teori Pitagoras

Nasib teorema dan masalah lain adalah aneh... Bagaimana seseorang dapat menjelaskan, misalnya, perhatian luar biasa seperti itu di pihak matematikawan dan matematikawan terhadap teorema Pythagoras? Mengapa banyak dari mereka tidak puas dengan bukti yang sudah diketahui, tetapi menemukan bukti mereka sendiri, sehingga jumlah bukti menjadi beberapa ratus dalam dua puluh lima abad yang dapat diamati secara komparatif?
Ketika datang ke teorema Pythagoras, yang tidak biasa dimulai dengan namanya. Diyakini bahwa bukan Pythagoras yang merumuskannya untuk pertama kalinya. Juga diragukan bahwa dia memberikan bukti padanya. Jika Pythagoras adalah orang yang nyata (beberapa bahkan meragukan ini!), maka kemungkinan besar ia hidup pada abad ke-6-5. SM e. Dia sendiri tidak menulis apa pun, dia menyebut dirinya seorang filsuf, yang berarti, dalam pemahamannya, "bercita-cita untuk kebijaksanaan", mendirikan Persatuan Pythagoras, yang anggotanya terlibat dalam musik, senam, matematika, fisika, dan astronomi. Rupanya, dia juga seorang orator yang hebat, sebagaimana dibuktikan oleh legenda berikut yang berkaitan dengan masa tinggalnya di kota Croton: menguraikan tugas para pemuda, bahwa para tetua di kota itu meminta untuk tidak meninggalkan mereka tanpa mengajar. Dalam pidato kedua ini, beliau menunjuk legalitas dan kemurnian akhlak, sebagai pondasi keluarga; dalam dua berikutnya dia berbicara kepada anak-anak dan wanita. Konsekuensi dari pidato terakhir, di mana ia secara khusus mengutuk kemewahan, adalah ribuan gaun berharga dikirim ke kuil Hera, karena tidak ada seorang pun wanita yang berani menunjukkan dirinya di jalan lagi ... ”Namun, kembali di abad kedua zaman kita, yaitu, setelah 700 tahun, orang-orang yang cukup nyata hidup dan bekerja, ilmuwan luar biasa, yang jelas-jelas berada di bawah pengaruh persatuan Pythagoras dan diperlakukan dengan sangat hormat untuk apa yang, menurut legenda, diciptakan Pythagoras.
Juga tidak diragukan bahwa minat pada teorema disebabkan oleh fakta bahwa teorema itu menempati salah satu tempat sentral dalam matematika, dan oleh kepuasan penulis atas bukti yang mengatasi kesulitan, yang tentangnya penyair Romawi Quintus Horace Flaccus , yang hidup sebelum zaman kita, berkata dengan baik: "Sulit untuk mengungkapkan fakta yang terkenal" .
Awalnya, teorema ini menetapkan hubungan antara luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring dan kaki-kaki segitiga siku-siku:
.
Formulasi aljabar:
Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki-kakinya.
Artinya, menunjukkan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Kedua rumusan teorema tersebut setara, tetapi rumusan kedua lebih mendasar, tidak memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apa pun tentang luas dan hanya dengan mengukur panjang sisi segitiga siku-siku.
Teorema Pythagoras terbalik. Untuk setiap rangkap tiga bilangan positif a, b dan c sedemikian sehingga
a 2 + b 2 = c 2 , ada segitiga siku-siku dengan kaki a dan b dan sisi miring c.

Bukti dari

Saat ini, 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu mengesankan. Variasi seperti itu hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema geometri.
Tentu saja, secara konseptual, semuanya dapat dibagi menjadi sejumlah kecil kelas. Yang paling terkenal di antaranya: pembuktian dengan metode area, pembuktian aksiomatik dan eksotik (misalnya, menggunakan persamaan diferensial).

Melalui segitiga sebangun

Bukti formulasi aljabar berikut ini adalah bukti paling sederhana yang dibangun langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas suatu bangun.
Misalkan ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Gambarlah tinggi dari C dan nyatakan alasnya dengan H. Segitiga ACH sebangun dengan segitiga ABC dalam dua sudut.
Demikian pula, segitiga CBH mirip dengan ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara?

Menambahkan, kita mendapatkan

atau

Bukti daerah

Bukti-bukti berikut, meskipun tampak sederhana, sama sekali tidak sederhana. Semuanya menggunakan sifat-sifat luas, yang pembuktiannya lebih rumit daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susun empat segitiga siku-siku yang sama seperti pada gambar.
2. Suatu segi empat dengan sisi c adalah bujur sangkar, karena jumlah dua sudut lancip adalah 90°, dan sudut lurus adalah 180°.
3. Luas seluruh gambar sama, di satu sisi, dengan luas persegi dengan sisi (a + b), dan di sisi lain, jumlah luas empat segitiga dan alun-alun bagian dalam.



Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Contoh dari salah satu bukti ini ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, di mana bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring diubah dengan permutasi menjadi dua bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.

bukti Euclid

Gagasan pembuktian Euclid adalah sebagai berikut: mari kita coba buktikan bahwa setengah luas persegi yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki, dan kemudian luas persegi besar dan dua kotak kecil sama besar. Pertimbangkan gambar di sebelah kiri. Di atasnya, kami membangun kotak di sisi segitiga siku-siku dan menggambar sinar s dari titik sudut siku-siku C tegak lurus dengan sisi miring AB, itu memotong persegi ABIK, dibangun di sisi miring, menjadi dua persegi panjang - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas persegi panjang ini persis sama dengan luas persegi yang dibangun di atas kaki yang sesuai. Mari kita coba buktikan bahwa luas persegi DECA sama dengan luas persegi panjang AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pengamatan tambahan: Luas segitiga dengan tinggi dan alas yang sama seperti yang diberikan persegi panjang sama dengan setengah luas persegi panjang yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari mendefinisikan luas segitiga sebagai setengah produk alas dan tinggi. Dari pengamatan ini diketahui bahwa luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak diperlihatkan), yang selanjutnya sama dengan setengah luas persegi panjang AHJK. Sekarang mari kita buktikan bahwa luas segitiga ACK juga sama dengan setengah luas persegi DECA. Satu-satunya hal yang perlu dilakukan untuk ini adalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (karena luas segitiga BDA sama dengan setengah luas persegi dengan sifat di atas). Persamaan ini jelas, segitiga sama di dua sisi dan sudut di antara mereka. Yaitu - AB=AK,AD=AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan cara gerak : mari kita putar segitiga CAK 90° berlawanan arah jarum jam, maka jelaslah bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga yang dianggap akan bertepatan (karena fakta bahwa sudut di puncak bujur sangkar adalah 90°). Argumen tentang persamaan luas persegi BCFG dan persegi panjang BHJI benar-benar analog. Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa luas persegi yang dibangun di atas sisi miring adalah jumlah dari luas persegi yang dibangun di atas kaki.

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian adalah simetri dan gerakan.

Perhatikan gambar, seperti dapat dilihat dari simetrinya, ruas CI memotong persegi ABHJ menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga ABC dan JHI sama konstruksinya). Menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, kita melihat persamaan angka yang diarsir CAJI dan GDAB. Sekarang jelas bahwa luas gambar yang diarsir oleh kita sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki dan luas segitiga asli. Di sisi lain, itu sama dengan setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring, ditambah luas segitiga aslinya. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan analisis ilmiah alami, pendekatan praktis dan bahasa kering rumus dan angka. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Tetapi tanpa kreativitas dalam "ratu segala ilmu" Anda tidak akan melangkah jauh - orang sudah lama mengetahui hal ini. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku pelajaran sekolah, sayangnya, biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika penting tidak hanya menjejalkan teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip-prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran dasar - hanya dalam kondisi seperti itu semua penemuan hebat lahir.

Penemuan-penemuan semacam itu termasuk yang sekarang kita kenal sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya dapat, tetapi juga harus menyenangkan. Dan bahwa petualangan ini cocok tidak hanya untuk kutu buku dengan kacamata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat dalam pikiran dan kuat dalam semangat.

Dari sejarah masalah

Sebenarnya, meskipun teorema itu disebut "teorema Pythagoras", Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang kutub tentang masalah ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema. Menurut yang lain, buktinya bukan milik penulis Pythagoras.

Hari ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Hanya diketahui bahwa bukti Pythagoras, jika pernah ada, tidak bertahan. Namun, ada saran bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.

Sekarang juga diketahui bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhet I, pada lempengan tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno Sulva Sutra dan karya Cina kuno Zhou -bi suan jin.

Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para matematikawan sejak zaman kuno. Sekitar 367 berbagai bukti yang ada saat ini berfungsi sebagai konfirmasi. Tidak ada teorema lain yang dapat bersaing dengannya dalam hal ini. Penulis bukti penting termasuk Leonardo da Vinci dan Presiden ke-20 Amerika Serikat, James Garfield. Semua ini berbicara tentang pentingnya teorema ini untuk matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau, dalam satu atau lain cara, terhubung dengannya.

Bukti Teorema Pythagoras

Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Tetapi inti dari teorema ada dalam geometri, jadi pertama-tama mari kita pertimbangkan bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa itu adalah segitiga yang awalnya dianggap oleh matematikawan kuno.

Penyataan "persegi yang dibangun di atas hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kakinya" dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:

Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membangun sebuah persegi yang terdiri dari empat segitiga sama dengan ABC asli. Dan pada kaki-kaki AB dan BC dibangun di atas sebuah bujur sangkar yang masing-masing berisi dua buah segitiga yang sebangun.

Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak anekdot dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Mungkin yang paling terkenal adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":

Bukti 2

Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dilihat sebagai varian dari bukti India kuno dari matematikawan Bhaskari.

Bangun segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buat dua persegi dengan sisi sama dengan jumlah panjang kedua kaki - (a+b). Di setiap kotak, buat konstruksi, seperti pada gambar 2 dan 3.

Di kotak pertama, bangun empat segitiga yang sama seperti pada Gambar 1. Hasilnya, diperoleh dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Pada bujur sangkar kedua, empat segitiga serupa yang dibangun membentuk bujur sangkar dengan sisi yang sama dengan sisi miring c.

Jumlah luas bujur sangkar yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas bujur sangkar yang kita bangun dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai dengan rumus. Dan luas bujur sangkar pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku yang sama yang tertulis di bujur sangkar dari luas bujur sangkar besar dengan sisi (a+b).

Menempatkan semua ini, kami memiliki: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Perluas tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan itu a2 + b2 = a2 + b2. Pada saat yang sama, area yang tertulis pada Gbr.3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c2. Itu. a2+b2=c2 Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno yang sama dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah "Mahkota Pengetahuan" ("Siddhanta Shiromani"), dan sebagai argumen utama penulis menggunakan daya tarik yang ditujukan kepada bakat matematika dan kekuatan pengamatan siswa dan pengikut: "Lihat!".

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini secara lebih rinci:

Di dalam bujur sangkar, buat empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Sisi bujur sangkar besar, yang juga merupakan sisi miring, dilambangkan dengan. Mari kita sebut kaki segitiga sebuah dan b. Menurut gambar, sisi persegi dalam adalah (a-b).

Gunakan rumus luas persegi S=c2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan pada saat yang sama hitung nilai yang sama dengan menambahkan luas persegi bagian dalam dan luas bola empat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan itu memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari solusi, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c2=a2+b2. Teorema telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang aneh ini disebut "Kursi Pengantin" - karena sosok seperti kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:

Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 di bukti kedua. Dan bujur sangkar bagian dalam dengan sisi c dibangun dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.

Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar. 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari alun-alun dengan sisi c dan pasang sisi miring ke sisi miring segitiga lilac, Anda akan mendapatkan sosok yang disebut "pengantin pengantin". kursi” (Gbr. 2). Untuk kejelasan, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kotak dan segitiga kertas. Anda akan melihat bahwa "kursi pengantin" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi sebuah.

Konstruksi ini memungkinkan ahli matematika Tiongkok kuno dan kami mengikuti mereka untuk sampai pada kesimpulan bahwa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah cara lain untuk menemukan solusi untuk teorema Pythagoras berdasarkan geometri. Ini disebut Metode Garfield.

Bangun segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikan bahwa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, lanjutkan kaki AC dan membangun segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Tegak Lurus Bawah IKLAN segmen garis ED. Segmen ED dan AC adalah sama. menghubungkan titik-titik E dan PADA, sebaik E dan Dengan dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuktikan menara, kami kembali menggunakan metode yang telah kami uji: kami menemukan luas gambar yang dihasilkan dalam dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.

Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya ERU, tidak hanya persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupa juga itu AB=CD, AC=ED dan SM = CE- ini akan memungkinkan kami untuk menyederhanakan perekaman dan tidak membebaninya. Jadi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2BC 2.

Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR adalah trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen IKLAN sebagai jumlah dari segmen AC dan CD.

Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesetaraan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi sisi kanan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2(AB+AC) 2. Dan sekarang kita membuka tanda kurung dan mengubah persamaan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema.

Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga yang serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, adalah mungkin untuk membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras

Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Gagasan mereka dapat bermanfaat bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.

Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Disebut bilangan asli, dikumpulkan dalam tiga, jumlah kuadrat dari dua di antaranya sama dengan kuadrat bilangan ketiga.

Tripel Pythagoras dapat berupa:

• primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
• non-primitif (jika setiap angka dari suatu rangkap tiga dikalikan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan tiga kali lipat baru yang tidak primitif).

Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh mania untuk jumlah tiga kali lipat Pythagoras: dalam tugas mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3,4 dan 5 unit. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras adalah siku-siku secara default.

Contoh tripel Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) dll.

Aplikasi praktis dari teorema

Teorema Pythagoras menemukan aplikasi tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi, dan bahkan sastra.

Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan di dalamnya dalam masalah tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, lihat jendela Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai b, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dilambangkan sebagai R dan ekspresikan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan dalam b: r=b/4. Dalam masalah ini, kami tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja p).

Teorema Pythagoras berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segitiga siku-siku, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada gambar. Sisi miring segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+p. Satu kaki adalah radius b/4, lain b/2-p. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kami membuka tanda kurung dan mendapatkan b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Mari kita ubah ekspresi ini menjadi bp/2=b 2/4-bp. Dan kemudian kami membagi semua istilah menjadi b, kami memberikan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukan itu p=b/6- yang kami butuhkan.

Dengan menggunakan teorema, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara seluler yang diperlukan agar sinyal dapat mencapai penyelesaian tertentu. Dan bahkan dengan mantap memasang pohon Natal di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini hidup tidak hanya di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.

Sejauh menyangkut sastra, teorema Pythagoras telah mengilhami para penulis sejak zaman kuno dan terus berlanjut hingga hari ini. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi olehnya untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera menghilang,
Tapi, setelah bersinar, itu tidak mungkin menghilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan perselisihan.

Paling bijak ketika menyentuh mata
Terang kebenaran, terima kasih para dewa;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah kembali dari Pythagoras yang beruntung.

Sejak itu, banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membangkitkan suku banteng
peristiwa yang disebutkan di sini.

Mereka pikir sudah waktunya
Dan lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorema besar.

(diterjemahkan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Yevgeny Veltistov dalam bukunya "The Adventures of Electronics" mencurahkan seluruh bab untuk pembuktian teorema Pythagoras. Dan setengah bab dari cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa eksis jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Akan jauh lebih mudah untuk hidup di dalamnya, tetapi juga jauh lebih membosankan: misalnya, tidak ada yang mengerti arti kata "bulat" dan "halus".

Dan dalam buku "Petualangan Elektronik", penulis, melalui mulut guru matematika Taratara, mengatakan: "Hal utama dalam matematika adalah pergerakan pemikiran, ide-ide baru." Ini adalah pelarian pemikiran kreatif yang menghasilkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang beragam. Ini membantu untuk melampaui yang biasa, dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.

Kesimpulan

Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara-cara aneh lainnya untuk membuktikan teorema terkenal. Dan juga melihat contoh bagaimana teorema Pythagoras dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda untuk mengklaim nilai yang lebih tinggi di kelas matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Diyakinkan oleh contoh-contoh spesifik bahwa selalu ada tempat untuk kreativitas di dalamnya. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini akan menginspirasi Anda untuk melakukan penelitian sendiri dan penemuan menarik dalam matematika dan ilmu lainnya.

Beri tahu kami di komentar jika Anda menemukan bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah Anda menemukan informasi ini membantu dalam studi Anda? Beri tahu kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras

siswa kelas 9 "A"

MOU sekolah menengah 8

Pengawas:

guru matematika,

MOU sekolah menengah 8

Seni. Natal Baru

Wilayah Krasnodar.

Seni. Natal Baru

ANOTASI.

Teorema Pythagoras dianggap sebagai yang paling penting dalam perjalanan geometri dan patut mendapat perhatian. Ini adalah dasar untuk memecahkan banyak masalah geometris, dasar untuk mempelajari kursus geometri secara teoritis dan praktis di masa depan. Teorema ini dikelilingi oleh materi sejarah terkaya yang terkait dengan penampilan dan metode pembuktiannya. Studi tentang sejarah perkembangan geometri menanamkan kecintaan pada subjek ini, berkontribusi pada pengembangan minat kognitif, budaya dan kreativitas umum, dan juga mengembangkan keterampilan penelitian.

Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk mengisi dan menggeneralisasi pengetahuan tentang bukti teorema Pythagoras. Berhasil menemukan dan meninjau berbagai cara bukti dan memperdalam pengetahuan tentang topik, melampaui halaman buku teks sekolah.

Materi yang dikumpulkan semakin meyakinkan bahwa teorema Pythagoras adalah teorema besar geometri dan sangat penting secara teoritis dan praktis.

Pengantar. Latar belakang sejarah 5 Tubuh utama 8

3. Kesimpulan 19

4. Sastra yang digunakan 20
1. PERKENALAN. REFERENSI SEJARAH.

Inti dari kebenaran adalah bahwa itu untuk kita selamanya,

Ketika setidaknya sekali dalam wawasannya kita melihat cahaya,

Dan teorema Pythagoras setelah bertahun-tahun

Bagi kami, bagi dia, itu tak terbantahkan, sempurna.

Untuk merayakannya, para dewa diberi sumpah oleh Pythagoras:

Untuk menyentuh kebijaksanaan tak terbatas,

Dia menyembelih seratus lembu jantan, berkat yang abadi;

Dia mengucapkan doa dan pujian kepada korban setelahnya.

Sejak itu, banteng, ketika mereka mencium, mendorong,

Apa yang membawa orang ke kebenaran baru lagi,

Mereka mengaum dengan marah, jadi tidak ada air seni untuk didengarkan,

Pythagoras seperti itu menanamkan teror dalam diri mereka selamanya.

Banteng, tidak berdaya untuk melawan kebenaran baru,

Apa yang tersisa? - Tutup saja matamu, mengaum, gemetar.

Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremanya. Yang pasti, ia menemukannya di bawah pengaruh kuat ilmu pengetahuan Mesir. Kasus khusus dari teorema Pythagoras - sifat-sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembangun piramida jauh sebelum kelahiran Pythagoras, sementara ia sendiri belajar dengan para imam Mesir selama lebih dari 20 tahun. Ada legenda yang mengatakan bahwa, setelah membuktikan teoremanya yang terkenal, Pythagoras mengorbankan seekor sapi jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 ekor sapi jantan. Namun, ini bertentangan dengan informasi tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber-sumber sastra, seseorang dapat membaca bahwa dia "melarang bahkan membunuh hewan, dan terlebih lagi memberi mereka makan, karena hewan memiliki jiwa, seperti kita." Pythagoras hanya makan madu, roti, sayuran, dan kadang-kadang ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut dapat dianggap lebih masuk akal: "... dan bahkan ketika dia menemukan bahwa dalam segitiga siku-siku sisi miring sesuai dengan kaki, dia mengorbankan seekor banteng yang terbuat dari adonan gandum."

Popularitas teorema Pythagoras begitu besar sehingga buktinya ditemukan bahkan dalam fiksi, misalnya, dalam kisah penulis Inggris terkenal Huxley "Archimedes Muda". Bukti yang sama, tetapi untuk kasus khusus segitiga siku-siku sama kaki, diberikan dalam dialog Platon Meno.

Rumah dongeng.

“Jauh, jauh sekali, di mana bahkan pesawat tidak terbang, adalah negara Geometri. Di negara yang tidak biasa ini ada satu kota yang menakjubkan - kota Teorem. Suatu hari seorang gadis cantik bernama Hypotenuse datang ke kota ini. Dia mencoba mendapatkan kamar, tetapi di mana pun dia melamar, dia ditolak di mana-mana. Akhirnya dia mendekati rumah reyot itu dan mengetuk. Dia dibuka oleh seorang pria yang menyebut dirinya Sudut Kanan, dan dia mengundang Sisi Miring untuk tinggal bersamanya. Sisi miring tetap berada di rumah tempat Right Angle dan dua putranya yang masih kecil, bernama Katet, tinggal. Sejak itu, kehidupan di Rumah Sudut Kanan telah berubah dengan cara baru. Sisi miring menanam bunga di jendela, dan menyebarkan mawar merah di taman depan. Rumah itu berbentuk segitiga siku-siku. Kedua kaki sangat menyukai sisi miring dan memintanya untuk tinggal selamanya di rumah mereka. Di malam hari, keluarga yang ramah ini berkumpul di meja keluarga. Terkadang Right Angle bermain petak umpet dengan anak-anaknya. Paling sering dia harus melihat, dan sisi miring bersembunyi dengan sangat terampil sehingga sangat sulit untuk menemukannya. Suatu kali selama permainan, Sudut Kanan memperhatikan properti yang menarik: jika ia berhasil menemukan kaki, maka menemukan Sisi Miring tidaklah sulit. Jadi Sudut Kanan menggunakan pola ini, harus saya katakan, sangat berhasil. Teorema Pythagoras didasarkan pada properti segitiga siku-siku ini.

(Dari buku A. Okunev "Terima kasih atas pelajarannya, anak-anak").

Formulasi teorema yang menyenangkan:

Jika kita diberi segitiga

Dan terlebih lagi, dengan sudut siku-siku,

Itu adalah kuadrat dari sisi miring

Kami selalu dapat dengan mudah menemukan:

Kami membangun kaki di kotak,

Kami menemukan jumlah derajat -

Dan dengan cara yang begitu sederhana

Kami akan sampai pada hasilnya.

Mempelajari aljabar dan permulaan analisis dan geometri di kelas 10, saya yakin bahwa selain metode pembuktian teorema Pythagoras yang dipertimbangkan di kelas 8, ada cara lain untuk membuktikannya. Saya persembahkan untuk pertimbangan Anda.
2. BAGIAN UTAMA.

Dalil. Persegi dalam segitiga siku-siku

Sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki.

1 CARA.

Dengan menggunakan sifat-sifat luas poligon, kami membangun hubungan yang luar biasa antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku.

Bukti.

sebuah, dalam dan sisi miring dengan(Gbr. 1, a).

Ayo buktikan c²=a²+b².

Bukti.

Kami melengkapi segitiga menjadi persegi dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan pada gambar. 1b. Luas S persegi tersebut adalah (a + b)². Di sisi lain, bujur sangkar ini terdiri dari empat segitiga siku-siku yang sama, luas masing-masing adalah av, dan persegi dengan sisi dengan, jadi S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Dengan demikian,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorema telah terbukti.
2 JALAN.

Setelah mempelajari topik "Segitiga Serupa", saya menemukan bahwa Anda dapat menerapkan kesamaan segitiga pada bukti teorema Pythagoras. Yaitu, saya menggunakan pernyataan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional untuk sisi miring dan segmen sisi miring yang tertutup antara kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut siku-siku.

Pertimbangkan segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, CD adalah tingginya (Gbr. 2). Ayo buktikan AC² + SW² = AB² .

Bukti.

Berdasarkan pernyataan tentang kaki segitiga siku-siku:

AC = , CB = .

Kami kuadrat dan menambahkan persamaan yang dihasilkan:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), di mana AD + DB = AB, maka

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Buktinya lengkap.
3 CARA.

Definisi kosinus suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku dapat diterapkan pada pembuktian teorema Pythagoras. Pertimbangkan Gambar. 3.

Bukti:

Biarkan ABC menjadi segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Gambarlah sebuah CD tinggi dari titik sudut siku-siku C.

Definisi kosinus suatu sudut:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Jadi AB * AD = AC²

Juga,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Karenanya AB * BD \u003d BC².

Menambahkan suku persamaan yang dihasilkan dengan suku dan memperhatikan bahwa AD + DВ = AB, kita mendapatkan:

AC² + matahari² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Buktinya lengkap.
4 CARA.

Setelah mempelajari topik "Perbandingan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku", saya pikir teorema Pythagoras dapat dibuktikan dengan cara lain.

Perhatikan segitiga siku-siku dengan kaki sebuah, dalam dan sisi miring dengan. (Gbr. 4).

Ayo buktikan c²=a²+b².

Bukti.

dosa B = a/c ; karena B = sebagai , kemudian, mengkuadratkan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan:

dosa² B = in²/s²; cos² PADA\u003d a² / s².

Menambahkannya, kita mendapatkan:

dosa² PADA+ cos² B = v² / s² + a² / s², di mana sin² PADA+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², oleh karena itu,

c² = a² + b².

Buktinya lengkap.

5 CARA.

Bukti ini didasarkan pada pemotongan bujur sangkar yang dibangun di atas kaki (Gbr. 5) dan menumpuk bagian-bagian yang dihasilkan pada bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring.

6 CARA.

Untuk bukti pada kateter matahari bangunan BCD ABC(Gbr. 6). Kita tahu bahwa luas bangun-bangun yang serupa berhubungan sebagai kuadrat dari dimensi liniernya yang serupa:

Mengurangkan yang kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan

c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

7 CARA.

Diberikan(Gbr. 7):

ABS,= 90° , matahari= a, AC =b, AB = c.

Membuktikan:c2 = a2 +b2.

Bukti.

Biarkan kaki b sebuah. Mari kita lanjutkan segmennya SW per titik PADA dan bangun segitiga bmd sehingga poin M dan TETAPI berbaring di satu sisi garis lurus CD dan selain itu, B.D.=b, BDM= 90 °, DM= a, maka bmd= ABC pada dua sisi dan sudut di antara keduanya. Titik A dan M hubungkan dengan segmen SAYA. Kita punya MD CD dan AC CD, berarti lurus AC sejajar dengan garis lurus dokter Sebagai MD< АС, lalu lurus CD dan SAYA tidak paralel. Karena itu, AMDC- trapesium persegi panjang.

Pada segitiga siku-siku ABC dan bmd 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi karena = =, maka 3 + 2 = 90°; kemudian AVM=180 ° - 90 ° = 90 °. Ternyata trapesium AMDC dibagi menjadi tiga segitiga siku-siku yang tidak tumpang tindih, kemudian dengan aksioma luas

(a+b)(a+b)

Membagi semua persyaratan pertidaksamaan dengan , kita peroleh

sebuahb + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

8 CARA.

Metode ini didasarkan pada sisi miring dan kaki segitiga siku-siku ABC. Dia membangun bujur sangkar yang sesuai dan membuktikan bahwa bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kaki (Gbr. 8).

Bukti.

1) DBC= FBA= 90 °;

DBC+ ABC= FBA+ abc, cara, FBC = DBA.

Dengan demikian, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara mereka).

2) , di mana AL DE, karena BD adalah basa bersama, DL- tinggi keseluruhan.

3) , karena FB adalah basis, AB- tinggi total.

4)

5) Demikian pula, seseorang dapat membuktikan bahwa

6) Menambahkan istilah demi istilah, kita mendapatkan:

, SM2 = AB2 + AC2 . Buktinya lengkap.

9 CARA.

Bukti.

1) Biarkan ABDE- persegi (Gbr. 9), yang sisinya sama dengan sisi miring dari segitiga siku-siku ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Biarkan DK SM dan DK = matahari, karena 1 + 2 = 90° (sebagai sudut lancip segitiga siku-siku), 3 + 2 = 90° (sebagai sudut persegi), AB= BD(sisi persegi).

Cara, ABC= BDK(dengan sisi miring dan sudut lancip).

3) Biarkan EL DC, AM EL. Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa ABC = BDK = DEL = EAM (dengan kaki sebuah dan b). Kemudian KS= cm= ML= LK= sebuah -b.

4) SKB= 4S + SKLMC= 2ab+ (a-b),dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

10 CARA.

Pembuktian dapat dilakukan pada sosok, bercanda disebut "celana Pythagoras" (Gbr. 10). Idenya adalah untuk mengubah kotak yang dibangun di atas kaki menjadi segitiga yang sama, yang bersama-sama membentuk kuadrat sisi miring.

ABC bergeser, seperti yang ditunjukkan oleh panah, dan itu mengambil posisi KDN. Sisa gambar AKDCB sama dengan luas persegi AKDC- itu jajar genjang AKNB.

Membuat model jajaran genjang AKNB. Kami menggeser jajaran genjang seperti yang digambarkan dalam konten pekerjaan. Untuk menunjukkan transformasi jajaran genjang menjadi segitiga yang sama, di depan siswa, kami memotong segitiga pada model dan menggesernya ke bawah. Jadi luas persegi AKDC sama dengan luas persegi panjang. Demikian pula, kita mengubah luas persegi menjadi luas persegi panjang.

Mari kita membuat transformasi untuk persegi yang dibangun di atas kaki sebuah(Gbr. 11, a):

a) bujur sangkar diubah menjadi jajar genjang berukuran sama (Gbr. 11.6):

b) jajaran genjang berputar seperempat putaran (Gbr. 12):

c) jajaran genjang diubah menjadi persegi panjang berukuran sama (Gbr. 13): 11 CARA.

Bukti:

PCL- lurus (Gbr. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Bukti selesai .

12 CARA.

Beras. 15 mengilustrasikan bukti asli lain dari teorema Pythagoras.

Berikut: segitiga ABC dengan sudut siku-siku C; segmen garis bf tegak lurus SW dan sama dengan itu, segmen MENJADI tegak lurus AB dan sama dengan itu, segmen IKLAN tegak lurus AC dan setara dengannya; poin F, C,D milik satu garis lurus; segi empat ADFB dan ACBE sama karena ABF = ECB; segitiga ADF dan KARTU AS adalah sama; kita kurangi dari kedua segi empat yang sama segitiga sama untuk mereka abc, kita mendapatkan

, c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

13 CARA.

Luas segitiga siku-siku ini, di satu sisi, sama dengan , dengan yang lain, ,

3. KESIMPULAN

Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk mengisi dan menggeneralisasi pengetahuan tentang bukti teorema Pythagoras. Dimungkinkan untuk menemukan dan mempertimbangkan berbagai cara untuk membuktikannya dan memperdalam pengetahuan tentang topik tersebut dengan melampaui halaman buku teks sekolah.

Materi yang saya kumpulkan bahkan lebih meyakinkan bahwa teorema Pythagoras adalah teorema besar geometri dan sangat penting secara teoritis dan praktis. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: alasan popularitas teorema Pythagoras dari tritunggal adalah keindahan, kesederhanaan, dan signifikansi!

4. SASTRA YANG DIGUNAKAN.

1. Aljabar yang Menghibur. . Moskow "Nauka", 1978.

2. Suplemen pendidikan dan metodologis mingguan untuk surat kabar "First of September", 24/2001.

3. Geometri 7-9. dan sebagainya.

4. Geometri 7-9. dan sebagainya.

Teorema Pythagoras adalah teorema dasar geometri Euclidean, yang mendalilkan rasio kaki dan sisi miring dari segitiga siku-siku. Ini mungkin teorema paling populer di dunia, yang diketahui semua orang dari sekolah.

Sejarah teorema

Sebenarnya, teori perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku sudah dikenal jauh sebelum Pythagoras dari pulau Samos. Dengan demikian, masalah tentang rasio sisi ditemukan dalam teks-teks kuno dari periode pemerintahan raja Babilonia Hammurabi, yaitu 1500 tahun sebelum kelahiran ahli matematika Samian. Catatan di sisi segitiga dicatat tidak hanya di Babel, tetapi juga di Mesir Kuno dan Cina. Salah satu rasio bilangan bulat paling terkenal dari kaki dan sisi miring terlihat seperti 3, 4 dan 5. Angka-angka ini digunakan oleh surveyor dan arsitek kuno untuk membangun sudut siku-siku.

Jadi, Pythagoras tidak menemukan teorema tentang rasio kaki dan sisi miring. Dia adalah orang pertama dalam sejarah yang membuktikannya. Namun, ada keraguan tentang ini, karena bukti matematikawan Samian itu, jika dicatat, telah hilang selama berabad-abad. Ada pendapat bahwa bukti teorema yang diberikan dalam Elemen Euclid justru milik Pythagoras. Namun, sejarawan matematika memiliki keraguan serius tentang hal ini.

Pythagoras adalah yang pertama, tetapi setelah dia teorema pada sisi segitiga siku-siku dibuktikan sekitar 400 kali, menggunakan berbagai metode: dari geometri klasik hingga kalkulus diferensial. Teorema Pythagoras selalu memenuhi pikiran yang ingin tahu, jadi di antara penulis buktinya, orang dapat mengingat Presiden AS James Garfield.

Bukti dari

Setidaknya empat ratus bukti teorema Pythagoras telah dicatat dalam literatur matematika. Angka yang membingungkan seperti itu dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema untuk sains dan sifat dasar dari hasilnya. Pada dasarnya, teorema Pythagoras dibuktikan dengan metode geometris, yang paling populer di antaranya adalah metode luas dan metode persamaan.

Metode paling sederhana untuk membuktikan teorema, yang tidak memerlukan konstruksi geometris wajib, adalah metode luas. Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:

Mari kita coba buktikan pernyataan berani ini. Kita tahu bahwa luas bangun apa pun ditentukan dengan mengkuadratkan ruas garis. Segmen garis bisa berupa apa saja, tetapi paling sering adalah sisi bentuk atau jari-jarinya. Tergantung pada pilihan segmen dan jenis gambar geometris, kuadrat akan memiliki koefisien yang berbeda:

• unit dalam kasus persegi - S \u003d a 2;
• kira-kira 0,43 dalam kasus segitiga sama sisi - S = (kuadrat(3)/4)a 2 ;
• Pi dalam kasus lingkaran - S \u003d pi × R 2.

Dengan demikian, kita dapat menyatakan luas segitiga apa pun sebagai S = F × a 2 , di mana F adalah beberapa koefisien.

Segitiga siku-siku adalah sosok luar biasa yang dapat dengan mudah dibagi menjadi dua segitiga siku-siku yang serupa hanya dengan menjatuhkan tegak lurus dari titik mana pun. Pembagian ini mengubah segitiga siku-siku menjadi jumlah dari dua segitiga siku-siku yang lebih kecil. Karena segitiga serupa, luasnya dihitung menggunakan rumus yang sama, yang terlihat seperti ini:

S = F × sisi miring 2

Sebagai hasil dari pembagian segitiga besar dengan sisi a, b dan c (sisi miring), diperoleh tiga segitiga, dan untuk angka yang lebih kecil, sisi segitiga asli a dan b ternyata adalah sisi miring. Jadi, luas segitiga sebangun dihitung sebagai:

• S1 = F × c 2 adalah segitiga asli;
• S2 = F × a 2 adalah segitiga sebangun pertama;
• S3 = F × b 2 adalah segitiga sebangun kedua.

Jelas, luas segitiga besar sama dengan jumlah luas segitiga yang serupa:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

Faktor F mudah direduksi. Hasilnya, kita mendapatkan:

c 2 \u003d a 2 + b 2,

Q.E.D.

kembar tiga Pythagoras

Rasio populer kaki dan sisi miring seperti 3, 4 dan 5 telah disebutkan di atas.Tripel Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan prima yang relatif yang memenuhi kondisi a 2 + b 2 \u003d c 2. Ada jumlah tak terbatas dari kombinasi semacam itu, dan yang pertama digunakan pada zaman kuno untuk membangun sudut siku-siku. Mengikat sejumlah simpul pada seutas tali secara berkala dan melipatnya dalam bentuk segitiga, para ilmuwan kuno menerima sudut siku-siku. Untuk melakukan ini, di setiap sisi segitiga itu diperlukan untuk mengikat simpul, dalam jumlah yang sesuai dengan triplet Pythagoras:

• 3, 4, dan 5;
• 5, 12 dan 13;
• 7, 24 dan 25;
• 8, 15 dan 17.

Selain itu, setiap rangkap tiga Pythagoras dapat ditingkatkan dengan bilangan bulat beberapa kali dan memperoleh hubungan proporsional yang sesuai dengan kondisi teorema Pythagoras. Misalnya, dari rangkap 5, 12, 13, Anda bisa mendapatkan nilai sisi 10, 24, 26 hanya dengan mengalikan dengan 2. Saat ini, tiga kali lipat Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dengan cepat.

Penerapan teorema Pythagoras

Teorema matematikawan Samian digunakan tidak hanya dalam geometri sekolah. Teorema Pythagoras menemukan aplikasi dalam arsitektur, astronomi, fisika, sastra, teknologi informasi, dan bahkan dalam mengevaluasi efektivitas jaringan sosial. Teorema ini juga berlaku dalam kehidupan nyata.

pilihan pizza

Di restoran pizza, pelanggan sering menghadapi pertanyaan: haruskah saya mengambil satu pizza besar atau dua yang lebih kecil? Katakanlah Anda dapat membeli satu pizza dengan diameter 50 cm atau dua pizza yang lebih kecil dengan diameter 30 cm. Sepintas, dua pizza yang lebih kecil lebih besar dan lebih menguntungkan, tetapi bukan itu masalahnya. Bagaimana cara cepat membandingkan area pizza yang Anda suka?

Kita ingat teorema matematikawan Samian dan tripel Pythagoras. Luas lingkaran adalah kuadrat diameternya dengan faktor F = pi/4. Dan tripel Pythagoras pertama adalah 3, 4 dan 5, yang dapat dengan mudah kita ubah menjadi tripel 30, 40, 50. Jadi 50 2 = 30 2 + 40 2. Jelas, luas pizza dengan diameter 50 cm akan lebih besar daripada jumlah pizza dengan diameter 30 cm Tampaknya teorema hanya berlaku dalam geometri dan hanya untuk segitiga, tetapi contoh ini menunjukkan bahwa relasi c 2 = a 2 + b 2 juga dapat digunakan untuk membandingkan angka-angka lain dan karakteristiknya.

Kalkulator online kami memungkinkan Anda menghitung nilai apa pun yang memenuhi persamaan dasar jumlah kuadrat. Untuk menghitung, cukup memasukkan 2 nilai apa pun, setelah itu program akan menghitung koefisien yang hilang. Kalkulator beroperasi tidak hanya dengan bilangan bulat, tetapi juga dengan nilai pecahan, oleh karena itu, diperbolehkan menggunakan angka apa pun untuk perhitungan, dan bukan hanya tiga kali lipat Pythagoras.

Kesimpulan

Teorema Pythagoras adalah hal mendasar yang banyak digunakan dalam banyak aplikasi ilmiah. Gunakan kalkulator online kami untuk menghitung besarnya nilai yang terkait dengan ekspresi c 2 = a 2 + b 2 .

Teorema Pythagoras adalah pernyataan geometri yang paling penting. Teorema dirumuskan sebagai berikut: luas persegi yang dibangun di atas sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di atas kakinya.

Biasanya penemuan pernyataan ini dikaitkan dengan filsuf dan matematikawan Yunani kuno Pythagoras (abad VI SM). Tetapi penelitian terhadap lempeng paku Babilonia dan manuskrip Cina kuno (salinan dari manuskrip yang bahkan lebih tua) menunjukkan bahwa pernyataan ini diketahui jauh sebelum Pythagoras, mungkin satu milenium sebelum dia. Kelebihan Pythagoras adalah dia menemukan bukti teorema ini.

Mungkin, fakta yang dinyatakan dalam teorema Pythagoras pertama kali ditetapkan untuk segitiga siku-siku sama kaki. Cukup dengan melihat mosaik segitiga hitam dan terang yang ditunjukkan pada gambar. 1 untuk memverifikasi validitas teorema segitiga: sebuah bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring berisi 4 segitiga, dan sebuah bujur sangkar yang berisi 2 segitiga dibangun di atas setiap kaki. Untuk membuktikan kasus umum di India Kuno, mereka memiliki dua metode: empat segitiga siku-siku dengan kaki panjang dan digambarkan dalam bujur sangkar dengan sisi (Gbr. 2, a dan 2, b), setelah itu mereka menulis satu kata "Lihat!". Memang, melihat angka-angka ini, kita melihat bahwa di sebelah kiri adalah gambar yang bebas dari segitiga, terdiri dari dua persegi dengan sisi dan, masing-masing, luasnya sama dengan, dan di sebelah kanan - persegi dengan sisi - luasnya adalah setara. Oleh karena itu, , yang merupakan pernyataan dari teorema Pythagoras.

Namun, selama dua milenium, bukan bukti visual ini yang digunakan, tetapi bukti yang lebih kompleks yang ditemukan oleh Euclid, yang ditempatkan dalam bukunya yang terkenal "Awal" (lihat Euclid dan "Awalnya"), Euclid menurunkan ketinggian dari titik sudut siku-siku ke sisi miring dan membuktikan bahwa kelanjutannya membagi persegi yang dibangun di atas sisi miring menjadi dua persegi panjang, yang luasnya sama dengan luas bujur sangkar yang sesuai yang dibangun di atas kaki (Gbr. 3). Gambar yang digunakan dalam pembuktian teorema ini secara bercanda disebut "celana Pythagoras". Untuk waktu yang lama ia dianggap sebagai salah satu simbol ilmu matematika.

Saat ini, beberapa lusin bukti teorema Pythagoras yang berbeda telah diketahui. Beberapa di antaranya didasarkan pada partisi bujur sangkar, di mana bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring terdiri dari bagian-bagian yang termasuk dalam partisi bujur sangkar yang dibangun di atas kaki; lainnya - pada pelengkap angka yang sama; yang ketiga - pada kenyataan bahwa ketinggian, diturunkan dari titik sudut siku-siku ke sisi miring, membagi segitiga siku-siku menjadi dua segitiga yang serupa dengannya.

Teorema Pythagoras mendasari sebagian besar perhitungan geometris. Bahkan di Babel Kuno, itu digunakan untuk menghitung panjang tinggi segitiga sama kaki dengan panjang alas dan sisi, panah segmen dengan diameter lingkaran dan panjang tali busur, dan menetapkan hubungan antara elemen dari beberapa poligon beraturan. Dengan bantuan teorema Pythagoras, generalisasinya terbukti, yang memungkinkan untuk menghitung panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip atau tumpul:

Dari generalisasi ini dapat disimpulkan bahwa kehadiran sudut siku-siku tidak hanya cukup, tetapi juga merupakan syarat yang diperlukan untuk pemenuhan persamaan . Rumus (1) menyiratkan hubungan antara panjang diagonal dan sisi jajar genjang, yang dengannya mudah untuk menemukan panjang median segitiga dari panjang sisinya.

Berdasarkan teorema Pythagoras, rumus juga diturunkan yang menyatakan luas segitiga apa pun dalam hal panjang sisinya (lihat rumus Heron). Tentu saja, teorema Pythagoras juga digunakan untuk memecahkan berbagai masalah praktis.

Alih-alih bujur sangkar di sisi segitiga siku-siku, Anda dapat membuat bentuk apa pun yang mirip satu sama lain (segitiga sama sisi, setengah lingkaran, dll.). Dalam hal ini, luas bangun yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah luas bangun di atas kaki. Generalisasi lain terkait dengan transisi dari bidang ke ruang. Dirumuskan sebagai berikut: kuadrat panjang diagonal dari parallelepiped persegi panjang sama dengan jumlah kuadrat dimensinya (panjang, lebar dan tinggi). Teorema serupa juga berlaku dalam kasus multidimensi dan bahkan dimensi tak terbatas.

Teorema Pythagoras hanya ada dalam geometri Euclidean. Itu tidak terjadi baik dalam geometri Lobachevsky atau dalam geometri non-Euclidean lainnya. Tidak ada analog dari teorema Pythagoras pada bola juga. Dua meridian membentuk sudut 90° dan khatulistiwa mengikat segitiga bola sama sisi pada bola, ketiganya siku-siku. Baginya, tidak seperti di pesawat.

Menggunakan teorema Pythagoras, jarak antara titik dan bidang koordinat dihitung dengan rumus:

.

Setelah teorema Pythagoras ditemukan, muncul pertanyaan tentang bagaimana menemukan semua tiga kali lipat bilangan asli yang dapat menjadi sisi segitiga siku-siku (lihat teorema agung Fermat). Mereka ditemukan oleh orang Pythagoras, tetapi beberapa metode umum untuk menemukan bilangan tiga kali lipat seperti itu bahkan diketahui oleh orang Babilonia. Salah satu tablet runcing berisi 15 kembar tiga. Di antara mereka ada tiga kali lipat, terdiri dari jumlah yang begitu besar sehingga tidak ada pertanyaan untuk menemukannya dengan seleksi.

NERAKA HIPPOKRAT

Lubang hipokrates adalah sosok yang dibatasi oleh busur dua lingkaran, dan, terlebih lagi, sedemikian rupa sehingga, dengan menggunakan jari-jari dan panjang akord umum lingkaran ini, menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat membuat kotak dengan ukuran yang sama dengannya.

Dari generalisasi teorema Pythagoras menjadi setengah lingkaran, maka jumlah luas lubang merah muda yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri sama dengan luas segitiga biru. Karena itu, jika kita mengambil segitiga siku-siku sama kaki, maka kita mendapatkan dua lubang, yang luasnya masing-masing akan sama dengan setengah luas segitiga. Mencoba memecahkan masalah mengkuadratkan lingkaran (lihat Masalah klasik zaman kuno), ahli matematika Yunani kuno Hippocrates (abad ke-5 SM) menemukan beberapa lubang lagi, yang luasnya dinyatakan dalam luas bidang bujursangkar.

Daftar lengkap lubang hippomarginal hanya diperoleh pada abad ke-19-20. melalui penggunaan metode teori Galois.