Juga akan ada tugas untuk solusi independen, di mana Anda dapat melihat jawabannya.
Konsep vektor
Sebelum Anda mempelajari semua tentang vektor dan operasinya, dengarkan untuk memecahkan masalah sederhana. Ada vektor perusahaan Anda dan vektor kemampuan inovatif Anda. Vektor kewirausahaan membawa Anda ke Sasaran 1, dan vektor kemampuan inovatif - ke Sasaran 2. Aturan mainnya sedemikian rupa sehingga Anda tidak dapat bergerak ke arah kedua vektor ini sekaligus dan mencapai dua tujuan sekaligus. Vektor berinteraksi, atau, secara matematis, beberapa operasi dilakukan pada vektor. Hasil dari operasi ini adalah vektor "Hasil", yang membawa Anda ke Sasaran 3.
Sekarang beri tahu saya: hasil operasi mana pada vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" adalah vektor "Hasil"? Jika Anda tidak bisa langsung mengatakannya, jangan berkecil hati. Saat Anda mempelajari pelajaran ini, Anda akan dapat menjawab pertanyaan ini.
Seperti yang telah kita lihat di atas, vektor pasti berasal dari beberapa titik A dalam garis lurus ke beberapa titik B. Akibatnya, setiap vektor tidak hanya memiliki nilai numerik - panjang, tetapi juga arah fisik dan geometrik. Dari sini, definisi vektor yang pertama dan paling sederhana diturunkan. Jadi, vektor adalah segmen berarah yang berangkat dari suatu titik A ke titik B. Ini ditandai seperti ini:
Dan untuk memulai yang berbeda operasi vektor , kita perlu mengenal satu lagi definisi vektor.
Vektor adalah semacam representasi dari suatu titik yang akan dicapai dari beberapa titik awal. Misalnya, vektor tiga dimensi biasanya ditulis sebagai (x, y, z) . Sederhananya, angka-angka ini menunjukkan seberapa jauh Anda harus pergi ke tiga arah yang berbeda untuk sampai ke intinya.
Biarkan vektor diberikan. Di mana x = 3 (tangan kanan menunjuk ke kanan) kamu = 1 (tangan kiri menunjuk ke depan) z = 5 (di bawah titik ada tangga menuju ke atas). Dari data ini, Anda akan menemukan titik dengan berjalan 3 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kanan, lalu 1 meter ke arah yang ditunjukkan oleh tangan kiri, dan kemudian sebuah tangga menunggu Anda dan, mendaki 5 meter, Anda akhirnya akan menemukan diri Anda pada titik akhir.
Semua istilah lain adalah penyempurnaan dari penjelasan yang disajikan di atas, yang diperlukan untuk berbagai operasi pada vektor, yaitu untuk memecahkan masalah praktis. Mari kita pergi melalui definisi yang lebih ketat ini, memikirkan masalah vektor yang khas.
Contoh fisik besaran vektor dapat berupa perpindahan titik material yang bergerak dalam ruang, kecepatan dan percepatan titik ini, serta gaya yang bekerja padanya.
vektor geometris direpresentasikan dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi dalam bentuk segmen terarah. Ini adalah segmen yang memiliki awal dan akhir.
Jika sebuah A adalah awal dari vektor, dan B adalah ujungnya, maka vektor dilambangkan dengan simbol atau huruf kecil tunggal. Pada gambar, ujung vektor ditunjukkan oleh panah (Gbr. 1)
Panjang(atau modul) dari vektor geometri adalah panjang segmen yang menghasilkannya
Kedua vektor tersebut disebut setara , jika mereka dapat digabungkan (ketika arahnya bertepatan) dengan terjemahan paralel, yaitu. jika mereka sejajar, menunjuk ke arah yang sama dan memiliki panjang yang sama.
Dalam fisika, sering dianggap vektor yang disematkan, diberikan oleh titik aplikasi, panjang, dan arah. Jika titik penerapan vektor tidak menjadi masalah, maka vektor tersebut dapat dipindahkan, dengan menjaga panjang dan arahnya ke titik mana pun dalam ruang. Dalam hal ini, vektor disebut Gratis. Kami setuju untuk mempertimbangkan saja vektor gratis.
Operasi linier pada vektor geometris
Kalikan vektor dengan angka
produk vektor per nomor Sebuah vektor disebut vektor yang diperoleh dari vektor dengan peregangan (pada ) atau menyusut (pada ) kali, dan arah vektor dipertahankan jika , dan dibalik jika . (Gbr. 2)
Ini mengikuti dari definisi bahwa vektor dan = selalu terletak pada satu atau garis paralel. Vektor semacam itu disebut kolinear. (Anda juga dapat mengatakan bahwa vektor-vektor ini paralel, tetapi dalam aljabar vektor biasanya dikatakan "kolinear".) Kebalikannya juga benar: jika vektor dan collinear, maka mereka terkait dengan relasi
Oleh karena itu, persamaan (1) menyatakan kondisi kesejajaran dua buah vektor.
Penambahan dan pengurangan vektor
Saat menambahkan vektor, Anda perlu tahu bahwa jumlah vektor dan disebut vektor yang awalnya bertepatan dengan awal vektor , dan akhir bertepatan dengan akhir vektor , asalkan awal vektor melekat pada akhir vektor . (Gbr. 3)
Definisi ini dapat didistribusikan pada sejumlah vektor yang terbatas. Biarkan di ruang yang diberikan n vektor gratis. Saat menambahkan beberapa vektor, jumlah mereka diambil sebagai vektor penutup, yang awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama, dan akhir dengan akhir vektor terakhir. Artinya, jika awal vektor dilampirkan ke ujung vektor, dan awal vektor ke ujung vektor, dll. dan, akhirnya, sampai akhir vektor - awal vektor, maka jumlah vektor-vektor ini adalah vektor penutup 
, yang awalnya bertepatan dengan awal vektor pertama , dan yang ujungnya bertepatan dengan akhir vektor terakhir . (Gbr. 4)
Suku-suku tersebut disebut komponen vektor, dan aturan yang dirumuskan adalah aturan poligon. Poligon ini mungkin tidak rata.
Ketika sebuah vektor dikalikan dengan angka -1, diperoleh vektor yang berlawanan. Vektor dan memiliki panjang yang sama dan arah yang berlawanan. Jumlah mereka memberi vektor nol, yang panjangnya nol. Arah vektor nol tidak ditentukan.
Dalam aljabar vektor, tidak perlu mempertimbangkan operasi pengurangan secara terpisah: mengurangkan vektor dari vektor berarti menambahkan vektor yang berlawanan ke vektor, mis. 
Contoh 1 Sederhanakan ekspresi:
.
,
yaitu, vektor dapat ditambahkan dan dikalikan dengan angka dengan cara yang sama seperti polinomial (khususnya, juga masalah untuk menyederhanakan ekspresi). Biasanya, kebutuhan untuk menyederhanakan ekspresi serupa secara linier dengan vektor muncul sebelum menghitung produk vektor.
Contoh 2 Vektor dan berfungsi sebagai diagonal jajar genjang ABCD (Gbr. 4a). Nyatakan dalam dan vektor , , dan , Yang merupakan sisi dari jajaran genjang ini.
Keputusan. Titik potong diagonal-diagonal jajar genjang membagi dua setiap diagonalnya. Panjang vektor yang diperlukan dalam kondisi masalah ditemukan baik sebagai setengah jumlah vektor yang membentuk segitiga dengan yang diinginkan, atau sebagai setengah perbedaan (tergantung pada arah vektor yang berfungsi sebagai diagonal), atau, seperti dalam kasus terakhir, setengah jumlah yang diambil dengan tanda minus. Hasilnya adalah vektor-vektor yang dibutuhkan dalam kondisi masalah:
Ada banyak alasan untuk percaya bahwa Anda sekarang menjawab dengan benar pertanyaan tentang vektor "Perusahaan" dan "Kemampuan inovatif" di awal pelajaran ini. Jawaban yang benar: vektor-vektor ini dikenai operasi penjumlahan.
Selesaikan masalah vektor sendiri, lalu lihat solusinya
Bagaimana cara mencari panjang jumlah vektor?
Masalah ini menempati tempat khusus dalam operasi dengan vektor, karena melibatkan penggunaan sifat trigonometri. Katakanlah Anda memiliki tugas seperti berikut:
Diketahui panjang vektor 
dan panjang jumlah dari vektor-vektor ini. Hitunglah panjang selisih vektor-vektor tersebut.
Solusi untuk ini dan masalah serupa lainnya serta penjelasan tentang cara menyelesaikannya - dalam pelajaran " Penjumlahan vektor: panjang penjumlahan vektor dan teorema kosinus ".
Dan Anda dapat memeriksa solusi dari masalah tersebut di Kalkulator online "Sisi segitiga yang tidak diketahui (penjumlahan vektor dan teorema kosinus)" .
Dimanakah hasil kali vektor?
Produk dari vektor oleh vektor bukan operasi linier dan dianggap terpisah. Dan kami memiliki pelajaran "Perkalian Titik dari Vektor" dan "Vektor dan Perkalian Campuran Vektor".
Proyeksi vektor ke sumbu
Proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk dari panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:
Seperti diketahui, proyeksi suatu titik A pada garis (bidang) adalah alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke garis (bidang).
Biarkan - vektor arbitrer (Gbr. 5), dan dan - proyeksi awalnya (titik A) dan akhir (titik B) per poros aku. (Untuk membangun proyeksi suatu titik A) tarik lurus melalui titik A bidang yang tegak lurus terhadap garis. Perpotongan garis dan bidang akan menentukan proyeksi yang diperlukan.
komponen vektor pada sumbu l disebut vektor seperti itu yang terletak pada sumbu ini, yang awalnya bertepatan dengan proyeksi awal, dan akhir - dengan proyeksi akhir vektor .
Proyeksi vektor ke sumbu aku disebut nomor
,
sama dengan panjang vektor komponen pada sumbu ini, diambil dengan tanda tambah jika arah komponen bertepatan dengan arah sumbu aku, dan dengan tanda minus jika arah ini berlawanan.
Properti utama proyeksi vektor pada sumbu:
1. Proyeksi vektor yang sama pada sumbu yang sama adalah sama satu sama lain.
2. Ketika sebuah vektor dikalikan dengan angka, proyeksinya dikalikan dengan angka yang sama.
3. Proyeksi jumlah vektor pada sembarang sumbu sama dengan jumlah proyeksi pada sumbu yang sama dari suku-suku vektor.
4. Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:
.
Keputusan. Mari kita proyeksikan vektor ke sumbu aku seperti yang didefinisikan dalam referensi teoritis di atas. Dari Gambar 5a terlihat bahwa proyeksi jumlah vektor sama dengan jumlah proyeksi vektor. Kami menghitung proyeksi ini:
Kami menemukan proyeksi akhir dari jumlah vektor:
Hubungan vektor dengan sistem koordinat kartesius persegi panjang di ruang angkasa
Kenalan dengan sistem koordinat Cartesian persegi panjang di ruang angkasa berlangsung di pelajaran yang sesuai, sebaiknya buka di jendela baru.
Dalam sistem sumbu koordinat yang teratur 0xyz sumbu Sapi ditelepon sumbu x, sumbu 0 tahun – sumbu y, dan sumbu 0z – menerapkan sumbu.
dengan titik sewenang-wenang M vektor dasi ruang angkasa
ditelepon vektor radius poin M dan memproyeksikannya ke masing-masing sumbu koordinat. Mari kita tunjukkan nilai proyeksi yang sesuai:
angka x, y, z ditelepon koordinat titik M, masing-masing absis, ordinat dan aplikasi, dan ditulis sebagai titik bilangan berurutan: M(x; y; z)(Gbr. 6).
Vektor satuan panjang yang arahnya berimpit dengan arah sumbu disebut vektor satuan(atau ortom) sumbu. Dilambangkan dengan
Dengan demikian, vektor satuan dari sumbu koordinat Sapi, Oy, Ons
Dalil. Setiap vektor dapat didekomposisi menjadi vektor satuan dari sumbu koordinat:
(2)
Persamaan (2) disebut perluasan vektor sepanjang sumbu koordinat. Koefisien ekspansi ini adalah proyeksi vektor ke sumbu koordinat. Jadi, koefisien ekspansi (2) dari vektor sepanjang sumbu koordinat adalah koordinat vektor.
Setelah memilih sistem koordinat tertentu dalam ruang, vektor dan rangkap tiga koordinatnya secara unik menentukan satu sama lain, sehingga vektor dapat ditulis dalam bentuk
Representasi vektor dalam bentuk (2) dan (3) identik.
Kondisi vektor collinear dalam koordinat
Seperti yang telah kita catat, vektor disebut collinear jika mereka terkait dengan relasi
Biarkan vektor 
. Vektor-vektor tersebut kolinear jika koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut dihubungkan oleh relasi
,
yaitu, koordinat vektor sebanding.
Contoh 6 Diberikan vektor 
. Apakah vektor-vektor ini kolinear?
Keputusan. Mari kita cari tahu rasio koordinat vektor-vektor ini:
.
Koordinat vektor-vektornya proporsional, oleh karena itu, vektor-vektornya sejajar, atau, yang sama, paralel.
Panjang vektor dan arah cosinus
Karena saling tegak lurus sumbu koordinat, panjang vektor
sama dengan panjang diagonal dari parallelepiped persegi panjang yang dibangun di atas vektor
dan dinyatakan dengan persamaan
(4)
Sebuah vektor didefinisikan sepenuhnya dengan menentukan dua titik (awal dan akhir), sehingga koordinat vektor dapat dinyatakan dalam koordinat titik-titik ini.
Biarkan awal vektor dalam sistem koordinat yang diberikan berada di titik
dan akhirnya pada intinya
Dari kesetaraan
Mengikuti itu
atau dalam bentuk koordinat
Karena itu, koordinat vektor sama dengan selisih koordinat nama akhir dan awal vektor yang sama . Rumus (4) dalam hal ini berbentuk
Arah vektor ditentukan arah cosinus . Ini adalah kosinus sudut yang dibuat vektor dengan sumbu Sapi, Oy dan Ons. Mari kita tentukan masing-masing sudut ini α , β dan γ . Kemudian kosinus dari sudut-sudut ini dapat ditemukan dengan rumus
Kosinus arah suatu vektor juga merupakan koordinat vektor vektor dan dengan demikian vektor vektor
.
Mengingat panjang vektor vektor sama dengan satu satuan, yaitu,
,
kita mendapatkan persamaan berikut untuk cosinus arah:
Contoh 7 Tentukan panjang vektor x = (3; 0; 4).
Keputusan. Panjang vektor adalah
Contoh 8 Poin yang diberikan:
Cari tahu apakah segitiga yang dibangun di atas titik-titik ini sama kaki.
Keputusan. Dengan menggunakan rumus panjang vektor (6), kita mencari panjang sisi-sisinya dan mengetahui apakah ada dua sisi yang sama besar:
Dua sisi yang sama telah ditemukan, jadi tidak perlu mencari panjang sisi ketiga, dan segitiga yang diberikan adalah sama kaki.
Contoh 9 Tentukan panjang vektor dan cosinus arahnya jika 
.
Keputusan. Koordinat vektor diberikan:
.
Panjang vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinat vektor:
.
Mencari arah cosinus:
Selesaikan sendiri soal vektor, lalu lihat solusinya
Operasi pada vektor yang diberikan dalam bentuk koordinat
Biarkan dua vektor dan diberikan oleh proyeksi mereka diberikan:
Mari kita tunjukkan tindakan pada vektor-vektor ini.
Halaman 1 dari 2
Pertanyaan 1. Apa itu vektor? Bagaimana vektor didefinisikan?
Menjawab. Kami akan menyebut segmen berarah sebagai vektor (Gbr. 211). Arah suatu vektor ditentukan dengan menentukan awal dan akhir vektor tersebut. Dalam gambar, arah vektor ditandai dengan panah. Untuk menentukan vektor, kita akan menggunakan huruf latin kecil a, b, c, ... . Anda juga dapat menentukan vektor dengan menentukan awal dan akhir. Dalam hal ini, awal vektor ditempatkan di tempat pertama. Alih-alih kata "vektor", panah atau tanda hubung kadang-kadang ditempatkan di atas huruf penunjukan vektor. Vektor pada gambar 211 dapat dinotasikan sebagai berikut:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) atau \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Pertanyaan 2. Vektor apa yang disebut berarah sama (berarah berlawanan)?
Menjawab. Vektor \(\overline(AB)\) dan \(\overline(CD)\) dikatakan berarah sama jika setengah garis AB dan CD berarah sama.
Vektor \(\overline(AB)\) dan \(\overline(CD)\) disebut berlawanan arah jika setengah garis AB dan CD berlawanan arah.
Pada Gambar 212, vektor \(\overline(a)\) dan \(\overline(b)\) memiliki arah yang sama, sedangkan vektor \(\overline(a)\) dan \(\overline(c) \) memiliki arah yang berlawanan.
Pertanyaan 3. Berapakah nilai mutlak suatu vektor?
Menjawab. Nilai absolut (atau modulus) dari suatu vektor adalah panjang segmen yang mewakili vektor tersebut. Nilai absolut dari vektor \(\overline(a)\) dilambangkan dengan |\(\overline(a)\)|.
Pertanyaan 4. Apa itu vektor nol?
Menjawab. Awal dari sebuah vektor dapat bertepatan dengan akhir. Vektor seperti itu akan disebut vektor nol. Vektor nol dilambangkan dengan nol dengan tanda hubung (\(\overline(0)\)). Tidak ada yang berbicara tentang arah vektor nol. Nilai mutlak dari vektor nol dianggap sama dengan nol.
Pertanyaan 5. Vektor apa yang disebut sama?
Menjawab. Dua buah vektor dikatakan sama jika digabungkan dengan translasi paralel. Ini berarti ada terjemahan paralel yang masing-masing menerjemahkan awal dan akhir satu vektor ke awal dan akhir vektor lain.
Pertanyaan 6. Buktikan bahwa vektor-vektor yang sama memiliki arah yang sama dan memiliki nilai mutlak yang sama. Dan sebaliknya: vektor-vektor berarah sama yang sama nilai mutlaknya adalah sama.
Menjawab. Dengan terjemahan paralel, vektor mempertahankan arahnya, serta nilai absolutnya. Ini berarti bahwa vektor-vektor yang sama memiliki arah yang sama dan memiliki nilai mutlak yang sama.
Misalkan \(\overline(AB)\) dan \(\overline(CD)\) adalah vektor-vektor berarah sama yang nilai absolutnya sama (Gbr. 213). Translasi paralel yang membawa titik C ke titik A menggabungkan CD setengah garis dengan setengah garis AB, karena keduanya berarah sama. Dan karena ruas AB dan CD sama besar, maka titik D berimpit dengan titik B, yaitu. terjemahan paralel menerjemahkan vektor \(\overline(CD)\) ke dalam vektor \(\overline(AB)\). Oleh karena itu, vektor \(\overline(AB)\) dan \(\overline(CD)\) adalah sama, sesuai kebutuhan.
Pertanyaan 7. Buktikan bahwa dari titik mana pun seseorang dapat menggambar vektor yang sama dengan vektor yang diberikan, dan hanya satu.
Menjawab. Biarkan CD menjadi garis dan vektor \(\overline(CD)\) menjadi bagian dari garis CD. Misalkan AB adalah garis yang dilalui oleh garis CD selama translasi paralel, \(\overline(AB)\) adalah vektor yang menjadi vektor \(\overline(CD)\) selama translasi paralel, dan dengan demikian vektor \(\ overline(AB)\) dan \(\overline(CD)\) adalah sama, dan garis AB dan CD sejajar (lihat Gambar 213). Seperti yang kita ketahui, melalui suatu titik yang tidak terletak pada garis tertentu, dimungkinkan untuk menggambar pada bidang paling banyak satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan (aksioma garis sejajar). Jadi, melalui titik A dapat ditarik satu garis sejajar dengan garis CD. Karena vektor \(\overline(AB)\) adalah bagian dari garis AB, satu vektor \(\overline(AB)\) dapat ditarik melalui titik A, sama dengan vektor \(\overline(CD)\ ).
Pertanyaan 8. Apa itu koordinat vektor? Berapakah nilai mutlak dari vektor dengan koordinat a 1 , a 2 ?
Menjawab. Misalkan vektor \(\overline(a)\) dimulai dari titik A 1 (x 1 ; y 1) dan berakhir di titik A 2 (x 2 ; y 2). Koordinat vektor \(\overline(a)\) akan menjadi angka a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Kami akan menempatkan koordinat vektor di sebelah huruf penunjukan vektor, dalam hal ini \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) atau hanya \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Koordinat vektor nol sama dengan nol.
Dari rumus yang menyatakan jarak antara dua titik dalam bentuk koordinatnya, maka nilai absolut dari vektor dengan koordinat a 1 , a 2 adalah \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).
Pertanyaan 9. Buktikan bahwa vektor-vektor yang sama masing-masing memiliki koordinat yang sama, dan vektor-vektor yang masing-masing memiliki koordinat yang sama adalah sama.
Menjawab. Misalkan A 1 (x 1 ; y 1) dan A 2 (x 2 ; y 2) adalah awal dan akhir vektor \(\overline(a)\). Karena vektor \(\overline(a")\) sama dengan itu diperoleh dari vektor \(\overline(a)\) dengan terjemahan paralel, maka awal dan akhirnya masing-masing adalah A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Hal ini menunjukkan bahwa kedua vektor \(\overline(a)\) dan \(\overline(a")\) memiliki koordinat yang sama: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Sekarang mari kita buktikan pernyataan kebalikannya. Biarkan koordinat vektor yang sesuai \(\overline(A 1 A 2 )\) dan \(\overline(A" 1 A" 2 )\) sama. Kami membuktikan bahwa vektor-vektornya sama.
Misalkan x" 1 dan y" 1 adalah koordinat titik A" 1, dan x" 2, y" 2 adalah koordinat titik A" 2. Dengan kondisi teorema x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Jadi x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Terjemahan paralel diberikan oleh rumus
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
mentransfer titik A 1 ke titik A" 1 , dan titik A 2 ke titik A" 2 , yaitu. vektor \(\overline(A 1 A 2 )\) dan \(\overline(A" 1 A" 2 )\) adalah sama, sesuai kebutuhan.
Pertanyaan 10. Tentukan jumlah vektor.
Menjawab. Jumlah vektor \(\overline(a)\) dan \(\overline(b)\) dengan koordinat a 1 , a 2 dan b 1 , b 2 adalah vektor \(\overline(c)\) dengan koordinat a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , yaitu.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
Tanggal pembuatan: 2009-04-11 15:25:51
Terakhir diedit: 08-02-2012 09:19:45
Untuk waktu yang lama saya tidak ingin menulis artikel ini - saya memikirkan cara menyajikan materi. Anda juga perlu menggambar. Tapi ternyata bintang-bintang sudah berhasil terbentuk hari ini dan akan ada artikel tentang vektor. Padahal, ini baru draf. Di masa depan, saya akan memecah artikel ini menjadi beberapa yang terpisah - ada cukup bahan. Juga, artikel itu akan meningkat secara bertahap: Saya akan membuat perubahan padanya - karena. dalam sekali duduk tidak akan mungkin untuk mengungkapkan semua aspek.
Vektor diperkenalkan ke dalam matematika pada abad kesembilan belas untuk menggambarkan jumlah yang sulit untuk dijelaskan menggunakan nilai skalar.
Vektor banyak digunakan dalam pengembangan game komputer. Mereka digunakan tidak hanya secara tradisional - untuk menggambarkan jumlah seperti kekuatan atau kecepatan, tetapi juga di area yang tampaknya tidak ada hubungannya dengan vektor: penyimpanan warna, pembuatan bayangan.
Skalar dan vektor
Pertama, izinkan saya mengingatkan Anda apa itu skalar dan perbedaannya dengan vektor.
Nilai skalar menyimpan beberapa nilai: massa, volume. Artinya, itu adalah entitas yang dicirikan hanya oleh satu angka (misalnya, jumlah sesuatu).
Sebuah vektor, tidak seperti skalar, digambarkan menggunakan dua nilai: besar dan arah.
Perbedaan penting antara vektor dan koordinat: vektor tidak terikat pada lokasi tertentu! Sekali lagi, hal utama dalam sebuah vektor adalah panjang dan arah.
Vektor dilambangkan dengan huruf tebal dari alfabet Latin. Sebagai contoh: sebuah, b, v.
Pada gambar pertama, Anda dapat melihat bagaimana vektor dilambangkan pada bidang.
Vektor di luar angkasa
Dalam ruang, vektor dapat diekspresikan dengan menggunakan koordinat. Tapi pertama-tama kita perlu memperkenalkan satu konsep:
Vektor radius titik
Mari kita ambil beberapa titik M(2,1) di luar angkasa. Vektor radius suatu titik adalah vektor yang berawal di titik asal dan berakhir di titik tersebut.
Apa yang kita miliki di sini tidak lebih dari sebuah vektor om. Koordinat awal vektor (0,0), koordinat akhir (2,1). Mari kita nyatakan vektor ini sebagai sebuah.
Dalam hal ini, vektor dapat ditulis sebagai berikut: sebuah = <2, 1>. Ini adalah bentuk koordinat vektor sebuah.
Koordinat vektor disebut komponennya relatif terhadap sumbu. Misalnya, 2 adalah komponen vektor sebuah tentang sumbu x.
Mari kita sekali lagi memikirkan apa koordinat suatu titik. Koordinat titik (misalnya, x) adalah proyeksi titik ke sumbu, mis. alas sebuah garis tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik ke suatu sumbu. Dalam contoh kita 2.
Tapi kembali ke gambar pertama. Di sini kita memiliki dua titik A dan B. Misalkan koordinat titik-titik tersebut adalah (1,1) dan (3,3). vektor v dalam hal ini dapat didefinisikan sebagai v = <3-1, 3-1>. Sebuah vektor yang terletak di dua titik dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti ini:
v =
Saya tidak berpikir ada masalah di sini.
Kalikan vektor dengan skalar
Sebuah vektor dapat dikalikan dengan nilai skalar:
k v =
Dalam hal ini, nilai skalar dikalikan dengan setiap komponen vektor.
Jika k > 1, maka vektor akan bertambah, jika k kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol, vektor akan berkurang panjangnya. Jika k lebih kecil dari nol, maka vektor akan berubah arah.
Vektor satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan satu. Perhatikan bahwa vektor dengan koordinat<1,1,1>tidak akan sama dengan satu! Menemukan panjang vektor dijelaskan di bawah ini.
Ada yang disebut ort - ini adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat. saya- vektor satuan dari sumbu x, j- vektor satuan sumbu y, k- vektor satuan dari sumbu z.
Di mana saya = <1,0,0>, j = <0,1,0>, k = <0,0,1>.
Sekarang kita tahu apa itu perkalian vektor dengan skalar dan apa itu vektor satuan. Sekarang kita bisa menulis v dalam bentuk vektor.
v= v x saya+vy j+vz k, di mana v x , v y , v z adalah komponen vektor yang sesuai
penambahan vektor
Untuk memahami sepenuhnya rumus sebelumnya, Anda perlu memahami cara kerja penjumlahan vektor.
Semuanya sederhana di sini. Ambil dua vektor v1 =
v1 + v2 =
Kami hanya menambahkan komponen yang sesuai dari dua vektor.
Perbedaannya dihitung dengan cara yang sama.
Ini tentang bentuk matematika. Demi kelengkapan, ada baiknya mempertimbangkan seperti apa penambahan dan pengurangan vektor secara grafis.
Untuk menambahkan dua vektor sebuah+b. Kita harus mencocokkan awal vektor b dan akhir dari vektor sebuah. Kemudian, antara awal vektor sebuah dan akhir dari vektor b menggambar vektor baru. Untuk kejelasan, lihat gambar kedua (huruf "a").
Untuk mengurangi vektor, Anda perlu menggabungkan awal dari dua vektor dan menggambar vektor baru dari ujung vektor kedua ke akhir vektor pertama. Gambar kedua (huruf "b") menunjukkan seperti apa bentuknya.
Panjang dan arah vektor
Kita lihat panjangnya dulu.
Panjang adalah nilai numerik dari vektor, terlepas dari arahnya.
Panjangnya ditentukan oleh rumus (untuk vektor tiga dimensi):
akar kuadrat dari jumlah kuadrat komponen vektor.
Formula yang familiar bukan? Secara umum, ini adalah rumus untuk panjang segmen
Arah vektor ditentukan oleh cosinus arah sudut yang terbentuk antara vektor dan sumbu koordinat. Untuk menemukan arah cosinus, komponen dan panjang yang sesuai digunakan (gambarnya nanti).
Mewakili vektor dalam program
Vektor dapat direpresentasikan dalam program dalam berbagai cara. Baik dengan bantuan variabel biasa, yang tidak efisien, maupun dengan bantuan array, kelas dan struktur.
vektor float3 = (1,2,3); // array untuk menyimpan vektor struct vector3 // struktur untuk menyimpan vektor ( float x,y,z; );
Kemungkinan terbesar untuk menyimpan vektor disediakan oleh kelas. Di dalam kelas, kita tidak hanya dapat mendeskripsikan vektor itu sendiri (variabel), tetapi juga operasi vektor (fungsi).
Hasil kali titik dari vektor
Perkalian vektor ada dua macam yaitu vektor dan skalar.
Ciri khas dari produk skalar adalah bahwa hasilnya akan selalu berupa nilai skalar, mis. nomor.
Di sini perlu memperhatikan momen ini. Jika hasil dari operasi ini adalah nol, maka kedua vektor tegak lurus - sudut di antara keduanya adalah 90 derajat. Jika hasilnya lebih besar dari nol, sudutnya kurang dari 90 derajat. Jika hasilnya kurang dari nol, sudutnya lebih besar dari 90 derajat.
Operasi ini diwakili oleh rumus berikut:
sebuah · b= a x * b x + a y * b y + a z * b z
Produk skalar adalah jumlah produk dari komponen yang sesuai dari dua vektor. Itu. Kami mengambil x "s dari dua vektor, mengalikannya, lalu menambahkannya ke produk dari y" s dan seterusnya.
Perkalian silang dari vektor
Hasil perkalian silang dua buah vektor akan berupa vektor yang tegak lurus terhadap vektor-vektor tersebut.
Kami belum akan membahas rumus ini secara detail. Plus, itu cukup sulit untuk diingat. Kami akan kembali ke poin ini setelah berkenalan dengan determinan.
Nah, untuk pengembangan umum ada baiknya diketahui bahwa panjang vektor yang dihasilkan sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor sebuah dan b.
Normalisasi vektor
Vektor ternormalisasi adalah vektor yang panjangnya satu.
Rumus untuk menemukan vektor yang dinormalisasi adalah sebagai berikut - semua komponen vektor harus dibagi dengan panjangnya:
v n= v/|v| =
kata penutup
Seperti yang mungkin telah Anda lihat, vektor tidak sulit untuk dipahami. Kami telah mempertimbangkan sejumlah operasi pada vektor.
Pada artikel bagian "matematika" berikut ini, kita akan membahas matriks, determinan, sistem persamaan linier. Itu semua teori.
Setelah itu, kita akan melihat transformasi matriks. Saat itulah Anda akan memahami betapa pentingnya matematika dalam membuat game komputer. Topik ini hanya akan menjadi latihan untuk semua topik sebelumnya.
VEKTOR. TINDAKANDI ATASVEKTOR. SCALAR,
VEKTOR, PRODUK CAMPURAN VEKTOR.
1. VEKTOR, TINDAKAN TERHADAP VEKTOR.
Definisi dasar.
Definisi 1. Besaran yang sepenuhnya dicirikan oleh nilai numeriknya dalam sistem satuan yang dipilih disebut skalar atau skalar .
(Berat badan, volume, waktu, dll.)
Definisi 2. Besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arah disebut vektor atau vektor .
(Perpindahan, gaya, kecepatan, dll.)
Sebutan: , atau , .
Vektor geometri adalah segmen berarah.
Untuk vektor - titik TETAPI- titik awal PADA adalah akhir dari vektor.
Definisi 3.Modul vektor adalah panjang segmen AB.
Definisi 4. Vektor yang modulusnya nol disebut nol , ditunjukkan.
Definisi 5. Vektor yang terletak pada garis sejajar atau pada garis yang sama disebut kolinear . Jika dua buah vektor kolinear mempunyai arah yang sama, maka keduanya disebut searah .
Definisi 6. Dua vektor dianggap setara , jika mereka diarahkan bersama dan sama dalam modulus.
Tindakan pada vektor.
1) Penjumlahan vektor.
def. 6.jumlah dua vektor dan merupakan diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, yang berasal dari titik umum penerapannya (aturan jajar genjang).
Gambar 1.
def. 7. Jumlah dari tiga vektor , , adalah diagonal dari parallelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini (aturan paralel).
def. delapan. Jika sebuah TETAPI, PADA, Dengan adalah titik sembarang, maka + = (aturan segitiga).
gbr.2
Properti tambahan.
1 tentang . + = + (hukum perpindahan).
2 tentang . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (hukum asosiatif).
3 tentang . + (– ) + .
2) Pengurangan vektor.
def. sembilan. Di bawah perbedaan vektor dan memahami vektor = - sedemikian rupa sehingga + = .
Dalam jajaran genjang, ini adalah hal lain diagonal SD (lihat gambar 1).
3) Perkalian vektor dengan angka.
def. sepuluh. kerja vektor ke skalar k disebut vektor
= k = k ,
panjang ka , dan arah, yang:
1. bertepatan dengan arah vektor jika k > 0;
2. berlawanan dengan arah vektor jika k < 0;
3. sewenang-wenang jika k = 0.
Sifat-sifat perkalian vektor dengan bilangan.
1 tentang . (k + aku ) = k + aku .
k ( + ) = k + k .
2 Hai . k (aku ) = (kl ) .
3 Hai . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Sifat vektor.
def. sebelas. Dua vektor dan disebut kolinear jika mereka berada di garis sejajar atau di satu garis lurus.
Vektor nol adalah collinear ke vektor apapun.
Teorema 1. Dua vektor bukan nol dan kolinear, ketika mereka proporsional yaitu
= k , k - skalar.
def. 12. Tiga buah vektor , , disebut sebidang jika mereka sejajar dengan beberapa bidang atau terletak di dalamnya.
Teorema 2. Tiga vektor bukan nol , , sebidang, ketika salah satunya adalah kombinasi linier dari dua lainnya, mis.
= k + aku , k , aku - skalar.
Proyeksi vektor ke sumbu.
Teorema 3. Proyeksi vektor ke sumbu (garis berarah) aku sama dengan produk dari panjang vektor dan kosinus sudut antara arah vektor dan arah sumbu, mis. = sebuah c os , = ( , aku).
2. KOORDINAT VEKTOR
def. tigabelas. Proyeksi vektor pada sumbu koordinat Oh, OU, Ons ditelepon koordinat vektor. sebutan: sebuah x , sebuah kamu , sebuah z .
Panjang vektor: 
Contoh: Hitunglah panjang vektor tersebut.
Keputusan:
Jarak antar titik 
dan 
dihitung dengan rumus: .
Contoh: Tentukan jarak antara titik M (2,3,-1) dan K (4,5,2).
Tindakan pada vektor dalam bentuk koordinat.
Diketahui vektor = sebuah x , sebuah kamu , sebuah z dan = b x , b kamu , b z .
1. ( )= sebuah x b x , sebuah kamu b kamu , sebuah z b z .
2. = sebuah x , sebuah kamu , sebuah z, dimana - skalar.
Produk skalar dari vektor.
Definisi: Di bawah produk skalar dari dua vektor dan
dipahami sebagai angka yang sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka, mis. = , - sudut antara vektor dan .
Properti produk titik:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , di mana adalah skalar.
6. dua buah vektor tegak lurus (orthogonal) jika .
7. jika dan hanya jika 
.
Produk skalar dalam bentuk koordinat memiliki bentuk: 
,
dimana dan .
Contoh: Temukan produk skalar dari vektor dan
Keputusan:
Vektor memegang vektor.
Definisi: Produk vektor dari dua vektor dan dipahami sebagai vektor yang:
Modul sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, mis. 
, dimana adalah sudut antara vektor dan
Vektor ini tegak lurus terhadap vektor yang dikalikan, yaitu
Jika vektor-vektor tersebut tidak kolinear, maka vektor-vektor tersebut membentuk rangkap tiga vektor.
Properti lintas produk:
1. Ketika urutan faktor diubah, produk vektor mengubah tandanya menjadi kebalikannya, mempertahankan modul, yaitu. 
2 .Vektor persegi sama dengan nol-vektor, yaitu.
3
.Faktor skalar dapat dikeluarkan dari tanda produk vektor, yaitu. 
4
.Untuk setiap tiga vektor, persamaan 
5 .Kondisi perlu dan cukup untuk kolinearitas dua buah vektor dan :
Produk vektor dalam bentuk koordinat.
Jika koordinat vektor dan , maka produk vektor mereka ditemukan dengan rumus:
.
Kemudian dari definisi perkalian silang maka luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor dan dihitung dengan rumus:
Contoh: Hitung luas segitiga dengan simpul (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Keputusan: 
.
Maka luas segitiga ABC akan dihitung sebagai berikut:
,
Produk campuran dari vektor.
Definisi: Produk campuran (vektor-skalar) dari vektor adalah bilangan yang ditentukan oleh rumus: 
.
Properti produk campuran:
1.
Produk campuran tidak berubah dengan permutasi siklik dari faktor-faktornya, mis. 
.
2. Ketika dua faktor tetangga dipertukarkan, produk campuran berubah tandanya menjadi kebalikannya, yaitu. .
3 .Kondisi perlu dan cukup untuk tiga vektor menjadi koplanar : =0.
4 .Produk campuran dari tiga vektor sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, diambil dengan tanda plus jika vektor-vektor ini membentuk triple kanan, dan dengan tanda minus jika membentuk triple kiri, yaitu. .
Jika diketahui koordinat vektor ,
kemudian produk campuran ditemukan dengan rumus: 
Contoh: Hitung produk campuran vektor.
Keputusan: 
3. Dasar sistem vektor.
Definisi. Sebuah sistem vektor dipahami sebagai beberapa vektor milik ruang yang sama R.
Komentar. Jika sistem terdiri dari sejumlah vektor yang terbatas, maka mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan indeks yang berbeda.
Contoh. 
Definisi. Setiap vektor berbentuk = 
disebut kombinasi linear dari vektor. Angka-angka adalah koefisien kombinasi linier.
Contoh. 
.
Definisi. Jika vektor adalah kombinasi linier dari vektor , maka kita katakan bahwa vektor dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor .
Definisi. Sistem vektor disebut bebas linier, jika tidak ada vektor sistem yang dapat berupa kombinasi linier dari vektor lainnya. Jika tidak, sistem ini disebut bergantung linier.
Contoh. Sistem vektor 
bergantung linier, karena vektor 
.
Definisi dasar. Suatu sistem vektor membentuk basis jika:
1) bebas linier,
2) setiap vektor ruang yang melaluinya dinyatakan secara linier.
Contoh 1 Dasar ruang: .
2.
Dalam sistem vektor 
vektor adalah basis: , karena 
linier dinyatakan dalam vektor .
Komentar. Untuk menemukan dasar dari sistem vektor yang diberikan, Anda perlu:
1) tulis koordinat vektor dalam matriks,
2) menggunakan transformasi dasar, bawa matriks ke bentuk segitiga,
3) baris matriks bukan nol akan menjadi basis sistem,
4) jumlah vektor pada basis sama dengan pangkat matriks.
DEFINISI
vektor(dari lat. " vektor"-" bantalan") - segmen terarah dari garis lurus di ruang angkasa atau di pesawat.
Secara grafis, vektor digambarkan sebagai segmen garis lurus berarah dengan panjang tertentu. Vektor yang awalnya di titik dan akhir di titik dilambangkan sebagai (Gbr. 1). Juga, vektor dapat dilambangkan dengan satu huruf kecil, misalnya, .
Jika sistem koordinat diberikan dalam ruang, maka vektor dapat ditentukan secara unik oleh satu set koordinatnya. Artinya, vektor dipahami sebagai objek yang memiliki nilai (panjang), arah dan titik aplikasi (awal vektor).
Awal mula kalkulus vektor muncul dalam karya pada tahun 1831 dalam karya matematikawan Jerman, mekanik, fisikawan, astronom dan surveyor Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Karya tentang operasi dengan vektor diterbitkan oleh ahli matematika, mekanik dan fisikawan teoretis Irlandia, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) sebagai bagian dari kalkulus angka empatnya. Ilmuwan mengusulkan istilah "vektor" dan menjelaskan beberapa operasi pada vektor. Kalkulus vektor dikembangkan lebih lanjut berkat karya elektromagnetisme fisikawan, matematikawan, dan mekanik Inggris James Clerk Maxwell (1831-1879). Pada tahun 1880-an, buku "Elements of Vector Analysis" oleh fisikawan, fisikokimia, matematikawan dan mekanik Amerika Josiah Willard Gibbs (1839-1903) diterbitkan. Analisis vektor modern dijelaskan pada tahun 1903 oleh ilmuwan otodidak Inggris, insinyur, matematikawan dan fisikawan Oliver Heaviside (1850-1925).
DEFINISI
Panjang atau modul vektor adalah panjang segmen berarah yang mendefinisikan vektor. Ditunjuk sebagai .
Jenis dasar vektor
Vektor nol disebut vektor yang titik awal dan titik akhirnya sama. Panjang vektor nol adalah nol.
Vektor yang sejajar dengan garis yang sama atau terletak pada garis yang sama disebut kolinear(Gbr. 2).
searah jika arah mereka sama.
Pada Gambar 2, ini adalah vektor dan . Ko-arah vektor dilambangkan sebagai berikut: .
Dua buah vektor collinear disebut arah berlawanan jika arah mereka berlawanan.
Pada gambar 3, ini adalah vektor dan . Penamaan: .
