შემდგომი თვისებები დაკავშირებულია მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებებთან

მცირეწლოვანიელემენტს ეწოდება განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება მწკრივისა და სვეტის წაშლის შემდეგ დარჩენილი ელემენტებისაგან, რომელთა გადაკვეთაზე მდებარეობს ეს ელემენტი. რიგის განმსაზღვრელ ელემენტს მინორი აქვს რიგი. ჩვენ აღვნიშნავთ მას.

მაგალითი 1დაე , მაშინ .

ეს მინორი მიიღება A-დან მეორე რიგისა და მესამე სვეტის წაშლით.

ალგებრული დამატებაელემენტს ეწოდება შესაბამისი მინორი გამრავლებული , ე.ი. , სადაც არის იმ მწკრივისა და -სვეტის რიცხვი, რომელთა გადაკვეთაზე მდებარეობს მოცემული ელემენტი.

VIII.(დეტერმინანტის დაშლა რომელიმე სტრიქონის ელემენტებზე). განმსაზღვრელი უდრის რომელიმე მწკრივის ელემენტების ნამრავლებისა და მათი შესაბამისი ალგებრული დამატებების ჯამს.

მაგალითი 2დაე , მაშინ

მაგალითი 3მოდი ვიპოვოთ მატრიცის განმსაზღვრელი , აფართოებს მას პირველი რიგის ელემენტებით.

ფორმალურად, ეს თეორემა და დეტერმინანტების სხვა თვისებები გამოიყენება მხოლოდ მატრიცების განმსაზღვრელებისთვის, რომლებიც არ აღემატება მესამე რიგის, რადგან ჩვენ არ განვიხილავთ სხვა დეტერმინანტებს. შემდეგი განმარტება გაავრცელებს ამ თვისებებს ნებისმიერი რიგის დეტერმინანტებზე.

მატრიცის განმსაზღვრელი შეკვეთაეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოითვლება დაშლის თეორემისა და დეტერმინანტების სხვა თვისებების თანმიმდევრული გამოყენებით.

შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ გაანგარიშების შედეგი არ არის დამოკიდებული ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენების თანმიმდევრობაზე და რომელ რიგებსა და სვეტებზე. განმსაზღვრელი შეიძლება ცალსახად განისაზღვროს ამ განმარტების გამოყენებით.

მიუხედავად იმისა, რომ ეს განმარტება არ შეიცავს დეტერმინანტის პოვნის მკაფიო ფორმულას, ის საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ იგი ქვედა რიგის მატრიცების დეტერმინანტებამდე შემცირებით. ასეთ განმარტებებს ე.წ განმეორებადი.

მაგალითი 4გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

მიუხედავად იმისა, რომ დაშლის თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოცემული მატრიცის ნებისმიერ მწკრივზე ან სვეტზე, რაც შეიძლება მეტი ნულის შემცველი სვეტის დაშლისას ნაკლები გამოთვლა იქნება.

ვინაიდან მატრიცას არ აქვს ნულოვანი ელემენტები, ჩვენ მათ ვიღებთ თვისების გამოყენებით VII. გავამრავლოთ პირველი რიგი თანმიმდევრულად რიცხვებით და დაამატეთ იგი სტრიქონებში და მიიღეთ:

ჩვენ ვაფართოებთ მიღებულ განმსაზღვრელს პირველ სვეტში და ვიღებთ:

ვინაიდან განმსაზღვრელი შეიცავს ორ პროპორციულ სვეტს.

მატრიცების ზოგიერთი ტიპი და მათი განმსაზღვრელი

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ნულოვანი ელემენტები მდებარეობს მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ან ზემოთ () ეწოდება სამკუთხა.

შესაბამისად მათი სქემატური სტრუქტურა ასე გამოიყურება: ან

.

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი რომელიმე რიგის ან სვეტის ელემენტებზე გაფართოებით.

გამოსავალი.მოდით, ჯერ შევასრულოთ ელემენტარული გარდაქმნები დეტერმინანტის მწკრივებზე, რაც შეიძლება მეტი ნულის შედგენით მწკრივში ან სვეტში. ამისათვის ჯერ პირველ ხაზს გამოვაკლებთ ცხრა მესამედს, მეორეს ხუთ მესამედს და მეოთხეს სამი მესამედს, მივიღებთ:

ჩვენ ვაფართოებთ მიღებულ განმსაზღვრელს პირველი სვეტის ელემენტებით:

შედეგად მიღებული მესამე რიგის განმსაზღვრელი ასევე გაფართოვდა მწკრივისა და სვეტის ელემენტებით, მანამდე მიღებული ნულები, მაგალითად, პირველ სვეტში. ამისათვის ჩვენ გამოვაკლებთ ორ მეორე ხაზს პირველ ხაზს, ხოლო მეორეს მესამეს:

უპასუხე.

12. Slough 3 ორდენი

1. სამკუთხედის წესი

სქემატურად, ეს წესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

პირველი განმსაზღვრელი ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც დაკავშირებულია ხაზებით, აღებულია პლუს ნიშნით; ანალოგიურად, მეორე განმსაზღვრელზეც შესაბამისი პროდუქტები აღებულია მინუს ნიშნით, ე.ი.

2. სარუსის წესი

განმსაზღვრელზე მარჯვნივ ემატება პირველი ორი სვეტი და ელემენტების ნამრავლები მთავარ დიაგონალზე და მის პარალელურ დიაგონალებზე მიიღება პლუსის ნიშნით; და მეორადი დიაგონალის ელემენტების და მის პარალელურ დიაგონალების ნამრავლები მინუს ნიშნით:

3. დეტერმინანტის გაფართოება მწკრივში ან სვეტში

განმსაზღვრელი უდრის განმსაზღვრელი მწკრივის ელემენტებისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ნამრავლების ჯამს. ჩვეულებრივ ირჩევთ სტრიქონს/სვეტს, რომელშიც/ე არის ნულები. მწკრივი ან სვეტი, რომელზედაც ხდება დაშლა, მითითებული იქნება ისრით.

ვარჯიში.პირველ რიგში გაფართოვდით, გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გამოსავალი.

უპასუხე.

4. დეტერმინანტის მოყვანა სამკუთხა ფორმამდე

მწკრივებზე ან სვეტებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განმსაზღვრელი მცირდება სამკუთხა ფორმამდე, შემდეგ კი მისი მნიშვნელობა, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, უდრის ძირითად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანა.

გამოსავალი.პირველ რიგში, ჩვენ ვაკეთებთ ნულებს პირველ სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ. ყველა ტრანსფორმაცია უფრო ადვილი იქნება, თუ ელემენტი 1-ის ტოლია. ამისათვის ჩვენ გადავცვლით განმსაზღვრელი პირველი და მეორე სვეტებს, რაც, დეტერმინანტის თვისებების მიხედვით, გამოიწვევს მის საპირისპირო ნიშნის შეცვლას. :

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ნულებს მეორე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ არსებული ელემენტების ნაცვლად. და კიდევ, თუ დიაგონალური ელემენტი უდრის , მაშინ გამოთვლები უფრო მარტივი იქნება. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე ხაზებს (და ამავდროულად ვცვლით დეტერმინანტის საპირისპირო ნიშანს):

შემდეგი, ჩვენ ვაკეთებთ ნულებს მეორე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ, ამისათვის ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: მესამე რიგს ვამატებთ სამ მეორე რიგს, ხოლო მეოთხეს ორ მეორე რიგს, მივიღებთ:

გარდა ამისა, მესამე მწკრივიდან ვიღებთ (-10), როგორც განმსაზღვრელი და ვაკეთებთ ნულებს მესამე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ, და ამისთვის ვამატებთ მესამეს ბოლო მწკრივს:

პრობლემის ფორმულირება

დავალება გულისხმობს მომხმარებლის გაცნობას რიცხვითი მეთოდების ძირითად ცნებებთან, როგორიცაა დეტერმინანტი და შებრუნებული მატრიცა და მათი გამოთვლის სხვადასხვა ხერხები. ამ თეორიულ მოხსენებაში, მარტივ და ხელმისაწვდომ ენაზე, პირველად არის წარმოდგენილი ძირითადი ცნებები და განმარტებები, რის საფუძველზეც მიმდინარეობს შემდგომი კვლევა. მომხმარებელს შეიძლება არ ჰქონდეს სპეციალური ცოდნა რიცხვითი მეთოდებისა და წრფივი ალგებრის სფეროში, მაგრამ ადვილად შეძლებს ამ სამუშაოს შედეგების გამოყენებას. სიცხადისთვის მოცემულია მატრიცის განმსაზღვრელი რამდენიმე მეთოდით გაანგარიშების პროგრამა, დაწერილი C ++ პროგრამირების ენაზე. პროგრამა გამოიყენება როგორც ლაბორატორიული სტენდი ანგარიშისთვის ილუსტრაციების შესაქმნელად. ასევე მიმდინარეობს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდების შესწავლა. ინვერსიული მატრიცის გამოთვლის უსარგებლობა დადასტურებულია, ამიტომ ნაშრომში მოცემულია განტოლებების ამოხსნის უფრო ოპტიმალური გზები მისი გაანგარიშების გარეშე. ახსნილია, რატომ არის ამდენი განსხვავებული მეთოდი დეტერმინანტებისა და ინვერსიული მატრიცების გამოსათვლელად და მათი ნაკლოვანებების გაანალიზება. ასევე განიხილება შეცდომები დეტერმინანტის გამოთვლაში და ფასდება მიღწეული სიზუსტე. რუსული ტერმინების გარდა, ნაშრომში მათი ინგლისური ეკვივალენტებიც გამოიყენება, რათა გავიგოთ, რა სახელებით უნდა მოძებნოთ ციფრული პროცედურები ბიბლიოთეკებში და რას ნიშნავს მათი პარამეტრები.

ძირითადი განმარტებები და მარტივი თვისებები

განმსაზღვრელი

შემოვიღოთ ნებისმიერი რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის განმარტება. ეს განსაზღვრება იქნება განმეორებადი, ანუ იმის დასადგენად, თუ რა არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, თქვენ უკვე უნდა იცოდეთ რა არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ განმსაზღვრელი არსებობს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი აღინიშნა ან det-ით.

განმარტება 1. განმსაზღვრელიკვადრატული მატრიცა მეორე შეკვეთის ნომერზე დარეკვა .

განმსაზღვრელი რიგის კვადრატული მატრიცა, რომელსაც რიცხვი ეწოდება

სად არის მატრიციდან მიღებული რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი პირველი მწკრივის და ნომრის მქონე სვეტის წაშლით.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვწერთ, თუ როგორ შეგიძლიათ გამოთვალოთ მეოთხე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი:

კომენტარი.დეტერმინანტების ფაქტობრივი გამოთვლა მესამე რიგის ზემოთ მყოფი მატრიცებისთვის, განსაზღვრების საფუძველზე გამოიყენება გამონაკლის შემთხვევებში. როგორც წესი, გაანგარიშება ხორციელდება სხვა ალგორითმების მიხედვით, რომლებიც მოგვიანებით იქნება განხილული და რომელიც მოითხოვს ნაკლებ გამოთვლით სამუშაოს.

კომენტარი.განმარტება 1-ში უფრო ზუსტი იქნება იმის თქმა, რომ განმსაზღვრელი არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია კვადრატული რიგის მატრიცების სიმრავლეზე და იღებს მნიშვნელობებს რიცხვების სიმრავლეში.

კომენტარი.ლიტერატურაში ტერმინის „განმსაზღვრელი“ ნაცვლად გამოიყენება ტერმინი „დეტერმინანტი“, რომელსაც იგივე მნიშვნელობა აქვს. სიტყვიდან „განმსაზღვრელი“ გაჩნდა აღნიშვნა det.

განვიხილოთ დეტერმინანტების ზოგიერთი თვისება, რომლებსაც ვაყალიბებთ მტკიცების სახით.

განცხადება 1.მატრიცის ტრანსპონირებისას დეტერმინანტი არ იცვლება, ანუ .

განცხადება 2.კვადრატული მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია ფაქტორების დეტერმინანტების ნამრავლის, ანუ .

განცხადება 3.თუ მატრიცაში ორი მწკრივი შეიცვლება, მაშინ მისი განმსაზღვრელი შეიცვლის ნიშანს.

განცხადება 4.თუ მატრიცას აქვს ორი იდენტური მწკრივი, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მომავალში დაგვჭირდება სტრიქონების დამატება და სტრიქონის რიცხვზე გამრავლება. ჩვენ შევასრულებთ ამ ოპერაციებს მწკრივებზე (სვეტებზე) ისევე, როგორც ოპერაციებს მწკრივის მატრიცებზე (სვეტის მატრიცები), ანუ ელემენტი ელემენტი. შედეგი იქნება მწკრივი (სვეტი), რომელიც, როგორც წესი, არ ემთხვევა ორიგინალური მატრიცის სტრიქონებს. მწკრივების (სვეტების) დამატების და მათი რიცხვით გამრავლების ოპერაციების არსებობისას, ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვისაუბროთ მწკრივების (სვეტების) წრფივ კომბინაციებზე, ანუ ჯამებზე რიცხვითი კოეფიციენტებით.

განცხადება 5.თუ მატრიცის მწკრივი მრავლდება რიცხვზე, მაშინ მისი განმსაზღვრელი გამრავლდება ამ რიცხვზე.

განცხადება 6.თუ მატრიცა შეიცავს ნულოვან რიგს, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

განცხადება 7.თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი ტოლია მეორეზე გამრავლებული რიცხვით (სტრიქონები პროპორციულია), მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განცხადება 8.მოდით, მატრიცაში i-ე მწკრივი გამოიყურებოდეს. შემდეგ, სადაც მატრიცა მიიღება მატრიციდან i-ე მწკრივის მწკრივით ჩანაცვლებით, ხოლო მატრიცა მიიღება i-ე რიგის მწკრივით ჩანაცვლებით.

განცხადება 9.თუ მატრიცის ერთ-ერთ მწკრივს დაემატება მეორეს, გამრავლებული რიცხვით, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არ შეიცვლება.

განცხადება 10.თუ მატრიცის ერთ-ერთი მწკრივი არის მისი სხვა რიგების წრფივი კომბინაცია, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

განმარტება 2. ალგებრული დამატებამატრიცის ელემენტს ეწოდება რიცხვი, რომელიც ტოლია , სადაც არის მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის წაშლით. მატრიცის ელემენტის ალგებრული დანამატი აღინიშნება .

მაგალითი.დაე . მერე

კომენტარი.ალგებრული დამატებების გამოყენებით, 1 დეტერმინანტის განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

განცხადება 11. დეტერმინანტის დაშლა თვითნებურ სტრიქონში.

მატრიცის განმსაზღვრელი აკმაყოფილებს ფორმულას

მაგალითი.გამოთვალეთ .

გამოსავალი.გამოვიყენოთ გაფართოება მესამე სტრიქონში, ეს უფრო მომგებიანია, რადგან მესამე სტრიქონში სამი რიცხვიდან ორი არის ნული. მიიღეთ

განცხადება 12.რიგის კვადრატული მატრიცისთვის ჩვენ გვაქვს მიმართება .

განცხადება 13.მწკრივებისთვის ჩამოყალიბებული დეტერმინანტის ყველა თვისება (განცხადებები 1 - 11) ასევე მოქმედებს სვეტებისთვის, კერძოდ, j-ე სვეტში განმსაზღვრელი დაშლა მოქმედებს. და თანასწორობა ზე.

განცხადება 14.სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მისი მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

შედეგი.იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ერთი, .

დასკვნა.ზემოთ ჩამოთვლილი თვისებები შესაძლებელს ხდის საკმარისად მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების პოვნას შედარებით მცირე გამოთვლებით. გაანგარიშების ალგორითმი შემდეგია.

სვეტში ნულების შექმნის ალგორითმი.დაე, საჭირო გახდეს რიგის განმსაზღვრელი გამოთვლა. თუ , მაშინ შეცვალეთ პირველი ხაზი და ნებისმიერი სხვა ხაზი, რომელშიც პირველი ელემენტი არ არის ნული. შედეგად, დეტერმინანტი ტოლი იქნება ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი საპირისპირო ნიშნით. თუ თითოეული მწკრივის პირველი ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ მატრიცას აქვს ნულოვანი სვეტი და 1, 13 დებულებების მიხედვით, მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

ასე რომ, მიგვაჩნია, რომ უკვე თავდაპირველ მატრიცაში. დატოვე პირველი ხაზი უცვლელი. მეორე სტრიქონს დავუმატოთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით. მაშინ მეორე რიგის პირველი ელემენტი ტოლი იქნება .

ახალი მეორე რიგის დარჩენილი ელემენტები აღინიშნა , . ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი მე-9 განცხადების მიხედვით უდრის. გაამრავლეთ პირველი სტრიქონი რიცხვზე და დაამატეთ იგი მესამეს. ახალი მესამე რიგის პირველი ელემენტი ტოლი იქნება

ახალი მესამე რიგის დარჩენილი ელემენტები აღინიშნა , . ახალი მატრიცის განმსაზღვრელი მე-9 განცხადების მიხედვით უდრის.

ჩვენ გავაგრძელებთ ნულების მიღების პროცესს სტრიქონების პირველი ელემენტების ნაცვლად. ბოლოს პირველ სტრიქონს ვამრავლებთ რიცხვზე და ვამატებთ ბოლო სტრიქონს. შედეგი არის მატრიცა, რომელიც აღინიშნება , რომელსაც აქვს ფორმა

და . მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელად ვიყენებთ გაფართოებას პირველ სვეტში

Მას შემდეგ

წესრიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის მარჯვენა მხარეს. ჩვენ იგივე ალგორითმს ვიყენებთ მასზე და მატრიცის განმსაზღვრელი გამოთვლა დაიყვანება რიგის მატრიცის განმსაზღვრელ გამოთვლამდე. პროცესი მეორდება მანამ, სანამ არ მივაღწევთ მეორე რიგის დეტერმინანტს, რომელიც გამოითვლება განსაზღვრებით.

თუ მატრიცას არ გააჩნია რაიმე კონკრეტული თვისება, მაშინ შეუძლებელია გამოთვლების რაოდენობის მნიშვნელოვნად შემცირება შემოთავაზებულ ალგორითმთან შედარებით. ამ ალგორითმის კიდევ ერთი კარგი მხარე ის არის, რომ ადვილია კომპიუტერისთვის პროგრამის დაწერა დიდი ორდერების მატრიცების განმსაზღვრელ ფაქტორების გამოსათვლელად. დეტერმინანტების გამოთვლის სტანდარტულ პროგრამებში, ეს ალგორითმი გამოიყენება მცირე ცვლილებებით, რომლებიც დაკავშირებულია დამრგვალების შეცდომების მინიმიზაციასთან და მონაცემთა შეყვანის შეცდომების კომპიუტერულ გამოთვლებში.

მაგალითი.გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი .

გამოსავალი.პირველი ხაზი უცვლელია. მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. მეოთხე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით:

განმსაზღვრელი არ იცვლება. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

იგივე ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით მე-3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელს, რომელიც მარჯვნივ არის. პირველ სტრიქონს უცვლელად ვტოვებთ, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველს რიცხვზე გამრავლებული :

მესამე სტრიქონს ვამატებთ პირველს, გამრავლებული რიცხვით :

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

უპასუხე. .

კომენტარი.მიუხედავად იმისა, რომ წილადები გამოიყენებოდა გამოთვლებში, შედეგი იყო მთელი რიცხვი. მართლაც, განმსაზღვრელთა თვისებების და იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ თავდაპირველი რიცხვები მთელი რიცხვებია, წილადებთან ოპერაციების თავიდან აცილება შეიძლება. მაგრამ საინჟინრო პრაქტიკაში რიცხვები ძალიან იშვიათად არის მთელი რიცხვები. ამიტომ, როგორც წესი, დეტერმინანტის ელემენტები იქნება ათობითი წილადები და არ არის მიზანშეწონილი გამოთვლების გასამარტივებლად რაიმე ხრიკის გამოყენება.

ინვერსიული მატრიცა

განმარტება 3.მატრიცა ეწოდება ინვერსიული მატრიცაკვადრატული მატრიცისთვის თუ .

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ შებრუნებული მატრიცა იქნება იმავე რიგის კვადრატული მატრიცა, როგორც მატრიცა (სხვა შემთხვევაში, ერთ-ერთი პროდუქტი ან არ იქნება განსაზღვრული).

მატრიცის შებრუნებული მატრიცა აღინიშნება. ამრიგად, თუ არსებობს, მაშინ.

ინვერსიული მატრიცის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცა არის მატრიცის ინვერსია, ანუ . მატრიცები და შეიძლება ითქვას, რომ არიან ერთმანეთის შებრუნებული ან ურთიერთშებრუნებული.

თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული, მაშინ მისი ინვერსია არ არსებობს.

ვინაიდან ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად მნიშვნელოვანია მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია თუ არა, ჩვენ წარმოგიდგენთ შემდეგ განმარტებებს.

განმარტება 4.დავარქვათ კვადრატული მატრიცა დეგენერატიან სპეციალური მატრიცა, თუ არადეგენერატიან არაინგულარული მატრიცა, თუ .

განცხადება.თუ შებრუნებული მატრიცა არსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.

განცხადება.თუ კვადრატული მატრიცა არადეგენერატიულია, მაშინ მისი ინვერსია არსებობს და (1) სადაც არის ელემენტების ალგებრული დამატებები.

თეორემა.კვადრატული მატრიცისთვის ინვერსიული მატრიცა არსებობს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცა არაერთგულარულია, ინვერსიული მატრიცა უნიკალურია და ფორმულა (1) მოქმედებს.

კომენტარი.განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ალგებრული მიმატებით დაკავებულ ადგილებს შებრუნებული მატრიცის ფორმულაში: პირველი ინდექსი აჩვენებს რიცხვს. სვეტიდა მეორე არის ნომერი ხაზები, რომელშიც უნდა ჩაიწეროს გამოთვლილი ალგებრული დანამატი.

მაგალითი. .

გამოსავალი.დეტერმინანტის პოვნა

მას შემდეგ, რაც მატრიცა არ არის გადაგვარებული და მისი შებრუნებული არსებობს. ალგებრული დამატებების პოვნა:

ჩვენ ვადგენთ შებრუნებულ მატრიცას ნაპოვნი ალგებრული დამატებების განთავსებით ისე, რომ პირველი ინდექსი შეესაბამება სვეტს, ხოლო მეორე მწკრივს: (2)

შედეგად მიღებული მატრიცა (2) არის პრობლემის პასუხი.

კომენტარი.წინა მაგალითში უფრო ზუსტი იქნებოდა პასუხის დაწერა ასე:
(3)

თუმცა, აღნიშვნა (2) უფრო კომპაქტურია და უფრო მოსახერხებელია შემდგომი გამოთვლების განხორციელება, ასეთის არსებობის შემთხვევაში. ამიტომ პასუხის (2) ფორმაში ჩაწერა სასურველია, თუ მატრიცების ელემენტები მთელი რიცხვებია. და პირიქით, თუ მატრიცის ელემენტები არის ათობითი წილადები, მაშინ ჯობია შებრუნებული მატრიცა დავწეროთ წინა კოეფიციენტის გარეშე.

კომენტარი.ინვერსიული მატრიცის პოვნისას თქვენ უნდა შეასრულოთ საკმაოდ ბევრი გამოთვლა და ბოლო მატრიცაში ალგებრული დამატებების მოწყობის უჩვეულო წესი. ამიტომ, შეცდომის დიდი შანსია. შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემოწმება: გამოთვალეთ ორიგინალური მატრიცის პროდუქტი საბოლოო მატრიცით ამა თუ იმ თანმიმდევრობით. თუ შედეგი არის იდენტურობის მატრიცა, მაშინ ინვერსიული მატრიცა სწორად არის ნაპოვნი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მოძებნოთ შეცდომა.

მაგალითი.იპოვეთ მატრიცის ინვერსია .

გამოსავალი. - არსებობს.

პასუხი: .

დასკვნა.ინვერსიული მატრიცის პოვნა ფორმულით (1) მოითხოვს ძალიან ბევრ გამოთვლას. მეოთხე და უფრო მაღალი რიგის მატრიცებისთვის ეს მიუღებელია. შებრუნებული მატრიცის პოვნის რეალური ალგორითმი მოგვიანებით იქნება მოცემული.

დეტერმინანტის და შებრუნებული მატრიცის გამოთვლა გაუსის მეთოდით

გაუსის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას განმსაზღვრელი და შებრუნებული მატრიცის მოსაძებნად.

კერძოდ, მატრიცის დეტერმინანტი უდრის det-ს.

შებრუნებული მატრიცა ნაპოვნია წრფივი განტოლებების სისტემების გადაჭრით, გაუსის ელიმინაციის მეთოდით:

სად არის იდენტურობის მატრიცის j-ე სვეტი, არის სასურველი ვექტორი.

მიღებული ამოხსნის ვექტორები - ქმნიან, ცხადია, მატრიცის სვეტებს, ვინაიდან .

განმსაზღვრელი ფორმულები

1. თუ მატრიცა არაერთგულარულია, მაშინ და (წამყვანი ელემენტების პროდუქტი).

გავიხსენოთ ლაპლასის თეორემა:
ლაპლასის თეორემა:

მოდით, k რიგები (ან k სვეტები) თვითნებურად იყოს არჩეული n, რიგის d განმსაზღვრელში. მაშინ არჩეულ მწკრივებში და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებში შემავალი ყველა k-ე რიგის მცირეწლოვანთა ნამრავლების ჯამი უდრის d-ს განმსაზღვრელს.

ზოგადი შემთხვევის განმსაზღვრელების გამოსათვლელად k აღებულია 1-ის ტოლი. n რიგის d განმსაზღვრელში თვითნებურად არჩეულია მწკრივი (ან სვეტი). მაშინ არჩეულ მწკრივში (ან სვეტში) და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებში შემავალი ყველა ელემენტის ნამრავლების ჯამი უდრის d-ს.

მაგალითი:
გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ თვითნებური მწკრივი ან სვეტი. იმ მიზეზის გამო, რომელიც ცოტა მოგვიანებით გახდება ცნობილი, ჩვენ შევზღუდავთ ჩვენს არჩევანს მესამე სტრიქონით ან მეოთხე სვეტით. და გაჩერდით მესამე ხაზზე.

გამოვიყენოთ ლაპლასის თეორემა.

არჩეული მწკრივის პირველი ელემენტია 10, ის არის მესამე რიგში და პირველ სვეტში. გამოვთვალოთ მისი ალგებრული დანამატი, ე.ი. იპოვეთ განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია სვეტისა და მწკრივის წაშლით, რომელზეც დგას ეს ელემენტი (10) და გაარკვიეთ ნიშანი.

"პლუს, თუ ყველა მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი, რომლებშიც მცირე M არის განთავსებული, არის ლუწი, და მინუს, თუ ეს ჯამი კენტია."
ჩვენ ავიღეთ მინორი, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან 10, რომელიც არის მესამე რიგის პირველ სვეტში.

Ისე:


ამ ჯამის მეოთხე წევრია 0, რის გამოც ღირს სტრიქონების ან სვეტების არჩევა ნულოვანი ელემენტების მაქსიმალური რაოდენობით.

პასუხი: -1228

მაგალითი:
გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

გამოსავალი:
ავირჩიოთ პირველი სვეტი, რადგან მასში ორი ელემენტი უდრის 0-ს. გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველ სვეტში.


ჩვენ ვაფართოვებთ მესამე რიგის თითოეულ განმსაზღვრელს პირველი და მეორე რიგის მიხედვით


ჩვენ ვაფართოებთ მეორე რიგის თითოეულ განმსაზღვრელს პირველ სვეტში


პასუხი: 48
კომენტარი:ამ პრობლემის გადაჭრისას არ იყო გამოყენებული მე-2 და მე-3 რიგის განმსაზღვრელთა გამოთვლის ფორმულები. გამოყენებული იყო მხოლოდ გაფართოება მწკრივის ან სვეტის მიხედვით. რაც იწვევს დეტერმინანტების რიგის შემცირებას.

მატრიცის განმსაზღვრელი

მატრიცის დეტერმინანტის პოვნა ძალიან გავრცელებული პრობლემაა უმაღლეს მათემატიკასა და ალგებრაში. როგორც წესი, განტოლებათა რთული სისტემების ამოხსნისას არ შეიძლება მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობის გარეშე. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კრამერის მეთოდი აგებულია მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშებაზე. დეტერმინანტის განმარტების გამოყენებით განისაზღვრება განტოლებათა სისტემების ამოხსნის არსებობა და უნიკალურობა. მაშასადამე, ძნელია მათემატიკაში მატრიცის განმსაზღვრელი სწორად და ზუსტად პოვნის უნარის მნიშვნელობის გადაჭარბება. დეტერმინანტების ამოხსნის მეთოდები თეორიულად საკმაოდ მარტივია, მაგრამ როგორც მატრიცის ზომა იზრდება, გამოთვლები ძალიან რთული ხდება და დიდ ზრუნვას და დიდ დროს მოითხოვს. ასეთ რთულ მათემატიკურ გამოთვლებში ძალიან ადვილია უმნიშვნელო შეცდომის დაშვება ან შეცდომა, რაც საბოლოო პასუხში შეცდომას გამოიწვევს. ამიტომ, თუნდაც იპოვო მატრიცის განმსაზღვრელიდამოუკიდებლად მნიშვნელოვანია შედეგის შემოწმება. ეს საშუალებას გვაძლევს გავხადოთ ჩვენი სერვისი მატრიცის განმსაზღვრელი მოძიება ონლაინ. ჩვენი სერვისი ყოველთვის იძლევა აბსოლუტურად ზუსტ შედეგს, რომელიც არ შეიცავს შეცდომებს ან ბეჭდურ შეცდომას. თქვენ შეგიძლიათ უარი თქვათ დამოუკიდებელ გამოთვლებზე, რადგან გამოყენებითი თვალსაზრისით, პოვნა მატრიცის განმსაზღვრელიარ აქვს სასწავლო ხასიათი, მაგრამ უბრალოდ მოითხოვს დიდ დროს და ციფრულ გამოთვლებს. ამიტომ, თუ თქვენს ამოცანაში მატრიცის დეტერმინანტის განსაზღვრაარის დამხმარე, გვერდითი გამოთვლები, ისარგებლეთ ჩვენი სერვისით და იპოვნეთ მატრიცის განმსაზღვრელი ონლაინ!

ყველა გამოთვლა ხდება ავტომატურად უმაღლესი სიზუსტით და სრულიად უფასოდ. ჩვენ გვაქვს ძალიან მოსახერხებელი ინტერფეისი მატრიცის ელემენტების შესაყვანად. მაგრამ მთავარი განსხვავება ჩვენს სერვისსა და მსგავსს შორის არის დეტალური გადაწყვეტის მოპოვების შესაძლებლობა. ჩვენი სერვისი ზე მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება ონლაინყოველთვის იყენებს უმარტივეს და უმოკლეს მეთოდს და დეტალურად აღწერს გარდაქმნებისა და გამარტივებების თითოეულ საფეხურს. ასე რომ თქვენ მიიღებთ არა მხოლოდ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობას, საბოლოო შედეგს, არამედ მთლიან დეტალურ ამონახსანს.