\[(\Large(\text(Sudut Tengah dan Tertulis))))\]

definisi

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terletak di pusat lingkaran.

Sudut siku-siku adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Besaran derajat busur suatu lingkaran adalah besaran derajat sudut pusat yang terletak di atasnya.

Dalil

Besar sudut yang digariskan adalah setengah dari panjang busur yang dipotongnya.

Bukti

Kami akan melakukan pembuktian dalam dua tahap: pertama, kami membuktikan validitas pernyataan untuk kasus ketika salah satu sisi dari sudut yang ditulis memiliki diameter. Misalkan titik \(B\) adalah titik sudut dari sudut \(ABC\) dan \(BC\) adalah diameter lingkaran:

Segitiga \(AOB\) sama kaki, \(AO = OB\) , \(\sudut AOC\) luar, maka \(\sudut AOC = \sudut OAB + \sudut ABO = 2\sudut ABC\), di mana \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Sekarang pertimbangkan sudut tertulis sewenang-wenang \(ABC\) . Gambarkan diameter lingkaran \(BD\) dari titik sudut yang tertulis. Dua kasus yang mungkin:

1) diameter memotong sudut menjadi dua sudut \(\sudut ABD, \sudut CBD\) (untuk masing-masing teorema yang benar seperti yang dibuktikan di atas, oleh karena itu juga benar untuk sudut asli, yang merupakan jumlah dari ini dua dan karenanya sama dengan setengah jumlah busur tempat mereka bersandar, yaitu, sama dengan setengah dari busur tempat ia bersandar). Beras. satu.

2) diameter tidak memotong sudut menjadi dua sudut, maka kita memiliki dua sudut baru lagi \(\angle ABD, \angle CBD\) , yang sisinya berisi diameter, oleh karena itu, teoremanya benar untuk mereka, maka itu juga berlaku untuk sudut asli (yang sama dengan selisih dua sudut ini, yang berarti sama dengan selisih setengah busur tempat mereka berada, yaitu, sama dengan setengah busur tempat sudut itu berada). istirahat). Beras. 2.

Konsekuensi

1. Sudut bertulisan yang didasarkan pada busur yang sama adalah sama besar.

2. Sudut bertulis berdasarkan setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

3. Suatu sudut siku-siku sama dengan setengah sudut pusat berdasarkan busur yang sama.

\[(\Large(\text(Singgung lingkaran)))\]

definisi

Susunan garis dan lingkaran ada tiga macam, yaitu:

1) garis \(a\) memotong lingkaran di dua titik. Garis seperti itu disebut garis potong. Dalam hal ini, jarak \(d\) dari pusat lingkaran ke garis lurus kurang dari jari-jari \(R\) lingkaran (Gbr. 3).

2) garis \(b\) memotong lingkaran di satu titik. Garis lurus seperti itu disebut garis singgung, dan titik persekutuannya \(B\) disebut titik singgung. Dalam hal ini \(d=R\) (Gbr. 4).

Dalil

1. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak.

2. Jika garis melewati ujung jari-jari lingkaran dan tegak lurus dengan jari-jari tersebut, maka garis tersebut menyinggung lingkaran.

Konsekuensi

Ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik ke lingkaran adalah sama besar.

Bukti

Gambar dua garis singgung \(KA\) dan \(KB\) ke lingkaran dari titik \(K\):

Jadi \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sebagai jari-jari. Segitiga siku-siku \(\segitiga KAO\) dan \(\segitiga KBO\) adalah sama kaki dan sisi miring, maka \(KA=KB\) .

Konsekuensi

Pusat lingkaran \(O\) terletak pada garis bagi sudut \(AKB\) yang dibentuk oleh dua garis singgung yang ditarik dari titik yang sama \(K\) .

\[(\Large(\text(Teorema terkait dengan sudut))))\]

Teorema tentang sudut antara garis potong

Sudut antara dua garis potong yang ditarik dari titik yang sama sama dengan selisih setengah derajat busur yang lebih besar dan lebih kecil yang dipotong olehnya.

Bukti

Biarkan \(M\) menjadi titik dari mana dua garis potong ditarik seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Mari kita tunjukkan itu \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) adalah sudut terluar dari segitiga \(MAD\) , maka \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), di mana \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), tetapi sudut \(\angle DAB\) dan \(\angle MDA\) ditulis, maka \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), yang harus dibuktikan.

Teorema sudut antara akord berpotongan

Sudut antara dua tali busur yang berpotongan sama dengan setengah jumlah derajat busur yang dipotongnya: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Bukti

\(\angle BMA = \angle CMD\) sebagai vertikal.

Dari segitiga \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Tetapi \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), dari mana kita menyimpulkan bahwa \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ senyum\over(CD)).\]

Teorema tentang sudut antara tali busur dan garis singgung

Sudut antara garis singgung dan tali busur yang melalui titik singgung sama dengan setengah derajat busur dikurangi dengan tali busur.

Bukti

Biarkan garis \(a\) menyentuh lingkaran pada titik \(A\) , \(AB\) menjadi tali busur lingkaran ini, \(O\) menjadi pusatnya. Biarkan garis yang memuat \(OB\) berpotongan \(a\) di titik \(M\) . Ayo buktikan \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Menunjukkan \(\angle OAB = \alpha\) . Karena \(OA\) dan \(OB\) adalah jari-jari, maka \(OA = OB\) dan \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Dengan demikian, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Karena \(OA\) adalah jari-jari yang ditarik ke titik singgung, maka \(OA\perp a\) , yaitu \(\angle OAM = 90^\circ\) , oleh karena itu, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema tentang busur yang dikontrak oleh akord yang sama

Akord yang sama membentuk busur yang sama, setengah lingkaran yang lebih kecil.

Dan sebaliknya: busur yang sama dikontrak oleh akord yang sama.

Bukti

1) Biarkan \(AB=CD\) . Mari kita buktikan bahwa setengah lingkaran yang lebih kecil dari busur .

Oleh karena itu, pada tiga sisi \(\angle AOB=\angle COD\) . Tapi sejak \(\angle AOB, \angle COD\) - sudut pusat berdasarkan busur \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) masing-masing, maka \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Jika \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), kemudian \(\segitiga AOB=\segitiga COD\) sepanjang dua sisi \(AO=BO=CO=DO\) dan sudut di antara mereka \(\angle AOB=\angle COD\) . Oleh karena itu, \(AB=CD\) .

Dalil

Jika sebuah jari-jari membagi sebuah tali busur, maka tali tersebut tegak lurus terhadap tali tersebut.

Kebalikannya juga benar: jika jari-jari tegak lurus tali busur, maka titik potongnya membagi dua.

Bukti

1) Biarkan \(AN=NB\) . Mari kita buktikan bahwa \(OQ\perp AB\) .

Pertimbangkan \(\segitiga AOB\) : itu adalah sama kaki, karena \(OA=OB\) – jari-jari lingkaran. Karena \(ON\) adalah median yang ditarik ke alas, maka itu juga tingginya, maka \(ON\perp AB\) .

2) Biarkan \(OQ\perp AB\) . Mari kita buktikan bahwa \(AN=NB\) .

Demikian pula, \(\triangle AOB\) adalah sama kaki, \(ON\) adalah tinggi, jadi \(ON\) adalah median. Oleh karena itu, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teorema terkait dengan panjang segmen)))\]

Teorema tentang produk segmen akord

Jika dua tali busur lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.

Bukti

Biarkan akord \(AB\) dan \(CD\) berpotongan di titik \(E\) .

Pertimbangkan segitiga \(ADE\) dan \(CBE\) . Dalam segitiga-segitiga ini, sudut \(1\) dan \(2\) adalah sama, karena mereka ditulis dan bergantung pada busur yang sama \(BD\) , dan sudut \(3\) dan \(4\) adalah sama dengan vertikal. Segitiga \(ADE\) dan \(CBE\) sebangun (menurut kriteria kesamaan segitiga pertama).

Kemudian \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), dari mana \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema tangen dan secan

Kuadrat segmen singgung sama dengan produk garis potong dan bagian luarnya.

Bukti

Biarkan garis singgung melewati titik \(M\) dan menyentuh lingkaran di titik \(A\) . Biarkan garis potong melalui titik \(M\) dan memotong lingkaran di titik \(B\) dan \(C\) sehingga \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Perhatikan segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) : \(\angle M\) adalah umum, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Berdasarkan teorema sudut antara garis singgung dan garis potong, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Jadi, segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) sebangun pada dua sudut.

Dari persamaan segitiga \(MBA\) dan \(MCA\) kita peroleh: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), yang setara dengan \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Konsekuensi

Hasil kali garis potong yang ditarik dari titik \(O\) dan bagian luarnya tidak bergantung pada pilihan garis potong yang ditarik dari titik \(O\) .

Paling sering, proses persiapan ujian dalam matematika dimulai dengan pengulangan definisi dasar, rumus dan teorema, termasuk topik "Pusat dan tertulis dalam sudut lingkaran." Sebagai aturan, bagian planimetri ini dipelajari di sekolah menengah. Tidak mengherankan jika banyak siswa dihadapkan pada kebutuhan untuk mengulang konsep dasar dan teorema pada topik “Sudut Pusat Lingkaran”. Setelah menemukan algoritme untuk menyelesaikan masalah seperti itu, anak-anak sekolah akan dapat mengandalkan untuk mendapatkan poin kompetitif berdasarkan hasil lulus ujian negara terpadu.

Bagaimana cara mempersiapkan ujian sertifikasi dengan mudah dan efektif?

Belajar sebelum lulus ujian negara terpadu, banyak siswa sekolah menengah dihadapkan pada masalah menemukan informasi yang diperlukan tentang topik "Sudut pusat dan tertulis dalam lingkaran." Tidak selalu buku pelajaran sekolah ada di tangan. Dan mencari rumus di internet terkadang memakan banyak waktu.

Portal pendidikan kami akan membantu Anda untuk "memompa" keterampilan Anda dan meningkatkan pengetahuan Anda di bagian geometri yang sulit seperti planimetri. Shkolkovo mengundang siswa sekolah menengah dan guru mereka untuk membangun proses persiapan ujian negara terpadu dengan cara baru. Semua materi dasar disajikan oleh spesialis kami dalam bentuk yang paling mudah diakses. Setelah meninjau informasi di bagian "Referensi Teoritis", siswa akan mempelajari sifat-sifat apa yang dimiliki sudut pusat lingkaran, bagaimana menemukan nilainya, dll.

Kemudian, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dan mengembangkan keterampilan, kami menyarankan Anda melakukan latihan yang sesuai. Banyak pilihan tugas untuk menemukan nilai sudut yang tertulis dalam lingkaran dan parameter lainnya disajikan di bagian Katalog. Untuk setiap latihan, para ahli kami menuliskan solusi terperinci dan menunjukkan jawaban yang benar. Daftar tugas di situs ini terus ditambah dan diperbarui.

Siswa sekolah menengah dapat mempersiapkan ujian dengan mempraktikkan latihan, misalnya, menemukan nilai sudut pusat dan panjang busur lingkaran, online, berada di wilayah Rusia mana pun.

Jika perlu, tugas yang telah selesai dapat disimpan di bagian "Favorit" untuk kembali lagi nanti dan sekali lagi menganalisis prinsip solusinya.

LINGKARAN DAN LINGKARAN. SILINDER.

76. Tertulis dan BEBERAPA SUDUT LAINNYA.

1. Sudut tertulis.

Sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran dan sisi-sisinya adalah tali busur disebut sudut siku-siku.

Sudut ABC adalah sudut bertulisan. Itu bertumpu pada busur AC yang tertutup di antara sisi-sisinya (Gbr. 330).

Dalil. Sudut tertulis diukur dengan setengah busur yang dipotongnya.

Ini harus dipahami sebagai berikut: sudut bertulisan mengandung derajat sudut, menit dan detik sebanyak derajat busur, menit dan detik terkandung dalam setengah busur tempat ia berada.

Dalam membuktikan teorema ini, kita perlu mempertimbangkan tiga kasus.

Kasus pertama. Pusat lingkaran terletak di sisi sudut tertulis (Gbr. 331).

Biarlah / ABC adalah sudut bertulisan dan pusat lingkaran O terletak di sisi BC. Diperlukan untuk membuktikan bahwa itu diukur dengan setengah dari busur AC.

Hubungkan titik A ke pusat lingkaran. Dapatkan sama kaki /\ AOB, di mana
AO = OB, sebagai jari-jari lingkaran yang sama. Karena itu, / A = / DI. / AOC di luar segitiga AOB, jadi / AOC = / A+ / B (§ 39, butir 2), dan karena sudut A dan B sama besar, maka / B adalah 1/2 / AOC.

Tetapi / AOC diukur dengan busur AC, oleh karena itu, / B diukur dengan setengah dari busur AC.

Misalnya, jika AC berisi 60° 18", maka / B berisi 30°9".

Kasus kedua. Pusat lingkaran terletak di antara sisi-sisi sudut tertulis (Gbr. 332).

Biarlah / ABD adalah sudut tertulis. Pusat lingkaran O terletak di antara sisi-sisinya. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa / ABD diukur dengan setengah dari busur AD.

Untuk membuktikannya, mari kita gambarkan diameter BC. Sudut ABD dibagi menjadi dua sudut: / 1 dan / 2.

/ 1 diukur dengan setengah dari busur AC, dan / 2 diukur dengan setengah dari busur CD, oleh karena itu, seluruh / ABD diukur dengan 1/2 AC + 1/2 CD, yaitu setengah dari busur AD.
Misalnya, jika AD berisi 124°, maka / B berisi 62°.

Kasus ketiga. Pusat lingkaran terletak di luar sudut tertulis (Gbr. 333).

Biarlah / MAd - sudut tertulis. Pusat lingkaran O berada di luar sudut. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa / MAD diukur dengan setengah dari busur MD.

Untuk membuktikan ini, mari kita menggambar diameter AB. / MAd = / MAV- / COLEK. Tetapi / MAV diukur dengan 1/2 MV, dan / DAB diukur dengan 1/2 DB. Karena itu, / MAD diukur
1/2 (MB - DB), yaitu 1/2 MD.
Misalnya, jika MD berisi 48° 38"16", maka / MAD berisi 24° 19" 8".

Konsekuensi. satu. Semua sudut bertulisan berdasarkan busur yang sama adalah sama besar satu sama lain, karena mereka diukur dengan setengah dari busur yang sama (Gambar 334, a).

2. Sudut bertulis berdasarkan diameter adalah sudut siku-siku karena didasarkan pada setengah lingkaran. Setengah dari lingkaran berisi 180 derajat busur, yang berarti bahwa sudut berdasarkan diameter mengandung 90 derajat sudut (Gbr. 334, b).

2. Sudut yang dibentuk oleh tangen dan akord.

Dalil. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur diukur dengan setengah busur yang tertutup di antara sisi-sisinya.

Biarlah / CAB disusun oleh akord SA dan garis singgung AB (Gbr. 335). Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa itu diukur dengan setengah SA. Mari menggambar garis CD melalui titik C || AB. tertulis / ACD diukur dengan setengah dari busur AD, tetapi AD = CA, karena mereka diapit antara garis singgung dan tali busur yang sejajar dengannya. Karena itu, / DCA diukur dengan setengah dari busur CA. Sejak ini / CAB = / DCA, maka itu juga diukur dengan setengah dari busur CA.

Latihan.

1. Dalam menggambar 336, temukan balok-balok yang bersinggungan dengan lingkaran.

2. Berdasarkan gambar 337, a, buktikan bahwa sudut ADC diukur dengan setengah jumlah busur AC dan BK.

3. Berdasarkan gambar 337, b, buktikan bahwa sudut AMB diukur dengan selisih setengah busur AB dan CE.

4. Melalui titik A yang terletak di dalam lingkaran, dengan bantuan gambar segitiga, tarik tali busur sehingga terbelah dua di titik A.

5. Dengan menggunakan gambar segitiga, bagilah busur menjadi 2, 4, 8... bagian yang sama.

6. Gambarkan dengan jari-jari tertentu sebuah lingkaran yang melalui dua titik tertentu. Berapa banyak solusi yang dimiliki masalah?

7. Berapa banyak lingkaran yang dapat dibuat melalui suatu titik tertentu?

Planimetri adalah cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat bangun datar. Ini tidak hanya mencakup segitiga, bujur sangkar, persegi panjang yang terkenal, tetapi juga garis lurus dan sudut. Dalam planimetri, ada juga konsep seperti sudut dalam lingkaran: pusat dan tertulis. Tapi apa maksud mereka?

Apa itu sudut pusat?

Untuk memahami apa itu sudut pusat, Anda perlu mendefinisikan lingkaran. Lingkaran adalah kumpulan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (pusat lingkaran).

Sangat penting untuk membedakannya dari lingkaran. Harus diingat bahwa lingkaran adalah garis tertutup, dan lingkaran adalah bagian dari bidang yang dibatasi olehnya. Lingkaran dapat ditulisi dengan poligon atau sudut.

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berimpit dengan pusat lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran di dua titik. Busur yang dibatasi oleh suatu sudut dengan titik potongnya disebut busur tempat sudut tersebut berada.

Perhatikan contoh #1.

Pada gambar, sudut AOB adalah pusat, karena titik sudut dan pusat lingkaran adalah satu titik O. Terletak pada busur AB yang tidak mengandung titik C.

Bagaimana sudut tertulis berbeda dari sudut pusat?

Namun, selain yang di tengah, ada juga sudut bertulisan. Apa perbedaan mereka? Sama seperti yang di tengah, sudut yang tertulis dalam lingkaran bertumpu pada busur tertentu. Tetapi simpulnya tidak bertepatan dengan pusat lingkaran, tetapi terletak di atasnya.

Mari kita ambil contoh berikut.

Sudut ACB disebut sudut pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik C termasuk dalam lingkaran, yaitu terletak di atasnya. Sudut tersebut terletak pada busur AB.

Agar berhasil mengatasi tugas-tugas dalam geometri, tidak cukup untuk dapat membedakan antara sudut tertulis dan sudut pusat. Sebagai aturan, untuk menyelesaikannya, Anda perlu tahu persis bagaimana menemukan sudut pusat dalam lingkaran, dan dapat menghitung nilainya dalam derajat.

Jadi, sudut pusat sama dengan ukuran derajat busur di mana ia berada.

Pada gambar, sudut AOB didasarkan pada busur AB, sebesar 66°. Jadi sudut AOB juga sama dengan 66°.

Dengan demikian, sudut pusat berdasarkan busur yang sama adalah sama.

Pada gambar, busur DC sama dengan busur AB. Jadi sudut AOB sama dengan sudut DOC.

Tampaknya sudut dalam lingkaran sama dengan sudut pusat, yang terletak pada busur yang sama. Namun, ini adalah kesalahan besar. Faktanya, bahkan hanya dengan melihat gambar dan membandingkan sudut-sudut ini satu sama lain, Anda dapat melihat bahwa ukuran derajat mereka akan memiliki nilai yang berbeda. Jadi apa sudut yang tertulis dalam lingkaran?

Besaran derajat suatu sudut bertulisan sama dengan setengah dari busur tempat sudut itu berada, atau setengah dari sudut pusat jika terletak pada busur yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh. Sudut ACB didasarkan pada busur yang sama dengan 66°.

Jadi, sudut ACB = 66°: 2 = 33°

Mari kita pertimbangkan beberapa konsekuensi dari teorema ini.

• Sudut bertulisan, jika didasarkan pada busur yang sama, busur, atau busur yang sama, adalah sama.
• Jika sudut bertulisan didasarkan pada tali busur yang sama, tetapi simpulnya terletak pada sisi yang berlawanan, jumlah ukuran derajat sudut tersebut adalah 180 °, karena dalam hal ini kedua sudut didasarkan pada busur, yang ukuran derajatnya adalah 360 ° secara total (seluruh lingkaran), 360 °: 2 = 180 °
• Jika sudut siku-siku didasarkan pada diameter lingkaran yang diberikan, ukuran derajatnya adalah 90°, karena diameternya membentuk busur sama dengan 180°, 180°: 2 = 90°
• Jika sudut pusat dan sudut siku-siku dalam lingkaran didasarkan pada busur atau tali busur yang sama, maka sudut siku-siku sama dengan setengah sudut pusat.

Di mana ada tugas tentang topik ini? Jenis dan solusinya

Karena lingkaran dan sifat-sifatnya adalah salah satu bagian geometri yang paling penting, khususnya planimetri, sudut-sudut pusat dan sudut dalam lingkaran adalah topik yang dipelajari secara luas dan menyeluruh dalam kursus sekolah. Tugas yang dikhususkan untuk properti mereka ditemukan di ujian negara bagian utama (OGE) dan ujian negara bagian terpadu (USE). Sebagai aturan, untuk menyelesaikan masalah ini, Anda harus menemukan sudut pada lingkaran dalam derajat.

Sudut berdasarkan satu busur

Jenis masalah ini mungkin salah satu yang paling mudah, karena untuk menyelesaikannya Anda hanya perlu mengetahui dua sifat sederhana: jika kedua sudut ditulis dan bersandar pada tali yang sama, mereka sama, jika salah satunya adalah pusat, maka yang sesuai sudut tertulis adalah setengahnya. Namun, ketika menyelesaikannya, seseorang harus sangat berhati-hati: terkadang sulit untuk memperhatikan properti ini, dan siswa, ketika memecahkan masalah sederhana seperti itu, menemui jalan buntu. Pertimbangkan sebuah contoh.

Tugas 1

Diketahui sebuah lingkaran berpusat di titik O. Sudut AOB adalah 54°. Hitunglah besar sudut DIA.

Tugas ini diselesaikan dalam satu langkah. Satu-satunya hal yang Anda perlukan untuk menemukan jawabannya dengan cepat adalah memperhatikan bahwa busur di mana kedua sudut bersandar adalah busur yang sama. Melihat ini, Anda dapat menerapkan properti yang sudah dikenal. Sudut ACB adalah setengah dari sudut AOB. Cara,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Jawaban: 54°.

Sudut berdasarkan busur yang berbeda dari lingkaran yang sama

Terkadang, dalam kondisi masalah, besarnya busur yang menjadi dasar sudut yang diinginkan tidak ditentukan secara langsung. Untuk menghitungnya, Anda perlu menganalisis besarnya sudut-sudut ini dan membandingkannya dengan sifat-sifat lingkaran yang diketahui.

Tugas 2

Pada lingkaran yang berpusat di O, sudut AOC adalah 120° dan sudut AOB adalah 30°. Temukan sudut ANDA.

Untuk memulainya, perlu dikatakan bahwa adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan sifat-sifat segitiga sama kaki, tetapi ini akan membutuhkan lebih banyak operasi matematika. Oleh karena itu, di sini kita akan menganalisis solusi menggunakan sifat-sifat sudut pusat dan sudut dalam lingkaran.

Jadi, sudut AOC terletak pada busur AC dan berada di pusat, yang berarti bahwa busur AC sama dengan sudut AOC.

Demikian pula, sudut AOB terletak pada busur AB.

Mengetahui hal ini dan ukuran derajat seluruh lingkaran (360 °), orang dapat dengan mudah menemukan besar busur BC.

BC = 360° - AC - AB

SM = 360° - 120° - 30° = 210°

Titik sudut CAB, titik A, terletak pada lingkaran. Oleh karena itu, sudut CAB ditulis dan sama dengan setengah dari busur CB.

Sudut CAB = 210°: 2 = 110°

Jawaban: 110°

Soal berdasarkan rasio busur

Beberapa soal tidak memuat data tentang sudut sama sekali, sehingga perlu dicari hanya berdasarkan teorema dan sifat lingkaran yang diketahui.

Tugas 1

Tentukan sudut pada lingkaran yang ditopang oleh tali busur yang sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Jika Anda secara mental menggambar garis yang menghubungkan ujung segmen dengan pusat lingkaran, Anda mendapatkan segitiga. Setelah memeriksanya, Anda dapat melihat bahwa garis-garis ini adalah jari-jari lingkaran, yang berarti bahwa semua sisi segitiga adalah sama. Kita tahu bahwa semua sudut segitiga sama sisi adalah 60°. Jadi, busur AB yang memuat titik sudut segitiga sama dengan 60°. Dari sini kita menemukan busur AB, di mana sudut yang diperlukan berada.

AB = 360° - 60° = 300°

Sudut ABC = 300 °: 2 = 150 °

Jawaban: 150°

Tugas 2

Dalam sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, busur-busur tersebut berhubungan sebagai 3:7. Temukan sudut tertulis terkecil.

Untuk solusinya, kami menyatakan satu bagian sebagai X, kemudian satu busur adalah 3X, dan yang kedua, masing-masing, 7X. Mengetahui bahwa ukuran derajat lingkaran adalah 360 °, kita akan membuat persamaan.

3X + 7X = 360°

Sesuai dengan kondisinya, Anda perlu mencari sudut yang lebih kecil. Jelas, jika sudut berbanding lurus dengan busur di mana ia berada, maka sudut yang diperlukan (lebih kecil) sesuai dengan busur yang sama dengan 3X.

Jadi sudut yang lebih kecil adalah (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

Jawaban: 54°

Dalam sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, sudut AOB adalah 60°, dan panjang busur yang lebih kecil adalah 50. Hitung panjang busur yang lebih besar.

Untuk menghitung panjang busur yang lebih besar, Anda perlu membuat proporsi - bagaimana busur yang lebih kecil berhubungan dengan yang lebih besar. Untuk melakukan ini, kami menghitung besarnya kedua busur dalam derajat. Busur yang lebih kecil sama dengan sudut yang terletak di atasnya. Ukuran derajatnya adalah 60 °. Busur utama sama dengan perbedaan antara ukuran derajat lingkaran (sama dengan 360° terlepas dari data lainnya) dan busur kecil.

Busur utama adalah 360° - 60° = 300°.

Karena 300 °: 60 ° = 5, busur yang lebih besar adalah 5 kali lebih kecil.

Busur besar = 50 * 5 = 250

Jadi, tentu saja, ada pendekatan lain untuk memecahkan masalah serupa, tetapi semuanya entah bagaimana didasarkan pada sifat-sifat sudut pusat dan tertulis, segitiga dan lingkaran. Agar berhasil menyelesaikannya, Anda harus mempelajari gambar dengan cermat dan membandingkannya dengan data masalah, serta dapat menerapkan pengetahuan teoretis Anda dalam praktik.

Hari ini kita akan melihat jenis masalah lain 6 - kali ini dengan lingkaran. Banyak siswa tidak menyukainya dan menganggapnya sulit. Dan itu benar-benar sia-sia, karena tugas seperti itu diselesaikan dasar jika Anda tahu beberapa teorema. Atau mereka tidak berani sama sekali, jika mereka tidak dikenal.

Sebelum berbicara tentang properti utama, izinkan saya mengingatkan Anda tentang definisi:

Sudut bertulis adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran itu sendiri, dan sisi-sisinya memotong tali busur pada lingkaran ini.

Sudut pusat adalah setiap sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran. Sisi-sisinya juga memotong lingkaran ini dan mengukir tali di atasnya.

Jadi, konsep sudut tertulis dan pusat terkait erat dengan lingkaran dan tali di dalamnya. Sekarang untuk pernyataan utama:

Dalil. Sudut pusat selalu dua kali sudut bertulisan berdasarkan busur yang sama.

Terlepas dari kesederhanaan pernyataan itu, ada seluruh kelas masalah 6 yang diselesaikan dengan bantuan itu - dan tidak ada yang lain.

Tugas. Temukan sudut bertulisan lancip berdasarkan tali busur yang sama dengan jari-jari lingkaran.

Misalkan AB adalah tali busur yang ditinjau, O pusat lingkaran. Konstruksi tambahan: OA dan OB adalah jari-jari lingkaran. Kita mendapatkan:

Perhatikan segitiga ABO. Di dalamnya AB = OA = OB - semua sisi sama dengan jari-jari lingkaran. Jadi segitiga ABO adalah segitiga sama sisi, dan semua sudut di dalamnya adalah 60°.

Biarkan M menjadi titik sudut dari sudut tertulis. Karena sudut O dan M didasarkan pada busur AB yang sama , maka besar sudut M adalah 2 kali lebih kecil dari sudut pusat O . Kita punya:

M=O:2=60:2=30

Tugas. Sudut pusat adalah 36° lebih besar dari sudut tertulis berdasarkan busur lingkaran yang sama. Temukan sudut yang tertulis.

Mari kita perkenalkan notasi:

1. AB adalah tali busur lingkaran;
2. Titik O adalah pusat lingkaran, jadi sudut AOB adalah pusat;
3. Titik C adalah titik sudut siku-siku ACB .

Karena kita mencari sudut bertulisan ACB , misalkan ACB = x . Maka sudut pusat AOB adalah x + 36. Sebaliknya, sudut pusat adalah dua kali sudut tertulis. Kita punya:

AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2x;
x=36.

Jadi kami menemukan sudut tertulis AOB - itu sama dengan 36 °.

Lingkaran adalah sudut 360°

Setelah membaca subtitle, pembaca yang berpengetahuan luas mungkin sekarang akan berkata: "Fu!" Memang, tidak sepenuhnya benar untuk membandingkan lingkaran dengan sudut. Untuk memahami apa yang kita bicarakan, lihat lingkaran trigonometri klasik:

Mengapa gambar ini? Dan fakta bahwa rotasi penuh adalah sudut 360 derajat. Dan jika Anda membaginya menjadi, katakanlah, 20 bagian yang sama, maka ukuran masing-masing akan menjadi 360: 20 = 18 derajat. Inilah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah B8.

Titik A, B dan C terletak pada sebuah lingkaran dan membaginya menjadi tiga busur, yang besaran derajatnya berhubungan sebagai 1 : 3: 5. Tentukan sudut terbesar segitiga ABC.

Pertama, mari kita cari ukuran derajat masing-masing busur. Biarkan yang lebih kecil dari mereka sama dengan x . Busur ini diberi label AB pada gambar. Kemudian busur yang tersisa - BC dan AC - dapat dinyatakan dalam bentuk AB: busur BC = 3x; AC = 5x. Busur ini bertambah hingga 360 derajat:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Sekarang perhatikan busur AC besar yang tidak mengandung titik B . Busur ini, seperti sudut pusat yang sesuai AOC , adalah 5x = 5 40 = 200 derajat.

Sudut ABC adalah yang terbesar dari semua sudut dalam segitiga. Ini adalah sudut tertulis berdasarkan busur yang sama dengan sudut pusat AOC. Jadi sudut ABC 2 kali lebih kecil dari AOC. Kita punya:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Ini akan menjadi ukuran derajat sudut terbesar dalam segitiga ABC.

Lingkaran dibatasi di sekitar segitiga siku-siku

Banyak orang melupakan teorema ini. Tetapi sia-sia, karena beberapa tugas B8 tidak dapat diselesaikan sama sekali tanpanya. Lebih tepatnya, mereka terpecahkan, tetapi dengan volume perhitungan sedemikian rupa sehingga Anda lebih suka tertidur daripada mencapai jawabannya.

Dalil. Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga siku-siku terletak di titik tengah sisi miring.

Apa yang mengikuti dari teorema ini?

1. Titik tengah hipotenusa berjarak sama dari semua simpul segitiga. Ini adalah konsekuensi langsung dari teorema;
2. Median yang ditarik ke sisi miring membagi segitiga asli menjadi dua segitiga sama kaki. Inilah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah B8.

Median CD digambar dalam segitiga ABC. Sudut C adalah 90° dan sudut B adalah 60°. Cari sudut ACD.

Karena sudut C adalah 90°, segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Ternyata CD adalah median yang ditarik ke sisi miring. Jadi segitiga ADC dan BDC adalah segitiga sama kaki.

Secara khusus, pertimbangkan segitiga ADC . Di dalamnya AD = CD . Tetapi dalam segitiga sama kaki, sudut di alasnya sama - lihat "Soal B8: ruas-ruas dan sudut-sudut dalam segitiga". Oleh karena itu, sudut yang diinginkan ACD = A.

Jadi, masih mencari tahu berapa besar sudut A. Untuk melakukan ini, kita kembali ke segitiga asli ABC. Nyatakan sudut A = x . Karena jumlah sudut dalam segitiga apa pun adalah 180 °, kami memiliki:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Tentu saja, masalah terakhir dapat diselesaikan dengan cara lain. Misalnya, mudah untuk membuktikan bahwa segitiga BCD bukan hanya sama kaki, tetapi sama sisi. Jadi sudut BCD adalah 60 derajat. Jadi sudut ACD adalah 90 60 = 30 derajat. Seperti yang Anda lihat, Anda dapat menggunakan segitiga sama kaki yang berbeda, tetapi jawabannya akan selalu sama.