Jadi, layanan untuk menyelesaikan matriks online:

Layanan matriks memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi dasar matriks.
Jika Anda memiliki tugas untuk melakukan transformasi yang lebih kompleks, maka layanan ini harus digunakan sebagai konstruktor.

Contoh. Data matriks A dan B, perlu menemukan C = A -1 * B + B T ,

1. Anda harus terlebih dahulu menemukan matriks terbalikA1 = A-1 , menggunakan layanan untuk mencari matriks invers ;
2. Selanjutnya, setelah menemukan matriks A1 lakukan perkalian matriksA2 = A1 * B, menggunakan layanan untuk perkalian matriks;
3. Ayo lakukan transposisi matriksA3 = B T (layanan untuk menemukan matriks yang ditransposisikan);
4. Dan yang terakhir - temukan jumlah matriks Dengan = A2 + A3(layanan untuk menghitung jumlah matriks) - dan kami mendapatkan jawaban dengan solusi paling detail!;

Produk dari matriks

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks faktor pertama A
• Masukkan matriks faktor kedua atau vektor kolom B

Perkalian matriks dengan vektor

Perkalian matriks dengan vektor dapat ditemukan menggunakan layanan perkalian matriks
(Faktor pertama adalah matriks yang diberikan, faktor kedua adalah kolom yang terdiri dari elemen-elemen vektor yang diberikan)

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks A, yang Anda butuhkan untuk menemukan matriks terbalik
• Dapatkan jawaban dengan solusi terperinci untuk menemukan matriks terbalik

Penentu matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks A, yang Anda butuhkan untuk menemukan determinan matriks

Transposisi matriks

Di sini Anda dapat mengikuti algoritme transposisi matriks dan mempelajari cara menyelesaikan sendiri masalah tersebut.
Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks A, yang perlu diubah

Peringkat matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks A, di mana Anda perlu menemukan peringkatnya

Nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks

Ini adalah layanan online satu langkah:

• Masukkan matriks A, di mana Anda perlu menemukan vektor eigen dan nilai eigen (nilai eigen)

Eksponensial matriks

Ini adalah layanan online dua langkah:

• Masukkan matriks A, yang akan diangkat ke kekuasaan
• Masukkan bilangan bulat q- derajat

tugas layanan. Kalkulator matriks dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara matriks (lihat contoh penyelesaian masalah serupa).

Petunjuk. Untuk solusi online, Anda harus memilih jenis persamaan dan mengatur dimensi matriks yang sesuai.

Jenis persamaan: A X = B X A = B A X B = C
Dimensi matriks A
Dimensi matriks B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensi matriks C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

di mana A, B, C diberikan matriks, X adalah matriks yang diinginkan. Persamaan matriks dalam bentuk (1), (2) dan (3) diselesaikan melalui matriks invers A -1 . Jika diberikan ekspresi A X - B = C, maka matriks C + B harus dijumlahkan terlebih dahulu dan dicari solusi untuk ekspresi A X = D , di mana D = C + B (). Jika diberikan ekspresi A*X = B2, maka matriks B harus dikuadratkan terlebih dahulu. Disarankan juga untuk membiasakan diri Anda dengan operasi dasar matriks.

Contoh 1. Latihan. Temukan solusi untuk persamaan matriks
Keputusan. Menunjukkan:
Maka persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: A·X·B = C.
Determinan matriks A adalah detA=-1
Karena A adalah matriks nonsingular, ada matriks invers A -1 . Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan A -1: Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan A -1 dan di sebelah kanan dengan B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Karena A A -1 = B B -1 = E dan E X = X E = X, maka X = A -1 C B -1

Matriks invers A -1:
Temukan matriks invers B -1 .
Transpos matriks B T:
Matriks invers B -1:
Kami mencari matriks X dengan rumus: X = A -1 C B -1

Menjawab:

Contoh #2. Latihan. Memecahkan persamaan matriks
Keputusan. Menunjukkan:
Maka persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: A X = B.
Determinan matriks A adalah detA=0
Karena A adalah matriks degenerasi (determinannya adalah 0), maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Contoh #3. Latihan. Temukan solusi untuk persamaan matriks
Keputusan. Menunjukkan:
Maka persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: X·A = B.
Determinan matriks A adalah detA=-60
Karena A adalah matriks nonsingular, ada matriks invers A -1 . Kalikan kedua ruas persamaan di kanan dengan A -1: X A A -1 = B A -1 , dari sini kita menemukan bahwa X = B A -1
Tentukan matriks invers A -1 .
Matriks yang ditransposisikan A T:
Matriks invers A -1:
Kami mencari matriks X dengan rumus: X = B A -1


Jawaban: >

Matriks terbalik- seperti matriks A −1 , jika dikalikan dengan matriks asli A memberikan hasilnya matriks identitas E:

matriks persegi dapat dibalik jika dan hanya jika tidak mengalami degenerasi, yaitu penentu tidak sama dengan nol. Untuk matriks non-persegi dan matriks degenerasi matriks terbalik tidak ada. Namun, adalah mungkin untuk menggeneralisasi konsep ini dan memperkenalkan matriks pseudoinverse, mirip dengan invers di banyak properti.

Solusi persamaan matriks

Persamaan matriks dapat terlihat seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberikan matriks, X adalah matriks yang diinginkan.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan dengan matriks invers.

Misalnya, untuk menemukan matriks dari suatu persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh karena itu, untuk menemukan solusi persamaan, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di ruas kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Keputusan: Karena invers matriks sama dengan (lihat contoh 1)

Ruang linier

Definisi ruang linier

Biarlah V- himpunan yang tidak kosong (kita akan menyebut elemen-elemennya sebagai vektor dan menunjukkan ...), di mana aturan ditetapkan:

1) setiap dua elemen sesuai dengan elemen ketiga yang disebut jumlah elemen (operasi internal);

2) masing-masing sesuai dengan elemen tertentu (operasi eksternal).

Sekelompok V disebut ruang linier (vektor) nyata jika aksioma berikut berlaku:

SAYA.

AKU AKU AKU. (elemen nol, sehingga ).

IV. (elemen berlawanan dengan elemen ), sehingga

v.

VIII. Ruang linier kompleks didefinisikan dengan cara yang sama (sebagai ganti R dipertimbangkan C).

Subruang dari ruang linier

Himpunan tersebut disebut subruang dari ruang linier V, jika:

1)

Sistem vektor ruang linier L formulir dasar di L jika sistem vektor ini terurut, bebas linier, dan sembarang vektor dari L dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sistem.

Dengan kata lain, sistem vektor terurut yang bebas linier e 1 , ..., e n membentuk dasar dari L jika ada vektor x dari L dapat disajikan dalam bentuk

x= C 1 e 1 + C 2 e 2 + ... + C n · e n .

Dasarnya dapat didefinisikan secara berbeda.

Setiap sistem independen linier terurut e 1 , ..., e n vektor n- ruang linier berdimensi L n membentuk dasar dari ruang ini.

Sejauh n, dimensi ruang L n adalah jumlah maksimum vektor ruang bebas linier, maka sistem vektor x,e 1 , ..., e n bergantung linier dan, oleh karena itu, vektor x dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor e 1 , ..., e n :

x = x satu · e 1 + x 2 e 2 + ...+ x n · e n .

Dekomposisi vektor seperti itu dalam hal basis hanya.

Teorema 1. (Tentang jumlah vektor dalam sistem vektor yang bebas linier dan sistem pembangkit vektor.) Jumlah vektor dalam sistem vektor yang bebas linier tidak melebihi jumlah vektor dalam sistem pembangkit vektor yang sama vektor ruang angkasa.

Bukti. Biarkan sistem vektor bebas linier arbitrer menjadi sistem pembangkit arbitrer. Mari kita asumsikan itu.

Karena sistem pembangkit, maka itu mewakili setiap vektor ruang, termasuk vektor . Mari kita tambahkan ke sistem ini. Kami mendapatkan sistem vektor yang bergantung linier dan menghasilkan: . Kemudian ada sebuah vektor dari sistem ini yang dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor sebelumnya dari sistem ini dan, berdasarkan lemma, ia dapat dihilangkan dari sistem, dan sistem vektor yang tersisa akan tetap dibangkitkan.

Kami memberi nomor ulang sistem vektor yang tersisa: . Karena sistem ini menghasilkan, maka itu merupakan vektor dan, dengan melampirkannya ke sistem ini, kita kembali mendapatkan sistem yang bergantung linier dan menghasilkan: .

Kemudian semuanya berulang. Ada vektor dalam sistem ini, yang dinyatakan secara linier dalam bentuk sebelumnya, dan ini tidak bisa menjadi vektor, karena sistem aslinya bebas linier dan vektor tidak dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor . Jadi itu hanya bisa menjadi salah satu vektor . Menghapusnya dari sistem , kami memperoleh, setelah penomoran ulang, sistem , yang akan menjadi sistem pembangkit. Melanjutkan proses ini, setelah langkah-langkah kita memperoleh sistem pembangkit vektor: , Dimana , karena menurut perkiraan kami. Ini berarti bahwa sistem ini, sebagai generator, juga mewakili vektor , yang bertentangan dengan kondisi independensi linier sistem .

Teorema 1 terbukti.

Teorema 2. (Pada jumlah vektor dalam basis.) Dalam basis vektor apa pun ruang angkasa mengandung jumlah vektor yang sama.

Bukti. Membiarkan dan menjadi dua basis ruang vektor arbitrer. Setiap basis adalah sistem vektor yang bebas linier dan menghasilkan.

Karena sistem pertama bebas linier, dan sistem kedua menghasilkan, kemudian, dengan Teorema 1, .

Demikian pula, sistem kedua bebas linier, dan yang pertama menghasilkan, maka . Dari sini dapat disimpulkan bahwa , p.t.d.

Teorema 2 terbukti.

Ini dalil memungkinkan kita untuk memperkenalkan definisi berikut.

Definisi. Dimensi ruang vektor V di atas bidang K adalah jumlah vektor pada basisnya.

Sebutan: atau .

Koordinat vektor adalah koefisien dari satu-satunya yang mungkin kombinasi linear dasar vektor di terpilih sistem koordinasi sama dengan vektor yang diberikan.

Matriks adalah objek matematika yang ditulis sebagai tabel angka persegi panjang dan memungkinkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dll.) antara itu dan objek serupa lainnya. Aturan untuk melakukan operasi pada matriks dibuat sebagai berikut,

untuk memudahkan penulisan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin dan dibedakan dengan tanda kurung bulat "(...)" (juga ditemukan

disorot dengan tanda kurung siku “[…]”, garis lurus ganda “||…||”) Dan angka-angka yang membentuk matriks (elemen matriks) dilambangkan dengan huruf yang sama dengan matriks itu sendiri, tetapi kecil. setiap elemen matriks memiliki 2 subskrip (a ij ) - "i" pertama adalah singkatan dari

nomor baris elemen tersebut, dan "j" kedua adalah nomor kolom.

Operasi matriks

Perkalian matriks A dengan bilangan

B , yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan angka ini, yaitu, setiap elemen matriks B adalah

b ij = a ij

Penambahan matriks A

elemen matriks C adalah

c ij = a ij + b ij

Pengurangan matriks A

c ij = a ij- b ij

A+Θ=A

perkalian matriks(notasi: AB , jarang dengan tanda perkalian) - ada operasi untuk menghitung matriks C , yang elemen-elemennya sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen pada baris yang sesuai dari faktor pertama dan kolom yang kedua.

c ij= a ikb kj

Pengganda pertama harus memiliki kolom sebanyak jumlah baris di kolom kedua. Jika matriks A memiliki dimensi, B -, maka dimensi perkaliannya AB = C

ada . Perkalian matriks tidak komutatif. Hal ini dapat dilihat setidaknya dari kenyataan bahwa jika matriks tidak persegi, maka Anda hanya dapat mengalikan satu dengan yang lain, tetapi tidak sebaliknya. Untuk

matriks persegi, hasil perkalian tergantung pada urutan faktor.

Hanya matriks persegi yang dapat dipangkatkan.

Matriks identitas

Untuk matriks persegi, ada matriks identitas E sedemikian rupa sehingga setiap perkalian

matriks di atasnya tidak mempengaruhi hasil, yaitu

EA=AE=A

Matriks identitas hanya memiliki satuan dalam

diagonal, elemen lainnya sama dengan nol

Untuk beberapa matriks persegi seseorang dapat menemukan apa yang disebutmatriks terbalik.

Invers matriks A - 1 sedemikian rupa sehingga jika Anda mengalikan matriks dengannya, Anda mendapatkan matriks identitas

AA 1 = E

Matriks terbalik tidak selalu ada. Matriks yang inversnya ada disebut

tidak merosot, dan yang tidak - merosot. Suatu matriks dikatakan nondegenerasi jika semua baris (kolom)nya bebas linier sebagai vektor. Jumlah maksimum baris independen linier

(kolom) disebut rank matriks. Determinan (determinan) suatu matriks adalah suatu fungsi linier simetris miring ternormalisasi pada baris-baris suatu matriks. Matriks

berdegenerasi jika dan hanya jika determinannya nol.

Properti Matriks

1. A + (B + C ) = (A + B ) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC ) = (AB )C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Matriks simetris A pasti positif (A > 0) jika nilai semua sudut utamanya minor A k > 0

10. Matriks simetris A pasti negatif (A< 0), если матрица (−A )

berdefinisi positif, yaitu jika untuk sembarang k minor utama dari orde ke-k A k bertanda (− 1)k

Sistem persamaan linear

Sistem persamaan m dengan n tidak diketahui

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks

dan kemudian seluruh sistem dapat ditulis seperti ini: AX =B

Operasi matriks

Biarkan a ij menjadi elemen matriks A , dan b ij menjadi matriks B .

Perkalian matriks A dengan bilangan(notasi: A ) adalah untuk membuat matriks

B , yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan angka ini, yaitu, setiap elemen matriks B adalah b ij = a ij

Mari kita tulis matriks A

Kalikan elemen pertama matriks A dengan 2

Penambahan matriks A+ B adalah operasi mencari matriks C , yang semua elemennya sama dalam jumlah berpasangan dari semua elemen matriks A dan B yang bersesuaian , yaitu masing-masing

elemen matriks C adalah

c ij = a ij + b ij

+В Mari kita tulis matriks dan

Lakukan penjumlahan elemen pertama matriks

Regangkan nilainya, pertama secara horizontal lalu vertikal (Anda bisa sebaliknya)

Pengurangan matriks A B didefinisikan mirip dengan penjumlahan, yaitu operasi mencari matriks C yang elemen-elemennya

c ij = a ij- b ij

Penjumlahan dan pengurangan hanya diperbolehkan untuk matriks dengan ukuran yang sama.

Ada matriks nol sedemikian rupa sehingga penambahannya ke matriks lain A tidak mengubah A, mis.

A+Θ=A

Semua elemen matriks nol sama dengan nol.

Topik ini adalah salah satu yang paling dibenci di kalangan siswa. Lebih buruk lagi, mungkin, hanya penentu.

Triknya adalah bahwa konsep elemen invers (dan saya tidak hanya berbicara tentang matriks sekarang) merujuk kita pada operasi perkalian. Bahkan dalam kurikulum sekolah, perkalian dianggap sebagai operasi yang kompleks, dan perkalian matriks umumnya merupakan topik yang terpisah, di mana saya memiliki seluruh paragraf dan pelajaran video yang dikhususkan untuk itu.

Hari ini kita tidak akan masuk ke rincian perhitungan matriks. Ingat saja: bagaimana matriks dilambangkan, bagaimana matriks dikalikan dan apa yang mengikutinya.

Ulasan: Perkalian Matriks

Pertama-tama, mari kita sepakati notasi. Sebuah matriks $A$ dengan ukuran $\left[ m\times n \right]$ hanyalah sebuah tabel angka dengan persis $m$ baris dan $n$ kolom:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matriks) \kanan])_(n)\]

Agar tidak secara tidak sengaja membingungkan baris dan kolom di beberapa tempat (percayalah, dalam ujian Anda dapat mengacaukan satu dengan deuce - apa yang bisa kita katakan tentang beberapa baris di sana), lihat saja gambarnya:

Penentuan indeks untuk sel matriks

Apa yang terjadi? Jika kita menempatkan sistem koordinat standar $OXY$ di sudut kiri atas dan mengarahkan sumbu sehingga menutupi seluruh matriks, maka setiap sel matriks ini dapat dikaitkan secara unik dengan koordinat $\left(x;y \right) $ - ini akan menjadi nomor baris dan nomor kolom.

Mengapa sistem koordinat diletakkan tepat di pojok kiri atas? Ya, karena dari sanalah kita mulai membaca teks apapun. Sangat mudah untuk diingat.

Mengapa sumbu $x$ mengarah ke bawah dan tidak ke kanan? Sekali lagi, semuanya sederhana: ambil sistem koordinat standar (sumbu $x$ bergerak ke kanan, sumbu $y$ naik) dan putar sehingga menutup matriks. Ini adalah rotasi searah jarum jam 90 derajat - kita lihat hasilnya di gambar.

Secara umum, kami menemukan cara menentukan indeks elemen matriks. Sekarang mari kita berurusan dengan perkalian.

Definisi. Matriks $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, jika jumlah kolom pada kolom pertama sama dengan jumlah baris pada baris kedua, adalah disebut konsisten.

Itu dalam urutan itu. Seseorang dapat menjadi ambigu dan mengatakan bahwa matriks $A$ dan $B$ membentuk pasangan terurut $\left(A;B \right)$: jika mereka konsisten dalam urutan ini, maka $B sama sekali tidak perlu $ dan $A$, itu. pasangan $\left(B;A \right)$ juga konsisten.

Hanya matriks yang konsisten yang dapat dikalikan.

Definisi. Hasil kali matriks konsisten $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$ adalah matriks baru $C=\left[ m\times k \right ]$ , yang elemennya $((c)_(ij))$ dihitung dengan rumus:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Dengan kata lain: untuk mendapatkan elemen $((c)_(ij))$ dari matriks $C=A\cdot B$, Anda perlu mengambil baris $i$ dari matriks pertama, $j$ kolom -th dari matriks kedua, dan kemudian kalikan elemen dari baris dan kolom ini. Tambahkan hasilnya.

Ya, itu definisi yang kasar. Beberapa fakta segera mengikuti darinya:

1. Perkalian matriks secara umum tidak komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Namun, perkalian bersifat asosiatif: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Dan bahkan distributif: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Dan distributif lagi: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distribusi perkalian perkalian harus dideskripsikan secara terpisah untuk perkalian jumlah kiri dan kanan hanya karena operasi perkalian tidak komutatif.

Namun, jika ternyata $A\cdot B=B\cdot A$, matriks tersebut disebut permuable.

Di antara semua matriks yang dikalikan dengan sesuatu di sana, ada yang khusus - yang, ketika dikalikan dengan matriks apa pun $A$, sekali lagi menghasilkan $A$:

Definisi. Suatu matriks $E$ disebut identitas jika $A\cdot E=A$ atau $E\cdot A=A$. Dalam kasus matriks persegi $A$ kita dapat menulis:

Matriks identitas sering menjadi tamu dalam menyelesaikan persamaan matriks. Dan secara umum, sering menjadi tamu di dunia matriks. :)

Dan karena $E$ ini, seseorang datang dengan semua game yang akan ditulis selanjutnya.

Apa itu matriks terbalik?

Karena perkalian matriks adalah operasi yang sangat memakan waktu (Anda harus mengalikan sekelompok baris dan kolom), konsep matriks terbalik juga bukan yang paling sepele. Dan itu perlu penjelasan.

Definisi Kunci

Nah, inilah saatnya untuk mengetahui kebenarannya.

Definisi. Matriks $B$ disebut invers dari matriks $A$ jika

Matriks invers dilambangkan dengan $((A)^(-1))$ (jangan bingung dengan derajatnya!), sehingga definisinya dapat ditulis ulang seperti ini:

Tampaknya semuanya sangat sederhana dan jelas. Tetapi ketika menganalisis definisi seperti itu, beberapa pertanyaan segera muncul:

1. Apakah matriks invers selalu ada? Dan jika tidak selalu, lalu bagaimana menentukan: kapan itu ada dan kapan tidak?
2. Dan siapa yang mengatakan bahwa matriks seperti itu persis satu? Bagaimana jika untuk beberapa matriks asli $A$ ada banyak invers?
3. Seperti apa semua "kebalikan" ini? Dan bagaimana Anda benar-benar menghitungnya?

Adapun algoritma perhitungan - kita akan membicarakannya nanti. Tapi kami akan menjawab sisa pertanyaan sekarang. Mari kita susun dalam bentuk asersi-lemma yang terpisah.

Sifat dasar

Mari kita mulai dengan bagaimana matriks $A$ akan terlihat agar memiliki $((A)^(-1))$. Sekarang kita akan memastikan bahwa kedua matriks ini harus persegi, dan berukuran sama: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Diberikan matriks $A$ dan inversnya $((A)^(-1))$. Maka kedua matriks ini persegi dan memiliki orde $n$ yang sama.

Bukti. Semuanya sederhana. Misalkan matriks $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Karena produk $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ada menurut definisi, matriks $A$ dan $((A)^(-1))$ konsisten dalam urutan itu:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( meluruskan)\]

Ini adalah konsekuensi langsung dari algoritma perkalian matriks: koefisien $n$ dan $a$ adalah "transit" dan harus sama.

Pada saat yang sama, perkalian terbalik juga didefinisikan: $((A)^(-1))\cdot A=E$, jadi matriks $((A)^(-1))$ dan $A$ adalah juga konsisten dalam urutan ini:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( meluruskan)\]

Jadi, tanpa kehilangan sifat umum, kita dapat mengasumsikan bahwa $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Namun, menurut definisi $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, maka dimensi matriksnya sama persis:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Jadi ternyata ketiga matriks - $A$, $((A)^(-1))$ dan $E$ - berukuran persegi $\left[ n\times n \right]$. Lemmanya terbukti.

Nah, itu sudah bagus. Kita melihat bahwa hanya matriks persegi yang dapat dibalik. Sekarang mari kita pastikan bahwa matriks invers selalu sama.

Lemma 2. Diberikan matriks $A$ dan inversnya $((A)^(-1))$. Maka matriks invers ini adalah unik.

Bukti. Mari kita mulai dari kebalikannya: biarkan matriks $A$ memiliki setidaknya dua contoh invers — $B$ dan $C$. Kemudian, menurut definisi, persamaan berikut adalah benar:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(sejajarkan)\]

Dari Lemma 1 kita simpulkan bahwa keempat matriks $A$, $B$, $C$ dan $E$ adalah kuadrat dengan orde yang sama: $\left[ n\times n \right]$. Oleh karena itu, produk didefinisikan:

Karena perkalian matriks adalah asosiatif (tetapi tidak komutatif!), kita dapat menulis:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Panah Kanan B=C. \\ \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat satu-satunya opsi yang mungkin: dua salinan matriks terbalik adalah sama. Lemmanya terbukti.

Penalaran di atas hampir secara verbatim mengulangi bukti keunikan elemen invers untuk semua bilangan real $b\ne 0$. Satu-satunya penambahan yang signifikan adalah memperhitungkan dimensi matriks.

Namun, kami masih tidak tahu apa-apa tentang apakah ada matriks persegi yang dapat dibalik. Di sini determinan datang membantu kami - ini adalah karakteristik utama untuk semua matriks persegi.

Lem 3 . Diberikan matriks $A$. Jika matriks $((A)^(-1))$ berbanding terbalik dengan matriks tersebut, maka determinan matriks aslinya adalah bukan nol:

\\[\kiri| A \kanan|\ne 0\]

Bukti. Kita telah mengetahui bahwa $A$ dan $((A)^(-1))$ adalah matriks persegi berukuran $\left[ n\times n \right]$. Oleh karena itu, untuk masing-masingnya dimungkinkan untuk menghitung determinan: $\left| Sebuah \kanan|$ dan $\kiri| ((A)^(-1)) \kanan|$. Namun, determinan produk sama dengan produk determinan:

\\[\kiri| A\cdot B \kanan|=\kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| B \kanan|\Panah kanan \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Tetapi menurut definisi $A\cdot ((A)^(-1))=E$, dan determinan $E$ selalu sama dengan 1, jadi

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| E\kanan|; \\ & \kiri| Sebuah \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|=1. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasil kali dua bilangan sama dengan satu hanya jika masing-masing bilangan ini berbeda dengan nol:

\\[\kiri| A \kanan|\ne 0;\quad \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Jadi ternyata $\left| Sebuah \benar|\ne 0$. Lemmanya terbukti.

Padahal, persyaratan ini cukup logis. Sekarang kita akan menganalisis algoritme untuk menemukan matriks terbalik - dan akan menjadi sangat jelas mengapa, pada prinsipnya, tidak ada matriks terbalik dengan determinan nol.

Tapi pertama-tama, mari kita rumuskan definisi "tambahan":

Definisi. Matriks degenerasi adalah matriks bujur sangkar berukuran $\left[ n\times n \right]$ yang determinannya nol.

Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa setiap matriks yang dapat dibalik adalah nondegenerate.

Bagaimana menemukan matriks terbalik

Sekarang kita akan mempertimbangkan algoritma universal untuk menemukan matriks invers. Secara umum, ada dua algoritma yang diterima secara umum, dan kami juga akan mempertimbangkan yang kedua hari ini.

Salah satu yang akan dipertimbangkan sekarang sangat efisien untuk matriks berukuran $\left[ 2\times 2 \right]$ dan - sebagian - berukuran $\left[ 3\times 3 \right]$. Tapi mulai dari ukuran $\left[ 4\times 4 \right]$ sebaiknya tidak digunakan. Mengapa - sekarang Anda akan mengerti segalanya.

penjumlahan aljabar

Siap-siap. Sekarang akan ada rasa sakit. Tidak, jangan khawatir: perawat cantik dengan rok, stoking dengan renda tidak mendatangi Anda dan tidak akan memberi Anda suntikan di pantat. Semuanya jauh lebih membosankan: penambahan aljabar dan Yang Mulia "Matriks Serikat" akan datang kepada Anda.

Mari kita mulai dengan yang utama. Misalkan ada matriks bujur sangkar berukuran $A=\left[ n\times n \right]$ yang elemen-elemennya bernama $((a)_(ij))$. Kemudian, untuk setiap elemen tersebut, seseorang dapat mendefinisikan pelengkap aljabar:

Definisi. Aljabar melengkapi $((A)_(ij))$ ke elemen $((a)_(ij))$ pada baris $i$-th dan kolom $j$-th dari matriks $A=\left [ n \times n \right]$ adalah konstruksi dari bentuk

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Dimana $M_(ij)^(*)$ adalah determinan dari matriks yang diperoleh dari $A$ asli dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ yang sama.

Lagi. Komplemen aljabar untuk elemen matriks dengan koordinat $\left(i;j \right)$ dilambangkan sebagai $((A)_(ij))$ dan dihitung menurut skema:

1. Pertama, kami menghapus baris $i$ dan kolom $j$-th dari matriks asli. Kami mendapatkan matriks persegi baru, dan kami menyatakan determinannya sebagai $M_(ij)^(*)$.
2. Kemudian kita kalikan determinan ini dengan $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - pada awalnya ungkapan ini mungkin tampak membingungkan, tetapi sebenarnya kita hanya menemukan tanda di depan $ M_(ij)^(*) $.
3. Kami menghitung - kami mendapatkan nomor tertentu. Itu. penjumlahan aljabar hanyalah sebuah angka, bukan matriks baru, dan seterusnya.

Matriks $M_(ij)^(*)$ itu sendiri disebut minor komplementer dari elemen $((a)_(ij))$. Dan dalam pengertian ini, definisi pelengkap aljabar di atas adalah kasus khusus dari definisi yang lebih kompleks - yang telah kita bahas dalam pelajaran tentang determinan.

Catatan penting. Sebenarnya, dalam matematika "dewasa", penjumlahan aljabar didefinisikan sebagai berikut:

1. Kami mengambil baris $k$ dan kolom $k$ dalam matriks persegi. Pada perpotongannya, kita mendapatkan matriks berukuran $\left[ k\times k \right]$ — determinannya disebut minor orde $k$ dan dilambangkan dengan $((M)_(k))$.
2. Kemudian kami mencoret baris $k$ dan kolom $k$ "terpilih" ini. Sekali lagi, kita mendapatkan matriks persegi - determinannya disebut minor komplementer dan dilambangkan dengan $M_(k)^(*)$.
3. Kalikan $M_(k)^(*)$ dengan $((\left(-1 \right))^(t))$, di mana $t$ adalah (perhatian sekarang!) jumlah angka dari semua baris yang dipilih dan kolom. Ini akan menjadi penjumlahan aljabar.

Lihatlah langkah ketiga: sebenarnya ada jumlah $2k$ istilah! Hal lain adalah bahwa untuk $k=1$ kita hanya mendapatkan 2 suku - ini akan sama dengan $i+j$ - "koordinat" dari elemen $((a)_(ij))$, di mana kita berada mencari komplemen aljabar.

Jadi hari ini kita menggunakan definisi yang sedikit disederhanakan. Tapi seperti yang akan kita lihat nanti, itu akan lebih dari cukup. Jauh lebih penting adalah sebagai berikut:

Definisi. Matriks gabungan $S$ ke matriks bujur sangkar $A=\left[ n\times n \right]$ adalah matriks baru dengan ukuran $\left[ n\times n \right]$, yang diperoleh dari $A$ dengan mengganti $(( a)_(ij))$ dengan komplemen aljabar $((A)_(ij))$:

\\Panah Kanan S=\kiri[ \begin(matriks) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matriks) \kanan]\]

Pikiran pertama yang muncul pada saat menyadari definisi ini adalah "ini adalah berapa banyak yang harus Anda hitung secara total!" Tenang: Anda harus menghitung, tetapi tidak terlalu banyak. :)

Yah, semua ini sangat bagus, tetapi mengapa itu perlu? Tapi kenapa.

teorema utama

Mari kita kembali sedikit. Ingat, Lemma 3 menyatakan bahwa matriks yang dapat dibalik $A$ selalu non-singular (yaitu, determinannya bukan nol: $\left| A \right|\ne 0$).

Jadi, kebalikannya juga benar: jika matriks $A$ tidak mengalami degenerasi, maka matriks tersebut selalu dapat dibalik. Dan bahkan ada skema pencarian $((A)^(-1))$. Coba lihat:

Teorema matriks terbalik. Misalkan matriks persegi $A=\left[ n\times n \right]$ diberikan, dan determinannya bukan nol: $\left| Sebuah \benar|\ne 0$. Maka matriks invers $((A)^(-1))$ ada dan dihitung dengan rumus:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))\]

Dan sekarang - semuanya sama, tetapi dalam tulisan tangan yang dapat dibaca. Untuk menemukan matriks terbalik, Anda perlu:

1. Hitung determinannya $\left| A \right|$ dan pastikan bukan nol.
2. Kompilasi matriks gabungan $S$, mis. hitung 100.500 penambahan aljabar $((A)_(ij))$ dan letakkan di tempatnya $((a)_(ij))$.
3. Transpos matriks ini $S$ dan kemudian kalikan dengan beberapa bilangan $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Dan itu saja! Matriks invers $((A)^(-1))$ ditemukan. Mari kita lihat contohnya:

\[\kiri[ \begin(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriks) \kanan]\]

Keputusan. Mari kita periksa reversibilitasnya. Mari kita hitung determinannya:

\\[\kiri| A \kanan|=\kiri| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinannya berbeda dengan nol. Jadi matriksnya dapat dibalik. Mari kita buat matriks gabungan:

Mari kita hitung penjumlahan aljabar:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\kanan|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \kanan|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Perhatikan: determinan |2|, |5|, |1| dan |3| adalah determinan dari matriks berukuran $\left[ 1\times 1 \right]$, bukan modul. Itu. jika ada angka negatif di determinan, tidak perlu menghapus "minus".

Secara total, matriks serikat kami terlihat seperti ini:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \kanan]\]

Itu dia. Masalah terpecahkan.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\kiri[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \]

Keputusan. Sekali lagi, kami mempertimbangkan penentu:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinannya berbeda dari nol — matriksnya dapat dibalik. Tapi sekarang akan menjadi yang paling nyaring: Anda harus menghitung sebanyak 9 (sembilan, sialan!) Penambahan aljabar. Dan masing-masing akan berisi qualifier $\left[ 2\times 2 \right]$. Terbang:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriks) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matriks) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matriks) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matriks) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ \akhir(matriks)\]

Singkatnya, matriks serikat akan terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, matriks inversnya adalah:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matriks) \kanan]=\kiri[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \kanan]\]

Nah, itu saja. Inilah jawabannya.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \kanan ]$

Seperti yang Anda lihat, di akhir setiap contoh, kami melakukan pemeriksaan. Dalam hal ini, catatan penting:

Jangan malas untuk memeriksa. Kalikan matriks asli dengan invers yang ditemukan - Anda akan mendapatkan $E$.

Jauh lebih mudah dan lebih cepat untuk melakukan pemeriksaan ini daripada mencari kesalahan dalam perhitungan lebih lanjut, ketika, misalnya, Anda memecahkan persamaan matriks.

Cara alternatif

Seperti yang saya katakan, teorema matriks terbalik berfungsi dengan baik untuk ukuran $\left[ 2\times 2 \right]$ dan $\left[ 3\times 3 \right]$ (dalam kasus terakhir, tidak begitu "hebat" lagi)."), tetapi untuk matriks besar, kesedihan dimulai.

Tapi jangan khawatir: ada algoritme alternatif yang dapat digunakan untuk menemukan invers dengan tenang bahkan untuk matriks $\left[ 10\times 10 \right]$. Namun, seperti yang sering terjadi, untuk mempertimbangkan algoritme ini, kita memerlukan sedikit latar belakang teoretis.

Transformasi dasar

Di antara berbagai transformasi matriks, ada beberapa transformasi khusus - mereka disebut dasar. Ada persis tiga transformasi seperti itu:

1. Perkalian. Anda dapat mengambil baris (kolom) $i$-th dan mengalikannya dengan bilangan apa saja $k\ne 0$;
2. Tambahan. Tambahkan ke $i$-th baris (kolom) baris (kolom) $j$-th lainnya dikalikan dengan angka apa pun $k\ne 0$ (tentu saja, $k=0$ juga dimungkinkan, tetapi apa gunanya itu? ?Tidak ada yang akan berubah).
3. Permutasi. Ambil baris $i$-th dan $j$-th (kolom) dan tukarkan.

Mengapa transformasi ini disebut dasar (untuk matriks besar mereka tidak terlihat begitu mendasar) dan mengapa hanya ada tiga dari mereka - pertanyaan-pertanyaan ini berada di luar cakupan pelajaran hari ini. Karena itu, kami tidak akan membahas detailnya.

Hal lain yang penting: kita harus melakukan semua penyimpangan ini pada matriks terkait. Ya, ya, Anda tidak salah dengar. Sekarang akan ada satu definisi lagi - yang terakhir dalam pelajaran hari ini.

Matriks Terlampir

Tentunya di sekolah Anda memecahkan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan. Nah, di sana, kurangi yang lain dari satu baris, kalikan beberapa baris dengan angka - itu saja.

Jadi: sekarang semuanya akan sama, tetapi sudah "secara dewasa". Siap?

Definisi. Biarkan matriks $A=\left[ n\times n \right]$ dan matriks identitas $E$ dengan ukuran yang sama $n$ diberikan. Kemudian matriks terkait $\left[ A\left| E\benar. \right]$ adalah matriks $\left[ n\times 2n \right]$ baru yang terlihat seperti ini:

\[\kiri[ A\kiri| E\benar. \kanan]=\kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Singkatnya, kami mengambil matriks $A$, di sebelah kanan kami menetapkan matriks identitas $E$ dengan ukuran yang diperlukan, kami memisahkannya dengan bilah vertikal untuk kecantikan - inilah yang terlampir. :)

Apa tangkapannya? Dan inilah yang:

Dalil. Biarkan matriks $A$ dapat dibalik. Pertimbangkan matriks adjoint $\left[ A\left| E\benar. \kanan]$. Jika menggunakan transformasi string dasar bawa ke bentuk $\left[ E\left| Terang. \kanan]$, mis. dengan mengalikan, mengurangkan, dan mengatur ulang baris untuk mendapatkan dari $A$ matriks $E$ di sebelah kanan, maka matriks $B$ yang diperoleh di sebelah kiri adalah kebalikan dari $A$:

\[\kiri[ A\kiri| E\benar. \kanan]\ke \kiri[ E\kiri| Terang. \right]\Panah Kanan B=((A)^(-1))\]

Sesederhana itu! Singkatnya, algoritma untuk menemukan matriks terbalik terlihat seperti ini:

1. Tulis matriks terkait $\left[ A\left| E\benar. \kanan]$;
2. Lakukan konversi string dasar hingga muncul $E$ sebagai ganti $A$;
3. Tentu saja, sesuatu juga akan muncul di sebelah kiri - matriks tertentu $B$. Ini akan menjadi kebalikannya;
4. KEUNTUNGAN! :)

Tentu saja, jauh lebih mudah diucapkan daripada dilakukan. Jadi mari kita lihat beberapa contoh: untuk ukuran $\left[ 3\times 3 \right]$ dan $\left[ 4\times 4 \right]$.

Tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Keputusan. Kami menyusun matriks terlampir:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Karena kolom terakhir dari matriks asli diisi dengan yang lain, kurangi baris pertama dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\ke \\ & \ke \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Tidak ada unit lagi, kecuali baris pertama. Tetapi kami tidak menyentuhnya, jika tidak, unit yang baru dihapus akan mulai "berlipat ganda" di kolom ketiga.

Tetapi kita dapat mengurangi baris kedua dua kali dari yang terakhir - kita mendapatkan unit di sudut kiri bawah:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\ke \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Sekarang kita dapat mengurangi baris terakhir dari baris pertama dan dua kali dari baris kedua - dengan cara ini kita akan "menghilangkan" kolom pertama:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\ke \\ & \ ke \kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Kalikan baris kedua dengan 1 lalu kurangi 6 kali dari baris pertama dan tambahkan 1 kali ke baris terakhir:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \ \\\akhiri(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Tetap hanya untuk menukar baris 1 dan 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \kanan]\]

Siap! Di sebelah kanan adalah matriks invers yang diperlukan.

Menjawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \kanan ]$

Tugas. Temukan matriks terbalik:

\[\kiri[ \begin(matriks) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriks) \kanan]\]

Keputusan. Sekali lagi kami membuat yang terlampir:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Mari kita pinjam sedikit, khawatir tentang berapa banyak yang harus kita hitung sekarang ... dan mulai menghitung. Untuk memulainya, kita “menghilangkan” kolom pertama dengan mengurangkan baris 1 dari baris 2 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Kami mengamati terlalu banyak "minus" di baris 2-4. Kalikan ketiga baris dengan 1, lalu bakar kolom ketiga dengan mengurangkan baris 3 dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\\end(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \kanan]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \ke \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Sekarang saatnya untuk "menggoreng" kolom terakhir dari matriks asli: kurangi baris 4 dari yang lain:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Gulungan terakhir: "bakar habis" kolom kedua dengan mengurangi baris 2 dari baris 1 dan 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \kanan]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\ke \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \kanan] \\ \end(align)\]

Dan lagi, matriks identitas di sebelah kiri, jadi kebalikannya di sebelah kanan. :)

Menjawab. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriks) \kanan]$