Sistem dengan kuadrat jaraknya ke sumbu:
- saya- bobot saya-titik,
- r saya- jarak dari saya-titik ke sumbu.
Aksial momen inersia tubuh J a adalah ukuran kelembaman suatu benda dalam gerak rotasi di sekitar sumbu, seperti halnya massa benda adalah ukuran kelembamannya dalam gerak translasi.
Jika benda itu homogen, yaitu kepadatannya sama di mana-mana, maka
Teorema Huygens-Steiner
Momen inersia dari benda padat relatif terhadap sumbu apa pun tidak hanya bergantung pada massa, bentuk, dan ukuran benda, tetapi juga pada posisi benda terhadap sumbu ini. Menurut teorema Steiner (teorema Huygens-Steiner), momen inersia tubuh J relatif terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia tubuh ini Jc relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa tubuh sejajar dengan sumbu yang dipertimbangkan, dan produk dari massa tubuh m per jarak persegi d antara as:
di mana adalah massa total tubuh.
Misalnya, momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya adalah:
Momen inersia aksial dari beberapa benda
| Tubuh | Keterangan | Posisi sumbu sebuah | Momen inersia J a |
|---|---|---|---|
 |
Titik massa bahan m | Pada jarak r dari satu titik, tetap | |
 |
Silinder berdinding tipis berongga atau cincin radius r dan massa m | Sumbu silinder | |
 |
Radius silinder atau cakram padat r dan massa m | Sumbu silinder | |
 |
Silinder massa berdinding tebal berongga m dengan radius luar r2 dan radius dalam r1 | Sumbu silinder | |
 |
Panjang silinder padat aku, radius r dan massa m | ||
 |
Panjang (cincin) silinder berdinding tipis berongga aku, radius r dan massa m | Sumbu tegak lurus terhadap silinder dan melalui pusat massanya | |
 |
Panjang batang tipis lurus aku dan massa m | Sumbu tegak lurus dengan batang dan melalui pusat massanya | |
 |
Panjang batang tipis lurus aku dan massa m | Sumbu tegak lurus dengan batang dan melalui ujungnya | |
 |
Bola berdinding tipis dengan radius r dan massa m | Sumbu melewati pusat bola | |
 |
radius bola r dan massa m | Sumbu melewati pusat bola | |
| Jari-jari kerucut r dan massa m | sumbu kerucut | ||
| Segitiga sama kaki dengan tinggi h, basis sebuah dan berat m | Sumbu tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui titik sudut | ||
| Segitiga siku-siku dengan sisi sebuah dan berat m | Sumbu tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui pusat massa | ||
| Persegi dengan sisi sebuah dan berat m | Sumbu tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar dan melalui pusat massa |
Turunan dari rumus
Silinder berdinding tipis (cincin, ring)
Derivasi rumus
Momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Membagi silinder berdinding tipis menjadi elemen-elemen dengan massa dm dan momen inersia DJ saya. Kemudian
Karena semua elemen silinder berdinding tipis berada pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, rumus (1) diubah menjadi bentuk
Silinder berdinding tebal (cincin, ring)
Derivasi rumus
Biarkan ada cincin homogen dengan jari-jari luar R, radius dalam R 1, tebal h dan kepadatan . Mari kita pecah menjadi cincin tipis dengan ketebalan dr. Massa dan momen inersia cincin tipis berjari-jari r akan
Kami menemukan momen inersia cincin tebal sebagai integral
Karena volume dan massa cincin sama
kita mendapatkan rumus akhir untuk momen inersia cincin
Disk homogen (silinder padat)
Derivasi rumus
Mengingat silinder (cakram) sebagai cincin dengan jari-jari dalam nol ( R 1 = 0), kita memperoleh rumus untuk momen inersia silinder (cakram):
kerucut padat
Derivasi rumus
Bagilah kerucut menjadi cakram tipis dengan ketebalan dh, tegak lurus terhadap sumbu kerucut. Jari-jari piringan tersebut adalah
di mana R adalah jari-jari alas kerucut, H adalah tinggi kerucut, h adalah jarak dari puncak kerucut ke piringan. Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
Mengintegrasikan, kita mendapatkan
Bola seragam padat
Derivasi rumus
Bagilah bola menjadi cakram tipis dh, tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Jari-jari piringan seperti itu terletak di ketinggian h dari pusat bola, kita temukan dengan rumus
Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
Kami menemukan momen inersia bola dengan mengintegrasikan:
bola berdinding tipis
Derivasi rumus
Untuk penurunannya, kami menggunakan rumus momen inersia bola homogen berjari-jari R:
Mari kita hitung berapa banyak momen inersia bola akan berubah jika, pada kerapatan konstan , jari-jarinya bertambah dengan nilai yang sangat kecil dR.
Batang tipis (sumbu melewati pusat)
Derivasi rumus
Bagilah batang menjadi potongan-potongan kecil yang panjangnya dr. Massa dan momen inersia dari fragmen tersebut adalah
Mengintegrasikan, kita mendapatkan
Batang tipis (sumbu melewati ujung)
Derivasi rumus
Saat menggerakkan sumbu rotasi dari tengah batang ke ujungnya, pusat gravitasi batang bergerak relatif terhadap sumbu dengan jarak aku/2. Menurut teorema Steiner, momen inersia baru akan sama dengan
Momen inersia tak berdimensi planet dan satelitnya
Yang sangat penting untuk mempelajari struktur internal planet dan satelitnya adalah momen inersia tak berdimensinya. Momen inersia tak berdimensi dari benda berjari-jari r dan massa m sama dengan rasio momen inersianya terhadap sumbu rotasi terhadap momen inersia suatu titik material dengan massa yang sama relatif terhadap sumbu rotasi tetap yang terletak pada jarak r(sama dengan Pak 2). Nilai ini mencerminkan distribusi massa secara mendalam. Salah satu metode untuk mengukurnya di planet dan satelit adalah dengan menentukan pergeseran Doppler dari sinyal radio yang ditransmisikan oleh AMS yang terbang di sekitar planet atau satelit tertentu. Untuk bola berdinding tipis, momen inersia tak berdimensi sama dengan 2/3 (~0,67), untuk bola homogen - 0,4, dan secara umum semakin kecil, semakin besar massa benda terkonsentrasi di pusatnya. Misalnya, momen inersia tak berdimensi Bulan mendekati 0,4 (sama dengan 0,391), sehingga diasumsikan relatif homogen, densitasnya sedikit berubah dengan kedalaman. Momen inersia Bumi yang tidak berdimensi lebih kecil daripada momen inersia bola homogen (sama dengan 0,335), yang merupakan argumen yang mendukung keberadaan inti padat.
momen inersia sentrifugal
Momen inersia sentrifugal suatu benda terhadap sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang adalah besaran berikut:
di mana x, kamu dan z- koordinat elemen kecil tubuh dengan volume dV, kepadatan ρ dan berat dm.
Sumbu OX disebut sumbu utama inersia tubuh jika momen inersia sentrifugal Jxy dan Jxz secara bersamaan adalah nol. Tiga sumbu utama inersia dapat ditarik melalui setiap titik tubuh. Sumbu-sumbu ini saling tegak lurus satu sama lain. Momen inersia benda relatif terhadap tiga sumbu utama inersia yang ditarik pada suatu titik sembarang HAI tubuh disebut momen utama inersia tubuh.
Sumbu utama kelembaman yang melalui pusat massa benda disebut sumbu pusat utama inersia tubuh, dan momen inersia terhadap sumbu-sumbu ini adalah momen inersia sentral utama. Sumbu simetri benda homogen selalu merupakan salah satu sumbu pusat inersia utamanya.
Momen inersia geometrik
Momen inersia geometris - karakteristik geometris dari bagian tampilan
di mana adalah jarak dari sumbu pusat ke setiap area dasar relatif terhadap sumbu netral.
Momen inersia geometris tidak terkait dengan pergerakan material, itu hanya mencerminkan tingkat kekakuan bagian. Ini digunakan untuk menghitung jari-jari girasi, defleksi balok, pemilihan bagian balok, kolom, dll.
Satuan SI untuk pengukuran adalah m 4 . Dalam perhitungan konstruksi, literatur dan bermacam-macam logam yang digulung, khususnya, ditunjukkan dalam cm 4.
Darinya modulus bagian dinyatakan:
.| Momen inersia geometri dari beberapa angka | |
|---|---|
| Tinggi dan Lebar Persegi Panjang: | |
| Bagian kotak persegi panjang dengan tinggi dan lebar di sepanjang kontur luar dan , dan di sepanjang bagian dalam dan masing-masing | |
| Diameter lingkaran | |
Momen inersia pusat
Momen inersia pusat(atau momen inersia terhadap titik O) adalah besaran
Momen inersia sentral dapat dinyatakan dalam momen inersia aksial atau sentrifugal utama: .
Tensor inersia dan ellipsoid inersia
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang yang melalui pusat massa dan memiliki arah yang diberikan oleh vektor satuan dapat direpresentasikan sebagai bentuk kuadrat (bilinear):
(1),di mana adalah tensor inersia. Matriks inersia tensor simetris, memiliki dimensi, dan terdiri dari komponen momen sentrifugal:
.
Dengan memilih sistem koordinat yang sesuai, matriks tensor inersia dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tensor:
,
di mana -
Seringkali kita mendengar ungkapan: "itu inert", "bergerak dengan inersia", "momen inersia". Dalam arti kiasan, kata "kelembaman" dapat diartikan sebagai kurangnya inisiatif dan tindakan. Kami tertarik pada makna langsung.
Apa itu inersia?
Menurut definisi kelembaman dalam fisika, itu adalah kemampuan tubuh untuk mempertahankan keadaan istirahat atau gerak tanpa adanya kekuatan eksternal.
Jika semuanya jelas dengan konsep kelembaman pada tingkat intuitif, maka momen inersia- masalah terpisah. Setuju, sulit membayangkan dalam pikiran apa itu. Pada artikel ini, Anda akan belajar bagaimana memecahkan masalah dasar pada topik "Momen inersia".
Menentukan momen inersia
Dari kurikulum sekolah diketahui bahwa massa adalah ukuran kelembaman suatu benda. Jika kita mendorong dua kereta yang massanya berbeda, maka akan lebih sulit untuk menghentikan kereta yang lebih berat. Artinya, semakin besar massa, semakin besar pengaruh eksternal yang diperlukan untuk mengubah gerakan tubuh. Dianggap mengacu pada gerakan translasi, ketika gerobak dari contoh bergerak dalam garis lurus.
Dengan analogi dengan massa dan gerak translasi, momen inersia adalah ukuran kelembaman benda selama gerakan rotasi di sekitar sumbu.
Momen inersia- kuantitas fisik skalar, ukuran kelembaman suatu benda selama rotasi di sekitar sumbu. Dilambangkan dengan huruf J dan dalam sistem SI diukur dalam kilogram dikalikan dengan meter persegi.
Bagaimana cara menghitung momen inersia? Ada rumus umum yang digunakan untuk menghitung momen inersia benda apa pun dalam fisika. Jika tubuh dipecah menjadi potongan-potongan kecil massa yang tak terhingga dm , maka momen inersia akan sama dengan jumlah produk dari massa dasar ini dan kuadrat jarak ke sumbu rotasi.
Ini adalah rumus umum untuk momen inersia dalam fisika. Untuk titik massa material m , berputar pada suatu sumbu pada suatu jarak r dari itu, rumus ini mengambil bentuk:
Teorema Steiner
Momen inersia bergantung pada apa? Dari massa, posisi sumbu rotasi, bentuk dan ukuran benda.
Teorema Huygens-Steiner merupakan teorema yang sangat penting yang sering digunakan dalam memecahkan masalah.
Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk
Teorema Huygens-Steiner menyatakan:
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia benda terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu sembarang dan hasil kali massa benda dikali kuadrat jarak antar sumbu.
Bagi yang tidak ingin selalu berintegrasi dalam menyelesaikan soal mencari momen inersia, berikut adalah gambar yang menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen yang sering dijumpai pada soal:
Contoh penyelesaian masalah menemukan momen inersia
Mari kita pertimbangkan dua contoh. Tugas pertama adalah menemukan momen inersia. Tugas kedua adalah menggunakan teorema Huygens-Steiner.
Soal 1. Temukan momen inersia piringan homogen bermassa m dan jari-jari R. Sumbu rotasi melewati pusat piringan.
Keputusan:
Mari kita bagi piringan menjadi cincin-cincin yang sangat tipis, yang jari-jarinya bervariasi dari 0 sebelum R dan pertimbangkan satu cincin seperti itu. Biarkan radiusnya menjadi r, dan massa dm. Maka momen inersia cincin:
Massa cincin dapat dinyatakan sebagai:
Di Sini dz adalah tinggi cincin. Substitusikan massa ke dalam rumus momen inersia dan integralkan:
Hasilnya adalah rumus momen inersia dari piringan atau silinder tipis mutlak.
Soal 2. Misalkan ada lagi piringan bermassa m dan jari-jari R. Sekarang kita perlu mencari momen inersia piringan terhadap sumbu yang melalui tengah salah satu jari-jarinya.
Keputusan:
Momen inersia piringan terhadap sumbu yang melalui pusat massa diketahui dari soal sebelumnya. Kami menerapkan teorema Steiner dan menemukan:
Omong-omong, di blog kami, Anda dapat menemukan materi bermanfaat lainnya tentang fisika dan.
Kami berharap Anda akan menemukan sesuatu yang bermanfaat dalam artikel tersebut. Jika ada kesulitan dalam proses menghitung tensor inersia, jangan lupakan student service. Pakar kami akan memberi saran tentang masalah apa pun dan membantu menyelesaikan masalah dalam hitungan menit.
Momen inersia adalah ukuran kelembaman suatu benda terhadap suatu sumbu selama gerak rotasi (nyata atau imajiner) di sekitar sumbu ini3. Momen inersia secara kuantitatif sama dengan jumlah momen inersia partikel tubuh - produk massa partikel dan kuadrat jaraknya dari sumbu rotasi: J=Smr 2
Ketika partikel tubuh semakin jauh dari sumbu rotasi, maka percepatan sudut tubuh di bawah momen kekuatan yang sama lebih kecil; jika partikel lebih dekat ke sumbu, maka percepatan sudut lebih besar. Ini berarti bahwa jika Anda membawa tubuh (secara keseluruhan atau bagian-bagiannya) lebih dekat ke sumbu, maka lebih mudah untuk menyebabkan percepatan sudut, lebih mudah untuk mempercepat tubuh dalam rotasi, dan lebih mudah untuk menghentikannya. Ini digunakan saat bergerak di sekitar sumbu.
Setelah secara empiris menemukan momen inersia tubuh, dimungkinkan untuk menghitung jari-jari girasi, yang nilainya mencerminkan distribusi partikel dalam tubuh relatif terhadap sumbu yang diberikan.
Jari-jari girasi adalah ukuran komparatif dari inersia suatu benda terhadap sumbu-sumbunya yang berbeda. Ini diukur dengan akar kuadrat dari rasio momen inersia terhadap sumbu tertentu
untuk berat badan: R = J/m
Penentuan kuantitatif momen inersia dalam biomekanik tidak selalu cukup akurat. Tetapi untuk memahami dasar-dasar fisik gerakan manusia, karakteristik ini harus diperhitungkan.
KARAKTERISTIK KEKUATAN
Memaksa
Gaya adalah ukuran aksi mekanis suatu benda terhadap benda lain. Secara numerik, ditentukan oleh produk massa tubuh dan percepatannya yang disebabkan oleh penerapan gaya ini:F=m;
Jadi, pengukuran gaya, seperti halnya pengukuran massa, didasarkan pada hukum ke-2 Newton. Karena hukum ini mengungkapkan ketergantungan dalam gerak translasi, maka gaya sebagai vektor ditentukan hanya dalam kasus jenis gerak yang sederhana dalam hal massa dan percepatan,
Sumber kekuatan. Telah ditunjukkan bahwa percepatan tergantung pada kerangka acuan. Oleh karena itu, gaya yang ditentukan oleh percepatan juga tergantung pada kerangka acuan. Dalam kerangka acuan inersia, sumber gaya untuk benda tertentu selalu merupakan benda material lain. Segera setelah dua objek material berinteraksi, maka dalam kondisi ini hukum 3 Newton terwujud.
Jika tubuh lain bekerja pada satu tubuh, maka itu mengubah gerakan yang pertama. Tetapi tubuh pertama dalam interaksi ini juga mengubah gerakan yang lain. Kedua gaya diterapkan pada objek yang berbeda, masing-masing menunjukkan efek yang sesuai. Mereka tidak dapat digantikan oleh satu resultan, karena diterapkan pada objek yang berbeda. Itu sebabnya mereka tidak saling mengimbangi.
Dalam kerangka acuan non-inersia, selain interaksi dua benda, gaya khusus inersia ("fiktif") juga dipertimbangkan, di mana hukum ke-3 Newton tidak berlaku.
Pengukuran kekuatan . berlaku statis pengukuran gaya, yaitu pengukuran dengan kekuatan penyeimbang(ketika percepatannya nol), dan dinamis - sesuai dengan percepatan yang diberikan ke tubuh dengan penerapannya.
Pada aksi statis kekuatan pada tubuh (M) ada dua tubuh (A dan B); ada tiga objek material secara total (Gbr. 23, sebuah). Angkatan F a dan masuk, melekat pada tubuh M, sama besar dan berlawanan arah, keduanya seimbang. Resultan mereka adalah nol. Percepatan yang disebabkan oleh mereka juga nol. Kecepatan tidak berubah (tetap konstan - gerakan seragam atau imobilitas relatif).
Kekuatan fa, bertindak statis dapat diukur dengan gaya keseimbangan fc.
Pertimbangkan tiga kasus manifestasi aksi gaya statis, ketika semua benda tidak bergerak -
a) pesenam yang tergantung di mistar gawang; kekuatan pendukung menyeimbangkan gravitasi tubuh (G);
b) tubuh yang seimbang bergerak tegak lurus terhadap gaya gravitasi yang seimbang - skater meluncur di atas es; kekuatan pendukung menyeimbangkan gravitasi tubuh (G); yang terakhir tidak secara langsung mempengaruhi kecepatan geser;
c) benda yang seimbang bergerak dengan inersia ke arah gaya yang seimbang; pemain ski meluncur dengan kecepatan konstan menuruni lereng; kekuatan resistensi (gesekan udara dan ski di salju - Q) menyeimbangkan komponen rolling gravitasi (G). Dalam ketiga kasus, terlepas dari keadaan istirahat atau arah gerakan tubuh, gaya seimbang tidak mengubah gerakan; kecepatan dalam arah aksinya adalah konstan.
Harus ditekankan bahwa dalam semua kasus, aksi statis gaya menyebabkan deformasi tubuh.
Pada aksi dinamis kekuatan pada tubuh M ada kekuatan yang tidak seimbang. Dalam masalah mekanika teoretis, hanya gaya penggerak yang satu ini yang sering dianggap sebagai ukuran aksi hanya satu benda penggerak.
Kekuatan pendorong adalah kekuatan yang bertepatan dengan arah gerakan (lewat ) atau membentuk sudut lancip dengannya dan pada saat yang sama dapat melakukan kerja positif (untuk meningkatkan energi tubuh).
Namun, dalam kondisi nyata pergerakan manusia, selalu ada media (udara atau air), pendukung dan badan eksternal lainnya (proyektil, peralatan, mitra, lawan, dll.) beroperasi. Semuanya dapat memiliki efek penghambatan. Apalagi, tidak ada satu pun gerakan nyata tanpa partisipasi kekuatan pengereman itu tidak terjadi.
Gaya pengereman diarahkan berlawanan dengan arah gerakan (mendekati) atau membentuk sudut tumpul dengannya. Dia bisa melakukan pekerjaan negatif(untuk mengurangi energi tubuh).
Bagian dari gaya penggerak, yang besarnya sama dengan gaya pengereman, menyeimbangkan yang terakhir - ini adalah kekuatan penyeimbang (Fip).
Kelebihan gaya penggerak di atas gaya pengereman adalah gaya percepatan (Fusk)- menyebabkan percepatan tubuh dengan massa m sesuai dengan hukum ke-2 Newton (Fy=m).
Akibatnya, kecepatan tidak tetap konstan, tetapi berubah, yaitu, percepatan terjadi. Ini adalah aksi kekuatan yang dinamis. F.
Kekuatan F usk, bertindak dinamis, dapat diukur dengan massa tubuh dan percepatannya.
Klasifikasi kekuatan. Kekuatan yang dipelajari dalam analisis gerakan manusia dibagi menjadi beberapa kelompok tergantung pada fitur umum. Menurut metode interaksi benda, semua kekuatan dibagi menjadi: d i s t a n t n e, timbul di kejauhan tanpa kontak langsung dengan tubuh, dan kontak, yang muncul hanya ketika tubuh bersentuhan.
Gaya jauh dalam mekanika termasuk gaya gravitasi universal, di mana gaya gravitasi terestrial dipelajari dalam biomekanik, dimanifestasikan dalam gravitasi . Kekuatan kontak termasuk: kekuatan elastis dan gaya gesekan .
Menurut pengaruhnya terhadap gerakan, kekuatan dibedakan a k t i v n e(atau diberikan) dan reaksi ikatan. Kami mengingatkan Anda bahwa koneksi adalah pembatasan pergerakan suatu objek yang dilakukan oleh badan lain. Gaya yang digunakan sambungan untuk melawan gerakan adalah reaksi dari sambungan. Itu tidak diketahui sebelumnya dan tergantung pada aksi kekuatan lain pada tubuh dan gerakan tubuh itu sendiri.
Reaksi kopling itu sendiri tidak menyebabkan gerakan, mereka hanya melawan gaya aktif atau menyeimbangkannya. Namun, jika reaksi kopling tidak menyeimbangkan gaya aktif, maka gerakan dimulai di bawah aksi yang terakhir.
Menurut sumber kejadian relatif terhadap sistem (misalnya, tubuh manusia), kekuatan dibedakan dalam e s h n i e, disebabkan oleh aksi benda-benda di luar sistem, dan intern, disebabkan oleh interaksi di dalam sistem. Pembagian ini diperlukan ketika menentukan kemungkinan aksi kekuatan tertentu. Satu dan kekuatan yang sama harus dianggap eksternal atau internal, tergantung pada objek dalam kaitannya dengan yang kita pertimbangkan.
Melalui aplikasi kekuatan dalam mekanika dibagi dengan terfokus diterapkan ke tubuh pada satu titik, dan didistribusikan. Yang terakhir ini dibagi menjadi permukaan dan massal.
Berdasarkan sifat kekuatannya, ada konstanta dan variabel. PADA Contoh gaya konstan adalah gaya gravitasi (pada titik tertentu di Bumi). Kekuatan yang sama dapat bervariasi tergantung pada beberapa kondisi. Dalam praktiknya, dalam pergerakan seseorang, kekuatan konstan hampir tidak pernah ditemui. Semua kekuatan adalah variabel. Mereka berubah tergantung pada waktu (otot mengubah gaya traksi dari waktu ke waktu), jarak (pada titik yang berbeda di Bumi, bahkan "gaya konstan" gravitasi berbeda), kecepatan (hambatan lingkungan tergantung pada kecepatan relatif tubuh dan lingkungan).
Karena interaksi tubuh manusia dengan lingkungan eksternal, yang disebabkan oleh pergerakan bagian-bagian tubuh, sangat penting dalam biomekanik, maka kekuatan eksternal dan internal relatif terhadap sistem (tubuh manusia) akan dipertimbangkan secara rinci. Interaksi benda-benda fisik merupakan penyebab utama terjadinya perubahan gerak. Oleh karena itu, ukuran interaksi - gaya - diberikan perhatian khusus dalam biomekanik.
Momen kekuatan
Momen gaya adalah ukuran aksi mekanis yang mampu memutar benda (ukuran aksi rotasi suatu gaya). Ini ditentukan secara numerik oleh produk dari modulus gaya dan bahunya (jarak dari pusat momen1 ke garis aksi gaya):
Momen gaya memiliki tanda plus jika gaya memberikan rotasi berlawanan arah jarum jam, dan tanda minus jika arahnya berlawanan.
Kemampuan rotasi suatu gaya diwujudkan dalam penciptaan, perubahan atau penghentian gerak rotasi.
Momen gaya kutub(momen gaya terhadap suatu titik) dapat didefinisikan untuk setiap gaya terhadap titik tersebut (O) (pusat momen). Jika jarak dari garis kerja gaya ke titik yang dipilih adalah nol, maka momen gaya adalah nol. Oleh karena itu, gaya yang ditempatkan demikian tidak memiliki daya rotasi terhadap pusat ini. luas persegi panjang (Fd) numerik sama dengan modulus momen gaya.
Ketika beberapa momen gaya diterapkan pada satu benda, mereka dapat dikurangi menjadi satu momen - momen utama.
Untuk menentukan vektor momen gaya1, Anda perlu mengetahui: a) modulus momen(produk dari modulus gaya di bahunya); b) bidang rotasi(melewati garis aksi gaya dan pusat momen) dan c) arah rotasi dalam hal ini pesawat.
Momen gaya aksial(momen gaya relatif terhadap sumbu) dapat didefinisikan untuk gaya apa pun, kecuali untuk bertepatan dengan sumbu, sejajar dengannya atau melintasinya. Dengan kata lain, gaya dan sumbu tidak boleh terletak pada bidang yang sama.
Menerapkan pengukuran statis momen gaya jika diimbangi oleh momen gaya lain yang terletak pada bidang yang sama, sama dalam nilai absolut dan berlawanan arah, relatif terhadap pusat momen yang sama (misalnya, ketika tuas berada dalam keseimbangan). Momen gravitasi hubungan relatif terhadap sendi proksimalnya disebut momen statis tautan.
Menerapkan pengukuran dinamis momen gaya, jika momen inersia benda terhadap sumbu rotasi dan percepatan sudutnya diketahui. Seperti gaya, momen gaya terhadap pusat dapat menjadi mengemudi dan pengereman, dan maka dari itu, menyeimbangkan, mempercepat dan memperlambat. Momen kekuatan bisa menjadi menyimpang- membelokkan bidang rotasi di ruang angkasa.
Pada semua percepatan, gaya inersia muncul: pada percepatan normal - gaya inersia sentrifugal, pada percepatan tangensial (positif atau negatif) - gaya inersia tangensial. Gaya sentrifugal inersia diarahkan sepanjang jari-jari rotasi dan tidak memiliki momen relatif terhadap pusat rotasi. Gaya tangensial inersia diterapkan pada tautan padat di tengah ayunannya. Jadi, ada momen inersia tentang sumbu rotasi.
Aksi kekuatan
MOMEN INERSIA I benda relatif terhadap suatu titik, sumbu atau bidang adalah jumlah produk massa titik-titik benda m i , dengan kuadrat jaraknya r i ke titik, sumbu atau bidang:
Momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu adalah ukuran kelembaman suatu benda yang berputar di sekitar sumbu tersebut.
Momen inersia suatu benda juga dapat dinyatakan dalam massa M benda dan jari-jari girasinya r:
MOMEN INERTIA TENTANG Sumbu, BIDANG DAN ASAL KOORDINAT KARTESIS.
Momen inersia tentang titik asal (momen inersia kutub):
HUBUNGAN ANTARA MOMEN AKSIAL, BIDANG DAN POLAR MOMEN INERTI:
Nilai momen inersia aksial dari beberapa benda geometris diberikan pada Tabel. satu.
Tabel 1. Momen inersia beberapa benda
sosok atau tubuh |
|
|
Dengan c→0, pelat persegi panjang diperoleh |
|
MENGUBAH MOMEN INERTI SAAT Sumbu DIUBAH
Momen inersia I u 1 terhadap sumbu u 1 sejajar dengan sumbu u yang diberikan (Gbr. 1):
di mana I u adalah momen inersia benda terhadap sumbu u; l (l 1) - jarak dari sumbu u (dari sumbu u 1) ke sumbu u yang sejajar dengannya, melewati pusat massa tubuh; a adalah jarak antara sumbu u dan u 1 .
Gambar 1.
Jika sumbu u adalah pusat (l=0), maka
yaitu, untuk setiap kelompok sumbu paralel, momen inersia terhadap sumbu pusat adalah yang terkecil.
Momen inersia I u relatif terhadap sumbu u, membuat sudut , , dengan sumbu koordinat Cartesian x, y, z (Gbr. 2):
Gambar 2.
Sumbu x, y, z adalah yang utama, jika
Momen inersia terhadap sumbu u yang membentuk sudut , , dengan sumbu utama inersia x, y, z:
PERUBAHAN MOMEN SENTRIFUGAL SELAMA TRANSFER Sumbu PARALEL:
di mana momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat x c, y c, sejajar dengan sumbu x, y; M - berat badan; x s, y s - koordinat pusat massa dalam sistem sumbu x, y.
PERUBAHAN MOMEN SENTRIFUGAL SELAMA ROTASI Sumbu x, y DI SEKITAR Sumbu z OLEH SUDUT TERHADAP POSISI x 1 y 1(Gbr. 3):
Gambar 3
PENENTUAN POSISI Sumbu Utama Inersia. Sumbu simetri material tubuh adalah sumbu utama inersia tubuh.
Jika bidang xOz adalah bidang simetri material benda, maka salah satu sumbu y adalah sumbu utama inersia benda.
Jika posisi salah satu sumbu utama z ch diketahui, maka posisi kedua sumbu lainnya x ch dan y ch ditentukan oleh rotasi sumbu x dan y mengelilingi sumbu z ch dengan sudut φ (Gbr. 3):
ELLIPSOID DAN PARALLELEPIPED OF INERTIA. Elipsoid inersia adalah ellipsoid yang sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu pusat utama benda x utama, y utama, z utama, dan sumbu semi a x, a y, dan z masing-masing sama besar:
di mana r z , r x Oz , r xOy adalah jari-jari inersia benda relatif terhadap bidang inersia utama.
Sebuah paralelepiped inersia adalah paralelepiped dijelaskan di sekitar ellipsoid inersia dan memiliki sumbu umum simetri dengan itu (Gbr. 4).
Gambar 4
REDUKSI (PENGGANTIAN UNTUK MENYERAHKAN PERHITUNGAN) BADAN KAKU DENGAN MASSA BERUNTUNG. Saat menghitung momen inersia aksial, planar, sentrifugal, dan kutub, sebuah benda bermassa M dapat dikurangi dengan delapan massa terkonsentrasi M/8 yang terletak di simpul-simpul inersia paralelepiped. Momen inersia tentang setiap sumbu, bidang, kutub dihitung dengan koordinat simpul dari paralelepiped inersia x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) sesuai dengan rumus:
PENENTUAN EKSPERIMENTAL MOMEN INERTIA
1. Penentuan momen inersia benda revolusi menggunakan persamaan diferensial rotasi - lihat rumus ("Gerakan rotasi benda tegar").
Benda yang diteliti difiksasi pada sumbu horizontal x, bertepatan dengan sumbu simetrinya, dan diputar mengelilinginya dengan bantuan beban P yang diikatkan pada seutas benang fleksibel yang melilit benda yang diteliti (Gbr. 5), sedangkan waktu t menurunkan beban ke ketinggian h diukur. . Untuk menghilangkan pengaruh gesekan pada titik-titik penempelan benda pada sumbu x, dilakukan percobaan beberapa kali pada nilai berat beban P yang berbeda.
Gambar 5
Dalam dua percobaan dengan beban P 1 dan P 2
2. Penentuan eksperimental momen inersia benda dengan mempelajari osilasi pendulum fisik (lihat 2.8.3) .
Benda yang diteliti difiksasi pada sumbu x horizontal (non-pusat) dan periode osilasi kecil terhadap sumbu T ini diukur.Momen inersia terhadap sumbu x ditentukan dengan rumus
di mana P - berat badan; l 0 - jarak dari sumbu rotasi ke pusat massa C benda.
Momen inersia suatu benda (sistem) terhadap sumbu tertentu Oz (atau momen inersia aksial) adalah nilai skalar yang berbeda dari jumlah produk massa semua titik benda (sistem) dan kuadrat jaraknya dari sumbu ini:
Ini mengikuti dari definisi bahwa momen inersia suatu benda (atau sistem) terhadap sumbu apa pun adalah kuantitas positif dan tidak sama dengan nol.
Kemudian akan ditunjukkan bahwa momen inersia aksial memainkan peran yang sama selama gerakan rotasi tubuh sebagai massa selama gerakan translasi, yaitu, momen inersia aksial adalah ukuran inersia tubuh selama gerakan rotasi.
Menurut rumus (2), momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia semua bagiannya terhadap sumbu yang sama. Untuk satu titik material yang terletak pada jarak h dari sumbu, . Satuan pengukuran momen inersia dalam SI adalah 1 kg (dalam sistem MKGSS -).
Untuk menghitung momen inersia aksial, jarak titik dari sumbu dapat dinyatakan dalam koordinat titik-titik ini (misalnya, kuadrat jarak dari sumbu Ox, dll.).
Maka momen inersia terhadap sumbu akan ditentukan dengan rumus:
Seringkali dalam perhitungan, konsep radius girasi digunakan. Jari-jari girasi suatu benda relatif terhadap sumbu adalah besaran linier yang ditentukan oleh persamaan
di mana M adalah massa benda. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jari-jari inersia secara geometris sama dengan jarak dari sumbu titik di mana massa seluruh benda harus terkonsentrasi sehingga momen inersia satu titik ini sama dengan momen inersia. dari seluruh tubuh.
Mengetahui jari-jari inersia, dimungkinkan untuk menemukan momen inersia benda menggunakan rumus (4) dan sebaliknya.
Rumus (2) dan (3) berlaku baik untuk benda tegar dan untuk sistem titik material apa pun. Dalam kasus benda padat, membaginya menjadi bagian-bagian dasar, kita menemukan bahwa dalam limit jumlah persamaan (2) berubah menjadi integral. Akibatnya, mengingat di mana adalah kerapatan dan V adalah volume, kita mendapatkan
Integral di sini meluas ke seluruh volume V benda, dan kerapatan dan jarak h bergantung pada koordinat titik-titik benda. Demikian pula, rumus (3) untuk benda padat akan berbentuk
Rumus (5) dan (5) nyaman digunakan saat menghitung momen inersia benda homogen berbentuk biasa. Dalam hal ini, densitas akan konstan dan akan keluar dari bawah tanda integral.
Mari kita cari momen inersia beberapa benda homogen.
1. Sebuah batang homogen tipis dengan panjang l dan massa M. Mari kita hitung momen inersianya terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui ujungnya A (Gbr. 275). Mari kita arahkan sumbu koordinat sepanjang AB Kemudian, untuk setiap segmen dasar dengan panjang d, nilainya adalah , dan massanya adalah , Dimana adalah massa satuan panjang batang. Akibatnya, rumus (5) memberikan
Mengganti di sini nilainya, kami akhirnya menemukan
2. Sebuah cincin homogen berbentuk bulat tipis dengan jari-jari R dan massa M. Mari kita cari momen inersianya terhadap sumbu yang tegak lurus bidang cincin dan melalui pusatnya C (Gbr. 276).
Karena semua titik cincin berada pada jarak dari sumbu, rumus (2) memberikan
Oleh karena itu, untuk cincin
Jelas, hasil yang sama akan diperoleh untuk momen inersia kulit silinder tipis dengan massa M dan jari-jari R pada sumbunya.
3. Pelat atau silinder homogen bundar dengan jari-jari R dan massa M. Mari kita hitung momen inersia pelat bundar terhadap sumbu tegak lurus pelat dan melalui pusatnya (lihat Gambar 276). Untuk melakukan ini, kami memilih cincin dasar dengan jari-jari dan lebar (Gbr. 277, a). Luas cincin ini adalah , dan massa adalah massa per satuan luas pelat. Kemudian, menurut rumus (7), untuk cincin dasar yang dipilih akan menjadi dan untuk seluruh pelat
