Petunjuk
Jika persamaan disajikan sebagai: dy/dx = q(x)/n(y), lihat kategori persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Mereka dapat diselesaikan dengan menulis kondisi dalam diferensial sebagai berikut: n(y)dy = q(x)dx. Kemudian integrasikan kedua bagian tersebut. Dalam beberapa kasus, solusinya ditulis dalam bentuk integral yang diambil dari fungsi yang diketahui. Misalnya, dalam kasus dy/dx = x/y, kita mendapatkan q(x) = x, n(y) = y. Tulis sebagai ydy = xdx dan integrasikan. Anda harus mendapatkan y^2 = x^2 + c.
untuk linier persamaan atribut persamaan "pertama". Fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya termasuk dalam persamaan seperti itu hanya untuk tingkat pertama. Linear memiliki bentuk dy/dx + f(x) = j(x), di mana f(x) dan g(x) adalah fungsi yang bergantung pada x. Solusinya ditulis menggunakan integral yang diambil dari fungsi yang diketahui.
Perlu diingat bahwa banyak persamaan diferensial adalah persamaan orde dua (mengandung turunan kedua).Misalnya, ini adalah persamaan gerak harmonik sederhana, ditulis sebagai persamaan umum: md 2x / dt 2 \u003d -kx. Persamaan tersebut memiliki, dalam , solusi parsial. Persamaan gerak harmonik sederhana adalah contoh dari sesuatu yang cukup penting: persamaan diferensial linier yang memiliki koefisien konstan.
Jika hanya ada satu persamaan linier dalam kondisi masalah, maka Anda diberikan kondisi tambahan karena Anda dapat menemukan solusi. Baca masalah dengan cermat untuk menemukan kondisi ini. Jika sebuah variabel x dan y adalah jarak, kecepatan, berat - jangan ragu untuk mengatur batas x≥0 dan y≥0. Sangat mungkin bahwa x atau y menyembunyikan jumlah , apel, dll. – maka nilainya hanya bisa . Jika x adalah usia anak laki-laki, jelas bahwa dia tidak mungkin lebih tua dari ayahnya, jadi tunjukkan hal ini dalam kondisi soal.
Sumber:
- cara menyelesaikan persamaan dengan satu variabel
Masalah untuk kalkulus diferensial dan integral adalah elemen penting dari konsolidasi teori analisis matematika, bagian dari matematika yang lebih tinggi dipelajari di universitas. diferensial persamaan diselesaikan dengan metode integrasi.
Petunjuk
Kalkulus diferensial menyelidiki sifat-sifat. Sebaliknya, integrasi suatu fungsi memungkinkan, menurut sifat-sifat yang diberikan, yaitu. turunan atau diferensial suatu fungsi untuk mencarinya sendiri. Ini adalah solusi dari persamaan diferensial.
Any adalah rasio antara nilai yang tidak diketahui dan data yang diketahui. Dalam kasus persamaan diferensial, peran yang tidak diketahui dimainkan oleh fungsi, dan peran besaran yang diketahui dimainkan oleh turunannya. Selain itu, rasio dapat berisi variabel independen: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, di mana x tidak diketahui variabel, y (x) adalah fungsi yang akan ditentukan, orde persamaan adalah orde maksimum dari turunan (n).
Persamaan seperti ini disebut persamaan diferensial biasa. Jika terdapat beberapa variabel bebas dalam relasi dan turunan parsial (diferensial) fungsi terhadap variabel-variabel tersebut, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial dengan turunan parsial dan berbentuk: x∂z/∂y - z/∂ x = 0, di mana z(x, y) adalah fungsi yang diinginkan.
Jadi, untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan diferensial, Anda harus dapat menemukan antiturunan, mis. menyelesaikan masalah diferensiasi terbalik. Contoh: Selesaikan persamaan orde pertama y’ = -y/x.
SolusiGanti y' dengan dy/dx: dy/dx = -y/x.
Bawa persamaan ke bentuk yang sesuai untuk integrasi. Untuk melakukannya, kalikan kedua ruas dengan dx dan bagi dengan y:dy/y = -dx/x.
Integralkan: dy/y = - dx/x + ln |y| = - log |x| + C.
Solusi ini disebut persamaan diferensial umum. C adalah konstanta yang himpunan nilainya menentukan himpunan solusi persamaan. Untuk setiap nilai C tertentu, solusinya akan unik. Solusi seperti itu adalah solusi khusus dari persamaan diferensial.
Solusi dari sebagian besar persamaan yang lebih tinggi derajat tidak memiliki rumus yang jelas, seperti mencari akar kuadrat persamaan. Namun, ada beberapa metode reduksi yang memungkinkan Anda mengubah persamaan derajat yang lebih tinggi ke bentuk yang lebih visual.
Petunjuk
Metode yang paling umum untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi adalah ekspansi. Pendekatan ini merupakan kombinasi dari pemilihan akar bilangan bulat, pembagi dari suku bebas, dan pembagian selanjutnya dari polinomial umum ke dalam bentuk (x - x0).
Misalnya, selesaikan persamaan x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Solusi Anggota bebas dari polinomial ini adalah -3, oleh karena itu, pembagi bilangan bulatnya dapat menjadi ±1 dan ±3. Masukkan satu per satu ke dalam persamaan dan cari tahu apakah Anda mendapatkan identitas: 1:1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.
Akar kedua x = -1. Bagi dengan ekspresi (x + 1). Tulis persamaan yang dihasilkan (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Derajat turun ke detik, oleh karena itu, persamaan dapat memiliki dua akar lagi. Untuk menemukannya, selesaikan persamaan kuadrat: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11
Diskriminan adalah nilai negatif, yang berarti bahwa persamaan tidak lagi memiliki akar real. Temukan akar kompleks persamaan: x = (-2 + i √11)/2 dan x = (-2 – i 11)/2.
Metode lain untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi adalah dengan mengubah variabel menjadi kuadrat. Pendekatan ini digunakan jika semua pangkat dari persamaan genap, misalnya: x^4 - 13 x² + 36 = 0
Sekarang cari akar persamaan aslinya: x1 = 9 = ±3; x2 = 4 = ±2.
Tip 10: Cara Menentukan Persamaan Redoks
Reaksi kimia adalah proses transformasi zat yang terjadi dengan perubahan komposisinya. Zat-zat yang masuk ke dalam reaksi disebut inisial, dan zat-zat yang terbentuk sebagai hasil dari proses ini disebut produk. Kebetulan selama reaksi kimia, unsur-unsur yang membentuk bahan awal mengubah keadaan oksidasinya. Artinya, mereka dapat menerima elektron orang lain dan memberikan elektron mereka sendiri. Dalam kedua kasus, biaya mereka berubah. Reaksi seperti ini disebut reaksi redoks.
1. Persamaan diferensial orde pertama memiliki bentuk
Jika persamaan ini dapat diselesaikan sehubungan dengan ta, dapat ditulis sebagai
Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan diferensial diselesaikan terhadap turunan. Untuk persamaan seperti itu, teorema berikut ini valid, yang disebut teorema tentang keberadaan dan keunikan solusi persamaan diferensial. Dalil. Jika dalam persamaan
fungsi dan turunan parsialnya terhadap y kontinu di beberapa domain D pada bidang yang memuat beberapa titik , maka ada solusi unik untuk persamaan ini
memenuhi kondisi di
Teorema ini akan dibuktikan dalam 27 Bab. XVI.
Arti geometris dari teorema adalah bahwa ada dan, terlebih lagi, fungsi unik yang grafiknya melewati titik
Ini mengikuti dari teorema yang baru saja dinyatakan bahwa persamaan memiliki jumlah tak terbatas dari solusi yang berbeda (misalnya, solusi yang grafiknya melalui suatu titik, solusi lain yang grafiknya melalui suatu titik, dll., Jika hanya titik-titik ini terletak di wilayah
Kondisi dimana fungsi y harus sama dengan suatu bilangan disebut kondisi awal. Hal ini sering ditulis sebagai
Definisi 1. Solusi umum persamaan diferensial orde pertama adalah fungsi
yang bergantung pada satu konstanta sembarang C dan memenuhi kondisi berikut:
a) memenuhi persamaan diferensial untuk setiap nilai tertentu dari konstanta C;
b) apa pun kondisi awalnya, Anda dapat menemukan nilai sedemikian rupa sehingga fungsi memenuhi kondisi awal yang diberikan. Diasumsikan bahwa nilai-nilai milik daerah variasi variabel x dan y, di mana kondisi teorema keberadaan dan keunikan solusi terpenuhi.
2. Dalam proses mencari solusi umum dari suatu persamaan diferensial, kita sering menemukan relasi yang berbentuk
tidak diizinkan sehubungan dengan Menyelesaikan hubungan ini sehubungan dengan y, kami memperoleh solusi umum. Namun, tidak selalu mungkin untuk menyatakan y dari relasi (2) dalam fungsi dasar; dalam kasus seperti itu solusi umum dibiarkan implisit. Persamaan bentuk yang secara implisit menentukan solusi umum disebut integral umum dari persamaan diferensial.
Definisi 2. Solusi tertentu adalah setiap fungsi yang diperoleh dari solusi umum jika nilai tertentu diberikan dalam konstanta arbitrer terakhir C. Rasio dalam hal ini disebut integral parsial dari persamaan.
Contoh 1. Untuk persamaan orde pertama
solusi umum akan menjadi keluarga fungsi; ini dapat diperiksa dengan substitusi sederhana dalam persamaan.
Mari kita cari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal berikut: untuk Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita memperoleh atau Oleh karena itu, solusi tertentu yang diperlukan akan menjadi fungsi
Dari sudut pandang geometris, integral umum adalah keluarga kurva pada bidang koordinat, tergantung pada satu konstanta sembarang C (atau, seperti yang mereka katakan, pada satu parameter C).
Kurva ini disebut kurva integral dari persamaan diferensial yang diberikan. Integral parsial sesuai dengan satu kurva dari keluarga ini yang melewati beberapa titik tertentu pada bidang.
Jadi, dalam contoh terakhir, integral umum secara geometris diwakili oleh keluarga hiperbola, dan integral parsial, yang ditentukan oleh kondisi awal yang ditunjukkan, diwakili oleh salah satu hiperbola yang melewati titik. 251 menunjukkan kurva keluarga yang sesuai dengan beberapa nilai parameter: dll.
Untuk memperjelas alasannya, selanjutnya kita akan menyebut solusi persamaan tidak hanya fungsi yang memenuhi persamaan, tetapi juga kurva integral yang sesuai. Dalam hubungan ini, kita akan berbicara, misalnya, tentang solusi yang melewati titik .
Komentar. Persamaan tidak memiliki solusi yang melewati titik yang terletak pada sumbu Gambar. 251), karena ruas kanan persamaan untuk tidak terdefinisi dan, oleh karena itu, tidak kontinu.
Memecahkan atau, seperti yang sering dikatakan, mengintegrasikan persamaan diferensial berarti:
a) temukan solusi umumnya atau integral umum (jika kondisi awal tidak diberikan), atau
b) temukan solusi khusus dari persamaan yang memenuhi kondisi awal yang diberikan (jika ada).
3. Mari kita berikan interpretasi geometrik dari persamaan diferensial orde pertama.
Biarkan persamaan diferensial diberikan yang diselesaikan sehubungan dengan turunan:
dan biarkan menjadi solusi umum dari persamaan ini. Solusi umum ini mendefinisikan keluarga kurva integral di pesawat
Persamaan (D) untuk setiap titik M dengan koordinat x dan y menentukan nilai turunannya, yaitu kemiringan garis singgung kurva integral yang melalui titik ini. Dengan demikian, persamaan diferensial (D) memberikan satu set arah atau, seperti yang mereka katakan, menentukan bidang arah pada bidang
Oleh karena itu, dari sudut pandang geometris, masalah pengintegrasian persamaan diferensial adalah menemukan kurva yang arah tangennya bertepatan dengan arah medan pada titik-titik yang bersesuaian.
Untuk persamaan diferensial (1), tempat kedudukan titik-titik di mana hubungan tersebut berlaku disebut isoklin dari persamaan diferensial yang diberikan.
Untuk nilai k yang berbeda, kami memperoleh isoklin yang berbeda. Persamaan dari isoklin yang sesuai dengan nilai k jelas akan menjadi: Dengan membangun keluarga isoklin, seseorang dapat secara kira-kira membangun keluarga kurva integral. Dikatakan bahwa, mengetahui isoklin, seseorang dapat secara kualitatif menentukan lokasi kurva integral pada bidang.
Dalam beberapa masalah fisika, hubungan langsung antara kuantitas yang menggambarkan proses tidak dapat dibuat. Tetapi ada kemungkinan untuk memperoleh persamaan yang mengandung turunan dari fungsi-fungsi yang diteliti. Inilah bagaimana persamaan diferensial muncul dan kebutuhan untuk menyelesaikannya untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui.
Artikel ini ditujukan bagi mereka yang dihadapkan pada masalah penyelesaian persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari satu variabel. Teori dibangun sedemikian rupa sehingga dengan pemahaman nol tentang persamaan diferensial, Anda dapat melakukan pekerjaan Anda.
Setiap jenis persamaan diferensial dikaitkan dengan metode solusi dengan penjelasan rinci dan solusi dari contoh dan masalah yang khas. Anda hanya perlu menentukan jenis persamaan diferensial dari masalah Anda, menemukan contoh analisis serupa dan melakukan tindakan serupa.
Agar berhasil menyelesaikan persamaan diferensial, Anda juga memerlukan kemampuan untuk menemukan himpunan antiturunan (integral tak tentu) dari berbagai fungsi. Jika perlu, kami sarankan Anda merujuk ke bagian tersebut.
Pertama, kami mempertimbangkan jenis persamaan diferensial biasa orde pertama yang dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan, kemudian kami beralih ke ODE orde kedua, kemudian kami memikirkan persamaan orde tinggi dan menyelesaikan dengan sistem persamaan diferensial.
Ingatlah bahwa jika y adalah fungsi dari argumen x .
persamaan diferensial orde pertama.
Persamaan diferensial paling sederhana dari bentuk orde pertama.
Mari kita tuliskan beberapa contoh DE . tersebut 
.
Persamaan Diferensial 
dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan dengan membagi kedua sisi persamaan dengan f(x) . Dalam hal ini, kita sampai pada persamaan , yang akan ekuivalen dengan persamaan awal untuk f(x) 0 . Contoh ODE tersebut adalah .
Jika ada nilai argumen x yang fungsi f(x) dan g(x) hilang secara bersamaan, maka solusi tambahan akan muncul. Solusi tambahan untuk persamaan 
diberikan x adalah fungsi apa pun yang ditentukan untuk nilai argumen tersebut. Contoh persamaan diferensial tersebut adalah .
Persamaan diferensial orde dua.
Persamaan Diferensial Homogen Linier Orde Kedua dengan Koefisien Konstan.
LODE dengan koefisien konstan adalah jenis persamaan diferensial yang sangat umum. Solusi mereka tidak terlalu sulit. Pertama, akar persamaan karakteristik ditemukan 
. Untuk p dan q yang berbeda, tiga kasus dimungkinkan: akar-akar persamaan karakteristik dapat nyata dan berbeda, nyata dan bertepatan 
atau konjugasi kompleks. Bergantung pada nilai akar persamaan karakteristik, solusi umum persamaan diferensial ditulis sebagai 
, atau 
, atau masing-masing.
Misalnya, pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan. Akar persamaan karakteristiknya adalah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akarnya nyata dan berbeda, oleh karena itu, solusi umum untuk LDE dengan koefisien konstan adalah
Persamaan Diferensial Orde Kedua Linier Nonhomogen dengan Koefisien Konstan.
Solusi umum dari LIDE orde kedua dengan koefisien konstan y dicari sebagai jumlah dari solusi umum dari LODE yang sesuai 
dan solusi khusus dari persamaan tidak homogen awal, yaitu . Paragraf sebelumnya dikhususkan untuk menemukan solusi umum untuk persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan. Dan solusi tertentu ditentukan baik dengan metode koefisien tak tentu untuk bentuk tertentu dari fungsi f (x) , berdiri di sisi kanan persamaan asli, atau dengan metode variasi konstanta arbitrer.
Sebagai contoh LIDE orde kedua dengan koefisien konstan, kami menyajikan 
Untuk memahami teori dan berkenalan dengan solusi terperinci dari contoh, kami menawarkan Anda di halaman persamaan diferensial tidak homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan.
Persamaan Diferensial Homogen Linier (LODE) 
dan persamaan diferensial tak homogen linier orde kedua (LNDEs).
Kasus khusus dari persamaan diferensial jenis ini adalah LODE dan LODE dengan koefisien konstan.
Solusi umum LODE pada interval tertentu diwakili oleh kombinasi linier dari dua solusi khusus yang bebas linier y 1 dan y 2 dari persamaan ini, yaitu, 
.
Kesulitan utama justru terletak pada menemukan solusi parsial bebas linier dari jenis persamaan diferensial ini. Biasanya, solusi tertentu dipilih dari sistem fungsi independen linier berikut: 
Namun, solusi tertentu tidak selalu disajikan dalam bentuk ini.
Contoh LODU adalah 
.
Solusi umum dari LIDE dicari dalam bentuk , dimana adalah solusi umum dari LODE yang sesuai, dan merupakan solusi khusus dari persamaan diferensial asli. Kami baru saja berbicara tentang menemukan, tetapi itu dapat ditentukan dengan menggunakan metode variasi konstanta arbitrer.
Contoh LNDE adalah 
.
Persamaan diferensial orde tinggi.
Persamaan diferensial yang mengakui pengurangan orde.
Orde persamaan diferensial 
, yang tidak mengandung fungsi yang diinginkan dan turunannya hingga orde k-1, dapat direduksi menjadi n-k dengan mengganti .
Dalam hal ini , dan persamaan diferensial asli dikurangi menjadi . Setelah menemukan solusinya p(x), ia tetap kembali ke penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.
Misalnya persamaan diferensial 
setelah penggantian menjadi persamaan yang dapat dipisahkan , dan urutannya dikurangi dari yang ketiga ke yang pertama.
Persamaan orde satu berbentuk a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) disebut persamaan diferensial linier. Jika b (x) 0 maka persamaan tersebut disebut homogen, sebaliknya - heterogen. Untuk persamaan diferensial linier, teorema keberadaan dan keunikan memiliki bentuk yang lebih konkrit.
tugas layanan. Kalkulator online dapat digunakan untuk memeriksa solusinya persamaan diferensial linier homogen dan tidak homogen seperti y"+y=b(x) .
Untuk mendapatkan solusi, ekspresi asli harus direduksi menjadi bentuk: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Misalnya, untuk y"-exp(x)=2*y itu akan menjadi y"-2 *y=exp(x) .Dalil. Misalkan a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) kontinu pada interval [α,β], a 1 0 untuk x∈[α,β]. Kemudian untuk sembarang titik (x 0 , y 0), x 0 [α,β], terdapat solusi unik untuk persamaan yang memenuhi kondisi y(x 0) = y 0 dan didefinisikan pada seluruh interval [α ,β].
Pertimbangkan persamaan diferensial linier homogen a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Memisahkan variabel, kita mendapatkan , atau, mengintegrasikan kedua bagian, 
Relasi terakhir, dengan memperhatikan notasi exp(x) = e x , ditulis dalam bentuk 
Sekarang mari kita coba mencari solusi persamaan dalam bentuk yang ditunjukkan, di mana fungsi C(x) disubstitusikan sebagai ganti konstanta C, yaitu dalam bentuk 
Mensubstitusikan solusi ini ke solusi asli, setelah transformasi yang diperlukan, kami memperoleh 
Mengintegrasikan yang terakhir, kita memiliki 
di mana C 1 adalah beberapa konstanta baru. Mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk C(x), kami akhirnya mendapatkan solusi dari persamaan linier asli 
.
Contoh. Selesaikan persamaan y" + 2y = 4x. Pertimbangkan persamaan homogen yang sesuai y" + 2y = 0. Memecahkannya, kita mendapatkan y = Ce -2 x. Kami sekarang mencari solusi untuk persamaan asli dalam bentuk y = C(x)e -2 x . Substitusikan y dan y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan C"(x) = 4xe 2 x, dari mana C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 dan y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x adalah solusi umum persamaan awal. solusi ini, y 1 ( x) = 2x-1 - pergerakan objek di bawah aksi gaya b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - pergerakan objek yang tepat.
Contoh #2. Temukan solusi umum persamaan diferensial orde pertama y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Ini adalah persamaan yang tidak homogen. Mari kita membuat perubahan variabel: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x atau u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Solusinya terdiri dari dua langkah:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Samakan u=0, cari solusi untuk 3v tg(3x)+v" = 0
Direpresentasikan dalam bentuk: v" = -3v tg(3x)
Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Mengetahui v, Temukan u dari kondisi: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
Dari kondisi y=u v, kita peroleh:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) atau y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
Persamaan diferensial orde pertama diselesaikan sehubungan dengan turunan
Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama
Biarkan persamaan diferensial orde pertama diselesaikan sehubungan dengan turunan:
.
Membagi persamaan ini dengan , di , kita mendapatkan persamaan bentuk:
,
di mana .
Selanjutnya, kita lihat untuk melihat apakah persamaan ini termasuk dalam salah satu jenis yang tercantum di bawah ini. Jika tidak, maka kita tulis ulang persamaan dalam bentuk diferensial. Untuk melakukan ini, kami menulis dan mengalikan persamaan dengan . Kami mendapatkan persamaan dalam bentuk diferensial:
.
Jika persamaan ini bukan persamaan diferensial total, maka kita asumsikan bahwa dalam persamaan ini adalah variabel bebas, dan merupakan fungsi dari . Mari kita bagi persamaan dengan:
.
Selanjutnya, kita lihat untuk melihat apakah persamaan ini termasuk dalam salah satu jenis yang tercantum di bawah ini, dengan mempertimbangkan hal itu dan telah ditukar.
Jika suatu jenis tidak ditemukan untuk persamaan ini, maka kita akan melihat apakah persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan substitusi sederhana. Misalnya, jika persamaannya adalah:
,
maka kita perhatikan itu. Kemudian kita melakukan substitusi. Setelah itu, persamaan akan mengambil bentuk yang lebih sederhana:
.
Jika ini tidak membantu, maka kami mencoba mencari faktor integrasi.
Persamaan Variabel yang Dapat Dipisahkan
;
.
Bagilah dengan dan integrasikan. Ketika kita mendapatkan:
.
Persamaan yang direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan
persamaan homogen
Kami memecahkan dengan substitusi:
,
dimana adalah fungsi dari . Kemudian
;
.
Pisahkan variabel dan integrasikan.
Persamaan Mengurangi ke Homogen
Kami memperkenalkan variabel dan:
;
.
Konstanta dan dipilih sehingga istilah bebasnya hilang:
;
.
Akibatnya, kami memperoleh persamaan homogen dalam variabel dan .
Persamaan homogen umum
Kami melakukan substitusi. Kami memperoleh persamaan homogen dalam variabel dan .
Persamaan diferensial linier
Ada tiga metode untuk menyelesaikan persamaan linear.
2) Metode Bernoulli.
Kami mencari solusi dalam bentuk produk dari dua fungsi dan dari variabel:
.
;
.
Kita dapat memilih salah satu dari fungsi ini secara sewenang-wenang. Oleh karena itu, saat kami memilih solusi persamaan yang tidak nol:
.
3) Metode variasi konstanta (Lagrange).
Di sini pertama-tama kita selesaikan persamaan homogen:
Solusi umum persamaan homogen memiliki bentuk:
,
dimana adalah konstanta. Selanjutnya, kita mengganti konstanta dengan fungsi tergantung pada variabel :
.
Substitusi ke persamaan awal. Akibatnya, kami memperoleh persamaan dari mana kami menentukan .
persamaan Bernoulli
Dengan substitusi, persamaan Bernoulli direduksi menjadi persamaan linier.
Persamaan ini juga dapat diselesaikan dengan metode Bernoulli. Artinya, kami mencari solusi dalam bentuk produk dari dua fungsi tergantung pada variabel :
.
Kita substitusikan ke persamaan awal:
;
.
Saat kami memilih solusi persamaan yang tidak nol:
.
Setelah ditentukan , kami memperoleh persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk .
Persamaan Riccati
Itu tidak diselesaikan secara umum. Pengganti
persamaan Riccati direduksi menjadi bentuk:
,
di mana adalah konstanta; ; .
Selanjutnya, substitusi:
sepertinya:
,
di mana .
Sifat-sifat persamaan Riccati dan beberapa kasus khusus penyelesaiannya disajikan pada halaman
Persamaan Diferensial Riccati >>>
persamaan Jacobi
Dipecahkan dengan substitusi:
.
Persamaan Diferensial Total
Mengingat bahwa
.
Ketika kondisi ini terpenuhi, ekspresi di sisi kiri persamaan adalah diferensial dari beberapa fungsi:
.
Kemudian
.
Dari sini kita memperoleh integral dari persamaan diferensial:
.
Untuk mencari fungsi , cara yang paling mudah adalah metode pemilihan diferensial secara berurutan. Untuk ini, rumus digunakan:
;
;
;
.
Mengintegrasikan faktor
Jika persamaan diferensial orde pertama tidak direduksi menjadi salah satu jenis yang terdaftar, maka Anda dapat mencoba mencari faktor integrasi. Faktor integrasi adalah fungsi seperti itu, ketika dikalikan, persamaan diferensial menjadi persamaan diferensial total. Persamaan diferensial orde pertama memiliki jumlah faktor integrasi yang tak terhingga. Namun, tidak ada metode umum untuk menemukan faktor integrasi.
Persamaan tidak diselesaikan untuk turunan y"
Persamaan mengakui solusi sehubungan dengan turunan y"
Pertama, Anda perlu mencoba menyelesaikan persamaan sehubungan dengan turunannya. Jika memungkinkan, maka persamaan dapat direduksi menjadi salah satu jenis yang tercantum di atas.
Persamaan yang Memungkinkan Faktorisasi
Jika Anda dapat memfaktorkan persamaan:
,
maka masalahnya direduksi menjadi solusi berurutan dari persamaan yang lebih sederhana:
;
;
;
. Kami percaya . Kemudian
atau .
Selanjutnya, kita integrasikan persamaan:
;
.
Akibatnya, kami memperoleh ekspresi variabel kedua melalui parameter.
Persamaan yang lebih umum:
atau
juga diselesaikan dalam bentuk parametrik. Untuk melakukan ini, Anda harus memilih fungsi sehingga dari persamaan asli Anda dapat mengekspresikan atau melalui parameter .
Untuk menyatakan variabel kedua dalam hal parameter , kami mengintegrasikan persamaan:
;
.
Persamaan diselesaikan sehubungan dengan y
persamaan Clairaut
Persamaan ini memiliki solusi umum
Persamaan Lagrange
Kami mencari solusi dalam bentuk parametrik. Kami berasumsi , di mana adalah parameter.
Persamaan yang mengarah ke persamaan Bernoulli
Persamaan ini direduksi menjadi persamaan Bernoulli jika kita mencari solusinya dalam bentuk parametrik dengan memasukkan parameter dan melakukan substitusi .
Referensi:
V.V. Stepanov, Kursus Persamaan Diferensial, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kumpulan masalah dalam matematika yang lebih tinggi, Lan, 2003.
