TEMA 3 |
||
konsep fungsi distribusi |
||
harapan dan varians matematis |
||
distribusi seragam (persegi panjang) |
||
distribusi normal (Gaussian) |
||
Distribusi |
||
t- Distribusi siswa |
||
F- distribusi |
||
distribusi jumlah dua variabel bebas acak |
||
contoh: distribusi jumlah dua independen besaran yang terdistribusi merata |
||
transformasi variabel acak |
||
contoh: distribusi gelombang harmonik dengan fase acak |
||
teorema limit pusat |
||
momen variabel acak dan sifat-sifatnya |
||
TUJUAN SIKLUS KULIAH: | LAPORAN INFORMASI AWAL TENTANG FUNGSI DISTRIBUSI YANG PALING PENTING DAN SIFATNYA |
|
FUNGSI DISTRIBUSI
Biarlah x(k) adalah beberapa variabel acak. Kemudian untuk setiap nilai tetap x kejadian acak x(k) 
x didefinisikan sebagai himpunan semua hasil yang mungkin k seperti yang x(k) x. Dalam hal ukuran probabilitas asli yang diberikan pada ruang sampel, fungsi distribusiP(x) didefinisikan sebagai probabilitas yang ditetapkan untuk satu set poin k x(k) x. Perhatikan bahwa himpunan poin k memenuhi ketidaksetaraan x(k) x, adalah himpunan bagian dari himpunan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan x(k)
.
Secara formal
Jelas bahwa
Jika rentang nilai variabel acak kontinu, yang diasumsikan di bawah, maka kepadatan probabilitas(satu dimensi) p(x) ditentukan oleh hubungan diferensial
(4)
Karena itu,
(6)
Agar dapat mempertimbangkan kasus-kasus diskrit, perlu diakui keberadaan fungsi delta dalam komposisi densitas probabilitas.
NILAI YANG DIHARAPKAN
Biarkan variabel acak x(k) mengambil nilai dari rentang dari - hingga + . Berarti(sebaliknya, nilai yang diharapkan atau nilai yang diharapkan) x(k) dihitung menggunakan bagian yang sesuai dengan batas dalam jumlah produk nilai x(k) tentang kemungkinan terjadinya peristiwa-peristiwa ini:
(8)
di mana E- ekspektasi matematis dari ekspresi dalam tanda kurung siku berdasarkan indeks k. Ekspektasi matematis dari fungsi kontinu bernilai tunggal nyata didefinisikan dengan cara yang sama g(x) dari variabel acak x(k)
(9)
di mana p(x)- kepadatan probabilitas dari variabel acak x(k). Secara khusus, mengambil g(x)=x, kita mendapatkan rata-rata kuadrat x(k) :
(10)
Penyebaranx(k) didefinisikan sebagai kuadrat rata-rata dari selisih x(k) dan nilai rata-ratanya,
yaitu dalam hal ini g(x)= 
dan
A-prioritas, simpangan baku variabel acak x(k), dilambangkan , adalah nilai positif dari akar kuadrat dari varians. Standar deviasi diukur dalam satuan yang sama dengan mean.
FUNGSI DISTRIBUSI PALING PENTING
DISTRIBUSI SERAGAM (PERSEGIATAN).
Mari kita asumsikan bahwa percobaan terdiri dari pemilihan acak suatu titik dari interval [ a, b] , termasuk titik akhirnya. Dalam contoh ini, sebagai nilai variabel acak x(k) Anda dapat mengambil nilai numerik dari titik yang dipilih. Fungsi distribusi yang sesuai memiliki bentuk
Oleh karena itu, kepadatan probabilitas diberikan oleh rumus
Dalam contoh ini, perhitungan mean dan varians menggunakan rumus (9) dan (11) memberikan:
DISTRIBUSI NORMAL (GAUSSIAN)
, - mean aritmatika, - RMS.
Nilai z sesuai dengan probabilitas P(z)=1-, yaitu.
CHI - DISTRIBUSI KOTAK
Biarlah 
- n variabel acak independen, yang masing-masing memiliki distribusi normal dengan mean nol dan varians unit.
Variabel acak khi-kuadrat dengan n derajat kebebasan.
kepadatan probabilitas.
DF: 100 - poin persentase - distribusi dilambangkan dengan , mis.
rata-rata dan variansnya sama
t - DISTRIBUSI SISWA
y, z adalah variabel acak independen; y - memiliki - distribusi, z - terdistribusi normal dengan mean nol dan varians unit.
nilai - memiliki t- Distribusi siswa dengan n derajat kebebasan
DF: 100 - poin persentase t - distribusi ditunjukkan
Rata-rata dan varians sama
F - DISTRIBUSI
Variabel acak independen; memiliki - distribusi dengan derajat kebebasan; distribusi dengan derajat kebebasan. Nilai acak:
,
F adalah variabel acak terdistribusi dengan dan derajat kebebasan.
,
DF: 100 - poin persentase:
Rata-rata dan variansnya sama:
PEMBAGIAN JUMLAH
DUA VARIABEL RANDOM
Biarlah x(k) dan y(k) adalah variabel acak yang memiliki kerapatan peluang bersama p(x,y). Temukan kerapatan probabilitas dari jumlah variabel acak
di tetap x kita punya y=z–x. Jadi
di tetap z nilai-nilai x jalankan interval dari – hingga +. Jadi
(37)
dari mana dapat dilihat bahwa untuk menghitung kerapatan penjumlahan yang diinginkan, seseorang harus mengetahui kerapatan probabilitas gabungan yang asli. Jika sebuah x(k) dan y(k) adalah variabel acak independen yang memiliki kepadatan dan, masing-masing, maka dan
(38)
CONTOH: JUMLAH DUA VARIABEL RANDOM YANG INDEPENDEN DAN TERDISTRIBUSI SAMA.
Biarkan dua variabel bebas acak memiliki kerapatan bentuk
Dalam kasus lain 
Mari kita cari kerapatan peluang p(z) dari jumlah mereka z= x+ y.
Kepadatan Probabilitas 
untuk 
yaitu untuk 
Karena itu, x kurang dari z. Selain itu, tidak sama dengan nol untuk Dengan rumus (38), kami menemukan bahwa
Ilustrasi:
Kepadatan probabilitas dari jumlah dua variabel acak independen yang terdistribusi seragam.
KONVERSI RANDOM
NILAI
Biarlah x(t)- variabel acak dengan kepadatan probabilitas p(x), biarkan saja g(x) adalah fungsi kontinu real bernilai tunggal dari x. Pertimbangkan dulu kasus ketika fungsi invers x(g) juga merupakan fungsi kontinu bernilai tunggal dari g. Kepadatan Probabilitas p(g), sesuai dengan variabel acak g(x(k)) = g(k), dapat ditentukan dari densitas probabilitas p(x) variabel acak x(k) dan turunan dg/dx dengan asumsi bahwa turunan itu ada dan berbeda dengan nol, yaitu:
(12)
Oleh karena itu, dalam batas dg/dx#0
(13)
Dengan menggunakan rumus ini, ikuti di sisi kanannya alih-alih variabel x substitusikan nilai yang sesuai g.
Pertimbangkan sekarang kasus ketika fungsi terbalik x(g) adalah benar n-nilai fungsi dari g, di mana n adalah bilangan bulat dan semua nilai n memiliki kemungkinan yang sama. Kemudian
(14)
CONTOH:
DISTRIBUSI FUNGSI HARMONIS.
Fungsi harmonik dengan amplitudo tetap X dan frekuensi f akan menjadi variabel acak jika sudut fase awalnya = (k)- nilai acak. Secara khusus, mari t tetap dan sama t Hai, dan biarkan variabel acak harmonik memiliki bentuk
Mari kita berpura-pura itu (k) memiliki kerapatan peluang seragam p( ) jenis
Temukan kerapatan probabilitas p(x) variabel acak x(k).
Dalam contoh ini, fungsi langsung x( ) jelas, dan fungsi kebalikannya (x) ambigu.
Dalam prakteknya, seringkali menjadi perlu untuk menemukan hukum distribusi untuk jumlah variabel acak.
Biar ada sistem (X b X 2) dua s terus menerus di. dan jumlah mereka
Mari kita cari densitas distribusi c. di. U. Sesuai dengan solusi umum dari paragraf sebelumnya, kami menemukan wilayah bidang di mana x + x 2 (Gbr. 9.4.1):
Membedakan ekspresi ini sehubungan dengan y, kami memperoleh ap. variabel acak Y \u003d X + X 2:
Karena fungsi (x b x 2) = Xj + x 2 simetris terhadap argumennya, maka
Jika dengan. di. X dan X 2 independen, maka rumus (9.4.2) dan (9.4.3) berbentuk:
Dalam hal mandiri c. di. x x dan X2, berbicara tentang komposisi hukum distribusi. Menghasilkan komposisi dua hukum distribusi - ini berarti menemukan hukum distribusi untuk jumlah dua independen c. c., didistribusikan menurut undang-undang ini. Notasi simbolik digunakan untuk menunjukkan komposisi hukum distribusi
yang pada dasarnya dilambangkan dengan rumus (9.4.4) atau (9.4.5).
Contoh 1. Pekerjaan dua perangkat teknis (TD) dipertimbangkan. Pertama, TU bekerja setelah kegagalannya (failure) termasuk dalam pengoperasian TU 2. Waktu Aktif TU TU TU 2 - x x dan X 2 - independen dan didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter A,1 dan X2 . Oleh karena itu, waktu kamu pengoperasian TU yang bebas masalah, terdiri dari TU! dan TU 2 akan ditentukan oleh rumus
Diperlukan untuk menemukan p.r. variabel acak y, yaitu, komposisi dua hukum eksponensial dengan parameter dan X2 .
Keputusan. Dengan rumus (9.4.4) kita mendapatkan (y > 0)
Jika terdapat komposisi dua hukum eksponensial dengan parameter yang sama (?c = X 2 = Y), maka dalam ekspresi (9.4.8) diperoleh ketidakpastian tipe 0/0, dengan perluasan yang diperoleh:
Membandingkan ekspresi ini dengan ekspresi (6.4.8), kami yakin bahwa komposisi dua hukum eksponensial identik (?c = X 2 = x) adalah hukum Erlang orde kedua (9.4.9). Saat menyusun dua hukum eksponensial dengan parameter yang berbeda x x dan A-2 dapatkan hukum Erlang umum orde kedua (9.4.8). ?
Soal 1. Hukum distribusi selisih dua s. di. Sistem dengan. di. (X dan X 2) memiliki joint r.p./(x x x 2). Temukan p.r. perbedaan mereka Y=X - X2 .
Keputusan. Untuk sistem dengan di. (X b - X 2) dll. akan menjadi / (x b - x 2), yaitu kami mengganti selisihnya dengan jumlah. Oleh karena itu, a.r. variabel acak U akan memiliki bentuk (lihat (9.4.2), (9.4.3)):
Jika sebuah dengan. di. X x iX 2 mandiri, maka
Contoh 2. Temukan f.r. perbedaan dua s yang terdistribusi secara eksponensial independen. di. dengan parameter x x dan X2 .
Keputusan. Menurut rumus (9.4.11) kita mendapatkan
Beras. 9.4.2 Beras. 9.4.3
Gambar 9.4.2 menunjukkan hal. g(y). Jika kita mempertimbangkan perbedaan dari dua s yang terdistribusi secara eksponensial independen. di. dengan pengaturan yang sama (A-i= X 2 = TETAPI,), kemudian g(y) \u003d / 2 - sudah akrab
Hukum Laplace (Gbr. 9.4.3). ?
Contoh 3. Temukan hukum distribusi untuk jumlah dua independen c. di. X dan X2, didistribusikan menurut hukum Poisson dengan parameter sebuah x dan sebuah 2 .
Keputusan. Tentukan peluang suatu kejadian (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,
Oleh karena itu, s. di. Y= X x + X 2 didistribusikan menurut hukum Poisson dengan parameter ax2) - ax + a2. ?
Contoh 4. Temukan hukum distribusi untuk jumlah dua independen c. di. x x dan X2, didistribusikan menurut hukum binomial dengan parameter p x ri p 2 , p masing-masing.
Keputusan. Bayangkan dengan. di. x x sebagai:
di mana X 1) - indikator acara TETAPI wu "pengalaman:
Jangkauan distribusi dengan. di. X,- memiliki bentuk
Kami akan membuat representasi serupa untuk s. di. X 2: di mana X] 2) - indikator acara TETAPI dalam pengalaman ke-y:
Karena itu,
dimana X? 1)+(2) jika indikator acara TETAPI:
Jadi, kami telah menunjukkan bahwa di. Jumlah ayah mertua (u + n 2) indikator acara TETAPI, dari mana berikut bahwa s. di. ^didistribusikan menurut hukum binomial dengan parameter ( n x + n 2), hal.
Perhatikan bahwa jika probabilitas R dalam rangkaian percobaan yang berbeda berbeda, maka sebagai akibat dari penambahan dua s bebas. c., didistribusikan menurut hukum binomial, ternyata c. c., didistribusikan tidak menurut hukum binomial. ?
Contoh 3 dan 4 mudah digeneralisasikan ke sejumlah istilah yang berubah-ubah. Saat menyusun hukum Poisson dengan parameter a b a 2 , ..., pada Hukum Poisson diperoleh lagi dengan parameter a (t) \u003d a x + a 2 + ... + dan T.
Saat menyusun hukum binomial dengan parameter (n r); (saya 2 , R) , (n t, p) lagi kita mendapatkan hukum binomial dengan parameter (“(“), R), di mana n (t) \u003d u + n 2 + ... + dll.
Kami telah membuktikan sifat penting dari hukum Poisson dan hukum binomial: "sifat stabilitas". Hukum distribusi disebut berkelanjutan, jika susunan dua hukum yang sejenis menghasilkan hukum yang sejenis (hanya parameter hukum ini yang berbeda). Dalam Subbagian 9.7 kami akan menunjukkan bahwa hukum normal memiliki sifat stabilitas yang sama.
Objek yang sangat penting dari teori probabilitas adalah jumlah variabel acak independen. Ini adalah studi tentang distribusi jumlah variabel acak independen yang meletakkan dasar bagi pengembangan metode analisis teori probabilitas.
Distribusi jumlah variabel acak independen
Pada bagian ini, kita akan memperoleh rumus umum yang memungkinkan kita menghitung fungsi distribusi dari jumlah variabel acak independen, dan mempertimbangkan beberapa contoh.
Distribusi jumlah dua variabel acak independen. Rumus Konvolusi
variabel acak independen dengan fungsi distribusi
masing-masing
Maka fungsi distribusi F jumlah variabel acak
dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut ( rumus konvolusi)
Untuk membuktikan ini, kami menggunakan teorema Fubini.
Bagian kedua dari rumus terbukti sama.
Kerapatan distribusi jumlah dua variabel acak independen
Jika distribusi kedua variabel acak memiliki kerapatan, maka kerapatan jumlah dari variabel acak tersebut dapat dihitung dengan rumus
Jika distribusi variabel acak (atau ) memiliki kerapatan, maka kerapatan jumlah variabel acak tersebut dapat dihitung dengan rumus
Untuk membuktikan pernyataan ini, cukup menggunakan definisi kepadatan.
Beberapa konvolusi
Perhitungan penjumlahan sejumlah variabel acak bebas berhingga dilakukan dengan menggunakan aplikasi sekuensial dari rumus konvolusi. Jumlahkan fungsi distribusi k variabel acak independen yang terdistribusi identik dengan fungsi distribusi F
ditelepon k–konvolusi lipat dari fungsi distribusi F dan dilambangkan
Contoh menghitung distribusi jumlah variabel acak independen
Dalam paragraf ini, contoh situasi diberikan, ketika menjumlahkan variabel acak, bentuk distribusi dipertahankan. Pembuktiannya adalah latihan penjumlahan dan perhitungan integral.
Jumlah variabel acak independen. Distribusi normal
Jumlah variabel acak independen Distribusi binomial
Jumlah variabel acak independen Distribusi Poisson
Jumlah variabel acak independen Distribusi gamma
Proses Poisson
urutan variabel acak independen terdistribusi identik yang memiliki distribusi eksponensial dengan parameter
Urutan poin secara acak
pada semi-sumbu non-negatif disebut Proses Poisson (titik).
Mari kita hitung distribusi jumlah poin
Proses Poisson pada interval (0,t)
setara, jadi
Tetapi distribusi variabel acak
adalah distribusi Erlang dari orde k, jadi
Dengan demikian, distribusi jumlah titik proses Poisson pada interval (o,t) adalah distribusi Poisson dengan parameter
Proses Poisson digunakan untuk mensimulasikan momen terjadinya peristiwa acak - proses peluruhan radioaktif, momen panggilan ke pertukaran telepon, momen kemunculan pelanggan dalam sistem layanan, momen kegagalan peralatan.
Mari kita gunakan metode umum di atas untuk memecahkan satu masalah, yaitu, untuk menemukan hukum distribusi untuk jumlah dua variabel acak. Ada sistem dua variabel acak (X,Y) dengan densitas distribusi f(x,y).
Pertimbangkan jumlah variabel acak X dan Y: dan temukan hukum distribusi nilai Z. Untuk melakukan ini, kami membuat garis pada bidang xOy, persamaannya 
(Gbr. 6.3.1). Ini adalah garis lurus yang memotong segmen yang sama dengan z pada sumbu. Lurus membagi bidang xy menjadi dua bagian; ke kanan dan ke atas 
; kiri dan bawah
Wilayah D dalam hal ini adalah bagian kiri bawah bidang xOy, diarsir pada Gambar. 6.3.1. Menurut rumus (6.3.2) kita memiliki:
Ini adalah rumus umum untuk kepadatan distribusi jumlah dua variabel acak.
Untuk alasan simetri masalah terhadap X dan Y, kita dapat menulis versi lain dari rumus yang sama:
Diperlukan untuk menghasilkan komposisi hukum-hukum ini, yaitu, untuk menemukan hukum distribusi kuantitas: .
Kami menerapkan rumus umum untuk komposisi hukum distribusi:
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus yang telah kita temui
dan ini tidak lain adalah hukum normal dengan pusat dispersi
Kesimpulan yang sama dapat dicapai dengan lebih mudah dengan bantuan penalaran kualitatif berikut.
Tanpa membuka kurung dan tanpa melakukan transformasi pada integral (6.3.3), kita langsung sampai pada kesimpulan bahwa eksponen adalah trinomial persegi terhadap x dari bentuk
dimana nilai z sama sekali tidak termasuk dalam koefisien A, termasuk dalam koefisien B derajat pertama, dan koefisien C termasuk kuadrat. Dengan mengingat hal ini dan menerapkan rumus (6.3.4), kami menyimpulkan bahwa g(z) adalah fungsi eksponensial, eksponennya adalah trinomial kuadrat terhadap z, dan densitas distribusi; semacam ini sesuai dengan hukum normal. Jadi, kami; kita sampai pada kesimpulan kualitatif murni: hukum distribusi z harus normal. Untuk menemukan parameter hukum ini - dan 
- gunakan teorema penambahan ekspektasi matematis dan teorema penambahan varians. Menurut teorema penjumlahan ekspektasi matematis 
. Menurut teorema penambahan varians 
atau 
dari mana rumus (6.3.7) berikut.
Beralih dari penyimpangan akar-rata-rata-kuadrat ke penyimpangan yang mungkin sebanding dengannya, kita mendapatkan: 
.
Jadi, kita telah sampai pada aturan berikut: ketika hukum normal disusun, hukum normal diperoleh kembali, dan ekspektasi matematis dan varians (atau kemungkinan deviasi kuadrat) dijumlahkan.
Aturan komposisi untuk hukum normal dapat digeneralisasi untuk kasus sejumlah variabel acak independen yang berubah-ubah.
Jika ada n variabel acak independen: tunduk pada hukum normal dengan pusat dispersi dan simpangan baku , maka nilainya juga tunduk pada hukum normal dengan parameter
Jika sistem variabel acak (X, Y) didistribusikan menurut hukum normal, tetapi jumlah X, Y adalah dependen, maka mudah untuk membuktikan, seperti sebelumnya, berdasarkan rumus umum (6.3.1), bahwa hukum distribusi kuantitas juga merupakan hukum normal. Pusat hamburan masih ditambahkan secara aljabar, tetapi untuk standar deviasi aturannya menjadi lebih rumit: 
, dimana, r adalah koefisien korelasi nilai X dan Y.
Ketika menambahkan beberapa variabel acak dependen yang dalam totalitasnya mematuhi hukum normal, hukum distribusi jumlah juga ternyata normal dengan parameter
di mana adalah koefisien korelasi dari besaran X i , X j , dan penjumlahan meluas ke semua kombinasi berpasangan yang berbeda dari besaran tersebut .
Kita telah melihat sifat yang sangat penting dari hukum normal: ketika hukum normal digabungkan, satu lagi memperoleh hukum normal. Inilah yang disebut "properti stabilitas". Suatu hukum distribusi dikatakan stabil jika, dengan menyusun dua hukum yang bertipe ini, diperoleh kembali suatu hukum yang bertipe sama. Kami telah menunjukkan di atas bahwa hukum normal adalah stabil. Sangat sedikit hukum distribusi yang memiliki sifat stabilitas. Hukum kerapatan seragam tidak stabil: ketika menyusun dua hukum kerapatan seragam di bagian dari 0 hingga 1, kami memperoleh hukum Simpson.
Stabilitas hukum normal adalah salah satu syarat penting untuk penerapannya yang luas dalam praktik. Namun, sifat stabilitas, selain yang normal, juga dimiliki oleh beberapa hukum distribusi lainnya. Ciri dari hukum normal adalah bahwa ketika sejumlah besar hukum distribusi arbitrer praktis disusun, hukum total ternyata secara sewenang-wenang mendekati hukum normal, terlepas dari apa hukum distribusi istilah itu. Hal ini dapat diilustrasikan, misalnya, dengan menyusun komposisi tiga hukum kerapatan seragam dalam bagian dari 0 hingga 1. Hukum distribusi yang dihasilkan g(z) ditunjukkan pada gambar. 6.3.1. Seperti dapat dilihat dari gambar, grafik fungsi g(z) sangat mirip dengan grafik hukum normal.
Misalkan ada sistem dua variabel acak X dan kamu, yang distribusi gabungannya diketahui. Tugasnya adalah menemukan distribusi variabel acak. Sebagai contoh SV Z anda dapat membawa keuntungan dari dua perusahaan; jumlah pemilih yang memilih dengan cara tertentu dari dua daerah pemilihan yang berbeda; jumlah poin pada kedua dadu.
1. Kasus dua DSV. Nilai apa pun yang diambil oleh CV diskrit (dalam bentuk pecahan desimal hingga, dengan langkah berbeda), situasinya hampir selalu dapat direduksi menjadi kasus khusus berikut. Kuantitas X dan kamu hanya dapat mengambil nilai integer, mis. 
di mana 
. Jika awalnya adalah pecahan desimal, maka mereka dapat dibuat menjadi bilangan bulat dengan mengalikannya dengan 10 k. Dan nilai yang hilang antara tertinggi dan terendah dapat diberikan probabilitas nol. Biarkan distribusi probabilitas bersama diketahui. Kemudian, jika kita menomori baris dan kolom matriks sesuai dengan aturan: , maka peluang jumlahnya adalah:
Unsur-unsur matriks ditambahkan sepanjang salah satu diagonalnya.
2. Kasus dua NSW. Biarkan kepadatan distribusi bersama diketahui. Maka kepadatan distribusi jumlah:
Jika sebuah X dan kamu mandiri, yaitu , kemudian
Contoh 1 X , Y– SW independen, terdistribusi seragam:
Mari kita cari kepadatan distribusi dari variabel acak .
Jelas bahwa 
,
SW Z dapat mengambil nilai dalam interval ( c+d; a+b), tapi tidak untuk semua x. di luar interval ini. Pada bidang koordinat ( x, z) kisaran kemungkinan nilai kuantitas z adalah jajar genjang dengan sisi x=dengan; x=sebuah; z=x+d; z=x+b. Dalam rumus untuk batas-batas integrasi adalah c dan sebuah. Namun, karena fakta bahwa dalam penggantian y=z-x, untuk beberapa nilai z fungsi . Misalnya, jika c 
untuk semua x dan z. Kami akan melakukan ini untuk kasus khusus ketika a+d< b+c
. Mari kita perhatikan tiga daerah perubahan besaran yang berbeda z dan untuk masing-masing dari mereka kita temukan .
1) c+d z a+d. Kemudian 
2) a+d z b+c. Kemudian 
3) b+c z a+b. Kemudian 
Distribusi ini disebut hukum Simpson. Gambar 8, 9 menunjukkan grafik densitas distribusi SW pada dengan=0, d=0.
