Untuk mempelajari fungsi secara lengkap dan memplot grafiknya, disarankan untuk menggunakan skema berikut:

1) menemukan ruang lingkup fungsi;

2) temukan titik diskontinuitas fungsi dan asimtot vertikal (jika ada);

3) menyelidiki perilaku fungsi di tak hingga, menemukan asimtot horizontal dan miring;

4) menyelidiki fungsi kemerataan (keanehan) dan periodisitas (untuk fungsi trigonometri);

5) menemukan ekstrem dan interval monotonisitas fungsi;

6) menentukan interval titik cembung dan titik belok;

7) temukan titik potong dengan sumbu koordinat, jika memungkinkan, dan beberapa titik tambahan yang menyempurnakan grafik.

Studi fungsi dilakukan bersamaan dengan konstruksi grafiknya.

Contoh 9 Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.

1. Domain definisi: ;

2. Fungsi putus di titik
,
;

Kami menyelidiki fungsi untuk keberadaan asimtot vertikal.

;
,
asimtot vertikal.

;
,
asimtot vertikal.

3. Kami menyelidiki fungsi untuk keberadaan asimtot miring dan horizontal.

Lurus
asimtot miring, jika
,
.

,
.

Lurus
asimtot horizontal.

4. Fungsi genap karena
. Paritas fungsi menunjukkan simetri grafik terhadap sumbu y.

5. Temukan interval monotonisitas dan ekstrem dari fungsi tersebut.

Mari kita cari titik kritisnya, mis. poin di mana turunannya adalah 0 atau tidak ada:
;
. Kami memiliki tiga poin
;

. Titik-titik ini membagi seluruh sumbu nyata menjadi empat interval. Mari kita tentukan tanda-tandanya pada masing-masing.

Pada interval (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsi meningkat, pada interval (0; 1) dan (1; +∞) fungsi menurun. Ketika melewati suatu titik
turunan berubah tanda dari plus ke minus, oleh karena itu, pada titik ini, fungsinya memiliki maksimum
.

6. Mari kita cari interval konveksitas, titik belok.

Ayo temukan titik dimana adalah 0, atau tidak ada.

tidak memiliki akar nyata.
,
,

poin
dan
membagi sumbu nyata menjadi tiga interval. Mari kita tentukan tandanya pada setiap interval.

Jadi, kurva pada interval
dan
cembung ke bawah, pada interval (-1;1) cembung ke atas; tidak ada titik belok, karena fungsi pada titik
dan
tidak ditentukan.

7. Temukan titik potong dengan sumbu.

dengan poros
grafik fungsi berpotongan di titik (0; -1), dan dengan sumbu
grafik tidak berpotongan, karena pembilang fungsi ini tidak memiliki akar real.

Grafik dari fungsi yang diberikan ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1 Grafik fungsi

Penerapan konsep turunan dalam ilmu ekonomi. Elastisitas fungsi

Untuk mempelajari proses ekonomi dan memecahkan masalah terapan lainnya, konsep elastisitas fungsi sering digunakan.

Definisi. Elastisitas fungsi
disebut batas rasio kenaikan relatif fungsi dengan kenaikan relatif dari variabel pada
, . (VII)

Elastisitas suatu fungsi menunjukkan kira-kira berapa persen fungsi tersebut akan berubah
saat mengubah variabel bebas sebesar 1%.

Elastisitas suatu fungsi digunakan dalam analisis permintaan dan konsumsi. Jika elastisitas permintaan (dalam nilai absolut)
, maka permintaan dianggap elastis jika
netral jika
tidak elastis terhadap harga (atau pendapatan).

Contoh 10 Hitung elastisitas suatu fungsi
dan tentukan nilai indeks elastisitas untuk = 3.

Solusi: menurut rumus (VII) elastisitas fungsi:

Misal x=3 maka
Artinya jika variabel bebas meningkat sebesar 1%, maka nilai variabel terikat akan meningkat sebesar 1,42%.

Contoh 11 Biarkan fungsi permintaan mengenai harga memiliki bentuk
, di mana koefisien konstan. Tentukan nilai indeks elastisitas fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit

Solusi: hitung elastisitas fungsi permintaan menggunakan rumus (VII)

Asumsi
satuan moneter, kita peroleh
. Ini berarti bahwa pada harga
satuan moneter kenaikan harga sebesar 1% akan menyebabkan penurunan permintaan sebesar 6%, yaitu permintaan bersifat elastis.

Studi fungsi dilakukan menurut skema yang jelas dan mengharuskan siswa untuk memiliki pengetahuan yang kuat tentang konsep matematika dasar seperti domain definisi dan nilai, kontinuitas fungsi, asimtot, titik ekstrem, paritas, periodisitas, dll. Siswa harus bebas membedakan fungsi dan menyelesaikan persamaan, yang terkadang sangat rumit.

Artinya, tugas ini menguji lapisan pengetahuan yang signifikan, celah apa pun yang akan menjadi hambatan untuk mendapatkan solusi yang tepat. Terutama sering kesulitan muncul dengan konstruksi grafik fungsi. Kesalahan ini segera menarik perhatian guru dan dapat sangat merusak nilai Anda, bahkan jika semuanya dilakukan dengan benar. Di sini Anda dapat menemukan tugas untuk mempelajari fungsi online: contoh belajar, download solusi, order tugas.

Selidiki Fungsi dan Plot: Contoh dan Solusi Online

Kami telah menyiapkan banyak studi fitur siap pakai untuk Anda, baik yang berbayar di buku solusi, maupun gratis di bagian Contoh Riset Fitur. Berdasarkan tugas-tugas yang diselesaikan ini, Anda akan dapat berkenalan secara rinci dengan metodologi untuk melakukan tugas-tugas tersebut, dengan analogi, melakukan penelitian Anda sendiri.

Kami menawarkan contoh siap pakai dari studi lengkap dan plot fungsi dari jenis yang paling umum: polinomial, fraksional-rasional, irasional, eksponensial, logaritmik, fungsi trigonometri. Setiap masalah yang diselesaikan disertai dengan grafik yang sudah jadi dengan titik-titik kunci yang dipilih, asimtot, maxima dan minima, penyelesaiannya dilakukan sesuai dengan algoritma untuk mempelajari fungsi.

Contoh yang diselesaikan, bagaimanapun, akan sangat membantu Anda, karena mencakup jenis fungsi yang paling populer. Kami menawarkan kepada Anda ratusan soal yang sudah terpecahkan, tetapi, seperti yang Anda ketahui, ada banyak sekali fungsi matematika di dunia, dan guru adalah pakar hebat dalam menciptakan tugas yang semakin rumit untuk siswa miskin. Jadi, para siswa yang terkasih, bantuan yang memenuhi syarat tidak akan menyakiti Anda.

Memecahkan masalah untuk mempelajari fungsi untuk memesan

Dalam hal ini, mitra kami akan menawarkan Anda layanan lain - penelitian fungsi penuh online untuk memesan. Tugas akan diselesaikan untuk Anda sesuai dengan semua persyaratan untuk algoritme untuk menyelesaikan masalah seperti itu, yang akan sangat menyenangkan guru Anda.

Kami akan melakukan studi lengkap fungsi untuk Anda: kami akan menemukan domain definisi dan rentang nilai, memeriksa kontinuitas dan diskontinuitas, mengatur paritas, memeriksa fungsi Anda untuk periodisitas, menemukan titik potong dengan sumbu koordinat . Dan, tentu saja, lebih lanjut dengan bantuan kalkulus diferensial: kita akan menemukan asimtot, menghitung ekstrem, titik belok, membangun grafik itu sendiri.

Titik acuan dalam mempelajari fungsi dan konstruksi grafiknya adalah titik karakteristik - titik diskontinuitas, ekstrem, belok, perpotongan dengan sumbu koordinat. Dengan bantuan kalkulus diferensial, dimungkinkan untuk menetapkan fitur karakteristik dari perubahan fungsi: kenaikan dan penurunan, maksima dan minima, arah kecembungan dan kecekungan grafik, keberadaan asimtot.

Sketsa grafik fungsi dapat (dan seharusnya) dibuat sketsa setelah menemukan asimtot dan titik ekstrem, dan akan lebih mudah untuk mengisi tabel ringkasan studi fungsi selama studi.

Biasanya, skema penelitian fungsi berikut digunakan.

1.Temukan domain, interval kontinuitas, dan breakpoint dari suatu fungsi.

2.Periksa fungsi genap atau ganjil (simetri aksial atau pusat dari grafik.

3.Temukan asimtot (vertikal, horizontal atau miring).

4.Temukan dan selidiki interval kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Temukan interval kecembungan dan kecekungan kurva, titik beloknya.

6.Temukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat, jika ada.

7.Buatlah ringkasan tabel penelitian.

8.Bangun grafik, dengan mempertimbangkan studi fungsi, yang dilakukan sesuai dengan poin di atas.

Contoh. Jelajahi Fungsi

dan merencanakannya.

7. Mari kita buat tabel ringkasan studi fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik karakteristik dan interval di antara mereka. Mengingat paritas fungsi, kita mendapatkan tabel berikut:

				Fitur grafik
[-1, 0[			meningkat	Cembung
				(0; 1) – poin maksimum
]0, 1[			berkurang	Cembung
				Titik belok, terbentuk dengan sumbu Sapi sudut tumpul

Lakukan studi lengkap dan plot grafik fungsi

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Lingkup fungsi. Karena fungsinya adalah pecahan, Anda perlu mencari nol penyebutnya.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Kami mengecualikan satu-satunya titik x=1x=1 dari area definisi fungsi dan mendapatkan:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Mari kita pelajari perilaku fungsi di sekitar titik diskontinuitas. Temukan batas satu sisi:

Karena limitnya sama dengan tak hingga, titik x=1x=1 adalah diskontinuitas jenis kedua, garis x=1x=1 adalah asimtot vertikal.

3) Tentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.

Mari kita cari titik potong dengan sumbu ordinat OyOy, yang kita samakan x=0x=0:

Dengan demikian, titik potong dengan sumbu OyOy memiliki koordinat (0;8)(0;8).

Mari kita cari titik potong dengan sumbu absis OxOx, yang kita tetapkan y=0y=0:

Persamaan tidak memiliki akar, sehingga tidak ada titik potong dengan sumbu OxOx.

Perhatikan bahwa x2+8>0x2+8>0 untuk xx apa pun. Oleh karena itu, untuk x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), fungsi y>0y>0 (bernilai positif, grafik berada di atas sumbu x), untuk x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) fungsi y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil karena:

5) Kami menyelidiki fungsi untuk periodisitas. Fungsi ini tidak periodik, karena merupakan fungsi rasional pecahan.

6) Kami menyelidiki fungsi untuk ekstrem dan monotonisitas. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan pertama dari fungsi:

Mari kita samakan turunan pertama dengan nol dan mencari titik-titik stasioner (di mana y′=0y′=0):

Kami mendapatkan tiga titik kritis: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Kami membagi seluruh domain fungsi menjadi interval dengan titik-titik yang diberikan dan menentukan tanda-tanda turunan di setiap interval:

Untuk x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) turunan y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Untuk x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) turunan y′>0y′>0, fungsi meningkat pada interval ini.

Dalam hal ini, x=−2x=−2 adalah titik minimum lokal (fungsi menurun dan kemudian meningkat), x=4x=4 adalah titik maksimum lokal (fungsi meningkat dan kemudian menurun).

Mari kita cari nilai fungsi pada titik-titik ini:

Jadi, titik minimumnya adalah (−2;4)(−2;4), titik maksimumnya adalah (4;−8)(4;−8).

7) Kami memeriksa fungsi untuk ketegaran dan kecembungan. Mari kita cari turunan kedua dari fungsi:

Samakan turunan kedua dengan nol:

Persamaan yang dihasilkan tidak memiliki akar, sehingga tidak ada titik belok. Selain itu, ketika x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 dipenuhi, yaitu, fungsi cekung ketika x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Kami menyelidiki perilaku fungsi di tak terhingga, yaitu di .

Karena batasnya tidak terbatas, tidak ada asimtot horizontal.

Mari kita coba menentukan asimtot miring dari bentuk y=kx+by=kx+b. Kami menghitung nilai k,bk,b sesuai dengan rumus yang diketahui:

Kami menemukan bahwa fungsi tersebut memiliki satu asimtot miring y=−x−1y=−x−1.

9) Poin tambahan. Mari kita hitung nilai fungsi di beberapa titik lain untuk membuat grafik dengan lebih akurat.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membuat grafik, melengkapinya dengan asimtot x=1x=1 (biru), y=−x−1y=−x−1 (hijau) dan menandai titik-titik karakteristik (perpotongan dengan y -sumbu berwarna ungu, ekstrem berwarna oranye, titik tambahan berwarna hitam):

Tugas 4: Geometris, Masalah ekonomi (Saya tidak tahu apa, berikut adalah pilihan perkiraan masalah dengan solusi dan rumus)

Contoh 3.23. sebuah

Keputusan. x dan kamu kamu
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunan berubah ketika melewati titik ini. Untuk xa/4 S "> 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24.

Keputusan.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22. Tentukan ekstrem dari fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Keputusan. Karena f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem dapat hanya berada di titik-titik ini. Jadi ketika melewati titik x 1 \u003d 2, turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik ini fungsinya memiliki maksimum.Ketika melewati titik x 2 \u003d 3, turunan berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsi memiliki minimum.Menghitung nilai fungsi dalam poin
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita temukan ekstrem dari fungsi tersebut: f(2) maksimum = 14 dan minimum f(3) = 13.

Contoh 3.23. Perlu untuk membangun area persegi panjang di dekat dinding batu sehingga dipagari dengan wire mesh di tiga sisi, dan berdampingan dengan dinding di sisi keempat. Untuk ini ada sebuah meter linier dari grid. Pada rasio aspek apa situs akan memiliki area terbesar?

Keputusan. Tunjukkan sisi situs melalui x dan kamu. Luas situs adalah S = xy. Biarlah kamu adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka, dengan syarat, persamaan 2x + y = a harus berlaku. Oleh karena itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), di mana
0 x a/2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S "= a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunan berubah ketika melewati titik ini. Untuk xa/4 S "> 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24. Diperlukan untuk membuat tangki silinder tertutup dengan kapasitas V=16p 50 m 3 . Berapa dimensi tangki (jari-jari R dan tinggi H) agar dapat menggunakan bahan paling sedikit untuk pembuatannya?

Keputusan. Luas permukaan total silinder adalah S = 2pR(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = pR 2 H H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Jadi, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 untuk R 3 \u003d 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informasi serupa.

Untuk beberapa waktu sekarang, di TheBat (tidak jelas untuk alasan apa), database sertifikat bawaan untuk SSL tidak lagi berfungsi dengan benar.

Saat memeriksa pos, kesalahan muncul:

Sertifikat CA tidak dikenal
Server tidak menampilkan sertifikat root dalam sesi dan sertifikat root yang sesuai tidak ditemukan di buku alamat.
Hubungan ini tidak bisa dirahasiakan. Sama sama
hubungi administrator server Anda.

Dan ditawarkan pilihan jawaban - YA / TIDAK. Dan setiap kali Anda menembak surat.

Keputusan

Dalam hal ini, Anda perlu mengganti standar implementasi S/MIME dan TLS dengan Microsoft CryptoAPI di TheBat!

Karena saya perlu menggabungkan semua file menjadi satu, pertama-tama saya mengonversi semua file doc menjadi satu file pdf (menggunakan program Acrobat), dan kemudian mentransfernya ke fb2 melalui konverter online. Anda juga dapat mengonversi file satu per satu. Format dapat benar-benar apa saja (sumber) dan dokumen, dan jpg, dan bahkan arsip zip!

Nama situs sesuai dengan esensi :) Photoshop Online.

Perbarui Mei 2015

Saya menemukan situs hebat lainnya! Bahkan lebih nyaman dan fungsional untuk membuat kolase yang sepenuhnya sewenang-wenang! Situs ini adalah http://www.fotor.com/ru/collage/ . Gunakan pada kesehatan. Dan saya akan menggunakannya sendiri.

Menghadapi hidup dengan perbaikan kompor listrik. Saya sudah melakukan banyak hal, belajar banyak, tetapi entah bagaimana saya tidak banyak berhubungan dengan ubin. Itu perlu untuk mengganti kontak pada regulator dan pembakar. Timbul pertanyaan - bagaimana cara menentukan diameter pembakar pada kompor listrik?

Jawabannya ternyata sederhana. Tidak perlu mengukur apa pun, Anda dapat dengan tenang menentukan dengan mata ukuran apa yang Anda butuhkan.

Pembakar terkecil adalah 145 milimeter (14,5 sentimeter)

Pembakar sedang adalah 180 milimeter (18 sentimeter).

Dan akhirnya yang paling pembakar besar adalah 225 milimeter (22,5 sentimeter).

Cukup menentukan ukuran dengan mata dan memahami diameter pembakar yang Anda butuhkan. Ketika saya tidak tahu ini, saya melonjak dengan ukuran ini, saya tidak tahu bagaimana mengukur, tepi mana yang harus dinavigasi, dll. Sekarang saya bijak :) Saya harap ini membantu Anda juga!

Dalam hidup saya, saya menghadapi masalah seperti itu. Saya pikir saya bukan satu-satunya.