• Penerapan bilangan kompleks untuk memecahkan masalah lain.

Sekarang pertimbangkan metode umum untuk memecahkan masalah ini.

Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini mereka dapat diubah menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai dengan aturan yang diketahui.

Menemukan akar polinomial biasanya bermuara pada menemukan akar persamaan kuadrat. Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat, jika diskriminannya adalah non-negatif, maka akarnya akan nyata dan ditemukan sesuai dengan rumus yang terkenal. Jika diskriminannya negatif, maka D = -1∙a 2, di mana sebuah adalah bilangan tertentu, maka diskriminan dapat kita nyatakan dalam bentuk D = (ia) 2, karena itu D = i|a|, lalu Anda dapat menggunakan rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat.

Contoh. Mari kita kembali ke persamaan kuadrat yang disebutkan di atas x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminan - D \u003d 1 - 4 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya:

Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda ingin menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar menjadi pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika derajatnya lebih besar (dalam soal seringkali jauh lebih besar), maka Anda perlu tulis bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.

Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponensial: z = 2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.

Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks adalah operasi kebalikan dari eksponensial, sehingga dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akarnya, bentuk eksponensial dari penulisan bilangan sering digunakan.

Contoh. Temukan semua akar derajat 3 persatuan. Untuk melakukan ini, kami menemukan semua akar persamaan z 3 = 1, kami akan mencari akar dalam bentuk eksponensial.
Substitusi ke persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka = 2πk/3.
Berbagai akar diperoleh pada = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 adalah akar-akar.
Atau dalam bentuk aljabar:

Jenis masalah terakhir mencakup berbagai macam masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh sederhana dari tugas semacam itu:

Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Meskipun rumusan masalah ini tidak mengacu pada bilangan kompleks, tetapi dengan bantuan mereka dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk menyelesaikannya, representasi berikut digunakan:


Jika sekarang kita mensubstitusi representasi ini ke dalam jumlah, maka masalahnya direduksi menjadi penjumlahan deret geometri biasa.

Kesimpulan

Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, artikel ulasan ini membahas operasi dasar pada bilangan kompleks, menjelaskan beberapa jenis masalah standar dan secara singkat menjelaskan metode umum untuk menyelesaikannya, untuk studi yang lebih rinci tentang kemungkinan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.

literatur

Ekspresi, Persamaan, dan Sistem Persamaan
dengan bilangan kompleks

Hari ini dalam pelajaran kita akan mengerjakan tindakan khas dengan bilangan kompleks, serta menguasai teknik memecahkan ekspresi, persamaan, dan sistem persamaan yang dikandung oleh angka-angka ini. Lokakarya ini merupakan kelanjutan dari pelajaran, dan oleh karena itu jika Anda tidak terbiasa dengan topik tersebut, silakan ikuti tautan di atas. Nah, saya sarankan agar pembaca yang lebih siap segera melakukan pemanasan:

Contoh 1

Sederhanakan Ekspresi , jika . Sajikan hasilnya dalam bentuk trigonometri dan gambarkan pada bidang kompleks.

Keputusan: jadi, Anda perlu mengganti pecahan "mengerikan", melakukan penyederhanaan, dan menerjemahkan hasilnya bilangan kompleks di bentuk trigonometri. Ditambah sialan.

Apa cara terbaik untuk membuat keputusan? Lebih menguntungkan untuk menangani ekspresi aljabar "mewah" secara bertahap. Pertama, perhatian kurang tersebar, dan kedua, jika tugas tidak dikreditkan, akan lebih mudah untuk menemukan kesalahan.

1) Mari kita sederhanakan pembilangnya terlebih dahulu. Ganti nilainya ke dalamnya, buka tanda kurung dan perbaiki gaya rambut:

... Ya, Quasimodo seperti itu dari bilangan kompleks ternyata ...

Saya mengingatkan Anda bahwa selama transformasi, hal-hal yang sepenuhnya cerdik digunakan - aturan perkalian polinomial dan kesetaraan yang telah menjadi dangkal. Hal utama adalah berhati-hati dan tidak bingung dengan tanda-tandanya.

2) Sekarang penyebutnya adalah berikutnya. Jika kemudian:

Perhatikan dalam interpretasi yang tidak biasa digunakan rumus jumlah kuadrat. Atau, Anda dapat mengubah di sini subformula. Hasilnya, tentu saja, akan cocok.

3) Dan akhirnya, seluruh ekspresi. Jika kemudian:

Untuk menghilangkan pecahan, kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi ke penyebut. Namun, untuk tujuan penerapan perbedaan rumus kuadrat harus terlebih dahulu (dan pasti!) letakkan bagian real negatif di tempat ke-2:

Dan sekarang aturan utamanya:

DALAM KEADAAN APA PUN KAMI TIDAK TERBURU-BURU! Lebih baik bermain aman dan meresepkan langkah ekstra.
Dalam ekspresi, persamaan dan sistem dengan bilangan kompleks perhitungan lisan yang sombong penuh seperti biasa!

Ada kontraksi yang bagus di langkah terakhir dan itu pertanda bagus.

Catatan : sebenarnya, pembagian bilangan kompleks dengan bilangan kompleks 50 terjadi di sini (ingat bahwa ). Saya tetap diam tentang nuansa ini sampai sekarang dan kita akan membicarakannya nanti.

Mari kita tunjukkan pencapaian kita dengan huruf

Mari kita nyatakan hasilnya dalam bentuk trigonometri. Secara umum, di sini Anda dapat melakukannya tanpa menggambar, tetapi segera setelah diperlukan, agak lebih rasional untuk menyelesaikannya sekarang:

Hitung modulus bilangan kompleks:

Jika Anda menggambar pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel tetrad), maka nilai yang dihasilkan mudah diperiksa menggunakan penggaris biasa.

Mari kita cari argumen. Karena bilangan tersebut terletak pada koordinat kuartal ke-2, maka:

Sudut hanya diperiksa oleh busur derajat. Ini adalah nilai tambah yang tidak diragukan dari gambar.

Jadi: - angka yang diinginkan dalam bentuk trigonometri.

Mari kita periksa:
, yang akan diverifikasi.

Lebih mudah untuk menemukan nilai sinus dan kosinus yang tidak dikenal dengan tabel trigonometri.

Menjawab:

Contoh serupa untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 2

Sederhanakan Ekspresi , di mana . Gambarkan bilangan yang dihasilkan pada bidang kompleks dan tulis dalam bentuk eksponensial.

Cobalah untuk tidak melewatkan tutorial. Mereka mungkin tampak sederhana, tetapi tanpa pelatihan, "masuk ke genangan air" tidak hanya mudah, tetapi sangat mudah. Jadi mari kita tangani.

Seringkali masalah memungkinkan lebih dari satu solusi:

Contoh 3

Hitung jika ,

Keputusan: pertama-tama, mari kita perhatikan kondisi aslinya - satu angka disajikan dalam bentuk aljabar, dan yang lainnya dalam bentuk trigonometri, dan bahkan dengan derajat. Mari kita segera menulis ulang dalam bentuk yang lebih familiar: .

Dalam bentuk apa perhitungan harus dilakukan? Ekspresi , jelas, melibatkan perkalian pertama dan peningkatan selanjutnya ke pangkat 10 dalam Formula De Moivre, yang diformulasikan untuk bentuk trigonometri bilangan kompleks. Jadi, tampaknya lebih logis untuk mengonversi angka pertama. Temukan modul dan argumennya:

Kami menggunakan aturan perkalian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:
jika kemudian

Membuat pecahan benar, kami sampai pada kesimpulan bahwa adalah mungkin untuk "memutar" 4 putaran ( senang.):

Cara kedua untuk menyelesaikan adalah menerjemahkan angka ke-2 ke dalam bentuk aljabar , lakukan perkalian dalam bentuk aljabar, terjemahkan hasilnya ke dalam bentuk trigonometri dan gunakan rumus Moivre.

Seperti yang Anda lihat, satu tindakan "ekstra". Mereka yang ingin dapat mengikuti solusi sampai akhir dan memastikan bahwa hasilnya cocok.

Kondisi tidak mengatakan apa-apa tentang bentuk bilangan kompleks yang dihasilkan, jadi:

Menjawab:

Tetapi "untuk kecantikan" atau sesuai permintaan, hasilnya dapat dengan mudah direpresentasikan dalam bentuk aljabar:

Sendiri:

Contoh 4

Sederhanakan Ekspresi

Di sini perlu diingat tindakan dengan kekuatan, meskipun tidak ada satu aturan yang berguna dalam manual pelatihan, ini dia:.

Dan satu lagi catatan penting: contoh dapat diselesaikan dalam dua gaya. Opsi pertama adalah bekerja dengan dua bilangan dan menyusun pecahan. Opsi kedua adalah mewakili setiap angka dalam formulir hasil bagi dua bilangan: dan singkirkan empat lantai. Dari sudut pandang formal, tidak ada bedanya bagaimana memutuskan, tetapi ada perbedaan yang berarti! Mohon pertimbangkan baik-baik:
adalah bilangan kompleks;
adalah hasil bagi dua bilangan kompleks ( dan ), namun, tergantung pada konteksnya, orang juga dapat mengatakan ini: bilangan yang direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan kompleks.

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Ekspresi bagus, tetapi persamaan lebih baik:

Persamaan dengan koefisien kompleks

Bagaimana mereka berbeda dari persamaan "biasa"? Koefisien =)

Mengingat pernyataan di atas, mari kita mulai dengan contoh ini:

Contoh 5

selesaikan persamaannya

Dan pembukaan langsung dalam pengejaran: mulanya sisi kanan persamaan diposisikan sebagai hasil bagi dua bilangan kompleks ( dan 13), dan oleh karena itu akan menjadi bentuk yang buruk untuk menulis ulang kondisi dengan bilangan tersebut (walaupun itu tidak akan menyebabkan kesalahan). Omong-omong, perbedaan ini lebih jelas terlihat dalam pecahan - jika, secara relatif, maka nilai ini terutama dipahami sebagai akar kompleks "penuh" dari persamaan, dan bukan sebagai pembagi bilangan , dan terlebih lagi - bukan sebagai bagian dari bilangan !

Keputusan, pada prinsipnya, itu juga dapat diatur selangkah demi selangkah, tetapi dalam hal ini permainannya tidak sepadan dengan lilinnya. Tugas awalnya adalah menyederhanakan segala sesuatu yang tidak mengandung "Z" yang tidak diketahui, akibatnya persamaan akan direduksi menjadi bentuk:

Sederhanakan pecahan rata-rata dengan percaya diri:

Kami mentransfer hasilnya ke sisi kanan dan menemukan perbedaannya:

Catatan : dan sekali lagi saya menarik perhatian Anda ke poin yang bermakna - di sini kami tidak mengurangi angka dari angka, tetapi menjumlahkan pecahan menjadi penyebut yang sama! Perlu dicatat bahwa dalam perjalanan solusi tidak dilarang untuk bekerja dengan angka: , namun, dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, gaya seperti itu lebih berbahaya daripada berguna =)

Menurut aturan proporsi, kami menyatakan "z":

Sekarang Anda dapat kembali membagi dan mengalikan dengan ekspresi adjoint, tetapi angka yang mencurigakan dari pembilang dan penyebut menyarankan langkah berikut:

Menjawab:

Untuk tujuan verifikasi, kami mengganti nilai yang dihasilkan ke sisi kiri persamaan asli dan melakukan penyederhanaan:

- sisi kanan persamaan asli diperoleh, sehingga akarnya ditemukan dengan benar.

…Sekarang-sekarang…Aku akan memilih sesuatu yang lebih menarik untukmu…tunggu:

Contoh 6

selesaikan persamaannya

Persamaan ini direduksi menjadi bentuk , dan karena itu linier. Petunjuknya, saya pikir, jelas - lakukanlah!

Tentu saja ... bagaimana Anda bisa hidup tanpanya:

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks

Pada pelajaran Bilangan kompleks untuk boneka kita belajar bahwa persamaan kuadrat dengan koefisien real dapat memiliki akar kompleks konjugasi, setelah itu muncul pertanyaan logis: mengapa, pada kenyataannya, koefisien itu sendiri tidak dapat kompleks? Saya akan merumuskan kasus umum:

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks arbitrer (1 atau 2 di antaranya atau ketiganya mungkin valid) Memiliki dua dan hanya dua akar kompleks (mungkin salah satunya atau keduanya valid). Sedangkan akarnya (baik nyata dan dengan bagian imajiner bukan nol) mungkin bertepatan (berkali-kali).

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan "sekolah", dengan beberapa perbedaan dalam teknik komputasi:

Contoh 7

Temukan akar-akar persamaan kuadrat

Keputusan: unit imajiner ada di tempat pertama, dan, pada prinsipnya, Anda dapat menyingkirkannya (kalikan kedua ruas dengan ), bagaimanapun, tidak ada kebutuhan khusus untuk ini.

Untuk kenyamanan, kami menulis koefisien:

Kami tidak kehilangan "minus" dari anggota gratis! ... Mungkin tidak jelas bagi semua orang - Saya akan menulis ulang persamaan dalam bentuk standar :

Mari kita hitung diskriminannya:

Inilah kendala utamanya:

Penerapan rumus umum untuk mengekstrak akar (lihat paragraf terakhir artikel Bilangan kompleks untuk boneka) diperumit oleh kesulitan serius yang terkait dengan argumen bilangan kompleks radikal (Lihat diri mu sendiri). Tapi ada cara lain, "aljabar"! Kami akan mencari root dalam bentuk:

Mari kita kuadratkan kedua sisinya:

Dua bilangan kompleks adalah sama jika bagian real dan imajinernya sama. Dengan demikian, kita mendapatkan sistem berikut:

Sistem lebih mudah diselesaikan dengan memilih (cara yang lebih teliti adalah dengan menyatakan dari persamaan ke-2 - gantikan dengan persamaan ke-1, dapatkan dan selesaikan persamaan biquadratic). Dengan asumsi bahwa pembuat masalah bukanlah monster, kami berhipotesis bahwa dan adalah bilangan bulat. Dari persamaan 1 berikut bahwa "x" modulo lebih dari "y". Selain itu, produk positif memberi tahu kita bahwa yang tidak diketahui memiliki tanda yang sama. Berdasarkan hal di atas, dan berfokus pada persamaan ke-2, kami menuliskan semua pasangan yang cocok dengannya:

Jelas, dua pasangan terakhir memenuhi persamaan pertama sistem, sehingga:

Pemeriksaan perantara tidak ada salahnya:

yang akan diperiksa.

Sebagai root "berfungsi", Anda dapat memilih setiap berarti. Jelas bahwa lebih baik mengambil versi tanpa "kontra":

Omong-omong, kami menemukan akarnya, tidak lupa, bahwa:

Menjawab:

Mari kita periksa apakah akar-akar yang ditemukan memenuhi persamaan :

1) Pengganti:

kesetaraan yang benar.

2) Pengganti:

kesetaraan yang benar.

Dengan demikian, solusi ditemukan dengan benar.

Terinspirasi oleh masalah yang baru saja dibahas:

Contoh 8

Cari akar persamaan

Perhatikan bahwa akar kuadrat dari murni kompleks angka diekstraksi dengan sempurna dan menggunakan rumus umum , di mana , jadi kedua metode ditampilkan dalam sampel. Pernyataan berguna kedua menyangkut fakta bahwa ekstraksi awal akar dari konstanta tidak menyederhanakan solusi sama sekali.

Dan sekarang Anda dapat bersantai - dalam contoh ini, Anda akan turun dengan sedikit ketakutan :)

Contoh 9

Selesaikan persamaan dan periksa

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Paragraf terakhir artikel ini dikhususkan untuk

sistem persamaan bilangan kompleks

Kami santai dan… kami tidak tegang =) Mari kita pertimbangkan kasus paling sederhana – sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

Contoh 10

Memecahkan sistem persamaan. Sajikan jawabannya dalam bentuk aljabar dan eksponensial, gambarkan akarnya dalam gambar.

Keputusan: kondisi itu sendiri menunjukkan bahwa sistem memiliki solusi unik, yaitu, kita perlu menemukan dua angka yang memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem.

Sistem ini benar-benar dapat diselesaikan dengan cara yang "kekanak-kanakan" (nyatakan satu variabel dalam istilah yang lain) , tetapi jauh lebih nyaman untuk digunakan rumus Cramer. Menghitung penentu utama sistem:

, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Saya ulangi bahwa lebih baik tidak terburu-buru dan meresepkan langkah-langkah sedetail mungkin:

Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan unit imajiner dan mendapatkan akar pertama:

Demikian pula:

Sisi kanan yang sesuai, p.t.p.

Mari kita jalankan gambarnya:

Kami mewakili akar dalam bentuk eksponensial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan modul dan argumennya:

1) - garis singgung busur dari "dua" dihitung "buruk", jadi kita biarkan seperti ini: