Persamaan kuadrat dengan parameter

(Pengembangan metodologi untuk siswa kelas 9-11)

guru matematika kategori kualifikasi tertinggi,

Wakil Direktur UVR

Megion 2013

Kata pengantar

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Penerapan teorema Vieta

Karya ilmiah memecahkan masalah dengan parameter dan khususnya memecahkan persamaan kuadrat dengan parameter adalah kuliah pengantar karya riset mahasiswa. Di USE dalam matematika (sering kali tugas C5), GIA (tugas bagian 2) dan pada ujian masuk, ada dua jenis tugas dengan parameter. Pertama: "Untuk setiap nilai parameter, temukan semua solusi untuk beberapa persamaan atau pertidaksamaan." Kedua: "Temukan semua nilai parameter, yang masing-masingnya dipenuhi beberapa kondisi untuk persamaan atau ketidaksetaraan yang diberikan." Dengan demikian, jawaban dalam dua jenis masalah ini pada dasarnya berbeda. Dalam jawaban untuk masalah tipe pertama, semua nilai parameter yang mungkin terdaftar, dan solusi untuk persamaan ditulis untuk masing-masing nilai ini. Dalam jawaban untuk masalah tipe kedua, semua nilai parameter ditunjukkan di mana kondisi yang ditentukan dalam masalah terpenuhi.

Seperti yang Anda ketahui, sangat sedikit perhatian yang diberikan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter di sekolah. Oleh karena itu, pemecahan masalah dengan parameter selalu menyebabkan kesulitan besar bagi siswa; sulit untuk mengharapkan bahwa siswa yang pelatihannya tidak termasuk "terapi parametrik" akan berhasil mengatasi tugas-tugas seperti itu dalam suasana ujian yang sulit, oleh karena itu, siswa harus mempersiapkan secara khusus untuk "pertemuan dengan parameter". Banyak siswa menganggap parameter sebagai angka "biasa". Memang, dalam beberapa masalah parameter dapat dianggap sebagai nilai konstan, tetapi nilai konstan ini mengambil nilai yang tidak diketahui. Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan masalah untuk semua kemungkinan nilai konstanta ini. Dalam masalah lain, mungkin lebih mudah untuk secara artifisial mendeklarasikan salah satu yang tidak diketahui sebagai parameter.

Tugas dengan parameter memiliki nilai diagnostik dan prognostik - dengan bantuan tugas dengan parameter, Anda dapat memeriksa pengetahuan bagian utama matematika sekolah, tingkat pemikiran matematis dan logis, keterampilan awal kegiatan penelitian, dan yang paling penting, menjanjikan peluang untuk berhasil menguasai mata kuliah matematika dari universitas tertentu.

Analisis opsi USE dalam matematika dan ujian masuk ke berbagai universitas menunjukkan bahwa sebagian besar tugas yang diusulkan dengan parameter terkait dengan lokasi akar trinomial kuadrat. Menjadi yang utama dalam kursus matematika sekolah, fungsi kuadrat membentuk kelas masalah yang luas dengan parameter, beragam dalam bentuk dan konten, tetapi disatukan oleh ide yang sama - sifat-sifat fungsi kuadrat adalah dasar untuk solusinya. Saat memecahkan masalah seperti itu, disarankan untuk bekerja dengan tiga jenis model:

1. model verbal - deskripsi verbal tugas;

2. model geometris - sketsa grafik fungsi kuadrat;

3. model analitis - sistem ketidaksetaraan, yang menggambarkan model geometris.

Manual berisi teorema tentang lokasi akar trinomial kuadrat (kondisi yang diperlukan dan cukup untuk lokasi akar fungsi kuadrat relatif terhadap titik yang diberikan), penerapan teorema Vieta untuk solusi persamaan kuadrat dengan parameter. Solusi rinci dari 15 masalah dengan rekomendasi metodis diberikan. Tujuan dari buku pedoman ini adalah untuk membantu lulusan dan guru matematika dalam mempersiapkan diri untuk lulus UN dan Ujian Akademik Negara dalam matematika, dan ujian masuk universitas dalam bentuk tes atau dalam bentuk tradisional.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - terletak di sebelah kanan garis x = n (kondisi xb>n) ;

3. parabola berpotongan dengan garis x = n di sebuah titik yang terletak di setengah bidang atas untuk a>0 dan di sebuah titik yang terletak di setengah bidang bawah untuk a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Teorema 10. Persamaan kuadrat x2 + p1x + q1 = 0 dan x2 + p2x + q2 = 0,

yang diskriminannya nonnegatif memiliki setidaknya satu akar yang sama jika dan hanya jika (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Bukti.

Misalkan f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, dan bilangan x1, x2 adalah akar-akar persamaan f1(x) = 0. Agar persamaan f1(x ) = 0 dan f2( x) = 0 memiliki setidaknya satu akar yang sama, perlu dan cukup bahwa f1(x)∙f2(x) = 0, yaitu, bahwa (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Kami mewakili persamaan terakhir dalam bentuk

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Karena x12 + p1x1 + q1 = 0 dan x22 + p1x2 + q1 = 0, kita peroleh

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, mis.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Dengan teorema Vieta x1 +x2 = - p1 dan x1x2 =q1; karena itu,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, atau

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), yang harus dibuktikan.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0

1) memiliki dua akar real positif jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi secara bersamaan:

;

2) memiliki dua akar negatif real jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi secara bersamaan:

;

3) memiliki dua akar real dari tanda yang berbeda jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi secara bersamaan:

;

4) memiliki dua akar real bertanda sama jika

Keterangan 1. Jika koefisien di X 2 berisi parameter, perlu untuk menganalisis kasus ketika menghilang.

Catatan 2. Jika diskriminan persamaan kuadrat adalah kuadrat sempurna, maka pertama-tama akan lebih mudah untuk menemukan ekspresi eksplisit untuk akar-akarnya.

Catatan 3. Jika suatu persamaan yang memuat beberapa hal yang tidak diketahui berbentuk kuadrat terhadap salah satunya, maka kunci untuk memecahkan masalah sering kali adalah mempelajari diskriminannya.

Kami menyajikan skema untuk mempelajari masalah yang terkait dengan lokasi akar trinomial persegif(x) = kapak2 + bx + c:

1. Studi kasus a = o (jika koefisien pertama tergantung pada parameter).

2. Mencari diskriminan D pada kasus a≠0.

3. Jika D adalah kuadrat penuh dari beberapa ekspresi, maka cari akar x1, x2 dan subordinat kondisi masalah.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Contoh pemecahan masalah untuk mempersiapkan GIA dan Unified State Examination dalam matematika

Contoh 1 Selesaikan persamaan ( sebuah - 2)x 2 – 2kapak + 2sebuah – 3 = 0.

Keputusan. Pertimbangkan dua kasus: a = 2 dan a 2. dalam kasus pertama, persamaan aslinya berbentuk - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Untuk a \u003d 1 atau a \u003d 6, diskriminannya adalah nol dan persamaan kuadrat memiliki satu akar: , yaitu, untuk a \u003d 1 kita mendapatkan akarnya , dan untuk a = 6 - akarnya.

Pada 1< sebuah < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">persamaan tidak memiliki akar; untuk a = 1 persamaan memiliki satu akar X= -1; pada persamaan memiliki dua akar ; pada sebuah= 2 persamaan memiliki akar tunggal ; pada sebuah= 6 persamaan memiliki akar tunggal .

Contoh 2 Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan ( sebuah - 2)X 2 + (4 – 2sebuah)X+ 3 = 0 memiliki akar tunggal?

Keputusan . Jika sebuah sebuah= 2, maka persamaan menjadi linier∙ X+ 3 = 0; yang tidak memiliki akar.

Jika sebuah sebuah 2, maka persamaan tersebut kuadratik dan memiliki akar tunggal dengan diskriminan nol D.

D= 0 at sebuah 1 = 2 dan sebuah 2 = 5. Artinya sebuah= 2 dikecualikan, karena bertentangan dengan kondisi bahwa persamaan aslinya adalah kuadrat.

Menjawab : sebuah = 5.

4.

(sebuah - 1)X 2 + (2sebuah + 3)X + sebuah+ 2 = 0 memiliki akar-akar yang bertanda sama?

Keputusan. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, persamaan yang dipertimbangkan adalah kuadrat, itu berarti bahwa sebuah 1. Jelas, kondisi masalah juga menyiratkan adanya akar persamaan kuadrat, yang berarti bahwa diskriminan adalah non-negatif

D = (2sebuah + 3)2 – 4(sebuah - 1)(sebuah + 2) = 8sebuah + 17.

Karena, dengan syarat, akar-akarnya harus bertanda sama, maka X 1∙X 2 > 0, mis..png" width="149" height="21 src=">. Sesuai dengan ketentuan D 0 dan sebuah 1 kita mendapatkan https://pandia.ru/text/800/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Contoh 3 Temukan semua nilai a yang persamaan x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 memiliki dua akar positif.

Keputusan. Dari teorema Vieta, agar kedua akar x1 dan x2 persamaan ini bernilai positif, diskriminan trinomial kuadrat x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) harus non- negatif, dan hasil kali x1 x2 dan jumlah x1 + x2 adalah positif. Kami mendapatkan itu semua memuaskan sistem

Dan hanya merekalah solusi dari masalah tersebut. Sistem ini setara dengan sistem

Solusinya, dan dengan demikian masalahnya sendiri, adalah semua bilangan dari interval

Tugas #3.

Berapa nilai parameter k akar persamaan (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

termasuk dalam interval (0;1)?

Keputusan.

Untuk k≠2, nilai parameter yang diinginkan harus memenuhi sistem pertidaksamaan

Dimana D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x dalam \u003d k / (k-2).

Sistem ini tidak memiliki solusi.

Untuk k = 2, persamaan yang diberikan memiliki bentuk -4x+1 = 0, satu-satunya akarnya

x = , yang termasuk dalam interval (0;1).

Tugas #4.

Pada nilai a berapa kedua akar persamaan x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 terletak di segmen?

Nilai yang diinginkan harus memenuhi sistem ketidaksetaraan

di mana D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x dalam \u003d a.

Satu-satunya solusi dari sistem adalah nilai, a = 4.

4. Pekerjaan mandiri (kontrol - pelatihan).

Siswa bekerja dalam kelompok, melakukan opsi yang sama, karena materinya sangat kompleks dan tidak semua orang bisa melakukannya.

nomor 1. Pada nilai parameter apa kedua akar persamaan x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 termasuk dalam interval (-2; 4)?

2. Temukan semua nilai k yang memiliki satu akar persamaan

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 lebih kecil dari 1 dan akar lainnya lebih besar dari 2.

Nomor 3. Berapakah nilai a bilangan 1 di antara akar-akar trinomial kuadrat x 2 + (a + 1) x - a 2?

Di akhir waktu, jawaban ditampilkan. Pengecekan sendiri terhadap pekerjaan mandiri dilakukan.

5. Ringkasan pelajaran. Selesaikan penawaran.

"Hari ini di kelas..."

"Aku ingat..."

“Mau dicatat…”.

Guru menganalisis seluruh pelajaran dan poin utamanya, mengevaluasi aktivitas setiap siswa dalam pelajaran.

6. Pekerjaan rumah

(dari kumpulan tugas untuk mempersiapkan GIA di kelas 9, penulis L. V. Kuznetsova)

MOU "Sekolah Menengah No. 15"

Michurinsk, Wilayah Tambov

Pelajaran aljabar di kelas 9

"Lokasi akar trinomial persegi tergantung pada nilai parameter"

Dikembangkan

guru matematika kategori 1

Bortnikova M.B.

Michurinsk - kota sains 2016 tahun

Pelajarannya selama 2 jam.

Teman-teman! Studi banyak hukum fisika dan geometris sering mengarah pada solusi masalah dengan parameter. Beberapa universitas juga memasukkan persamaan, ketidaksetaraan, dan sistemnya dalam tiket ujian, yang seringkali sangat kompleks dan memerlukan pendekatan penyelesaian yang tidak standar. Di sekolah, salah satu bagian tersulit dari kursus sekolah dalam aljabar ini dianggap hanya dalam beberapa mata pelajaran pilihan atau mata pelajaran.
Menurut pendapat saya, metode fungsional-grafis adalah cara yang mudah dan cepat untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.

Tujuan Pelajaran: 1. Perluas ide persamaan kuadrat 2. Pelajari cara menemukan semua nilai parameter, untuk masing-masing solusi persamaan yang memenuhi kondisi yang diberikan. 3. Kembangkan minat pada subjek.

Selama kelas:

1. Apa parameternya?

Ekspresi bentuk ah 2 + bx + cdalam kursus aljabar sekolah disebut trinomial persegi sehubungan denganX, di mana a, b,c diberikan bilangan real, apalagi,sebuah=/= 0. Nilai variabel x, di mana ekspresi hilang, disebut akar dari trinomial kuadrat. Untuk menemukan akar-akar trinomial kuadrat, perlu menyelesaikan persamaan kuadratah 2 + bx + c =0.
Mari kita ingat persamaan dasar:kapak + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Saat mencari akarnya, nilai variabela, b, c,termasuk dalam persamaan dianggap tetap dan diberikan. Variabel itu sendiri disebut parameter.

Definisi.Parameter adalah variabel bebas, yang nilainya dalam masalah dianggap sebagai bilangan real tetap atau arbitrer tertentu, atau bilangan yang termasuk dalam himpunan yang telah ditentukan.

2. Jenis dan metode utama untuk memecahkan masalah dengan parameter

Di antara tugas dengan parameter, jenis tugas utama berikut dapat dibedakan.

Persamaan yang harus diselesaikan baik untuk nilai parameter apa pun atau untuk nilai parameter yang termasuk dalam set yang telah ditentukan. Sebagai contoh. Selesaikan Persamaan:kapak = 1 , (sebuah - 2) x = 2 – 4.

Persamaan yang ingin Anda tentukan jumlah solusi tergantung pada nilai parameter (parameter). Sebagai contoh.

sebuah persamaan 4 X 2 – 4 kapak + 1 = 0memiliki akar tunggal?

Persamaan yang, untuk nilai parameter yang diinginkan, himpunan solusi memenuhi kondisi yang diberikan dalam domain definisi.

Misalnya, temukan nilai parameter yang akar persamaannya (sebuah - 2) X 2 – 2 kapak + a + 3 = 0 positif.
Cara utama untuk memecahkan masalah dengan parameter: analitis dan grafis.

analitis- ini adalah metode yang disebut solusi langsung, mengulangi prosedur standar untuk menemukan jawaban dalam masalah tanpa parameter. Mari kita pertimbangkan contoh tugas semacam itu.

Tugas 1

Berapa nilai parameter a persamaan?X 2 – 2 kapak + a 2 – 1 = 0 memiliki dua akar berbeda yang termasuk dalam interval (1; 5)?

Keputusan

X 2 – 2 kapak + a 2 – 1 = 0.
Menurut kondisi masalah, persamaan harus memiliki dua akar yang berbeda, dan ini hanya mungkin dalam kondisi: D > 0.
Kami memiliki: D = 4sebuah 2 – 2(sebuah 2 – 1) = 4. Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak bergantung pada a, oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar yang berbeda untuk setiap nilai parameter a. Mari kita cari akar persamaan:X 1 = sebuah + 1, X 2 = sebuah – 1
Akar persamaan harus termasuk dalam interval (1; 5), yaitu.
Jadi, pada 2< sebuah < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Jawaban: 2< sebuah < 4.
Pendekatan seperti itu untuk memecahkan masalah dari jenis yang sedang dipertimbangkan dimungkinkan dan rasional dalam kasus di mana diskriminan persamaan kuadrat adalah "baik", mis. adalah kuadrat eksak dari bilangan atau ekspresi apa pun, atau akar persamaan dapat ditemukan dengan teorema Vieta terbalik. Kemudian, dan akarnya bukanlah ekspresi irasional. Jika tidak, solusi masalah jenis ini dikaitkan dengan prosedur yang agak rumit dari sudut pandang teknis. Dan solusi dari ketidaksetaraan irasional akan membutuhkan pengetahuan baru dari Anda.

Grafis- ini adalah metode di mana grafik digunakan dalam bidang koordinat (x; y) atau (x; a). Visibilitas dan keindahan metode solusi ini membantu menemukan cara cepat untuk memecahkan masalah. Mari kita selesaikan masalah nomor 1 secara grafis.
Seperti yang Anda ketahui, akar persamaan kuadrat (trinomial kuadrat) adalah nol dari fungsi kuadrat yang sesuai: y =X 2 – 2 Oh + sebuah 2 – 1. Grafik fungsinya adalah parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas (koefisien pertama sama dengan 1). Model geometris yang memenuhi semua persyaratan masalah terlihat seperti ini.

Sekarang tinggal "memperbaiki" parabola di posisi yang diinginkan dengan kondisi yang diperlukan.

1. Karena parabola memiliki dua titik potong dengan sumbuX, maka D > 0.

   Titik puncak parabola terletak di antara garis vertikal.X= 1 dan X= 5, maka absis simpul parabola x tentang termasuk dalam interval (1; 5), yaitu
   1 < X tentang< 5.

   Kami memperhatikan bahwa pada(1) > 0, pada(5) > 0.

Jadi, beralih dari model geometris masalah ke model analitik, kami memperoleh sistem pertidaksamaan.

Jawaban: 2< sebuah < 4.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, metode grafis untuk memecahkan masalah dari jenis yang dipertimbangkan dimungkinkan dalam kasus ketika akarnya "buruk", mis. berisi parameter di bawah tanda radikal (dalam hal ini, diskriminan persamaan bukan kuadrat sempurna).
Dalam solusi kedua, kami bekerja dengan koefisien persamaan dan jangkauan fungsipada = X 2 – 2 Oh + sebuah 2 – 1.
Metode penyelesaian ini tidak dapat disebut hanya grafis, karena. Di sini kita harus memecahkan sistem ketidaksetaraan. Sebaliknya, metode ini digabungkan: fungsional-grafis. Dari dua metode ini, yang terakhir tidak hanya elegan, tetapi juga yang paling penting, karena ini menunjukkan hubungan antara semua jenis model matematika: deskripsi verbal masalah, model geometris - grafik trinomial persegi, model analitis - deskripsi model geometris dengan sistem ketidaksetaraan.
Jadi, kami telah mempertimbangkan masalah di mana akar trinomial kuadrat memenuhi kondisi yang diberikan dalam domain definisi untuk nilai parameter yang diinginkan.

Dan kondisi lain apa yang mungkin dapat dipenuhi oleh akar trinomial kuadrat untuk nilai parameter yang diinginkan?

Contoh pemecahan masalah

3. Investigasi lokasi akar trinomial kuadrat tergantung pada nilai parameter yang diinginkan sebuah.

Tugas nomor 2.

Berapa nilai parameternyasebuah akar persamaan kuadrat

x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 lebih dari satu?

Keputusan.

Pertimbangkan fungsi: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)

Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.

Mari kita gambarkan secara skematis sebuah parabola (model geometris dari masalah).

Sekarang mari kita beralih dari model geometris yang dibangun ke model analitik, yaitu. Mari kita gambarkan model geometris ini dengan sistem kondisi yang memadai untuk itu.

Ada titik potong (atau titik kontak) parabola dengan sumbu x, oleh karena itu, D≥0, yaitu. 16+4(a-1)(a-5)≥0.

Kita perhatikan bahwa titik puncak parabola terletak di setengah bidang kanan relatif terhadap garis lurus x=1, mis. absisnya lebih besar dari 1, mis. 2>1 (dilakukan untuk semua nilai parameter a).

Perhatikan bahwa y(1)>0, mis. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0

Akibatnya, kita sampai pada sistem ketidaksetaraan.

;

Jawaban: 2<а<4.

Tugas nomor 3.

X 2 + kapak - 2 = 0 lebih besar dari satu?

Keputusan.

Pertimbangkan fungsi: y = -x 2 + ah - 2

Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Mari kita gambarkan model geometris dari masalah yang sedang dipertimbangkan.

U(1)

Mari kita membuat sistem ketidaksetaraan.

, tidak ada solusi

Menjawab. Tidak ada nilai parameter seperti itu.

Kondisi masalah No. 2 dan No. 3, di mana akar trinomial kuadrat lebih besar dari angka tertentu untuk nilai yang diinginkan dari parameter a, kami merumuskan sebagai berikut.

Kasus umum #1.

Untuk berapa nilai parameter a akar dari trinomial kuadrat?

f(x) = sumbu 2 + di + c lebih besar dari beberapa angka k, mis. ke<х 1 x 2 .

Mari kita gambarkan model geometris dari masalah ini dan tuliskan sistem pertidaksamaan yang sesuai.

Tabel 1. Model - skema.

Tugas nomor 4.

Berapa nilai parameter a yang merupakan akar dari persamaan kuadrat?

X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 kurang dari satu?

Keputusan.

Pertimbangkan fungsi: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)

Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Sesuai dengan kondisi soal, akar-akarnya kurang dari 1, oleh karena itu parabola memotong sumbu x (atau menyentuh sumbu x di sebelah kiri garis lurus x=1).

Mari kita gambarkan secara skematis sebuah parabola (model geometris dari masalah).

y(1)

Mari beralih dari model geometris ke model analitik.

Karena terdapat titik potong parabola dengan sumbu x, maka D≥0.

Titik puncak parabola terletak di sebelah kiri garis lurus x=1, mis. absisnya x 0 <1.

Perhatikan bahwa y(1)>0, mis. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

Kita sampai pada sistem ketidaksetaraan.

;

Jawaban: -0,5<а<2.

Kasus umum #2.

Untuk berapa nilai parameter a kedua akar trinomial?f(x) = sumbu 2 + di + c akan lebih kecil dari beberapa angka k: x 1 x 2<к.

Model geometrik dan sistem pertidaksamaan yang sesuai disajikan dalam tabel. Penting untuk mempertimbangkan fakta bahwa ada masalah di mana koefisien pertama dari trinomial kuadrat tergantung pada parameter a. Dan kemudian cabang-cabang parabola dapat diarahkan ke atas dan ke bawah, tergantung pada nilai parameter a. Kami akan mempertimbangkan fakta ini saat membuat skema umum.

Tabel nomor 2.

f(k)

Model Analitis

(sistem kondisi).

Model Analitis

(sistem kondisi).

Tugas nomor 5.

Berapa nilai parameter a 2 -2ax+a=0 termasuk dalam interval (0;3)?

Keputusan.

Pertimbangkan trinomial persegi y(x) = x 2 -2x + a.

Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.

Gambar tersebut menunjukkan model geometris dari masalah yang sedang dipertimbangkan.

Pada

Y(0)

U(3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

Dari model geometris yang dibangun, mari beralih ke model analitik, yaitu. kami menggambarkannya dengan sistem ketidaksetaraan.

Ada titik potong parabola dengan sumbu x (atau titik kontak), oleh karena itu, D≥0.

Bagian atas parabola berada di antara garis x=0 dan x=3, mis. absis parabola x 0 termasuk dalam interval (0;3).

Perhatikan bahwa y(0)>0 dan juga y(3)>0.

Kami datang ke sistem.

;

Jawaban: a

Kasus umum #3.

Untuk apa nilai parameter a akar trinomial kuadrat milik interval (k; m), yaitu k<х 1 ≤х 2 < m

Tabel No. 3. Model - skema.

f(x)

f(k)

f(m)

k x 1 x 0 x 2 mx

f(x)

0kx 1 x 0 x 2 m

f(k)

f(m)

Model analitik dari masalah

Model analitik dari masalah

TUGAS #6.

Berapa nilai parameter a yang merupakan akar terkecil dari persamaan kuadrat x 2 +2ax+a=0 termasuk dalam interval X (0;3).

Keputusan.

2 -2ax + a

Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Biarkan x 1 akar kecil dari trinomial kuadrat. Sesuai dengan kondisi masalah x 1 termasuk dalam interval (0;3). Mari kita gambarkan model geometris dari masalah yang memenuhi kondisi masalah.

kamu(x)

kamu(0)

0 x 1 3 x 0 x 2 x

kamu(3)

Mari kita beralih ke sistem ketidaksetaraan.

1) Perhatikan bahwa y(0)>0 dan y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Oleh karena itu, kondisi ini tidak perlu dituliskan ke dalam sistem pertidaksamaan.

Jadi, kita mendapatkan sistem pertidaksamaan berikut:

Menjawab: sebuah >1,8.

Kasus umum #4.

Untuk berapa nilai parameter a akar yang lebih kecil dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang diberikan (k; m), yaitu k<х 1 < m<х 2 .

Tabel No. 4 . Model - skema.

f(k)

kx 1 0 m x 2

f(m)

F(x)

f(m)

kx 1 m x 2 x

f(k)

Model Analitis

Model Analitis

TUGAS #7.

Berapa nilai parameter a hanya akar yang lebih besar dari persamaan kuadrat x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 termasuk dalam interval [-1;0).

Keputusan.

Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).

Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang diarahkan ke atas.

Mari kita menggambarkan model geometris dari masalah. Biarkan x 2 adalah akar persamaan yang lebih besar. Dengan kondisi masalah, hanya akar yang lebih besar yang termasuk dalam interval.

kamu(X)

kamu(0)

x 1 -1 x 2 0 x

kamu(-1)

Perhatikan bahwa y(0)>0 dan y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Mari kita buat sistem ketidaksetaraan dan selesaikan.

Menjawab:

Kasus umum #5.

Untuk berapa nilai parameter a, akar yang lebih besar dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang diberikan (k; m), yaitu x 1< k<х 2 < m.

Tabel No. 5. Model - skema.

f(x)

f(m)

0 x 1 kx 2 m x

f(k)

f(x)

f(k)

x 1 0kx 2 m

f(m)

Model Analitis

Model Analitis

W ADACHA No.8

Berapa nilai parameter a adalah segmen [-1; 3] seluruhnya terletak di antara akar persamaan kuadrat x 2 -(2a+1)x+a-11=0?

Keputusan.

Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

Grafiknya berbentuk parabola.

Model geometris dari masalah ini ditunjukkan pada gambar.

kamu(x)

X 1 -1 0 3 x 2 x

kamu(-1)

kamu(3)

Dalam kondisi ini, D>0, karena cabang parabola mengarah ke atas.

Jawaban: a

Kasus umum #6.

Untuk berapa nilai parameter a akar trinomial kuadrat berada di luar interval yang diberikan (k; m), yaitu x 1< k < m<х 2 .

x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 terletak di sisi berlawanan dari angka dari angka 3?

Keputusan.

Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.

Grafiknya parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas (koefisien pertama adalah 1). Mari kita menggambarkan model geometris dari masalah.

X 1 3 x 2 x

kamu(3)

Mari beralih dari model geometris ke model analitik.

1. Kita perhatikan bahwa y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 secara otomatis.+di+c lebih kecil dari beberapa bilangan k: x 1 x 2 <к

   3. Untuk berapa nilai parameter a akar-akar sumbu trinomial persegi 2 +in+c termasuk dalam interval (k, t) ke<х 1 x 2 <т

   4. Untuk apa nilai parameter a hanya akar yang lebih kecil dari sumbu trinomial kuadrat 2 +in+c termasuk dalam interval yang diberikan (k, t), yaitu k<х 1 <т<х 2

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   Akar persamaan kuadrat x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, lebih besar dari 1.

   Jawaban: 2<а<4

   Akar persamaan kuadrat x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, kurang dari 1.

   Menjawab:

   -0,5<а<2

   Akar persamaan kuadrat x 2 -2ax+a=0, termasuk dalam interval (0;3).

   Jawaban: 1≤a< 9 / 5

   Hanya akar yang lebih kecil dari persamaan x 2 -2ax+a=0, termasuk dalam interval (0;3).

   Jawaban: 1≤a< 9 / 5

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.

   2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang

   Hanya akar terbesar dari persamaan x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, termasuk dalam interval [-1;0).

   Jawaban:(-5;-4]U[-2;-1)

   Ruas [-1; 3] seluruhnya berada di antara akar persamaan kuadrat x 2 -(2a+1)x+a-11=0.

   Jawaban 1<а<3

   Akar persamaan kuadrat x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, terletak di sisi berlawanan dari angka 3.

   Menjawab( 10 / 7 ;∞)

   Terima kasih atas pelajarannya teman-teman!

Berapa nilai parameter satu akar persamaan?

lebih besar dari 1 dan yang lainnya kurang dari 1?

Perhatikan fungsi-

Objektif:

• Studi tentang semua fitur yang mungkin dari lokasi akar trinomial persegi relatif terhadap titik tertentu dan relatif terhadap segmen tertentu berdasarkan sifat-sifat fungsi kuadrat dan interpretasi grafis.
• Penerapan sifat-sifat yang dipelajari dalam memecahkan masalah non-standar dengan parameter.

Tugas:

• Mempelajari berbagai metode penyelesaian masalah berdasarkan studi lokasi akar-akar trinomial kuadrat dengan metode grafik.
• Perkuat semua fitur yang mungkin dari lokasi akar trinomial kuadrat, kembangkan rekomendasi teoretis untuk menyelesaikan masalah non-standar dengan parameter.
• Kuasai sejumlah keterampilan matematika teknis dan intelektual, pelajari cara menggunakannya dalam memecahkan masalah.

Hipotesa:

Penggunaan metode grafis dalam masalah non-tradisional dengan parameter menyederhanakan perhitungan matematis dan merupakan cara yang rasional untuk menyelesaikannya.

kemudian dan hanya kemudian:

1. Kedua akar lebih kecil dari A,

2. Akar-akar terletak pada sisi yang berlawanan dari bilangan A,

kemudian dan hanya kemudian:

• kemudian dan hanya kemudian:

kemudian dan hanya kemudian:

3. Kedua akar lebih besar dari bilangan A, yaitu

Temukan semua nilai parameter a yang memiliki satu akar persamaan

lebih besar dari 1 dan yang lainnya kurang dari 1.

Untuk apa nilai parameter persamaan

memiliki dua akar yang berbeda dari tanda yang sama?

-6

-2

3

sebuah

1. Kedua akar terletak di antara titik A dan B, mis.

kemudian dan hanya kemudian:

2. Akar terletak pada sisi yang berlawanan dari segmen

kemudian dan hanya kemudian:

3. Satu akar terletak di luar segmen, dan yang lainnya di atasnya, yaitu

kemudian dan hanya kemudian:

Jelajahi Persamaan

dengan jumlah akar tergantung pada parameter.

persamaan tidak memiliki solusi.

memiliki satu solusi.

Jelajahi Persamaan

dengan jumlah akar dalam

tergantung pada parameternya.

Jika satu akar terletak pada segmen, dan yang lain di sebelah kirinya.

Jika satu akar terletak pada segmen, dan yang lain di sebelah kanannya.

persamaan asli akan memiliki dua akar yang berbeda.

di bawah mana

Persamaan memiliki tiga akar yang berbeda.

Jawaban: kapan

di bawah mana

persamaan asli akan memiliki dua

akar yang berbeda.

Persamaan memiliki empat akar yang berbeda.