Sebelumnya kita sudah membahas tentang apa itu pangkat. Ini memiliki sifat-sifat tertentu yang berguna dalam memecahkan masalah: itu adalah mereka dan semua kemungkinan eksponen yang akan kami analisis dalam artikel ini. Kami juga akan mendemonstrasikan dengan contoh bagaimana mereka dapat dibuktikan dan diterapkan dengan benar dalam praktik.

Mari kita ingat kembali konsep derajat dengan eksponen alami, yang telah kita rumuskan sebelumnya: ini adalah produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Kita juga perlu mengingat cara mengalikan bilangan real dengan benar. Semua ini akan membantu kami merumuskan properti berikut untuk gelar dengan indikator alami:

Definisi 1

1. Sifat utama derajat: a m a n = a m + n

Dapat digeneralisasikan menjadi: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Sifat bagi bagi pangkat yang memiliki basis yang sama: a m: a n = a m n

3. Sifat derajat hasil kali: (a b) n = a n b n

Persamaan dapat diperluas menjadi: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Sifat derajat alamiah: (a:b) n = a n: b n

5. Kami menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a m) n = a m n ,

Dapat digeneralisasikan menjadi: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Bandingkan derajat dengan nol:

• jika a > 0, maka untuk setiap n natural, a n akan lebih besar dari nol;
• dengan sama dengan 0, a n juga akan sama dengan nol;
• untuk sebuah< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• untuk sebuah< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Kesetaraan a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Pertidaksamaan a m > a n akan benar asalkan m dan n adalah bilangan asli, m lebih besar dari n dan a lebih besar dari nol dan tidak kurang dari satu.

Hasilnya, kami mendapatkan beberapa persamaan; jika Anda memenuhi semua kondisi yang ditunjukkan di atas, maka mereka akan identik. Untuk setiap persamaan, misalnya, untuk properti utama, Anda dapat menukar bagian kanan dan kiri: a m · a n = a m + n - sama dengan a m + n = a m · a n . Dalam bentuk ini, sering digunakan ketika menyederhanakan ekspresi.

1. Mari kita mulai dengan sifat utama derajat: persamaan a m · a n = a m + n akan benar untuk sembarang m dan n dan real a . Bagaimana membuktikan pernyataan ini?

Definisi dasar kekuatan dengan eksponen alami akan memungkinkan kita untuk mengubah kesetaraan menjadi produk faktor. Kami akan mendapatkan entri seperti ini:

Ini bisa disingkat menjadi (ingat sifat dasar perkalian). Hasilnya, kami mendapatkan derajat bilangan a dengan eksponen alami m + n. Jadi, a m + n , yang berarti bahwa sifat utama derajat terbukti.

Mari kita ambil contoh konkret untuk membuktikannya.

Contoh 1

Jadi kami memiliki dua kekuatan dengan basis 2. Indikator alami mereka adalah 2 dan 3, masing-masing. Kami mendapatkan persamaan: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Mari kita hitung nilai untuk memeriksa kebenaran persamaan ini.

Mari kita lakukan operasi matematika yang diperlukan: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 dan 2 5 = 2 2 2 2 = 32

Hasilnya, kami mendapatkan: 2 2 2 3 = 2 5 . Properti telah terbukti.

Karena sifat-sifat perkalian, kita dapat menggeneralisasikan sifat tersebut dengan memformulasikannya dalam bentuk tiga atau lebih pangkat, yang eksponennya adalah bilangan asli, dan basisnya sama. Jika kita menyatakan banyaknya bilangan asli n 1, n 2, dll dengan huruf k, kita mendapatkan persamaan yang benar:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Contoh 2

2. Selanjutnya, kita perlu membuktikan properti berikut, yang disebut properti hasil bagi dan melekat pada pangkat dengan basis yang sama: ini adalah persamaan a m: a n = a m n , yang berlaku untuk semua m dan n alami (dan m lebih besar dari n)) dan sembarang tak nol real a .

Untuk memulainya, mari kita jelaskan apa sebenarnya arti dari syarat-syarat yang disebutkan dalam rumusan itu. Jika kita mengambil sama dengan nol, maka pada akhirnya kita akan mendapatkan pembagian dengan nol, yang tidak dapat dilakukan (setelah semua, 0 n = 0). Syarat bahwa bilangan m harus lebih besar dari n diperlukan agar kita dapat tetap berada dalam eksponen alami: dengan mengurangkan n dari m, kita mendapatkan bilangan asli. Jika kondisi tidak terpenuhi, kita akan mendapatkan angka negatif atau nol, dan sekali lagi kita akan melampaui studi derajat dengan indikator alami.

Sekarang kita bisa beralih ke buktinya. Dari yang telah dipelajari sebelumnya, kita mengingat kembali sifat-sifat dasar pecahan dan merumuskan persamaan sebagai berikut:

a m n a n = a (m n) + n = a m

Dari sini kita dapat menyimpulkan: a m n a n = a m

Ingat kembali hubungan antara pembagian dan perkalian. Dari sini dapat disimpulkan bahwa a m n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini adalah bukti dari properti tingkat kedua.

Contoh 3

Substitusikan bilangan spesifik untuk kejelasan indikator, dan nyatakan basis derajat : 5: 2 = 5 3 = 3

3. Selanjutnya, kita akan menganalisis sifat-sifat derajat hasil kali: (a · b) n = a n · b n untuk sembarang a dan b dan n natural .

Menurut definisi dasar derajat dengan eksponen alami, persamaan dapat dirumuskan kembali sebagai berikut:

Mengingat sifat-sifat perkalian, kami menulis: . Artinya sama dengan a n · b n .

Contoh 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Jika kita memiliki tiga faktor atau lebih, maka sifat ini juga berlaku untuk kasus ini. Kami memperkenalkan notasi k untuk jumlah faktor dan menulis:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Contoh 5

Dengan angka tertentu, kami mendapatkan persamaan yang benar berikut: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Setelah itu, kita akan mencoba membuktikan sifat hasil bagi: (a: b) n = a n: b n untuk sembarang a dan b jika b tidak sama dengan 0 dan n adalah bilangan asli.

Untuk pembuktiannya, kita bisa menggunakan properti derajat sebelumnya. Jika (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , dan (a: b) n b n = a n , maka (a: b) n adalah hasil bagi bagi a n dengan b n .

Contoh 6

Mari kita hitung contohnya: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Contoh 7

Mari kita mulai langsung dengan sebuah contoh: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Dan sekarang kami merumuskan rantai persamaan yang akan membuktikan kebenaran persamaan:

Jika kita memiliki derajat derajat dalam contoh, maka sifat ini juga berlaku untuk mereka. Jika kita memiliki bilangan asli p, q, r, s, maka itu akan benar:

a p q y s = a p q y s

Contoh 8

Mari kita tambahkan secara spesifik: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Sifat lain dari derajat dengan eksponen natural yang perlu kita buktikan adalah sifat perbandingan.

Pertama, mari kita bandingkan eksponen dengan nol. Mengapa a n > 0 asalkan a lebih besar dari 0?

Jika kita mengalikan satu bilangan positif dengan bilangan positif lainnya, kita juga akan mendapatkan bilangan positif. Mengetahui fakta ini, kita dapat mengatakan bahwa ini tidak tergantung pada jumlah faktor - hasil mengalikan sejumlah bilangan positif adalah bilangan positif. Dan apa itu gelar, jika bukan hasil perkalian angka? Kemudian untuk setiap pangkat n dengan basis positif dan eksponen alami, ini akan benar.

Contoh 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 dan 34 9 13 51 > 0

Jelas juga bahwa pangkat dengan basis sama dengan nol adalah nol itu sendiri. Untuk kekuatan apa pun yang kita naikkan nol, itu akan tetap demikian.

Contoh 10

0 3 = 0 dan 0 762 = 0

Jika basis derajat adalah bilangan negatif, maka pembuktiannya sedikit lebih rumit, karena konsep eksponen genap / ganjil menjadi penting. Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen genap dan dilambangkan dengan 2 · m , di mana m adalah bilangan asli.

Mari kita ingat bagaimana mengalikan bilangan negatif dengan benar: hasil kali a · a sama dengan perkalian modul, dan, oleh karena itu, akan menjadi bilangan positif. Kemudian dan derajat a 2 · m juga positif.

Contoh 11

Misalnya, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 dan - 2 9 6 > 0

Bagaimana jika eksponen dengan basis negatif adalah bilangan ganjil? Mari kita nyatakan 2 · m 1 .

Kemudian

Semua produk a · a , menurut sifat-sifat perkalian, adalah positif, dan begitu juga produknya. Tetapi jika kita mengalikannya dengan satu-satunya sisa angka a , maka hasil akhirnya akan negatif.

Maka diperoleh: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bagaimana membuktikannya?

sebuah< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Contoh 12

Misalnya, pertidaksamaan itu benar: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Tetap bagi kita untuk membuktikan properti terakhir: jika kita memiliki dua derajat, yang basisnya sama dan positif, dan eksponennya adalah bilangan asli, maka salah satunya lebih besar, eksponennya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih besar.

Mari kita buktikan pernyataan ini.

Pertama kita perlu memastikan bahwa m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Kami mengambil n dari tanda kurung, setelah itu selisih kami akan berbentuk a n · (am n 1) . Hasilnya akan negatif (karena hasil perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif adalah negatif). Memang, menurut kondisi awal, m n > 0, maka a m n − 1 adalah negatif, dan faktor pertama adalah positif, seperti halnya kekuatan alami dengan basis positif.

Ternyata a m a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Tetap membuktikan bagian kedua dari pernyataan yang dirumuskan di atas: a m > a benar untuk m > n dan a > 1 . Kami menunjukkan perbedaan dan mengambil n dari tanda kurung: (a m - n - 1) Kekuatan n dengan lebih besar dari satu akan memberikan hasil yang positif; dan perbedaan itu sendiri juga akan menjadi positif karena kondisi awal, dan untuk a > 1 derajat a m n lebih besar dari satu. Ternyata a m a n > 0 dan a m > a n , itulah yang perlu kita buktikan.

Contoh 13

Contoh dengan nomor tertentu: 3 7 > 3 2

Sifat dasar derajat dengan eksponen bilangan bulat

Untuk derajat dengan eksponen bilangan bulat positif, sifat-sifatnya akan serupa, karena bilangan bulat positif adalah alami, yang berarti bahwa semua persamaan yang dibuktikan di atas juga berlaku untuknya. Mereka juga cocok untuk kasus di mana eksponennya negatif atau sama dengan nol (asalkan basis derajat itu sendiri bukan nol).

Jadi, sifat-sifat pangkat adalah sama untuk setiap basis a dan b (asalkan bilangan-bilangan ini nyata dan tidak sama dengan 0) dan setiap eksponen m dan n (asalkan bilangan bulat). Kami menulisnya secara singkat dalam bentuk rumus:

Definisi 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. tidak< b n и a − n >b n dengan bilangan bulat positif n , positif a dan b , a< b

7. m< a n , при условии целых m и n , m >n dan 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Jika basis derajat sama dengan nol, maka entri a m dan a n hanya masuk akal dalam kasus m dan n alami dan positif. Akibatnya, kami menemukan bahwa formulasi di atas juga cocok untuk kasus dengan derajat dengan basis nol, jika semua kondisi lainnya terpenuhi.

Bukti dari sifat-sifat ini dalam kasus ini sederhana. Kita perlu mengingat apa derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real.

Mari kita menganalisis properti derajat dalam derajat dan membuktikan bahwa itu benar untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Kita mulai dengan membuktikan persamaan (a p) q = a p q , (a p) q = a (− p) q , (a p) q = a p (− q) dan (a p) q = a (− p) (q)

Syarat: p = 0 atau bilangan asli; q - sama.

Jika nilai p dan q lebih besar dari 0, maka diperoleh (a p) q = a p · q . Kami telah membuktikan kesetaraan serupa sebelumnya. Jika p = 0 maka:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Jadi, (a 0) q = a 0 q

Untuk q = 0 semuanya persis sama:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Hasil: (a p) 0 = a p 0 .

Jika kedua indikator adalah nol, maka (a 0) 0 = 1 0 = 1 dan a 0 0 = a 0 = 1, maka (a 0) 0 = a 0 0 .

Ingat properti hasil bagi dalam kekuatan terbukti di atas dan tulis:

1 a p q = 1 q a p q

Jika 1 p = 1 1 … 1 = 1 dan a p q = a p q , maka 1 q a p q = 1 a p q

Kita dapat mengubah notasi ini berdasarkan aturan perkalian dasar menjadi a (− p) · q .

Juga: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

DAN (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Sifat-sifat derajat yang tersisa dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan mentransformasikan pertidaksamaan yang ada. Kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan poin-poin yang sulit.

Bukti properti kedua dari belakang: ingat bahwa a n > b n benar untuk setiap nilai bilangan bulat negatif dari n dan setiap positif a dan b, asalkan a lebih kecil dari b .

Maka pertidaksamaan tersebut dapat ditransformasikan sebagai berikut:

1 a n > 1 b n

Kami menulis bagian kanan dan kiri sebagai perbedaan dan melakukan transformasi yang diperlukan:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Ingat bahwa dalam kondisi a kurang dari b , maka, menurut definisi derajat dengan eksponen alami: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n menjadi bilangan positif karena faktor-faktornya positif. Akibatnya, kami memiliki pecahan b n - a n a n · b n , yang pada akhirnya juga memberikan hasil positif. Oleh karena itu 1 a n > 1 b n dari mana a n > b n , yang harus kita buktikan.

Sifat terakhir dari derajat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan sama dengan sifat derajat dengan eksponen alami.

Sifat dasar derajat dengan eksponen rasional

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas apa itu derajat dengan eksponen rasional (fraksional). Sifatnya sama dengan derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari menulis:

Definisi 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk a 0 (properti perkalian pangkat dengan dasar yang sama).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 jika a > 0 (properti bagi).

3. a b m n = a m n b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk a 0 dan (atau) b 0 (properti hasil kali dalam derajat pecahan).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n untuk a > 0 dan b > 0, dan jika m n > 0, maka untuk a 0 dan b > 0 (sifat bagi hasil bagi derajat pecahan).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 untuk a > 0, dan jika m 1 n 1 > 0 dan m 2 n 2 > 0, maka untuk 0 (properti derajat dalam derajat).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; jika p< 0 - a p >b p (properti membandingkan derajat dengan eksponen rasional yang sama).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q pada 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Untuk membuktikan ketentuan ini, kita perlu mengingat apa itu derajat dengan pangkat pecahan, apa sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n, dan apa sifat-sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita lihat masing-masing properti.

Menurut apa derajat dengan eksponen pecahan, kita mendapatkan:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 dan a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, oleh karena itu, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Sifat-sifat akar akan memungkinkan kita untuk memperoleh persamaan:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Dari sini kita peroleh: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Mari kita ubah:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Eksponen dapat ditulis sebagai:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ini adalah buktinya. Properti kedua dibuktikan dengan cara yang persis sama. Mari kita tuliskan rantai persamaan:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Bukti persamaan yang tersisa:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Properti berikutnya: mari kita buktikan bahwa untuk setiap nilai a dan b lebih besar dari 0 , jika a lebih kecil dari b , a p akan dieksekusi< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Mari kita nyatakan bilangan rasional p sebagai m n . Dalam hal ini, m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli. Maka syarat p< 0 и p >0 akan diperpanjang menjadi m< 0 и m >0 . Untuk m > 0 dan a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Kami menggunakan properti akar dan menurunkan: a m n< b m n

Dengan mempertimbangkan kepositifan nilai a dan b , kami menulis ulang pertidaksamaan sebagai a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Dengan cara yang sama, untuk m< 0 имеем a a m >b m , kita mendapatkan a m n > b m n jadi a m n > b m n dan a p > b p .

Tetap bagi kita untuk membuktikan properti terakhir. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p > q pada 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 akan benar a p > a q .

Bilangan rasional p dan q dapat dikurangi menjadi penyebut yang sama dan mendapatkan pecahan m 1 n dan m 2 n

Di sini m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Jika p > q, maka m 1 > m 2 (dengan memperhatikan aturan perbandingan pecahan). Kemudian pada 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – pertidaksamaan a 1 m > a 2 m .

Mereka dapat ditulis ulang dalam bentuk berikut:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Kemudian Anda dapat membuat transformasi dan mendapatkan hasilnya:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Untuk meringkas: untuk p > q dan 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Sifat dasar derajat dengan eksponen irasional

Semua sifat yang dijelaskan di atas yang dimiliki oleh suatu derajat dengan eksponen rasional dapat diperluas ke derajat tersebut. Ini mengikuti dari definisinya sendiri, yang kami berikan di salah satu artikel sebelumnya. Mari kita rumuskan secara singkat sifat-sifat ini (kondisi: a > 0 , b > 0 , indikator p dan q adalah bilangan irasional):

Definisi 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , maka a p > a q .

Jadi, semua pangkat yang eksponen p dan q adalah bilangan real, asalkan a > 0, memiliki sifat yang sama.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Isi pelajaran

Apa itu gelar?

Derajat disebut produk dari beberapa faktor yang identik. Sebagai contoh:

2×2×2

Nilai dari ekspresi ini adalah 8

2 x 2 x 2 = 8

Ruas kiri persamaan ini dapat dipersingkat - pertama-tama tuliskan faktor yang berulang dan tunjukkan berapa kali faktor tersebut berulang. Pengganda berulang dalam hal ini adalah 2. Ini berulang tiga kali. Oleh karena itu, di atas deuce, kami menulis tiga kali lipat:

2 3 = 8

Ungkapan ini berbunyi seperti ini: dua pangkat tiga sama dengan delapan atau " pangkat tiga dari 2 adalah 8.

Bentuk singkat penulisan perkalian faktor yang sama lebih sering digunakan. Oleh karena itu, kita harus ingat bahwa jika suatu bilangan lain dituliskan di atas suatu bilangan, maka ini adalah perkalian dari beberapa faktor yang identik.

Misalnya, jika ekspresi 5 3 diberikan, maka harus diingat bahwa ekspresi ini setara dengan menulis 5 × 5 × 5.

Bilangan yang berulang disebut dasar derajat. Dalam ekspresi 5 3 basis derajat adalah angka 5 .

Dan angka yang tertera di atas angka 5 disebut eksponen. Dalam ekspresi 5 3, eksponen adalah angka 3. Eksponen menunjukkan berapa kali basis derajat diulang. Dalam kasus kami, basis 5 diulang tiga kali.

Operasi perkalian faktor-faktor yang identik disebut eksponensial.

Misalnya, jika Anda perlu menemukan produk dari empat faktor yang identik, yang masing-masing sama dengan 2, maka mereka mengatakan bahwa angka 2 diangkat ke kekuatan keempat:

Kita lihat bahwa angka 2 pangkat empat adalah angka 16.

Perhatikan bahwa dalam pelajaran ini kita melihat derajat dengan indikator alami. Ini adalah semacam derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli. Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol. Misalnya 1, 2, 3 dan seterusnya.

Secara umum pengertian gelar dengan indikator natural adalah sebagai berikut:

Derajat sebuah dengan indikator alami n adalah ekspresi dari bentuk sebuah, yang sama dengan produk n pengganda, yang masing-masing sama dengan sebuah

Contoh:

Berhati-hatilah saat menaikkan angka menjadi pangkat. Seringkali, melalui kurangnya perhatian, seseorang mengalikan basis derajat dengan eksponen.

Misalnya, angka 5 pangkat dua adalah hasil kali dua faktor yang masing-masing sama dengan 5. Hasil kali ini sama dengan 25

Sekarang bayangkan bahwa kita secara tidak sengaja mengalikan basis 5 dengan eksponen 2

Terjadi kesalahan, karena angka 5 pangkat dua tidak sama dengan 10.

Selain itu, harus disebutkan bahwa pangkat suatu bilangan dengan eksponen 1 adalah bilangan itu sendiri:

Misalnya angka 5 pangkat pertama adalah angka 5 itu sendiri.

Dengan demikian, jika angka tersebut tidak memiliki indikator, maka kita harus mengasumsikan bahwa indikator tersebut sama dengan satu.

Misalnya, angka 1, 2, 3 diberikan tanpa eksponen, jadi eksponennya akan sama dengan satu. Masing-masing bilangan ini dapat ditulis dengan eksponen 1

Dan jika Anda menaikkan 0 ke beberapa kekuatan, Anda mendapatkan 0. Memang, tidak peduli berapa kali tidak ada yang dikalikan dengan dirinya sendiri, tidak ada yang akan berubah. Contoh:

Dan ekspresi 0 0 tidak masuk akal. Tetapi di beberapa cabang matematika, khususnya analisis dan teori himpunan, ungkapan 0 0 bisa masuk akal.

Untuk pelatihan, kami akan memecahkan beberapa contoh menaikkan angka ke pangkat.

Contoh 1 Naikkan angka 3 ke pangkat kedua.

Angka 3 pangkat dua adalah hasil kali dua faktor yang masing-masing sama dengan 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Contoh 2 Naikkan angka 2 ke pangkat keempat.

Angka 2 pangkat empat adalah hasil kali empat faktor yang masing-masing sama dengan 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Contoh 3 Naikkan angka 2 ke pangkat tiga.

Angka 2 pangkat tiga adalah hasil kali tiga faktor yang masing-masing sama dengan 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Eksponen dari bilangan 10

Untuk menaikkan angka 10 menjadi pangkat, cukup dengan menambahkan jumlah nol setelah unit, sama dengan eksponen.

Sebagai contoh, mari kita naikkan angka 10 ke pangkat dua. Pertama, kami menulis angka 10 itu sendiri dan menunjukkan angka 2 sebagai indikator

10 2

Sekarang kita beri tanda sama dengan, tulis satu dan setelah ini kita tulis dua nol, karena jumlah nol harus sama dengan eksponen

10 2 = 100

Jadi bilangan 10 pangkat dua adalah bilangan 100. Hal ini dikarenakan bilangan 10 pangkat dua merupakan perkalian dua faktor yang masing-masing sama dengan 10

10 2 = 10 × 10 = 100

Contoh 2. Mari kita naikkan angka 10 ke pangkat ketiga.

Dalam hal ini, akan ada tiga nol setelah satu:

10 3 = 1000

Contoh 3. Mari kita naikkan angka 10 ke pangkat keempat.

Dalam hal ini, akan ada empat nol setelah satu:

10 4 = 10000

Contoh 4. Mari kita naikkan angka 10 ke pangkat pertama.

Dalam hal ini, akan ada satu nol setelah satu:

10 1 = 10

Mewakili angka 10, 100, 1000 sebagai kekuatan dengan basis 10

Untuk menyatakan angka 10, 100, 1000, dan 10000 sebagai pangkat dengan basis 10, Anda perlu menulis basis 10, dan menentukan angka yang sama dengan jumlah nol pada bilangan asli sebagai eksponen.

Mari kita nyatakan angka 10 sebagai kekuatan dengan basis 10. Kita melihat bahwa angka itu memiliki satu nol. Jadi angka 10 sebagai pangkat dengan basis 10 akan direpresentasikan sebagai 10 1

10 = 10 1

Contoh 2. Mari kita nyatakan angka 100 sebagai pangkat dengan basis 10. Kita melihat bahwa angka 100 berisi dua nol. Jadi angka 100 sebagai pangkat dengan basis 10 akan direpresentasikan sebagai 10 2

100 = 10 2

Contoh 3. Mari kita nyatakan angka 1000 sebagai kekuatan dengan basis 10.

1 000 = 10 3

Contoh 4. Mari kita nyatakan angka 10.000 sebagai kekuatan dengan basis 10.

10 000 = 10 4

Eksponen dari bilangan negatif

Saat menaikkan angka negatif ke pangkat, itu harus diapit dalam tanda kurung.

Sebagai contoh, mari kita naikkan bilangan negatif 2 ke pangkat dua. Bilangan 2 pangkat dua adalah hasil kali dua faktor yang masing-masing sama dengan (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Jika kita tidak mengkurung angka -2 , maka ternyata kita menghitung ekspresi -2 2 , yang tidak sama 4 . Ekspresi -2² akan sama dengan -4 . Untuk memahami alasannya, mari kita sentuh beberapa poin.

Ketika kita menempatkan minus di depan angka positif, dengan demikian kita melakukan operasi mengambil nilai yang berlawanan.

Katakanlah nomor 2 diberikan, dan Anda perlu menemukan nomor lawannya. Kita tahu bahwa lawan dari 2 adalah 2. Dengan kata lain, untuk menemukan angka kebalikan dari 2, cukup dengan memberi tanda minus di depan angka ini. Memasukkan minus di depan angka sudah dianggap sebagai operasi penuh dalam matematika. Operasi ini, seperti disebutkan di atas, disebut operasi mengambil nilai yang berlawanan.

Dalam kasus ekspresi -2 2, dua operasi terjadi: operasi mengambil nilai yang berlawanan dan eksponensial. Menaikkan pangkat adalah operasi dengan prioritas lebih tinggi daripada mengambil nilai yang berlawanan.

Oleh karena itu, ekspresi 2 2 dihitung dalam dua langkah. Pertama, operasi eksponensial dilakukan. Dalam hal ini, angka positif 2 dinaikkan ke pangkat kedua.

Kemudian diambil nilai sebaliknya. Nilai kebalikan ini ditemukan untuk nilai 4. Dan nilai kebalikan untuk 4 adalah 4

−2 2 = −4

Tanda kurung memiliki prioritas eksekusi tertinggi. Oleh karena itu, dalam kasus menghitung ekspresi (−2) 2, nilai kebalikannya diambil terlebih dahulu, dan kemudian angka negatif 2 dinaikkan ke pangkat kedua. Hasilnya adalah jawaban positif dari 4, karena produk dari bilangan negatif adalah bilangan positif.

Contoh 2. Naikkan angka 2 ke pangkat tiga.

Bilangan 2 pangkat tiga adalah hasil kali tiga faktor, yang masing-masing sama dengan (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = 8

Contoh 3. Naikkan angka 2 ke pangkat keempat.

Bilangan 2 pangkat empat adalah hasil kali empat faktor, yang masing-masing sama dengan (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika menaikkan angka negatif ke pangkat, jawaban positif atau negatif dapat diperoleh. Tanda jawaban tergantung pada pangkat dari derajat awal.

Jika eksponennya genap, maka jawabannya adalah ya. Jika eksponennya ganjil, jawabannya negatif. Mari kita tunjukkan ini pada contoh nomor 3

Dalam kasus pertama dan ketiga, indikatornya adalah aneh nomor, jadi jawabannya menjadi negatif.

Dalam kasus kedua dan keempat, indikatornya adalah bahkan nomor, jadi jawabannya menjadi positif.

Contoh 7 Naikkan angka -5 ke pangkat ketiga.

Angka -5 pangkat tiga adalah hasil kali tiga faktor yang masing-masing sama dengan -5. Eksponen 3 adalah bilangan ganjil, jadi kita dapat mengatakan sebelumnya bahwa jawabannya adalah negatif:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = 125

Contoh 8 Naikkan angka -4 ke pangkat keempat.

Angka -4 pangkat empat adalah hasil kali dari empat faktor yang masing-masing sama dengan -4. Dalam hal ini, indikator 4 adalah genap, sehingga kita dapat mengatakan sebelumnya bahwa jawabannya akan positif:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Menemukan Nilai Ekspresi

Ketika menemukan nilai ekspresi yang tidak mengandung tanda kurung, eksponensial akan dilakukan terlebih dahulu, kemudian perkalian dan pembagian dalam urutannya, dan kemudian penambahan dan pengurangan dalam urutannya.

Contoh 1. Tentukan nilai dari ekspresi 2 + 5 2

Pertama, eksponensial dilakukan. Dalam hal ini, angka 5 dinaikkan ke pangkat kedua - ternyata 25. Kemudian hasil ini ditambahkan ke angka 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Contoh 10. Tentukan nilai dari ekspresi 6 2 × (−12)

Pertama, eksponensial dilakukan. Perhatikan bahwa angka 6 tidak ada dalam kurung, jadi angka 6 akan dipangkatkan kedua, kemudian minus akan ditempatkan di depan hasil:

6 2 × (−12) = 36 × (−12)

Kami melengkapi contoh dengan mengalikan 36 dengan (−12)

6 2 × (−12) = 36 × (−12) = 432

Contoh 11. Tentukan nilai dari ekspresi 3 × 2 2

Pertama, eksponensial dilakukan. Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka 3

3 × 2 2 = 3 × 4 = 12

Jika ekspresi berisi tanda kurung, maka pertama-tama Anda perlu melakukan operasi dalam tanda kurung ini, lalu eksponensial, lalu perkalian dan pembagian, lalu penambahan dan pengurangan.

Contoh 12. Temukan nilai dari ekspresi (3 2 + 1 × 3) 15 + 5

Mari kita lakukan tanda kurung terlebih dahulu. Di dalam kurung, kita menerapkan aturan yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu, pertama-tama naikkan angka 3 ke pangkat kedua, lalu lakukan perkalian 1 × 3, lalu jumlahkan hasil kenaikan angka 3 ke pangkat dan kalikan 1 × 3. Kemudian pengurangan dan penambahan dilakukan sesuai urutan kemunculannya. Mari kita atur urutan berikut untuk melakukan tindakan pada ekspresi asli:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Contoh 13. Tentukan nilai dari ekspresi 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Pertama, kami menaikkan angka menjadi kekuatan, lalu kami melakukan perkalian dan menambahkan hasilnya:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Transformasi identitas kekuatan

Berbagai transformasi identik dapat dilakukan pada kekuatan, sehingga menyederhanakannya.

Misalkan diperlukan untuk menghitung ekspresi (2 3) 2 . Dalam contoh ini, pangkat dua pangkat tiga dinaikkan menjadi pangkat dua. Dengan kata lain, gelar dinaikkan ke derajat lain.

(2 3) 2 adalah produk dari dua kekuatan, yang masing-masing sama dengan 2 3

Selain itu, masing-masing kekuatan ini adalah produk dari tiga faktor, yang masing-masing sama dengan 2

Kami mendapat produk 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , yang sama dengan 64. Jadi nilai dari ekspresi (2 3) 2 atau sama dengan 64

Contoh ini dapat sangat disederhanakan. Untuk ini, indikator ekspresi (2 3) 2 dapat dikalikan dan produk ini dapat ditulis di atas basis 2

Dapat 2 6 . Dua pangkat enam adalah produk dari enam faktor, yang masing-masing sama dengan 2. Produk ini sama dengan 64

Properti ini bekerja karena 2 3 adalah produk dari 2 × 2 × 2 , yang pada gilirannya diulang dua kali. Kemudian ternyata basis 2 diulang sebanyak enam kali. Dari sini kita dapat menulis bahwa 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 adalah 2 6

Secara umum, untuk alasan apa pun sebuah dengan indikator m dan n, persamaan berikut berlaku:

(sebuah)m = a n × m

Transformasi identik ini disebut eksponensial. Bisa dibaca seperti ini: "Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis dibiarkan tidak berubah, dan eksponennya dikalikan" .

Setelah mengalikan indikator, Anda mendapatkan gelar lain, yang nilainya dapat ditemukan.

Contoh 2. Temukan nilai dari ekspresi (3 2) 2

Dalam contoh ini, basisnya adalah 3, dan angka 2 dan 2 adalah eksponennya. Mari kita gunakan aturan eksponensial. Kami membiarkan basis tidak berubah, dan mengalikan indikatornya:

Punya 3 4 . Dan angka 3 pangkat empat adalah 81

Mari kita lihat transformasi lainnya.

Perkalian daya

Untuk mengalikan derajat, Anda perlu menghitung setiap derajat secara terpisah, dan mengalikan hasilnya.

Misalnya, kalikan 2 2 dengan 3 3 .

2 2 adalah angka 4 dan 3 3 adalah angka 27 . Kami mengalikan angka 4 dan 27, kami mendapatkan 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Dalam contoh ini, basis kekuatannya berbeda. Jika basisnya sama, maka satu basis dapat ditulis, dan sebagai indikator, tulis jumlah indikator dari derajat awal.

Misalnya, kalikan 2 2 dengan 2 3

Dalam contoh ini, eksponen memiliki basis yang sama. Dalam hal ini, Anda dapat menulis satu basis 2 dan menulis jumlah pangkat 2 2 dan 2 3 sebagai indikator. Dengan kata lain, biarkan basis tidak berubah, dan tambahkan eksponen dari derajat aslinya. Ini akan terlihat seperti ini:

Punya 2 5 . Angka 2 pangkat lima adalah 32

Sifat ini bekerja karena 2 2 adalah hasil kali 2 × 2 dan 2 3 adalah hasil kali 2 × 2 × 2 . Kemudian produk dari lima faktor yang identik diperoleh, yang masing-masing sama dengan 2. Produk ini dapat direpresentasikan sebagai 2 5

Secara umum, untuk setiap sebuah dan indikator m dan n persamaan berikut berlaku:

Transformasi identik ini disebut properti utama dari gelar. Bisa dibaca seperti ini: PSaat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis dibiarkan tidak berubah, dan eksponen ditambahkan. .

Perhatikan bahwa transformasi ini dapat diterapkan ke sejumlah derajat. Yang utama adalah basisnya sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi 2 1 × 2 2 × 2 3 . Yayasan 2

Dalam beberapa masalah, mungkin cukup untuk melakukan transformasi yang sesuai tanpa menghitung derajat akhir. Ini tentu saja sangat nyaman, karena tidak mudah untuk menghitung kekuatan besar.

Contoh 1. Ekspresikan sebagai kekuatan ekspresi 5 8 × 25

Dalam masalah ini, Anda harus membuatnya sehingga alih-alih ekspresi 5 8 × 25, diperoleh satu derajat.

Angka 25 dapat direpresentasikan sebagai 5 2 . Kemudian kita mendapatkan ekspresi berikut:

Dalam ekspresi ini, Anda dapat menerapkan properti utama derajat - biarkan basis 5 tidak berubah, dan tambahkan indikator 8 dan 2:

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

Contoh 2. Ekspresikan sebagai kekuatan ekspresi 2 9 × 32

Angka 32 dapat direpresentasikan sebagai 2 5 . Kemudian kita mendapatkan ekspresi 2 9 × 2 5 . Selanjutnya, Anda dapat menerapkan properti dasar derajat - biarkan basis 2 tidak berubah, dan tambahkan indikator 9 dan 5. Ini akan menghasilkan solusi berikut:

Contoh 3. Hitung produk 3 × 3 menggunakan properti daya dasar.

Semua orang sangat menyadari bahwa tiga kali tiga sama dengan sembilan, tetapi tugas tersebut membutuhkan penggunaan properti utama derajat dalam proses penyelesaian. Bagaimana cara melakukannya?

Kita ingat bahwa jika suatu angka diberikan tanpa indikator, maka indikator tersebut harus dianggap sama dengan satu. Jadi faktor 3 dan 3 dapat ditulis sebagai 3 1 dan 3 1

3 1 × 3 1

Sekarang kita menggunakan properti utama dari derajat. Kami membiarkan basis 3 tidak berubah, dan menambahkan indikator 1 dan 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Contoh 4. Hitung produk 2 × 2 × 3 2 × 3 3 menggunakan properti daya dasar.

Kami mengganti produk 2 × 2 dengan 2 1 × 2 1 , kemudian dengan 2 1 + 1 , dan kemudian dengan 2 2 . Produk dari 3 2 × 3 3 diganti dengan 3 2 + 3 dan kemudian dengan 3 5

Contoh 5. Lakukan perkalian x × x

Ini adalah dua faktor alfabet yang identik dengan indikator 1. Untuk kejelasan, kami menuliskan indikator ini. Basis lebih lanjut x biarkan tidak berubah, dan tambahkan indikatornya:

Berada di papan tulis, seseorang tidak boleh menuliskan perkalian kekuatan dengan basis yang sama dengan detail seperti yang dilakukan di sini. Perhitungan seperti itu harus dilakukan dalam pikiran. Entri terperinci kemungkinan besar akan mengganggu guru dan dia akan menurunkan nilai untuk ini. Di sini, catatan rinci diberikan sehingga materi dapat diakses semudah mungkin untuk dipahami.

Solusi untuk contoh ini harus ditulis seperti ini:

Contoh 6. Lakukan perkalian x 2 × x

Indeks faktor kedua sama dengan satu. Mari kita tuliskan untuk kejelasan. Selanjutnya, kami membiarkan basis tidak berubah, dan menambahkan indikator:

Contoh 7. Lakukan perkalian kamu 3 kamu 2 kamu

Indeks faktor ketiga sama dengan satu. Mari kita tuliskan untuk kejelasan. Selanjutnya, kami membiarkan basis tidak berubah, dan menambahkan indikator:

Contoh 8. Lakukan perkalian aa 3 a 2 a 5

Indeks faktor pertama sama dengan satu. Mari kita tuliskan untuk kejelasan. Selanjutnya, kami membiarkan basis tidak berubah, dan menambahkan indikator:

Contoh 9. Nyatakan pangkat 3 8 sebagai hasil kali pangkat dengan alas yang sama.

Dalam masalah ini, Anda perlu membuat produk dari kekuatan, yang basisnya akan sama dengan 3, dan jumlah eksponennya akan sama dengan 8. Anda dapat menggunakan indikator apa pun. Kami mewakili derajat 3 8 sebagai produk dari kekuatan 3 5 dan 3 3

Dalam contoh ini, kami kembali mengandalkan properti utama derajat. Bagaimanapun, ekspresi 3 5 × 3 3 dapat ditulis sebagai 3 5 + 3, dari mana 3 8 .

Tentu saja, itu mungkin untuk mewakili kekuatan 3 8 sebagai produk dari kekuatan lain. Misalnya, dalam bentuk 3 7 × 3 1 , karena produk ini juga 3 8

Mewakili gelar sebagai produk kekuatan dengan basis yang sama sebagian besar merupakan karya kreatif. Jadi jangan takut untuk bereksperimen.

Contoh 10. Kirim Gelar x 12 sebagai berbagai produk kekuatan dengan basis x .

Mari kita gunakan properti utama dari derajat. Membayangkan x 12 sebagai produk dengan basis x, dan jumlah eksponennya sama dengan 12

Konstruksi dengan jumlah indikator dicatat untuk kejelasan. Sebagian besar waktu mereka dapat dilewati. Kemudian kami mendapatkan solusi kompak:

Eksponen dari produk

Untuk menaikkan produk ke kekuatan, Anda perlu menaikkan setiap faktor dari produk ini ke kekuatan yang ditunjukkan dan mengalikan hasilnya.

Misalnya, mari kita naikkan produk 2 × 3 ke pangkat kedua. Kami mengambil produk ini dalam tanda kurung dan menunjukkan 2 sebagai indikator

Sekarang mari kita naikkan setiap faktor dari produk 2 × 3 ke pangkat kedua dan kalikan hasilnya:

Prinsip operasi aturan ini didasarkan pada definisi derajat, yang diberikan di awal.

Menaikkan produk 2 × 3 ke pangkat kedua berarti mengulangi produk ini dua kali. Dan jika Anda mengulanginya dua kali, Anda bisa mendapatkan yang berikut:

2×3×2×3

Dari permutasi tempat faktor, produk tidak berubah. Ini memungkinkan Anda untuk mengelompokkan pengganda yang sama:

2×2×3×3

Pengganda berulang dapat diganti dengan entri pendek - basis dengan eksponen. Produk 2 × 2 dapat diganti dengan 2 2 , dan produk 3 × 3 dapat diganti dengan 3 2 . Kemudian ekspresi 2 × 2 × 3 × 3 berubah menjadi ekspresi 2 2 × 3 2 .

Biarlah ab karya asli. Untuk meningkatkan produk ini ke kekuasaan n, Anda perlu menaikkan faktor secara terpisah sebuah dan b sampai derajat yang ditentukan n

Properti ini berlaku untuk sejumlah faktor. Ekspresi berikut juga valid:

Contoh 2. Temukan nilai dari ekspresi (2 × 3 × 4) 2

Dalam contoh ini, Anda perlu menaikkan produk 2 × 3 × 4 ke pangkat kedua. Untuk melakukan ini, Anda perlu menaikkan setiap faktor dari produk ini ke pangkat kedua dan mengalikan hasilnya:

Contoh 3. Naikkan produk ke kekuatan ketiga a×b×c

Kami melampirkan produk ini dalam tanda kurung, dan menunjukkan angka 3 sebagai indikator

Contoh 4. Naikkan produk ke kekuatan ketiga 3 xyz

Kami melampirkan produk ini dalam tanda kurung, dan menunjukkan 3 sebagai indikator

(3xyz) 3

Mari kita naikkan setiap faktor dari produk ini ke pangkat ketiga:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 kamu 3 z 3

Angka 3 pangkat tiga sama dengan angka 27. Kami membiarkan sisanya tidak berubah:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 kamu 3 z 3 = 27x 3 kamu 3 z 3

Dalam beberapa contoh, perkalian pangkat dengan eksponen yang sama dapat digantikan oleh produk dari basis dengan eksponen yang sama.

Misalnya, mari kita hitung nilai ekspresi 5 2 × 3 2 . Naikkan setiap angka ke pangkat kedua dan kalikan hasilnya:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Tetapi Anda tidak dapat menghitung setiap derajat secara terpisah. Sebagai gantinya, hasil kali pangkat ini dapat diganti dengan produk dengan satu eksponen (5 × 3) 2 . Selanjutnya, hitung nilai dalam tanda kurung dan naikkan hasilnya ke pangkat kedua:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Dalam hal ini, aturan eksponensial produk kembali digunakan. Lagi pula, jika (a x b)n = a n × b n , kemudian a n × b n = (a × b) n. Artinya, ruas kiri dan kanan persamaan dibalik.

Eksponen

Kami menganggap transformasi ini sebagai contoh ketika kami mencoba memahami esensi dari transformasi derajat yang identik.

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis dibiarkan tidak berubah, dan eksponen dikalikan:

(sebuah)m = a n × m

Misalnya, ekspresi (2 3) 2 menaikkan pangkat ke pangkat - pangkat dua pangkat tiga dinaikkan pangkat dua. Untuk menemukan nilai dari ekspresi ini, basis dapat dibiarkan tidak berubah, dan eksponen dapat dikalikan:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Aturan ini didasarkan pada aturan sebelumnya: eksponensial produk dan properti dasar derajat.

Mari kembali ke ekspresi (2 3) 2 . Ekspresi dalam kurung 2 3 adalah produk dari tiga faktor identik, yang masing-masing sama dengan 2. Kemudian dalam ekspresi (2 3) 2 pangkat di dalam kurung dapat diganti dengan produk 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

Dan ini adalah eksponensial dari produk yang kita pelajari sebelumnya. Ingatlah bahwa untuk menaikkan produk ke kekuatan, Anda perlu menaikkan setiap faktor dari produk ini ke kekuatan yang ditentukan dan mengalikan hasilnya:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Sekarang kita berurusan dengan properti utama dari gelar. Kami membiarkan pangkalan tidak berubah, dan menambahkan indikator:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Seperti sebelumnya, kami mendapat 2 6 . Nilai gelar ini adalah 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Sebuah produk yang faktor-faktornya juga merupakan kekuatan juga dapat dipangkatkan.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi (2 2 × 3 2) 3 . Di sini, indikator dari setiap pengali harus dikalikan dengan total indikator 3. Selanjutnya, cari nilai setiap derajat dan hitung hasil kali:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Kira-kira hal yang sama terjadi ketika menaikkan kekuatan suatu produk. Kami mengatakan bahwa ketika menaikkan produk ke kekuatan, setiap faktor dari produk ini dinaikkan ke kekuatan yang ditunjukkan.

Misalnya, untuk menaikkan produk 2 × 4 ke pangkat ketiga, Anda perlu menulis ekspresi berikut:

Tetapi sebelumnya dikatakan bahwa jika suatu angka diberikan tanpa indikator, maka indikator tersebut harus dianggap sama dengan satu. Ternyata faktor dari produk 2 × 4 awalnya memiliki eksponen sama dengan 1. Ini berarti bahwa ekspresi 2 1 × 4 1 ​​dipangkatkan ketiga. Dan ini adalah peningkatan derajat ke kekuasaan.

Mari kita tulis ulang solusinya menggunakan aturan eksponensial. Kita harus mendapatkan hasil yang sama:

Contoh 2. Temukan nilai dari ekspresi (3 3) 2

Kami membiarkan basis tidak berubah, dan mengalikan indikatornya:

Dapat 3 6 . Angka 3 pangkat enam adalah angka 729

Contoh 3xy)³

Contoh 4. Lakukan eksponensial dalam ekspresi ( abc)⁵

Mari kita naikkan setiap faktor hasil kali ke pangkat kelima:

Contoh 5kapak) 3

Mari kita naikkan setiap faktor hasil kali ke pangkat ketiga:

Karena angka negatif 2 dipangkatkan ke tiga, maka diambil dalam tanda kurung.

Contoh 6. Lakukan eksponensial dalam ekspresi (10 xy) 2

Contoh 7. Lakukan eksponensial dalam ekspresi (−5 x) 3

Contoh 8. Lakukan eksponensial dalam ekspresi (−3 kamu) 4

Contoh 9. Lakukan eksponensial dalam ekspresi (−2 abx)⁴

Contoh 10. Sederhanakan ekspresi x 5×( x 2) 3

Derajat x 5 akan tetap tidak berubah untuk saat ini, dan dalam ekspresi ( x 2) 3 melakukan eksponensial ke kekuatan:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6

Sekarang mari kita lakukan perkalian x 5 × x 6. Untuk melakukan ini, kami menggunakan properti utama derajat - basis x biarkan tidak berubah, dan tambahkan indikatornya:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Contoh 9. Temukan nilai dari ekspresi 4 3 × 2 2 menggunakan sifat dasar derajat.

Properti utama derajat dapat digunakan jika basis derajat awal adalah sama. Dalam contoh ini, basisnya berbeda, oleh karena itu, untuk memulai, ekspresi aslinya perlu sedikit diubah, yaitu agar basis derajat menjadi sama.

Mari kita lihat lebih dekat kekuatan 4 3 . Basis derajat ini adalah angka 4, yang dapat direpresentasikan sebagai 2 2 . Maka ekspresi aslinya akan berbentuk (2 2) 3 × 2 2 . Dengan mengeksponenkan ke pangkat dalam ekspresi (2 2) 3 , kita mendapatkan 2 6 . Kemudian ekspresi aslinya akan berbentuk 2 6 × 2 2 , yang dapat dihitung menggunakan properti utama derajat.

Mari kita tulis solusi dari contoh ini:

Pembagian kekuasaan

Untuk melakukan pembagian daya, Anda perlu mencari nilai dari setiap pangkat, kemudian melakukan pembagian bilangan biasa.

Sebagai contoh, mari kita bagi 4 3 dengan 2 2 .

Hitung 4 3 , kita dapatkan 64 . Kami menghitung 2 2 , kami mendapatkan 4. Sekarang kami membagi 64 dengan 4, kami mendapatkan 16

Jika, ketika membagi derajat basis, ternyata sama, maka basis dapat dibiarkan tidak berubah, dan eksponen pembagi dapat dikurangkan dari eksponen dividen.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi 2 3: 2 2

Kami membiarkan basis 2 tidak berubah, dan mengurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen:

Jadi nilai dari ekspresi 2 3: 2 2 adalah 2 .

Properti ini didasarkan pada perkalian kekuatan dengan basis yang sama, atau, seperti yang biasa kita katakan, pada properti utama derajat.

Mari kita kembali ke contoh sebelumnya 2 3: 2 2 . Di sini dividennya adalah 2 3 dan pembaginya adalah 2 2 .

Untuk membagi satu angka dengan cara lain untuk menemukan angka yang, ketika dikalikan dengan pembagi, akan memberikan dividen sebagai hasilnya.

Dalam kasus kami, membagi 2 3 dengan 2 2 berarti menemukan kekuatan yang, jika dikalikan dengan pembagi 2 2, akan menghasilkan 2 3 . Berapa daya yang dapat dikalikan dengan 2 2 untuk mendapatkan 2 3? Jelas, hanya gelar 2 1 . Dari properti utama gelar yang kami miliki:

Anda dapat memverifikasi bahwa nilai ekspresi 2 3: 2 2 adalah 2 1 dengan langsung mengevaluasi ekspresi 2 3: 2 2 . Untuk melakukan ini, pertama kita cari nilai derajat 2 3 , kita dapatkan 8 . Kemudian kita cari nilai derajat 2 2 , kita peroleh 4 . Bagi 8 dengan 4, kita mendapatkan 2 atau 2 1 , karena 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Jadi, ketika membagi kekuasaan dengan basis yang sama, persamaan berikut berlaku:

Mungkin juga tidak hanya basisnya, tetapi juga indikatornya mungkin sama. Dalam hal ini, jawabannya adalah satu.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi 2 2: 2 2 . Mari kita hitung nilai setiap derajat dan lakukan pembagian angka yang dihasilkan:

Saat memecahkan contoh 2 2: 2 2, Anda juga dapat menerapkan aturan untuk membagi derajat dengan basis yang sama. Hasilnya adalah angka pangkat nol, karena perbedaan antara eksponen 2 2 dan 2 2 adalah nol:

Mengapa angka 2 hingga nol derajat sama dengan satu, kami temukan di atas. Jika Anda menghitung 2 2: 2 2 dengan cara biasa, tanpa menggunakan aturan pembagian derajat, Anda mendapatkan satu.

Contoh 2. Temukan nilai dari ekspresi 4 12: 4 10

Kami membiarkan 4 tidak berubah, dan mengurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Contoh 3. Kirim pribadi x 3: x sebagai gelar dengan basis x

Mari kita gunakan aturan pembagian kekuasaan. Basis x biarkan tidak berubah, dan kurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen. Eksponen pembagi sama dengan satu. Agar lebih jelas, mari kita tuliskan:

Contoh 4. Kirim pribadi x 3: x 2 sebagai kekuatan dengan basis x

Mari kita gunakan aturan pembagian kekuasaan. Basis x

Pembagian derajat dapat ditulis dalam bentuk pecahan. Jadi, contoh sebelumnya dapat ditulis sebagai berikut:

Pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat ditulis dalam bentuk diperluas, yaitu dalam bentuk perkalian faktor-faktor yang identik. Derajat x 3 dapat ditulis sebagai x × x × x, dan derajat x 2 sebagai x × x. Kemudian konstruksi x 3 2 dapat dilewati dan menggunakan pengurangan pecahan. Dalam pembilang dan penyebut, masing-masing dua faktor dapat dikurangi x. Hasilnya akan menjadi satu pengganda x

Atau bahkan lebih pendek:

Juga, berguna untuk dapat dengan cepat mengurangi pecahan yang terdiri dari kekuatan. Misalnya, pecahan dapat direduksi menjadi x 2. Untuk mengurangi pecahan dengan x 2 Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan x 2

Pembagian derajat tidak dapat dijelaskan secara rinci. Singkatan di atas dapat dipersingkat:

Atau bahkan lebih pendek:

Contoh 5. Jalankan divisi x 12 : x 3

Mari kita gunakan aturan pembagian kekuasaan. Basis x biarkan tidak berubah, dan kurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen:

Kami menulis solusi menggunakan pengurangan pecahan. Pembagian kekuasaan x 12 : x 3 akan ditulis sebagai . Selanjutnya, kita kurangi pecahan ini dengan x 3 .

Contoh 6. Temukan nilai ekspresi

Di pembilang, kami melakukan perkalian kekuatan dengan basis yang sama:

Sekarang kami menerapkan aturan untuk membagi kekuatan dengan basis yang sama. Kami membiarkan basis 7 tidak berubah, dan mengurangi eksponen pembagi dari eksponen dividen:

Kami melengkapi contoh dengan menghitung kekuatan 7 2

Contoh 7. Temukan nilai ekspresi

Mari kita lakukan eksponensial di pembilang. Anda perlu melakukan ini dengan ekspresi (2 3) 4

Sekarang mari kita lakukan perkalian pangkat dengan basis yang sama pada pembilangnya.

Konsep gelar dalam matematika diperkenalkan sejak kelas 7 dalam pelajaran aljabar. Dan di masa depan, selama pembelajaran matematika, konsep ini digunakan secara aktif dalam berbagai bentuknya. Gelar adalah topik yang agak sulit, membutuhkan penghafalan nilai dan kemampuan menghitung dengan benar dan cepat. Untuk pekerjaan yang lebih cepat dan lebih baik dengan gelar matematika, mereka datang dengan sifat-sifat gelar. Mereka membantu mengurangi perhitungan besar, mengubah contoh besar menjadi satu angka hingga tingkat tertentu. Tidak begitu banyak properti, dan semuanya mudah diingat dan diterapkan dalam praktik. Oleh karena itu, artikel ini membahas sifat-sifat utama derajat, serta di mana mereka diterapkan.

sifat derajat

Kami akan mempertimbangkan 12 sifat derajat, termasuk sifat pangkat dengan basis yang sama, dan memberikan contoh untuk setiap sifat. Masing-masing properti ini akan membantu Anda memecahkan masalah dengan derajat lebih cepat, serta menyelamatkan Anda dari berbagai kesalahan komputasi.

properti pertama.

Banyak orang sangat sering melupakan properti ini, membuat kesalahan, mewakili angka ke nol derajat sebagai nol.

properti ke-2.

properti ke-3.

Harus diingat bahwa properti ini hanya dapat digunakan saat mengalikan angka, tidak bekerja dengan jumlah! Dan kita tidak boleh lupa bahwa properti ini dan berikut ini hanya berlaku untuk pangkat dengan basis yang sama.

properti ke-4.

Jika angka dalam penyebut dinaikkan ke pangkat negatif, maka saat mengurangkan, derajat penyebut diambil dalam tanda kurung untuk menggantikan tanda dengan benar dalam perhitungan lebih lanjut.

Properti hanya berfungsi saat membagi, bukan saat mengurangkan!

properti ke-5.

properti ke-6.

Properti ini juga dapat diterapkan secara terbalik. Satuan yang dibagi dengan suatu bilangan sampai derajat tertentu adalah bilangan tersebut dengan pangkat negatif.

properti ke-7.

Properti ini tidak dapat diterapkan pada penjumlahan dan perbedaan! Saat menaikkan jumlah atau perbedaan ke pangkat, rumus perkalian yang disingkat digunakan, bukan properti dari pangkat.

properti ke-8.

properti ke-9.

Properti ini bekerja untuk setiap derajat pecahan dengan pembilang sama dengan satu, rumusnya akan sama, hanya derajat akar yang akan berubah tergantung pada penyebut derajat.

Juga, properti ini sering digunakan dalam urutan terbalik. Akar dari pangkat apa pun dari suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai bilangan itu dengan pangkat satu dibagi dengan pangkat dari akarnya. Properti ini sangat berguna dalam kasus di mana akar angka tidak diekstraksi.

properti ke-10.

Properti ini bekerja tidak hanya dengan akar kuadrat dan derajat kedua. Jika derajat akar dan derajat di mana akar ini dimunculkan adalah sama, maka jawabannya adalah ekspresi radikal.

properti ke-11.

Anda harus dapat melihat properti ini tepat waktu saat menyelesaikannya untuk menyelamatkan diri dari perhitungan besar.

properti ke-12.

Masing-masing properti ini akan menemui Anda lebih dari sekali dalam tugas, dapat diberikan dalam bentuk murni, atau mungkin memerlukan beberapa transformasi dan penggunaan rumus lain. Oleh karena itu, untuk solusi yang benar, tidak cukup hanya mengetahui sifat-sifatnya, Anda perlu berlatih dan menghubungkan pengetahuan matematika lainnya.

Penerapan derajat dan sifat-sifatnya

Mereka secara aktif digunakan dalam aljabar dan geometri. Gelar dalam matematika memiliki tempat yang terpisah dan penting. Dengan bantuan mereka, persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial diselesaikan, serta kekuatan sering memperumit persamaan dan contoh yang terkait dengan bagian matematika lainnya. Eksponen membantu menghindari perhitungan besar dan panjang, lebih mudah untuk mengurangi dan menghitung eksponen. Tetapi untuk bekerja dengan kekuatan besar, atau dengan kekuatan jumlah besar, Anda perlu mengetahui tidak hanya sifat-sifat derajat, tetapi juga bekerja dengan basis secara kompeten, dapat menguraikannya untuk membuat tugas Anda lebih mudah. Untuk kenyamanan, Anda juga harus mengetahui arti angka yang dipangkatkan. Ini akan mengurangi waktu Anda dalam memecahkan dengan menghilangkan kebutuhan untuk perhitungan yang panjang.

Konsep derajat memainkan peran khusus dalam logaritma. Karena logaritma, pada dasarnya, adalah kekuatan angka.

Rumus perkalian yang disingkat adalah contoh lain dari penggunaan kekuatan. Mereka tidak dapat menggunakan sifat-sifat derajat, mereka diuraikan sesuai dengan aturan khusus, tetapi dalam setiap rumus perkalian yang disingkat selalu ada derajat.

Gelar juga digunakan secara aktif dalam fisika dan ilmu komputer. Semua terjemahan ke dalam sistem SI dibuat menggunakan derajat, dan di masa depan, ketika memecahkan masalah, sifat-sifat derajat diterapkan. Dalam ilmu komputer, kekuatan dua digunakan secara aktif, untuk kenyamanan menghitung dan menyederhanakan persepsi angka. Perhitungan lebih lanjut untuk konversi satuan pengukuran atau perhitungan masalah, seperti dalam fisika, terjadi dengan menggunakan sifat-sifat derajat.

Derajat juga sangat berguna dalam astronomi, di mana Anda jarang dapat menemukan penggunaan sifat-sifat derajat, tetapi derajat itu sendiri secara aktif digunakan untuk mempersingkat pencatatan berbagai besaran dan jarak.

Derajat juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari, saat menghitung luas, volume, jarak.

Dengan bantuan derajat, nilai yang sangat besar dan sangat kecil ditulis dalam bidang sains apa pun.

persamaan eksponensial dan pertidaksamaan

Sifat derajat menempati tempat khusus tepatnya dalam persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Tugas-tugas ini sangat umum, baik dalam kursus sekolah maupun dalam ujian. Semuanya diselesaikan dengan menerapkan sifat-sifat derajat. Yang tidak diketahui selalu dalam derajat itu sendiri, oleh karena itu, mengetahui semua properti, tidak akan sulit untuk menyelesaikan persamaan atau ketidaksetaraan seperti itu.

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas tentang apa itu monomial. Dalam materi ini, kami akan menganalisis bagaimana memecahkan contoh dan masalah di mana mereka digunakan. Di sini kita akan mempertimbangkan tindakan seperti pengurangan, penambahan, perkalian, pembagian monomial dan menaikkannya ke pangkat dengan eksponen alami. Kami akan menunjukkan bagaimana operasi tersebut didefinisikan, menunjukkan aturan dasar untuk implementasinya dan apa yang seharusnya menjadi hasilnya. Semua ketentuan teoritis, seperti biasa, akan diilustrasikan dengan contoh masalah dengan deskripsi solusi.

Paling mudah untuk bekerja dengan notasi standar monomial, oleh karena itu, kami menyajikan semua ekspresi yang akan digunakan dalam artikel dalam bentuk standar. Jika awalnya diatur berbeda, disarankan untuk terlebih dahulu membawanya ke bentuk yang diterima secara umum.

Aturan untuk menambah dan mengurangi monomial

Operasi paling sederhana yang dapat dilakukan dengan monomial adalah pengurangan dan penambahan. Dalam kasus umum, hasil dari tindakan ini akan menjadi polinomial (monomial dimungkinkan dalam beberapa kasus khusus).

Ketika kita menambah atau mengurangi monomial, pertama-tama kita tulis jumlah dan perbedaan yang sesuai dalam bentuk yang diterima secara umum, setelah itu kita sederhanakan ekspresi yang dihasilkan. Jika ada istilah yang mirip, harus diberikan, tanda kurung harus dibuka. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh.

Contoh 1

Kondisi: tambahkan monomial 3 · x dan 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Keputusan

Mari kita tuliskan jumlah ekspresi aslinya. Tambahkan tanda kurung dan beri tanda plus di antaranya. Kami akan mendapatkan yang berikut:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Ketika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ini adalah polinomial, ditulis dalam bentuk standar, yang akan menjadi hasil dari penambahan monomial ini.

Menjawab:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Jika kita memiliki tiga, empat atau lebih istilah yang diberikan, kita melakukan tindakan ini dengan cara yang sama.

Contoh 2

Kondisi: melakukan operasi yang diberikan dengan polinomial dalam urutan yang benar

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Keputusan

Mari kita mulai dengan membuka tanda kurung.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Kami melihat bahwa ekspresi yang dihasilkan dapat disederhanakan dengan mengurangi suku-suku serupa:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Kami memiliki polinomial, yang akan menjadi hasil dari tindakan ini.

Menjawab: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Pada prinsipnya, kita dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan dua monomial, dengan beberapa batasan, sehingga kita mendapatkan monomial. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengamati beberapa kondisi mengenai persyaratan dan pengurangan monomial. Kami akan menjelaskan bagaimana ini dilakukan dalam artikel terpisah.

Aturan untuk mengalikan monomial

Tindakan perkalian tidak memberlakukan batasan apa pun pada pengganda. Monomial yang akan dikalikan tidak boleh memenuhi persyaratan tambahan apa pun agar hasilnya menjadi monomial.

Untuk melakukan perkalian monomial, Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Rekam potongan dengan benar.
2. Perluas tanda kurung dalam ekspresi yang dihasilkan.
3. Kelompokkan, jika mungkin, faktor-faktor dengan variabel yang sama dan faktor numerik secara terpisah.
4. Lakukan tindakan yang diperlukan dengan angka dan terapkan properti perkalian kekuatan dengan basis yang sama ke faktor yang tersisa.

Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktik.

Contoh 3

Kondisi: kalikan monomialnya 2 · x 4 · y · z dan - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan komposisi pekerjaan.

Membuka tanda kurung di dalamnya dan kami mendapatkan yang berikut:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Yang harus kita lakukan adalah mengalikan angka dalam kurung pertama dan menerapkan properti daya ke kurung kedua. Hasilnya, kami mendapatkan yang berikut:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Menjawab: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Jika kita memiliki tiga atau lebih polinomial dalam kondisi, kita mengalikannya menggunakan algoritma yang sama persis. Kami akan mempertimbangkan masalah perkalian monomial secara lebih rinci dalam materi terpisah.

Aturan untuk menaikkan monomial menjadi kekuatan

Kita tahu bahwa produk dari sejumlah faktor identik disebut derajat dengan eksponen alami. Nomor mereka ditunjukkan oleh nomor dalam indeks. Menurut definisi ini, menaikkan monomial ke pangkat setara dengan mengalikan jumlah monomial identik yang ditunjukkan. Mari kita lihat bagaimana hal itu dilakukan.

Contoh 4

Kondisi: naikkan monomial 2 · a · b 4 menjadi pangkat 3 .

Keputusan

Kita dapat mengganti eksponensial dengan perkalian 3 monomial 2 · a · b 4 . Mari kita tulis dan dapatkan jawaban yang diinginkan:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = 8 a 3 b 12

Menjawab:(− 2 a b 4) 3 = 8 a 3 b 12 .

Tapi bagaimana ketika derajat memiliki eksponen besar? Merekam sejumlah besar pengganda tidak nyaman. Kemudian, untuk memecahkan masalah seperti itu, kita perlu menerapkan sifat-sifat derajat, yaitu sifat-sifat derajat hasil kali dan sifat-sifat derajat dalam derajat.

Mari kita selesaikan masalah yang kami kutip di atas dengan cara yang ditunjukkan.

Contoh 5

Kondisi: naikkan 2 · a · b 4 ke pangkat ketiga.

Keputusan

Mengetahui properti derajat dalam derajat, kita dapat melanjutkan ke ekspresi bentuk berikut:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Setelah itu, kita naikkan ke pangkat - 2 dan menerapkan properti eksponen:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = 8 a 3 b 4 3 = 8 a 3 b 12 .

Menjawab: 2 · a · b 4 = 8 · a 3 · b 12 .

Kami juga mendedikasikan artikel terpisah untuk meningkatkan monomial menjadi kekuasaan.

Aturan untuk membagi monomial

Tindakan terakhir dengan monomial yang akan kita analisis dalam materi ini adalah pembagian monomial dengan monomial. Akibatnya, kita harus mendapatkan pecahan rasional (aljabar) (dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk mendapatkan monomial). Mari kita perjelas bahwa pembagian dengan nol monomial tidak terdefinisi, karena pembagian dengan 0 tidak terdefinisi.

Untuk melakukan pembagian, kita perlu menulis monomial yang ditunjukkan dalam bentuk pecahan dan menguranginya, jika memungkinkan.

Contoh 6

Kondisi: bagi monomial 9 x 4 y 3 z 7 dengan 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan menulis monomial dalam bentuk pecahan.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Fraksi ini dapat dikurangi. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Menjawab:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Kondisi di mana, sebagai hasil dari pembagian monomial, kita mendapatkan monomial diberikan dalam artikel terpisah.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dalam tutorial video terakhir, kita mempelajari bahwa derajat suatu basa adalah ekspresi yang merupakan hasil kali dari basis dan dirinya sendiri, yang diambil dalam jumlah yang sama dengan eksponen. Mari kita pelajari beberapa sifat dan operasi paling penting dari kekuatan.

Misalnya, kalikan dua pangkat berbeda dengan basis yang sama:

Mari kita lihat bagian ini secara keseluruhan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Setelah menghitung nilai dari ekspresi ini, kita akan mendapatkan angka 32. Di sisi lain, seperti dapat dilihat dari contoh yang sama, 32 dapat direpresentasikan sebagai produk dari basis yang sama (dua), diambil 5 kali. Dan memang, jika Anda menghitung, maka:

Dengan demikian, dapat disimpulkan dengan aman bahwa:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Aturan ini berhasil untuk semua indikator dan alasan apa pun. Sifat perkalian derajat ini mengikuti aturan pelestarian makna ekspresi selama transformasi dalam produk. Untuk sembarang basis a, hasil kali dua ekspresi (a) x dan (a) y sama dengan a (x + y). Dengan kata lain, ketika menghasilkan ekspresi apa pun dengan basis yang sama, monomial akhir memiliki derajat total yang dibentuk dengan menambahkan derajat ekspresi pertama dan kedua.

Aturan yang disajikan juga berfungsi dengan baik saat mengalikan beberapa ekspresi. Syarat utamanya adalah bahwa basis untuk semua harus sama. Sebagai contoh:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Tidak mungkin untuk menambahkan derajat, dan memang untuk melakukan tindakan gabungan kekuatan apa pun dengan dua elemen ekspresi, jika basisnya berbeda.
Seperti yang ditunjukkan video kami, karena kesamaan proses perkalian dan pembagian, aturan untuk menambahkan kekuatan selama produk ditransfer dengan sempurna ke prosedur pembagian. Pertimbangkan contoh ini:

Mari kita buat transformasi suku demi suku dari ekspresi menjadi bentuk penuh dan kurangi elemen yang sama dalam pembagian dan pembagi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Hasil akhir dari contoh ini tidak begitu menarik, karena sudah dalam penyelesaiannya jelas bahwa nilai ekspresi sama dengan kuadrat dua. Dan itu adalah deuce yang diperoleh dengan mengurangi derajat ekspresi kedua dari derajat yang pertama.

Untuk menentukan tingkat hasil bagi, perlu untuk mengurangi tingkat pembagi dari tingkat pembagian. Aturan itu bekerja dengan dasar yang sama untuk semua nilainya dan untuk semua kekuatan alam. Dalam bentuk abstrak, kami memiliki:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definisi untuk derajat nol mengikuti aturan untuk membagi basis identik dengan kekuatan. Jelas, ekspresi berikut adalah:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Di sisi lain, jika kita membagi dengan cara yang lebih visual, kita mendapatkan:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Saat mengurangi semua elemen pecahan yang terlihat, ekspresi 1/1 selalu diperoleh, yaitu satu. Oleh karena itu, secara umum diterima bahwa basis apa pun yang dipangkatkan ke nol sama dengan satu:

Terlepas dari nilai a.

Namun, tidak masuk akal jika 0 (yang masih memberikan 0 untuk perkalian apa pun) entah bagaimana sama dengan satu, jadi ekspresi seperti (0) 0 (nol hingga nol derajat) sama sekali tidak masuk akal, dan untuk rumus (a) 0 = 1 tambahkan kondisi: "jika a tidak sama dengan 0".

Ayo lakukan latihan. Mari kita cari nilai dari ekspresi:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Karena basis sama di mana-mana dan sama dengan 34, nilai akhir akan memiliki basis yang sama dengan gelar (sesuai dengan aturan di atas):

Dengan kata lain:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Jawaban: Ekspresi sama dengan satu.