Pada artikel ini, kita akan membahas konsep perkalian silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menuliskan rumus untuk menemukan koordinat perkalian vektor, membuat daftar dan membenarkan propertinya. Setelah itu, kita akan memikirkan arti geometris dari perkalian silang dua vektor dan mempertimbangkan solusi dari berbagai contoh tipikal.

navigasi halaman.

Definisi produk vektor.

Sebelum memberikan definisi perkalian silang, mari kita bahas orientasi tiga vektor terurut dalam ruang tiga dimensi.

Mari tunda vektor dari satu titik. Bergantung pada arah vektornya, tripelnya bisa kanan atau kiri. Mari kita lihat dari ujung vektor bagaimana belokan terpendek dari vektor ke . Jika rotasi terpendek berlawanan arah jarum jam, maka tripel vektor disebut Kanan, jika tidak - kiri.

Sekarang mari kita ambil dua vektor non-collinear dan . Sisihkan vektor dan dari titik A. Mari kita buat beberapa vektor yang tegak lurus terhadap dan dan pada saat yang sama. Jelas, saat membuat vektor, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektor, rangkap tiga vektor bisa kanan atau kiri.

Jadi kami mendekati definisi produk vektor. Itu diberikan untuk dua vektor yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Definisi.

Produk vektor dari dua vektor dan , diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, disebut vektor sehingga

Perkalian silang vektor dan dinotasikan sebagai .

Koordinat perkalian vektor.

Sekarang kami memberikan definisi kedua dari produk vektor, yang memungkinkan kami menemukan koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi perkalian silang dua vektor Dan adalah vektor , di mana vektor koordinat.

Definisi ini memberi kita perkalian silang dalam bentuk koordinat.

Lebih mudah untuk merepresentasikan produk vektor sebagai penentu matriks persegi orde ketiga, baris pertama adalah orts, baris kedua berisi koordinat vektor, dan baris ketiga berisi koordinat vektor di sistem koordinat persegi panjang yang diberikan:

Jika kita memperluas determinan ini dengan elemen baris pertama, maka kita mendapatkan persamaan dari definisi perkalian vektor dalam koordinat (jika perlu, lihat artikel):

Perlu dicatat bahwa bentuk koordinat perkalian silang sepenuhnya konsisten dengan definisi yang diberikan pada paragraf pertama artikel ini. Selain itu, kedua definisi produk silang ini setara. Bukti dari fakta ini dapat ditemukan dalam buku yang tertera di akhir artikel.

Properti produk vektor.

Karena perkalian vektor dalam koordinat dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks , berikut ini dapat dengan mudah dibuktikan berdasarkan properti produk vektor:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat antikomutatif dari perkalian vektor.

A-priori Dan . Kita tahu bahwa nilai determinan suatu matriks dibalik ketika dua baris ditukar, jadi, , yang membuktikan sifat antikomutatif dari perkalian vektor.

Produk vektor - contoh dan solusi.

Pada dasarnya ada tiga jenis tugas.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan, dan diperlukan untuk menemukan panjang perkalian silang. Dalam hal ini, rumus digunakan .

Contoh.

Tentukan panjang perkalian silang vektor dan jika diketahui .

Larutan.

Kita tahu dari definisi bahwa panjang perkalian silang vektor dan sama dengan perkalian panjang vektor dan dikalikan dengan sinus sudut antara keduanya, oleh karena itu, .

Menjawab:

.

Tugas tipe kedua dikaitkan dengan koordinat vektor, di mana perkalian vektor, panjangnya, atau sesuatu lainnya dicari melalui koordinat vektor yang diberikan Dan .

Ada banyak opsi berbeda yang tersedia di sini. Misalnya, bukan koordinat vektor dan , tetapi perluasannya dalam bentuk vektor koordinat dan , atau vektor dan dapat ditentukan oleh koordinat titik awal dan titik akhirnya.

Mari pertimbangkan contoh tipikal.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang . Temukan produk vektor mereka.

Larutan.

Menurut definisi kedua, produk silang dari dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita telah menuliskan perkalian vektor melalui determinan

Menjawab:

.

Contoh.

Temukan panjang perkalian silang vektor dan , dimana orts dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang.

Larutan.

Pertama, cari koordinat perkalian vektor dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu.

Karena vektor dan memiliki koordinat dan masing-masing (jika perlu, lihat artikel koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang), maka menurut definisi kedua perkalian silang, kita memiliki

Yaitu produk vektor memiliki koordinat dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami menemukan panjang produk vektor sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya (kami memperoleh rumus ini untuk panjang vektor di bagian menemukan panjang vektor):

Menjawab:

.

Contoh.

Koordinat tiga titik diberikan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus dan pada saat yang sama.

Larutan.

Vektor dan memiliki koordinat dan, masing-masing (lihat artikel menemukan koordinat vektor melalui koordinat titik). Jika kita menemukan produk silang dari vektor dan , maka menurut definisi itu adalah vektor yang tegak lurus ke dan ke, yaitu, itu adalah solusi untuk masalah kita. Mari kita temukan dia

Menjawab:

adalah salah satu vektor tegak lurus.

Dalam tugas tipe ketiga, keterampilan menggunakan sifat produk vektor dari vektor diperiksa. Setelah properti diterapkan, rumus yang sesuai diterapkan.

Contoh.

Vektor dan tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Temukan panjang produk vektor .

Larutan.

Dengan sifat distributif dari produk vektor, kita dapat menulis

Berdasarkan sifat asosiatif, kami mengeluarkan koefisien numerik untuk tanda produk vektor pada ekspresi terakhir:

Produk vektor dan sama dengan nol, karena Dan , Kemudian .

Karena perkalian vektor antikomutatif, maka .

Jadi, dengan menggunakan sifat-sifat perkalian vektor, kita sampai pada persamaan .

Dengan syarat, vektor dan tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan . Artinya, kami memiliki semua data untuk menemukan panjang yang dibutuhkan

Menjawab:

.

Arti geometris dari perkalian vektor.

Menurut definisi, panjang perkalian silang vektor adalah . Dan dari pelajaran geometri sekolah menengah, kita tahu bahwa luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisi segitiga dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, panjang perkalian silang sama dengan dua kali luas segitiga dengan sisi-sisi vektor dan , jika ditunda dari satu titik. Dengan kata lain, panjang perkalian silang vektor dan sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi dan sudut di antaranya sama dengan . Ini adalah arti geometris dari perkalian vektor.

Tes No.1

Vektor. Elemen aljabar yang lebih tinggi

1-20. Panjang vektor dan dan diketahui; adalah sudut antara vektor-vektor ini.

Hitung: 1) dan, 2) .3) Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor dan.

Membuat gambar.

Larutan. Menggunakan definisi perkalian titik vektor:

Dan sifat produk skalar: ,

1) temukan kuadrat skalar dari vektor:

yaitu, Lalu.

Berdebat dengan cara yang sama, kita dapatkan

yaitu, Lalu.

Menurut definisi produk vektor: ,

dengan mempertimbangkan fakta bahwa

Luas segitiga yang dibangun di atas vektor dan sama dengan

21-40. Koordinat tiga simpul diketahui A, B, D genjang ABCD. Melalui aljabar vektor, Anda memerlukan:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Larutan.

Diketahui bahwa diagonal jajaran genjang pada titik perpotongan dibagi menjadi dua. Oleh karena itu, koordinat titik e- persimpangan diagonal - temukan sebagai koordinat tengah segmen BD. Menandakan mereka dengan X e ,y e , z e kami mengerti itu

Kita mendapatkan .

Mengetahui koordinat titik e- titik tengah diagonal BD dan koordinat salah satu ujungnya A(3;0;-7), dengan rumus kami menentukan koordinat titik yang diinginkan DENGAN genjang:

Jadi bagian atas.

2) Untuk menemukan proyeksi vektor ke vektor , kami menemukan koordinat vektor-vektor ini: ,

juga . Proyeksi vektor ke vektor , kami temukan dengan rumus:

3) Sudut antara diagonal jajaran genjang ditemukan sebagai sudut antara vektor

Dan menurut sifat perkalian skalar:

Kemudian

4) Luas jajaran genjang ditemukan sebagai modul perkalian vektor:

5) Volume piramida ditemukan sebagai seperenam modulus produk campuran vektor , di mana O(0;0;0), lalu

Kemudian volume yang diinginkan (satuan kubik)

41-60. data matriks:

VC -1 +3A T

Sebutan:

Pertama, kita mencari invers dari matriks C.

Untuk melakukan ini, kami menemukan determinannya:

Penentunya bukan nol, oleh karena itu, matriksnya non-singular dan untuk itu Anda dapat menemukan matriks invers C -1

Mari kita cari pelengkap aljabar dengan rumus , di mana minor dari elemen tersebut :

Kemudian , .

61–80. Selesaikan sistem persamaan linear:

metode Cramer; 2. Metode matriks.

Larutan.

a) Metode Cramer

Mari kita cari determinan dari sistem tersebut

Sejak , sistem memiliki solusi unik.

Temukan determinan dan , ganti kolom pertama, kedua, ketiga dalam matriks koefisien, masing-masing, dengan kolom suku bebas.

Menurut rumus Cramer:

B)metode matriks (menggunakan matriks invers).

Kami menulis sistem ini dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya menggunakan matriks invers.

Membiarkan A adalah matriks koefisien untuk yang tidak diketahui; X adalah matriks kolom yang tidak diketahui X, y, z Dan H adalah matriks kolom anggota bebas:

Ruas kiri sistem (1) dapat ditulis sebagai perkalian matriks, dan ruas kanan sebagai matriks H. Oleh karena itu, kami memiliki persamaan matriks

Sejak determinan matriks A berbeda dari nol (item "a"), maka matriks A memiliki invers matriks. Mengalikan kedua bagian persamaan (2) di sebelah kiri dengan matriks , kita dapatkan

Sejak mana e adalah matriks identitas, dan , maka

Mari kita memiliki matriks non-singular A:

Kemudian matriks invers ditemukan dengan rumus:

Di mana A aku j- Pelengkap aljabar suatu unsur A aku j dalam matriks determinan A, yang merupakan perkalian dari (-1) i+j dan minor (determinan) n-1 urutan yang diperoleh dengan penghapusan i-th baris dan j-th kolom dalam determinan matriks A:

Dari sini kita mendapatkan matriks invers:

Kolom X: X=A -1 H

81–100. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Larutan. Kami menulis sistem dalam bentuk matriks yang diperluas:

Kami melakukan transformasi dasar dengan string.

Dari baris ke-2 kita kurangi baris pertama yang dikalikan 2. Dari baris 3 kita kurangi baris pertama yang dikalikan 4. Dari baris 4 kita kurangi baris pertama, kita dapatkan matriksnya:

Selanjutnya, kita mendapatkan nol di kolom pertama dari baris berikutnya, untuk ini kita kurangi baris ketiga dari baris kedua. Dari baris ketiga kita kurangi baris kedua dikalikan 2. Dari baris keempat kita kurangi baris kedua dikalikan 3. Hasilnya, kita mendapatkan matriks berbentuk:

Kurangi yang ketiga dari baris keempat.

Tukar baris kedua dari belakang dan terakhir:

Matriks terakhir setara dengan sistem persamaan:

Dari persamaan terakhir dari sistem kita temukan .

Mensubstitusi ke persamaan kedua dari belakang, kita dapatkan .

Ini mengikuti dari persamaan kedua sistem itu

Dari persamaan pertama kita menemukan x:

Menjawab:

Pemeriksaan No.2

Geometri analitik

1-20. Diketahui koordinat titik-titik sudut segitiga ABC. Menemukan:

1) panjang sisi ADI DALAM;

2) persamaan sisi AB Dan matahari dan lerengnya;

3) sudut DI DALAM dalam radian hingga dua tempat desimal;

4) persamaan ketinggian CD dan panjangnya

5) persamaan median AE

tinggi CD;

KE sejajar dengan sisi AB,

7) membuat gambar.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Larutan.

Menerapkan (1), kami menemukan panjang sisi AB:

2) persamaan sisi AB Dan matahari dan lerengnya:

Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik dan berbentuk

Substitusikan ke (2) koordinat titik-titik A Dan DI DALAM, kita mendapatkan persamaan sisi AB:

(AB).

(SM).

3) sudut DI DALAM dalam radian sampai dua tempat desimal.

Diketahui bahwa garis singgung sudut antara dua garis lurus yang koefisien kemiringannya masing-masing sama dan dihitung dengan rumus

Sudut yang diinginkan DI DALAM dibentuk secara langsung AB Dan matahari, yang koefisien sudutnya ditemukan: ; . Menerapkan (3), kami memperoleh

; , atau

4) persamaan ketinggian CD dan panjangnya.

Jarak dari titik C ke garis AB:

5) persamaan median AE dan koordinat titik K dari perpotongan median ini dengan

tinggi CD.

sisi tengah BC:

Maka persamaan AE :

Kami memecahkan sistem persamaan:

6) persamaan garis lurus yang melalui suatu titik KE sejajar dengan sisi AB:

Karena garis yang diinginkan sejajar dengan sisi AB, maka kemiringannya akan sama dengan kemiringan garis lurus AB. Substitusikan ke (4) koordinat titik yang ditemukan KE dan koefisien sudut , kita dapatkan

; (KF).

Luas jajaran genjang adalah 12 meter persegi. unit, dua simpulnya adalah titik SEBUAH(-1;3) Dan B(-2;4). Temukan dua simpul lain dari jajaran genjang ini jika diketahui bahwa titik potong diagonalnya terletak pada sumbu x. Membuat gambar.

Larutan. Biarkan titik persimpangan diagonal memiliki koordinat .

Maka jelas itu

maka koordinat vektor .

Luas jajaran genjang ditemukan dengan rumus

Maka koordinat kedua titik lainnya adalah .

Dalam soal 51-60, koordinat titik-titiknya A dan B. Diperlukan:

Tuliskan persamaan kanonik hiperbola yang melalui titik-titik tertentu A dan B jika fokus hiperbola terletak pada sumbu x;

Temukan semiaxes, fokus, eksentrisitas dan persamaan asimtot dari hiperbola ini;

Temukan semua titik persimpangan hiperbola dengan lingkaran yang berpusat pada titik asal jika lingkaran ini melewati fokus hiperbola;

Bangun hiperbola, asimtotnya, dan lingkaran.

A(6;-2), B(-8;12).

Larutan. Persamaan hiperbola yang diinginkan dalam bentuk kanonik ditulis

Di mana A adalah sumbu sebenarnya dari hiperbola, B- sumbu imajiner. Mengganti koordinat titik A Dan DI DALAM dalam persamaan ini kita menemukan semiaxes ini:

- persamaan hiperbola: .

Semiax a=4,

panjang fokus Fokus (-8.0) dan (8.0)

Keanehan

Aciptot:

Jika lingkaran melewati titik asal, persamaannya

Mengganti salah satu fokus, kami juga menemukan persamaan lingkaran

Temukan titik potong hiperbola dan lingkaran:

Membangun gambar:

Dalam soal 61-80 plot fungsi dalam sistem koordinat kutub dengan titik, berikan nilai  melalui interval  /8 (0   2). Temukan persamaan garis dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang (sumbu positif absis bertepatan dengan sumbu kutub, dan kutub bertepatan dengan titik asal).

Larutan. Mari kita buat garis demi titik, setelah sebelumnya mengisi tabel nilai dan φ.

Nomor	φ ,	φ, derajat			Nomor	φ , senang	derajat
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 kami menyimpulkan bahwa persamaan ini mendefinisikan elips: Poin yang diberikan A, DI DALAM , C, D . Diperlukan untuk menemukan: 1. Persamaan bidang (Q), melewati poin A, B, C D di pesawat (Q); 2. Persamaan garis lurus (SAYA) melewati poin DI DALAM dan D; 3. Sudut antar bidang (Q) dan langsung (SAYA); 4. Persamaan bidang (R), melewati suatu titik A tegak lurus dengan garis (SAYA); 5. Sudut antar bidang (R) Dan (Q) ; 6. Persamaan garis lurus (T), melewati suatu titik A dalam arah vektor radiusnya; 7. Sudut antara garis lurus (SAYA) Dan (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Persamaan bidang (Q), melewati poin A, B, C dan periksa apakah titik itu berbohong D di pesawat ditentukan dengan rumus Temukan : 1) . 2) Persegi genjang, dibuat pada Dan. 3) Volume paralelepiped, dibuat pada vektor, Dan. Kontrol Pekerjaan pada topik ini " Elemen teori ruang linier... Pedoman pelaksanaan tes mata kuliah korespondensi sarjana untuk kualifikasi 080100. 62 di jurusan Pedoman Paralepiped dan volume piramida, dibuat pada vektor, Dan. Solusi: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. TUGAS UNTUK KONTROL BEKERJA Bagian I. Linear aljabar. 1 – 10. Dan...

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor Dan hasil kali campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang terjadi untuk kebahagiaan total, sebagai tambahan perkalian titik vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Orang mungkin mendapat kesan bahwa kita sedang memasuki rimba geometri analitik. Ini salah. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, umumnya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Faktanya, bahannya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit dari yang sama produk skalar, bahkan akan ada lebih sedikit tugas tipikal. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan dilihat atau dilihat banyak orang, adalah JANGAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya vektor ruang saja, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara lahirnya tindakan ini - vektor dan produk campuran vektor ditentukan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti pada perkalian skalar, dua vektor. Biarkan itu menjadi surat yang tidak bisa binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada opsi lain, tetapi saya terbiasa menunjuk perkalian silang vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di perkalian titik vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, pada HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. Dalam berbagai literatur pendidikan, sebutannya juga bisa berbeda-beda, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang tidak kolinear vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar basis memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Akan tepat untuk mempertimbangkan kasus vektor collinear nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ketat: – "a" dikalikan dengan "be", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dalam urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang panjangnya sama dan berlawanan arah (warna merah tua). Artinya, kesetaraan .

3) Sekarang mari berkenalan dengan arti geometris dari perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua ) secara numerik sama dengan AREA jajaran genjang yang dibangun di atas vektor . Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dengan warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal perkalian silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami mengingat salah satu rumus geometris: luas jajaran genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antaranya. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG hasil kali vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan maknanya sedemikian rupa sehingga dalam soal-soal geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Kami mendapatkan formula penting kedua. Diagonal jajaran genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga yang sama. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor , yaitu . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal dengan vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke basis baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari- produk vektor akan mencari. Ini adalah dasar yang berorientasi kanan (ada pada gambar). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan perkalian vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tetapkan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa bagusnya yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor kolinear

Definisi tersebut telah dikerjakan secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya kolinear. Jika vektornya kolinear, maka vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kita juga "dilipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti dari rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Harap dicatat bahwa perkalian silang itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah produk vektor dari vektor dan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis, mungkin diperlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita mulai api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang perkalian vektor dari vektor if

b) Temukan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada item condition yang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisinya, diharuskan untuk menemukan panjang vektor (kali vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawabannya kita tunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisinya, diharuskan untuk menemukan persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor . Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang perkalian silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanyai bidang figur, masing-masing, dimensinya adalah satuan kuadrat.

Kami selalu melihat APA yang harus ditemukan oleh kondisi tersebut, dan berdasarkan ini, kami merumuskan jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup banyak literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukan nitpick yang tegang - jika jawabannya salah, maka orang mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan / atau tidak memahami esensi tugas. Momen ini harus selalu dijaga, menyelesaikan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, ini bisa menjadi solusi tambahan, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan di komentar definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugasnya sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk mengatasi masalah lain, kita perlu:

Sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari perkalian vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, properti berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak dibedakan berdasarkan propertinya, tetapi sangat penting secara praktis. Jadi biarlah.

2) - properti juga dibahas di atas, terkadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas perkalian vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan membuka tanda kurung juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Dengan syarat, sekali lagi diperlukan untuk menemukan panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengeluarkan konstanta di luar batas perkalian vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Temukan luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 pelajaran. Produk titik vektor. Mari kita pecahkan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar panjang!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Menggunakan hukum distributif, kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita mengambil semua konstanta di luar perkalian vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari perkalian vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang produk vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang dibutuhkan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat disusun dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh untuk solusi independen:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di baris atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor di baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garisnya juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor ruang berikut kolinear:
A)
B)

Larutan: Tes ini didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektornya kolinear, maka perkalian silangnya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana perkalian vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Produk campuran vektor adalah produk dari tiga vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-coplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita ditarik oleh garis putus-putus:

Mari selami definisi:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari arti geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah NOMOR: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

A-priori produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume pipa paralel yang diberikan.

Catatan : Gambar adalah skema.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi alas dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Secara sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisinya.