Tingkat pertama
persamaan eksponensial. Panduan Komprehensif (2019)
Hai! Hari ini kami akan membahas dengan Anda bagaimana menyelesaikan persamaan yang dapat menjadi dasar (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya cocok untuk Anda), dan yang biasanya diberikan "isi ulang". Rupanya, tertidur sepenuhnya. Tapi saya akan berusaha melakukan yang terbaik agar sekarang Anda tidak mendapat masalah saat menghadapi persamaan jenis ini. Saya tidak akan lagi bertele-tele, tetapi saya akan segera mengungkapkan sedikit rahasia: hari ini kita akan belajar persamaan eksponensial.
Sebelum melanjutkan ke analisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menguraikan untuk Anda lingkaran pertanyaan (cukup kecil) yang harus Anda ulangi sebelum Anda terburu-buru menyerbu topik ini. Jadi, untuk hasil terbaik, silakan ulang:
- properti dan
- Solusi dan Persamaan
Ulang? Luar biasa! Maka tidak akan sulit bagi Anda untuk memperhatikan bahwa akar persamaan adalah angka. Apakah Anda yakin Anda mengerti bagaimana saya melakukannya? Kebenaran? Kemudian kita lanjutkan. Sekarang jawab pertanyaan saya, apa yang sama dengan kekuatan ketiga? Anda benar sekali: . Delapan adalah apa kekuatan dua? Itu benar - yang ketiga! Karena. Nah, sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut ini: Biarkan saya mengalikan angka dengan dirinya sendiri satu kali dan mendapatkan hasilnya. Pertanyaannya, sudah berapa kali saya mengalikan sendiri? Anda tentu saja dapat memeriksa ini secara langsung:
\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( meluruskan)
Kemudian Anda dapat menyimpulkan bahwa saya mengalikan kali dengan dirinya sendiri. Bagaimana lagi ini bisa diverifikasi? Dan berikut caranya : langsung dengan definisi derajat : . Tetapi, Anda harus mengakui, jika saya bertanya berapa kali dua harus dikalikan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan, katakanlah, Anda akan memberi tahu saya: Saya tidak akan membodohi diri sendiri dan mengalikan dengan diri saya sendiri sampai muka saya biru. Dan dia akan benar sekali. Karena bagaimana bisa? tuliskan semua tindakan secara singkat(dan singkatnya adalah saudara perempuan dari bakat)
di mana - ini sangat "waktu" ketika Anda mengalikan dengan sendirinya.
Saya pikir Anda tahu (dan jika Anda tidak tahu, segera, segera ulangi derajatnya!) bahwa masalah saya akan ditulis dalam bentuk:
Bagaimana Anda dapat menyimpulkan bahwa:
Jadi, diam-diam, saya menuliskan yang paling sederhana persamaan eksponensial:
Dan bahkan menemukannya akar. Tidakkah Anda berpikir bahwa semuanya cukup sepele? Itu juga yang saya pikirkan. Berikut contoh lain untuk Anda:
Tapi apa yang harus dilakukan? Lagi pula, itu tidak dapat ditulis sebagai derajat dari angka (masuk akal). Jangan putus asa dan perhatikan bahwa kedua angka ini dinyatakan dengan sempurna dalam bentuk pangkat dari angka yang sama. Apa? Benar: . Kemudian persamaan awal diubah menjadi bentuk:
Dari mana, seperti yang sudah Anda pahami, . Mari kita tidak menarik lagi dan menulis definisi:
Dalam kasus kami dengan Anda: .
Persamaan ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi bentuk:
dengan solusi persamaan selanjutnya
Kami, pada kenyataannya, melakukan ini dalam contoh sebelumnya: kami mendapatkan itu. Dan kami memecahkan persamaan paling sederhana dengan Anda.
Sepertinya tidak ada yang rumit, kan? Mari kita berlatih pada yang paling sederhana dulu. contoh:
Kita kembali melihat bahwa ruas kanan dan kiri persamaan harus direpresentasikan sebagai pangkat satu bilangan. Benar, ini sudah dilakukan di sebelah kiri, tetapi di sebelah kanan ada nomor. Tapi, tidak apa-apa, dan persamaan saya secara ajaib berubah menjadi ini:
Apa yang harus saya lakukan di sini? Aturan apa? Aturan Kekuatan ke Kekuatan yang berbunyi:
Bagaimana jika:
Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari isi tabel berikut ini bersama Anda:
Tidak sulit bagi kita untuk memperhatikan bahwa semakin kecil, semakin kecil nilainya, tetapi bagaimanapun, semua nilai ini lebih besar dari nol. DAN AKAN SELALU BEGITU !!! Properti yang sama berlaku UNTUK DASAR APAPUN DENGAN INDEKS APAPUN!! (untuk setiap dan). Lalu apa yang bisa kita simpulkan tentang persamaan tersebut? Dan ini satu: itu tidak memiliki akar! Sama seperti persamaan apapun tidak memiliki akar. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan beberapa contoh sederhana:
Mari kita periksa:
1. Tidak ada yang diperlukan dari Anda di sini, kecuali untuk mengetahui sifat-sifat kekuatan (yang, omong-omong, saya meminta Anda untuk mengulanginya!) Sebagai aturan, semuanya mengarah ke basis terkecil: , . Maka persamaan aslinya akan setara dengan yang berikut: Yang saya butuhkan hanyalah menggunakan sifat-sifat pangkat: ketika mengalikan angka dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan ketika membagi, mereka dikurangkan. Maka saya akan mendapatkan: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan pindah dari persamaan eksponensial ke persamaan linier: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(sejajarkan)
2. Pada contoh kedua, Anda harus lebih berhati-hati: masalahnya adalah bahwa di sisi kiri, kami juga tidak dapat mewakili angka yang sama sebagai kekuatan. Dalam hal ini terkadang berguna mewakili angka sebagai produk kekuatan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponen yang sama:
Sisi kiri persamaan akan berbentuk: Apa yang diberikan ini kepada kita? Dan inilah yang: Bilangan dengan basis yang berbeda tetapi eksponen yang sama dapat dikalikan.Dalam hal ini, basis dikalikan, tetapi eksponen tidak berubah:
Diterapkan pada situasi saya, ini akan memberikan:
\mulai(sejajarkan)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(sejajarkan)
Tidak buruk, kan?
3. Saya tidak suka ketika saya memiliki dua istilah di satu sisi persamaan, dan tidak ada di sisi lain (kadang-kadang, tentu saja, ini dibenarkan, tetapi sekarang tidak demikian). Pindahkan suku minus ke kanan:
Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya melalui kekuatan rangkap tiga:
Saya menambahkan kekuatan di sebelah kiri dan mendapatkan persamaan yang setara
Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya:
4. Seperti pada contoh tiga, istilah dengan minus - tempat di sisi kanan!
Di sebelah kiri, hampir semuanya baik-baik saja dengan saya, kecuali untuk apa? Ya, "derajat yang salah" dari deuce mengganggu saya. Tetapi saya dapat dengan mudah memperbaikinya dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri, semua basis berbeda, tetapi semua derajat sama! Kami berkembang biak dengan cepat!
Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika Anda tidak mengerti bagaimana saya secara ajaib mendapatkan kesetaraan terakhir, istirahatlah sebentar, istirahatlah dan baca properti derajat lagi dengan sangat hati-hati. Siapa bilang Anda bisa melewati derajat dengan eksponen negatif? Nah, di sini saya hampir sama dengan siapa pun). Sekarang saya akan mendapatkan:
\mulai(sejajarkan)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(sejajarkan)
Berikut adalah tugas-tugas untuk Anda praktikkan, yang hanya akan saya berikan jawabannya (tetapi dalam bentuk "campuran"). Selesaikan, periksa, dan kami akan melanjutkan penelitian kami!
Siap? jawaban seperti ini:
- nomor berapa saja
Oke, oke, aku bercanda! Berikut adalah garis besar solusi (beberapa cukup singkat!)
Tidakkah menurut Anda bukan kebetulan bahwa satu pecahan di sebelah kiri adalah pecahan lain yang "terbalik"? Akan menjadi dosa untuk tidak menggunakan ini:
Aturan ini sangat sering digunakan saat menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah baik-baik!
Maka persamaan awalnya menjadi:
Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ini, Anda akan mendapatkan akar-akar berikut:
2. Solusi lain: membagi kedua bagian persamaan dengan ekspresi di kiri (atau kanan). Saya akan membagi dengan apa yang ada di sebelah kanan, maka saya akan mendapatkan:
Dimana (mengapa?!)
3. Saya bahkan tidak ingin mengulanginya sendiri, semuanya sudah "dikunyah" begitu banyak.
4. setara dengan persamaan kuadrat, akar-akarnya
5. Anda perlu menggunakan rumus yang diberikan pada tugas pertama, maka Anda akan mendapatkan bahwa:
Persamaan telah berubah menjadi identitas trivial, yang berlaku untuk sembarang. Maka jawabannya adalah bilangan real apa pun.
Nah, di sinilah Anda dan berlatih untuk memutuskan persamaan eksponensial paling sederhana. Sekarang saya ingin memberi Anda beberapa contoh kehidupan yang akan membantu Anda memahami mengapa itu diperlukan secara prinsip. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satunya cukup sehari-hari, tetapi yang lain lebih ilmiah daripada kepentingan praktis.
Contoh 1 (perdagangan) Biarkan Anda memiliki rubel, tetapi Anda ingin mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan Anda untuk mengambil uang ini dari Anda dengan tingkat bunga tahunan dengan kapitalisasi bunga bulanan (akrual bulanan). Pertanyaannya, berapa bulan Anda perlu membuka deposit untuk mengumpulkan jumlah akhir yang diinginkan? Tugas yang cukup biasa, bukan? Namun demikian, solusinya dihubungkan dengan konstruksi persamaan eksponensial yang sesuai: Biarkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - tingkat bunga untuk periode tersebut, - jumlah periode. Kemudian:
Dalam kasus kami (jika tarifnya per tahun, maka dihitung per bulan). Mengapa dibagi menjadi? Jika Anda tidak tahu jawaban untuk pertanyaan ini, ingat topik ""! Kemudian kita mendapatkan persamaan berikut:
Persamaan eksponensial ini sudah dapat diselesaikan hanya dengan kalkulator (penampilannya mengisyaratkan ini, dan ini membutuhkan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita kenal nanti), yang akan saya lakukan: ... Jadi, untuk menerima satu juta, kita perlu membuat kontribusi selama sebulan (tidak terlalu cepat, kan?).
Contoh 2 (agak ilmiah). Terlepas dari dia, beberapa "isolasi", saya sarankan Anda memperhatikannya: dia secara teratur "masuk ujian!! (tugas diambil dari versi "nyata") Selama peluruhan isotop radioaktif, massanya berkurang sesuai dengan hukum, di mana (mg) adalah massa awal isotop, (min.) adalah waktu yang berlalu dari momen awal, (min.) adalah waktu paruh. Pada saat awal, massa isotop adalah mg. Waktu paruhnya adalah min. Dalam berapa menit massa isotop akan sama dengan mg? Tidak apa-apa: kita hanya mengambil dan mengganti semua data dalam rumus yang diajukan kepada kita:
Mari kita bagi kedua bagian dengan, "dengan harapan" bahwa di sebelah kiri kita mendapatkan sesuatu yang dapat dicerna:
Yah, kami sangat beruntung! Itu berdiri di sebelah kiri, lalu mari kita beralih ke persamaan yang setara:
Dimana min.
Seperti yang Anda lihat, persamaan eksponensial memiliki aplikasi yang sangat nyata dalam praktik. Sekarang saya ingin membahas dengan Anda cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yang didasarkan pada mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung dan kemudian mengelompokkan suku-sukunya. Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda telah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial. Misalnya, jika Anda perlu memfaktorkan ekspresi:
Mari kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat. Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah perbedaan kuadrat:
dan yang kedua dan keempat memiliki faktor persekutuan tiga:
Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:
Di mana mengambil faktor umum tidak lagi sulit:
Karena itu,
Ini kira-kira bagaimana kita akan bertindak ketika memecahkan persamaan eksponensial: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkan dari tanda kurung, dan kemudian - apa pun yang terjadi, saya yakin kita akan beruntung =)) Misalnya:
Di sebelah kanan jauh dari pangkat tujuh (saya memeriksa!) Dan di sebelah kiri - sedikit lebih baik, Anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari suku pertama dan dari suku kedua, dan kemudian berurusan dengan apa yang Anda punya, tapi mari kita lakukan lebih bijaksana dengan Anda. Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti dihasilkan oleh "seleksi", jadi bukankah lebih baik saya bertahan? Maka saya tidak akan memiliki pecahan: seperti yang mereka katakan, baik serigala penuh dan domba aman:
Hitung ekspresi dalam tanda kurung. Ajaib, ajaib, ternyata (mengejutkan, meskipun apa lagi yang bisa kita harapkan?).
Kemudian kami mengurangi kedua sisi persamaan dengan faktor ini. Kami mendapatkan: di mana.
Berikut adalah contoh yang lebih rumit (sedikit, sungguh):
Inilah masalahnya! Kami tidak memiliki kesamaan di sini! Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Dan mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, kita akan memindahkan "berempat" ke satu arah, dan "lima" ke arah lain:
Sekarang mari kita singkirkan "umum" di kiri dan kanan:
Jadi bagaimana sekarang? Apa manfaat dari pengelompokan bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:
Nah, sekarang mari kita buat sehingga di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya. Bagaimana kita bisa melakukannya? Dan begini caranya: Bagi kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (jadi kita singkirkan eksponen di sebelah kanan), lalu bagi kedua ruas dengan (jadi kita singkirkan faktor numerik di sebelah kiri). Akhirnya kita mendapatkan:
Menakjubkan! Di sebelah kiri kami memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan - adil. Kemudian kami segera menyimpulkan bahwa
Berikut contoh lain untuk memperkuat:
Saya akan memberikan solusi singkatnya (tidak terlalu repot untuk menjelaskan), cobalah untuk mencari tahu sendiri semua "seluk-beluk" dari solusi tersebut.
Sekarang konsolidasi akhir dari materi tertutup. Coba selesaikan sendiri soal-soal berikut. Saya hanya akan memberikan rekomendasi dan tips singkat untuk mengatasinya:
- Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
- Kami mewakili ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua bagian dengan dan dapatkan itu
- , maka persamaan aslinya diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana Anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
- Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, lalu membagi kedua bagian dengan, sehingga Anda mendapatkan persamaan eksponensial paling sederhana.
- Keluarkan dari kurung.
- Keluarkan dari kurung.
PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT TENGAH
Saya berasumsi bahwa setelah membaca artikel pertama, yang mengatakan apa persamaan eksponensial dan bagaimana menyelesaikannya, Anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling sederhana.
Sekarang saya akan menganalisis metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, ini adalah
"metode memperkenalkan variabel baru" (atau substitusi). Dia memecahkan sebagian besar masalah "sulit", pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Metode ini adalah salah satu yang paling umum digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.
Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah untuk memperkenalkan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga persamaan eksponensial Anda akan secara ajaib berubah menjadi persamaan yang sudah dapat Anda selesaikan dengan mudah. Yang tersisa untuk Anda setelah menyelesaikan "persamaan yang disederhanakan" ini adalah membuat "penggantian terbalik": yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:
Contoh 1:
Persamaan ini diselesaikan dengan "substitusi sederhana", seperti yang sering disebut oleh para matematikawan. Memang, substitusi di sini adalah yang paling jelas. Hanya perlu dilihat bahwa
Maka persamaan awalnya menjadi:
Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka cukup jelas apa yang perlu diganti: tentu saja, . Apa yang kemudian menjadi persamaan asli? Dan inilah yang:
Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri:. Apa yang harus kita lakukan sekarang? Saatnya kembali ke variabel awal. Apa yang saya lupa sertakan? Yaitu: saat mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu, saat mengganti tipe), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya. Jadi, kami tidak tertarik pada Anda, tetapi root kedua cukup cocok untuk kami:
Lalu dimana.
Menjawab:
Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, pengganti meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi. Namun, jangan langsung sedih, tetapi praktikkan satu contoh lagi dengan penggantian yang cukup sederhana
Contoh 2
Jelas bahwa kemungkinan besar akan diperlukan untuk mengganti (ini adalah pangkat terkecil yang termasuk dalam persamaan kami), namun, sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kami perlu "disiapkan" untuk itu, yaitu: , . Kemudian Anda dapat mengganti, akibatnya saya akan mendapatkan ekspresi berikut:
Oh horor: persamaan kubik dengan formula yang benar-benar mengerikan untuk solusinya (well, berbicara secara umum). Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan. Saya akan menyarankan menyontek: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang "indah", kita perlu mendapatkan beberapa pangkat tiga (mengapa begitu, ya?). Dan mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dari pangkat tiga).
tebakan pertama. Bukan akar. Aduh dan ah...
.
Sisi kiri adalah sama.
Bagian kanan: !
Ada! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!
Apakah Anda tahu tentang skema pembagian "sudut"? Tentu saja Anda tahu, Anda menggunakannya ketika Anda membagi satu angka dengan angka lainnya. Tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Ada satu teorema yang luar biasa:
Berlaku untuk situasi saya, ini memberi tahu saya apa yang habis dibagi tanpa sisa. Bagaimana pembagian dilakukan? Begitulah:
Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan Clear, lalu:
Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:
Sekarang, apa yang harus saya perbanyak untuk mendapatkan? Jelas bahwa pada, maka saya akan mendapatkan:
dan sekali lagi kurangi ekspresi yang dihasilkan dari yang tersisa:
Nah, langkah terakhir, saya kalikan dengan, dan kurangi dari ekspresi yang tersisa:
Hore, pembagian selesai! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi? Dengan sendirinya: .
Kemudian kami mendapatkan ekspansi berikut dari polinomial asli:
Mari selesaikan persamaan kedua:
Ini memiliki akar:
Maka persamaan aslinya:
memiliki tiga akar:
Kami, tentu saja, membuang akar terakhir, karena kurang dari nol. Dan dua yang pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:
Menjawab: ..
Dengan contoh ini, saya sama sekali tidak ingin menakut-nakuti Anda, melainkan, saya mulai menunjukkan bahwa meskipun kami memiliki pengganti yang cukup sederhana, namun, itu mengarah pada persamaan yang agak rumit, solusinya memerlukan beberapa keterampilan khusus dari kami. . Nah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi perubahan dalam kasus ini cukup jelas.
Berikut ini contoh dengan substitusi yang sedikit kurang jelas:
Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahwa dalam persamaan kita ada dua basis yang berbeda dan satu basis tidak dapat diperoleh dari yang lain dengan menaikkannya ke tingkat (masuk akal, tentu saja). Namun, apa yang kita lihat? Kedua basa hanya berbeda dalam tanda, dan produknya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:
Definisi:
Jadi, bilangan yang merupakan basis dalam contoh kita adalah bilangan konjugasi.
Kalau begitu, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.
Misalnya, pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama, dan ruas kanan. Jika kami melakukan penggantian, maka persamaan awal kami dengan Anda akan menjadi seperti ini:
akarnya, kemudian, tetapi mengingat itu, kita mengerti.
Menjawab: , .
Sebagai aturan, metode penggantian sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial "sekolah". Tugas-tugas berikut diambil dari USE C1 (tingkat kesulitan yang meningkat). Anda sudah cukup melek untuk memecahkan contoh-contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.
- Selesaikan persamaan:
- Cari akar persamaan:
- Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen:
Sekarang untuk beberapa penjelasan dan jawaban singkat:
- Di sini cukup untuk dicatat bahwa dan. Maka persamaan aslinya akan setara dengan yang ini: Persamaan ini diselesaikan dengan mengganti Lakukan sendiri perhitungan berikut. Pada akhirnya, tugas Anda akan dikurangi menjadi menyelesaikan trigonometri paling sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan membahas solusi dari contoh-contoh tersebut di bagian lain.
- Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa penggantian: cukup dengan mentransfer pengurangan ke kanan dan mewakili kedua basis melalui kekuatan dua: dan kemudian segera pergi ke persamaan kuadrat.
- Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cara yang agak standar: bayangkan caranya. Kemudian, menggantikan kita mendapatkan persamaan kuadrat: maka,
Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma? Bukan? Kemudian segera baca topiknya!
Akar pertama, jelas, bukan milik segmen, dan yang kedua tidak bisa dipahami! Tapi kita akan segera mengetahuinya! Karena, maka (ini adalah sifat dari logaritma!) Mari kita bandingkan:
Kurangi dari kedua bagian, maka kita mendapatkan:
Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:
kalikan kedua ruas dengan:
dapat dikalikan dengan
Kemudian mari kita bandingkan:
Dari dulu:
Kemudian akar kedua milik interval yang diinginkan
Menjawab:
Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial membutuhkan pengetahuan yang cukup mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang Anda ketahui, dalam matematika semuanya saling berhubungan! Seperti yang sering dikatakan guru matematika saya: "Kamu tidak bisa membaca matematika seperti sejarah dalam semalam."
Sebagai aturan, semua kesulitan dalam memecahkan masalah C1 justru pemilihan akar persamaan. Mari kita berlatih dengan contoh lain:
Jelas bahwa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan cukup sederhana. Setelah melakukan substitusi, kami mengurangi persamaan asli kami menjadi berikut:
Mari kita lihat akar pertama terlebih dahulu. Bandingkan dan: sejak, lalu. (properti fungsi logaritmik, di). Maka jelaslah bahwa akar pertama juga bukan milik interval kita. Sekarang akar kedua: . Jelas bahwa (karena fungsinya meningkat). Tinggal membandingkan dan
sejak, kemudian, pada saat yang sama. Jadi, saya bisa "mengendarai pasak" antara dan. Pasak ini adalah angka. Ekspresi pertama lebih kecil dari dan yang kedua lebih besar dari. Kemudian ekspresi kedua lebih besar dari yang pertama dan root termasuk dalam interval.
Menjawab: .
Sebagai kesimpulan, mari kita lihat contoh lain dari persamaan di mana penggantiannya agak tidak standar:
Mari kita mulai segera dengan apa yang dapat Anda lakukan, dan apa - pada prinsipnya, Anda dapat melakukannya, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Itu mungkin - untuk mewakili segalanya melalui kekuatan tiga, dua dan enam. Ke mana arahnya? Ya, dan tidak akan mengarah pada apa pun: derajat gado-gado, beberapa di antaranya akan sangat sulit untuk dihilangkan. Lalu apa yang dibutuhkan? Perhatikan bahwa a Dan apa yang akan diberikannya kepada kita? Dan fakta bahwa kita dapat mereduksi solusi dari contoh ini menjadi solusi persamaan eksponensial yang cukup sederhana! Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai:
Sekarang kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan menjadi:
Eureka! Sekarang kita dapat mengganti, kita mendapatkan:
Nah, sekarang giliran Anda untuk memecahkan masalah untuk demonstrasi, dan saya hanya akan memberi mereka komentar singkat agar Anda tidak tersesat! Semoga berhasil!
1. Yang paling sulit! Melihat penggantinya di sini adalah oh, betapa jeleknya! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya menggunakan pemilihan persegi penuh. Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:
Jadi, inilah pengganti Anda:
(Perhatikan bahwa di sini, dengan penggantian kami, kami tidak dapat membuang akar negatif!!! Dan mengapa, bagaimana menurut Anda?)
Sekarang, untuk menyelesaikan contoh, Anda harus menyelesaikan dua persamaan:
Keduanya diselesaikan dengan "penggantian standar" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)
2. Perhatikan itu dan buat substitusi.
3. Perluas bilangan tersebut menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.
4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau jika Anda mau) dan substitusikan atau.
5. Perhatikan bahwa angka dan konjugat.
PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT LANJUT
Selain itu, mari kita lihat cara lain - solusi persamaan eksponensial dengan metode logaritma. Saya tidak dapat mengatakan bahwa solusi persamaan eksponensial dengan metode ini sangat populer, tetapi dalam beberapa kasus hanya itu yang dapat membawa kita ke solusi persamaan yang benar. Terutama sering digunakan untuk memecahkan apa yang disebut " persamaan campuran': yaitu, yang memiliki fungsi dari jenis yang berbeda.
Misalnya persamaan seperti:
dalam kasus umum, itu hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma dari kedua bagian (misalnya, dengan basis), di mana persamaan aslinya berubah menjadi berikut:
Mari kita perhatikan contoh berikut:
Jelas bahwa kita hanya tertarik pada ODZ dari fungsi logaritma. Namun, ini mengikuti tidak hanya dari ODZ logaritma, tetapi karena alasan lain. Saya pikir tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.
Mari kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan kita ke basis:
Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma dari persamaan asli kami dengan cepat membawa kami ke jawaban yang benar (dan indah!). Mari kita berlatih dengan contoh lain:
Di sini juga, tidak ada yang perlu dikhawatirkan: kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan dalam bentuk basis, lalu kita dapatkan:
Mari kita lakukan penggantian:
Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya membuat kesalahan? Setelah semua, maka:
yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)
Menjawab:
Coba tuliskan solusi persamaan eksponensial di bawah ini:
Sekarang periksa solusi Anda dengan ini:
1. Kami logaritma kedua bagian ke basis, mengingat bahwa:
(akar kedua tidak sesuai dengan kami karena penggantian)
2. Logaritma ke basis:
Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan menjadi bentuk berikut:
PERSAMAAN EKPOSISI. DESKRIPSI SINGKAT DAN FORMULA DASAR
persamaan eksponensial
Ketik persamaan:
ditelepon persamaan eksponensial paling sederhana.
Properti gelar
Pendekatan Solusi
- Pengurangan ke basis yang sama
- Pengurangan ke eksponen yang sama
- Substitusi variabel
- Sederhanakan ekspresi dan terapkan salah satu di atas.
Tingkat pertama
persamaan eksponensial. Panduan Komprehensif (2019)
Hai! Hari ini kami akan membahas dengan Anda bagaimana menyelesaikan persamaan yang dapat menjadi dasar (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya cocok untuk Anda), dan yang biasanya diberikan "isi ulang". Rupanya, tertidur sepenuhnya. Tapi saya akan berusaha melakukan yang terbaik agar sekarang Anda tidak mendapat masalah saat menghadapi persamaan jenis ini. Saya tidak akan lagi bertele-tele, tetapi saya akan segera mengungkapkan sedikit rahasia: hari ini kita akan belajar persamaan eksponensial.
Sebelum melanjutkan ke analisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menguraikan untuk Anda lingkaran pertanyaan (cukup kecil) yang harus Anda ulangi sebelum Anda terburu-buru menyerbu topik ini. Jadi, untuk hasil terbaik, silakan ulang:
- properti dan
- Solusi dan Persamaan
Ulang? Luar biasa! Maka tidak akan sulit bagi Anda untuk memperhatikan bahwa akar persamaan adalah angka. Apakah Anda yakin Anda mengerti bagaimana saya melakukannya? Kebenaran? Kemudian kita lanjutkan. Sekarang jawab pertanyaan saya, apa yang sama dengan kekuatan ketiga? Anda benar sekali: . Delapan adalah apa kekuatan dua? Itu benar - yang ketiga! Karena. Nah, sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut ini: Biarkan saya mengalikan angka dengan dirinya sendiri satu kali dan mendapatkan hasilnya. Pertanyaannya, sudah berapa kali saya mengalikan sendiri? Anda tentu saja dapat memeriksa ini secara langsung:
\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( meluruskan)
Kemudian Anda dapat menyimpulkan bahwa saya mengalikan kali dengan dirinya sendiri. Bagaimana lagi ini bisa diverifikasi? Dan berikut caranya : langsung dengan definisi derajat : . Tetapi, Anda harus mengakui, jika saya bertanya berapa kali dua harus dikalikan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan, katakanlah, Anda akan memberi tahu saya: Saya tidak akan membodohi diri sendiri dan mengalikan dengan diri saya sendiri sampai muka saya biru. Dan dia akan benar sekali. Karena bagaimana bisa? tuliskan semua tindakan secara singkat(dan singkatnya adalah saudara perempuan dari bakat)
di mana - ini sangat "waktu" ketika Anda mengalikan dengan sendirinya.
Saya pikir Anda tahu (dan jika Anda tidak tahu, segera, segera ulangi derajatnya!) bahwa masalah saya akan ditulis dalam bentuk:
Bagaimana Anda dapat menyimpulkan bahwa:
Jadi, diam-diam, saya menuliskan yang paling sederhana persamaan eksponensial:
Dan bahkan menemukannya akar. Tidakkah Anda berpikir bahwa semuanya cukup sepele? Itu juga yang saya pikirkan. Berikut contoh lain untuk Anda:
Tapi apa yang harus dilakukan? Lagi pula, itu tidak dapat ditulis sebagai derajat dari angka (masuk akal). Jangan putus asa dan perhatikan bahwa kedua angka ini dinyatakan dengan sempurna dalam bentuk pangkat dari angka yang sama. Apa? Benar: . Kemudian persamaan awal diubah menjadi bentuk:
Dari mana, seperti yang sudah Anda pahami, . Mari kita tidak menarik lagi dan menulis definisi:
Dalam kasus kami dengan Anda: .
Persamaan ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi bentuk:
dengan solusi persamaan selanjutnya
Kami, pada kenyataannya, melakukan ini dalam contoh sebelumnya: kami mendapatkan itu. Dan kami memecahkan persamaan paling sederhana dengan Anda.
Sepertinya tidak ada yang rumit, kan? Mari kita berlatih pada yang paling sederhana dulu. contoh:
Kita kembali melihat bahwa ruas kanan dan kiri persamaan harus direpresentasikan sebagai pangkat satu bilangan. Benar, ini sudah dilakukan di sebelah kiri, tetapi di sebelah kanan ada nomor. Tapi, tidak apa-apa, dan persamaan saya secara ajaib berubah menjadi ini:
Apa yang harus saya lakukan di sini? Aturan apa? Aturan Kekuatan ke Kekuatan yang berbunyi:
Bagaimana jika:
Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari isi tabel berikut ini bersama Anda:
Tidak sulit bagi kita untuk memperhatikan bahwa semakin kecil, semakin kecil nilainya, tetapi bagaimanapun, semua nilai ini lebih besar dari nol. DAN AKAN SELALU BEGITU !!! Properti yang sama berlaku UNTUK DASAR APAPUN DENGAN INDEKS APAPUN!! (untuk setiap dan). Lalu apa yang bisa kita simpulkan tentang persamaan tersebut? Dan ini satu: itu tidak memiliki akar! Sama seperti persamaan apapun tidak memiliki akar. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan beberapa contoh sederhana:
Mari kita periksa:
1. Tidak ada yang diperlukan dari Anda di sini, kecuali untuk mengetahui sifat-sifat kekuatan (yang, omong-omong, saya meminta Anda untuk mengulanginya!) Sebagai aturan, semuanya mengarah ke basis terkecil: , . Maka persamaan aslinya akan setara dengan yang berikut: Yang saya butuhkan hanyalah menggunakan sifat-sifat pangkat: ketika mengalikan angka dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan ketika membagi, mereka dikurangkan. Maka saya akan mendapatkan: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan pindah dari persamaan eksponensial ke persamaan linier: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(sejajarkan)
2. Pada contoh kedua, Anda harus lebih berhati-hati: masalahnya adalah bahwa di sisi kiri, kami juga tidak dapat mewakili angka yang sama sebagai kekuatan. Dalam hal ini terkadang berguna mewakili angka sebagai produk kekuatan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponen yang sama:
Sisi kiri persamaan akan berbentuk: Apa yang diberikan ini kepada kita? Dan inilah yang: Bilangan dengan basis yang berbeda tetapi eksponen yang sama dapat dikalikan.Dalam hal ini, basis dikalikan, tetapi eksponen tidak berubah:
Diterapkan pada situasi saya, ini akan memberikan:
\mulai(sejajarkan)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(sejajarkan)
Tidak buruk, kan?
3. Saya tidak suka ketika saya memiliki dua istilah di satu sisi persamaan, dan tidak ada di sisi lain (kadang-kadang, tentu saja, ini dibenarkan, tetapi sekarang tidak demikian). Pindahkan suku minus ke kanan:
Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya melalui kekuatan rangkap tiga:
Saya menambahkan kekuatan di sebelah kiri dan mendapatkan persamaan yang setara
Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya:
4. Seperti pada contoh tiga, istilah dengan minus - tempat di sisi kanan!
Di sebelah kiri, hampir semuanya baik-baik saja dengan saya, kecuali untuk apa? Ya, "derajat yang salah" dari deuce mengganggu saya. Tetapi saya dapat dengan mudah memperbaikinya dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri, semua basis berbeda, tetapi semua derajat sama! Kami berkembang biak dengan cepat!
Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika Anda tidak mengerti bagaimana saya secara ajaib mendapatkan kesetaraan terakhir, istirahatlah sebentar, istirahatlah dan baca properti derajat lagi dengan sangat hati-hati. Siapa bilang Anda bisa melewati derajat dengan eksponen negatif? Nah, di sini saya hampir sama dengan siapa pun). Sekarang saya akan mendapatkan:
\mulai(sejajarkan)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(sejajarkan)
Berikut adalah tugas-tugas untuk Anda praktikkan, yang hanya akan saya berikan jawabannya (tetapi dalam bentuk "campuran"). Selesaikan, periksa, dan kami akan melanjutkan penelitian kami!
Siap? jawaban seperti ini:
- nomor berapa saja
Oke, oke, aku bercanda! Berikut adalah garis besar solusi (beberapa cukup singkat!)
Tidakkah menurut Anda bukan kebetulan bahwa satu pecahan di sebelah kiri adalah pecahan lain yang "terbalik"? Akan menjadi dosa untuk tidak menggunakan ini:
Aturan ini sangat sering digunakan saat menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah baik-baik!
Maka persamaan awalnya menjadi:
Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ini, Anda akan mendapatkan akar-akar berikut:
2. Solusi lain: membagi kedua bagian persamaan dengan ekspresi di kiri (atau kanan). Saya akan membagi dengan apa yang ada di sebelah kanan, maka saya akan mendapatkan:
Dimana (mengapa?!)
3. Saya bahkan tidak ingin mengulanginya sendiri, semuanya sudah "dikunyah" begitu banyak.
4. setara dengan persamaan kuadrat, akar-akarnya
5. Anda perlu menggunakan rumus yang diberikan pada tugas pertama, maka Anda akan mendapatkan bahwa:
Persamaan telah berubah menjadi identitas trivial, yang berlaku untuk sembarang. Maka jawabannya adalah bilangan real apa pun.
Nah, di sinilah Anda dan berlatih untuk memutuskan persamaan eksponensial paling sederhana. Sekarang saya ingin memberi Anda beberapa contoh kehidupan yang akan membantu Anda memahami mengapa itu diperlukan secara prinsip. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satunya cukup sehari-hari, tetapi yang lain lebih ilmiah daripada kepentingan praktis.
Contoh 1 (perdagangan) Biarkan Anda memiliki rubel, tetapi Anda ingin mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan Anda untuk mengambil uang ini dari Anda dengan tingkat bunga tahunan dengan kapitalisasi bunga bulanan (akrual bulanan). Pertanyaannya, berapa bulan Anda perlu membuka deposit untuk mengumpulkan jumlah akhir yang diinginkan? Tugas yang cukup biasa, bukan? Namun demikian, solusinya dihubungkan dengan konstruksi persamaan eksponensial yang sesuai: Biarkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - tingkat bunga untuk periode tersebut, - jumlah periode. Kemudian:
Dalam kasus kami (jika tarifnya per tahun, maka dihitung per bulan). Mengapa dibagi menjadi? Jika Anda tidak tahu jawaban untuk pertanyaan ini, ingat topik ""! Kemudian kita mendapatkan persamaan berikut:
Persamaan eksponensial ini sudah dapat diselesaikan hanya dengan kalkulator (penampilannya mengisyaratkan ini, dan ini membutuhkan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita kenal nanti), yang akan saya lakukan: ... Jadi, untuk menerima satu juta, kita perlu membuat kontribusi selama sebulan (tidak terlalu cepat, kan?).
Contoh 2 (agak ilmiah). Terlepas dari dia, beberapa "isolasi", saya sarankan Anda memperhatikannya: dia secara teratur "masuk ujian!! (tugas diambil dari versi "nyata") Selama peluruhan isotop radioaktif, massanya berkurang sesuai dengan hukum, di mana (mg) adalah massa awal isotop, (min.) adalah waktu yang berlalu dari momen awal, (min.) adalah waktu paruh. Pada saat awal, massa isotop adalah mg. Waktu paruhnya adalah min. Dalam berapa menit massa isotop akan sama dengan mg? Tidak apa-apa: kita hanya mengambil dan mengganti semua data dalam rumus yang diajukan kepada kita:
Mari kita bagi kedua bagian dengan, "dengan harapan" bahwa di sebelah kiri kita mendapatkan sesuatu yang dapat dicerna:
Yah, kami sangat beruntung! Itu berdiri di sebelah kiri, lalu mari kita beralih ke persamaan yang setara:
Dimana min.
Seperti yang Anda lihat, persamaan eksponensial memiliki aplikasi yang sangat nyata dalam praktik. Sekarang saya ingin membahas dengan Anda cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yang didasarkan pada mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung dan kemudian mengelompokkan suku-sukunya. Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda telah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial. Misalnya, jika Anda perlu memfaktorkan ekspresi:
Mari kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat. Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah perbedaan kuadrat:
dan yang kedua dan keempat memiliki faktor persekutuan tiga:
Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:
Di mana mengambil faktor umum tidak lagi sulit:
Karena itu,
Ini kira-kira bagaimana kita akan bertindak ketika memecahkan persamaan eksponensial: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkan dari tanda kurung, dan kemudian - apa pun yang terjadi, saya yakin kita akan beruntung =)) Misalnya:
Di sebelah kanan jauh dari pangkat tujuh (saya memeriksa!) Dan di sebelah kiri - sedikit lebih baik, Anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari suku pertama dan dari suku kedua, dan kemudian berurusan dengan apa yang Anda punya, tapi mari kita lakukan lebih bijaksana dengan Anda. Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti dihasilkan oleh "seleksi", jadi bukankah lebih baik saya bertahan? Maka saya tidak akan memiliki pecahan: seperti yang mereka katakan, baik serigala penuh dan domba aman:
Hitung ekspresi dalam tanda kurung. Ajaib, ajaib, ternyata (mengejutkan, meskipun apa lagi yang bisa kita harapkan?).
Kemudian kami mengurangi kedua sisi persamaan dengan faktor ini. Kami mendapatkan: di mana.
Berikut adalah contoh yang lebih rumit (sedikit, sungguh):
Inilah masalahnya! Kami tidak memiliki kesamaan di sini! Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Dan mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, kita akan memindahkan "berempat" ke satu arah, dan "lima" ke arah lain:
Sekarang mari kita singkirkan "umum" di kiri dan kanan:
Jadi bagaimana sekarang? Apa manfaat dari pengelompokan bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:
Nah, sekarang mari kita buat sehingga di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya. Bagaimana kita bisa melakukannya? Dan begini caranya: Bagi kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (jadi kita singkirkan eksponen di sebelah kanan), lalu bagi kedua ruas dengan (jadi kita singkirkan faktor numerik di sebelah kiri). Akhirnya kita mendapatkan:
Menakjubkan! Di sebelah kiri kami memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan - adil. Kemudian kami segera menyimpulkan bahwa
Berikut contoh lain untuk memperkuat:
Saya akan memberikan solusi singkatnya (tidak terlalu repot untuk menjelaskan), cobalah untuk mencari tahu sendiri semua "seluk-beluk" dari solusi tersebut.
Sekarang konsolidasi akhir dari materi tertutup. Coba selesaikan sendiri soal-soal berikut. Saya hanya akan memberikan rekomendasi dan tips singkat untuk mengatasinya:
- Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
- Kami mewakili ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua bagian dengan dan dapatkan itu
- , maka persamaan aslinya diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana Anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
- Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, lalu membagi kedua bagian dengan, sehingga Anda mendapatkan persamaan eksponensial paling sederhana.
- Keluarkan dari kurung.
- Keluarkan dari kurung.
PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT TENGAH
Saya berasumsi bahwa setelah membaca artikel pertama, yang mengatakan apa persamaan eksponensial dan bagaimana menyelesaikannya, Anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling sederhana.
Sekarang saya akan menganalisis metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, ini adalah
"metode memperkenalkan variabel baru" (atau substitusi). Dia memecahkan sebagian besar masalah "sulit", pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Metode ini adalah salah satu yang paling umum digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.
Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah untuk memperkenalkan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga persamaan eksponensial Anda akan secara ajaib berubah menjadi persamaan yang sudah dapat Anda selesaikan dengan mudah. Yang tersisa untuk Anda setelah menyelesaikan "persamaan yang disederhanakan" ini adalah membuat "penggantian terbalik": yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:
Contoh 1:
Persamaan ini diselesaikan dengan "substitusi sederhana", seperti yang sering disebut oleh para matematikawan. Memang, substitusi di sini adalah yang paling jelas. Hanya perlu dilihat bahwa
Maka persamaan awalnya menjadi:
Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka cukup jelas apa yang perlu diganti: tentu saja, . Apa yang kemudian menjadi persamaan asli? Dan inilah yang:
Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri:. Apa yang harus kita lakukan sekarang? Saatnya kembali ke variabel awal. Apa yang saya lupa sertakan? Yaitu: saat mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu, saat mengganti tipe), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya. Jadi, kami tidak tertarik pada Anda, tetapi root kedua cukup cocok untuk kami:
Lalu dimana.
Menjawab:
Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, pengganti meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi. Namun, jangan langsung sedih, tetapi praktikkan satu contoh lagi dengan penggantian yang cukup sederhana
Contoh 2
Jelas bahwa kemungkinan besar akan diperlukan untuk mengganti (ini adalah pangkat terkecil yang termasuk dalam persamaan kami), namun, sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kami perlu "disiapkan" untuk itu, yaitu: , . Kemudian Anda dapat mengganti, akibatnya saya akan mendapatkan ekspresi berikut:
Oh horor: persamaan kubik dengan formula yang benar-benar mengerikan untuk solusinya (well, berbicara secara umum). Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan. Saya akan menyarankan menyontek: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang "indah", kita perlu mendapatkan beberapa pangkat tiga (mengapa begitu, ya?). Dan mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dari pangkat tiga).
tebakan pertama. Bukan akar. Aduh dan ah...
.
Sisi kiri adalah sama.
Bagian kanan: !
Ada! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!
Apakah Anda tahu tentang skema pembagian "sudut"? Tentu saja Anda tahu, Anda menggunakannya ketika Anda membagi satu angka dengan angka lainnya. Tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Ada satu teorema yang luar biasa:
Berlaku untuk situasi saya, ini memberi tahu saya apa yang habis dibagi tanpa sisa. Bagaimana pembagian dilakukan? Begitulah:
Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan Clear, lalu:
Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:
Sekarang, apa yang harus saya perbanyak untuk mendapatkan? Jelas bahwa pada, maka saya akan mendapatkan:
dan sekali lagi kurangi ekspresi yang dihasilkan dari yang tersisa:
Nah, langkah terakhir, saya kalikan dengan, dan kurangi dari ekspresi yang tersisa:
Hore, pembagian selesai! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi? Dengan sendirinya: .
Kemudian kami mendapatkan ekspansi berikut dari polinomial asli:
Mari selesaikan persamaan kedua:
Ini memiliki akar:
Maka persamaan aslinya:
memiliki tiga akar:
Kami, tentu saja, membuang akar terakhir, karena kurang dari nol. Dan dua yang pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:
Menjawab: ..
Dengan contoh ini, saya sama sekali tidak ingin menakut-nakuti Anda, melainkan, saya mulai menunjukkan bahwa meskipun kami memiliki pengganti yang cukup sederhana, namun, itu mengarah pada persamaan yang agak rumit, solusinya memerlukan beberapa keterampilan khusus dari kami. . Nah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi perubahan dalam kasus ini cukup jelas.
Berikut ini contoh dengan substitusi yang sedikit kurang jelas:
Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahwa dalam persamaan kita ada dua basis yang berbeda dan satu basis tidak dapat diperoleh dari yang lain dengan menaikkannya ke tingkat (masuk akal, tentu saja). Namun, apa yang kita lihat? Kedua basa hanya berbeda dalam tanda, dan produknya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:
Definisi:
Jadi, bilangan yang merupakan basis dalam contoh kita adalah bilangan konjugasi.
Kalau begitu, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.
Misalnya, pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama, dan ruas kanan. Jika kami melakukan penggantian, maka persamaan awal kami dengan Anda akan menjadi seperti ini:
akarnya, kemudian, tetapi mengingat itu, kita mengerti.
Menjawab: , .
Sebagai aturan, metode penggantian sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial "sekolah". Tugas-tugas berikut diambil dari USE C1 (tingkat kesulitan yang meningkat). Anda sudah cukup melek untuk memecahkan contoh-contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.
- Selesaikan persamaan:
- Cari akar persamaan:
- Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen:
Sekarang untuk beberapa penjelasan dan jawaban singkat:
- Di sini cukup untuk dicatat bahwa dan. Maka persamaan aslinya akan setara dengan yang ini: Persamaan ini diselesaikan dengan mengganti Lakukan sendiri perhitungan berikut. Pada akhirnya, tugas Anda akan dikurangi menjadi menyelesaikan trigonometri paling sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan membahas solusi dari contoh-contoh tersebut di bagian lain.
- Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa penggantian: cukup dengan mentransfer pengurangan ke kanan dan mewakili kedua basis melalui kekuatan dua: dan kemudian segera pergi ke persamaan kuadrat.
- Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cara yang agak standar: bayangkan caranya. Kemudian, menggantikan kita mendapatkan persamaan kuadrat: maka,
Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma? Bukan? Kemudian segera baca topiknya!
Akar pertama, jelas, bukan milik segmen, dan yang kedua tidak bisa dipahami! Tapi kita akan segera mengetahuinya! Karena, maka (ini adalah sifat dari logaritma!) Mari kita bandingkan:
Kurangi dari kedua bagian, maka kita mendapatkan:
Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:
kalikan kedua ruas dengan:
dapat dikalikan dengan
Kemudian mari kita bandingkan:
Dari dulu:
Kemudian akar kedua milik interval yang diinginkan
Menjawab:
Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial membutuhkan pengetahuan yang cukup mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang Anda ketahui, dalam matematika semuanya saling berhubungan! Seperti yang sering dikatakan guru matematika saya: "Kamu tidak bisa membaca matematika seperti sejarah dalam semalam."
Sebagai aturan, semua kesulitan dalam memecahkan masalah C1 justru pemilihan akar persamaan. Mari kita berlatih dengan contoh lain:
Jelas bahwa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan cukup sederhana. Setelah melakukan substitusi, kami mengurangi persamaan asli kami menjadi berikut:
Mari kita lihat akar pertama terlebih dahulu. Bandingkan dan: sejak, lalu. (properti fungsi logaritmik, di). Maka jelaslah bahwa akar pertama juga bukan milik interval kita. Sekarang akar kedua: . Jelas bahwa (karena fungsinya meningkat). Tinggal membandingkan dan
sejak, kemudian, pada saat yang sama. Jadi, saya bisa "mengendarai pasak" antara dan. Pasak ini adalah angka. Ekspresi pertama lebih kecil dari dan yang kedua lebih besar dari. Kemudian ekspresi kedua lebih besar dari yang pertama dan root termasuk dalam interval.
Menjawab: .
Sebagai kesimpulan, mari kita lihat contoh lain dari persamaan di mana penggantiannya agak tidak standar:
Mari kita mulai segera dengan apa yang dapat Anda lakukan, dan apa - pada prinsipnya, Anda dapat melakukannya, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Itu mungkin - untuk mewakili segalanya melalui kekuatan tiga, dua dan enam. Ke mana arahnya? Ya, dan tidak akan mengarah pada apa pun: derajat gado-gado, beberapa di antaranya akan sangat sulit untuk dihilangkan. Lalu apa yang dibutuhkan? Perhatikan bahwa a Dan apa yang akan diberikannya kepada kita? Dan fakta bahwa kita dapat mereduksi solusi dari contoh ini menjadi solusi persamaan eksponensial yang cukup sederhana! Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai:
Sekarang kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan menjadi:
Eureka! Sekarang kita dapat mengganti, kita mendapatkan:
Nah, sekarang giliran Anda untuk memecahkan masalah untuk demonstrasi, dan saya hanya akan memberi mereka komentar singkat agar Anda tidak tersesat! Semoga berhasil!
1. Yang paling sulit! Melihat penggantinya di sini adalah oh, betapa jeleknya! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya menggunakan pemilihan persegi penuh. Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:
Jadi, inilah pengganti Anda:
(Perhatikan bahwa di sini, dengan penggantian kami, kami tidak dapat membuang akar negatif!!! Dan mengapa, bagaimana menurut Anda?)
Sekarang, untuk menyelesaikan contoh, Anda harus menyelesaikan dua persamaan:
Keduanya diselesaikan dengan "penggantian standar" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)
2. Perhatikan itu dan buat substitusi.
3. Perluas bilangan tersebut menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.
4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau jika Anda mau) dan substitusikan atau.
5. Perhatikan bahwa angka dan konjugat.
PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT LANJUT
Selain itu, mari kita lihat cara lain - solusi persamaan eksponensial dengan metode logaritma. Saya tidak dapat mengatakan bahwa solusi persamaan eksponensial dengan metode ini sangat populer, tetapi dalam beberapa kasus hanya itu yang dapat membawa kita ke solusi persamaan yang benar. Terutama sering digunakan untuk memecahkan apa yang disebut " persamaan campuran': yaitu, yang memiliki fungsi dari jenis yang berbeda.
Misalnya persamaan seperti:
dalam kasus umum, itu hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma dari kedua bagian (misalnya, dengan basis), di mana persamaan aslinya berubah menjadi berikut:
Mari kita perhatikan contoh berikut:
Jelas bahwa kita hanya tertarik pada ODZ dari fungsi logaritma. Namun, ini mengikuti tidak hanya dari ODZ logaritma, tetapi karena alasan lain. Saya pikir tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.
Mari kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan kita ke basis:
Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma dari persamaan asli kami dengan cepat membawa kami ke jawaban yang benar (dan indah!). Mari kita berlatih dengan contoh lain:
Di sini juga, tidak ada yang perlu dikhawatirkan: kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan dalam bentuk basis, lalu kita dapatkan:
Mari kita lakukan penggantian:
Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya membuat kesalahan? Setelah semua, maka:
yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)
Menjawab:
Coba tuliskan solusi persamaan eksponensial di bawah ini:
Sekarang periksa solusi Anda dengan ini:
1. Kami logaritma kedua bagian ke basis, mengingat bahwa:
(akar kedua tidak sesuai dengan kami karena penggantian)
2. Logaritma ke basis:
Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan menjadi bentuk berikut:
PERSAMAAN EKPOSISI. DESKRIPSI SINGKAT DAN FORMULA DASAR
persamaan eksponensial
Ketik persamaan:
ditelepon persamaan eksponensial paling sederhana.
Properti gelar
Pendekatan Solusi
- Pengurangan ke basis yang sama
- Pengurangan ke eksponen yang sama
- Substitusi variabel
- Sederhanakan ekspresi dan terapkan salah satu di atas.
Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang baru mulai belajar persamaan eksponensial. Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi dan contoh sederhana.
Jika Anda membaca pelajaran ini, maka saya menduga Anda sudah memiliki setidaknya pemahaman minimal tentang persamaan paling sederhana - linier dan kuadrat: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ dll. Untuk dapat menyelesaikan konstruksi semacam itu mutlak diperlukan agar tidak “menggantung” pada topik yang akan dibahas sekarang.
Jadi, persamaan eksponensial. Biarkan saya memberi Anda beberapa contoh:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Beberapa dari mereka mungkin tampak lebih rumit bagi Anda, beberapa di antaranya, sebaliknya, terlalu sederhana. Tapi semuanya disatukan oleh satu fitur penting: mereka berisi fungsi eksponensial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Jadi, kami memperkenalkan definisi:
Persamaan eksponensial adalah persamaan apa pun yang mengandung fungsi eksponensial, mis. ekspresi dari bentuk $((a)^(x))$. Selain fungsi yang ditentukan, persamaan tersebut dapat berisi konstruksi aljabar lainnya - polinomial, akar, trigonometri, logaritma, dll.
Oke kalau begitu. Dipahami definisinya. Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana menyelesaikan semua omong kosong ini? Jawabannya sederhana dan kompleks pada saat bersamaan.
Mari kita mulai dengan kabar baik: dari pengalaman saya dengan banyak siswa, saya dapat mengatakan bahwa bagi sebagian besar dari mereka, persamaan eksponensial jauh lebih mudah daripada logaritma yang sama, dan terlebih lagi trigonometri.
Tetapi ada juga berita buruk: kadang-kadang penyusun masalah untuk semua jenis buku teks dan ujian dikunjungi oleh "inspirasi", dan otak mereka yang meradang obat mulai menghasilkan persamaan brutal sehingga menjadi masalah tidak hanya bagi siswa untuk menyelesaikannya - bahkan banyak guru terjebak pada masalah seperti itu.
Namun, mari kita tidak membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Dan mari kembali ke tiga persamaan yang diberikan di awal cerita. Mari kita coba selesaikan masing-masing.
Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, hingga angka 2 harus dipangkatkan untuk mendapatkan angka 4? Mungkin yang kedua? Bagaimanapun, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — dan kita telah memperoleh persamaan numerik yang benar, yaitu. memang $x=2$. Terima kasih, tutup, tetapi persamaan ini sangat sederhana sehingga bahkan kucing saya pun dapat menyelesaikannya. :)
Mari kita lihat persamaan berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Tapi di sini sedikit lebih sulit. Banyak siswa yang tahu bahwa $((5)^(2))=25$ adalah tabel perkalian. Beberapa juga menduga bahwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah definisi eksponen negatif (mirip dengan rumus $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Akhirnya, hanya beberapa tebakan terpilih bahwa fakta-fakta ini dapat digabungkan dan hasilnya adalah sebagai berikut:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Dengan demikian, persamaan awal kami akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Panah kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Dan sekarang ini sudah sepenuhnya terpecahkan! Di sisi kiri persamaan ada fungsi eksponensial, di sisi kanan persamaan ada fungsi eksponensial, tidak ada apa-apa selain mereka di tempat lain. Oleh karena itu, adalah mungkin untuk "membuang" pangkalan dan dengan bodoh menyamakan indikatornya:
Kami mendapatkan persamaan linier paling sederhana yang dapat diselesaikan oleh siswa mana pun hanya dalam beberapa baris. Oke, dalam empat baris:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Jika Anda tidak mengerti apa yang terjadi di empat baris terakhir, pastikan untuk kembali ke topik "persamaan linier" dan ulangi. Karena tanpa asimilasi yang jelas dari topik ini, terlalu dini bagi Anda untuk mengambil persamaan eksponensial.
\[((9)^(x))=-3\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Pikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, jadi persamaan aslinya dapat ditulis ulang seperti ini:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]
Kemudian kita ingat bahwa ketika menaikkan derajat ke pangkat, indikatornya dikalikan:
\[((\left(((3)^(2)) \kanan))^(x))=((3)^(2x))\Panah kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Dan untuk keputusan seperti itu, kami mendapatkan deuce yang benar-benar layak. Karena kami, dengan keseimbangan Pokemon, mengirim tanda minus di depan ketiganya ke pangkat tiga ini. Dan Anda tidak bisa melakukan itu. Dan itulah kenapa. Lihatlah kekuatan yang berbeda dari triple:
\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]
Mengkompilasi tablet ini, saya tidak menyimpang segera setelah saya melakukannya: Saya menganggap derajat positif, dan negatif, dan bahkan pecahan ... yah, di mana setidaknya satu angka negatif di sini? Ia tidak! Dan tidak mungkin, karena fungsi eksponensial $y=((a)^(x))$, pertama, selalu hanya mengambil nilai positif (tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan satu atau membagi dua, itu akan tetap menjadi bilangan positif), dan kedua, basis dari fungsi tersebut, bilangan $a$, menurut definisi adalah bilangan positif!
Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tidak, tidak ada akar. Dan dalam hal ini, persamaan eksponensial sangat mirip dengan persamaan kuadrat - mungkin juga tidak ada akar. Tetapi jika dalam persamaan kuadrat jumlah akar ditentukan oleh diskriminan (diskriminan adalah positif - 2 akar, negatif - tidak ada akar), maka dalam persamaan eksponensial semuanya tergantung pada apa yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan.
Jadi, kami merumuskan kesimpulan kuncinya: persamaan eksponensial paling sederhana dari bentuk $((a)^(x))=b$ memiliki akar jika dan hanya jika $b>0$. Mengetahui fakta sederhana ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah persamaan yang diajukan kepada Anda memiliki akar atau tidak. Itu. apakah layak untuk diselesaikan sama sekali atau segera tuliskan bahwa tidak ada akar.
Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali ketika kita harus memecahkan masalah yang lebih kompleks. Sementara itu, cukup lirik - saatnya mempelajari algoritme dasar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial
Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Persamaan eksponensial harus diselesaikan:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Menurut algoritma "naif" yang kita gunakan sebelumnya, perlu untuk merepresentasikan bilangan $b$ sebagai pangkat dari bilangan $a$:
Selain itu, jika alih-alih variabel $x$ ada ekspresi apa pun, kita akan mendapatkan persamaan baru, yang sudah dapat diselesaikan. Sebagai contoh:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(3))\Panah kanan x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Panah kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Panah kanan -x=4\Panah kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Panah kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Panah kanan 2x=3\Panah kanan x=\frac(3)( 2). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dan anehnya, skema ini bekerja di sekitar 90% kasus. Lalu bagaimana dengan 10% lainnya? 10% sisanya adalah persamaan eksponensial "skizofrenia" dalam bentuk:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Untuk kekuatan apa yang Anda butuhkan untuk meningkatkan 2 untuk mendapatkan 3? pertama? Tapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak cukup. Di kedua? Baik: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Lalu bagaimana?
Siswa yang berpengetahuan mungkin sudah menebak: dalam kasus seperti itu, ketika tidak mungkin untuk menyelesaikan "dengan indah", "artileri berat" terhubung ke kasing - logaritma. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa menggunakan logaritma, bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan positif lainnya (dengan pengecualian satu):
Ingat rumus ini? Ketika saya memberi tahu siswa saya tentang logaritma, saya selalu memperingatkan Anda: rumus ini (juga merupakan identitas logaritma dasar atau, jika Anda suka, definisi logaritma) akan menghantui Anda untuk waktu yang sangat lama dan "muncul" di sebagian besar tempat-tempat yang tidak terduga. Yah, dia muncul. Mari kita lihat persamaan kita dan rumus ini:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Jika kita berasumsi bahwa $a=3$ adalah bilangan asli kita di sebelah kanan, dan $b=2$ adalah dasar dari fungsi eksponensial yang kita ingin kurangi ruas kanannya, kita mendapatkan yang berikut:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Panah kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Panah kanan x=( (\log )_(2))3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kami mendapat jawaban yang agak aneh: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, dengan jawaban seperti itu, banyak yang akan ragu dan mulai memeriksa kembali solusi mereka: bagaimana jika ada kesalahan di suatu tempat? Saya segera menyenangkan Anda: tidak ada kesalahan di sini, dan logaritma di akar persamaan eksponensial adalah situasi yang cukup umum. Jadi biasakan. :)
Sekarang kita selesaikan dengan analogi dua persamaan yang tersisa:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Panah kanan ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Panah kanan x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Panah kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Panah kanan 2x=( (\log )_(4))11\Panah kanan x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Omong-omong, jawaban terakhir dapat ditulis secara berbeda:
Kamilah yang memperkenalkan pengganda ke dalam argumen logaritma. Tetapi tidak ada yang mencegah kami menambahkan faktor ini ke basis:
Selain itu, ketiga opsi itu benar - hanya berbeda bentuk penulisan angka yang sama. Yang mana yang harus dipilih dan ditulis dalam keputusan ini terserah Anda.
Jadi, kita telah belajar menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuk $((a)^(x))=b$, di mana bilangan $a$ dan $b$ benar-benar positif. Namun, kenyataan pahit dunia kita adalah bahwa tugas-tugas sederhana seperti itu akan sangat jarang ditemui. Lebih sering Anda akan menemukan sesuatu seperti ini:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1)))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Nah, bagaimana Anda memutuskan? Bisakah ini diselesaikan sama sekali? Dan jika demikian, bagaimana?
Jangan panik. Semua persamaan ini dengan cepat dan sederhana direduksi menjadi formula sederhana yang telah kita pertimbangkan. Anda hanya perlu tahu untuk mengingat beberapa trik dari kursus aljabar. Dan tentu saja, tidak ada aturan untuk bekerja dengan gelar di sini. Saya akan berbicara tentang semua ini sekarang. :)
Transformasi persamaan eksponensial
Hal pertama yang harus diingat adalah bahwa setiap persamaan eksponensial, tidak peduli betapa rumitnya itu, dengan satu atau lain cara harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu bagaimana menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema untuk menyelesaikan persamaan eksponensial terlihat seperti ini:
- Tuliskan persamaan aslinya. Misalnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Lakukan hal bodoh. Atau bahkan omong kosong yang disebut "mengubah persamaan";
- Pada output, dapatkan ekspresi paling sederhana seperti $((4)^(x))=4$ atau yang lainnya seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal dapat memberikan beberapa ekspresi seperti itu sekaligus.
Dengan poin pertama, semuanya jelas - bahkan kucing saya dapat menulis persamaan di atas daun. Dengan poin ketiga juga, tampaknya, kurang lebih jelas - kita telah memecahkan sejumlah besar persamaan di atas.
Tapi bagaimana dengan poin kedua? Apa saja transformasinya? Apa yang harus diubah menjadi apa? Dan bagaimana?
Nah, mari kita cari tahu. Pertama-tama, saya ingin menunjukkan hal berikut. Semua persamaan eksponensial dibagi menjadi dua jenis:
- Persamaan tersebut terdiri dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Rumus berisi fungsi eksponensial dengan basis yang berbeda. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Mari kita mulai dengan persamaan tipe pertama - persamaan tersebut adalah yang paling mudah untuk dipecahkan. Dan dalam solusi mereka kami akan dibantu oleh teknik seperti pemilihan ekspresi stabil.
Menyoroti ekspresi yang stabil
Mari kita lihat persamaan ini lagi:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Apa yang kita lihat? Keempatnya dinaikkan ke derajat yang berbeda. Tetapi semua pangkat ini adalah jumlah sederhana dari variabel $x$ dengan angka lain. Karena itu, perlu diingat aturan untuk bekerja dengan gelar:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\akhir(sejajarkan)\]
Sederhananya, penambahan eksponen dapat dikonversi menjadi produk kekuatan, dan pengurangan mudah diubah menjadi pembagian. Mari kita coba menerapkan rumus ini pada pangkat dari persamaan kita:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\akhir(sejajarkan)\]
Kami menulis ulang persamaan asli dengan mempertimbangkan fakta ini, dan kemudian kami mengumpulkan semua istilah di sebelah kiri:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -sebelas; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\akhir(sejajarkan)\]
Empat suku pertama berisi elemen $((4)^(x))$ — mari kita keluarkan dari tanda kurung:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetap membagi kedua bagian persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, mis. pada dasarnya kalikan dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \kanan); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Kami mengurangi persamaan asli menjadi yang paling sederhana dan mendapatkan jawaban akhir.
Pada saat yang sama, dalam proses penyelesaian, kami menemukan (dan bahkan mengeluarkan dari kurung) faktor persekutuan $((4)^(x))$ - ini adalah ekspresi stabil. Itu dapat ditunjuk sebagai variabel baru, atau Anda bisa mengekspresikannya secara akurat dan mendapatkan jawaban. Bagaimanapun, prinsip kunci dari solusi adalah sebagai berikut:
Temukan dalam persamaan asli ekspresi stabil yang berisi variabel yang mudah dibedakan dari semua fungsi eksponensial.
Kabar baiknya adalah bahwa hampir setiap persamaan eksponensial mengakui ekspresi yang begitu stabil.
Tapi ada juga kabar buruk: ekspresi seperti itu bisa sangat rumit, dan bisa sangat sulit untuk membedakannya. Jadi mari kita lihat masalah lain:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Mungkin seseorang sekarang akan memiliki pertanyaan: “Pasha, apakah kamu dirajam? Berikut adalah basis yang berbeda - 5 dan 0.2. Tapi mari kita coba untuk mengubah kekuatan dengan basis 0.2. Misalnya, mari kita singkirkan pecahan desimal, menjadikannya seperti biasa:
\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]
Seperti yang Anda lihat, angka 5 masih muncul, meskipun dalam penyebut. Pada saat yang sama, indikator ditulis ulang sebagai negatif. Dan sekarang kita mengingat salah satu aturan terpenting untuk bekerja dengan gelar:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \kanan))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Di sini, tentu saja, saya sedikit curang. Karena untuk pemahaman yang lengkap, rumus menghilangkan indikator negatif harus ditulis sebagai berikut:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Panah kanan ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Di sisi lain, tidak ada yang menghalangi kami untuk bekerja hanya dengan satu fraksi:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]
Tetapi dalam hal ini, Anda harus dapat menaikkan gelar ke tingkat lain (saya ingatkan Anda: dalam hal ini, indikatornya ditambahkan). Tetapi saya tidak perlu "membalik" pecahan - mungkin bagi seseorang itu akan lebih mudah. :)
Bagaimanapun, persamaan eksponensial asli akan ditulis ulang sebagai:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\akhir(sejajarkan)\]
Jadi ternyata persamaan aslinya bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang sebelumnya dipertimbangkan: di sini Anda bahkan tidak perlu memilih ekspresi yang stabil - semuanya telah dikurangi dengan sendirinya. Tetap hanya untuk mengingat bahwa $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi! Kami mendapat jawaban akhir: $x=-2$. Pada saat yang sama, saya ingin mencatat satu trik yang sangat menyederhanakan semua perhitungan untuk kami:
Dalam persamaan eksponensial, pastikan untuk menyingkirkan pecahan desimal, terjemahkan menjadi pecahan biasa. Ini akan memungkinkan Anda untuk melihat basis derajat yang sama dan sangat menyederhanakan solusinya.
Sekarang mari kita beralih ke persamaan yang lebih kompleks di mana ada basis yang berbeda, yang umumnya tidak dapat direduksi satu sama lain menggunakan kekuatan.
Menggunakan properti eksponen
Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki dua persamaan yang lebih keras:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\akhir(sejajarkan)\]
Kesulitan utama di sini adalah tidak jelas apa dan atas dasar apa untuk memimpin. Di mana ekspresi tetap? Di mana alasan umum? Tidak ada ini.
Tapi mari kita coba ke arah lain. Jika tidak ada basis identik yang siap pakai, Anda dapat mencoba mencarinya dengan memfaktorkan basis yang tersedia.
Mari kita mulai dengan persamaan pertama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Panah kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Tetapi Anda dapat melakukan yang sebaliknya - buat angka 21 dari angka 7 dan 3. Sangat mudah untuk melakukan ini di sebelah kiri, karena indikator kedua derajat sama:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\akhir(sejajarkan)\]
Itu saja! Anda mengeluarkan eksponen dari produk dan segera mendapatkan persamaan indah yang dapat diselesaikan dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan kedua. Di sini semuanya jauh lebih rumit:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
Dalam hal ini, pecahan ternyata tidak dapat direduksi, tetapi jika sesuatu dapat dikurangi, pastikan untuk menguranginya. Ini akan sering menghasilkan alasan menarik yang sudah dapat Anda kerjakan.
Sayangnya, kami belum menemukan apa pun. Tetapi kita melihat bahwa eksponen di sebelah kiri produk adalah kebalikannya:
Biarkan saya mengingatkan Anda: untuk menghilangkan tanda minus pada eksponen, Anda hanya perlu "membalik" pecahan. Jadi mari kita tulis ulang persamaan aslinya:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\akhir(sejajarkan)\]
Pada baris kedua, kita hanya mengurung total dari hasil kali menurut aturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, dan yang terakhir mereka cukup mengalikan angka 100 dengan pecahan.
Sekarang perhatikan bahwa angka-angka di sebelah kiri (di dasar) dan di sebelah kanan agak mirip. Bagaimana? Ya, jelas: mereka adalah kekuatan dengan angka yang sama! Kita punya:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]
Dengan demikian, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan)))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan)))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]
Pada saat yang sama, di sebelah kanan, Anda juga bisa mendapatkan gelar dengan basis yang sama, yang cukup untuk "membalik" pecahan:
\[((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]
Akhirnya, persamaan kita akan berbentuk:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\akhir(sejajarkan)\]
Itulah seluruh solusi. Ide utamanya bermuara pada fakta bahwa bahkan dengan alasan yang berbeda, kami mencoba dengan cara apa pun untuk mengurangi alasan ini menjadi alasan yang sama. Dalam hal ini kita dibantu oleh transformasi dasar persamaan dan aturan untuk bekerja dengan kekuatan.
Tapi aturan apa dan kapan harus digunakan? Bagaimana memahami bahwa dalam satu persamaan Anda perlu membagi kedua sisi dengan sesuatu, dan di yang lain - untuk menguraikan basis fungsi eksponensial menjadi faktor?
Jawaban atas pertanyaan ini akan datang dengan pengalaman. Cobalah tangan Anda pada awalnya pada persamaan sederhana, dan kemudian secara bertahap memperumit tugas - dan segera keterampilan Anda akan cukup untuk menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun dari USE yang sama atau pekerjaan independen / tes apa pun.
Dan untuk membantu Anda dalam tugas yang sulit ini, saya sarankan mengunduh satu set persamaan di situs web saya untuk solusi independen. Semua persamaan memiliki jawaban, jadi Anda selalu dapat memeriksanya sendiri.
Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menyebabkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori dengan cermat, menghafal rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi jenis tugas ini, lulusan akan dapat mengandalkan nilai tinggi ketika lulus ujian matematika.
Bersiaplah untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo!
Ketika mengulang materi yang dibahas, banyak siswa dihadapkan pada masalah menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan pemilihan informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.
Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan metode persiapan yang benar-benar baru untuk ujian akhir. Belajar di situs kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan dalam pengetahuan dan memperhatikan dengan tepat tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan terbesar.
Guru "Shkolkovo" mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mempresentasikan semua materi yang diperlukan untuk keberhasilan ujian dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah diakses.
Definisi dan rumus utama disajikan di bagian "Referensi Teoretis".
Untuk asimilasi materi yang lebih baik, kami sarankan Anda berlatih tugas. Tinjau dengan cermat contoh persamaan eksponensial dengan solusi yang disajikan di halaman ini untuk memahami algoritme penghitungan. Setelah itu, lanjutkan dengan tugas di bagian "Katalog". Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.
Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke "Favorit". Sehingga Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru.
Agar berhasil lulus ujian, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!
