მათემატიკაში მნიშვნელოვანი ცნებაა ფუნქცია. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ბუნებაში მიმდინარე მრავალი პროცესი, ასახოთ ურთიერთობა გარკვეულ რაოდენობას შორის ფორმულების, ცხრილების და სურათების გამოყენებით გრაფიკზე. ამის მაგალითია სხეულზე თხევადი ფენის წნევის დამოკიდებულება ჩაძირვის სიღრმეზე, აჩქარება - ობიექტზე გარკვეული ძალის მოქმედებაზე, ტემპერატურის მატება - გადაცემულ ენერგიაზე და მრავალი სხვა პროცესი. ფუნქციის შესწავლა გულისხმობს გრაფიკის გამოსახვას, მისი თვისებების, განსაზღვრების სფეროს და მნიშვნელობების, ზრდისა და კლების ინტერვალების დადგენას. ამ პროცესში მნიშვნელოვანი წერტილი არის ექსტრემალური წერტილების პოვნა. იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს სწორად და საუბარი გაგრძელდება.

თავად კონცეფციის შესახებ კონკრეტულ მაგალითზე

მედიცინაში, ფუნქციის გრაფიკის აგებამ შეიძლება თქვას პაციენტის სხეულში დაავადების განვითარების მიმდინარეობაზე, რაც ნათლად ასახავს მის მდგომარეობას. დავუშვათ, რომ დრო დღეებში გამოსახულია OX ღერძის გასწვრივ, ხოლო ადამიანის სხეულის ტემპერატურა გამოსახულია OY ღერძის გასწვრივ. ფიგურა ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ იზრდება ეს მაჩვენებელი მკვეთრად, შემდეგ კი ეცემა. ასევე ადვილია შეამჩნიოთ ცალკეული წერტილები, რომლებიც ასახავს მომენტებს, როდესაც ფუნქცია, ადრე გაზრდილი, იწყებს კლებას და პირიქით. ეს არის უკიდურესი წერტილები, ანუ კრიტიკული მნიშვნელობები (მაქსიმალური და მინიმალური) ამ შემთხვევაში პაციენტის ტემპერატურის, რის შემდეგაც ხდება მისი მდგომარეობის ცვლილებები.

დახრის კუთხე

ნახატიდან ადვილია იმის დადგენა, თუ როგორ იცვლება ფუნქციის წარმოებული. თუ გრაფიკის სწორი ხაზები დროთა განმავლობაში იზრდება, მაშინ ის დადებითია. და რაც უფრო ციცაბოა ისინი, მით უფრო დიდია წარმოებულის მნიშვნელობა, რადგან იზრდება დახრის კუთხე. შემცირების პერიოდებში, ეს მნიშვნელობა იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს, გადადის ნულზე უკიდურეს წერტილებში, ხოლო წარმოებულის გრაფიკი ამ უკანასკნელ შემთხვევაში დახატულია OX ღერძის პარალელურად.

ნებისმიერი სხვა პროცესი უნდა განიხილებოდეს ანალოგიურად. მაგრამ საუკეთესო გზა ამ კონცეფციის შესახებ სათქმელად არის სხვადასხვა სხეულების მოძრაობა, რომელიც ნათლად არის ნაჩვენები გრაფიკებზე.

მოძრაობა

დავუშვათ, რომ რომელიმე ობიექტი მოძრაობს სწორი ხაზით, თანაბრად იძენს სიჩქარეს. ამ პერიოდში სხეულის კოორდინატების ცვლილება გრაფიკულად წარმოადგენს გარკვეულ მრუდს, რომელსაც მათემატიკოსი პარაბოლის ტოტს უწოდებს. ამავდროულად, ფუნქცია მუდმივად იზრდება, რადგან კოორდინატების ინდიკატორები ყოველ წამში უფრო და უფრო სწრაფად იცვლება. სიჩქარის გრაფიკი აჩვენებს წარმოებულის ქცევას, რომლის მნიშვნელობაც იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ მოძრაობას არ აქვს კრიტიკული წერტილები.

ეს გაგრძელდებოდა უსასრულოდ. მაგრამ რა მოხდება, თუ სხეული მოულოდნელად გადაწყვეტს შეანელოს, გაჩერდეს და დაიწყოს მოძრაობა სხვა მიმართულებით? ამ შემთხვევაში, კოორდინატთა ინდიკატორები დაიწყებენ შემცირებას. და ფუნქცია გაივლის კრიტიკულ მნიშვნელობას და მზარდიდან კლებად გადაიქცევა.

ამ მაგალითში, თქვენ შეგიძლიათ კიდევ ერთხელ გაიგოთ, რომ ფუნქციის გრაფიკის უკიდურესი წერტილები ჩნდება იმ მომენტებში, როდესაც ის წყვეტს ერთფეროვნებას.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა

რაც ადრე იყო აღწერილი, ნათლად აჩვენა, რომ წარმოებული არსებითად არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. ეს დახვეწა შეიცავს მის ფიზიკურ მნიშვნელობას. ექსტრემალური წერტილები გრაფიკის კრიტიკული უბნებია. მათი გარკვევა და გამოვლენა შესაძლებელია წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლით, რომელიც გამოდის ნულის ტოლი.

არის კიდევ ერთი ნიშანი, რომელიც საკმარისი პირობაა ექსტრემისთვის. დახრის ასეთ ადგილებში წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს: "+"-დან "-"-მდე მაქსიმუმის რეგიონში და "-"-დან "+"-მდე მინიმალური რეგიონში.

მოძრაობა გრავიტაციის გავლენის ქვეშ

წარმოვიდგინოთ სხვა სიტუაცია. ბავშვებმა ბურთის თამაში ისე დააგდეს, რომ ჰორიზონტისკენ კუთხით დაიწყო მოძრაობა. საწყის მომენტში, ამ ობიექტის სიჩქარე ყველაზე დიდი იყო, მაგრამ გრავიტაციის გავლენის ქვეშ, მან დაიწყო კლება და ყოველ წამში იგივე მნიშვნელობით, დაახლოებით 9,8 მ/წმ 2-ის ტოლი. ეს არის აჩქარების მნიშვნელობა, რომელიც ხდება დედამიწის გრავიტაციის გავლენის ქვეშ თავისუფალი ვარდნის დროს. მთვარეზე ის დაახლოებით ექვსჯერ პატარა იქნებოდა.

გრაფიკი, რომელიც აღწერს სხეულის მოძრაობას, არის პარაბოლა, რომლის ტოტები ქვევითაა მიმართული. როგორ მოვძებნოთ ექსტრემალური წერტილები? ამ შემთხვევაში, ეს არის ფუნქციის წვერო, სადაც სხეულის (ბურთის) სიჩქარე იღებს ნულოვან მნიშვნელობას. ფუნქციის წარმოებული ხდება ნული. ამ შემთხვევაში, მიმართულება და, შესაბამისად, სიჩქარის მნიშვნელობა იცვლება საპირისპიროდ. სხეული ყოველ წამს უფრო და უფრო სწრაფად დაფრინავს ქვემოთ და აჩქარებს იგივე რაოდენობით - 9,8 მ/წმ 2 .

მეორე წარმოებული

წინა შემთხვევაში, სიჩქარის მოდულის ნაკვეთი შედგენილია სწორი ხაზის სახით. ეს ხაზი ჯერ ქვევით არის მიმართული, ვინაიდან ამ რაოდენობის ღირებულება მუდმივად მცირდება. დროის ერთ-ერთ მომენტში ნულის მიღწევის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის ინდიკატორები იწყებენ ზრდას და სიჩქარის მოდულის გრაფიკული წარმოდგენის მიმართულება მკვეთრად იცვლება. ახლა ხაზი ზემოთ არის მიმართული.

სიჩქარეს, როგორც კოორდინატის წარმოებულს დროსთან მიმართებაში, ასევე აქვს კრიტიკული წერტილი. ამ რეგიონში, ფუნქცია, თავდაპირველად მცირდება, იწყებს ზრდას. ეს არის ფუნქციის წარმოებულის უკიდურესი წერტილის ადგილი. ამ შემთხვევაში, ტანგენტის დახრილობა ხდება ნულის ტოლი. და აჩქარება, როგორც კოორდინატის მეორე წარმოებული დროის მიმართ, ცვლის ნიშანს „-“-დან „+“. და მოძრაობა ერთიანად ნელიდან ხდება ერთნაირად დაჩქარებული.

აჩქარების გრაფიკი

ახლა განიხილეთ ოთხი ფიგურა. თითოეული მათგანი აჩვენებს გრაფიკს დროთა განმავლობაში ისეთი ფიზიკური სიდიდის ცვლილების შესახებ, როგორიცაა აჩქარება. "A"-ს შემთხვევაში მისი მნიშვნელობა რჩება დადებითი და მუდმივი. ეს ნიშნავს, რომ სხეულის სიჩქარე, ისევე როგორც მისი კოორდინატი, მუდმივად იზრდება. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ობიექტი ამ გზით მოძრაობს უსასრულოდ დიდი ხნის განმავლობაში, კოორდინატის დროზე დამოკიდებულების ამსახველი ფუნქცია მუდმივად იზრდება. აქედან გამომდინარეობს, რომ მას არ აქვს კრიტიკული რეგიონები. წარმოებულის გრაფიკზე ასევე არ არის ექსტრემალური წერტილები, ანუ წრფივი ცვალებადი სიჩქარე.

იგივე ეხება „B“ შემთხვევას დადებითი და მუდმივად მზარდი აჩქარებით. მართალია, კოორდინატებისა და სიჩქარის გრაფიკები აქ გარკვეულწილად უფრო რთული იქნება.

როცა აჩქარება ნულამდე მიდის

ფიგურა "B"-ს დათვალიერებისას შეგიძლიათ დააკვირდეთ სრულიად განსხვავებულ სურათს, რომელიც ახასიათებს სხეულის მოძრაობას. მისი სიჩქარე გრაფიკულად იქნება გამოსახული პარაბოლის სახით, ტოტებით მიმართული ქვემოთ. თუ გავაგრძელებთ ხაზს, რომელიც აღწერს აჩქარების ცვლილებას მანამ, სანამ ის გადაკვეთს OX ღერძს და შემდგომ, შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, რომ ამ კრიტიკულ მნიშვნელობამდე, სადაც აჩქარება აღმოჩნდება ნულის ტოლი, ობიექტის სიჩქარე გაიზრდება. უფრო და უფრო ნელა. კოორდინატთა ფუნქციის წარმოებულის უკიდურესი წერტილი იქნება მხოლოდ პარაბოლის ზედა ნაწილში, რის შემდეგაც სხეული რადიკალურად შეცვლის მოძრაობის ბუნებას და დაიწყებს მოძრაობას სხვა მიმართულებით.

ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, "G", მოძრაობის ბუნების ზუსტად განსაზღვრა შეუძლებელია. აქ მხოლოდ ის ვიცით, რომ არ არსებობს აჩქარება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. ეს ნიშნავს, რომ ობიექტი შეიძლება დარჩეს ადგილზე ან მოძრაობა ხდება მუდმივი სიჩქარით.

კოორდინაციის დამატების პრობლემა

გადავიდეთ დავალებებზე, რომლებსაც სკოლაში ალგებრის შესწავლისას ხშირად აწყდებით და გამოცდისთვის მომზადებას სთავაზობენ. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს. საჭიროა ექსტრემალური ქულების ჯამის გამოთვლა.

ჩვენ ამას გავაკეთებთ y ღერძისთვის იმ კრიტიკული რეგიონების კოორდინატების განსაზღვრით, სადაც შეინიშნება ფუნქციის მახასიათებლების ცვლილება. მარტივად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობებს x ღერძის გასწვრივ გადახვევის წერტილებისთვის და შემდეგ ვაგრძელებთ მიღებული ტერმინების დამატებას. გრაფიკის მიხედვით აშკარაა, რომ ისინი იღებენ შემდეგ მნიშვნელობებს: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. ამას ემატება -21, რაც არის პასუხი.

ოპტიმალური გადაწყვეტა

არ არის აუცილებელი იმის ახსნა, თუ რამდენად მნიშვნელოვანი შეიძლება იყოს ოპტიმალური გადაწყვეტის არჩევანი პრაქტიკული ამოცანების შესრულებისას. ყოველივე ამის შემდეგ, მიზნის მისაღწევად მრავალი გზა არსებობს და საუკეთესო გამოსავალი, როგორც წესი, მხოლოდ ერთია. ეს უკიდურესად აუცილებელია, მაგალითად, გემების, კოსმოსური ხომალდების და თვითმფრინავების, არქიტექტურული სტრუქტურების დაპროექტებისას, რათა იპოვოთ ამ ადამიანის მიერ შექმნილი ობიექტების ოპტიმალური ფორმა.

მანქანების სიჩქარე დიდწილად დამოკიდებულია იმ წინააღმდეგობის კომპეტენტურ მინიმიზაციაზე, რომელსაც ისინი განიცდიან წყალში და ჰაერში გადაადგილებისას, გრავიტაციული ძალების გავლენის ქვეშ წარმოქმნილ გადატვირთვებზე და მრავალი სხვა ინდიკატორის ქვეშ. ზღვაზე მყოფ გემს სჭირდება ისეთი თვისებები, როგორიცაა სტაბილურობა ქარიშხლის დროს; მდინარის გემისთვის მინიმალური ნაკადი მნიშვნელოვანია. ოპტიმალური დიზაინის გაანგარიშებისას, გრაფიკის უკიდურეს წერტილებს შეუძლიათ ვიზუალურად მისცეს იდეა რთული პრობლემის საუკეთესო გადაწყვეტის შესახებ. ასეთი გეგმის ამოცანები ხშირად წყდება ეკონომიკაში, ეკონომიკურ სფეროებში, ბევრ სხვა ცხოვრებისეულ სიტუაციაში.

უძველესი ისტორიიდან

ექსტრემალური ამოცანები ძველ ბრძენებსაც კი ეჭირათ. ბერძენმა მეცნიერებმა მათემატიკური გამოთვლების საშუალებით წარმატებით ამოიცნეს ფართობებისა და მოცულობების საიდუმლო. მათ პირველებმა გაიგეს, რომ ერთი და იგივე პერიმეტრის მქონე სხვადასხვა ფიგურების სიბრტყეზე, წრეს ყოველთვის აქვს ყველაზე დიდი ფართობი. ანალოგიურად, ბურთი დაჯილდოებულია მაქსიმალური მოცულობით სივრცეში იმავე ზედაპირის ფართობის მქონე სხვა ობიექტებს შორის. ისეთი ცნობილი პიროვნებები, როგორებიცაა არქიმედესი, ევკლიდე, არისტოტელე, აპოლონიუსი, თავი მიუძღვნეს ამგვარი პრობლემების გადაჭრას. ჰერონმა ძალიან კარგად მიაღწია ექსტრემალური წერტილების პოვნას, რომელმაც, გამოთვლებს მიმართა, ააშენა გენიალური მოწყობილობები. მათ შორის იყო ავტომატური მანქანები, რომლებიც მოძრაობდნენ ორთქლით, ტუმბოებითა და ტურბინებით, რომლებიც მუშაობენ იმავე პრინციპით.

კართაგენის მშენებლობა

არსებობს ლეგენდა, რომლის შეთქმულებაც ერთ-ერთი ექსტრემალური ამოცანის ამოხსნას ეფუძნება. ფინიკიელი პრინცესას მიერ გამოვლენილი საქმიანი მიდგომის შედეგი, რომელმაც დახმარებისთვის ბრძენებს მიმართა, იყო კართაგენის მშენებლობა. ამ უძველესი და ცნობილი ქალაქის მიწის ნაკვეთი დიდოს (ასე ერქვა მმართველს) ერთ-ერთი აფრიკული ტომის ლიდერმა აჩუქა. გამოყოფის ფართობი მას თავიდან არც თუ ისე დიდი ჩანდა, რადგან ხელშეკრულების თანახმად, იგი ოქსიდით უნდა ყოფილიყო დაფარული. მაგრამ პრინცესამ თავის ჯარისკაცებს უბრძანა, თხელ ზოლებად მოეჭრათ იგი და მათგან ქამარი გაეკეთებინათ. ის იმდენად გრძელი აღმოჩნდა, რომ მოიცავდა ტერიტორიას, სადაც მთელი ქალაქი მოერგებოდა.

გაანგარიშების წარმოშობა

ახლა კი გადავიდეთ უძველესი დროიდან უფრო გვიანდელ ეპოქაზე. საინტერესოა, რომ მე-17 საუკუნეში კეპლერს ღვინის გამყიდველთან შეხვედრამ უბიძგა, გაეგო მათემატიკური ანალიზის საფუძვლები. ვაჭარი იმდენად კარგად ერკვეოდა თავის პროფესიაში, რომ ადვილად ადგენდა კასრში სასმელის მოცულობას, მასში რკინის ტურნიკის უბრალოდ ჩაშვებით. ასეთ ცნობისმოყვარეობაზე ფიქრით, ცნობილმა მეცნიერმა მოახერხა ამ დილემის თავისთვის გადაჭრა. ირკვევა, რომ იმდროინდელმა ოსტატურმა კუპერებმა მიიღეს ჭურჭლის დამზადება ისე, რომ სამაგრი რგოლების წრეწირის გარკვეულ სიმაღლეზე და რადიუსზე მაქსიმალური ტევადობა ექნებოდათ.

ეს კეპლერისთვის შემდგომი დაფიქრების მიზეზი გახდა. ბოჩარები ოპტიმალურ გადაწყვეტამდე მივიდნენ ხანგრძლივი ძიებით, შეცდომებით და ახალი მცდელობებით, თავიანთი გამოცდილების გადაცემით თაობიდან თაობას. მაგრამ კეპლერს სურდა პროცესის დაჩქარება და მათემატიკური გამოთვლების საშუალებით უმოკლეს დროში ესწავლა იგივე. მისი ყველა განვითარება, რომელიც კოლეგებმა აიტაცეს, გადაიქცა ფერმასა და ნიუტონის ახლა უკვე ცნობილ თეორემებად - ლაიბნიცი.

მაქსიმალური ფართობის პოვნის პრობლემა

წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს მავთული, რომლის სიგრძეა 50 სმ, როგორ გავაკეთოთ მისგან მართკუთხედი, რომელსაც აქვს ყველაზე დიდი ფართობი?

გადაწყვეტილების დაწყებისას მარტივი და ცნობილი ჭეშმარიტებიდან უნდა წამოვიდეს. გასაგებია, რომ ჩვენი ფიგურის პერიმეტრი იქნება 50 სმ, ის ასევე შედგება ორივე მხარის სიგრძისგან ორჯერ. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი მათგანის "X" დასახელებით, მეორე შეიძლება გამოიხატოს როგორც (25 - X).

აქედან ვიღებთ X-ის ტოლ ფართობს (25 - X). ეს გამოთქმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფუნქცია, რომელიც იღებს ბევრ მნიშვნელობას. პრობლემის გადაჭრა მოითხოვს მათგან მაქსიმუმის პოვნას, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გაარკვიოთ ექსტრემალური წერტილები.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ პირველ წარმოებულს და ვატოლებთ მას ნულს. შედეგი არის მარტივი განტოლება: 25 - 2X = 0.

მისგან ვიგებთ, რომ ერთ-ერთი მხარე არის X = 12,5.

ამიტომ, სხვა: 25 - 12.5 \u003d 12.5.

გამოდის, რომ პრობლემის გადაწყვეტა იქნება კვადრატი 12,5 სმ გვერდით.

როგორ მოვძებნოთ მაქსიმალური სიჩქარე

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ არსებობს სხეული, რომლის სწორხაზოვანი მოძრაობა აღწერილია განტოლებით S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, სადაც განვლილი მანძილი გამოიხატება მეტრებში, ხოლო დრო წამებში. საჭიროა მაქსიმალური სიჩქარის პოვნა. Როგორ გავაკეთო ეს? გადმოწერილი იპოვეთ სიჩქარე, ანუ პირველი წარმოებული.

ვიღებთ განტოლებას: V = - 3t 2 + 18t - 24. ახლა, პრობლემის გადასაჭრელად, კვლავ უნდა ვიპოვოთ ექსტრემალური წერტილები. ეს უნდა გაკეთდეს ისევე, როგორც წინა ამოცანაში. ვპოულობთ სიჩქარის პირველ წარმოებულს და ვატოლებთ ნულს.

ვიღებთ: - 6t + 18 = 0. აქედან t = 3 s. ეს არის დრო, როდესაც სხეულის სიჩქარე იღებს კრიტიკულ მნიშვნელობას. მიღებულ მონაცემებს ვცვლით სიჩქარის განტოლებაში და ვიღებთ: V = 3 მ/წმ.

მაგრამ როგორ გავიგოთ, რომ ეს არის ზუსტად მაქსიმალური სიჩქარე, რადგან ფუნქციის კრიტიკული წერტილები შეიძლება იყოს მისი უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობები? შესამოწმებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ სიჩქარის მეორე წარმოებული. იგი გამოიხატება როგორც რიცხვი 6 მინუს ნიშნით. ეს ნიშნავს, რომ ნაპოვნი წერტილი არის მაქსიმალური. ხოლო მეორე წარმოებულის დადებითი მნიშვნელობის შემთხვევაში იქნება მინიმუმი. შესაბამისად, ნაპოვნი გამოსავალი სწორი იყო.

მაგალითის სახით მოცემული ამოცანები მხოლოდ იმ ამოცანების ნაწილია, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია ფუნქციის უკიდურესი წერტილების პოვნის საშუალებით. სინამდვილეში, კიდევ ბევრია. და ასეთი ცოდნა შეუზღუდავ შესაძლებლობებს უხსნის ადამიანის ცივილიზაციას.

განვიხილოთ ცნობილი ხერხის პროფილის ორი კბილი. ღერძი მივმართოთ ხერხის ბრტყელი მხარის გასწვრივ, ხოლო ღერძი - მასზე პერპენდიკულარულად. მოდით მივიღოთ ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 1.

აშკარაა, რომ როგორც წერტილში, ასევე წერტილში, ფუნქციის მნიშვნელობები ყველაზე დიდი აღმოჩნდება მეზობელ წერტილებთან შედარებით მარჯვნივ და მარცხნივ, ხოლო წერტილში - ყველაზე პატარა მეზობელ წერტილებთან შედარებით. წერტილებს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები (ლათინური extremum - "ექსტრემალური"), წერტილები და არის მაქსიმალური წერტილები, ხოლო წერტილი არის მინიმალური წერტილი (ლათინური მაქსიმალური და მინიმალურიდან - "ყველაზე დიდი" და "უმცირესი" ”).

მოდით დავაზუსტოთ ექსტრემის განმარტება.

წერტილის ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, თუ არის ინტერვალი, რომელიც შეიცავს წერტილს და ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, ისეთი, რომ ამ ინტერვალის ყველა წერტილისთვის აღმოჩნდება . შესაბამისად, ფუნქციას წერტილში აქვს მინიმალური, თუ პირობა დაკმაყოფილებულია გარკვეული ინტერვალის ყველა წერტილისთვის.

ნახ. 2 და 3 სურათებზე ნაჩვენებია ფუნქციების გრაფიკები, რომლებსაც აქვთ უკიდურესი წერტილი.

მოდით ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ, განსაზღვრებით, ექსტრემალური წერტილი უნდა იყოს ფუნქციის დაყენების ინტერვალის შიგნით და არა მის ბოლოს. ამიტომ, ნახ. 1, არ შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მას აქვს მინიმალური წერტილი.

თუ ფუნქციის მაქსიმუმის (მინიმუმის) ამ განსაზღვრებაში, ჩვენ ვცვლით მკაცრ უტოლობას არამკაცრთან. , შემდეგ მივიღებთ არამკაცრ მაქსიმუმის (არამკაცრი მინიმუმის) განმარტებას. განვიხილოთ, მაგალითად, მთის მწვერვალის პროფილი (ნახ. 4). ბრტყელი ფართობის თითოეული წერტილი - სეგმენტი არის არა მკაცრი მაქსიმალური წერტილი.

დიფერენციალურ გამოთვლებში, ექსტრემებისთვის ფუნქციის შესწავლა ძალიან ეფექტურია და საკმაოდ მარტივად ხორციელდება წარმოებულის გამოყენებით. დიფერენციალური გამოთვლის ერთ-ერთი მთავარი თეორემა, რომელიც ადგენს დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელ პირობას, არის ფერმას თეორემა (იხ. ფერმას თეორემა). დაე, ფუნქციას წერტილში ჰქონდეს უკიდურესი. თუ ამ ეტაპზე არის წარმოებული, მაშინ ის ნულის ტოლია.

გეომეტრიულ ენაში ფერმას თეორემა ნიშნავს, რომ უკიდურეს წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია (ნახ. 5). საპირისპირო განცხადება, რა თქმა უნდა, არ არის ჭეშმარიტი, რაც ნაჩვენებია, მაგალითად, ნახ. 6.

თეორემა ფრანგი მათემატიკოსის პ.ფერმას სახელს ატარებს, რომელიც ერთ-ერთმა პირველმა გადაჭრა ექსტრემალური ამოცანების რაოდენობა. მას ჯერ კიდევ არ ჰქონდა წარმოებულის ცნება ხელთ, მაგრამ გამოკვლევისას გამოიყენა მეთოდი, რომლის არსი გამოხატულია თეორემის განცხადებაში.

დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესობის საკმარისი პირობაა წარმოებულის ნიშნის ცვლილება. თუ ერთ წერტილში წარმოებული იცვლება ნიშანი მინუსდან პლუსზე, ე.ი. მისი შემცირება იცვლება ზრდით, მაშინ წერტილი იქნება მინიმალური წერტილი. პირიქით, წერტილი იქნება მაქსიმალური წერტილი, თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, ე.ი. აღმავალიდან დაღმავალზე გადადის.

წერტილს, სადაც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, სტაციონარული ეწოდება. თუ დიფერენცირებადი ფუნქციის გამოკვლევა ხდება ექსტრემისთვის, მაშინ უნდა მოიძებნოს მისი ყველა სტაციონარული წერტილი და განხილული იყოს წარმოებულის ნიშნები მათგან მარცხნივ და მარჯვნივ.

ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას ექსტრემისთვის.

მოდი ვიპოვოთ მისი წარმოებული: .

მოდით მივმართოთ y \u003d x 3 - 3x 2 ფუნქციის გრაფიკს. განვიხილოთ x = 0 წერტილის მეზობლობა, ე.ი. გარკვეული ინტერვალი, რომელიც შეიცავს ამ წერტილს. ლოგიკურია, რომ არსებობს x \u003d 0 წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ფუნქცია y \u003d x 3 - 3x 2 იღებს უდიდეს მნიშვნელობას ამ სამეზობლოში x \u003d 0 წერტილში. მაგალითად, ინტერვალზე (- 1; 1) უდიდესი მნიშვნელობა 0-ის ტოლია, ფუნქცია იღებს x = 0 წერტილში. x = 0 წერტილს ამ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ეწოდება.

ანალოგიურად, x \u003d 2 წერტილს უწოდებენ x 3 - 3x 2 ფუნქციის მინიმალურ წერტილს, რადგან ამ ეტაპზე ფუნქციის მნიშვნელობა არ აღემატება მის მნიშვნელობას x \u003d 2 წერტილის სიახლოვეს სხვა წერტილში. მაგალითად, სამეზობლო (1.5; 2.5).

ამრიგად, x 0 წერტილს უწოდებენ f (x) ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილს, თუ არსებობს x 0 წერტილის მეზობლობა - ისეთი, რომ უტოლობა f (x) ≤ f (x 0) დაკმაყოფილდეს ყველა x-ისთვის აქედან. სამეზობლო.

მაგალითად, წერტილი x 0 \u003d 0 არის f (x) \u003d 1 - x 2 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, რადგან f (0) \u003d 1 და უტოლობა f (x) ≤ 1 მართალია ყველა მნიშვნელობისთვის. x-დან.

f (x) ფუნქციის მინიმალურ წერტილს ეწოდება x 0 წერტილი, თუ არსებობს x 0 წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ უტოლობა f (x) ≥ f (x 0) დაკმაყოფილდეს ყველა x-სთვის ამ სამეზობლოდან.

მაგალითად, წერტილი x 0 \u003d 2 არის f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 ფუნქციის მინიმალური წერტილი, რადგან f (2) \u003d 3 და f (x) ≥ 3 ყველა x-ისთვის .

უკიდურეს წერტილებს ეწოდება მინიმალური და მაქსიმალური ქულები.

მივმართოთ f(x) ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულია x 0 წერტილის რაღაც სამეზობლოში და აქვს წარმოებული ამ წერტილში.

თუ x 0 არის f (x) დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, მაშინ f "(x 0) \u003d 0. ამ დებულებას ფერმას თეორემა ეწოდება.

ფერმას თეორემას აქვს მკაფიო გეომეტრიული მნიშვნელობა: უკიდურეს წერტილში ტანგენსი პარალელურია x-ღერძის და შესაბამისად მისი დახრილობის.
f" (x 0) არის ნული.

მაგალითად, ფუნქციას f (x) \u003d 1 - 3x 2 აქვს მაქსიმუმი x 0 \u003d 0 წერტილში, მისი წარმოებული f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

ფუნქცია f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 აქვს მინიმუმ წერტილში x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

გაითვალისწინეთ, რომ თუ f" (x 0) \u003d 0, მაშინ ეს საკმარისი არ არის იმის დასამტკიცებლად, რომ x 0 აუცილებლად არის f (x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.

მაგალითად, თუ f (x) \u003d x 3, მაშინ f "(0) \u003d 0. თუმცა, წერტილი x \u003d 0 არ არის ექსტრემალური წერტილი, რადგან ფუნქცია x 3 იზრდება მთელ რეალურ ღერძზე.

ასე რომ, დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესი წერტილები უნდა ვეძებოთ მხოლოდ განტოლების ფესვებს შორის.
f "(x) \u003d 0, მაგრამ ამ განტოლების ფესვი ყოველთვის არ არის ექსტრემალური წერტილი.

სტაციონარული წერტილები არის წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია.

ამგვარად, იმისათვის, რომ x 0 წერტილი იყოს უკიდურესი წერტილი, აუცილებელია ის იყოს სტაციონარული წერტილი.

განვიხილოთ საკმარისი პირობები, რომ სტაციონარული წერტილი იყოს ექსტრემალური წერტილი, ე.ი. პირობები, რომლებშიც სტაციონარული წერტილი არის ფუნქციის მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილი.

თუ სტაციონარული წერტილის მარცხნივ წარმოებული დადებითია, ხოლო მარჯვნივ უარყოფითი, ე.ი. წარმოებული ცვლის "+" ნიშანს "-"-ის ნიშნად ამ წერტილის გავლისას, მაშინ ეს სტაციონარული წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი.

მართლაც, ამ შემთხვევაში, სტაციონარული წერტილიდან მარცხნივ, ფუნქცია იზრდება, მარჯვნივ კი მცირდება, ე.ი. ეს წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი.

თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს "-" ნიშანზე "+" სტაციონარული წერტილის გავლისას, მაშინ ეს სტაციონარული წერტილი არის მინიმალური წერტილი.

თუ წარმოებული არ იცვლის ნიშანს სტაციონარულ წერტილში გავლისას, ე.ი. წარმოებული არის დადებითი ან უარყოფითი სტაციონარული წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ, მაშინ ეს წერტილი არ არის უკიდურესი წერტილი.

განვიხილოთ ერთ-ერთი პრობლემა. იპოვეთ f (x) \u003d x 4 - 4x 3 ფუნქციის უკიდურესი წერტილები.

გამოსავალი.

1) იპოვეთ წარმოებული: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) იპოვეთ სტაციონარული წერტილები: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ დავადგინეთ, რომ წარმოებული f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) დადებითია x\u003e 3-სთვის, უარყოფითი x-სთვის< 0 и при 0 < х < 3.

4) ვინაიდან x 1 \u003d 0 წერტილში გავლისას წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება, ეს წერტილი არ არის ექსტრემალური წერტილი.

5) წარმოებული ცვლის ნიშანს "-" ნიშანში "+" წერტილის გავლისას x 2 \u003d 3. ამიტომ, x 2 \u003d 3 არის მინიმალური წერტილი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

განმარტებები:

ექსტრემალურიდაასახელეთ ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე.

უკიდურესი წერტილიარის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა.

მაქსიმალური ქულაარის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

დაბალი წერტილიარის წერტილი, სადაც მიიღწევა ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა.

ახსნა.

ნახატზე x = 3 წერტილის სიახლოვეს ფუნქცია აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას (ანუ ამ კონკრეტული წერტილის სიახლოვეს არ არის უმაღლესი წერტილი). x = 8-ის სამეზობლოში მას კვლავ აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა (კიდევ ერთხელ განვმარტავთ: სწორედ ამ სამეზობლოში არ არის ზემოთ წერტილი). ამ წერტილებში ზრდა იცვლება შემცირებით. ეს არის მაქსიმალური ქულები:

xmax = 3, xmax = 8.

x = 5 წერტილის სიახლოვეს მიიღწევა ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა (ანუ x = 5-ის სიახლოვეს ქვემოთ წერტილი არ არის). ამ ეტაპზე შემცირება იცვლება ზრდით. ეს არის მინიმალური ქულა:

მაქსიმალური და მინიმალური ქულებია ფუნქციის უკიდურესი წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის მისი უკიდურესობები.

ფუნქციის კრიტიკული და სტაციონარული წერტილები:

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა:

საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის:

სეგმენტზე ფუნქცია წ = ვ(x) შეუძლია მიაღწიოს თავის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

უწყვეტი ფუნქციის შესწავლის ალგორითმიწ = ვ(x) ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის:

დაე, ფუნქცია $z=f(x,y)$ განისაზღვროს $(x_0,y_0)$ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში. ნათქვამია, რომ $(x_0,y_0)$ არის (ადგილობრივი) მაქსიმალური წერტილი, თუ $(x,y)$ $(x_0,y_0)$-ის რომელიმე სამეზობლოში $(x_0,y_0)$ უტოლობა $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, მაშინ წერტილს $(x_0,y_0)$ ეწოდება (ადგილობრივი) მინიმალური წერტილი.

მაღალ და დაბალ წერტილებს ხშირად მოიხსენიებენ ზოგადი ტერმინით extremum points.

თუ $(x_0,y_0)$ არის მაქსიმალური წერტილი, მაშინ $f(x_0,y_0)$ ფუნქციის მნიშვნელობას ამ ეტაპზე ეწოდება $z=f(x,y)$ ფუნქციის მაქსიმუმი. შესაბამისად, ფუნქციის მნიშვნელობას მინიმალურ წერტილში ეწოდება $z=f(x,y)$ ფუნქციის მინიმუმი. ფუნქციის მინიმუმსა და მაქსიმუმს აერთიანებს საერთო ტერმინი - ფუნქციის უკიდურესი.

$z=f(x,y)$ ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი ექსტრემისთვის

1. იპოვეთ $\frac(\partial z)(\partial x)$ და $\frac(\partial z)(\partial y)$-ის ნაწილობრივი წარმოებულები. შეადგინეთ და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა $ \left \( \begin(გასწორებული) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ წერტილებს, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს მითითებულ სისტემას, ეწოდება სტაციონარული.
2. იპოვეთ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ და გამოთვალეთ მნიშვნელობა $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ ყოველ სტაციონარულ წერტილში. ამის შემდეგ გამოიყენეთ შემდეგი სქემა:
   1. თუ $\Delta > 0$ და $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (ან $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), მაშინ შესასწავლ წერტილში არის მინიმალური ქულა.
   2. თუ $\Delta > 0$ და $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. თუ $\დელტა< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. თუ $\Delta = 0$, მაშინ ვერაფერს ვიტყვით კონკრეტულად ექსტრემის არსებობაზე; საჭიროა დამატებითი კვლევა.

შენიშვნა (სასურველია ტექსტის უკეთ გასაგებად): ჩვენება/დამალვა

თუ $\Delta > 0$, მაშინ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ ნაწილობრივი ^2z)(\ნაწილობრივი x\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ)^2 > 0$. და აქედან გამომდინარეობს, რომ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\ნაწილობრივი x\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ)^2 ≥ 0$. იმათ. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. თუ ზოგიერთი სიდიდის ნამრავლი ნულზე მეტია, მაშინ ამ რაოდენობებს აქვთ იგივე ნიშანი. მაგალითად, თუ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, მაშინ $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. მოკლედ, თუ $\Delta > 0$, მაშინ $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ და $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ნიშნებია. იგივე.

მაგალითი #1

გამოიკვლიეთ ფუნქცია $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ ექსტრემისთვის.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \ბოლო (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

მოდით შევამციროთ ამ სისტემის თითოეული განტოლება $2$-ით და გადავიტანოთ რიცხვები განტოლებების მარჯვენა მხარეს:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა. ამ სიტუაციაში, მეჩვენება, რომ კრამერის მეთოდის ყველაზე მოსახერხებელი გამოყენებაა მიღებული სისტემის გადასაჭრელად.

$$ \begin(გასწორებული) & \Delta=\მარცხნივ| \begin(მასივი) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(მასივი)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \დელტა_x=\მარცხნივ| \begin(მასივი) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(მაივი)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\მარცხნივ| \begin(მასივი) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(მაივი)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(გასწორებული) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

მნიშვნელობები $x=2$, $y=-3$ არის $(2;-3)$ სტაციონარული წერტილის კოორდინატები.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

მოდით გამოვთვალოთ $\Delta$-ის მნიშვნელობა:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \ნაწილობრივი x\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

ვინაიდან $\Delta > 0$ და $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, მაშინ $(2;-3)$ წერტილის მიხედვით არის $ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. z$. ჩვენ ვიპოვით $z$ ფუნქციის მინიმუმს $(2;-3)$ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით მოცემულ ფუნქციაში:

$$ z_(წთ)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

უპასუხე: $(2;-3)$ - მინიმალური ქულა; $z_(წთ)=-90$.

მაგალითი #2

გამოიკვლიეთ ფუნქცია $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ ექსტრემისთვის.

ჩვენ მივყვებით ზემოაღნიშნულს. პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

შეადგინეთ განტოლებათა სისტემა $ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი y)=0. \ დასასრული( გასწორებული)\right.$:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

პირველი განტოლება შეამცირეთ 3-ით, ხოლო მეორე 6-ით.

$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

თუ $x=0$, მაშინ მეორე განტოლება მიგვიყვანს წინააღმდეგობაში: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. აქედან დასკვნა: $x\neq 0$. შემდეგ მეორე განტოლებიდან გვაქვს: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. $y=\frac(2)(x)$ პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, გვაქვს:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \მარჯვნივ)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

მივიღეთ ბიკვადრატული განტოლება. ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას $t=x^2$ (გვავიწყდება, რომ $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \დაწყება(გასწორებული) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end (გასწორებული) $$

თუ $t=1$, მაშინ $x^2=1$. აქედან გამომდინარე, გვაქვს $x$-ის ორი მნიშვნელობა: $x_1=1$, $x_2=-1$. თუ $t=4$, მაშინ $x^2=4$, ე.ი. $x_3=2$, $x_4=-2$. გავიხსენოთ, რომ $y=\frac(2)(x)$, მივიღებთ:

\begin(გასწორებული) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \ ბოლოს (გასწორებული)

ასე რომ, გვაქვს ოთხი სტაციონარული წერტილი: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. ეს ასრულებს ალგორითმის პირველ საფეხურს.

ახლა მოდით გადავიდეთ ალგორითმზე. ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

იპოვეთ $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \ნაწილობრივი x\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

ახლა ჩვენ გამოვთვლით $\Delta$-ის მნიშვნელობას ადრე ნაპოვნი სტაციონარული წერტილებიდან თითოეულზე. დავიწყოთ $M_1(1;2)$ წერტილიდან. ამ ეტაპზე გვაქვს: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. $\Delta (M_1) წლიდან< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

მოდით გამოვიკვლიოთ $M_2(-1;-2)$ წერტილი. ამ ეტაპზე გვაქვს: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Delta (M_2) წლიდან< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

განვიხილოთ $M_3(2;1)$ წერტილი. ამ ეტაპზე ვიღებთ:

$$ \დელტა(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

ვინაიდან $\Delta(M_3) > 0$ და $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, მაშინ $M_3(2) მიხედვით; 1)$ არის $z$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. ჩვენ ვიპოვით $z$ ფუნქციის მინიმუმს $M_3$ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით მოცემულ ფუნქციაში:

$$ z_(წთ)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

რჩება $M_4(-2;-1)$ წერტილის შესწავლა. ამ ეტაპზე ვიღებთ:

$$ \დელტა(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

ვინაიდან $\Delta(M_4) > 0$ და $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

ექსტრემალური კვლევა დასრულებულია. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე:

• $(2;1)$ - მინიმალური ქულა, $z_(წთ)=-27$;
• $(-2;-1)$ - მაქსიმალური ქულა, $z_(max)=29$.

შენიშვნა

ზოგადად, არ არის საჭირო $\Delta$-ის მნიშვნელობის გამოთვლა, რადგან ჩვენ მხოლოდ ნიშანი გვაინტერესებს და არა ამ პარამეტრის კონკრეტული მნიშვნელობა. მაგალითად, ზემოთ განხილული No2 მაგალითისთვის, $M_3(2;1)$ წერტილში გვაქვს $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. აქ აშკარაა, რომ $\Delta > 0$ (რადგან ორივე ფაქტორი $36$ და $(2^2-1^2)$ დადებითია) და შესაძლებელია არ მოიძებნოს $\Delta$-ის კონკრეტული მნიშვნელობა. მართალია, ეს შენიშვნა უსარგებლოა ტიპიური გამოთვლებისთვის - ისინი ითხოვენ გამოთვლების რიცხვამდე მიყვანას :)

მაგალითი #3

გამოიკვლიეთ ფუნქცია $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ ექსტრემისთვის.

ჩვენ მივყვებით. პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

შეადგინეთ განტოლებათა სისტემა $ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი y)=0. \ დასასრული( გასწორებული)\right.$:

$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \ბოლო (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

მოდით შევამციროთ ორივე განტოლება $4$-ით:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

მოდით დავუმატოთ პირველი განტოლება მეორეს და გამოვხატოთ $y$ $x$-ით:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

სისტემის პირველ განტოლებაში $y=-x$ ჩანაცვლებით, გვექნება:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

მიღებული განტოლებიდან გვაქვს: $x=0$ ან $x^2-2=0$. $x^2-2=0$ განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ $x=-\sqrt(2)$ ან $x=\sqrt(2)$. ასე რომ, ნაპოვნია $x$-ის სამი მნიშვნელობა, კერძოდ: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. ვინაიდან $y=-x$, მაშინ $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

გადაწყვეტის პირველი ნაბიჯი დასრულდა. მივიღეთ სამი სტაციონარული წერტილი: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

ახლა მოდით გადავიდეთ ალგორითმზე. ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

იპოვეთ $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \ნაწილობრივი x\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

ახლა ჩვენ გამოვთვლით $\Delta$-ის მნიშვნელობას ადრე ნაპოვნი სტაციონარული წერტილებიდან თითოეულზე. დავიწყოთ $M_1(0;0)$ წერტილიდან. ამ ეტაპზე გვაქვს: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. ვინაიდან $\Delta(M_1) = 0$, საჭიროა დამატებითი კვლევა, რადგან ვერაფერს ვიტყვით კონკრეტულად ექსტრემის არსებობაზე განხილულ წერტილში. მოდით, დროებით დავტოვოთ ეს წერტილი და გადავიდეთ სხვა საკითხებზე.

განვიხილოთ წერტილი $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. ამ ეტაპზე ვიღებთ:

\ დასაწყისი(გასწორებული) & \დელტა(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \ ბოლოს (გასწორებული)

ვინაიდან $\Delta(M_2) > 0$ და $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, შემდეგ $M_2(-\) მიხედვით sqrt(2),\sqrt(2))$ არის $z$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. ჩვენ ვიპოვით $z$ ფუნქციის მინიმუმს $M_2$ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით მოცემულ ფუნქციაში:

$$ z_(წთ)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

წინა პუნქტის მსგავსად, ჩვენ განვიხილავთ $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ პუნქტს. ამ ეტაპზე ვიღებთ:

\begin(გასწორებული) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \ ბოლოს (გასწორებული)

ვინაიდან $\Delta(M_3) > 0$ და $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, შემდეგ $M_3(\sqrt) მიხედვით (2),-\sqrt(2))$ არის $z$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი. ჩვენ ვიპოვით $z$ ფუნქციის მინიმუმს $M_3$ წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით მოცემულ ფუნქციაში:

$$ z_(წთ)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

დროა დავუბრუნდეთ $M_1(0;0)$ წერტილს, სადაც $\Delta(M_1) = 0$. საჭიროა დამატებითი გამოკვლევა. ეს მორიდებითი ფრაზა ნიშნავს "გააკეთე რაც გინდა" :). ასეთი სიტუაციების გადაჭრის ზოგადი გზა არ არსებობს - და ეს გასაგებია. ასეთი მეთოდი რომ ყოფილიყო, მაშინ ყველა სახელმძღვანელოში დიდი ხნის წინ შევიდოდა. იმავდროულად, ჩვენ უნდა ვეძიოთ სპეციალური მიდგომა თითოეულ წერტილთან, სადაც $\Delta = 0$. მოდით, გამოვიკვლიოთ ფუნქციის ქცევა $M_1(0;0)$ წერტილის სიახლოვეს. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ $z(M_1)=z(0;0)=3$. დავუშვათ, რომ $M_1(0;0)$ არის მინიმალური წერტილი. შემდეგ ნებისმიერი წერტილისთვის $M$ $M_1(0;0)$ წერტილის რომელიმე უბნიდან მივიღებთ $z(M) > z(M_1) $, ე.ი. $z(M) > 3$. რა მოხდება, თუ რომელიმე სამეზობლო შეიცავს წერტილებს, სადაც $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

განვიხილოთ პუნქტები, რომლებისთვისაც $y=0$, ე.ი. $(x,0)$ ფორმის წერტილები. ამ წერტილებში $z$ ფუნქცია მიიღებს შემდეგ მნიშვნელობებს:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2) +3. $$

ყველა საკმარისად პატარა უბანში $M_1(0;0)$ გვაქვს $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

მაგრამ იქნებ წერტილი $M_1(0;0)$ არის მაქსიმალური წერტილი? თუ ეს ასეა, მაშინ ნებისმიერი წერტილისთვის $M$ $M_1(0;0)$ წერტილის რომელიმე სამეზობლოდან მივიღებთ $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? მაშინ ნამდვილად არ იქნება მაქსიმუმი $M_1$ წერტილში.

განვიხილოთ პუნქტები, რომლებისთვისაც $y=x$, ე.ი. $(x,x)$ ფორმის წერტილები. ამ წერტილებში $z$ ფუნქცია მიიღებს შემდეგ მნიშვნელობებს:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

ვინაიდან $M_1(0;0)$ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში გვაქვს $2x^4 > 0$, შემდეგ $2x^4+3 > 3$. დასკვნა: $M_1(0;0)$ წერტილის ნებისმიერი სამეზობლო შეიცავს წერტილებს, სადაც $z > 3$, ამიტომ წერტილი $M_1(0;0)$ არ შეიძლება იყოს მაქსიმალური წერტილი.

წერტილი $M_1(0;0)$ არც მაქსიმუმია და არც მინიმალური. დასკვნა: $M_1$ საერთოდ არ არის უკიდურესი წერტილი.

უპასუხე: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - $z$ ფუნქციის მინიმალური ქულები. ორივე წერტილში $z_(წთ)=-5$.