Cari pembilang dan penyebutnya. Pecahan terdiri dari dua bilangan: bilangan di atas garis disebut pembilang, dan bilangan di bawah garis disebut penyebut. Penyebut menunjukkan jumlah total bagian di mana keseluruhan dibagi, dan pembilang adalah jumlah yang dianggap dari bagian tersebut.

• Misalnya, pada pecahan , pembilangnya adalah 1 dan penyebutnya adalah 2.

Tentukan penyebutnya. Jika dua atau lebih pecahan memiliki penyebut yang sama, pecahan tersebut memiliki nomor yang sama di bawah garis, yaitu, dalam hal ini, beberapa bagian dibagi menjadi jumlah bagian yang sama. Menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama sangat mudah, karena penyebut dari total pecahan akan sama dengan pecahan yang ditambahkan. Sebagai contoh:

• Pecahan 3/5 dan 2/5 memiliki penyebut yang sama 5.
• Pecahan 3/8, 5/8, 17/8 memiliki penyebut yang sama 8.

Tentukan pembilangnya. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, tambahkan pembilangnya, dan tulis hasilnya di atas penyebut pecahan yang ditambahkan.

• Pecahan 3/5 dan 2/5 memiliki pembilang 3 dan 2.
• Pecahan 3/8, 5/8, 17/8 memiliki pembilang 3, 5, 17.

Jumlahkan pembilangnya. Soal 3/5 + 2/5 jumlahkan pembilangnya 3 + 2 = 5. Soal 3/8 + 5/8 + 17/8 jumlahkan pembilangnya 3 + 5 + 17 = 25.

Tuliskan totalnya. Ingatlah bahwa ketika menambahkan pecahan dengan penyebut yang sama, itu tetap tidak berubah - hanya pembilang yang ditambahkan.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Ubah pecahan jika perlu. Terkadang pecahan dapat ditulis sebagai bilangan bulat dan bukan sebagai pecahan biasa atau desimal. Misalnya, pecahan 5/5 dengan mudah diubah menjadi 1, karena setiap pecahan yang pembilangnya sama dengan penyebutnya adalah 1. Bayangkan sebuah kue dipotong menjadi tiga bagian. Jika Anda makan ketiga bagian itu, maka Anda akan memakan seluruh (satu) pai.

• Setiap pecahan biasa dapat dikonversi ke desimal; Untuk melakukan ini, bagi pembilang dengan penyebut. Misalnya, pecahan 5/8 dapat ditulis seperti ini: 5 8 = 0,625.

Sederhanakan pecahan jika memungkinkan. Pecahan disederhanakan adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya tidak memiliki pembagi yang sama.

• Misalnya, perhatikan pecahan 3/6. Di sini pembilang dan penyebutnya memiliki pembagi yang sama dengan 3, yaitu pembilang dan penyebutnya habis dibagi 3. Oleh karena itu, pecahan 3/6 dapat ditulis sebagai berikut: 3 3/6 3 = .

Jika perlu, ubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (bilangan campuran). Untuk pecahan biasa, pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, misalnya 25/8 (untuk pecahan biasa, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya). Pecahan tak wajar dapat diubah menjadi pecahan campuran, yang terdiri dari bagian bilangan bulat (yaitu, bilangan bulat) dan bagian pecahan (yaitu, pecahan biasa). Untuk mengubah pecahan biasa seperti 25/8 ke bilangan campuran, ikuti langkah-langkah berikut:

• Bagilah pembilang pecahan biasa dengan penyebutnya; tuliskan hasil bagi yang tidak lengkap (seluruh jawaban). Dalam contoh kita: 25 8 = 3 ditambah beberapa sisa. Dalam hal ini, seluruh jawaban adalah bagian bilangan bulat dari bilangan campuran.
• Temukan sisanya. Dalam contoh kita: 8 x 3 = 24; kurangi hasil dari pembilang asli: 25 - 24 \u003d 1, yaitu, sisanya adalah 1. Dalam hal ini, sisanya adalah pembilang bagian pecahan dari bilangan campuran.
• Menulis pecahan campuran. Penyebutnya tidak berubah (yaitu sama dengan penyebut pecahan biasa), jadi 25/8 = 3 1/8.

Catatan! Sebelum menulis jawaban akhir, lihat apakah Anda dapat mengurangi pecahan yang Anda terima.

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama contoh:

,

,

Pengurangan pecahan biasa dari satu.

Jika perlu untuk mengurangkan dari unit pecahan yang benar, unit diubah menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan penyebut dari pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan biasa dari satu:

Penyebut pecahan yang akan dikurangi = 7 , yaitu, kami menyatakan unit sebagai pecahan biasa 7/7 dan mengurangkan sesuai dengan aturan untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pengurangan pecahan biasa dari bilangan bulat.

Aturan pengurangan pecahan - benar dari bilangan bulat (bilangan asli):

• Kami menerjemahkan pecahan yang diberikan, yang berisi bagian bilangan bulat, menjadi pecahan yang tidak tepat. Kami mendapatkan istilah normal (tidak masalah jika mereka memiliki penyebut yang berbeda), yang kami anggap sesuai dengan aturan yang diberikan di atas;
• Selanjutnya, kita menghitung selisih pecahan yang kita terima. Akibatnya, kita hampir akan menemukan jawabannya;
• Kami melakukan transformasi terbalik, yaitu, kami menyingkirkan pecahan yang tidak tepat - kami memilih bagian bilangan bulat dalam pecahan.

Kurangi pecahan biasa dari bilangan bulat: kami mewakili bilangan asli sebagai bilangan campuran. Itu. kita mengambil satuan dalam bilangan asli dan menerjemahkannya ke dalam bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan:

Dalam contoh, kami mengganti unit dengan pecahan biasa 7/7 dan alih-alih 3 kami menuliskan angka campuran dan mengurangi pecahan dari bagian pecahan.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Atau, dengan kata lain, pengurangan pecahan yang berbeda.

Aturan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, pertama-tama perlu untuk membawa pecahan ini ke penyebut bersama (LCD) terendah, dan hanya setelah itu untuk mengurangi seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut dari beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) bilangan asli yang merupakan penyebut dari pecahan yang diberikan.

Perhatian! Jika pada pecahan terakhir pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus direduksi. Pecahan tak wajar paling baik direpresentasikan sebagai pecahan campuran. Membiarkan hasil pengurangan tanpa mengurangi pecahan jika memungkinkan adalah solusi yang belum selesai untuk contoh!

Prosedur pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

• cari KPK untuk semua penyebutnya;
• menempatkan pengganda tambahan untuk semua pecahan;
• kalikan semua pembilang dengan faktor tambahan;
• kami menulis produk yang dihasilkan di pembilang, menandatangani penyebut yang sama di bawah semua pecahan;
• mengurangkan pembilang pecahan, menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan.

Dengan cara yang sama, penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan dengan adanya huruf pada pembilangnya.

Pengurangan pecahan, contoh:

Pengurangan pecahan campuran.

Pada pengurangan pecahan campuran (angka) secara terpisah, bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan.

Opsi pertama adalah mengurangkan pecahan campuran.

Jika bagian pecahan sama penyebut dan pembilang bagian pecahan dari minuend (kita kurangi) pembilang bagian pecahan dari subtrahend (kita kurangi).

Sebagai contoh:

Pilihan kedua adalah mengurangkan pecahan campuran.

Ketika bagian pecahan berbagai penyebut. Untuk memulainya, kami mengurangi bagian pecahan menjadi penyebut yang sama, dan kemudian kami mengurangi bagian bilangan bulat dari bilangan bulat, dan pecahan dari pecahan.

Sebagai contoh:

Pilihan ketiga adalah mengurangkan pecahan campuran.

Bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari subtrahend.

Contoh:

Karena bagian pecahan memiliki penyebut yang berbeda, yang berarti, seperti pada opsi kedua, pertama-tama kita membawa pecahan biasa ke penyebut yang sama.

Pembilang bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari pembilang bagian pecahan dari subtrahend.3 < 14. Jadi, kami mengambil satuan dari bagian bilangan bulat dan menjadikan satuan ini dalam bentuk pecahan biasa dengan penyebut dan pembilang yang sama = 18.

Di pembilang dari sisi kanan kami menulis jumlah pembilang, lalu kami membuka tanda kurung di pembilang dari sisi kanan, yaitu, kami mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka tanda kurung di penyebut. Merupakan kebiasaan untuk meninggalkan produk dalam penyebut. Kita mendapatkan:

Isi pelajaran

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama

Penjumlahan pecahan terdiri dari dua jenis:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Mari kita mulai dengan menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Misalnya, mari kita menjumlahkan pecahan dan . Kami menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Tambahkan pecahan dan .

Jawabannya adalah pecahan biasa. Jika akhir tugas tiba, maka sudah biasa untuk menyingkirkan pecahan yang tidak tepat. Untuk menghilangkan pecahan yang tidak tepat, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya. Dalam kasus kami, bagian bilangan bulat dialokasikan dengan mudah - dua dibagi dua sama dengan satu:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi dua bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh:

Contoh 3. Tambahkan pecahan dan .

Sekali lagi, tambahkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 4 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Pembilang harus ditambahkan dan penyebut tidak diubah:

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza dan menambahkan lebih banyak pizza, Anda mendapatkan 1 pizza utuh dan lebih banyak pizza.

Seperti yang Anda lihat, menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama tidaklah sulit. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;

Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda

Sekarang kita akan belajar cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dalam menjumlahkan pecahan, penyebut pecahan tersebut harus sama. Tapi mereka tidak selalu sama.

Misalnya, pecahan dapat dijumlahkan karena memiliki penyebut yang sama.

Tetapi pecahan tidak dapat dijumlahkan sekaligus, karena pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Ada beberapa cara untuk mengecilkan pecahan berpenyebut sama. Hari ini kami hanya akan mempertimbangkan salah satunya, karena metode lainnya mungkin tampak rumit untuk pemula.

Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa pertama (KPK) dari penyebut kedua pecahan dicari. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan diperoleh faktor tambahan pertama. Mereka melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua - KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh.

Kemudian pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari tindakan ini, pecahan yang memiliki penyebut berbeda berubah menjadi pecahan yang memiliki penyebut yang sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu.

Contoh 1. Tambahkan pecahan dan

Pertama-tama, kita cari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 6

KPK (2 dan 3) = 6

Sekarang kembali ke pecahan dan . Pertama, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama dan mendapatkan faktor tambahan pertama. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 6 dengan 3, kita mendapatkan 2.

Angka 2 yang dihasilkan adalah faktor tambahan pertama. Kami menuliskannya ke pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan dan menuliskan faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Bagi 6 dengan 2, kita mendapatkan 3.

Angka 3 yang dihasilkan adalah faktor tambahan kedua. Kami menulisnya ke pecahan kedua. Sekali lagi, kami membuat garis miring kecil di atas pecahan kedua dan menulis faktor tambahan yang ditemukan di atasnya:

Sekarang kita siap untuk menambahkan. Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:

Perhatikan baik-baik apa yang telah kita capai. Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Dengan demikian contoh berakhir. Untuk menambahkan ternyata.

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya:

Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama (sama) juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan dan penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Kedua pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa kali ini mereka akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama).

Gambar pertama menunjukkan pecahan (empat bagian dari enam) dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga bagian dari enam). Menempatkan potongan-potongan ini bersama-sama kita mendapatkan (tujuh dari enam). Pecahan ini salah, jadi kami telah menyoroti bagian bilangan bulat di dalamnya. Hasilnya adalah (satu pizza utuh dan pizza keenam lainnya).

Perhatikan bahwa kami telah melukis contoh ini dengan terlalu banyak detail. Di lembaga pendidikan bukanlah kebiasaan untuk menulis dengan cara yang begitu rinci. Anda harus dapat dengan cepat menemukan KPK dari kedua penyebut dan faktor tambahannya, serta dengan cepat mengalikan faktor tambahan yang ditemukan oleh pembilang dan penyebut Anda. Saat di sekolah, kita harus menulis contoh ini sebagai berikut:

Tetapi ada juga sisi lain dari koin. Jika catatan rinci tidak dibuat pada tahap pertama belajar matematika, maka pertanyaan semacam itu "Dari mana angka itu berasal?", "Mengapa pecahan tiba-tiba berubah menjadi pecahan yang sama sekali berbeda? «.

Untuk mempermudah menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda dapat menggunakan petunjuk langkah demi langkah berikut:

1. Cari KPK dari penyebut pecahan;
2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan;
3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
4. Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama;
5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagiannya;

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Mari kita gunakan petunjuk di atas.

Langkah 1. Cari KPK dari penyebut pecahan

Tentukan KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan adalah bilangan 2, 3 dan 4

Langkah 2. Bagi KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan pengali tambahan untuk setiap pecahan

Bagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 2. Bagi 12 dengan 2, kita mendapatkan 6. Kita mendapat faktor tambahan pertama 6. Kita menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Kami membagi 12 dengan 3, kami mendapatkan 4. Kami mendapat faktor tambahan kedua 4. Kami menuliskannya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut dari pecahan ketiga. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Kita mendapat faktor tambahan ketiga 3. Kita menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Langkah 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan Anda

Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor tambahan kami:

Langkah 4. Jumlahkan pecahan yang penyebutnya sama

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Tetap menambahkan pecahan ini. Menjumlahkan:

Penambahan tidak muat pada satu baris, jadi kami memindahkan ekspresi yang tersisa ke baris berikutnya. Ini diperbolehkan dalam matematika. Ketika sebuah ekspresi tidak muat pada satu baris, itu dibawa ke baris berikutnya, dan perlu untuk menempatkan tanda sama dengan (=) di akhir baris pertama dan di awal baris baru. Tanda sama dengan pada baris kedua menunjukkan bahwa ini adalah kelanjutan dari ekspresi yang ada di baris pertama.

Langkah 5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka pilih seluruh bagian di dalamnya

Jawaban kami adalah pecahan biasa. Kita harus memilih seluruh bagian itu. Kami menyoroti:

Mendapat jawaban

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama

Ada dua jenis pengurangan pecahan:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Pertama, mari kita belajar cara mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai dari ekspresi . Untuk menyelesaikan contoh ini, pembilang pecahan kedua harus dikurangi dengan pembilang pecahan pertama, dan penyebutnya tidak diubah. Mari kita lakukan:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi .

Sekali lagi, dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan kedua, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:

Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita memikirkan pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti yang sebelumnya. Dari pembilang pecahan pertama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan yang tersisa:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Cukup memahami aturan berikut:

1. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
2. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Misalnya, pecahan dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang sama. Tetapi pecahan tidak dapat dikurangkan dari pecahan, karena pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (persamaan) yang sama.

Penyebut yang sama ditemukan sesuai dengan prinsip yang sama yang kita gunakan saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Pertama-tama, cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan faktor tambahan pertama diperoleh, yang ditulis di atas pecahan pertama. Demikian pula, KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan faktor tambahan kedua diperoleh, yang ditulis di atas pecahan kedua.

Pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Sebagai hasil dari operasi ini, pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi:

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Pertama, kita cari KPK dari penyebut kedua pecahan. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 12

KPK (3 dan 4) = 12

Sekarang kembali ke pecahan dan

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapatkan 4. Kita menulis empat di atas pecahan pertama:

Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kami membagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapatkan 3. Tulis tiga kali lipat dari pecahan kedua:

Sekarang kita siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini sampai akhir:

Mendapat jawaban

Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza.

Ini adalah versi rinci dari solusi. Berada di sekolah, kita harus menyelesaikan contoh ini dengan cara yang lebih singkat. Solusi seperti itu akan terlihat seperti ini:

Pengurangan pecahan dan ke penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Membawa pecahan ini ke penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Pecahan ini akan diwakili oleh irisan pizza yang sama, tetapi kali ini akan dibagi menjadi pecahan yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama):

Gambar pertama menunjukkan pecahan (delapan dari dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga dari dua belas). Dengan memotong tiga bagian dari delapan bagian, kami mendapatkan lima bagian dari dua belas. Pecahan menggambarkan lima bagian ini.

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi

Pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang sama (persamaan).

Tentukan KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut.

Penyebut pecahan adalah angka 10, 3 dan 5. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini adalah 30

KPK(10, 3, 5) = 30

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, kita membagi KPK dengan penyebut setiap pecahan.

Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 10. Bagi 30 dengan 10, kita mendapatkan faktor tambahan pertama 3. Kami menuliskannya di atas pecahan pertama:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 30 dengan 3, kita mendapatkan faktor tambahan kedua 10. Kita menulisnya di atas pecahan kedua:

Sekarang kita menemukan faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bagi KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 5. Bagi 30 dengan 5, kita mendapatkan faktor tambahan ketiga 6. Kami menuliskannya di atas pecahan ketiga:

Sekarang semuanya siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:

Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (persamaan). Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan seperti itu. Mari kita selesaikan contoh ini.

Kelanjutan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kami memindahkan kelanjutan ke baris berikutnya. Jangan lupa tentang tanda sama dengan (=) di baris baru:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, dan semuanya tampak cocok untuk kita, tetapi terlalu rumit dan jelek. Kita harus membuatnya lebih mudah. Apa yang bisa dilakukan? Anda dapat mengurangi pecahan ini.

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan (gcd) angka 20 dan 30.

Jadi, kami menemukan FPB dari angka 20 dan 30:

Sekarang kita kembali ke contoh kita dan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan GCD yang ditemukan, yaitu dengan 10

Mendapat jawaban

Mengalikan pecahan dengan angka

Untuk mengalikan pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pembilang dari pecahan yang diberikan dengan angka ini, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Contoh 1. Kalikan pecahan dengan angka 1.

Kalikan pembilang pecahan dengan angka 1

Entri dapat dipahami sebagai mengambil setengah 1 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 1 kali, Anda mendapatkan pizza

Dari hukum perkalian, kita tahu bahwa jika perkalian dan pengali dipertukarkan, maka hasil kali tidak akan berubah. Jika ekspresi ditulis sebagai , maka hasil kali akan tetap sama dengan . Sekali lagi, aturan untuk mengalikan bilangan bulat dan pecahan berfungsi:

Entri ini dapat dipahami sebagai mengambil setengah dari unit. Misalnya, jika ada 1 pizza utuh dan kami mengambil setengahnya, maka kami akan memiliki pizza:

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan dengan 4

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Ekspresi dapat dipahami sebagai mengambil dua perempat 4 kali. Misalnya, jika Anda mengambil pizza 4 kali, Anda mendapatkan dua pizza utuh.

Dan jika kita menukar multiplicand dan multiplier di beberapa tempat, kita mendapatkan ekspresi. Ini juga akan sama dengan 2. Ungkapan ini dapat dipahami sebagai mengambil dua pizza dari empat pizza utuh:

Perkalian pecahan

Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya. Jika jawabannya adalah pecahan biasa, Anda harus memilih seluruh bagian di dalamnya.

Contoh 1 Temukan nilai ekspresi .

Punya jawaban. Diinginkan untuk mengurangi fraksi ini. Pecahan tersebut dapat dikurangi dengan 2. Maka solusi akhirnya akan berbentuk sebagai berikut:

Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil pizza dari setengah pizza. Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Bagaimana cara mengambil dua pertiga dari setengah ini? Pertama, Anda perlu membagi setengah ini menjadi tiga bagian yang sama:

Dan ambil dua dari tiga bagian ini:

Kami akan mendapatkan pizza. Ingat seperti apa pizza yang dibagi menjadi tiga bagian:

Satu potong dari pizza ini dan dua potong yang kita ambil akan memiliki dimensi yang sama:

Dengan kata lain, kita berbicara tentang ukuran pizza yang sama. Oleh karena itu, nilai ekspresinya adalah

Contoh 2. Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita ambil seluruh bagiannya:

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:

Jawabannya ternyata adalah pecahan yang benar, tetapi akan lebih baik jika dikurangi. Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan ini dengan pembagi persekutuan terbesar (PBK) dari angka 105 dan 450.

Jadi, mari kita cari KPK dari bilangan 105 dan 450:

Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut dari jawaban kita ke GCD yang kita temukan sekarang, yaitu dengan 15

Mewakili bilangan bulat sebagai pecahan

Setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, angka 5 dapat direpresentasikan sebagai . Dari sini, lima tidak akan berubah artinya, karena ungkapan itu berarti "angka lima dibagi satu", dan ini, seperti yang Anda tahu, sama dengan lima:

Nomor terbalik

Sekarang kita akan berkenalan dengan topik yang sangat menarik dalam matematika. Ini disebut "bilangan terbalik".

Definisi. Balik ke angkasebuah adalah bilangan yang jika dikalikan dengansebuah memberikan satuan.

Mari kita substitusikan definisi ini sebagai ganti variabel sebuah nomor 5 dan coba baca definisinya:

Balik ke angka 5 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 5 memberikan satuan.

Apakah mungkin untuk menemukan angka yang, jika dikalikan dengan 5, menghasilkan satu? Ternyata Anda bisa. Mari kita nyatakan lima sebagai pecahan:

Kemudian kalikan pecahan ini dengan sendirinya, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Dengan kata lain, mari kita kalikan pecahan dengan dirinya sendiri, hanya terbalik:

Apa yang akan menjadi hasil dari ini? Jika kita terus memecahkan contoh ini, kita mendapatkan satu:

Ini berarti kebalikan dari angka 5 adalah angka, karena ketika 5 dikalikan satu, diperoleh satu.

Kebalikannya juga dapat ditemukan untuk bilangan bulat lainnya.

Anda juga dapat menemukan kebalikan dari pecahan lainnya. Untuk melakukan ini, cukup dengan membaliknya.

Pembagian pecahan dengan bilangan

Katakanlah kita memiliki setengah pizza:

Mari kita membaginya menjadi dua. Berapa banyak pizza yang akan didapat masing-masing?

Dapat dilihat bahwa setelah membagi setengah dari pizza, diperoleh dua bagian yang sama, yang masing-masing membentuk pizza. Jadi semua orang mendapat pizza.

Pembagian pecahan dilakukan secara resiprokal. Timbal balik memungkinkan Anda untuk mengganti pembagian dengan perkalian.

Untuk membagi pecahan dengan angka, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi.

Dengan menggunakan aturan ini, kita akan menuliskan pembagian setengah pizza kita menjadi dua bagian.

Jadi, Anda perlu membagi pecahan dengan angka 2. Di sini dividen adalah pecahan dan pembagi adalah 2.

Untuk membagi pecahan dengan angka 2, Anda perlu mengalikan pecahan ini dengan kebalikan dari pembagi 2. Kebalikan dari pembagi 2 adalah pecahan. Jadi, Anda perlu mengalikannya dengan

Tindakan dengan pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Jadi, apa itu pecahan, jenis pecahan, transformasi - kami ingat. Mari kita bahas pertanyaan utamanya.

Apa yang bisa kamu lakukan dengan pecahan? Ya, semuanya sama dengan angka biasa. Tambah, kurangi, kalikan, bagi.

Semua tindakan ini dengan desimal Operasi pecahan tidak berbeda dengan operasi bilangan bulat. Sebenarnya, inilah gunanya mereka, desimal. Satu-satunya hal adalah Anda harus meletakkan koma dengan benar.

angka campuran, seperti yang saya katakan, tidak banyak berguna untuk sebagian besar tindakan. Mereka masih perlu dikonversi ke pecahan biasa.

Dan inilah tindakan dengan pecahan biasa akan lebih pintar. Dan jauh lebih penting! Biarkan saya mengingatkan Anda: semua tindakan dengan ekspresi pecahan dengan huruf, sinus, tidak diketahui, dan sebagainya dan sebagainya tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa! Operasi dengan pecahan biasa adalah dasar untuk semua aljabar. Karena alasan inilah kami akan menganalisis semua aritmatika ini dengan sangat rinci di sini.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Setiap orang dapat menjumlahkan (mengurangi) pecahan dengan penyebut yang sama (saya sangat berharap!). Baiklah, izinkan saya mengingatkan Anda bahwa saya benar-benar pelupa: saat menambahkan (mengurangi), penyebutnya tidak berubah. Pembilang ditambahkan (dikurangi) untuk memberikan pembilang dari hasil. Jenis:

Singkatnya, secara umum:

Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Kemudian, menggunakan properti utama pecahan (ini berguna lagi!), Kami membuat penyebutnya sama! Sebagai contoh:

Di sini kita harus membuat pecahan 4/10 dari pecahan 2/5. Semata-mata untuk tujuan menyamakan penyebut. Saya perhatikan, untuk berjaga-jaga, bahwa 2/5 dan 4/10 adalah pecahan yang sama! Hanya 2/5 yang tidak nyaman bagi kami, dan 4/10 bahkan bukan apa-apa.

Omong-omong, ini adalah inti dari menyelesaikan tugas apa pun dalam matematika. Saat kita keluar tidak nyaman ekspresi lakukan sama, tetapi lebih nyaman untuk dipecahkan.

Contoh lain:

Situasinya serupa. Di sini kita membuat 48 dari 16. Dengan perkalian sederhana dengan 3. Ini semua sudah jelas. Tapi di sini kita menemukan sesuatu seperti:

Bagaimana menjadi?! Sulit untuk membuat sembilan dari tujuh! Tapi kami pintar, kami tahu aturannya! Mari bertransformasi setiap pecahan sehingga penyebutnya sama. Ini disebut "kurangi menjadi penyebut yang sama":

Bagaimana! Bagaimana saya tahu tentang 63? Sangat sederhana! 63 adalah bilangan yang habis dibagi 7 dan 9 sekaligus. Angka seperti itu selalu dapat diperoleh dengan mengalikan penyebut. Jika kita mengalikan suatu bilangan dengan 7, misalnya, maka hasilnya pasti akan dibagi 7!

Jika Anda perlu menjumlahkan (mengurangi) beberapa pecahan, tidak perlu berpasangan, selangkah demi selangkah. Anda hanya perlu menemukan penyebut yang sama untuk semua pecahan, dan membawa setiap pecahan ke penyebut yang sama ini. Sebagai contoh:

Dan apa yang akan menjadi penyebut yang sama? Anda tentu saja dapat mengalikan 2, 4, 8, dan 16. Kita mendapatkan 1024. Mimpi buruk. Lebih mudah untuk memperkirakan bahwa angka 16 habis dibagi 2, 4, dan 8. Oleh karena itu, mudah untuk mendapatkan 16 dari angka-angka ini, angka ini akan menjadi penyebut yang sama. Mari kita ubah 1/2 menjadi 8/16, 3/4 menjadi 12/16, dan seterusnya.

Omong-omong, jika kita mengambil 1024 sebagai penyebut yang sama, semuanya akan berhasil juga, pada akhirnya semuanya akan berkurang. Hanya tidak semua orang akan mencapai tujuan ini, karena perhitungan ...

Memecahkan contoh sendiri. Bukan logaritma... Seharusnya 29/16.

Jadi, dengan penambahan (pengurangan) pecahan sudah jelas, saya harap? Tentu saja, lebih mudah untuk bekerja dalam versi singkat, dengan pengganda tambahan. Tetapi kesenangan ini tersedia bagi mereka yang dengan jujur ​​​​bekerja di kelas bawah ... Dan tidak melupakan apa pun.

Dan sekarang kita akan melakukan tindakan yang sama, tetapi tidak dengan pecahan, tetapi dengan ekspresi pecahan. Penggaruk baru akan ditemukan di sini, ya ...

Jadi, kita perlu menambahkan dua ekspresi pecahan:

Kita harus menyamakan penyebutnya. Dan hanya dengan bantuan perkalian! Jadi properti utama dari pecahan mengatakan. Oleh karena itu, saya tidak dapat menambahkan satu ke x pada pecahan pertama penyebutnya. (Tapi itu akan menyenangkan!). Tetapi jika Anda mengalikan penyebutnya, Anda tahu, semuanya akan tumbuh bersama! Jadi kita tulis, garis pecahan, sisakan ruang kosong di atasnya, lalu tambahkan, dan tulis hasil kali penyebutnya di bawah, agar tidak lupa:

Dan, tentu saja, kami tidak mengalikan apa pun di sisi kanan, kami tidak membuka tanda kurung! Dan sekarang, melihat penyebut yang sama dari sisi kanan, kami berpikir: untuk mendapatkan penyebut x (x + 1) di pecahan pertama, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan (x + 1) . Dan di fraksi kedua - x. Anda mendapatkan ini:

Catatan! Tanda kurung ada di sini! Ini adalah penggaruk yang banyak diinjak. Bukan tanda kurung, tentu saja, tetapi ketidakhadiran mereka. Tanda kurung muncul karena kita mengalikan keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut! Dan bukan bagian masing-masing ...

Di pembilang di sisi kanan, kami menulis jumlah pembilangnya, semuanya seperti dalam pecahan numerik, lalu kami membuka tanda kurung di pembilang di sisi kanan, mis. kalikan semuanya dan beri suka. Anda tidak perlu membuka tanda kurung pada penyebut, Anda tidak perlu mengalikan sesuatu! Secara umum, dalam penyebut (apa saja) produk selalu lebih menyenangkan! Kita mendapatkan:

Di sini kami mendapat jawabannya. Prosesnya tampaknya panjang dan sulit, tetapi itu tergantung pada latihan. Pecahkan contoh, biasakan, semuanya akan menjadi sederhana. Mereka yang telah menguasai pecahan dalam waktu yang ditentukan, lakukan semua operasi ini dengan satu tangan, di mesin!

Dan satu catatan lagi. Banyak yang terkenal berurusan dengan pecahan, tetapi tunggu contoh dengan utuh angka. Ketik: 2 + 1/2 + 3/4= ? Di mana mengikat deuce? Tidak perlu mengikat di mana pun, Anda perlu membuat pecahan dari deuce. Ini tidak mudah, sangat sederhana! 2=2/1. Seperti ini. Setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai pecahan. Pembilangnya adalah bilangan itu sendiri, penyebutnya adalah satu. 7 adalah 7/1, 3 adalah 3/1 dan seterusnya. Sama halnya dengan surat. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, dll. Dan kemudian kami bekerja dengan pecahan ini sesuai dengan semua aturan.

Nah, pada penambahan - pengurangan pecahan, pengetahuan disegarkan. Transformasi pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya - berulang. Anda juga dapat memeriksa. Haruskah kita menetap sedikit?)

Menghitung:

Jawaban (berantakan):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Perkalian / pembagian pecahan - dalam pelajaran berikutnya. Ada juga tugas untuk semua tindakan dengan pecahan.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama

Mari kita mulai dengan melihat contoh paling sederhana - penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama. Dalam hal ini, Anda hanya perlu melakukan tindakan dengan pembilang - tambahkan atau kurangi.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama, penyebutnya tidak berubah!

Hal utama adalah tidak melakukan operasi penambahan dan pengurangan dalam penyebut, tetapi beberapa siswa melupakannya. Untuk lebih memahami aturan ini, mari kita gunakan prinsip visualisasi, atau dengan kata sederhana, pertimbangkan contoh kehidupan nyata:

Anda memiliki setengah apel - itu dari seluruh apel. Anda diberi setengah lagi, yaitu lagi. Jelas, sekarang Anda memiliki apel utuh (tidak termasuk yang dipotong ). Oleh karena itu + = 1 dan bukan sesuatu yang lain seperti 2/4. Atau mereka mengambil setengahnya dari Anda: - = 0. Dalam kasus pengurangan dengan penyebut yang sama, kasus khusus diperoleh secara umum - saat mengurangkan penyebut yang sama, kami akan mendapatkan 0, tetapi Anda tidak dapat membagi dengan 0 , dan pecahan ini tidak masuk akal.

Mari kita ambil contoh terakhir:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Untuk melakukan ini, pertama-tama kita harus membawa pecahan ke penyebut yang sama, dan kemudian melanjutkan seperti yang saya tunjukkan di atas.

Ada dua cara untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama. Dalam semua metode, satu aturan digunakan - jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan angka yang sama, pecahan tidak berubah .

Ada dua cara. Yang pertama - yang paling sederhana - yang disebut "melintasi". Itu terletak pada kenyataan bahwa kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua (pembilang dan penyebutnya), dan mengalikan pecahan kedua dengan penyebut yang pertama (baik pembilang dan penyebutnya). Setelah itu, kami bertindak seperti dalam kasus penyebut yang sama - sekarang mereka benar-benar sama!

Metode sebelumnya bersifat universal, namun, dalam banyak kasus, pecahan penyebut dapat ditemukan kelipatan persekutuan terkecil - bilangan yang penyebut pertama dan kedua habis dibagi, dan yang terkecil. Dalam metode ini, Anda harus dapat melihat LCM seperti itu, karena pencarian khusus mereka cukup luas dan kecepatannya lebih rendah daripada metode "cross-wise". Tetapi dalam kebanyakan kasus, NOC cukup terlihat jika Anda mengisi mata Anda dan cukup berlatih.

Saya harap sekarang Anda fasih dalam metode penjumlahan dan pengurangan pecahan!