(dari bahasa Yunani - "kata", "hubungan" dan - "angka") angka b dengan alasan sebuah(log b) disebut bilangan seperti itu c, dan b= sebuah c, yaitu, log b=c dan b=ac setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a 1, b > 0.

Dengan kata lain logaritma angka b dengan alasan sebuah dirumuskan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini diperoleh perhitungan x= log b, setara dengan menyelesaikan persamaan a x =b.

Sebagai contoh:

log 2 8 = 3 karena 8=2 3 .

Kami mencatat bahwa formulasi logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk segera menentukan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah kekuatan basis tertentu. Memang, perumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Juga jelas bahwa topik logaritma terkait erat dengan topik derajat bilangan.

Perhitungan logaritma disebut logaritma. Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor ditransformasikan menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah ditransformasikan menjadi produk faktor.

Cukup sering, logaritma real dengan basis 2 (biner), bilangan e Euler e 2,718 (logaritma natural) dan 10 (desimal) digunakan.

Pada tahap ini, perlu dipertimbangkan contoh logaritma log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Dan entri lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, karena yang pertama angka negatif ditempatkan di bawah tanda logaritma, di yang kedua - angka negatif di basis, dan di ketiga - dan angka negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Kondisi untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara terpisah kondisi a > 0, a 1, b > 0. definisi logaritma. Mari kita pertimbangkan mengapa pembatasan ini diambil. Ini akan membantu kita dengan persamaan bentuk x = log b, yang disebut identitas logaritma dasar, yang secara langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Ambil syaratnya a≠1. Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, maka persamaan x=log b hanya bisa ada ketika b=1, tetapi log 1 1 akan berupa bilangan real apa pun. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kami mengambil a≠1.

Mari kita buktikan perlunya kondisi a>0. Pada a=0 menurut rumusan logaritma, hanya bisa ada bila b=0. Dan kemudian sesuai log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang tidak nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang tidak nol adalah nol. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, syaratnya a≠0. Dan kapan sebuah<0 kita harus menolak analisis nilai-nilai rasional dan irasional dari logaritma, karena eksponen dengan eksponen rasional dan irasional didefinisikan hanya untuk basis non-negatif. Karena alasan inilah kondisi a>0.

Dan syarat terakhir b>0 mengikuti dari ketidaksetaraan a>0, karena x=log b, dan nilai derajat dengan basis positif sebuah selalu positif.

Fitur logaritma.

logaritma dicirikan oleh khas fitur, yang menyebabkan penggunaannya secara luas untuk sangat memudahkan perhitungan yang melelahkan. Dalam transisi "ke dunia logaritma", perkalian ditransformasikan menjadi penambahan yang jauh lebih mudah, pembagian menjadi pengurangan, dan peningkatan ke pangkat dan akar ditransformasikan masing-masing menjadi perkalian dan pembagian dengan eksponen.

Rumusan logaritma dan tabel nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh matematikawan Skotlandia John Napier. Tabel logaritmik, diperbesar dan dirinci oleh ilmuwan lain, banyak digunakan dalam perhitungan ilmiah dan teknik, dan tetap relevan sampai kalkulator elektronik dan komputer mulai digunakan.

Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari sederhana ke kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan sejumlah besar perhitungan berhubungan dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penambahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya matematikawan Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana ia mewujudkan gagasan banyak matematikawan. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional arbitrer.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma suatu bilangan". Tabel kompleks baru dikompilasi untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai muncul, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelum operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan meja-meja kuno yang telah berhasil beroperasi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk mendasarkan a bilangan x, yang merupakan pangkat dari a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisi. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.

Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.

Varietas logaritma

Definisi klasik disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.

Nilai nyata dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan dinamai tergantung pada nilai basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan perbedaan fungsi.

Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi menemukan logaritma adalah tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat melelahkan dan saat memecahkan masalah praktis sulit untuk diterapkan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat seluruh pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan penggunaan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain. Untuk waktu yang lama, para insinyur menggunakan apa yang disebut kertas grafik untuk tujuan ini.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yang pada abad ke-19 telah memperoleh bentuk yang sudah jadi. Perangkat yang paling sukses disebut aturan slide. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang akrab dengan perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuatnya tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.

Persamaan dan pertidaksamaan

Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:

• Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu diketahui:

• Nilai logaritma hanya akan positif jika basis dan argumen keduanya lebih besar atau lebih kecil dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan negatif.
• Jika fungsi logaritma diterapkan ke sisi kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:

• Tugas 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawaban: dari hasil perhitungan kita mendapatkan 9.

Penggunaan praktis

Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba menjadi sangat penting dalam menggambarkan objek di dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu yang tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.

Ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh dependensi numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang dengan menggunakan metode penelitian matematika dan pada saat yang sama menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.

Dimungkinkan untuk memecahkan masalah penghitungan jumlah yang kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln(M1/M2), dimana

• V adalah kecepatan akhir pesawat.
• I adalah impuls spesifik dari mesin.
• M 1 adalah massa awal roket.
• M 2 - massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

• S adalah sifat termodinamika.
• k adalah konstanta Boltzmann.
• adalah bobot statistik dari negara bagian yang berbeda.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:

• Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
• Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus ke nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh-contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.

daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan itu mengatur semua hukum. Apalagi ketika hukum alam dihubungkan dengan deret geometri. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang aktivitas berikut:

Daftarnya bisa jadi tidak ada habisnya. Setelah menguasai hukum dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.

Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama ini berasal dari bahasa Yunani dari kata "angka" atau "derajat" dan berarti tingkat di mana perlu untuk menaikkan nomor di pangkalan untuk menemukan nomor akhir.

Jenis-jenis logaritma

• log a b adalah logaritma bilangan b ke basis a (a > 0, a 1, b > 0);
• lg b - logaritma desimal (basis logaritma 10, a = 10);
• ln b - logaritma natural (basis logaritma e, a = e).

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Logaritma dari bilangan b ke basis a adalah eksponen, yang mengharuskan basis a dinaikkan ke bilangan b. Hasilnya diucapkan seperti ini: “logaritma dari b ke basis a”. Solusi untuk masalah logaritmik adalah Anda perlu menentukan derajat yang diberikan dengan angka-angka dengan angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mentransformasikan notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritmik diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, solusi untuk logaritma itu sendiri adalah notasi yang disederhanakan. Di bawah ini adalah formula dan properti utama:

Untuk setiap ; a > 0; a 1 dan untuk sembarang x ; y > 0.

• a log a b = b adalah identitas logaritma dasar
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , untuk k 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - rumus untuk transisi ke basis baru
• log a x = 1/log x a

Bagaimana memecahkan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk memecahkan

• Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Harap dicatat: jika logaritma dasar adalah 10, maka catatan dipersingkat, logaritma desimal diperoleh. Jika ada bilangan asli e, maka kita tulis, direduksi menjadi logaritma natural. Artinya, hasil dari semua logaritma adalah pangkat yang dipangkatkan bilangan dasar untuk mendapatkan bilangan b.

Secara langsung, solusinya terletak pada perhitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan ekspresi dengan logaritma, itu harus disederhanakan sesuai dengan aturan, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utama dengan kembali sedikit di artikel.

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan berbeda tetapi dengan basis yang sama, gantilah dengan logaritma tunggal dengan hasil kali atau pembagian masing-masing bilangan b dan c. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus transisi ke basis lain (lihat di atas).

Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang harus diperhatikan. Dan itu adalah: basis logaritma a hanya bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.

Ada kasus ketika, setelah menyederhanakan ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma dalam bentuk numerik. Kebetulan ekspresi seperti itu tidak masuk akal, karena banyak derajat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan kekuatan angka sebagai logaritma.

Logaritma suatu bilangan N dengan alasan sebuah disebut eksponen X , yang perlu Anda tingkatkan sebuah untuk mendapatkan nomornya N

Dengan ketentuan
,
,

Ini mengikuti dari definisi logaritma bahwa
, yaitu
- persamaan ini adalah identitas logaritma dasar.

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal. Alih-alih
menulis
.

logaritma dasar e disebut alami dan dilambangkan
.

Sifat dasar logaritma.

Logaritma kesatuan untuk basis apa pun adalah nol

Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

3) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma

Faktor
disebut modulus transisi dari logaritma di basis sebuah ke logaritma di pangkalan b .

Dengan menggunakan properti 2-5, seringkali dimungkinkan untuk mereduksi logaritma dari ekspresi kompleks menjadi hasil operasi aritmatika sederhana pada logaritma.

Sebagai contoh,

Transformasi logaritma seperti ini disebut logaritma. Transformasi kebalikan dari logaritma disebut potensiasi.

Bab 2. Elemen matematika yang lebih tinggi.

1. Batas

batas fungsi
adalah bilangan terbatas A jika, ketika berjuang xx 0 untuk setiap yang telah ditentukan
, ada nomor
itu segera
, kemudian
.

Fungsi yang memiliki limit berbeda dengan jumlah yang sangat kecil:
, di mana - b.m.w., yaitu
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Saat berusaha
, fungsi kamu menjadi nol:

1.1. Teorema dasar tentang limit.

Batas nilai konstan sama dengan nilai konstan ini

.

Limit jumlah (selisih) sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah (selisih) limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil kali sejumlah fungsi terhingga sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi-fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak sama dengan nol.

Batas Luar Biasa

,
, di mana

1.2. Contoh Perhitungan Batas

Namun, tidak semua batasan dihitung begitu sederhana. Lebih sering, perhitungan batas direduksi menjadi pengungkapan ketidakpastian tipe: atau .

.

2. Turunan dari suatu fungsi

Biarkan kita memiliki fungsi
, kontinu pada segmen
.

Argumen mendapat beberapa dorongan
. Maka fungsinya akan bertambah
.

Nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi
.

Nilai argumen
sesuai dengan nilai fungsi.

Karena itu, .

Mari kita cari limit dari relasi ini di
. Jika limit ini ada, maka disebut turunan dari fungsi yang diberikan.

Definisi 3 turunan dari fungsi yang diberikan
dengan argumen disebut batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika kenaikan argumen secara sewenang-wenang cenderung nol.

turunan fungsi
dapat dilambangkan sebagai berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi.

2.1. Arti mekanis dari turunan.

Pertimbangkan gerakan bujursangkar dari beberapa benda kaku atau titik material.

Biarkan suatu saat nanti titik bergerak
berada di kejauhan dari posisi awal
.

Setelah beberapa waktu
dia pindah jauh
. Sikap =- kecepatan rata-rata titik material
. Mari kita cari batas rasio ini, dengan mempertimbangkan bahwa
.

Akibatnya, penentuan kecepatan sesaat dari suatu titik material direduksi untuk menemukan turunan dari jalur terhadap waktu.

2.2. Nilai geometris turunan

Misalkan kita memiliki beberapa fungsi yang didefinisikan secara grafis
.

Beras. 1. Arti geometris dari turunan

Jika sebuah
, maka intinya
, akan bergerak sepanjang kurva, mendekati titik
.

Karena itu
, yaitu nilai turunan yang diberikan nilai argumen secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada suatu titik tertentu dengan arah sumbu positif
.

2.3. Tabel rumus diferensiasi dasar.

Fungsi daya

Fungsi eksponensial

fungsi logaritma

fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri terbalik

2.4. Aturan diferensiasi.

Turunan dari

Turunan dari jumlah (selisih) fungsi

Turunan dari produk dua fungsi

Turunan dari hasil bagi dua fungsi

2.5. Turunan dari fungsi kompleks.

Biarkan fungsinya
sehingga dapat direpresentasikan sebagai

dan
, dimana variabel adalah argumen perantara, maka

Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi yang diberikan sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan x.

Contoh 1.

Contoh2.

3. Diferensial fungsi.

Biarkanlah terjadi begitu
, terdiferensialkan pada selang tertentu
biarkan saja pada fungsi ini memiliki turunan

,

maka Anda bisa menulis

(1),

di mana - kuantitas yang sangat kecil,

karena di

Mengalikan semua suku persamaan (1) dengan
kita punya:

Di mana
- b.m.v. urutan yang lebih tinggi.

Nilai
disebut diferensial fungsi
dan dilambangkan

.

3.1. Nilai geometrik diferensial.

Biarkan fungsinya
.

Gbr.2. Arti geometris dari diferensial.

.

Jelas, diferensial fungsi
sama dengan kenaikan ordinat garis singgung pada titik tertentu.

3.2. Derivatif dan diferensial dari berbagai pesanan.

Jika ada
, kemudian
disebut turunan pertama.

Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua dan ditulis
.

Turunan dari fungsi orde ke-n
disebut turunan dari orde (n-1) dan ditulis:

.

Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua.

.

.

3.3 Memecahkan masalah biologi menggunakan diferensiasi.

Tugas 1. Penelitian telah menunjukkan bahwa pertumbuhan koloni mikroorganisme mematuhi hukum
, di mana N – jumlah mikroorganisme (dalam ribuan), t - waktu (hari).

b) Akankah populasi koloni bertambah atau berkurang selama periode ini?

Menjawab. Koloni akan tumbuh dalam ukuran.

Tugas 2. Air di danau diuji secara berkala untuk mengontrol kandungan bakteri patogen. Melalui t hari setelah pengujian, konsentrasi bakteri ditentukan oleh rasio

.

Kapan konsentrasi minimum bakteri masuk ke dalam danau dan memungkinkan untuk berenang di dalamnya?

Solusi Sebuah fungsi mencapai max atau min ketika turunannya adalah nol.

,

Mari kita tentukan max atau min dalam 6 hari. Untuk melakukan ini, kami mengambil turunan kedua.

Jawaban: Setelah 6 hari akan ada konsentrasi minimum bakteri.

Definisi logaritma

Logaritma dari angka b ke basis a adalah eksponen yang Anda butuhkan untuk menaikkan a untuk mendapatkan b.

nomor e dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menunjukkan batas ekspresi yang cenderung

nomor e adalah bilangan irasional- angka yang tidak dapat dibandingkan dengan satu, tidak dapat dinyatakan secara tepat baik secara keseluruhan atau sebagai pecahan rasional nomor.

Surat e- huruf pertama dari kata Latin exonere- untuk memamerkan, maka nama dalam matematika eksponensial- Fungsi eksponensial.

Nomor e banyak digunakan dalam matematika, dan dalam semua ilmu pengetahuan, dengan satu atau lain cara menggunakan perhitungan matematis untuk kebutuhan mereka.

Logaritma. Sifat-sifat logaritma

Definisi: Logaritma dasar dari bilangan positif b adalah eksponen c di mana bilangan a harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan b.

Identitas logaritma dasar:

7) Formula untuk transisi ke basis baru:

lna = log e a, e 2,718…

Tugas dan tes dengan topik “Logarithma. Sifat-sifat logaritma»

• Logaritma - Topik penting untuk mengulang ujian dalam matematika

Untuk berhasil menyelesaikan tugas pada topik ini, Anda harus mengetahui definisi logaritma, sifat-sifat logaritma, identitas logaritma dasar, definisi desimal dan logaritma natural. Jenis tugas utama pada topik ini adalah tugas untuk menghitung dan mengubah ekspresi logaritmik. Mari kita pertimbangkan solusi mereka pada contoh berikut.

Keputusan: Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, diperoleh

Keputusan: menggunakan sifat-sifat derajat, kita dapatkan

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Sifat logaritma, formulasi dan bukti.

Logaritma memiliki sejumlah sifat karakteristik. Pada artikel ini, kami akan menganalisis yang utama sifat-sifat logaritma. Berikut kami berikan rumus-rumusnya, tuliskan sifat-sifat logaritma dalam bentuk rumus, tunjukkan contoh penerapannya, dan juga berikan bukti sifat-sifat logaritma.

Navigasi halaman.

Sifat dasar logaritma, rumus

Untuk kemudahan mengingat dan menggunakan, kami hadirkan sifat dasar logaritma sebagai daftar formula. Pada bagian selanjutnya, kami memberikan formulasi, bukti, contoh penggunaan, dan penjelasan yang diperlukan.

Properti log unit: log a 1=0 untuk a>0 , a≠1 .

Logaritma dari angka yang sama dengan basis: log a a=1 untuk a>0 , a≠1 .

Properti logaritma derajat dasar: log a a p =p , di mana a>0 , a≠1 dan p adalah bilangan real apa pun.

Logaritma perkalian dua bilangan positif: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
dan properti logaritma produk n bilangan positif: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Properti logaritma pribadi: , di mana a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logaritma pangkat suatu bilangan: log a b p =p log a |b| , di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .

Konsekuensi: , di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .

Akibat wajar 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Akibat wajar 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p dan q adalah bilangan real, q≠0 , khususnya, untuk b=a kita miliki .

Pernyataan dan bukti properti

Kami lolos ke formulasi dan bukti sifat logaritma yang tercatat. Semua sifat logaritma dibuktikan berdasarkan definisi logaritma dan identitas logaritma dasar yang mengikutinya, serta sifat derajat.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma persatuan sama dengan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya mudah: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.

Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .

Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan alas sama dengan satu, yaitu, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .

Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .

Logaritma pangkat dari bilangan yang sama dengan basis logaritma sama dengan pangkat. Properti logaritma ini sesuai dengan rumus bentuk log a p = p, di mana a>0 , a≠1 dan p adalah sembarang bilangan real. Properti ini mengikuti langsung dari definisi logaritma. Perhatikan bahwa ini memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma, jika mungkin untuk mewakili angka di bawah tanda logaritma sebagai derajat basis, kami akan membicarakan lebih lanjut tentang ini di artikel menghitung logaritma.

Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan .

Logaritma perkalian dua bilangan positif x dan y sama dengan produk dari logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x + log a y =a log a x a log a y , dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Persamaan ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan metode induksi matematika.

Misalnya, logaritma natural dari suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural dari angka 4 , e , dan .

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan dengan rumus logaritma hasil kali: karena , maka dengan definisi logaritma .

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .

Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat daya, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .

Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif masuk akal hanya untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Maka b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , dari mana log a b p =p log a |b| .

Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan produk dari pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, di mana a>0, a≠1, n adalah bilangan asli lebih besar dari satu, b>0.

Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat definisi eksponen dengan eksponen pecahan), yang berlaku untuk setiap positif b , dan sifat logaritma derajat: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a . Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti .

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan .

Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, ini dapat digunakan untuk beralih ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis baru logaritma juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma yang diberikan, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Kasus khusus dari rumus transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk sering digunakan. Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a saling berbanding terbalik. Sebagai contoh, .

Rumus juga sering digunakan, yang nyaman ketika menemukan nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya . Untuk membuktikan rumus, cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru dari logaritma a: .

Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.

Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 2 dan untuk 0 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: dan masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Dengan demikian, kita telah sampai pada suatu kontradiksi dengan kondisi a 1 2 . Ini melengkapi buktinya.

Sifat dasar logaritma

• Bahan untuk pelajaran
• Unduh semua rumus

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y . Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh - dan lihat:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol itu - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Keterangan gambar]

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan log logaritma a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

[Keterangan gambar]

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x , kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Dari rumus kedua berikut bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

[Keterangan gambar]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Keterangan gambar]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

[Keterangan gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaiannya diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

1. n = log a a n

2. Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

   Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritmik dasar.

   Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga angka b pangkat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a . Baca lagi paragraf ini dengan cermat - banyak orang "menggantung" di atasnya.

   Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

   [Keterangan gambar]

   Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - ambil saja kuadrat dari basis dan argumen dari logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

   [Keterangan gambar]

   Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

   Satuan logaritma dan nol logaritmik

   Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

   1. log a a = 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
   2. log a 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu - logaritmanya nol! Karena a 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

   Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak - dan selesaikan masalahnya.

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma (penjumlahan dan pengurangan).

   Sifat-sifat logaritma mengikuti dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

   Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

   Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

   Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

   Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

   Seperti yang kita lihat, jumlah logaritma sama dengan logaritma produk, dan perbedaan logaritma- logaritma hasil bagi. Dan ini benar jika jumlahnya sebuah, X dan pada positif dan sebuah 1.

   Penting untuk dicatat bahwa aspek utama dalam formula ini adalah basis yang sama. Jika pangkalan berbeda satu sama lain, aturan ini tidak berlaku!

   Aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma dengan basis yang sama dibaca tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya. Akibatnya, kami memiliki teorema untuk logaritma produk dan logaritma hasil bagi.

   Logaritma hasil kali dua bilangan positif sama dengan jumlah logaritmanya ; memparafrasekan teorema ini, kita mendapatkan yang berikut, jika jumlahnya sebuah, x dan pada positif dan sebuah 1, kemudian:

   Logaritma hasil bagi dari dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma dari dividen dan pembagi. Dengan kata lain, jika angka sebuah, X dan pada positif dan sebuah 1, kemudian:

   Kami menerapkan teorema di atas untuk menyelesaikan contoh:

   Jika angka x dan pada negatif, maka rumus logaritma produk menjadi tidak berarti. Jadi, dilarang menulis:

   karena ekspresi log 2 (-8) dan log 2 (-4) tidak terdefinisi sama sekali (fungsi logaritma pada= log 2 X didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen X).

   teorema produk berlaku tidak hanya untuk dua, tetapi juga untuk jumlah faktor yang tidak terbatas. Ini berarti bahwa untuk setiap alam k dan bilangan positif apa pun x 1 , x 2 , . . . ,x n ada identitas:

   Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

   Jadi ada persamaan:

   Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Logaritma. Sifat-sifat logaritma

   Pertimbangkan kesetaraan. Beri tahu kami nilai dan dan kami ingin mencari nilai .

   Artinya, kami mencari eksponen yang Anda butuhkan untuk mendapatkan .

   Biarlah variabel dapat mengambil nilai real apa pun, maka pembatasan berikut dikenakan pada variabel: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Jika kita mengetahui nilai dan , dan kita dihadapkan dengan tugas menemukan yang tidak diketahui, maka untuk tujuan ini operasi matematika diperkenalkan, yang disebut logaritma.

   Untuk menemukan nilai yang kita ambil logaritma suatu bilangan pada dasar :

   Logaritma angka ke basis adalah eksponen yang Anda perlukan untuk mendapatkan .

   Yaitu identitas logaritma dasar:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   pada dasarnya adalah notasi matematika definisi logaritma.

   Logaritma operasi matematika adalah kebalikan dari eksponensial, jadi sifat-sifat logaritma berkaitan erat dengan sifat-sifat derajat.

   Kami daftar utama sifat-sifat logaritma:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ judul=”d1″/>

   4.

   5.

   Grup properti berikut memungkinkan Anda untuk mewakili eksponen ekspresi di bawah tanda logaritma, atau berdiri di dasar logaritma sebagai koefisien sebelum tanda logaritma:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Grup rumus berikutnya memungkinkan Anda beralih dari logaritma dengan basis tertentu ke logaritma dengan basis arbitrer, dan disebut transisi formula ke basis baru:

   10.

   12. (akibat wajar dari properti 11)

   

   Tiga sifat berikut tidak diketahui dengan baik, tetapi sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan logaritma, atau ketika menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma:

   13.

   14.

   15.

   Kasus khusus:

   — logaritma desimal

   — logaritma natural

   Saat menyederhanakan ekspresi yang mengandung logaritma, pendekatan umum diterapkan:

   1. Kami mewakili pecahan desimal dalam bentuk pecahan biasa.

   2. Kami mewakili bilangan campuran sebagai pecahan biasa.

   3. Bilangan di dasar logaritma dan di bawah tanda logaritma dipecah menjadi faktor prima.

   4. Kami mencoba membawa semua logaritma ke basis yang sama.

   5. Menerapkan sifat-sifat logaritma.

   Mari kita lihat contoh penyederhanaan ekspresi yang mengandung logaritma.

   Contoh 1

   Menghitung:

   Mari kita sederhanakan semua eksponen: tugas kita adalah membawanya ke logaritma, yang basisnya sama dengan basis eksponen.

   =(menurut properti 7)=(menurut properti 6) =

   Gantikan indikator yang telah kita peroleh dalam ekspresi aslinya. Kita mendapatkan:

   Jawaban: 5.25

   Contoh 2 Hitung:

   

   Kami membawa semua logaritma ke basis 6 (dalam hal ini, logaritma dari penyebut pecahan akan "bermigrasi" ke pembilang):

   Mari kita uraikan bilangan di bawah tanda logaritma menjadi faktor prima:

   Terapkan properti 4 dan 6:

   Kami memperkenalkan penggantinya

   Kita mendapatkan:

   Jawaban 1

   Logaritma . Identitas logaritma dasar.

   Sifat-sifat logaritma. logaritma desimal. logaritma alami.

   logaritma bilangan positif N dalam basa (b > 0, b 1) disebut eksponen x yang Anda butuhkan untuk menaikkan b untuk mendapatkan N .

   Entri ini setara dengan yang berikut: bx = N .

   CONTOH: log 3 81 = 4 karena 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 karena (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Definisi logaritma di atas dapat ditulis sebagai identitas:

   

   Sifat dasar logaritma.

   2) log 1 = 0 karena b 0 = 1 .

   3) Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya:

   4) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi:

   5) Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya:

   Konsekuensi dari properti ini adalah sebagai berikut: akar log sama dengan logaritma dari nomor akar dibagi dengan kekuatan akar:

   

   6) Jika basis logaritma adalah derajat, maka nilai kebalikan dari eksponen dapat diambil dari tanda log sajak:

   

   Dua properti terakhir dapat digabungkan menjadi satu:

   

   7) Rumus untuk modulus transisi (yaitu transisi dari satu basis logaritma ke basis lain):

   

   Dalam kasus tertentu, ketika N = kita punya:

   

   logaritma desimal ditelepon logaritma dasar 10. Dilambangkan lg, mis. log 10 N= log N. Logaritma bilangan 10, 100, 1000, . p adalah 1, 2, 3, …, berturut-turut, yaitu. punya banyak hal positif

   unit, berapa banyak nol dalam nomor logaritma setelah satu. Logaritma bilangan 0.1, 0.01, 0.001, . p adalah -1, -2, -3, …, berturut-turut, mis. memiliki bilangan negatif sebanyak nol dalam bilangan logaritma sebelum bilangan tersebut (termasuk bilangan bulat nol). Logaritma dari bilangan yang tersisa memiliki bagian pecahan yang disebut mantissa. Bagian bilangan bulat dari logaritma disebut ciri. Untuk aplikasi praktis, logaritma desimal paling nyaman.

   logaritma natural ditelepon logaritma dasar e. Hal ini dilambangkan dengan ln, yaitu. catatan e N= ln N. Nomor e irasional, nilai perkiraannya adalah 2,718281828. Ini adalah batas ke arah mana angka (1 + 1 / n) n dengan peningkatan tak terbatas n(cm. batas indah pertama pada halaman Batas Urutan Angka).
   Kelihatannya aneh, logaritma natural ternyata sangat nyaman saat melakukan berbagai operasi yang berkaitan dengan analisis fungsi. Menghitung logaritma dasar e jauh lebih cepat daripada basis lainnya.

• Apa yang Anda butuhkan hari ini untuk mengadopsi anak di Rusia? Adopsi di Rusia, selain keputusan pribadi yang bertanggung jawab, melibatkan sejumlah prosedur untuk verifikasi calon negara. Seleksi yang kaku pada tahap persiapan berkontribusi pada lebih banyak […]
• Informasi gratis oleh TIN atau OGRN dari register pajak di seluruh Rusia - online Di Portal Layanan Pajak Terpadu, informasi tentang pendaftaran negara badan hukum, pengusaha perorangan, […]
• Hukuman untuk mengemudi tanpa dokumen (SIM, asuransi, STS) Kadang-kadang, karena kelupaan, pengemudi berada di belakang kemudi tanpa SIM dan menerima denda untuk mengemudi tanpa dokumen. Ingatlah bahwa seorang pengendara mobil yang mengemudi bersamanya pasti […]
• Bunga untuk pria. Jenis bunga apa yang bisa Anda berikan kepada seorang pria? Bunga apa yang bisa diberikan kepada seorang pria? Tidak banyak bunga "jantan", tetapi ada yang diberikan kepada pria. Sebuah daftar kecil bunga di depan Anda: Krisan. Mawar. Anyelir. […]
• Memo adalah bentuk khusus dari dokumen yang digunakan di lingkungan internal perusahaan dan berfungsi untuk menyelesaikan masalah produksi saat ini dengan cepat. Biasanya dokumen ini dibuat dengan tujuan membuat beberapa […]
• Kapan dan bagaimana cara mendapatkan bagian dana pensiun di Sberbank? Sberbank adalah bank mitra dana pensiun negara. Atas dasar ini, warga negara yang mengambil dana pensiun dapat mentransfer dana […]
• Tunjangan anak di Ulyanovsk dan wilayah Ulyanovsk pada tahun 2018 Selain itu, program yang disetujui oleh undang-undang federal beroperasi di semua wilayah. Mari kita lihat siapa dan manfaat apa yang dapat diandalkan. Sebagai pejabat daerah […]
• Panduan lengkap tentang cara membuat surat kuasa untuk mewakili kepentingan seseorang di pengadilan Dalam gugatan perdata atau arbitrase, dalam kasus administrasi atau pidana, kepentingan penggugat dan tergugat dapat diwakili oleh pengacara: […]