Berpusat pada satu titik A.
α adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.

Definisi
sinus adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki di hadapannya |BC| dengan panjang sisi miring |AC|.

Cosinus (cos ) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang sisi miring |AC|.

Sebutan yang diterima

;
;
.

;
;
.

Grafik fungsi sinus, y = sin x

Grafik fungsi kosinus, y = cos x

Sifat-sifat sinus dan cosinus

Periodisitas

Fungsi y= dosa x dan y= cos x periodik dengan periode 2.

Keseimbangan

Fungsi sinus ganjil. Fungsi kosinus genap.

Domain definisi dan nilai, ekstrem, naik, turun

Fungsi sinus dan kosinus kontinu pada domain definisinya, yaitu untuk semua x (lihat bukti kontinuitas). Properti utama mereka disajikan dalam tabel (n - integer).

	y= dosa x	y= cos x
Cakupan dan kontinuitas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Jarak nilai	-1 y 1	-1 y 1
naik
Menurun
Maksimum, y= 1
Minimal, y = - 1
Nol, y= 0
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	y= 0	y= 1

Rumus Dasar

Jumlah kuadrat sinus dan cosinus

Rumus sinus dan kosinus untuk jumlah dan selisih

;
;

Rumus perkalian sinus dan cosinus

Rumus jumlah dan selisih

Ekspresi sinus melalui cosinus

;
;
;
.

Ekspresi cosinus melalui sinus

;
;
;
.

Ekspresi dalam hal tangen

; .

Untuk , kita memiliki:
; .

Pada :
; .

Tabel sinus dan cosinus, garis singgung dan kotangen

Tabel ini menunjukkan nilai sinus dan cosinus untuk beberapa nilai argumen.

Ekspresi melalui variabel kompleks

;

rumus Euler

Ekspresi dalam hal fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; . Turunan rumus > > >

Turunan dari orde ke-n:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekan, sekan

Fungsi terbalik

Fungsi kebalikan dari sinus dan cosinus adalah arcsinus dan arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Salah satu cabang matematika yang dengannya anak sekolah mengatasi kesulitan terbesar adalah trigonometri. Tidak heran: untuk menguasai bidang pengetahuan ini dengan bebas, Anda memerlukan pemikiran spasial, kemampuan menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan dapat menggunakan angka pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang dikembangkan atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logis yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Mengenal ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, kosinus, dan tangen sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mencari tahu apa yang dilakukan trigonometri secara umum.

Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek studi utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari bagian matematika ini.

Studi trigonometri di sekolah hari ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.

trigonometri bola

Kemudian, ketika sains mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan yang berbeda berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya, setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, adalah cembung, yang berarti bahwa setiap tanda permukaan akan "berbentuk busur" di ruang tiga dimensi.

Ambil globe dan benang. Pasang utas ke dua titik mana pun di globe sehingga kencang. Perhatikan - ia telah memperoleh bentuk busur. Dengan bentuk-bentuk seperti itulah geometri bola, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya, berkaitan.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, cosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuan mereka dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa, menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.

Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Akhirnya, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometris, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Cosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa baik sinus maupun cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasio mereka akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, cari kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.

Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang bersebelahan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan kosinus. Lihat: menurut rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membagi dengan panjang sisi kedua dan dikalikan dengan sisi miring. Dengan demikian, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi tangen.

Kotangen, masing-masing, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut ke sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan garis singgung.

Jadi, kami telah mempertimbangkan definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, dan kami dapat menangani rumus.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa mereka? Dan inilah tepatnya yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui ketika mulai belajar trigonometri mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat dari garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi dengan kuadrat dari kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: lagi pula, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen dan kotangen, aturan konversi dan beberapa rumus dasar, Anda dapat setiap saat secara mandiri memperoleh rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penambahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus untuk jumlah dan selisih sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, produk berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya diturunkan dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat dikonversi untuk menurunkan derajat sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan tangen, dan karenanya luas gambar, dan ukuran setiap sisi, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil dari membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang berisi semua titik dari segitiga yang diberikan.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke sembarang segitiga. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi produknya, dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan dengannya - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan karena kurangnya perhatian

Bahkan mengetahui apa itu sinus, cosinus dan tangen, mudah untuk membuat kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari berkenalan dengan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan biasa menjadi desimal sampai hasil akhir diperoleh - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali jika kondisinya menyatakan sebaliknya. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut ide penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka "jelek".

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali perkalian sisi-sisi dikalikan dengan kosinus sudut di antara mereka, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman total tentang subjek. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung nilai untuk sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena mereka tidak memahami makna terapannya. Apa sinus, kosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep berkat yang Anda dapat menghitung jarak ke bintang-bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil untuk membangun sebuah bangunan, merancang mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanya contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi Anda sinus, cosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil memecahkan masalah sekolah.

Seluruh esensi trigonometri bermuara pada fakta bahwa parameter yang tidak diketahui harus dihitung dari parameter segitiga yang diketahui. Ada enam parameter secara total: panjang tiga sisi dan besar tiga sudut. Seluruh perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.

Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui, sekarang Anda sudah tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari masalah trigonometri adalah untuk menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini Anda akan dibantu oleh matematika sekolah biasa.

Kami memulai studi trigonometri kami dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen dari sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.

Ingat itu sudut kanan adalah sudut yang besarnya sama dengan 90 derajat. Dengan kata lain, setengah dari sudut yang tidak dilipat.

Sudut tajam- kurang dari 90 derajat.

Sudut tumpul- lebih besar dari 90 derajat. Sehubungan dengan sudut seperti itu, "tumpul" bukanlah penghinaan, tetapi istilah matematika :-)

Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan . Perhatikan bahwa sisi di seberang sudut dilambangkan dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang terletak di seberang sudut A dilambangkan.

Sebuah sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sesuai.

Sisi miring Segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Kaki- sisi berlawanan sudut tajam.

Kaki yang berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya, yang terletak di satu sisi sudut, disebut bersebelahan.

sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:

Kosinus sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Garis singgung sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berlawanan dengan yang berdekatan:

Definisi lain (setara): garis singgung sudut lancip adalah rasio sinus suatu sudut terhadap kosinusnya:

Kotangens sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan (atau, setara, rasio cosinus dengan sinus):

Perhatikan rasio dasar untuk sinus, cosinus, tangen dan kotangen, yang diberikan di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita dalam memecahkan masalah.

Mari kita buktikan beberapa di antaranya.

Oke, kami telah memberikan definisi dan rumus tertulis. Tetapi mengapa kita membutuhkan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut setiap segitiga adalah.

Kita tahu hubungan antara Para Pihak segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .

Ternyata mengetahui dua sudut dalam segitiga, Anda dapat menemukan yang ketiga. Mengetahui dua sisi dalam segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan yang ketiga. Jadi, untuk sudut - rasionya, untuk sisi - miliknya. Tetapi apa yang harus dilakukan jika dalam segitiga siku-siku satu sudut (kecuali yang siku-siku) dan satu sisi diketahui, tetapi Anda perlu menemukan sisi lain?

Inilah yang dihadapi orang-orang di masa lalu, membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.

Sinus, cosinus dan tangen - mereka juga disebut fungsi trigonometri sudut- berikan perbandingan antara Para Pihak dan sudut segi tiga. Mengetahui sudutnya, Anda dapat menemukan semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan mengetahui sinus, cosinus dan garis singgung dari sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat menemukan sisanya.

Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.

Perhatikan dua garis merah di tabel. Untuk nilai sudut yang sesuai, garis singgung dan kotangen tidak ada.

Mari kita analisa beberapa soal trigonometri dari tugas Bank FIPI.

1. Dalam segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .

Masalahnya diselesaikan dalam empat detik.

Sejauh , .

2. Dalam segitiga, sudutnya adalah , , . Menemukan .

Mari kita cari dengan teorema Pythagoras.

Masalah terpecahkan.

Seringkali dalam masalah ada segitiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan . Hafalkan rasio dasar untuk mereka dengan hati!

Untuk segitiga dengan sudut dan kaki di depan sudut di sama dengan setengah dari hipotenusa.

Segitiga dengan sudut dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya kali lebih besar dari kaki.

Kami mempertimbangkan masalah untuk memecahkan segitiga siku-siku - yaitu, untuk menemukan sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tapi itu tidak semua! Dalam varian ujian dalam matematika, ada banyak tugas di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen dari sudut luar segitiga muncul. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.

Saya tidak akan meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk lembar contekan pada trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa lembar contekan diperlukan dan bagaimana lembar contekan berguna. Dan di sini - informasi tentang bagaimana tidak belajar, tetapi untuk mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penambahan:

cosinus selalu "berpasangan": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus "tidak memadai". Mereka "semuanya salah", jadi mereka mengubah tanda: "-" menjadi "+", dan sebaliknya.

Sinus - "campuran": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

kosinus selalu "berpasangan". Setelah menambahkan dua cosinus - "roti", kami mendapatkan sepasang cosinus - "kolobok". Dan dikurangi, kita pasti tidak akan mendapatkan kolobok. Kami mendapatkan beberapa sinus. Masih dengan minus di depan.

Sinus - "campuran" :

3. Rumus untuk mengubah produk menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan sepasang cosinus? Saat menambahkan kosinus. Jadi

Kapan kita mendapatkan sepasang sinus? Saat mengurangkan kosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya ambil tambahan:

Dalam rumus pertama dan ketiga dalam tanda kurung - jumlahnya. Dari penataan ulang tempat istilah, jumlahnya tidak berubah. Urutannya penting hanya untuk formula kedua. Tapi, agar tidak bingung, untuk memudahkan mengingat, pada ketiga rumus di kurung pertama kita ambil selisihnya

dan kedua, jumlah

Seprai buaian di saku Anda memberikan ketenangan pikiran: jika Anda lupa formulanya, Anda dapat menghapusnya. Dan mereka memberi kepercayaan: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, rumusnya dapat dengan mudah diingat.