\(5x+xy\) dapat direpresentasikan sebagai \(x(5+y)\). Ini memang ekspresi yang sama, kita dapat memverifikasi ini jika kita memperluas tanda kurung: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan ekspresi asli sebagai hasilnya. Jadi \(5x+xy\) benar-benar sama dengan \(x(5+y)\). Omong-omong, ini adalah cara yang andal untuk memeriksa kebenaran dengan menghilangkan faktor-faktor umum - buka tanda kurung yang dihasilkan dan bandingkan hasilnya dengan ekspresi aslinya.

Aturan utama kurung:

Misalnya, dalam ekspresi \(3ab+5bc-abc\) hanya \(b\) yang dapat dikeluarkan dari kurung, karena hanya itu yang ada di ketiga suku. Proses bracketing faktor persekutuan ditunjukkan pada diagram di bawah ini:

Aturan Bracketing

Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk mengambil semua faktor persekutuan sekaligus.

Contoh:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Perhatikan bahwa di sini kita dapat memperluas seperti ini: \(3(xy-xz)\) atau seperti ini: \(x(3y-3z)\). Namun, ini akan menjadi ekspansi yang tidak lengkap. Penting untuk mengeluarkan ketiganya dan X.


Terkadang anggota biasa tidak langsung terlihat.


Contoh:\(10x-15y=2 5 x-3 5 y=5(2x-3y)\)
Dalam hal ini, istilah umum (kuintupel) telah disembunyikan. Namun, menguraikan \(10\) sebagai \(2\) kali \(5\), dan \(15\) sebagai \(3\) kali \(5\) - kami "menarik lima ke dalam cahaya Tuhan ", setelah itu mereka dapat dengan mudah mengeluarkannya dari braket.


Jika monomial diambil sepenuhnya, satu tetap darinya.

Contoh: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Kami mengambil \(x\) dari kurung, dan monomial ketiga hanya terdiri dari x. Mengapa hanya ada satu yang tersisa? Karena jika ada ekspresi yang dikalikan satu, tidak akan berubah. Artinya, \(x\) yang sama ini dapat direpresentasikan sebagai \(1\cdot x\). Kemudian kita memiliki rantai transformasi berikut:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (satu\) \()\)

Selain itu, ini adalah satu-satunya cara rendering yang benar, karena jika kita tidak meninggalkan unit, maka saat membuka tanda kurung, kita tidak akan kembali ke ekspresi aslinya. Memang, jika kita membuat penghapusan seperti ini \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), maka ketika memperluas kita mendapatkan \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Anggota ketiga hilang. Oleh karena itu, pernyataan seperti itu tidak benar.

Tanda minus bisa dikeluarkan dari kurung, sedangkan tanda suku dengan kurung dibalik.


Contoh:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Sebenarnya, di sini kita mengurung "minus satu", yang dapat "disorot" sebelum monomial apa pun, bahkan jika tidak ada minus sebelumnya. Di sini kita menggunakan fakta bahwa satu dapat ditulis sebagai \((-1) \cdot (-1)\). Berikut adalah contoh yang sama, dicat secara detail:

\(x-y=\)
\(=1 x+(-1) y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Tanda kurung juga bisa menjadi faktor umum.


Contoh:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Kami paling sering menghadapi situasi seperti itu (tanda kurung di luar kurung) ketika memfaktorkan dengan metode pengelompokan atau

Artikel ini menjelaskan, bagaimana menemukan penyebut umum terendah dan cara membawa pecahan ke penyebut yang sama. Pertama, definisi penyebut umum pecahan dan penyebut terkecil diberikan, dan juga ditunjukkan bagaimana menemukan penyebut umum pecahan. Berikut ini adalah aturan untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama dan contoh penerapan aturan ini dipertimbangkan. Sebagai kesimpulan, contoh membawa tiga atau lebih pecahan ke penyebut yang sama dianalisis.

Navigasi halaman.

Apa yang disebut pengurangan pecahan ke penyebut yang sama?

Sekarang kita dapat mengatakan apa artinya membawa pecahan ke penyebut yang sama. Membawa pecahan ke penyebut yang sama adalah perkalian antara pembilang dan penyebut pecahan yang diberikan dengan faktor tambahan sedemikian rupa sehingga hasilnya adalah pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut umum, definisi, contoh

Sekarang saatnya menentukan penyebut umum pecahan.

Dengan kata lain, penyebut umum dari beberapa himpunan pecahan biasa adalah bilangan asli apa pun yang habis dibagi oleh semua penyebut pecahan ini.

Ini mengikuti dari definisi yang dinyatakan bahwa himpunan pecahan ini memiliki banyak penyebut yang sama, karena ada banyak kelipatan umum dari semua penyebut dari himpunan pecahan asli.

Menentukan penyebut umum pecahan memungkinkan Anda menemukan penyebut umum dari pecahan yang diberikan. Misal, diberikan pecahan 1/4 dan 5/6, penyebutnya masing-masing adalah 4 dan 6. Kelipatan persekutuan positif dari 4 dan 6 adalah bilangan 12, 24, 36, 48, ... Salah satu dari bilangan tersebut adalah penyebut dari pecahan 1/4 dan 5/6.

Untuk mengkonsolidasikan materi, perhatikan solusi dari contoh berikut.

Contoh.

Apakah mungkin untuk mengurangi pecahan 2/3, 23/6 dan 7/12 menjadi penyebut bersama 150?

Keputusan.

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mencari tahu apakah bilangan 150 merupakan kelipatan persekutuan dari penyebut 3, 6 dan 12. Untuk melakukannya, periksa apakah 150 habis dibagi rata oleh masing-masing bilangan ini (jika perlu, lihat aturan dan contoh pembagian bilangan asli, serta aturan dan contoh pembagian bilangan asli dengan sisa): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (istirahat 6) .

Jadi, 150 tidak habis dibagi 12, jadi 150 bukan kelipatan persekutuan dari 3, 6, dan 12. Oleh karena itu, bilangan 150 tidak dapat menjadi penyebut yang sama dari pecahan aslinya.

Menjawab:

Hal ini dilarang.

Penyebut umum terendah, bagaimana menemukannya?

Dalam himpunan bilangan yang merupakan penyebut umum dari pecahan ini, ada bilangan asli terkecil, yang disebut penyebut terkecil. Mari kita rumuskan definisi penyebut terkecil dari pecahan-pecahan ini.

Definisi.

Penyebut persekutuan terendah adalah bilangan terkecil dari semua penyebut umum dari pecahan-pecahan tersebut.

Masih berurusan dengan pertanyaan tentang bagaimana menemukan pembagi yang paling tidak umum.

Karena merupakan pembagi persekutuan terkecil dari himpunan bilangan tertentu, KPK dari penyebut pecahan ini adalah penyebut persekutuan terkecil dari pecahan tersebut.

Dengan demikian, menemukan penyebut pecahan yang paling umum direduksi menjadi penyebut pecahan ini. Mari kita lihat contoh solusi.

Contoh.

Tentukan penyebut terkecil dari 3/10 dan 277/28.

Keputusan.

Penyebut pecahan ini adalah 10 dan 28. Penyebut terkecil yang diinginkan ditemukan sebagai KPK dari angka 10 dan 28. Dalam kasus kami, itu mudah: karena 10=2 5 dan 28=2 2 7 , maka KPK(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Menjawab:

140 .

Bagaimana cara membawa pecahan ke penyebut yang sama? Aturan, contoh, solusi

Pecahan biasa biasanya mengarah ke penyebut umum terendah. Sekarang kita akan menuliskan sebuah aturan yang menjelaskan cara mengecilkan pecahan ke penyebut persekutuan terkecil.

Aturan untuk mengurangi pecahan ke penyebut umum terendah terdiri dari tiga langkah:

• Pertama, cari penyebut terkecil dari pecahan.
• Kedua, untuk setiap pecahan, faktor tambahan dihitung, di mana penyebut persekutuan terendah dibagi dengan penyebut masing-masing pecahan.
• Ketiga, pembilang dan penyebut setiap pecahan dikalikan dengan faktor tambahannya.

Mari kita terapkan aturan yang dinyatakan untuk solusi dari contoh berikut.

Contoh.

Kurangi pecahan 5/14 dan 7/18 ke penyebut umum terendah.

Keputusan.

Mari kita lakukan semua langkah algoritme untuk mengurangi pecahan ke penyebut umum terkecil.

Pertama, kita cari penyebut persekutuan terkecil, yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 14 dan 18. Karena 14=2 7 dan 18=2 3 3 , maka KPK(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Sekarang kami menghitung faktor tambahan dengan bantuan pecahan 5/14 dan 7/18 akan dikurangi menjadi penyebut 126. Untuk pecahan 5/14 faktor tambahannya adalah 126:14=9 , dan untuk pecahan 7/18 faktor tambahannya adalah 126:18=7 .

Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan 5/14 dan 7/18 dengan faktor tambahan masing-masing 9 dan 7. Kami memiliki dan .

Jadi, pengurangan pecahan 5/14 dan 7/18 ke penyebut umum terkecil selesai. Hasilnya adalah pecahan 45/126 dan 49/126.

Untuk membawa pecahan ke penyebut terkecil, Anda harus: 1) menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan ini, itu akan menjadi penyebut terkecil. 2) temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang penyebutnya kita bagi dengan penyebut masing-masing pecahan. 3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

Contoh. Kurangi pecahan berikut ke penyebut persekutuan terkecil.

Kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut: KPK(5; 4) = 20, karena 20 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 4. Kami menemukan untuk pecahan pertama faktor tambahan 4 (20 : 5=4). Untuk pecahan ke-2, pengali tambahannya adalah 5 (20 : 4=5). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut umum terendah ( 20 ).

Penyebut persekutuan terkecil dari pecahan ini adalah 8, karena 8 habis dibagi 4 dan dirinya sendiri. Tidak akan ada pengali tambahan untuk pecahan ke-1 (atau kita dapat mengatakan bahwa itu sama dengan satu), ke pecahan ke-2 pengali tambahannya adalah 2 (8 : 4=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 2. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 8 ).

Fraksi ini tidak dapat direduksi.

Kami mengurangi pecahan pertama dengan 4, dan kami mengurangi pecahan ke-2 dengan 2. ( lihat contoh pengurangan pecahan biasa: Peta Situs → 5.4.2. Contoh pengurangan pecahan biasa). Cari KPK(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 5 (80 : 16=5). Pengganda tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 4 (80 : 20=4). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 5, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 4. Kami mengurangi pecahan ini ke penyebut umum terendah ( 80 ).

Temukan penyebut terkecil dari NOC(5 ; 6 dan 15) = KPK(5 ; 6 dan 15)=30. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 6 (30 : 5=6), pengali tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 5 (30 : 6=5), pengali tambahan ke pecahan ke-3 adalah 2 (30 : 15=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 6, pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5, pembilang dan penyebut pecahan ke-3 dengan 2. Kami mengurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 30 ).

Halaman 1 dari 1 1

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut yang berbeda, pecahan tersebut terlebih dahulu menghasilkan faktor persekutuan. Ini berarti bahwa mereka menemukan penyebut tunggal, yang dibagi dengan penyebut asli dari setiap pecahan aljabar yang merupakan bagian dari ekspresi ini.

Seperti yang Anda ketahui, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama selain nol, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Ini adalah properti utama dari pecahan. Oleh karena itu, ketika pecahan mengarah ke penyebut yang sama, sebenarnya, penyebut asli dari setiap pecahan dikalikan dengan faktor yang hilang ke penyebut yang sama. Dalam hal ini, perlu untuk mengalikan dengan faktor ini dan pembilang pecahan (berbeda untuk setiap pecahan).

Misalnya, diberikan jumlah pecahan aljabar berikut:

Hal ini diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi, yaitu menambahkan dua pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, pertama-tama, perlu untuk mengurangi suku-pecahan menjadi penyebut yang sama. Langkah pertama adalah mencari monomial yang habis dibagi 3x dan 2y. Dalam hal ini, diinginkan bahwa itu menjadi yang terkecil, yaitu, mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk 3x dan 2y.

Untuk koefisien numerik dan variabel, KPK dicari secara terpisah. KPK(3, 2) = 6 dan KPK(x, y) = xy. Selanjutnya, nilai yang ditemukan dikalikan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa kita perlu mengalikan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy 3x = 2y

Ini berarti bahwa ketika mereduksi pecahan aljabar pertama menjadi penyebut yang sama, pembilangnya harus dikalikan dengan 2y (penyebutnya sudah dikalikan saat direduksi menjadi penyebut yang sama). Faktor pembilang pecahan kedua juga dicari. Ini akan sama dengan 3x.

Dengan demikian, kita mendapatkan:

Selanjutnya, sudah dimungkinkan untuk bertindak sebagai pecahan dengan penyebut yang sama: pembilangnya ditambahkan, dan satu persamaan ditulis dalam penyebutnya:

Setelah transformasi, ekspresi yang disederhanakan diperoleh, yang merupakan satu fraksi aljabar, yang merupakan jumlah dari dua yang asli:

Pecahan aljabar dalam ekspresi asli dapat berisi penyebut yang polinomial daripada monomial (seperti dalam contoh di atas). Dalam hal ini, sebelum menemukan penyebut yang sama, faktorkan penyebutnya (jika mungkin). Selanjutnya, penyebut umum dikumpulkan dari faktor yang berbeda. Jika faktornya ada beberapa penyebut awal, maka diambil satu kali. Jika faktor tersebut memiliki derajat yang berbeda pada penyebut aslinya, maka diambil dengan yang lebih besar. Sebagai contoh:

Di sini polinomial a 2 - b 2 dapat direpresentasikan sebagai produk (a - b)(a + b). Faktor 2a – 2b diekspansi menjadi 2(a – b). Jadi, penyebutnya akan sama dengan 2(a - b)(a + b).

Dalam kerangka studi transformasi identik, topik menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung sangat penting. Dalam artikel ini, kami akan menjelaskan apa sebenarnya transformasi ini, mendapatkan aturan dasar, dan menganalisis contoh-contoh masalah.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep memfaktorkan tanda kurung

Agar berhasil menerapkan transformasi ini, Anda perlu mengetahui ekspresi mana yang digunakan dan hasil apa yang ingin Anda dapatkan sebagai hasilnya. Mari kita jelaskan poin-poin ini.

Anda dapat mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung dalam ekspresi yang merupakan jumlah di mana setiap suku adalah produk, dan di setiap produk ada satu faktor yang umum (sama) untuk semua orang. Inilah yang disebut faktor persekutuan. Itulah yang akan kita keluarkan dari kurung. Jadi, jika kita memiliki karya 5 3 dan 5 4 , maka kita dapat mengambil faktor persekutuan 5 dari kurung.

Apa transformasi ini? Dalam perjalanannya, kami mewakili ekspresi asli sebagai produk dari faktor persekutuan dan ekspresi dalam tanda kurung yang berisi jumlah semua suku asli, kecuali untuk faktor persekutuan.

Mari kita ambil contoh di atas. Kami menghilangkan faktor persekutuan 5 di 5 3 dan 5 4 dan dapatkan 5 (3 + 4) . Ekspresi terakhir adalah produk dari faktor persekutuan 5 dan ekspresi dalam tanda kurung, yang merupakan jumlah dari suku-suku asli tanpa 5 .

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian, yang telah kita pelajari sebelumnya. Dalam bentuk literal, dapat ditulis sebagai a (b + c) = a b + a c. Dengan mengubah ruas kanan dari kiri, kita akan melihat skema mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung.

Aturan untuk mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung

Dengan menggunakan semua hal di atas, kami memperoleh aturan dasar untuk transformasi seperti itu:

Definisi 1

Untuk mengurung faktor persekutuan, Anda perlu menulis ekspresi asli sebagai produk dari faktor persekutuan dan kurung, yang menyertakan jumlah asli tanpa faktor persekutuan.

Contoh 1

Mari kita ambil contoh sederhana dari rendering. Kami memiliki ekspresi numerik 3 7 + 3 2 3 5, yang merupakan jumlah dari tiga suku 3 · 7 , 3 · 2 dan faktor persekutuan 3 . Mengambil sebagai dasar aturan yang telah kita peroleh, kita menulis produk sebagai 3 (7 + 2 - 5). Ini adalah hasil transformasi kami. Entri solusi terlihat seperti ini: 3 7 + 3 2 3 5 = 3 (7 + 2 5).

Kita dapat mengeluarkan faktor dari kurung tidak hanya dalam numerik, tetapi juga dalam ekspresi literal. Misalnya, di 3 x 7 x + 2 Anda dapat mengambil variabel x dan mendapatkan 3 x 7 x + 2 = x (3 7) + 2, dalam ekspresi (x 2 + y) x y (x 2 + y) x 3- pengganda umum (x 2 + y) dan dapatkan pada akhirnya (x 2 + y) (x y x 3).

Tidak selalu mungkin untuk segera menentukan pengganda mana yang umum. Terkadang ekspresi perlu diubah terlebih dahulu dengan mengganti angka dan ekspresi dengan produk yang identik sama.

Contoh 2

Jadi, misalnya, dalam ekspresi 6 x + 4 tahun anda dapat mengambil faktor umum 2 , tidak ditulis secara eksplisit. Untuk menemukannya, kita perlu mengubah ekspresi aslinya, yang mewakili enam sebagai 2 3 dan empat sebagai 2 2 . Yaitu 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Atau dalam ungkapan x 3 + x 2 + 3 x dapat dikurung oleh faktor persekutuan x , yang ditemukan setelah penggantian x 3 di x · x 2 . Transformasi semacam itu dimungkinkan karena sifat dasar derajat. Sebagai hasilnya, kami mendapatkan ekspresi x (x 2 + x + 3).

Kasus lain yang harus ditangani secara terpisah adalah tanda kurung minus. Kemudian kita tidak mengambil tanda itu sendiri, tetapi minus satu. Misalnya, mari kita ubah ekspresi dengan cara ini 5 12 x + 4 x y. Mari kita tulis ulang ekspresinya sebagai (− 1) 5 + (− 1) 12 x (− 1) 4 x y sehingga pengganda total dapat terlihat lebih jelas. Keluarkan dari kurung dan dapatkan (5 + 12 x 4 x y) . Contoh ini menunjukkan bahwa dalam tanda kurung diperoleh jumlah yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan.

Dalam kesimpulan, kami mencatat bahwa transformasi dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung sangat sering digunakan dalam praktik, misalnya, untuk menghitung nilai ekspresi rasional. Selain itu, metode ini berguna saat Anda perlu merepresentasikan ekspresi sebagai produk, misalnya, untuk menguraikan polinomial menjadi faktor terpisah.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter