Sintesis filter rekursif dengan prototipe analog

Saat mensintesis filter selektif frekuensi standar, akan lebih mudah untuk menggunakan peralatan yang dikembangkan dengan baik untuk menghitung filter analog. Metode yang paling banyak digunakan adalah:

1. Metode invarians respon impuls (metode transformasi standar).

2. Metode bilinear - transformasi.

3. Metode penggantian turunan dengan selisih hingga.

4.2.1. Metode invarian respons impuls (standar - metode transformasi)

Invarians respons impuls dipahami sebagai kesetaraan pembacaan respons impuls filter digital dengan nilai respons impuls prototipe analog, yang diambil dengan periode pengambilan sampel.

Untuk menerapkan metode ini, Anda perlu:

Temukan respons impuls dari prototipe;

Dapatkan respons impuls dari filter digital dengan cara pengambilan sampel dengan periode, dengan mempertimbangkan faktor penskalaan:

; (4.1)

Temukan fungsi alih filter dengan mengambil - ubah dari :

. (4.2)

Gambar 3.1 - pengambilan sampel respons impuls prototipe analog

Asumsikan bahwa fungsi transfer prototipe analog ditulis sebagai jumlah dari pecahan sederhana:

. (4.3)

Dalam hal ini, sesuai dengan transformasi Laplace terbalik, respons impuls dari prototipe analog memiliki bentuk berikut:

. (4.4)

Setelah diskritisasi, kami memperoleh respons impuls yang diperlukan dari filter digital:

Fungsi transfer filter digital yang disintesis sebagai hasil dari aplikasi - transformasi memiliki bentuk berikut:

Fungsi transfer yang dihasilkan sesuai dengan struktur filter digital paralel. Diagram struktural dari satu tautan filter digital yang disintesis dengan karakteristik transfer memiliki bentuk sebagai berikut: gambar 3.2.

Gambar 3.2 - diagram blok dari satu tautan filter digital

Dengan demikian, prosedur untuk mensintesis filter digital dengan metode invarians respon impuls berisi langkah-langkah berikut:

1. Tetapkan persyaratan untuk filter digital.

3. Uraikan menjadi pecahan sederhana.

4. Tulislah fungsi alih filter digital berdasarkan hubungan (4.3) dan (4.6).

Respons frekuensi dari filter yang dihasilkan terkait dengan respons frekuensi prototipe analog dengan cara yang sama seperti spektrum sinyal sampel terkait dengan spektrum sinyal analog: pengulangan periodik. Oleh karena itu, untuk mendapatkan hasil yang baik untuk metode ini, penguatan prototipe analog harus dapat diabaikan pada frekuensi di atas frekuensi Nyquist. Oleh karena itu, metode ini cocok untuk membuat LPF dan PF, tetapi tidak berlaku untuk pengembangan HPF dan RF.

Contoh penggunaan metode invarian respons impuls

Biarkan fungsi transfer prototipe analog memiliki bentuk berikut:

.

Jadi, sesuai dengan ekspresi (4.3), parameter prototipe analog berikut dapat ditulis:

,

.

Sesuai dengan ekspresi (4.6), kami memperoleh ekspresi berikut untuk fungsi transfer filter digital yang diinginkan:

.

Mari kita dapatkan persamaan penyaringan digital. Untuk melakukan ini, kami menulis fungsi transfer filter digital dalam bentuk:

,

di mana ,

.

Sebagai hasil dari serangkaian transformasi matematika dari ekspresi terakhir, seseorang dapat memperoleh:

,

Setelah berpindah dari gambar z-transform ke aslinya, kita mendapatkan persamaan penyaringan digital:

4.2.2. Metode bilinear - transformasi

Transformasi Laplace dan - transformasi dihubungkan oleh relasi:

. (4.7)

Ekspresi (4.7) tidak dapat langsung digunakan untuk menghitung filter digital dengan karakteristik transfer yang diketahui dari prototipe analog, karena hubungan terbalik adalah transendental:

. (4.8)

Kesulitan ini diatasi dengan menggunakan ekspansi seri:

.

Menggunakan istilah ekspansi pertama, Anda bisa mendapatkan:

. (4.9)

Transformasi ini adalah fungsi rasional pecahan orde pertama dari argumen dan disebut transformasi z bilinear.

Fungsi alih filter digital diperoleh dari fungsi alih prototipe analog dengan menerapkan substitusi berikut:

. (4.10)

Perhatikan sifat-sifat transformasi bilinear. Untuk ini kita mendapatkan:

. (4.11)

Dengan demikian, transformasi bilinear menyebabkan deformasi yang signifikan dari respons frekuensi prototipe analog ketika diubah menjadi bentuk digital dibandingkan dengan rasio aslinya. . Hubungan antara frekuensi respons frekuensi prototipe dan frekuensi filter digital ditentukan dari hubungan:

.

Akhirnya, hubungan antara frekuensi prototipe analog dan frekuensi filter digital adalah sebagai berikut:

. (4.12)

Sesuai dengan ekspresi terakhir, seluruh sumbu sumbu respons frekuensi tak terbatas dari prototipe analog ditempatkan sepenuhnya dalam interval Nyquist pada sumbu frekuensi digital dari 0 hingga : gambar 3.3. Oleh karena itu, efek dari salinan respons frekuensi yang tumpang tindih yang melekat dalam metode invarians respons impuls sepenuhnya dihilangkan. Di wilayah frekuensi rendah, karakteristik frekuensi filter analog dan digital adalah sama:

. (4.13)

Gambar 3.3 - transformasi sumbu frekuensi dengan transformasi bilinear

Efek distorsi dari respons frekuensi mudah diperhitungkan untuk filter selektif frekuensi yang dicirikan oleh batas-batas pita sandi, menggunakan ekspresi kopling frekuensi terakhir.

Prosedur perhitungan filter adalah sebagai berikut:

1) Respons frekuensi dari filter yang dihitung diatur pada skala frekuensi dan titik karakteristik dari respons frekuensi ditandai pada skala yang sama.

2) Menggunakan fungsi transformasi titik karakteristik yang sama dalam skala frekuensi untuk prototipe analog ditentukan dan ekspresi dibuat untuk fungsi transfernya.

3) Dengan menggunakan metode transformasi bilinear, fungsi alih diubah menjadi fungsi alih filter digital.

Dengan demikian, kerugian yang terkait dengan deformasi PFC dari prototipe analog telah dihilangkan.

Metode konversi bilinear sepenuhnya menghilangkan efek aliasing AFC, tidak memerlukan upsampling untuk mengurangi kesalahan reproduksi respons frekuensi. Metode ini digunakan ketika peningkatan akurasi reproduksi respons frekuensi prototipe analog tidak diperlukan.

Contoh penggunaan metode transformasi bilinear

Biarkan fungsi transfer prototipe analog dijelaskan dengan ekspresi:

.

Dengan mempertimbangkan ekspresi (4.10), kita dapat memperoleh ekspresi berikut untuk fungsi transfer filter digital yang diinginkan:

,

di mana ;

Metode invarian loop adalah kasus khusus dari metode iterasi.

Beberapa himpunan nilai М diset, adalah subset dari hasil. Kita perlu mencari titik x P. Untuk melakukan ini, kita memilih himpunan I M dan Q M, sehingga   I Q  P. Jadi, tugas kita direduksi menjadi menemukan titik yang akan dimiliki ke persimpangan set ini. Selain itu, kami hanya akan menggunakan transformasi yang tidak keluar dari I, yaitu, dalam kasus kami, kepemilikan titik ke himpunan I adalah invarian (nilai konstan).

Biarkan x0 I menjadi titik awal.

:I\QI – transformasi invarian terhadap fakta bahwa titik tersebut termasuk dalam himpunan I.

Ilustrasi untuk di atas:

Di bawah aksi transformasi T, titik x0 menuju ke suatu titik x1 milik himpunan I. Titik x1, selanjutnya menuju ke titik x2, juga milik I. Proses ini berlanjut hingga suatu titik xN menuju a titik milik beberapa himpunan Q, yang dipilih sehingga perpotongannya dengan I terkandung dalam P. Titik yang dihasilkan milik Q di satu sisi, dan milik I di sisi lain, karena invarian transformasi T terhadap untuk saya.

Skema program:

sementara tidak q(x) lakukan

(x IQ P)

Mari kita buat program yang mengilustrasikan metode di atas, yang akan memberikan peningkatan bilangan ke pangkat bilangan bulat positif.

Ketik _Real = tunggal;

fungsi daya (x: _Real; n: _Unsign ): nyata;

(x - basis, n - eksponen. Subrutin memberikan eksponensial)

sementara n > 0 lakukan (z*x n - invarian)

jika ganjil(n) maka (cek ganjil)

Desember(n); (n:=n-1)

n:=n chr 1; (n:= n div 2)

Mari kita buktikan bahwa program ini berakhir dalam jumlah langkah yang terbatas. Subrutin berakhir ketika z = x n , mis. dirancang untuk menaikkan x ke pangkat n. Jumlah pengulangan sama dengan jumlah "0" + 2*jumlah "1" -1 dalam notasi biner angka n<= 2*количество значащих цифр – 1 в двоичной записи = 2*]log 2 n[ - 1. При этом данная программа будет очень эффективна.

Metode fungsi invarian.

Metode fungsi invarian adalah kasus khusus dari metode invarian loop.

Dalam hal ini x = x0 dan perlu untuk menghitung f(x0). Di mana

I = (set x | f(x) = f(x0))

P = (kumpulan x | f(x) mudah dihitung).

Mari kita buat transformasi , yang invarian terhadap I, dan ambil nilai P itu sendiri (Q = P) sebagai kondisi terminasi.

Skema program:

x:= x0; (x saya)

sementara tidak p(x) lakukan

mulai (x I\P)

x:= T(x); (x saya)

akhir; (x P I)

Untuk membuktikan kebenaran, cukup untuk membuktikan bahwa loop akan dieksekusi dalam jumlah langkah yang terbatas.

Mari kita buat program yang mengilustrasikan metode ini.

Misalkan x = (a, b) dan f(x) = N.O.D.(a, b). Hal ini diperlukan untuk menghitung N.O.D.(a, b).

Program ini akan menggunakan fakta bahwa pembagi dua bilangan

akan menjadi pembagi perbedaan mereka.

a:= a0; b:= b0; (>=0)

sementara (a>0) dan (b>0) lakukan

jika a>b maka a:= a - b

lain b:= b - a;

hasil:= a+b; (kondisi untuk keluar dari loop adalah persamaan 0 atau a atau b, jadi jumlah angka-angka ini akan memberi kita salah satu angka yang tidak sama dengan 0)

28 halaman (file Word)

Lihat semua halaman

Fragmen teks karya

KEMENTERIAN TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI

BADAN KOMUNIKASI FEDERAL

LEMBAGA KOMUNIKASI INFO KHABAROVSK

(CABANG) GOU VPO NEGARA SIBERIA

UNIVERSITAS TELEKOMUNIKASI DAN INFORMATIKA

PEKERJAAN KURSUS

pada dasar matematika pemrosesan digital

sinyal

Topik: Perhitungan filter digital rekursif

Khusus 20405

Komunikasi radio, penyiaran dan televisi

Opsi nomor 30

Terpenuhi

Manajer proyek

Kepala Cabang

Khabarovsk

	tugas teknis	3
	Data awal untuk opsi No. 30	4
	pengantar	5
1	Representasi grafis dari tugas	6
1.1	Metode Desain untuk Filter Digital Rekursif	7
1.2	Metode integrasi numerik	8
1.3	Metode invarian respons impuls	10
1.4	Metode transformasi bilinear	12
1.5	Transformasi binomial umum	13
2.	Perhitungan fungsi transfer filter analog dan mengubahnya menjadi fungsi transfer filter digital	14
3.	Blok diagram filter digital	22
4.	Metode Implementasi Filter Digital	23
4.1	metode perangkat keras	23
4.2	Metode program	24
4.3	Metode perangkat keras-perangkat lunak	25
	Kesimpulan	27
	Bibliografi	28

TUGAS TEKNIS

Berdasarkan data awal tersebut maka perlu dilakukan perhitungan filter digital rekursif.

Parameter berikut dianggap ditetapkan:

1 Jenis filter: LPF, HPF.

2 Jenis filter: Butterworth (B) atau Chebyshev (Ch).

3 Frekuensi pengambilan sampel fd.

4 Batas bandwidth (BW):

Batas atas fp bandwidth untuk LPF;

Batas bawah fp bandwidth untuk HPF;

5 Batas stopband (LR);

Batas bawah PZ fz untuk LPF;

Batas atas PZ fz untuk HPF.

6 Ketidakrataan yang diizinkan dari karakteristik frekuensi amplitudo dalam PP A max, dB.

7 Atenuasi minimum yang diizinkan dalam PZ A min, dB.

DATA AWAL UNTUK OPSI No. 30

Jenis filter LPF

Jenis filter Butterworth

Frekuensi sampling fd = 16 kHz

Batas passband fп = 1,7 kHz

Batas stopband fb = 3,8 kHz

Ketidakrataan DP yang diizinkan A max = 1,35 dB

Redaman yang diizinkan PZ A min = 25 dB.

Guru _____________ Siswa ___ ____________

“__27__” _______Mei_______ 2011

PENGANTAR

Filter digital non-rekursif (NTF) frekuensi berkualitas tinggi biasanya memiliki lebar jendela yang besar (operator filter polinomial). Semakin kecil lebar yang diizinkan dari zona transisi dari respons frekuensi filter antara pita pass dan pita penekan, semakin besar jendela filter. Solusi alternatif adalah penggunaan filter digital rekursif (RDF), di mana jumlah koefisien filter dapat dikurangi beberapa kali lipat dibandingkan dengan NDF.

Filter rekursif memiliki "memori" tertentu untuk nilai sampel sebelumnya, yang, dalam batasnya, bisa tak terbatas. Dengan mempertimbangkan faktor ini, filter rekursif disebut filter dengan respons impuls tak terbatas (filter IIR), berbeda dengan filter non-rekursif, yang selalu memiliki respons impuls hingga (filter FIR). Respons filter rekursif terhadap sinyal dengan "memori" tidak memungkinkan untuk membuat filter dengan respons impuls yang merata, dan respons frekuensi filter rekursif selalu kompleks. Perancangan filter frekuensi rekursif dengan karakteristik frekuensi tertentu dilakukan dengan menggunakan transformasi-z.

1. Representasi grafis dari tugas

Mari kita tampilkan secara grafis persyaratan untuk respons frekuensi filter low-pass, untuk ini Anda perlu menghitung:

Gambar 1 - AFC filter Butterworth dan AFC filter

Mentega ke db.

1.1. Metode Desain untuk Filter Digital Rekursif

Fungsi transfer filter IIR digital diberikan oleh , yang mirip dengan fungsi transfer AF ketika variabel z diganti dengan s. Oleh karena itu, salah satu pendekatan untuk merancang filter IIR digital adalah dengan mengubah fungsi transfer AF menjadi fungsi transfer filter digital. Agar filter digital memiliki properti yang diperlukan sebagai AF-nya, dua kondisi harus dipenuhi:

1. Sumbu imajiner bidang-s () dipetakan ke lingkaran satuan di bidang-z ( ). Kondisi ini diperlukan untuk menjaga karakteristik frekuensi AF.

2. Bagian kiri bidang-s () ditampilkan di bidang-z di dalam lingkaran satuan (). Kondisi ini diperlukan untuk menjaga sifat stabilitas AF.

1.2. Metode integrasi numerik

Persamaan diferensial yang menggambarkan AF digantikan oleh persamaan perbedaan CF dengan mengaproksimasi turunannya dengan beberapa perbedaan hingga. Operasi ini mengarah pada penggantian variabel kompleks s dalam fungsi transfer AF dengan variabel kompleks z dalam fungsi transfer filter digital.

Metode integrasi numerik yang berbeda akan memberikan fungsi transisi yang berbeda dan, akibatnya, filter digital yang dihasilkan berbeda. Pertimbangkan metode Euler, yang mendekati turunan waktu dari fungsi kontinu dengan perbedaan hingga bentuk

, di mana T adalah interval pengambilan sampel, dan y(n)=y(nT). Dalam bentuk operator, persamaan memberikan

.

Mari kita tunjukkan bahwa metode ini memenuhi dua kondisi di atas:

1. atau berikut ini pada .

laboratorium 6

PENGEMBANGAN FILTER DENGAN RESPON IMPULSE INFINITE

Objektif: dapatkan keterampilan dalam mengembangkan filter IIR .

tugas pekerjaan:

1. Kenali metode dasar merancang filter IIR

2. Pelajari perintah MATLAB yang memungkinkan Anda melakukan sintesis filter IIR

1. INFORMASI TEORITIS .. 2

1.1. Metode untuk menghitung koefisien filter IIR. 2

1.1.1. Perhitungan koefisien filter dengan menempatkan nol dan kutub. 2

1.1.2. Transformasi invarian dari respon impuls. 4

1.1.3. Bilinear z-konversi. delapan

1.1.4. Memilih metode untuk menghitung koefisien filter IIR. 12

1.2. Efek Nyquist. 12

1.3. Merancang Filter IIR dengan MATLAB.. 16

2. TUGAS YANG HARUS DISELESAIKAN.. 18

3. PERTANYAAN KONTROL.. 20

4. REFERENSI .. 24

DATA TEORITIS

Metode untuk menghitung koefisien filter IIR

Pada tahap ini, metode aproksimasi terlebih dahulu dipilih, yang kemudian digunakan untuk menghitung nilai koefisien sebuah k dan b k, di mana spesifikasi respons frekuensi yang diperoleh pada tahap pertama pengembangan akan dipenuhi. (Selengkapnya tentang tahap pengembangan dan pengaturan spesifikasi filter secara lebih rinci dalam pekerjaan laboratorium ke-4).

Untuk mendapatkan koefisien filter IIR dengan mudah, seseorang dapat dengan cerdas menempatkan kutub dan nol pada bidang kompleks sehingga filter yang dihasilkan memiliki respons frekuensi yang diinginkan. Pendekatan ini, yang dikenal sebagai metode penempatan nol dan kutub, hanya berguna saat merancang filter sederhana, seperti filter takik, di mana parameter filter (seperti riak pita sandi) tidak perlu ditentukan dengan tepat. Pendekatan yang lebih efisien adalah merancang filter analog terlebih dahulu dengan spesifikasi yang diinginkan dan kemudian mengubahnya menjadi filter digital yang setara. Kebanyakan filter IIR digital dirancang dengan cara ini. Pendekatan ini telah menyebar luas karena sekarang ada banyak informasi dalam literatur tentang filter analog yang dapat digunakan dalam desain filter digital. Tiga metode yang paling umum untuk mengubah filter analog menjadi filter digital yang setara adalah metode Transformasi Respon Impuls Invarian, disepakati z–transformasi dan bilinear z- transformasi.

Bagian berikut membahas metode ini untuk menghitung koefisien filter IIR:

metode penempatan nol dan kutub;

metode transformasi invarian dari respons impuls;

bilinear z- transformasi.

Menghitung koefisien filter dengan menempatkan nol dan kutub

Jika nol ditempatkan di beberapa titik di bidang kompleks, respons frekuensi pada titik itu akan menjadi nol. Kutub, di sisi lain, menghasilkan maksimum (Gbr. 1). Kutub yang dekat dengan lingkaran satuan menghasilkan puncak yang besar, sedangkan nol yang dekat atau pada lingkaran satuan menghasilkan sifat minimum. Oleh karena itu, penempatan kutub dan nol yang strategis di bidang kompleks memungkinkan filter lolos rendah sederhana atau filter selektif frekuensi lainnya.

Satu hal penting yang perlu diingat ketika merancang filter adalah agar koefisien filter menjadi nyata, kutub dan nol harus nyata atau membentuk pasangan konjugat kompleks. Kami mengilustrasikan metode yang dijelaskan dengan contoh.

Beras. 1. Diagram nol dan kutub dari filter sederhana (panel a); representasi skematis dari respons frekuensi filter ini (panel b)

Contoh 1 Ilustrasi penghitungan koefisien filter menggunakan metode kutub nol sederhana. Filter bandpass digital diperlukan yang memenuhi spesifikasi berikut:

penolakan sinyal penuh pada 0 dan 250 Hz;

bandwidth sempit berpusat pada 125 Hz;

bandwidth 3 dB adalah 10 Hz.

Dengan asumsi laju pengambilan sampel 500 Hz, tentukan fungsi alih filter dengan menempatkan kutub dan nol pada bidang kompleks yang sesuai, dan tulis persamaan perbedaannya.

Keputusan

Pertama, Anda perlu menentukan di mana pada bidang kompleks untuk menempatkan kutub dan nol. Karena takik penuh diperlukan pada 0 dan 250 Hz, nol harus ditempatkan pada titik-titik yang sesuai dalam bidang kompleks. Titik-titik ini terletak pada lingkaran satuan di lokasi yang sesuai dengan sudut 0° dan 360° x 250/500 = 180°. Agar bandwidth terpusat pada 125 Hz, tiang harus ditempatkan pada ±360° x 125/500 = ±90°. Agar koefisiennya nyata, diperlukan sepasang kutub konjugasi kompleks.

Radius r kutub ditentukan oleh bandwidth yang diinginkan. Untuk menentukan perkiraan bandwidth (wB) pada r> 0,9 relasi berikut digunakan:

Beras. 2. Diagram nol dan kutub (panel a).

Dalam soal ini w = 10 Hz dan fs= 500 Hz, dari mana r\u003d 1 - (10/500) \u003d 0,937. Diagram nol dan kutub yang dihasilkan ditunjukkan pada gambar. 2. Dengan menggunakan diagram ini, kami menulis fungsi transfer:

Persamaan perbedaan:

kamu(n) = -0,877969pada(n - 2) + x(n) - x(n - 2).

Membandingkan fungsi alih H(z) dengan persamaan umum filter IIR, kami menemukan bahwa filter adalah blok orde kedua dengan koefisien berikut:

b 0 =1 sebuah 1 =0

b 1 =0 sebuah 2 =0.877969

Transformasi Respons Impuls Invarian

Cara kedua untuk membuat filter digital terdiri dari transformasi parameter filter analog asli menjadi parameter filter diskrit, di mana respons impuls filter (analog dan diskrit) akan bertepatan pada waktu diskrit di .

Secara matematis, kondisi untuk kebetulan respons impuls filter (analog dan diskrit) ditulis sebagai:

, (1)

dimana, , adalah respon impuls dari filter analog dan filter diskrit.

Tentukan fungsi transfer filter analog, dan nyatakan sebagai pecahan sederhana

, (2)

di mana, adalah kutub yang berbeda (akar) dari fungsi transfer filter analog; - koefisien ditentukan oleh salah satu metode yang dikenal; adalah derajat persamaan karakteristik penyebut.

Sama halnya dengan persamaan (2), dapat diperoleh hubungan yang menentukan Z adalah fungsi transfer dari filter diskrit, yang kemudian juga dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan

. (3)

Membandingkan ekspresi (2) dan (3), kami memperoleh rasio transisi dari filter analog ke filter digital menggunakan metode transformasi invarian dari respons impuls

, (4)

.

Contoh 2 Biarkan fungsi transfer filter analog diberikan

.

Temukan filter digital dengan metode transformasi invarian dari fungsi transien impuls. Kami mewakili fungsi transfer dalam bentuk pecahan sederhana

. (5)

Mari kita juga menentukan dengan metode Heaviside

,

.

Menggunakan relasi (4), kita tulis Z adalah fungsi transfer filter digital

Menyederhanakan ekspresi (6), kita peroleh

. (7)

Untuk , kita dapatkan

. (8)

Semua perhitungan yang memakan waktu yang terkait dengan transisi dari fungsi transfer kontinu ke diskrit dapat dihilangkan menggunakan perintah MATLABimpinvar

Impinvar(b,a,Fs),

di mana, , adalah vektor-vektor yang diberikan dari koefisien pembilang dan penyebut dari fungsi alih dari prototipe analog, adalah frekuensi sampling dari sinyal dalam hertz, dan , adalah koefisien yang dihitung dari pembilang dan penyebut dari fungsi alih diskrit dari filter diskrit.

Prosedur untuk menentukan parameter filter diskrit dengan prototipe analognya, berdasarkan kebetulan respons impuls dari kedua filter pada titik kuantisasi sinyal, disajikan oleh program MATLAB.

h=tf(,) % Fungsi transfer dari filter kontinu.

Tp=0,1; %Interval diskrit.

hd=c2d(h,Tp) %Fungsi transfer dari filter diskrit.

Tfdata(h,"v")

%fungsi filter kontinu.

Impinvar(n,d,10)

% fungsi filter terpisah.

f=filt(nd,dd,0.1)

% fungsi filter terpisah.

pertanda(h,hd,f),kisi pada %karakteristik logaritma

% dari filter yang dirancang.

Perlu dicatat bahwa gain filter digital pada frekuensi nol adalah , dan gain filter analog adalah 1. Oleh karena itu, jika kita membandingkan ekspresi (8) dengan ekspresi serupa yang diperoleh dalam paket MATLAB, maka ada perbedaan ditentukan oleh faktor. Oleh karena itu, untuk membawa hasil perhitungan yang diperoleh secara analitis (ekspresi 5-8) sejalan dengan hasil perhitungan yang diperoleh dalam paket MATLAB, ekspresi (8) harus dinormalisasi dengan mengalikannya dengan interval diskrit.

Hasil eksekusi program ini menunjukkan bahwa fungsi transfer diperoleh dengan perhitungan yang melelahkan (ekspresi 5-8) dan menggunakan prosedur impinvar , cocok. Karakteristik logaritmik yang diperoleh dengan menggunakan prosedur yang berbeda berbeda: prosedur impinvar memberikan kesalahan yang lebih kecil.

Gbr.3. Karakteristik logaritmik filter (1 - analog; 2 - diskrit (prosedur impinvar); 3 - diskrit (prosedur c2d)).

1.1.3. Bilinear z-konversi

Diketahui bahwa metode transformasi fungsi transisi impuls didasarkan pada hubungan titik-titik bidang S dengan titik bidang Z, ditentukan oleh relasi

di mana, adalah sudut antara sumbu nyata bidang Z dan vektor yang mendefinisikan titik-titik pada lingkaran dengan jari-jari satuan bidang Z.

Dari (9) berikut bahwa hubungan antara titik-titik pesawat S dan Z ambigu, yang menimbulkan tumpang tindih dan dapat mendistorsi hasil, mis. filter digital yang disintesis dengan cara ini tidak akan memadai untuk prototipe analognya. Memang, frekuensi ; dan di pesawat Z tampilkan pada satu titik z=1.

Untuk menghilangkan efek superposisi yang tidak diinginkan, transformasi bilinear diperkenalkan, yang secara unik mengubah titik-titik sumbu imajiner bidang. S pada titik-titik sumbu imajiner bidang Z. Jadi, transisi dari sumbu imajiner bidang S ke pesawat Z dilakukan oleh dua transformasi: ekspresi (9) dan (10). Ekspresi (9) mengubah sumbu imajiner bidang S lingkaran dengan radius satuan pesawat Z, dan ekspresi (10) mengubah sumbu imajiner bidang S terhadap sumbu imajiner pesawat Z. Transformasi terakhir (ekspresi (10) dikenal sebagai W transformasi dan bidang Z di bawah transformasi seperti itu dilambangkan sebagai bidang W.

(10)

Memecahkan persamaan (10) sehubungan dengan z kami memperoleh ekspresi yang menentukan transisi dari pesawat W ke dalam pesawat S

Dengan menggunakan hubungan (9-11), kami membenarkan metode untuk menghitung filter digital, yang tidak berbeda dari yang dipertimbangkan sebelumnya dan terdiri dari langkah-langkah berikut.

1. Berdasarkan persyaratan teknis, kami menentukan fungsi transfer filter analog yang diperlukan .

2. Terapkan transformasi bilinear ke dan dapatkan fungsi transfer-Z dari filter digital

. (12)

Transformasi (12) akan mempertahankan karakteristik frekuensi dan sifat stabilitas filter analog. Namun, ini tidak berarti bahwa karakteristik frekuensi filter analog dan digital sama, hanya bentuknya yang sama. Misalnya, jika respons frekuensi filter analog berubah secara monoton ketika frekuensi berubah dari 0 hingga tak terhingga, respons frekuensi filter digital akan berubah secara monoton saat frekuensi digital berubah dari 0 ke ; jika respons frekuensi filter analog naik dan turun dalam rentang frekuensi dari 0 hingga tak terhingga, maka respons frekuensi filter digital yang sesuai akan memiliki pasang surut dalam rentang frekuensi digital dari 0 hingga . Selain itu, hubungan antara dan adalah non-linier.

(15)

Prosedur penentuan parameter filter digital berdasarkan metode transformasi bilinear dapat dipercepat menggunakan prosedur bilinear atau c2d dari paket MATLAB.

Prosedur bilinear dapat diakses dengan tiga cara:

Bilinear(b,a,Fs,Fp) (16)

Bilinear(z,p,kFs,Fp) (17)

Bilinear(A,B,C,D,Fs,Fp) (18)

Input data untuk menjalankan prosedur bilinear parameter filter analog, yang ditentukan dalam bentuk LTI. Parameter Fs menentukan frekuensi sampling dalam hertz. Parameter Fp adalah opsional. Ini mendefinisikan frekuensi dalam hertz di mana respons frekuensi sebelum dan sesudah konversi harus cocok.

Ekspresi (16)-(18) berbeda dari data aslinya. Dalam (16), koefisien pembilang bd dan penyebut ad dari filter diskrit ditentukan oleh koefisien pembilang b dan penyebut a, prototipe analog. Dalam ekspresi (17), data awal dari prototipe analog adalah nol z, kutub dan faktor penguatan k . Mengacu pada ekspresi (17) memungkinkan seseorang untuk menghitung nol zd, kutub pd, dan gain kd dari filter diskrit. Dan, akhirnya, ekspresi (18) menentukan matriks diskrit dari ruang keadaan filter dari matriks kontinu yang diketahui dari ruang keadaan filter ini.

Prosedur c2d menentukan parameter filter diskrit dari fungsi transfer kontinu h dan interval diskrit T

hd=c2d(h,Tp,'metode') (19)

MATLAB menawarkan beberapa metode aproksimasi: orde nol, orde pertama, aproksimasi bilinear Tustin, aproksimasi bilinear terkoreksi Tustin, dan metode pencocokan kutub-nol. Saat memilih metode aproksimasi, ekspresi (19) ditentukan (pendekatan bilinear Tustin diterapkan)

hd=c2d(h,Tp,'TUSTIN'). (20)

Gbr.4. Karakteristik logaritmik filter (1 - analog; 2 - diskrit (prosedur transformasi bilinear); 3 - diskrit (prosedur c2d))

Semua pernyataan teoritis di atas tentang perhitungan filter digital menggunakan transformasi bilinear diilustrasikan oleh program:

h=tf(,) % Data awal

syms z s %Masukkan variabel simbolis

k=2; %Masukkan variabel simbolis.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) % Pindah ke bidang W.

hs=k/(s^2+3*s+3)

% penyaring analog.

hs1=sederhanakan(hs) %Transformasi aljabar

hs2=filt(,,Tp)*(2/463)% Persamaan

% filter digital untuk konversi bilinear.

Tfdata(h,"v") %Definisi koefisien

% dari fungsi transfer filter kontinu.

Bilinear(n,d,10) % Persamaan filter digital untuk

% transformasi bilinear.

hdt=c2d(h,Tp,"TUSTIN") % Persamaan filter digital untuk

%Transformasi Tustin.

hdv=filt(nd,dd,Tp) %Kurangi persamaan ke bentuk filter.

pertanda (h, hdt, hdv, hs2), kisi pada % Logaritmik

%karakteristik filter analog dan digital.

Hasil perhitungan program ini ditunjukkan pada Gambar. 4, berikut grafik karakteristik frekuensi yang diperoleh dengan perhitungan yang melelahkan (ekspresi (15)) dan menggunakan prosedur bilinear dan c2d bertepatan.