Model stokastik dalam ekonomi. Model deterministik dan stokastik

Pemodelan adalah salah satu alat terpenting dalam kehidupan modern ketika seseorang ingin meramalkan masa depan. Dan ini tidak mengherankan, karena keakuratan metode ini sangat tinggi. Mari kita lihat apa itu model deterministik dalam artikel ini.

informasi Umum

Model sistem deterministik memiliki fitur yang dapat dianalisis secara analitis jika cukup sederhana. Jika tidak, bila menggunakan sejumlah besar persamaan dan variabel untuk tujuan ini, komputer elektronik dapat digunakan. Selain itu, bantuan komputer, sebagai suatu peraturan, hanya untuk menyelesaikannya dan menemukan jawaban. Oleh karena itu, perlu dilakukan perubahan sistem persamaan dan diskritisasi yang berbeda. Dan ini memerlukan peningkatan risiko kesalahan dalam perhitungan. Semua jenis model deterministik dicirikan oleh fakta bahwa pengetahuan tentang parameter pada interval tertentu yang sedang dipelajari memungkinkan kita untuk sepenuhnya menentukan dinamika perkembangan di luar indikator yang diketahui.

Keunikan

Pemodelan faktor

Referensi untuk ini dapat dilihat di seluruh artikel, tetapi kami belum membahas apa itu. Pemodelan faktor menyiratkan bahwa ketentuan utama disorot, yang untuk itu diperlukan perbandingan kuantitatif. Untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan, penelitian menghasilkan transformasi bentuk.

Jika model deterministik kaku memiliki lebih dari dua faktor, maka disebut multifaktorial. Analisisnya dapat dilakukan melalui berbagai metode. Sebagai contoh, kami berikan Dalam hal ini, ini mempertimbangkan tugas yang ditetapkan dari sudut pandang model apriori yang telah ditetapkan dan dikembangkan sebelumnya. Pilihan di antara mereka dilakukan sesuai dengan representasi konten.

Untuk konstruksi kualitatif model, perlu menggunakan studi teoretis dan eksperimental tentang esensi proses teknologi dan hubungan sebab-akibatnya. Inilah tepatnya keuntungan utama dari mata pelajaran yang sedang kita pertimbangkan. Model deterministik memungkinkan peramalan yang akurat di banyak bidang kehidupan kita. Karena parameter kualitas dan keserbagunaannya, mereka telah menjadi begitu luas.

Model deterministik sibernetik

Mereka menarik bagi kami karena proses transien berbasis analisis yang terjadi dengan perubahan apa pun, bahkan yang paling tidak signifikan dalam sifat agresif lingkungan eksternal. Untuk kesederhanaan dan kecepatan perhitungan, keadaan saat ini digantikan oleh model yang disederhanakan. Adalah penting bahwa itu memenuhi semua persyaratan dasar.

Efisiensi sistem kontrol otomatis dan efektivitas keputusannya bergantung pada kesatuan semua parameter yang diperlukan. Pada saat yang sama, perlu untuk memecahkan masalah berikut: semakin banyak informasi yang dikumpulkan, semakin tinggi kemungkinan kesalahan dan semakin lama waktu pemrosesan. Tetapi jika Anda membatasi pengumpulan data Anda, maka Anda dapat mengandalkan hasil yang kurang dapat diandalkan. Oleh karena itu, perlu untuk menemukan jalan tengah yang memungkinkan memperoleh informasi dengan akurasi yang cukup, dan pada saat yang sama tidak akan diperumit oleh elemen yang tidak perlu.

Model deterministik perkalian

Itu dibangun dengan membagi faktor-faktor ke dalam himpunan mereka. Sebagai contoh, kita dapat mempertimbangkan proses pembentukan volume produk manufaktur (PP). Jadi, untuk ini diperlukan tenaga kerja (PC), bahan (M) dan energi (E). Dalam hal ini, faktor PP dapat dibagi menjadi himpunan (RS; M; E). Opsi ini mencerminkan bentuk perkalian dari sistem faktor dan kemungkinan pemisahannya. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan metode transformasi berikut: ekspansi, dekomposisi formal, dan pemanjangan. Opsi pertama telah menemukan aplikasi luas dalam analisis. Dapat digunakan untuk menghitung kinerja seorang karyawan, dan sebagainya.

Pemanjangan menggantikan satu nilai dengan faktor lainnya. Tapi hasil akhirnya harus angka yang sama. Contoh ekstensi dipertimbangkan oleh kami di atas. Hanya ekspansi formal yang tersisa. Ini melibatkan penggunaan pemanjangan penyebut dari model faktorial asli karena penggantian satu atau lebih parameter. Pertimbangkan contoh ini: kami menghitung profitabilitas produksi. Untuk melakukan ini, jumlah keuntungan dibagi dengan jumlah biaya. Saat mengalikan, alih-alih satu nilai, kami membagi dengan jumlah pengeluaran untuk bahan, personel, pajak, dan sebagainya.

Probabilitas

Oh, jika semuanya berjalan persis seperti yang direncanakan! Tapi ini jarang terjadi. Oleh karena itu, dalam praktiknya, deterministik dan sering digunakan bersama.Apa yang bisa dikatakan tentang yang terakhir? Keunikan mereka adalah bahwa mereka juga memperhitungkan berbagai kemungkinan. Ambil contoh, berikut ini. Ada dua negara bagian. Hubungan di antara mereka sangat buruk. Pihak ketiga memutuskan apakah akan berinvestasi di perusahaan salah satu negara. Lagi pula, jika perang pecah, keuntungan akan sangat berkurang. Atau Anda bisa mengutip contoh membangun pabrik di daerah dengan aktivitas seismik tinggi. Di sini, bagaimanapun, ada faktor alam yang tidak dapat diperhitungkan secara pasti, hanya dapat dilakukan secara perkiraan.

Kesimpulan

Kami telah mempertimbangkan apa model analisis deterministik. Sayangnya, untuk memahaminya sepenuhnya dan dapat mempraktikkannya, Anda harus belajar dengan sangat baik. Landasan teori sudah ada. Juga, dalam kerangka artikel, contoh sederhana yang terpisah disajikan. Selanjutnya, lebih baik mengikuti jalur komplikasi bertahap dari bahan kerja. Anda dapat sedikit menyederhanakan tugas Anda dan mulai mempelajari perangkat lunak yang dapat melakukan simulasi yang sesuai. Namun apapun pilihannya, memahami dasar-dasarnya dan mampu menjawab pertanyaan tentang apa, bagaimana dan mengapa, tetap diperlukan. Anda harus belajar memulai dengan memilih data input yang tepat dan memilih tindakan yang tepat. Kemudian program akan berhasil melakukan tugasnya.

Model sistem yang telah kita bicarakan sejauh ini bersifat deterministik (didefinisikan), yaitu. tugas tindakan input menentukan output sistem dengan jelas. Namun, ini jarang terjadi dalam praktik: deskripsi sistem nyata biasanya ditandai dengan ketidakpastian. Misalnya, untuk model statis, ketidakpastian dapat diperhitungkan dengan menulis hubungan tempat (2.1)

di mana kesalahan direduksi menjadi keluaran sistem.

Alasan ketidakpastian bervariasi:

– kesalahan dan gangguan dalam pengukuran input dan output sistem (kesalahan alami);

– ketidakakuratan model sistem itu sendiri, yang membuatnya perlu untuk memasukkan kesalahan ke dalam model secara artifisial;

– informasi yang tidak lengkap tentang parameter sistem, dll.

Di antara berbagai cara untuk mengklarifikasi dan memformalkan ketidakpastian, yang paling luas adalah pendekatan chaotic (probabilistik), di mana kuantitas yang tidak pasti dianggap acak. Peralatan konseptual dan komputasi yang dikembangkan dari teori probabilitas dan statistik matematika memungkinkan untuk memberikan rekomendasi khusus untuk memilih struktur sistem dan memperkirakan parameternya. Klasifikasi model stokastik sistem dan metode penelitiannya disajikan pada Tabel. 1.4. Kesimpulan dan rekomendasi didasarkan pada efek rata-rata: penyimpangan acak dari hasil pengukuran besaran tertentu dari nilai yang diharapkan, membatalkan satu sama lain ketika dijumlahkan, dan rata-rata aritmatika dari sejumlah besar pengukuran ternyata mendekati nilai yang diharapkan. . Formulasi matematika dari efek ini diberikan oleh hukum bilangan besar dan teorema limit pusat. Hukum bilangan besar mengatakan bahwa jika adalah variabel acak dengan ekspektasi matematis (mean) dan varians, maka

untuk cukup besar N. Ini menunjukkan kemungkinan mendasar dari perkiraan akurat yang sewenang-wenang dari pengukuran. Teorema limit pusat, yang memurnikan (2.32), menyatakan bahwa

di mana adalah variabel acak terdistribusi normal standar

Karena distribusi kuantitas diketahui dan ditabulasikan (misalnya, diketahui bahwa hubungan (2.33) memungkinkan kita untuk menghitung kesalahan estimasi. Misalnya, diperlukan untuk menemukan pada jumlah pengukuran berapa kesalahan dalam memperkirakan harapan matematis mereka dengan probabilitas 0,95 akan lebih kecil dari 0,01 , jika varians setiap pengukuran sama dengan 0,25 Dari (2,33) kita menemukan bahwa ketidaksetaraan harus berlaku dari mana T> 10000.

Tentu saja, formulasi (2.32), (2.33) dapat diberikan bentuk yang lebih teliti, dan ini dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan konsep konvergensi probabilistik. Kesulitan muncul ketika mencoba untuk memeriksa kondisi pernyataan yang ketat ini. Misalnya, dalam hukum bilangan besar dan teorema limit pusat, independensi pengukuran individu (realisasi) dari variabel acak dan variansnya diperlukan. Jika kondisi ini dilanggar, maka kesimpulan juga dapat dilanggar. Misalnya, jika semua pengukuran sama: maka, meskipun semua kondisi lain terpenuhi, rata-rata tidak mungkin dilakukan. Contoh lain: hukum bilangan besar tidak adil jika variabel acak didistribusikan menurut hukum Cauchy (dengan kepadatan distribusi yang tidak memiliki harapan dan varians matematis yang terbatas. Tetapi hukum seperti itu terjadi dalam kehidupan! di laut (di kapal) dan dinyalakan secara acak.

Tetapi yang lebih sulit lagi adalah verifikasi validitas penggunaan istilah "acak". Apa itu variabel acak, peristiwa acak, dll. Sering dikatakan bahwa acara TETAPI secara kebetulan, jika sebagai hasil dari percobaan itu dapat terjadi (dengan probabilitas R) atau tidak terjadi (dengan probabilitas 1- R). Semuanya, bagaimanapun, tidak begitu sederhana. Konsep probabilitas dapat dikaitkan dengan hasil eksperimen hanya melalui frekuensi kemunculannya dalam baris (deret) eksperimen tertentu: , di mana tidak ada adalah jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi, N- jumlah keseluruhan; eksperimen. Jika angka untuk cukup besar N mendekati beberapa bilangan konstan r A:

acara itu TETAPI bisa disebut acak, dan nomor R- kemungkinannya. Dalam hal ini, frekuensi yang diamati dalam rangkaian percobaan yang berbeda harus berdekatan satu sama lain (sifat ini disebut stabilitas statistik atau Homogenitas). Ini juga berlaku untuk konsep variabel acak, karena nilainya acak jika kejadiannya acak (dan<£<Ь} для любых чисел sebuah,b. Frekuensi kejadian seperti itu dalam rangkaian panjang eksperimen harus mengelompok di sekitar beberapa nilai konstan.

Jadi, untuk penerapan pendekatan stokastik, persyaratan berikut harus dipenuhi:

1) sifat massa percobaan, mis. jumlah yang cukup besar;

2) pengulangan kondisi eksperimen, membenarkan perbandingan hasil eksperimen yang berbeda;

3) stabilitas statistik.

Pendekatan stokastik jelas tidak dapat diterapkan pada eksperimen tunggal: ungkapan seperti “probabilitas bahwa akan hujan besok”, “Zenith akan memenangkan piala dengan probabilitas 0,8”, dll. tidak ada artinya. Tetapi bahkan jika ada eksperimen skala besar dan berulang, mungkin tidak ada stabilitas statistik, dan bukan tugas yang mudah untuk memeriksanya. Estimasi deviasi frekuensi yang diketahui dari probabilitas didasarkan pada teorema limit pusat atau pertidaksamaan Chebyshev dan memerlukan hipotesis tambahan tentang independensi atau ketergantungan lemah dari pengukuran. Verifikasi eksperimental kondisi independensi bahkan lebih sulit, karena memerlukan eksperimen tambahan.

Metodologi dan resep praktis untuk menerapkan teori probabilitas dijelaskan secara lebih rinci dalam buku instruktif oleh V.N. Tutubalina, ide yang diberikan oleh kutipan berikut:

“Sangat penting untuk menghilangkan delusi, yang kadang-kadang ditemukan di antara para insinyur dan ilmuwan alam yang tidak cukup akrab dengan teori probabilitas, bahwa hasil eksperimen apa pun dapat dianggap sebagai variabel acak. Dalam kasus yang sangat parah, ini disertai dengan kepercayaan pada hukum distribusi normal, dan jika variabel acak itu sendiri tidak normal, maka mereka percaya bahwa logaritmanya normal.

“Menurut konsep modern, ruang lingkup penerapan metode probabilistik terbatas pada fenomena yang dicirikan oleh stabilitas statistik. Namun, uji stabilitas statistik itu sulit dan selalu tidak lengkap, bahkan seringkali memberikan kesimpulan yang negatif. Akibatnya, di seluruh bidang pengetahuan, misalnya, dalam geologi, pendekatan seperti itu telah menjadi norma, di mana stabilitas statistik tidak diperiksa sama sekali, yang pasti mengarah pada kesalahan serius. Selain itu, propaganda sibernetika, yang dilakukan oleh para ilmuwan terkemuka kami, memberikan (dalam beberapa kasus!) hasil yang agak tidak terduga: sekarang diyakini bahwa hanya mesin (dan bukan manusia) yang mampu memperoleh hasil ilmiah yang objektif.

Dalam keadaan seperti itu, tugas setiap guru adalah untuk menyebarkan berulang kali kebenaran lama yang Peter I coba (tidak berhasil) untuk menginspirasi pedagang Rusia: bahwa seseorang harus berdagang dengan jujur, tanpa tipu daya, karena pada akhirnya lebih menguntungkan bagi diri mereka sendiri.

Bagaimana membangun model sistem jika ada ketidakpastian dalam masalah, tetapi pendekatan stokastik tidak berlaku? Salah satu pendekatan alternatif berdasarkan teori himpunan fuzzy secara singkat diuraikan di bawah ini.

Kami mengingatkan Anda bahwa relasi (hubungan antara dan) adalah himpunan bagian dari himpunan. itu. beberapa himpunan pasangan R=(( x, pada)), di mana,. Misalnya, hubungan fungsional (ketergantungan) dapat direpresentasikan sebagai hubungan antara himpunan, termasuk pasangan ( X, pada) untuk yang.

Dalam kasus yang paling sederhana, mungkin, a R adalah relasi identitas jika.

Contoh 12-15 dalam tabel. 1. 1 ditemukan pada tahun 1988 oleh seorang siswa kelas 86 sekolah 292 M. Koroteev.

Ahli matematika di sini, tentu saja, akan memperhatikan bahwa minimum dalam (1.4), secara tegas, mungkin tidak tercapai, dan dalam perumusan (1.4) perlu untuk mengganti rnin dengan inf (“infimum” adalah infimum dari mengatur). Namun, situasinya tidak akan berubah karena ini: formalisasi dalam hal ini tidak mencerminkan esensi masalah; dilakukan secara tidak benar. Di masa depan, agar tidak "menakutkan" insinyur, kami akan menggunakan notasi min, max; mengingat bahwa, jika perlu, mereka harus diganti dengan inf yang lebih umum, sup.

Di sini istilah "struktur" digunakan dalam pengertian yang agak sempit; 1.1, dan berarti komposisi subsistem dalam sistem dan jenis koneksi diantara mereka.

Graf adalah pasangan ( G, R), dimana G=(g1 ... gn) adalah himpunan berhingga dari simpul, a - relasi biner aktif G. Jika, maka, dan hanya jika, maka graf dikatakan tidak berarah; jika tidak, berarah. Pasangan itu disebut busur (sisi), dan elemen dari himpunan G- simpul grafik.

Artinya, aljabar atau transendental.

Sebenarnya, himpunan yang dapat dihitung adalah semacam idealisasi yang tidak dapat diimplementasikan dalam praktik karena ukuran sistem teknis yang terbatas dan batas persepsi manusia. Model ideal seperti itu (misalnya, himpunan bilangan asli N=(1, 2,...)) masuk akal untuk memperkenalkan himpunan hingga, tetapi dengan jumlah elemen yang sebelumnya tidak terbatas (atau tidak diketahui).

Secara formal, konsep operasi adalah kasus khusus dari konsep hubungan antar elemen himpunan. Misalnya, operasi penjumlahan Dua bilangan mendefinisikan relasi 3 tempat (ternary) R: triplet bilangan (x, y, z) z) milik relasi R(kita tulis (x, y, z)) jika z = x+y.

Bilangan kompleks, argumen polinomial TETAPI(), PADA().

Asumsi ini sering dipenuhi dalam praktik.

Jika nilainya tidak diketahui, maka harus diganti dalam (2.33) dengan perkiraan di mana Dalam hal ini, nilai akan didistribusikan tidak normal, tetapi menurut hukum Student, yang praktis tidak dapat dibedakan dari yang normal di.

Sangat mudah untuk melihat bahwa (2.34) adalah kasus khusus dari (2.32) jika diambil jika kejadiannya TETAPI datang j- m percobaan, jika tidak. Di mana

Dan hari ini Anda dapat menambahkan "... dan ilmu komputer" (catatan penulis).

1. Model matematika deterministik dan probabilistik dalam ilmu ekonomi. Keuntungan dan kerugian

Metode untuk mempelajari proses ekonomi didasarkan pada penggunaan model matematis - deterministik dan probabilistik - yang mewakili proses, sistem atau jenis kegiatan yang sedang dipelajari. Model semacam itu memberikan deskripsi kuantitatif masalah dan menjadi dasar pengambilan keputusan manajerial dalam mencari opsi terbaik. Seberapa dibenarkan keputusan ini, apakah itu yang terbaik, apakah semua faktor yang menentukan solusi optimal telah diperhitungkan dan ditimbang, kriteria apa yang memungkinkan Anda untuk menentukan bahwa solusi ini benar-benar yang terbaik - ini adalah kisaran pertanyaan yang sangat penting bagi manajer produksi, dan jawabannya dapat ditemukan dengan menggunakan metode riset operasi [Chesnokov S. V. Analisis deterministik data sosio-ekonomi. - M.: Nauka, 1982, hlm. 45].

Salah satu prinsip pembentukan sistem kendali adalah metode model cybernetic (matematis). Pemodelan matematika menempati posisi perantara antara eksperimen dan teori: tidak perlu membangun model fisik nyata dari sistem, itu akan digantikan oleh model matematika. Keunikan pembentukan sistem kontrol terletak pada pendekatan statistik probabilistik untuk proses kontrol. Dalam sibernetika, diterima bahwa setiap proses kontrol tunduk pada pengaruh acak dan mengganggu. Jadi, proses produksi dipengaruhi oleh sejumlah besar faktor, yang tidak dapat diperhitungkan secara deterministik. Oleh karena itu, proses produksi dianggap dipengaruhi oleh sinyal acak. Karena itu, perencanaan pekerjaan suatu perusahaan hanya dapat bersifat probabilistik.

Untuk alasan ini, ketika berbicara tentang pemodelan matematika dari proses ekonomi, seringkali model probabilistik yang dimaksudkan.

Mari kita jelaskan masing-masing jenis model matematika.

Model matematika deterministik dicirikan oleh fakta bahwa mereka menggambarkan hubungan faktor-faktor tertentu dengan indikator kinerja sebagai ketergantungan fungsional, yaitu dalam model deterministik, indikator kinerja model disajikan sebagai produk, hasil bagi, jumlah aljabar faktor, atau seperti fungsi lainnya. Jenis model matematika ini adalah yang paling umum, karena cukup mudah digunakan (dibandingkan dengan model probabilistik), memungkinkan Anda untuk memahami logika tindakan faktor utama dalam pengembangan proses ekonomi, mengukur pengaruhnya, memahami faktor-faktor mana dan dalam proporsi apa yang mungkin dan tepat untuk diubah guna meningkatkan efisiensi produksi.

Model matematika probabilistik pada dasarnya berbeda dari model deterministik dalam model probabilistik hubungan antara faktor dan fitur yang dihasilkan adalah probabilistik (stokastik): dengan ketergantungan fungsional (model deterministik), keadaan faktor yang sama sesuai dengan satu-satunya keadaan hasil fitur, sementara dalam model probabilistik satu dan keadaan faktor yang sama sesuai dengan seluruh rangkaian keadaan atribut yang dihasilkan [Tolstova Yu. N. Logika analisis matematis proses ekonomi. - M.: Nauka, 2001, hal. 32-33].

Keuntungan dari model deterministik adalah kemudahan penggunaannya. Kelemahan utama adalah rendahnya kecukupan realitas, karena, seperti disebutkan di atas, sebagian besar proses ekonomi bersifat probabilistik.

Keuntungan dari model probabilistik adalah bahwa, sebagai suatu peraturan, mereka lebih konsisten dengan kenyataan (lebih memadai) daripada yang deterministik. Namun, kelemahan model probabilistik adalah kompleksitas dan kerumitan penerapannya, sehingga dalam banyak situasi cukup membatasi diri pada model deterministik.

Untuk pertama kalinya, rumusan masalah program linier berupa usulan penyusunan rencana transportasi yang optimal; memungkinkan untuk meminimalkan total jarak tempuh, diberikan dalam karya ekonom Soviet A. N. Tolstoy pada tahun 1930.

Studi sistematis masalah pemrograman linier dan pengembangan metode umum untuk menyelesaikannya dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Rusia L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov dan matematikawan dan ekonom lainnya. Juga, banyak karya asing dan, di atas segalanya, ilmuwan Amerika mengabdikan diri pada metode pemrograman linier.

Tugas program linier adalah memaksimalkan (meminimalkan) suatu fungsi linier.

, di mana

di bawah batasan

dan semua

Komentar. Ketimpangan juga bisa memiliki arti yang berlawanan. Dengan mengalikan pertidaksamaan yang bersesuaian dengan (-1), kita selalu dapat memperoleh sistem berbentuk (*).

Jika jumlah variabel sistem kendala dan fungsi tujuan dalam model matematika dari masalah adalah 2, maka dapat diselesaikan secara grafis.

Jadi kita perlu memaksimalkan fungsinya

ke sistem kendala yang memuaskan.

Mari kita beralih ke salah satu pertidaksamaan sistem kendala.

Dari sudut pandang geometris, semua titik yang memenuhi pertidaksamaan ini harus terletak pada garis

, atau milik salah satu setengah bidang di mana bidang garis ini dibagi. Untuk mengetahuinya, Anda perlu memeriksa mana yang mengandung titik ().

Catatan 2. Jika

, lebih mudah untuk mengambil titik (0;0).

Kondisi untuk non-negatif

juga mendefinisikan setengah bidang, masing-masing, dengan garis batas

. Kami berasumsi bahwa sistem pertidaksamaan konsisten, maka setengah bidang, berpotongan, membentuk bagian yang sama, yang merupakan himpunan cembung dan merupakan kumpulan titik yang koordinatnya adalah solusi untuk sistem ini - ini adalah himpunan solusi yang layak . Himpunan titik-titik ini (solusi) disebut poligon solusi. Ini bisa berupa titik, sinar, poligon, area poligon tak terbatas. Dengan demikian, tugas pemrograman linier adalah menemukan titik poligon solusi di mana fungsi tujuan mengambil nilai maksimum (minimum). Titik ini ada ketika poligon solusi tidak kosong dan fungsi tujuan di atasnya dibatasi dari atas (dari bawah). Dalam kondisi ini, di salah satu simpul dari poligon keputusan, fungsi tujuan mengambil nilai maksimum. Untuk menentukan simpul ini, kita buat garis lurus

(dimana h adalah suatu konstanta). Paling sering diambil langsung

. Masih mencari tahu arah gerak garis lurus ini. Arah ini ditentukan oleh gradien (anti-gradien) dari fungsi tujuan.

tegak lurus garis di setiap titik

, sehingga nilai f akan meningkat ketika garis lurus bergerak ke arah gradien (menurun ke arah anti-gradien). Untuk melakukan ini, sejajar dengan garis

menggambar garis lurus, bergerak ke arah gradien (anti-gradien).

Kami akan melanjutkan konstruksi ini sampai garis melewati simpul terakhir dari poligon solusi. Titik ini menentukan nilai optimal.

Jadi, menemukan solusi untuk masalah program linier dengan metode geometris meliputi langkah-langkah berikut:

Garis dibangun, persamaan yang diperoleh sebagai hasil dari penggantian tanda-tanda ketidaksetaraan dalam pembatasan dengan tanda-tanda persamaan yang tepat.

Temukan setengah bidang yang ditentukan oleh masing-masing kendala masalah.

Temukan poligon solusi.

Bangun vektor

Bangun garis lurus

Bangun garis paralel

dalam arah gradien atau anti-gradien, sebagai akibatnya ditemukan titik di mana fungsi mengambil nilai maksimum atau minimum, atau ketidakterbatasan dari atas (dari bawah) fungsi pada himpunan yang dapat diterima ditetapkan.

Koordinat titik maksimum (minimum) fungsi ditentukan dan nilai fungsi tujuan pada titik ini dihitung.

Masalah nutrisi rasional (masalah pola makan)

Rumusan masalah

Peternakan menghasilkan ternak penggemukan untuk tujuan komersial. Untuk mempermudah, mari kita asumsikan bahwa hanya ada empat jenis produk: P1, P2, P3, P4; biaya unit masing-masing produk adalah C1, C2, C3, C4, masing-masing. Dari produk ini diperlukan diet, yang harus mengandung: protein - setidaknya b1 unit; karbohidrat - tidak kurang dari b2 unit; lemak - setidaknya b3 unit. Untuk produk P1, P2, P3, P4, kandungan protein, karbohidrat dan lemak (dalam satuan per unit produk) diketahui dan diberikan dalam tabel, dimana aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - beberapa nomor tertentu indeks pertama menunjukkan jumlah produk, yang kedua - jumlah elemen (protein, karbohidrat, lemak).

Model matematika di bidang ekonomi dan pemrograman

1. Model matematika deterministik dan probabilistik dalam ilmu ekonomi. Keuntungan dan kerugian

Untuk alasan ini, ketika berbicara tentang pemodelan matematika dari proses ekonomi, seringkali model probabilistik yang dimaksudkan.

Mari kita jelaskan masing-masing jenis model matematika.

2. Rumusan masalah program linier pada contoh masalah jatah makanan

Tugas program linier adalah memaksimalkan (meminimalkan) suatu fungsi linier.

di bawah batasan

dan semua

Komentar. Ketimpangan juga bisa memiliki arti yang berlawanan. Dengan mengalikan pertidaksamaan yang bersesuaian dengan (-1), kita selalu dapat memperoleh sistem berbentuk (*).

Jika jumlah variabel sistem kendala dan fungsi tujuan dalam model matematika dari masalah adalah 2, maka dapat diselesaikan secara grafis.

Jadi, perlu untuk memaksimalkan fungsi ke sistem kendala yang memuaskan.

Mari kita beralih ke salah satu pertidaksamaan sistem kendala.

Dari sudut pandang geometris, semua titik yang memenuhi pertidaksamaan ini harus terletak pada garis atau termasuk dalam salah satu setengah bidang di mana bidang garis ini dibagi. Untuk mengetahuinya, Anda perlu memeriksa mana yang mengandung titik ().

Keterangan 2. Jika , maka lebih mudah untuk mengambil titik (0;0).

Kondisi non-negatif juga mendefinisikan setengah bidang, masing-masing, dengan garis batas. Kami berasumsi bahwa sistem pertidaksamaan konsisten, maka setengah bidang, berpotongan, membentuk bagian yang sama, yang merupakan himpunan cembung dan merupakan kumpulan titik yang koordinatnya adalah solusi untuk sistem ini - ini adalah himpunan solusi yang layak . Himpunan titik-titik ini (solusi) disebut poligon solusi. Ini bisa berupa titik, sinar, poligon, area poligon tak terbatas. Dengan demikian, tugas pemrograman linier adalah menemukan titik poligon solusi di mana fungsi tujuan mengambil nilai maksimum (minimum). Titik ini ada ketika poligon solusi tidak kosong dan fungsi tujuan di atasnya dibatasi dari atas (dari bawah). Dalam kondisi ini, di salah satu simpul dari poligon keputusan, fungsi tujuan mengambil nilai maksimum. Untuk menentukan simpul ini, kita membuat garis lurus (di mana h adalah suatu konstanta). Paling sering, garis lurus diambil. Masih mencari tahu arah gerak garis lurus ini. Arah ini ditentukan oleh gradien (anti-gradien) dari fungsi tujuan.

Vektor pada setiap titik tegak lurus terhadap garis, sehingga nilai f akan meningkat seiring dengan pergerakan garis ke arah gradien (menurun ke arah anti-gradien). Untuk melakukan ini, kami menggambar garis lurus sejajar dengan garis lurus, bergerak ke arah gradien (anti-gradien).

Kami akan melanjutkan konstruksi ini sampai garis melewati simpul terakhir dari poligon solusi. Titik ini menentukan nilai optimal.

Jadi, menemukan solusi untuk masalah program linier dengan metode geometris meliputi langkah-langkah berikut:

Garis dibangun, persamaan yang diperoleh sebagai hasil dari penggantian tanda-tanda ketidaksetaraan dalam pembatasan dengan tanda-tanda persamaan yang tepat.

Temukan setengah bidang yang ditentukan oleh masing-masing kendala masalah.

Temukan poligon solusi.

Bangun vektor.

Membangun garis lurus.

Garis paralel dibangun ke arah gradien atau anti-gradien, sebagai akibatnya mereka menemukan titik di mana fungsi mengambil nilai maksimum atau minimum, atau mengatur fungsi menjadi tidak terbatas dari atas (dari bawah) pada himpunan yang dapat diterima.

Koordinat titik maksimum (minimum) fungsi ditentukan dan nilai fungsi tujuan pada titik ini dihitung.

Masalah nutrisi rasional (masalah pola makan)

Rumusan masalah

23 Januari 2017

Model stokastik menggambarkan situasi ketika ada ketidakpastian. Dengan kata lain, proses dicirikan oleh beberapa tingkat keacakan. Kata sifat “stochastic” sendiri berasal dari kata Yunani “guess”. Karena ketidakpastian adalah karakteristik utama dari kehidupan sehari-hari, model seperti itu dapat menggambarkan apa saja.

Namun, setiap kali kita menerapkannya, hasilnya akan berbeda. Oleh karena itu, model deterministik lebih sering digunakan. Meskipun mereka tidak sedekat mungkin dengan keadaan sebenarnya, mereka selalu memberikan hasil yang sama dan membuatnya lebih mudah untuk memahami situasi, menyederhanakannya dengan memperkenalkan serangkaian persamaan matematika.

Fitur utama

Model stokastik selalu menyertakan satu atau lebih variabel acak. Dia berusaha untuk mencerminkan kehidupan nyata dalam semua manifestasinya. Berbeda dengan model deterministik, model stokastik tidak bertujuan untuk menyederhanakan segala sesuatu dan mereduksinya ke nilai yang diketahui. Oleh karena itu, ketidakpastian adalah karakteristik utamanya. Model stokastik cocok untuk menggambarkan apa pun, tetapi semuanya memiliki fitur umum berikut:

Setiap model stokastik mencerminkan semua aspek masalah yang dibuatnya.
Hasil dari setiap fenomena tidak pasti. Oleh karena itu, model mencakup probabilitas. Kebenaran hasil keseluruhan tergantung pada keakuratan perhitungannya.
Probabilitas ini dapat digunakan untuk memprediksi atau menggambarkan proses itu sendiri.

Model deterministik dan stokastik

Bagi beberapa orang, kehidupan muncul sebagai serangkaian peristiwa acak, bagi yang lain - proses di mana penyebab menentukan efeknya. Faktanya, ini ditandai dengan ketidakpastian, tetapi tidak selalu dan tidak dalam segala hal. Oleh karena itu, terkadang sulit untuk menemukan perbedaan yang jelas antara model stokastik dan deterministik. Probabilitas cukup subjektif.

Misalnya, pertimbangkan situasi lempar koin. Sepintas, sepertinya ada peluang 50% untuk mendapatkan ekor. Oleh karena itu, model deterministik harus digunakan. Namun, pada kenyataannya ternyata banyak bergantung pada ketangkasan tangan para pemain dan kesempurnaan keseimbangan koin. Ini berarti bahwa model stokastik harus digunakan. Selalu ada parameter yang tidak kita ketahui. Dalam kehidupan nyata, penyebab selalu menentukan akibat, tetapi ada juga tingkat ketidakpastian tertentu. Pilihan antara menggunakan model deterministik dan stokastik tergantung pada apa yang ingin kita lepaskan - kesederhanaan analisis atau realisme.

Video Terkait

Dalam teori chaos

Baru-baru ini, konsep model yang disebut stokastik menjadi semakin kabur. Hal ini disebabkan oleh perkembangan yang disebut teori chaos. Ini menggambarkan model deterministik yang dapat memberikan hasil yang berbeda dengan sedikit perubahan pada parameter awal. Ini seperti pengantar perhitungan ketidakpastian. Banyak ilmuwan bahkan telah mengakui bahwa ini sudah menjadi model stokastik.

Lothar Breuer dengan elegan menjelaskan semuanya dengan bantuan gambar puitis. Dia menulis: “Aliran gunung, jantung yang berdetak, wabah cacar, kolom asap yang mengepul - semua ini adalah contoh dari fenomena dinamis, yang, tampaknya, kadang-kadang ditandai secara kebetulan. Pada kenyataannya, proses seperti itu selalu tunduk pada urutan tertentu, yang baru mulai dipahami oleh para ilmuwan dan insinyur. Inilah yang disebut kekacauan deterministik.” Teori baru ini terdengar sangat masuk akal, itulah sebabnya banyak ilmuwan modern menjadi pendukungnya. Namun, masih sedikit berkembang, dan agak sulit untuk menerapkannya dalam perhitungan statistik. Oleh karena itu, model stokastik atau deterministik sering digunakan.

Bangunan

Model matematika stokastik dimulai dengan pemilihan ruang hasil elementer. Jadi dalam statistik mereka menyebut daftar kemungkinan hasil dari proses atau peristiwa yang dipelajari. Peneliti kemudian menentukan probabilitas dari setiap hasil dasar. Biasanya ini dilakukan atas dasar teknik tertentu.

Namun, probabilitas masih merupakan parameter yang cukup subjektif. Peneliti kemudian menentukan peristiwa mana yang paling menarik untuk pemecahan masalah. Setelah itu, itu hanya menentukan probabilitas mereka.

Contoh

Pertimbangkan proses membangun model stokastik paling sederhana. Misalkan kita melempar dadu. Jika "enam" atau "satu" jatuh, maka kemenangan kita akan menjadi sepuluh dolar. Proses membangun model stokastik dalam hal ini akan terlihat seperti ini:

Mari kita definisikan ruang hasil elementer. Dadu memiliki enam sisi, jadi satu, dua, tiga, empat, lima, dan enam bisa muncul.
Peluang setiap hasil akan sama dengan 1/6, tidak peduli berapa banyak kita melempar dadu.
Sekarang kita perlu menentukan hasil yang menarik bagi kita. Ini adalah hilangnya wajah dengan angka "enam" atau "satu".
Akhirnya, kita dapat menentukan probabilitas peristiwa yang menarik bagi kita. Ini adalah 1/3. Kami menjumlahkan probabilitas kedua peristiwa dasar yang menarik bagi kami: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Konsep dan hasil

Simulasi stokastik sering digunakan dalam perjudian. Tetapi ini juga sangat diperlukan dalam peramalan ekonomi, karena memungkinkan Anda untuk memahami situasi lebih dalam daripada yang deterministik. Model stokastik dalam ilmu ekonomi sering digunakan dalam pengambilan keputusan investasi. Mereka memungkinkan Anda untuk membuat asumsi tentang profitabilitas investasi dalam aset tertentu atau kelompok mereka.

Pemodelan membuat perencanaan keuangan lebih efisien. Dengan bantuannya, investor dan pedagang mengoptimalkan distribusi aset mereka. Menggunakan pemodelan stokastik selalu memiliki keuntungan dalam jangka panjang. Di beberapa industri, penolakan atau ketidakmampuan untuk menerapkannya bahkan dapat menyebabkan kebangkrutan perusahaan. Ini disebabkan oleh fakta bahwa dalam kehidupan nyata parameter penting baru muncul setiap hari, dan jika tidak diperhitungkan, ini dapat memiliki konsekuensi yang menghancurkan.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri