Tugas 3.2.1

Tentukan resultan dari dua gaya F 1 \u003d 50N dan F 2 \u003d 30N, membentuk sudut 30° di antara keduanya (Gbr. 3.2a).

Gambar 3.2

Kami mentransfer vektor gaya F 1 dan F 2 ke titik perpotongan garis aksi dan menambahkannya sesuai dengan aturan jajaran genjang (Gbr. 2.2b). Titik aplikasi dan arah resultan ditunjukkan pada gambar. Modul dari resultan yang dihasilkan ditentukan oleh rumus:

Jawaban: R=77.44N

Tugas 3.2.2

Tentukan resultan sistem gaya konvergen F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, jika sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor gaya ini dengan sumbu Ox diketahui: 1 =30 °, 2 = 45 ° dan 3 =60 ° (gbr.3.3a)

Gambar 3.3

Kami memproyeksikan gaya pada sumbu Ox dan Oy:

Modulus yang dihasilkan

Berdasarkan proyeksi yang diperoleh, kami menentukan arah resultan (Gbr. 3.3b)

Jawaban: R=44.04N

Tugas 3.2.3

Pada titik sambungan dua ulir, gaya vertikal P = 100N diterapkan (Gbr. 3.4a). Tentukan gaya-gaya pada ulir, jika dalam kesetimbangan sudut yang dibentuk ulir dengan sumbu OY sama dengan =30°, =75°.

Gambar 3.4

Gaya tegangan ulir akan diarahkan sepanjang ulir dari simpul sambungan (Gbr. 3.4b). Sistem gaya T 1 , T 2 , P adalah sistem gaya konvergen, karena garis-garis aksi gaya berpotongan di persimpangan benang. Kondisi kesetimbangan untuk sistem ini:

Kami menyusun persamaan analitik untuk keseimbangan sistem gaya konvergen, memproyeksikan persamaan vektor ke sumbu.

Kami memecahkan sistem persamaan yang diperoleh. Dari pertama kami mengungkapkan T 2 .

Substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam yang kedua dan tentukan T 1 dan T 2 .

H,

Mari kita periksa solusi dari kondisi bahwa modulus P' dari jumlah gaya T 1 dan T 2 harus sama dengan P (Gbr. 3.4c).

Jawaban: T 1 \u003d 100N, T 2 \u003d 51.76N.

Tugas 3.2.4

Tentukan resultan sistem gaya konvergen jika modulnya F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N dan sudut =60 ° diberikan (Gbr. 3.5a).

Gambar 3.5

Kami menentukan proyeksi resultan

Modulus yang dihasilkan:

Berdasarkan proyeksi yang diperoleh, kami menentukan arah resultan (Gbr. 3.5b)

Jawaban: R=27.17N

Tugas 3.2.6

Tiga batang AC, BC, DC dihubungkan secara poros di titik C. Tentukan gaya pada batang jika gaya F=50N, sudut =60° dan sudut =75° diberikan. Gaya F berada pada bidang Oyz. (gbr.3.6)

Gambar 3.6

Awalnya, kami berasumsi bahwa semua batang diregangkan, masing-masing, kami mengarahkan reaksi dalam batang dari simpul C. Sistem yang dihasilkan N 1 , N 2 , N 3 , F adalah sistem gaya konvergen. Kondisi kesetimbangan untuk sistem ini.

Untuk menjawab pertanyaan ini, perlu ditarik beberapa kesimpulan dari kondisi masalah:

1. Arah kekuatan-kekuatan ini;
2. Nilai modular gaya F1 dan F2;
3. Dapatkah gaya-gaya tersebut menciptakan gaya resultan untuk memindahkan kereta dari tempatnya.

Arah kekuatan

Untuk menentukan karakteristik utama pergerakan kereta di bawah pengaruh dua kekuatan, perlu diketahui arahnya. Misalnya, jika sebuah kereta ditarik ke kanan dengan gaya sebesar 5 N dan gaya yang sama menarik kereta ke kiri, maka logis untuk mengasumsikan bahwa kereta akan berhenti. Jika gaya diarahkan bersama, untuk menemukan gaya yang dihasilkan, hanya perlu menemukan jumlah mereka. Jika ada gaya yang diarahkan membentuk sudut terhadap bidang gerak kereta, maka nilai gaya ini harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah gaya dan bidang. Secara matematis akan terlihat seperti ini:

F = F1 * cosa; di mana

F adalah gaya yang diarahkan sejajar dengan permukaan gerak.

Teorema kosinus untuk mencari vektor gaya yang dihasilkan

Jika dua gaya berawal pada satu titik dan ada sudut tertentu di antara arahnya, maka segitiga tersebut harus dilengkapi dengan vektor yang dihasilkan (yaitu vektor yang menghubungkan ujung vektor F1 dan F2). Kami menemukan gaya yang dihasilkan menggunakan teorema kosinus, yang menyatakan bahwa kuadrat dari setiap sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya dari segitiga dikurangi dua kali produk sisi-sisi ini dengan kosinus sudut diantara mereka. Mari kita tulis ini dalam bentuk matematika:

F \u003d F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Mengganti semua nilai yang diketahui, Anda dapat menentukan besarnya gaya yang dihasilkan.

Isi artikel

STATIKA, cabang mekanika, yang subjeknya adalah benda-benda material yang diam di bawah aksi gaya eksternal pada mereka. Dalam arti luas, statika adalah teori keseimbangan benda apa pun - padat, cair, atau gas. Dalam arti yang lebih sempit, istilah ini mengacu pada studi tentang keseimbangan benda tegar, serta benda fleksibel yang tidak meregang - kabel, ikat pinggang, dan rantai. Kesetimbangan padatan yang terdeformasi dipertimbangkan dalam teori elastisitas, dan keseimbangan cairan dan gas - dalam hidroaeromekanik.
cm. HYDROAEROMECHANICS.

Referensi sejarah.

Statika adalah cabang mekanika tertua; beberapa prinsipnya sudah diketahui orang Mesir kuno dan Babilonia, terbukti dari piramida dan kuil yang mereka bangun. Di antara pencipta pertama statika teoretis adalah Archimedes (c. 287–212 SM), yang mengembangkan teori pengungkit dan merumuskan hukum dasar hidrostatika. Nenek moyang statika modern adalah orang Belanda S. Stevin (1548–1620), yang pada tahun 1586 merumuskan hukum penambahan gaya, atau aturan genjang, dan menerapkannya dalam memecahkan sejumlah masalah.

Hukum dasar.

Hukum statika mengikuti dari hukum umum dinamika sebagai kasus khusus ketika kecepatan benda tegar cenderung nol, tetapi untuk alasan historis dan pertimbangan pedagogis, statika sering disajikan secara independen dari dinamika, membangunnya di atas hukum dan prinsip yang didalilkan berikut : a) hukum penambahan gaya, b) prinsip kesetimbangan dan c) prinsip aksi dan reaksi. Dalam kasus benda tegar (lebih tepatnya, benda tegar idealnya yang tidak berubah bentuk di bawah aksi gaya), prinsip lain diperkenalkan berdasarkan definisi benda tegar. Ini adalah prinsip kemampuan transfer gaya: keadaan benda tegar tidak berubah ketika titik penerapan gaya bergerak sepanjang garis aksinya.

Gaya sebagai vektor.

Dalam statika, gaya dapat dianggap sebagai gaya tarik atau dorong yang memiliki arah, besar, dan titik penerapan tertentu. Dari sudut pandang matematika, ini adalah vektor, dan oleh karena itu dapat direpresentasikan sebagai segmen garis lurus berarah, yang panjangnya sebanding dengan besarnya gaya. (Kuantitas vektor, tidak seperti besaran lain yang tidak memiliki arah, dilambangkan dengan huruf tebal.)

Paralelogram kekuatan.

Pertimbangkan tubuh (Gbr. 1, sebuah) di mana gaya bekerja F 1 dan F 2 diterapkan pada titik O dan diwakili pada gambar oleh segmen yang diarahkan OA dan OB. Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, aksi kekuatan F 1 dan F 2 setara dengan satu kekuatan R, diwakili oleh segmen OC. Besarnya gaya R sama dengan panjang diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor OA dan OB bagaimana sisi-sisinya; arahnya ditunjukkan pada Gambar. satu, sebuah. Memaksa R disebut gaya resultan F 1 dan F 2. Secara matematis, ini ditulis sebagai R = F 1 + F 2 , di mana penambahan dipahami dalam arti geometris dari kata yang ditunjukkan di atas. Ini adalah hukum statika pertama, yang disebut aturan jajaran genjang gaya.

Kekuatan yang seimbang.

Alih-alih membangun jajar genjang OACB, untuk menentukan arah dan besarnya resultan R seseorang dapat membangun segitiga OAC dengan menerjemahkan vektor F 2 sejajar dengan dirinya sendiri sampai titik awalnya (sebelumnya titik O) bertepatan dengan titik akhir (titik A) dari vektor OA. Sisi trailing segitiga OAC jelas akan memiliki besar dan arah yang sama dengan vektor R(Gbr. 1, b). Metode mencari resultan ini dapat digeneralisasikan ke sistem banyak gaya F 1 , F 2 ,..., F n diterapkan pada titik O yang sama dari tubuh yang dipertimbangkan. Jadi, jika sistem terdiri dari empat gaya (Gbr. 1, di), maka Anda dapat menemukan resultan gaya F 1 dan F 2, lipat dengan paksa F 3 , lalu tambahkan resultan baru dengan gaya F 4 dan, sebagai hasilnya, dapatkan resultan total R. Yg dihasilkan R, ditemukan oleh konstruksi grafis seperti itu, diwakili oleh sisi penutup poligon gaya OABCD (Gbr. 1, G).

Definisi dari resultan yang diberikan di atas dapat digeneralisasikan ke sistem gaya F 1 , F 2 ,..., F n diterapkan pada titik O 1 , O 2 ,..., O n dari benda tegar. Sebuah titik O dipilih, disebut titik reduksi, dan sistem transfer gaya paralel dibangun di dalamnya, sama besar dan arahnya dengan gaya F 1 , F 2 ,..., F n. Yg dihasilkan R vektor yang ditransfer paralel ini, yaitu vektor yang diwakili oleh sisi penutup poligon gaya disebut resultan gaya yang bekerja pada benda (Gbr. 2). Jelas bahwa vektor R tidak tergantung pada titik reduksi yang dipilih. Jika besar vektor R(segmen ON) tidak sama dengan nol, maka tubuh tidak dapat diam: sesuai dengan hukum Newton, setiap benda yang dikenai gaya harus bergerak dengan percepatan. Dengan demikian, sebuah benda dapat berada dalam kesetimbangan hanya jika resultan dari semua gaya yang diterapkan padanya adalah nol. Namun, kondisi yang diperlukan ini tidak dapat dianggap cukup - benda dapat bergerak ketika resultan dari semua gaya yang diterapkan padanya sama dengan nol.

Sebagai contoh sederhana namun penting untuk memperjelas apa yang telah dikatakan, pertimbangkan batang kaku tipis yang panjangnya aku, yang beratnya dapat diabaikan dibandingkan dengan besarnya gaya yang diterapkan padanya. Biarkan dua gaya bekerja pada batang F dan -F diterapkan pada ujungnya, sama besarnya tetapi berlawanan arah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3, sebuah. Dalam hal ini, resultan R adalah sama dengan F – F= 0, tetapi batang tidak akan berada dalam kesetimbangan; jelas, ia akan berputar di sekitar titik tengahnya O. Sistem dua gaya yang sama, tetapi berlawanan arah, yang bekerja tidak dalam satu garis lurus, adalah "sepasang gaya", yang dapat dicirikan oleh produk dari besarnya gaya F di bahu" aku. Signifikansi produk tersebut dapat ditunjukkan dengan alasan berikut, yang menggambarkan aturan tuas yang diturunkan oleh Archimedes dan mengarah pada kesimpulan tentang kondisi keseimbangan rotasi. Pertimbangkan batang kaku homogen ringan yang dapat berputar di sekitar sumbu di titik O, di mana gaya bekerja F 1 diterapkan di kejauhan aku 1 dari sumbu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. 3, b. Di bawah kekuatan F 1 batang akan berputar di sekitar titik O. Seperti yang dapat Anda lihat dengan mudah dari pengalaman, rotasi batang seperti itu dapat dicegah dengan menerapkan beberapa gaya F 2 pada jarak itu aku 2 untuk memenuhi kesetaraan F 2 aku 2 = F 1 aku 1 .

Dengan demikian rotasi dapat dicegah dengan berbagai cara. Penting untuk memilih gaya dan titik penerapannya sehingga produk gaya pada bahu sama dengan F 1 aku satu . Ini adalah aturan leverage.

Tidak sulit untuk menurunkan kondisi kesetimbangan untuk sistem. Aksi kekuatan F 1 dan F 2 per sumbu menyebabkan reaksi berupa gaya reaksi R, diterapkan pada titik O dan diarahkan berlawanan dengan gaya F 1 dan F 2. Menurut hukum mekanika tentang aksi dan reaksi, besarnya reaksi R sama dengan jumlah gaya F 1 + F 2. Oleh karena itu, resultan semua gaya yang bekerja pada sistem sama dengan F 1 + F 2 + R= 0, sehingga kondisi keseimbangan yang diperlukan di atas terpenuhi. Memaksa F 1 menciptakan torsi searah jarum jam, mis. momen kekuatan F 1 aku 1 tentang titik O, yang diseimbangkan dengan momen berlawanan arah jarum jam F 2 aku 2 kekuatan F 2. Jelas, kondisi keseimbangan tubuh adalah kesetaraan dengan nol dari jumlah aljabar momen, yang mengecualikan kemungkinan rotasi. Jika kekuatan F bekerja pada batang dengan sudut q, seperti yang ditunjukkan pada gambar. 4, sebuah, maka gaya ini dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua komponen, salah satunya ( F p), nilai F karena q, bekerja sejajar dengan batang dan diseimbangkan oleh reaksi tumpuan - F p , dan yang lainnya ( F n) F dosa q diarahkan pada sudut kanan ke tuas. Dalam hal ini, torsi adalah Faku dosa q; itu dapat diseimbangkan oleh gaya apa pun yang menciptakan momen yang sama yang bekerja berlawanan arah jarum jam.

Untuk memudahkan memperhitungkan tanda-tanda momen dalam kasus di mana banyak gaya bekerja pada tubuh, momen gaya F relatif terhadap setiap titik O tubuh (Gbr. 4, b) dapat dianggap sebagai vektor L sama dengan produk vektor r ґ F vektor posisi r untuk kekuatan F. Dengan demikian, L = rґ F. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa jika sistem gaya yang diterapkan pada titik O 1 , O 2 ,..., O n (Gbr. 5) bekerja pada benda tegar, maka sistem ini dapat digantikan oleh resultan R kekuatan F 1 , F 2 ,..., F n diterapkan pada setiap titik Oў tubuh, dan sepasang gaya L, yang momennya sama dengan jumlah [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n F n]. Untuk memverifikasi ini, cukup dengan menerapkan secara mental pada titik Oў sistem pasangan gaya yang sama tetapi berlawanan arah F 1 dan - F 1 ; F 2 dan - F 2 ;...; F n dan - F n , yang jelas tidak mengubah keadaan benda tegar.

Telah membawa F 1 diterapkan pada titik O 1 , dan gaya - F 1 , diterapkan pada titik Oў, membentuk sepasang gaya, yang momennya relatif terhadap titik Oў sama dengan r 1 ґ F satu . Hanya kekuatan yang sama F 2 dan - F 2 diterapkan pada titik O2 dan Oў, masing-masing, membentuk pasangan dengan momen r 2 ґ F 2 , dll. Total momen L dari semua pasangan tersebut sehubungan dengan titik Oў diberikan oleh persamaan vektor L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n F n]. Pasukan yang tersisa F 1 , F 2 ,..., F n , diterapkan pada titik Oў, total memberikan resultan R. Tetapi sistem tidak dapat berada dalam kesetimbangan jika kuantitas R dan L berbeda dari nol. Akibatnya, kondisi kesetaraan ke nol pada saat yang sama besaran R dan L adalah kondisi yang diperlukan untuk keseimbangan. Dapat ditunjukkan bahwa itu juga cukup jika tubuh pada awalnya dalam keadaan istirahat. Dengan demikian, masalah keseimbangan direduksi menjadi dua kondisi analitis: R= 0 dan L= 0. Kedua persamaan ini mewakili notasi matematis dari prinsip keseimbangan.

Ketentuan teoritis statika banyak digunakan dalam analisis gaya yang bekerja pada struktur dan struktur. Dalam kasus distribusi gaya yang kontinu, jumlah yang memberikan momen yang dihasilkan L dan resultan R, digantikan oleh integral dan sesuai dengan metode kalkulus integral biasa.

Seringkali, bukan hanya satu, tetapi beberapa kekuatan bekerja secara bersamaan pada tubuh. Pertimbangkan kasus ketika dua gaya ( dan ) bekerja pada tubuh. Misalnya, sebuah benda yang bertumpu pada permukaan horizontal dipengaruhi oleh gravitasi () dan reaksi tumpuan permukaan () (Gbr. 1).

Kedua gaya ini dapat digantikan oleh satu, yang disebut gaya resultan (). Temukan sebagai jumlah vektor gaya dan:

Penentuan resultan dua gaya

DEFINISI

Resultan dua gaya disebut gaya yang menghasilkan efek pada benda yang mirip dengan aksi dua gaya terpisah.

Perhatikan bahwa aksi masing-masing gaya tidak bergantung pada apakah ada gaya lain atau tidak.

Hukum kedua Newton untuk resultan dua gaya

Jika dua gaya bekerja pada tubuh, maka kita menulis hukum kedua Newton sebagai:

Arah resultan selalu searah dengan arah percepatan benda.

Ini berarti bahwa jika dua gaya () bekerja pada sebuah benda pada saat yang sama, maka percepatan () dari benda ini akan berbanding lurus dengan jumlah vektor gaya-gaya ini (atau sebanding dengan gaya yang dihasilkan):

M adalah massa benda yang dipertimbangkan. Inti dari hukum kedua Newton adalah bahwa gaya yang bekerja pada tubuh menentukan bagaimana kecepatan tubuh berubah, dan bukan hanya besarnya kecepatan tubuh. Perhatikan bahwa hukum kedua Newton berlaku secara eksklusif dalam kerangka acuan inersia.

Resultan dua gaya dapat sama dengan nol jika gaya-gaya yang bekerja pada benda diarahkan ke arah yang berbeda dan sama dalam nilai mutlak.

Mencari nilai resultan dari dua gaya

Untuk menemukan resultan, perlu untuk menggambarkan pada gambar semua gaya yang harus diperhitungkan dalam masalah yang bekerja pada tubuh. Gaya harus ditambahkan sesuai dengan aturan penjumlahan vektor.

Mari kita asumsikan bahwa dua gaya bekerja pada tubuh, yang diarahkan sepanjang satu garis lurus (Gbr. 1). Dapat dilihat dari gambar bahwa mereka diarahkan ke arah yang berbeda.

Resultan gaya () yang diterapkan pada benda akan sama dengan:

Untuk menemukan modulus gaya resultan, kami memilih sumbu, dilambangkan dengan X, arahkan sepanjang arah gaya. Kemudian, memproyeksikan ekspresi (4) ke sumbu X, kita mendapatkan bahwa nilai (modulus) dari resultan (F) sama dengan:

di mana adalah modul dari kekuatan yang sesuai.

Bayangkan bahwa dua gaya bekerja pada tubuh dan diarahkan pada beberapa sudut satu sama lain (Gbr. 2). Resultan dari gaya-gaya ini ditemukan oleh aturan jajaran genjang. Nilai resultan akan sama dengan panjang diagonal jajaran genjang ini.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Latihan	Sebuah benda bermassa 2 kg digerakkan vertikal ke atas oleh seutas benang, sedangkan percepatannya adalah 1. Berapa besar dan arah resultan gaya? Kekuatan apa yang diterapkan pada tubuh?
Keputusan	Gaya gravitasi () dan gaya reaksi benang () diterapkan pada benda (Gbr. 3). Resultan dari gaya-gaya di atas dapat dicari dengan menggunakan hukum kedua Newton: Dalam proyeksi ke sumbu X, persamaan (1.1) berbentuk: Mari kita hitung besarnya gaya yang dihasilkan:
Menjawab	H, gaya resultan diarahkan dengan cara yang sama seperti percepatan gerakan tubuh, yaitu vertikal ke atas. Ada dua gaya yang bekerja pada tubuh.

Yg dihasilkan. Anda telah mengetahui bahwa dua gaya saling menyeimbangkan ketika besarnya sama dan arahnya berlawanan. Seperti, misalnya, adalah gaya gravitasi dan gaya reaksi normal yang bekerja pada sebuah buku yang tergeletak di atas meja. Dalam hal ini, resultan dari dua gaya dikatakan nol. Dalam kasus umum, resultan dari dua atau lebih gaya adalah gaya yang menghasilkan efek yang sama pada tubuh sebagai aksi simultan dari gaya-gaya ini.

Pertimbangkan berdasarkan pengalaman bagaimana menemukan resultan dari dua gaya yang diarahkan sepanjang satu garis lurus.

Mari kita menempatkan pengalaman

Mari kita letakkan balok ringan di atas permukaan meja horizontal yang halus (agar gesekan antara balok dan permukaan meja dapat diabaikan). Kami akan menarik bilah ke kanan menggunakan satu dinamometer, dan ke kiri - menggunakan dua dinamometer, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 16.3. Perlu diketahui bahwa dinamometer di sebelah kiri dipasang pada batang sehingga gaya tegangan pegas dinamometer ini berbeda.

Beras. 16.3. Bagaimana Anda dapat menemukan resultan dari dua gaya?

Kita akan melihat bahwa sebuah balok dalam keadaan diam jika modulus gaya yang menariknya ke kanan sama dengan jumlah modulus gaya yang menarik balok ke kiri. Skema percobaan ini ditunjukkan pada Gambar. 16.4.

Beras. 16.4. Representasi skematis dari gaya yang bekerja pada batang

Gaya F 3 menyeimbangkan resultan gaya F 1 dan F 2, yaitu sama dalam nilai mutlak dan berlawanan arah. Ini berarti bahwa resultan gaya-gaya F 1 dan F 2 diarahkan ke kiri (seperti gaya-gaya ini), dan modulnya sama dengan F 1 + F 2. Jadi, jika dua gaya diarahkan dengan cara yang sama, resultannya diarahkan dengan cara yang sama seperti gaya-gaya ini, dan modulus resultan sama dengan jumlah modul suku-suku gaya.

Pertimbangkan gaya F 1 . Ini menyeimbangkan resultan dari gaya F 2 dan F 3 , diarahkan berlawanan. Ini berarti bahwa resultan gaya F 2 dan F 3 diarahkan ke kanan (yaitu, ke arah yang lebih besar dari gaya-gaya ini), dan modulnya sama dengan F 3 - F 2. Jadi, jika dua gaya yang tidak sama dalam nilai absolut diarahkan secara berlawanan, resultan mereka diarahkan sebagai yang terbesar dari gaya-gaya ini, dan modul dari resultan sama dengan perbedaan antara modul dari gaya yang lebih besar dan lebih kecil.

Menemukan resultan dari beberapa gaya disebut penambahan gaya-gaya ini.

Dua gaya diarahkan sepanjang garis lurus yang sama. Modulus satu gaya sama dengan 1 N, dan modulus gaya lain sama dengan 2 N. Dapatkah modulus resultan gaya-gaya ini sama dengan: a) nol; b) 1 N; c) 2N; d) 3N?