წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემები

პრობლემის ფორმულირება. იპოვეთ რაიმე საფუძველი და განსაზღვრეთ სისტემის ამონახსნების წრფივი სივრცის განზომილება

გადაწყვეტის გეგმა.

1. ჩამოწერეთ სისტემის მატრიცა:

და ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით ვაქცევთ მატრიცას სამკუთხა ფორმად, ე.ი. ისეთ ფორმამდე, როდესაც მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია. სისტემის მატრიცის წოდება უდრის წრფივად დამოუკიდებელი რიგების რაოდენობას, ანუ ჩვენს შემთხვევაში რიგების რაოდენობას, რომლებშიც რჩება არანულოვანი ელემენტები:

ხსნარის სივრცის განზომილება არის . თუ , მაშინ ერთგვაროვან სისტემას აქვს უნიკალური ნულოვანი ამონახსნი, თუ , მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

2. აირჩიეთ ძირითადი და თავისუფალი ცვლადები. თავისუფალი ცვლადები აღინიშნება . შემდეგ ძირითად ცვლადებს გამოვხატავთ თავისუფალთა მიხედვით, რითაც ვიღებთ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად ამონახსანს.

3. ჩვენ ვწერთ სისტემის ამოხსნის სივრცის საფუძველს ერთ-ერთი თავისუფალი ცვლადის ტოლი თანმიმდევრობით, ხოლო დანარჩენი ნულის ტოლი. სისტემის წრფივი ამოხსნის სივრცის განზომილება უდრის საბაზისო ვექტორების რაოდენობას.

Შენიშვნა. ელემენტარული მატრიცის გარდაქმნები მოიცავს:

1. სტრიქონის გამრავლება (გაყოფა) ნულის გარდა სხვა მამრავლით;

2. სხვა წრფის რომელიმე წრფის დამატება, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე;

3. ხაზების გადანაცვლება ადგილებზე;

4. 1–3 გარდაქმნები სვეტებისთვის (წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის შემთხვევაში არ გამოიყენება სვეტების ელემენტარული გარდაქმნები).

დავალება 3.იპოვეთ რაიმე საფუძველი და განსაზღვრეთ სისტემის ამონახსნების წრფივი სივრცის განზომილება.

ჩვენ ვწერთ სისტემის მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ სამკუთხა ფორმამდე:

ვვარაუდობთ მაშინ

როდესაც გავაანალიზეთ n-განზომილებიანი ვექტორის ცნებები და შემოვიღეთ მოქმედებები ვექტორებზე, აღმოვაჩინეთ, რომ ყველა n-განზომილებიანი ვექტორის სიმრავლე ქმნის წრფივ სივრცეს. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ყველაზე მნიშვნელოვან დაკავშირებულ ცნებებზე - ვექტორული სივრცის განზომილებისა და საფუძვლის შესახებ. ჩვენ ასევე განვიხილავთ თეორემას თვითნებური ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლისა და n-განზომილებიანი სივრცის სხვადასხვა ფუძეებს შორის კავშირის მიხედვით. მოდით დეტალურად გავაანალიზოთ ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

ვექტორული სივრცის განზომილების და საფუძვლის კონცეფცია.

ვექტორული სივრცის განზომილებისა და საფუძვლის ცნებები პირდაპირ კავშირშია ვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის კონცეფციასთან, ამიტომ ჩვენ გირჩევთ, საჭიროების შემთხვევაში, მიმართოთ სტატიას ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება, წრფივი დამოკიდებულების თვისებები და დამოუკიდებლობა.

განმარტება.

ვექტორული სივრცის ზომაეწოდება რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ სივრცეში წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობის.

განმარტება.

ვექტორული სივრცის საფუძველიარის ამ სივრცის წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მოწესრიგებული ნაკრები, რომელთა რაოდენობა სივრცის განზომილების ტოლია.

ჩვენ წარმოგიდგენთ რამდენიმე არგუმენტს ამ განმარტებებზე დაყრდნობით.

განვიხილოთ n-განზომილებიანი ვექტორების სივრცე.

ვაჩვენოთ, რომ ამ სივრცის განზომილება უდრის n-ს.

ავიღოთ ფორმის n ერთეული ვექტორების სისტემა

ავიღოთ ეს ვექტორები A მატრიცის რიგებად. ამ შემთხვევაში, მატრიცა A იქნება n-დან n იდენტურობის მატრიცა. ამ მატრიცის წოდება არის n (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია). ამიტომ ვექტორთა სისტემა არის წრფივი დამოუკიდებელი და ვერცერთი ვექტორი ვერ დაემატება ამ სისტემას მისი წრფივი დამოუკიდებლობის დარღვევის გარეშე. ვინაიდან სისტემაში ვექტორების რაოდენობა უდრის n-ს, მაშინ n-განზომილებიანი ვექტორების სივრცის განზომილება არის n, ხოლო ერთეული ვექტორები ამ სივრცის საფუძველია.

ბოლო განცხადებიდან და საფუძვლის განსაზღვრებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ n-განზომილებიანი ვექტორების ნებისმიერი სისტემა, რომლის ვექტორების რაოდენობა n-ზე ნაკლებია, არ არის საფუძველი.

ახლა მოდით გავცვალოთ სისტემის პირველი და მეორე ვექტორები . ადვილია იმის ჩვენება, რომ ვექტორთა სისტემა ასევე არის n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი. მოდით შევადგინოთ მატრიცა, ავიღოთ იგი ამ სისტემის მწკრივების ვექტორებად. ეს მატრიცა შეიძლება მივიღოთ საიდენტიფიკაციო მატრიციდან პირველი და მეორე სტრიქონების შეცვლით, შესაბამისად მისი რანგი იქნება n. ამრიგად, n ვექტორის სისტემა არის წრფივად დამოუკიდებელი და წარმოადგენს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველს.

თუ გავცვლით სისტემის სხვა ვექტორებს , ჩვენ ვიღებთ სხვა საფუძველს.

თუ ავიღებთ არაერთეულ ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, მაშინ ის ასევე არის n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი.

ამრიგად, n განზომილების ვექტორულ სივრცეს აქვს იმდენი ფუძე, რამდენიც არსებობს n n განზომილებიანი ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემები.

თუ ვსაუბრობთ ორგანზომილებიან ვექტორულ სივრცეზე (ანუ სიბრტყეზე), მაშინ მისი საფუძველია ნებისმიერი ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი. სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არის ნებისმიერი სამი არათანაბარი ვექტორი.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

არის თუ არა ვექტორები 3D ვექტორული სივრცის საფუძველი?

გამოსავალი.

განვიხილოთ ვექტორების ეს სისტემა წრფივი დამოკიდებულებისთვის. ამისათვის ჩვენ შევქმნით მატრიცას, რომლის რიგები იქნება ვექტორების კოორდინატები და ვიპოვით მის წოდებას:


ამრიგად, a , b და c ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და მათი რიცხვი უდრის ვექტორული სივრცის განზომილებას, შესაბამისად, ისინი ამ სივრცის საფუძველია.

პასუხი:

Დიახ ისინი არიან.

მაგალითი.

შეიძლება თუ არა ვექტორთა სისტემა იყოს ვექტორული სივრცის საფუძველი?

გამოსავალი.

ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, ვინაიდან წრფივად დამოუკიდებელი სამგანზომილებიანი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა არის სამი. ამიტომ, ვექტორთა ეს სისტემა არ შეიძლება იყოს სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი (თუმცა ვექტორთა თავდაპირველი სისტემის ქვესისტემა არის საფუძველი).

პასუხი:

Არა მას არ შეუძლია.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ ვექტორები

შეიძლება იყოს ოთხგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი.

გამოსავალი.

მოდით გავაკეთოთ მატრიცა, ავიღოთ იგი ორიგინალური ვექტორების რიგებად:

მოდი ვიპოვოთ:

ამრიგად, a, b, c, d ვექტორების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და მათი რიცხვი უდრის ვექტორული სივრცის განზომილებას, შესაბამისად, a, b, c, d არის მისი საფუძველი.

პასუხი:

ორიგინალური ვექტორები მართლაც არის ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

მაგალითი.

ქმნიან თუ არა ვექტორები 4 განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველს?

გამოსავალი.

მაშინაც კი, თუ ვექტორთა თავდაპირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მასში არსებული ვექტორების რაოდენობა არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ იყოს ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი (ასეთი სივრცის საფუძველი შედგება 4 ვექტორისგან).

პასუხი:

არა, არა.

ვექტორის დაშლა ვექტორული სივრცის საფუძველზე.

დაუშვით თვითნებური ვექტორები არის n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი. თუ მათ დავუმატებთ n-განზომილებიან ვექტორს x, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული იქნება. წრფივი დამოკიდებულების თვისებებიდან ვიცით, რომ წრფივად დამოკიდებული სისტემის სულ მცირე ერთი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წრფივად დამოკიდებული სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც გაფართოებულია დანარჩენი ვექტორების თვალსაზრისით.

ამრიგად მივედით ძალიან მნიშვნელოვან თეორემამდე.

თეორემა.

n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ცალსახად იშლება საფუძვლის მიხედვით.

მტკიცებულება.

დაე - n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი. ამ ვექტორებს დავუმატოთ n-განზომილებიანი ვექტორი x. მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული იქნება და x ვექტორი შეიძლება წრფივად გამოიხატოს ვექტორების მიხედვით : , სად არის რამდენიმე რიცხვი. ამიტომ მივიღეთ x ვექტორის გაფართოება საფუძვლის მიხედვით. რჩება იმის მტკიცება, რომ ეს დაშლა უნიკალურია.

დავუშვათ, რომ არსებობს სხვა დაშლა, სადაც - რამდენიმე რიცხვი. გამოვაკლოთ ბოლო ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, შესაბამისად, ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს:

საფუძვლების ვექტორთა სისტემიდან გამომდინარე არის წრფივი დამოუკიდებელი, მაშინ, ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განმარტებით, შედეგად თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, , რაც ადასტურებს ვექტორის გაფართოების უნიკალურობას საფუძვლის თვალსაზრისით.

განმარტება.

კოეფიციენტები ე.წ საფუძველში x ვექტორის კოორდინატები .

ვექტორის საფუძვლის თვალსაზრისით გაფართოების თეორემას გაცნობის შემდეგ, ჩვენ ვიწყებთ გამოთქმის არსის გააზრებას „ჩვენ გვეძლევა n-განზომილებიანი ვექტორი. ". ეს გამოხატულება ნიშნავს, რომ ჩვენ განვიხილავთ x ვექტორს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცისა, რომლის კოორდინატები მოცემულია გარკვეულ საფუძველზე. ამავდროულად, ჩვენ გვესმის, რომ იგივე x ვექტორს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის სხვა საფუძველში ექნება განსხვავებული კოორდინატები.

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა.

მოდით, n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის რაიმე საფუძველში გვეძლევა n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა.

და ვექტორი . შემდეგ ვექტორები ასევე არის ამ ვექტორული სივრცის საფუძველი.

მოდით ვიპოვოთ x ვექტორის კოორდინატები ბაზაში . ავღნიშნოთ ეს კოორდინატები როგორც .

ვექტორი x საფუძველზე აქვს იდეა. ჩვენ ვწერთ ამ თანასწორობას კოორდინატების სახით:

ეს ტოლობა უდრის n წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემას n უცნობი ცვლადით. :

ამ სისტემის მთავარ მატრიცას აქვს ფორმა

ავღნიშნოთ როგორც A. A მატრიცის სვეტები არის ვექტორთა ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემის ვექტორები ასე რომ, ამ მატრიცის რანგი არის n, შესაბამისად მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი. ეს ფაქტი მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ნებისმიერი მეთოდით, მაგალითად, ან .

ასე რომ, სასურველი კოორდინატები მოიძებნება ვექტორი x საფუძველში .

მოდით გავაანალიზოთ თეორია მაგალითებით.

მაგალითი.

სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის ზოგიერთ საფუძველში ვექტორები

დარწმუნდით, რომ ვექტორული სისტემა ასევე არის ამ სივრცის საფუძველი და იპოვეთ x ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი.

იმისათვის, რომ ვექტორთა სისტემა იყოს სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი, ის უნდა იყოს წრფივად დამოუკიდებელი. მოდით გავარკვიოთ A მატრიცის რანგის განსაზღვრით, რომლის რიგები ვექტორებია. წოდებას ვპოულობთ გაუსის მეთოდით


შესაბამისად, Rank(A) = 3, რომელიც აჩვენებს ვექტორთა სისტემის წრფივ დამოუკიდებლობას.

ასე რომ, ვექტორები არის საფუძველი. მოდით x ვექტორს ჰქონდეს კოორდინატები ამ საფუძველზე. შემდეგ, როგორც ზემოთ ვაჩვენეთ, ამ ვექტორის კოორდინატების ურთიერთობა მოცემულია განტოლებათა სისტემით

მასში მდგომარეობიდან ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ

მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:

ამრიგად, საფუძველში x ვექტორს აქვს კოორდინატები .

პასუხი:

მაგალითი.

რაღაც საფუძველზე ოთხგანზომილებიანი ვექტორული სივრცე მოცემულია ვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა

ცნობილია, რომ . იპოვეთ x ვექტორის კოორდინატები საფუძველზე .

გამოსავალი.

ვინაიდან ვექტორთა სისტემა არის წრფივი დამოუკიდებელი ვარაუდით, მაშინ იგი წარმოადგენს ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს. მერე თანასწორობა ნიშნავს, რომ ვექტორი x საფუძველში აქვს კოორდინატები. აღნიშნეთ ვექტორის x-ის კოორდინატები ბაზაში Როგორ .

განტოლებათა სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს x ვექტორის კოორდინატების ურთიერთობას ფუძეებში და ფორმა აქვს

ჩვენ ვცვლით მასში ცნობილ მნიშვნელობებს და ვპოულობთ სასურველ კოორდინატებს:

პასუხი:

.

ბაზებს შორის კომუნიკაცია.

მოდით, ვექტორების ორი წრფივად დამოუკიდებელი სისტემა იყოს მოცემული n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის რაიმე საფუძველში.

და

ანუ ისინიც ამ სივრცის ბაზები არიან.

თუ - ვექტორული კოორდინატები საფუძველზე , შემდეგ კოორდინატების ურთიერთობა და მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემით (ამაზე ვისაუბრეთ წინა აბზაცში):

, რომელიც მატრიცის სახით შეიძლება დაიწეროს როგორც

ანალოგიურად, ვექტორისთვის შეგვიძლია დავწეროთ

წინა მატრიცული ტოლობები შეიძლება გაერთიანდეს ერთში, რომელიც არსებითად განსაზღვრავს ორი განსხვავებული ფუძის ვექტორების ურთიერთობას

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ყველა საბაზისო ვექტორი საფუძვლის მეშვეობით :

განმარტება.

მატრიცა დაურეკა გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდან საფუძველი , შემდეგ თანასწორობა

ამ განტოლების ორივე მხარის გამრავლება მარჯვნივ

ვიღებთ

მოდი ვიპოვოთ გარდამავალი მატრიცა, ხოლო ჩვენ არ შევჩერდებით შებრუნებული მატრიცის პოვნაზე და მატრიცების გამრავლებაზე (იხილეთ, საჭიროების შემთხვევაში, სტატიები და):

რჩება x ვექტორის კოორდინატების ურთიერთობის გარკვევა მოცემულ ფუძეებში.

დაე, x ვექტორს ჰქონდეს საფუძვლებში კოორდინატები

და საფუძველში x ვექტორს აქვს კოორდინატები, მაშინ

ვინაიდან ბოლო ორი ტოლობის მარცხენა ნაწილები ერთნაირია, ჩვენ შეგვიძლია გავატოლოთ მარჯვენა ნაწილები:

თუ ორივე მხარეს გავამრავლებთ მარჯვნივ

შემდეგ მივიღებთ


Მეორეს მხრივ

(თვითონ იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა).
ბოლო ორი ტოლობა გვაძლევს x ვექტორის კოორდინატების სასურველ ურთიერთობას ფუძეებში და .

პასუხი:

გადასვლის მატრიცას საფუძვლიდან საფუძველზე აქვს ფორმა
;
x ვექტორის კოორდინატები ფუძეებში და დაკავშირებულია მიმართებით

ან
.

ჩვენ განვიხილეთ ვექტორული სივრცის განზომილების და საფუძვლის ცნებები, ვისწავლეთ ვექტორის დაშლა საფუძვლის მიხედვით და აღმოვაჩინეთ კავშირი ვექტორების n-განზომილებიანი სივრცის სხვადასხვა ფუძეს შორის გარდამავალი მატრიცის მეშვეობით.

Გვერდი 1

ქვესივრცე, მისი საფუძველი და განზომილება.

დაე ლარის ხაზოვანი სივრცე ველზე პ და აარის ქვეჯგუფი ლ. თუ ათავად წარმოადგენს ხაზოვან სივრცეს ველზე პიგივე ოპერაციებისთვის, როგორც ლ, ეს ასივრცის ქვესივრცე ეწოდება ლ.

წრფივი სივრცის განმარტების მიხედვით ისე რომ აიყო ქვესივრცე მიზანშეწონილობის შესამოწმებლად აოპერაციები:

1) :
;

2)
:
;

და შეამოწმეთ ოპერაციები აექვემდებარება რვა აქსიომას. თუმცა ეს უკანასკნელი ზედმეტი იქნება (იმის გამო, რომ ეს აქსიომები L-შია), ე.ი. მომდევნო

თეორემა.მოდით L იყოს წრფივი სივრცე P ველზე და
. A სიმრავლე არის L-ის ქვესივრცე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი მოთხოვნები:

1. :
;

2.
:
.

განცხადება.თუ ლ – ნ-განზომილებიანი წრფივი სივრცე და ამისი ქვესივრცე, მაშინ აასევე არის სასრულ განზომილებიანი წრფივი სივრცე და მისი განზომილება არ აღემატება ნ.

პ მაგალითი 1.არის თუ არა სიბრტყის ყველა ვექტორის S სიმრავლე, რომელთაგან თითოეული დევს ერთ-ერთ კოორდინატთა ღერძზე 0x ან 0y, არის V 2 სეგმენტის ვექტორების სივრცის ქვესივრცე?

გამოსავალი: დაე
,
და
,
. მერე
. ამიტომ, S არ არის ქვესივრცე .

მაგალითი 2 ვ 2 სიბრტყის ვექტორული სეგმენტების ნაკრები სყველა სიბრტყის ვექტორი, რომლის დასაწყისი და დასასრული დევს მოცემულ წრფეზე ლეს თვითმფრინავი?

გამოსავალი.

ე sli ვექტორი
გავამრავლოთ რეალურ რიცხვზე კ, მაშინ მივიღებთ ვექტორს
, ასევე ეკუთვნის ს.იფ და არის ორი ვექტორი S-დან, მაშინ
(სწორ ხაზზე ვექტორების დამატების წესის მიხედვით). ამიტომ, S არის ქვესივრცე .

მაგალითი 3არის წრფივი სივრცის წრფივი ქვესივრცე ვ 2 რამოდენიმე ასიბრტყის ყველა ვექტორი, რომლის ბოლოები დევს მოცემულ წრფეზე ლ, (ვუშვათ, რომ რომელიმე ვექტორის საწყისი ემთხვევა საწყისს)?

რ გამოსავალი.

იმ შემთხვევაში, როდესაც პირდაპირი ლარ გადის საწყისში ასივრცის წრფივი ქვესივრცე ვ 2 არ არის, რადგან
.

იმ შემთხვევაში, როდესაც პირდაპირი ლ გადის საწყისს, კომპლექტს აარის სივრცის წრფივი ქვესივრცე ვ 2 , რადგან
ხოლო რომელიმე ვექტორის გამრავლებისას
რეალურ რიცხვამდე α მინდორს გარეთ რვიღებთ
. ამრიგად, კომპლექტის ხაზოვანი სივრცის მოთხოვნები ადასრულდა.

მაგალითი 4მიეცით ვექტორთა სისტემა
ხაზოვანი სივრციდან ლმინდორზე პ. დაამტკიცეთ, რომ ყველა შესაძლო წრფივი კომბინაციის სიმრავლე
კოეფიციენტებით
საწყისი პარის ქვესივრცე ლ(ეს არის ქვესივრცე აეწოდება ვექტორთა სისტემის მიერ წარმოქმნილ ქვესივრცეს
ან ხაზოვანი გარსი ვექტორთა ეს სისტემადა აღინიშნება შემდეგნაირად:
ან
).

გამოსავალი. მართლაც, მას შემდეგ, ნებისმიერი ელემენტისთვის x, წაჩვენ გვაქვს:
,
, სად
,
. მერე

იმიტომ რომ
, ეს
, Ამიტომაც
.

შევამოწმოთ თეორემის მეორე პირობის მიზანშეწონილობა. თუ xარის ნებისმიერი ვექტორი ადა ტ- ნებისმიერი ნომერი პ, რომ . Იმიტომ რომ
და
,
, ეს
,
, Ამიტომაც
. ამრიგად, თეორემის მიხედვით, სიმრავლე აარის წრფივი სივრცის ქვესივრცე ლ.

სასრული განზომილებიანი წრფივი სივრცეებისთვის საპირისპირო ასევე მართალია.

თეორემა.ნებისმიერი ქვესივრცე ახაზოვანი სივრცე ლმინდორზე არის ვექტორთა ზოგიერთი სისტემის წრფივი დიაპაზონი.

წრფივი გარსის საფუძვლისა და განზომილების პოვნის პრობლემის გადაჭრისას გამოიყენება შემდეგი თეორემა.

თეორემა.ხაზოვანი გარსის საფუძველი
ემთხვევა ვექტორთა სისტემის საფუძველს
. ხაზოვანი გარსის ზომა
ემთხვევა ვექტორთა სისტემის რანგს
.

მაგალითი 4იპოვეთ ქვესივრცის საფუძველი და განზომილება
ხაზოვანი სივრცე რ 3 [ x] , თუ
,
,
,
.

გამოსავალი. ცნობილია, რომ ვექტორებს და მათ კოორდინატთა მწკრივებს (სვეტებს) აქვთ იგივე თვისებები (წრფივი დამოკიდებულების მიმართ). ჩვენ ვაკეთებთ მატრიცას ა=
ვექტორების კოორდინატთა სვეტებიდან
საფუძველზე
.

იპოვეთ მატრიცის რანგი ა.

. მ 3 =
.
.

ამიტომ, წოდება რ(ა)= 3. მაშ ასე, ვექტორთა სისტემის რანგი
უდრის 3-ს. აქედან გამომდინარე, S ქვესივრცის განზომილება უდრის 3-ს და მისი საფუძველი შედგება სამი ვექტორისგან.
(რადგან ძირითადი მცირე
მხოლოდ ამ ვექტორების კოორდინატებია ჩართული)., . ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, დაე.

და
.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ სისტემა
წრფივად დამოკიდებული ნებისმიერი ვექტორისთვის xსაწყისი ჰ. ეს ამტკიცებს ამას
ქვესივრცის ვექტორების მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა ჰ, ე.ი.
- საფუძველი ჰდა დაბნელებული ჰ=ნ 2 .

Გვერდი 1

1. დაუშვით ქვესივრცე ლ = ლ(ა 1 , ა 2 , …, ვარ), ანუ ლარის სისტემის ხაზოვანი გარსი ა 1 , ა 2 , …, ვარ; ვექტორები ა 1 , ა 2 , …, ვარარის ამ ქვესივრცის გენერატორების სისტემა. შემდეგ საფუძველი ლარის ვექტორთა სისტემის საფუძველი ა 1 , ა 2 , …, ვარ, ანუ გენერატორების სისტემის საფუძველი. განზომილება ლუდრის გენერატორების სისტემის წოდებას.

2. დაუშვით ქვესივრცე ლარის ქვესივრცეების ჯამი ლ 1 და ლ 2. ქვესივრცეების წარმომქმნელი სისტემის მიღება შესაძლებელია ქვესივრცეების წარმომქმნელი სისტემების კომბინაციით, რის შემდეგაც მოიძებნება ჯამის საფუძველი. ჯამის ზომა გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

დაბნელებული(ლ 1 + ლ 2) = dimL 1 + dimL 2 – დაბნელებული(ლ 1 ზ ლ 2).

3. მოდით ქვესივრცეების ჯამი ლ 1 და ლ 2 სწორი ხაზი, ანუ ლ = ლ 1 Å ლ 2. სადაც ლ 1 ზ ლ 2 = {ო) და დაბნელებული(ლ 1 ზ ლ 2) = 0. პირდაპირი ჯამის საფუძველი უდრის ჯამების ფუძეების გაერთიანებას. პირდაპირი ჯამის განზომილება უდრის ტერმინების ზომების ჯამს.

4. მოვიყვანოთ ქვესივრცისა და წრფივი მრავალფეროვნების მნიშვნელოვანი მაგალითი.

განვიხილოთ ერთგვაროვანი სისტემა მწრფივი განტოლებები ნუცნობი. უამრავი გამოსავალი მამ სისტემის 0 არის სიმრავლის ქვესიმრავლე R nდა იხურება ვექტორების მიმატებით და მათი გამრავლებით რეალურ რიცხვზე. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის ნაკრები მ 0 - სივრცის ქვესივრცე R n. ქვესივრცის საფუძველია ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები, ქვესივრცის განზომილება უდრის ვექტორების რაოდენობას სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტურ სიმრავლეში.

Რამოდენიმე მსაერთო სისტემის გადაწყვეტილებები მწრფივი განტოლებები ნუცნობი ასევე არის ნაკრების ქვეჯგუფი R nდა უდრის სიმრავლის ჯამს მ 0 და ვექტორი ა, სად აარის ორიგინალური სისტემის ზოგიერთი კონკრეტული გადაწყვეტა და ნაკრები მ 0 არის ამ სისტემის თანმხლები წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ნაკრები (ის განსხვავდება საწყისი სისტემისგან მხოლოდ თავისუფალი თვალსაზრისით),

მ = ა + მ 0 = {ა = მ, მ Î მ 0 }.

ეს ნიშნავს, რომ ბევრი მარის სივრცის წრფივი მრავალფეროვნება R nცვლის ვექტორით ადა მიმართულება მ 0 .

მაგალითი 8.6.იპოვეთ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემით მოცემული ქვესივრცის საფუძველი და განზომილება:

გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ამ სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა და გადაწყვეტილებების ძირითადი ნაკრები: თან 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), თან 2 = (12, –8, 0, 1, 0), თან 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

ქვესივრცის საფუძველი იქმნება ვექტორებით თან 1 , თან 2 , თან 3, მისი განზომილება არის სამი.

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის:

ხაზოვანი ალგებრა

კოსტრომას სახელმწიფო უნივერსიტეტი N.A. ნეკრასოვის სახელობის.

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძიება ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო აღმოჩნდა, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ტვიტი

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

BBK 22.174ya73-5
M350 დაბეჭდილია კსუ-ს სარედაქციო და საგამომცემლო საბჭოს გადაწყვეტილებით. N.A. Nekrasova მიმომხილველი A.V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. ნ.ა. ნეკრასოვა, 2013 წ

კავშირი (ან ჯამი)
განმარტება 1.9 A და B სიმრავლეთა კავშირი არის A È B სიმრავლე, რომელიც შედგება იმ და მხოლოდ იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც ეკუთვნის თუმცა

კვეთა (ან პროდუქტი)
განმარტება 1.10. A და B სიმრავლეების კვეთა არის A Ç B სიმრავლე, რომელიც შედგება იმ და მხოლოდ იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც მიეკუთვნებიან იმავეს.

განსხვავება
განმარტება 1.11 A და B სიმრავლეთა სხვაობა არის A B სიმრავლე, რომელიც შედგება იმ და მხოლოდ იმ ელემენტებისაგან, რომლებიც მიეკუთვნება A სიმრავლეს.

კარტეზიული პროდუქტი (ან პირდაპირი პროდუქტი)
განმარტება 1.14. მოწესრიგებული წყვილი (ან წყვილი) (a, b) არის ორი ელემენტი a, b გარკვეული თანმიმდევრობით აღებული. წყვილები (a1

კომპლექტის ოპერაციების თვისებები
კავშირის, კვეთის და შემავსებლის მოქმედებების თვისებებს ზოგჯერ უწოდებენ სიმრავლის ალგებრის კანონებს. მოდით ჩამოვთვალოთ ნაკრებებზე მოქმედებების ძირითადი თვისებები. მოდით უნივერსალური ნაკრები U

მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი
მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი გამოიყენება დებულებების დასამტკიცებლად, რომლებშიც ჩართულია ბუნებრივი პარამეტრი n. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი - მათემატიკის დადასტურების მეთოდი

რთული რიცხვები
რიცხვის ცნება ადამიანის კულტურის ერთ-ერთი მთავარი მიღწევაა. ჯერ გამოჩნდა ნატურალური რიცხვები N = (1, 2, 3, ..., n, ...), შემდეგ მთელი რიცხვები Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), რაციონალური Q.

რთული რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია
ცნობილია, რომ უარყოფითი რიცხვები შემოვიდა წრფივი განტოლებების ერთი ცვლადით ამოხსნისას. კონკრეტულ პრობლემებში უარყოფითი პასუხი ინტერპრეტირებული იყო, როგორც მიმართული რაოდენობის მნიშვნელობა (

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა
ვექტორი შეიძლება დაზუსტდეს არა მხოლოდ კოორდინატებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, არამედ სიგრძით და

მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ტრიგონომეტრიული ფორმით
უფრო მოსახერხებელია კომპლექსურ რიცხვებზე შეკრება და გამოკლება ალგებრული ფორმით, ხოლო გამრავლება და გაყოფა ტრიგონომეტრიული ფორმით. 1. გამრავლება მოდით ორი კ

ექსპონენტაცია
თუ z = r(cosj + i×sinj), მაშინ zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), სადაც n Î

რთული რიცხვის ექსპონენციალური ფორმა
მათემატიკური ანალიზიდან ცნობილია, რომ e = , e არის ირაციონალური რიცხვი. ეილ

ურთიერთობის კონცეფცია
განმარტება 2.1. n-ary (ან n-ary) მიმართება P სიმრავლეებზე A1, A2, ..., An არის ნებისმიერი ქვესიმრავლე

ორობითი ურთიერთობების თვისებები
დაე, ორობითი მიმართება P იყოს მოცემული არა ცარიელ A სიმრავლეზე, ანუ P Í A2. განმარტება 2.9 ორობითი მიმართება P სიმრავლეზე

ეკვივალენტურობის მიმართება
განმარტება 2.15. ბინარულ მიმართებას A სიმრავლეზე ეწოდება ეკვივალენტურობის მიმართება, თუ ის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალია. ექვივალენტური თანაფარდობა

ფუნქციები
განმარტება 2.20 ბინარულ მიმართებას ƒ н A ´ B ეწოდება ფუნქცია A სიმრავლიდან B სიმრავლემდე, თუ რომელიმე x-ისთვის

ზოგადი ცნებები
განმარტება 3.1. მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს m სტრიქონს და n სვეტს. m და n რიცხვებს ეწოდება წესრიგი (ან

იმავე ტიპის მატრიცების დამატება
თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ტიპის მატრიცები. განმარტება 3.12. ორი მატრიცის ჯამი A = (aij) და B = (bij), სადაც i = 1,

მატრიცის დამატების თვისებები
1) კომუტატიურობა: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) ასოციაციურობა:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე
განმარტება 3.13. A = (aij) მატრიცის და k რეალური რიცხვის ნამრავლი არის C = (сij) მატრიცა, რომლისთვისაც

მატრიცის რიცხვზე გამრავლების თვისებები
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

მატრიცული გამრავლება
განვსაზღვრავთ ორი მატრიცის გამრავლებას; ამისათვის ჩვენ უნდა შემოვიტანოთ რამდენიმე დამატებითი კონცეფცია. განმარტება 3.14. A და B მატრიცებს თანმიმდევრული ეწოდება

მატრიცის გამრავლების თვისებები
1) მატრიცული გამრავლება არ არის კომუტაციური: A×B ≠ B×A. ამ თვისების დემონსტრირება შესაძლებელია მაგალითებით. მაგალითი 3.6. ა)

მატრიცის ტრანსპოზიცია
განმარტება 3.16. მატრიცა Аt, რომელიც მიიღება მოცემულიდან მისი თითოეული მწკრივის იმავე რიცხვის სვეტით ჩანაცვლებით, ეწოდება მოცემულ A მატრიცაზე გადატანილი.

მეორე და მესამე რიგის მატრიცების განმსაზღვრელი
n რიგის A კვადრატულ მატრიცას ენიჭება რიცხვი, რომელსაც ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ეწოდება. აღნიშვნა: D, |A|, det A,

განმარტება 4.6.
1. n = 1-ისთვის A მატრიცა შედგება ერთი რიცხვისაგან: |A| = a11. 2. ცნობილი იყოს რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი (n – 1). 3. განსაზღვრეთ

კვალიფიკატორის თვისებები
3-ზე მეტი რიგის დეტერმინანტების გამოსათვლელად გამოიყენება დეტერმინანტების თვისებები და ლაპლასის თეორემა. თეორემა 4.1 (ლაპლასი). კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტერმინანტების პრაქტიკული გამოთვლა
სამის ზემოთ შეკვეთის განმსაზღვრელთა გამოთვლის ერთ-ერთი გზა არის მისი გაფართოება რომელიმე სვეტში ან მწკრივში. მაგალითი 4.4 გამოთვალეთ განმსაზღვრელი D =

მატრიცული რანგის კონცეფცია
მოდით A იყოს m ´n მატრიცა. ჩვენ თვითნებურად ვირჩევთ k რიგებს და k სვეტებს ამ მატრიცაში, სადაც 1 ≤ k ≤ min(m, n).

მატრიცის რანგის პოვნა არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდით
მატრიცის რანგის პოვნის ერთ-ერთი მეთოდია არასრულწლოვანთა ჩამოთვლა. ეს მეთოდი ეფუძნება მატრიცის რანგის განსაზღვრას. მეთოდის არსი შემდეგია. თუ არსებობს ერთი ელემენტი მაინც

მატრიცის რანგის პოვნა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით
განვიხილოთ მატრიცის რანგის პოვნის კიდევ ერთი გზა. განმარტება 5.4. შემდეგ გარდაქმნებს ელემენტარული მატრიცული გარდაქმნები ეწოდება: 1. გამრავლება

ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია და როგორ ვიპოვოთ იგი
მოცემული იყოს კვადრატული მატრიცა A. განმარტება 5.7. მატრიცა A–1 ეწოდება A მატრიცის შებრუნებულს, თუ A×A–1

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი
განვიხილოთ მოცემული მატრიცის ინვერსიის პოვნის ერთ-ერთი გზა ალგებრული მიმატებების დახმარებით. მოცემული იყოს A კვადრატული მატრიცა 1. იპოვეთ |A| მატრიცის განმსაზღვრელი. ევროპა

შებრუნებული მატრიცის პოვნა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით
განვიხილოთ შებრუნებული მატრიცის პოვნის სხვა გზა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ჩამოვაყალიბოთ საჭირო ცნებები და თეორემები. განმარტება 5.11 მატრიცის B სახელწოდება

კრამერის მეთოდი
განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელშიც განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას, ანუ m = n და სისტემა ასე გამოიყურება:

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი
ინვერსიული მატრიცის მეთოდი გამოიყენება წრფივი განტოლებების სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობის რაოდენობას და მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი. მატრიცული აღნიშვნის სისტემა

გაუსის მეთოდი
ამ მეთოდის აღსაწერად, რომელიც შესაფერისია წრფივი განტოლებების თვითნებური სისტემების გადასაჭრელად, საჭიროა რამდენიმე ახალი კონცეფცია. განმარტება 6.7. 0× განტოლება

გაუსის მეთოდის აღწერა
გაუსის მეთოდი - უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, თავდაპირველი სისტემა დაყვანილია ეკვივალენტურ სისტემამდე ეტაპობრივად ან ტ.

წრფივი განტოლებათა სისტემის შესწავლა
წრფივი განტოლებათა სისტემის გამოკვლევა ნიშნავს სისტემის ამოხსნის გარეშე პასუხის გაცემას კითხვაზე: სისტემა თანმიმდევრულია თუ არა და თუ ასეა, რამდენი ამონახსნი აქვს მას? ამაზე პასუხი გაეცით

წრფივი განტოლებათა ჰომოგენური სისტემები
განმარტება 6.11 წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ მისი თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია. m წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა

წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების თვისებები
1. თუ ვექტორი а = (a1, a2, ..., an) არის ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნი, მაშინ ვექტორი k×а = (k×a1, k&t

წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტური ნაკრები
მოდით M0 იყოს წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის (4) ამონახსნების სიმრავლე. განმარტება 6.12 ვექტორები c1, c2, ..., c

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა
მოდით a1, a2, ..., am იყოს m ცალი n-განზომილებიანი ვექტორების სიმრავლე, რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ ვექტორთა სისტემას და k1

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების თვისებები
1) ნულოვანი ვექტორის შემცველი ვექტორების სისტემა წრფივია დამოკიდებული. 2) ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. შედეგი. თუ სი

ერთეული ვექტორული სისტემა
განმარტება 7.13. ერთეული ვექტორების სისტემა Rn სივრცეში არის ვექტორების სისტემა e1, e2, …, en.

ორი წრფივი დამოკიდებულების თეორემა
თეორემა 7.1. თუ ვექტორთა უფრო დიდი სისტემა წრფივად არის გამოხატული პატარას მიხედვით, მაშინ უფრო დიდი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ეს თეორემა უფრო დეტალურად: მოდით a1

ვექტორთა სისტემის საფუძველი და წოდება
ვთქვათ S არის ვექტორთა სისტემა Rn სივრცეში; ის შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. S" არის სისტემის S, S" Ì S ქვესისტემა. მოდით მივცეთ ორი

ვექტორული სისტემის რანგი
მოდით მივცეთ ვექტორთა სისტემის რანგის ორი ეკვივალენტური განმარტება. განმარტება 7.16. ვექტორთა სისტემის წოდება არის ვექტორების რაოდენობა ამ სისტემის ნებისმიერ საფუძველში.

ვექტორთა სისტემის რანგისა და საფუძვლის პრაქტიკული მოძიება
ვექტორთა მოცემული სისტემიდან ვქმნით მატრიცას ვექტორების ამ მატრიცის რიგებად დალაგებით. ჩვენ მივყავართ მატრიცას საფეხურზე, ამ მატრიცის მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. ზე

ვექტორული სივრცის განსაზღვრა თვითნებურ ველზე
მოდით P იყოს თვითნებური ველი. ჩვენთვის ცნობილი ველების მაგალითებია რაციონალური, რეალური, რთული რიცხვების ველი. განმარტება 8.1. მოწოდებულია V ნაკრები

ვექტორული სივრცეების უმარტივესი თვისებები
1) o არის ნულოვანი ვექტორი (ელემენტი), რომელიც ცალსახად არის განსაზღვრული ველზე თვითნებურ ვექტორულ სივრცეში. 2) ნებისმიერი ვექტორისთვის a О V არის უნიკალური

ქვესივრცეები. ხაზოვანი კოლექტორები
მოდით V იყოს ვექტორული სივრცე, L Ì V (L არის V-ის ქვესიმრავლე). განმარტება 8.2. ვექტორის პრო-ს L ქვესიმრავლე

კვეთა და ქვესივრცეების ჯამი
მოდით V იყოს ვექტორული სივრცე P ველზე, L1 და L2 მისი ქვესივრცეები. განმარტება 8.3. კვეთის ქვემოკითხვა

ხაზოვანი კოლექტორები
მოდით V იყოს ვექტორული სივრცე, L ქვესივრცე, და მოდით იყოს თვითნებური ვექტორი V სივრციდან. განმარტება 8.6 წრფივი მრავალფეროვნებით

სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცეები
განმარტება 8.7 ვექტორულ სივრცეს V ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ იგი შეიცავს ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, რომელიც შედგება n ვექტორისგან და

სასრულ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი
V არის სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცე P ველზე, S არის ვექტორების სისტემა (სასრული ან უსასრულო). განმარტება 8.10. სისტემის საფუძველი ს

ვექტორული კოორდინატები მოცემულ საფუძველთან შედარებით
განვიხილოთ n განზომილების სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცე V, ვექტორები e1, e2, … en ქმნიან მის საფუძველს. დაე იყოს პროდ

ვექტორული კოორდინატები სხვადასხვა ფუძეებში
მოდით V იყოს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე, რომელშიც მოცემულია ორი ფუძე: e1, e2, ..., en არის ძველი საფუძველი, e "1, e

ევკლიდეს ვექტორული სივრცეები
რეალური რიცხვების ველზე მოცემულია ვექტორული სივრცე V. ეს სივრცე შეიძლება იყოს n განზომილების სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ან უსასრულო განზომილებიანი.

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში
n-განზომილებიან ევკლიდეს ვექტორულ სივრცეში V მოცემულია საფუძველი e1, e2, …, en. ვექტორები x და y დაიშალა ვექტორებად

მეტრული ცნებები
ევკლიდეს ვექტორულ სივრცეებში შეიძლება შემოღებული სკალარული ნამრავლიდან გადავიდეს ვექტორის ნორმისა და ვექტორებს შორის კუთხის ცნებებზე. განმარტება 8.16. ნორმა (

ნორმის თვისებები
1) ||ა|| = 0 w a = o. 2) ||ლა|| = |ლ|×||ა||, რადგან ||ლა|| =

ევკლიდური ვექტორული სივრცის ორთონორმალური საფუძველი
განმარტება 8.21. ევკლიდური ვექტორული სივრცის საფუძველს ორთოგონალური ეწოდება, თუ საფუძვლის ვექტორები წყვილი ორთოგონალურია, ანუ თუ a1, a.

ორთოგონალიზაციის პროცესი
თეორემა 8.12. ყველა n-განზომილებიან ევკლიდეს სივრცეს აქვს ორთონორმალური საფუძველი. მტკიცებულება. მოდით a1, a2

Dot პროდუქტი ორთონორმალურ საფუძველზე
მოცემულია ევკლიდური V სივრცის ორთონორმალური საფუძველი e1, e2, …, en. ვინაიდან (ei, ej) = 0 i-სთვის.

ორთოგონალური ქვესივრცის კომპლემენტი
V არის ევკლიდური ვექტორული სივრცე, L არის მისი ქვესივრცე. განმარტება 8.23. ვექტორი a არის ორთოგონალური L ქვესივრცის მიმართ, თუ ვექტორი

კავშირი ვექტორის კოორდინატებსა და მისი გამოსახულების კოორდინატებს შორის
წრფივი ოპერატორი j მოცემულია V სივრცეში და მისი მატრიცა M(j) გვხვდება ზოგიერთ საფუძველში e1, e2, …, en. დაე, ეს იყოს საფუძველი

მსგავსი მატრიცები
განვიხილოთ n რიგის კვადრატული მატრიცების Pn´n სიმრავლე P თვითნებური ველის ელემენტებით.

მატრიცის მსგავსების მიმართების თვისებები
1. რეფლექსურობა. ნებისმიერი მატრიცა თავისი თავის მსგავსია, ანუ A ~ A. 2. სიმეტრია. თუ მატრიცა A არის B-ის მსგავსი, მაშინ B მსგავსია A-ს, ე.ი.

საკუთრივ ვექტორების თვისებები
1. თითოეული საკუთარი ვექტორი ეკუთვნის მხოლოდ ერთ საკუთრივ მნიშვნელობას. მტკიცებულება. მოდით x იყოს საკუთრივ ვექტორი ორი საკუთრივ მნიშვნელობით

მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი
მოცემულია მატრიცა A Î Pn´n (ან A Î Rn´n). განსაზღვრეთ

პირობები, რომლებშიც მატრიცა დიაგონალური მატრიცის მსგავსია
მოდით A იყოს კვადრატული მატრიცა. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს არის ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა, რომელიც მოცემულია გარკვეულ საფუძველზე. ცნობილია, რომ სხვა საფუძველზე ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა

ჟორდანია ნორმალური ფორმაა
განმარტება 10.5. k რიგის იორდანიის უჯრედი, რომელიც დაკავშირებულია l0 რიცხვთან, არის k რიგის მატრიცა, 1 ≤ k ≤ n,

მატრიცის შემცირება იორდანიის (ნორმალური) ფორმამდე
თეორემა 10.3. იორდანიის ნორმალური ფორმა ცალსახად არის განსაზღვრული მატრიცისთვის იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც იორდანიის უჯრედები განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე. და ა.შ

ორმხრივი ფორმები
განმარტება 11.1. ორწრფივი ფორმა არის ფუნქცია (დასახვა) f: V ´ V ® R (ან C), სადაც V არის თვითნებური ვექტორი n.

ბიწრფივი ფორმების თვისებები
ნებისმიერი ორწრფივი ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიმეტრიული ცრუ-სიმეტრიული ფორმების ჯამის სახით. არჩეული საფუძვლით e1, e2, …, en ვექტორში

ბიწრფივი ფორმის მატრიცის ტრანსფორმაცია ახალ ბაზაზე გადასვლისას. ბილინარული ფორმის რანგი
მოდით ორი ფუძე e = (e1, e2, ..., en) და f = (f1, f2,

კვადრატული ფორმები
ვთქვათ A(x, y) არის სიმეტრიული ორწრფივი ფორმა, რომელიც განსაზღვრულია ვექტორულ სივრცეში V. განმარტება 11.6 კვადრატული ფორმით

კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმამდე
მოცემულია კვადრატული ფორმა (2) A(x, x) = , სადაც x = (x1

კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი
დადგენილია, რომ კვადრატული ფორმის არანულოვანი კანონიკური კოეფიციენტების რაოდენობა უდრის მის წოდებას და არ არის დამოკიდებული არადეგენერაციული ტრანსფორმაციის არჩევანზე, რომლითაც ფორმა A(x)

აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ კვადრატული ფორმა იყოს ნიშან-განსაზღვრული
განცხადება 11.1. იმისათვის, რომ n-განზომილებიან ვექტორულ სივრცეში V-ში მოცემული A(x, x) კვადრატული ფორმა იყოს ნიშან-განსაზღვრული, აუცილებელია

კვაზი ცვალებადი კვადრატული ფორმების აუცილებელი და საკმარისი პირობა
განცხადება 11.3. იმისათვის, რომ n-განზომილებიანი ვექტორულ სივრცეში V-ში განსაზღვრული კვადრატული ფორმა A(x, x) იყოს კვაზი ალტერნატიული (ანუ,

სილვესტერის კრიტერიუმი კვადრატული ფორმის ნიშანი-განსაზღვრულობისთვის
დაე, ფორმა A(x, x) e = (e1, e2, …, en) საფუძველში განისაზღვროს მატრიცით A(e) = (aij)

დასკვნა
ხაზოვანი ალგებრა არის ნებისმიერი მოწინავე მათემატიკის პროგრამის სავალდებულო ნაწილი. ნებისმიერი სხვა განყოფილება გულისხმობს ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების არსებობას, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ამ დისციპლინის სწავლების დროს.

ბიბლიოგრაფიული სია
ბურმისტროვა ე.ბ., ლობანოვი ს.გ. წრფივი ალგებრა ანალიტიკური გეომეტრიის ელემენტებით. - მ .: უმაღლესი ეკონომიკური სკოლის გამომცემლობა, 2007. ბეკლემიშევი დ.ვ. ანალიტიკური გეომეტრიისა და წრფივი ალგებრის კურსი.

ხაზოვანი ალგებრა
სასწავლო დამხმარე რედაქტორი და კორექტორი გ.დ.ნეგანოვა კომპიუტერული ტიპაჟირება T.N. Matytsina, E.K. Korzhevina

წრფივი სივრცე V ეწოდება n-განზომილებიანი, თუ იგი შეიცავს n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორის სისტემას და მეტი ვექტორის ნებისმიერი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. რიცხვი n ეწოდება განზომილება (გაზომვების რაოდენობა)წრფივი სივრცე V და აღინიშნება \ოპერატორის სახელი(dim)V. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სივრცის განზომილება არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა ამ სივრცეში. თუ ასეთი რიცხვი არსებობს, მაშინ ამბობენ, რომ სივრცე არის სასრულ განზომილებიანი. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის n V სივრცეში არის სისტემა, რომელიც შედგება n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორისგან, მაშინ ასეთ სივრცეს უსასრულო-განზომილებიანი ეწოდება (ისინი წერენ: \ოპერატორის სახელი(dim)V=\infty). შემდგომში, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, განიხილება სასრული განზომილებიანი სივრცეები.

საფუძველი n-განზომილებიანი წრფივი სივრცე არის n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მოწესრიგებული ნაკრები ( საბაზისო ვექტორები).

თეორემა 8.1 ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით. თუ არის n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის საფუძველი V , მაშინ ნებისმიერი ვექტორი \mathbf(v)\ V-ში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია:

\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n

და მით უმეტეს, უნიკალური სახით, ე.ი. შანსები \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nცალსახად არის განსაზღვრული.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სივრცის ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლად და, უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.

მართლაც, V სივრცის განზომილება უდრის n-ს. ვექტორული სისტემა \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nწრფივი დამოუკიდებელი (ეს არის საფუძველი). ნებისმიერი ვექტორის \mathbf(v) საფუძველში დამატების შემდეგ მივიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(რადგან ეს სისტემა შედგება (n + 1) n-განზომილებიანი სივრცის ვექტორებისგან). 7 წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორის თვისებით ვიღებთ თეორემის დასკვნას.

შედეგი 1. თუ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nარის V სივრცის საფუძველი, მაშინ V=\ოპერატორის სახელი(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), ე.ი. წრფივი სივრცე არის საბაზისო ვექტორების წრფივი დიაპაზონი.

მართლაც, თანასწორობის დასამტკიცებლად V=\ოპერატორის სახელი (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)ორი კომპლექტი, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ ჩანართები V\ქვეკომპლექტი \ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)და ერთდროულად სრულდება. მართლაც, ერთი მხრივ, ვექტორთა ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია წრფივ სივრცეში ეკუთვნის თავად წრფივ სივრცეს, ე.ი. \ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\ქვეკომპლექტი V. მეორეს მხრივ, თეორემა 8.1-ით ნებისმიერი სივრცის ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ე.ი. V\ქვეკომპლექტი \ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). ეს გულისხმობს განხილული კომპლექტების თანასწორობას.

შედეგი 2. თუ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nარის ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა V წრფივ სივრცეში და ნებისმიერი ვექტორი \mathbf(v)\ V-ში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წრფივი კომბინაცია (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, მაშინ V სივრცეს აქვს განზომილება n და სისტემას \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nარის მისი საფუძველი.

მართლაც, V სივრცეში არის n წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორის სისტემა და ნებისმიერი სისტემა \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nმეტი ვექტორი (k>n) წრფივად არის დამოკიდებული, რადგან ამ სისტემის თითოეული ვექტორი წრფივად არის გამოხატული ვექტორების მიხედვით \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. ნიშნავს, \ოპერატორის სახელი(ბუნდოვანი) V=nდა \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- საფუძველი V.

თეორემა 8.2 ვექტორთა სისტემის საფუძვლამდე დასრულების შესახებ. k ვექტორების ნებისმიერი წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა n-განზომილებიან წრფივ სივრცეში (1\leqslant k

მართლაც, მოდით იყოს ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემა n-განზომილებიან სივრცეში V~(1\leqslant k . განვიხილოთ ამ ვექტორების წრფივი დიაპაზონი: L_k=\ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k). ნებისმიერი ვექტორი \mathbf(v)\ L_k-შიფორმები ვექტორებით \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_kხაზობრივად დამოკიდებული სისტემა \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(v), ვინაიდან ვექტორი \mathbf(v) წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით. ვინაიდან n-განზომილებიან სივრცეში არის n წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორი, მაშინ L_k\ne V და არსებობს ვექტორი \mathbf(e)_(k+1)\V-ში, რომელიც არ ეკუთვნის L_k . ამ ვექტორით სრულყოფილად დამოუკიდებელი სისტემის შევსება \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k, ვიღებთ ვექტორთა სისტემას \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1), რომელიც ასევე წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, თუ აღმოჩნდება წრფივად დამოკიდებული, მაშინ 8.3 შენიშვნების 1-ლი პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ \mathbf(e)_(k+1)\ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k)=L_k, რაც ეწინააღმდეგება პირობას \mathbf(e)_(k+1)\არა L_k. ასე რომ, ვექტორთა სისტემა \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)წრფივი დამოუკიდებელი. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორების თავდაპირველ სისტემას დაემატა ერთი ვექტორი წრფივი დამოუკიდებლობის დარღვევის გარეშე. ანალოგიურად ვაგრძელებთ. განვიხილოთ ამ ვექტორების წრფივი დიაპაზონი: L_(k+1)=\ოპერატორის სახელი (Lin) (\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)). თუ L_(k+1)=V, მაშინ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)- დადასტურებულია საფუძველი და თეორემა. თუ L_(k+1)\ne V , მაშინ ჩვენ ვასრულებთ სისტემას \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1)ვექტორი \mathbf(e)_(k+2)\არა L_(k+1)და ა.შ. დასრულების პროცესი აუცილებლად დასრულდება, ვინაიდან V სივრცე სასრული განზომილებიანია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას V=L_n=\ოპერატორის სახელი (Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n), საიდანაც გამომდინარეობს, რომ \mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_nარის V სივრცის საფუძველი. თეორემა დადასტურდა.

შენიშვნები 8.4

1. წრფივი სივრცის საფუძველი ორაზროვნად არის განსაზღვრული. მაგალითად, თუ \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nარის V სივრცის საფუძველი, შემდეგ ვექტორთა სისტემა \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nნებისმიერი \ლამბდა\ne0 ასევე არის V-ის საფუძველი. საფუძვლების ვექტორების რაოდენობა ერთი და იგივე სასრული განზომილებიანი სივრცის სხვადასხვა ფუძეებში, რა თქმა უნდა, იგივეა, ვინაიდან ეს რიცხვი სივრცის განზომილების ტოლია.

2. ზოგიერთ სივრცეში, რომელიც ხშირად გვხვდება აპლიკაციებში, ერთ-ერთ შესაძლო ბაზას, პრაქტიკული თვალსაზრისით ყველაზე მოსახერხებელს, სტანდარტულს უწოდებენ.

3. თეორემა 8.1 საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, რომ საფუძველი არის წრფივი სივრცის ელემენტების სრული სისტემა, იმ გაგებით, რომ ნებისმიერი სივრცის ვექტორი წრფივად არის გამოხატული საბაზისო ვექტორების მიხედვით.

4. თუ სიმრავლე \mathbb(L) არის წრფივი დიაპაზონი \ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), შემდეგ ვექტორები \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kეწოდება \mathbb(L) სიმრავლის გენერატორები. 8.1 თეორემის დასკვნა 1, თანასწორობის ძალით V=\ოპერატორის სახელი(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, რომ საფუძველი არის მინიმალური გენერირების სისტემაწრფივი სივრცე V , რადგან შეუძლებელია გენერატორების რაოდენობის შემცირება (ამოშალეთ ერთი ვექტორი მაინც \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) თანასწორობის დარღვევის გარეშე V=\ოპერატორის სახელი(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).

5. თეორემა 8.2 საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, რომ საფუძველი არის ვექტორთა მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი სისტემაწრფივი სივრცე, რადგან საფუძველი არის ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა და მას ვერ დაემატება ვერცერთი ვექტორი წრფივი დამოუკიდებლობის დაკარგვის გარეშე.

6. წრფივი სივრცის საფუძვლისა და განზომილების საპოვნელად მოსახერხებელია თეორემა 8.1-ის დასკვნის გამოყენება. ზოგიერთ სახელმძღვანელოში მიღებულია საფუძვლის განსაზღვრა, კერძოდ: ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემა \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nწრფივი სივრცის ვექტორებს ეწოდება საფუძველი, თუ სივრცის რომელიმე ვექტორი წრფივად არის გამოხატული ვექტორების მიხედვით. \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. საბაზისო ვექტორების რაოდენობა განსაზღვრავს სივრცის განზომილებას. რა თქმა უნდა, ეს განმარტებები ექვივალენტურია ზემოთ მოცემული.

ხაზოვანი სივრცეების საფუძვლების მაგალითები

ჩვენ აღვნიშნავთ განზომილებას და საფუძველს ზემოთ განხილული ხაზოვანი სივრცეების მაგალითებისთვის.

1. ნულოვანი წრფივი სივრცე \(\mathbf(o)\) არ შეიცავს წრფივად დამოუკიდებელ ვექტორებს. ამრიგად, ამ სივრცის განზომილება ითვლება ნულამდე: \dim\(\mathbf(o)\)=0. ამ სივრცეს არანაირი საფუძველი არ აქვს.

2. V_1,\,V_2,\,V_3 სივრცეებს ​​აქვთ ზომები 1, 2, 3 შესაბამისად. მართლაც, V_1 სივრცის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, ქმნის წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას (იხ. პუნქტი 1. შენიშვნების 8.2-ში), ხოლო V_1 სივრცის ნებისმიერი ორი არანულოვანი ვექტორი არის კოლინარული, ე.ი. არიან წრფივად დამოკიდებულნი (იხ. მაგალითი 8.1). მაშასადამე, \dim(V_1)=1 და V_1 სივრცის საფუძველი არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი. ანალოგიურად, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ \dim(V_2)=2 და \dim(V_3)=3. V_2 სივრცის საფუძველი არის ნებისმიერი ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი, რომელიც აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით (ერთი მათგანი ითვლება პირველ საბაზისო ვექტორად, მეორე - მეორე). V_3 სივრცის საფუძველი არის ნებისმიერი სამი არათანაბარი (არ დევს იმავე ან პარალელურ სიბრტყეში) ვექტორები, რომლებიც აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით. სტანდარტული საფუძველი V_1-ში არის ერთეული ვექტორი \vec(i) ხაზზე. სტანდარტული საფუძველი V_2-ში არის საფუძველი \vec(i),\,\vec(j), რომელიც შედგება სიბრტყის ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული ერთეული ვექტორისგან. სტანდარტული საფუძველი V_3 სივრცეში არის საფუძველი \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), შედგება სამი ერთეული წყვილი პერპენდიკულარული ვექტორებისგან, რომლებიც ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

3. სივრცე \mathbb(R)^n შეიცავს არაუმეტეს n წრფივად დამოუკიდებელ ვექტორს. მართლაც, ავიღოთ k სვეტი \mathbb(R)^n-დან და შევქმნათ მათგან n\ჯერ k ზომის მატრიცა. თუ k>n , მაშინ სვეტები 3.4 თეორემით წრფივია დამოკიდებული მატრიცის რანგზე. აქედან გამომდინარე, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. \mathbb(R)^n სივრცეში არ არის რთული n წრფივად დამოუკიდებელი სვეტის პოვნა. მაგალითად, იდენტურობის მატრიცის სვეტები

\mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end (pmatrix)\ !.

წრფივად დამოუკიდებელნი არიან. აქედან გამომდინარე, \dim(\mathbb(R)^n)=n. სივრცე \mathbb(R)^n ეწოდება n-განზომილებიანი რეალური არითმეტიკული სივრცე. ვექტორთა მითითებული ნაკრები ითვლება \mathbb(R)^n სივრცის სტანდარტულ საფუძვლად. ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომ \dim(\mathbb(C)^n)=n, ამიტომ სივრცე \mathbb(C)^n ეწოდება n-განზომილებიანი რთული არითმეტიკული სივრცე.

4. გავიხსენოთ, რომ Ax=o ერთგვაროვანი სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), სად r=\ოპერატორის სახელი(rg)A, ა \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა. აქედან გამომდინარე, \(Ax=o\)=\ოპერატორის სახელი (Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), ე.ი. ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების \(Ax=0\) სივრცის საფუძველია მისი ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა, ხოლო სივრცის განზომილებაა \dim\(Ax=o\)=n-r, სადაც n არის რიცხვი. უცნობი და r არის სისტემის მატრიცის რანგი.

5. 2\ჯერ3 ზომის მატრიცების M_(2\times3) სივრცეში შეიძლება შეირჩეს 6 მატრიცა:

\ დასაწყისი (შეგროვდა)\mathbf(e)_1= \დაწყება(პმატრიცა)1&0&0\\0&0&0\ბოლო(პმატრიცა)\!,\ოთხი \mathbf(e)_2= \დაწყება(პმატრიცა)0&1&0\\0&0&0\ბოლო( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \დაწყება(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(შეიკრიბა)

რომლებიც წრფივად დამოუკიდებელნი არიან. მართლაც, მათი ხაზოვანი კომბინაცია

\alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \_5+f(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end (pmatrix)

ნულოვანი მატრიცის ტოლია მხოლოდ ტრივიალურ შემთხვევაში \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. ტოლობის (8.5) წაკითხვით მარჯვნიდან მარცხნივ, დავასკვნით, რომ ნებისმიერი მატრიცა M_(2\ჯერ3) წრფივად არის გამოხატული არჩეული 6 მატრიცის მიხედვით, ე.ი. M_(2\ჯერ)= \ოპერატორის სახელი (Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). აქედან გამომდინარე, \dim(M_(2\ჯერ3))=2\cdot3=6და მატრიცები \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6არის ამ სივრცის (სტანდარტული) საფუძველი. ანალოგიურად, დადასტურებულია, რომ \dim(M_(m\ჯერ n))=m\cdot n.

6. რთული კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრების P(\mathbb(C)) სივრცეში ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n შეიძლება მოიძებნოს n წრფივად დამოუკიდებელი ელემენტი. მაგალითად, პოლინომები \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, რადგან მათი წრფივი კომბინაცია

a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1)

ტოლია ნულოვანი მრავალწევრის (o(z)\equiv0) მხოლოდ ტრივიალურ შემთხვევაში a_1=a_2=\ldots=a_n=0. ვინაიდან მრავალწევრების ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის, სივრცე P(\mathbb(C)) არის უსასრულო განზომილებიანი. ანალოგიურად, ჩვენ ვასკვნით, რომ რეალური კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრების სივრცეს P(\mathbb(R)) აქვს უსასრულო განზომილება. მაქსიმუმ n ხარისხის მრავალწევრების სივრცე P_n(\mathbb(R)) არის სასრულ განზომილებიანი. მართლაც, ვექტორები \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nქმნიან ამ სივრცის (სტანდარტულ) საფუძველს, რადგან ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და ნებისმიერი პოლინომი P_n(\mathbb(R)) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1). აქედან გამომდინარე, \dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1.

7. უწყვეტი ფუნქციების სივრცე C(\mathbb(R)) უსასრულო-განზომილებიანია. მართლაც, ნებისმიერი ბუნებრივი n მრავალწევრებისთვის 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), განიხილება როგორც უწყვეტი ფუნქციები, ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემებს (იხ. წინა მაგალითი).

Კოსმოსში T_(\ომეგა)(\mathbb(R))ტრიგონომეტრიული ორომალიები (სიხშირეები \ომეგა\ne0) რეალური საფუძვლის კოეფიციენტებით ქმნიან მონომებს \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. ისინი წრფივი დამოუკიდებელნი არიან, რადგან იდენტობის თანასწორობაა a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0შესაძლებელია მხოლოდ ტრივიალურ შემთხვევაში (a=b=0). ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tწრფივად გამოხატული ძირითადი პირობით: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).

8. X სიმრავლეზე განსაზღვრული რეალური ფუნქციების სივრცე \mathbb(R)^X, X-ის დომენიდან გამომდინარე, შეიძლება იყოს სასრულ-განზომილებიანი ან უსასრულო-განზომილებიანი. თუ X არის სასრული სიმრავლე, მაშინ სივრცე \mathbb(R)^X არის სასრულ-განზომილებიანი (მაგალითად, X=\(1,2,\ლდოტები,n\)). თუ X არის უსასრულო სიმრავლე, მაშინ სივრცე \mathbb(R)^X არის უსასრულო განზომილებიანი (მაგალითად, სივრცე \mathbb(R)^N მიმდევრობათა).

9. სივრცეში \mathbb(R)^(+) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი \mathbf(e)_1, რომელიც არ უდრის 1-ს, შეიძლება გახდეს საფუძველი. ავიღოთ, მაგალითად, რიცხვი \mathbf(e)_1=2. ნებისმიერი დადებითი რიცხვი r შეიძლება გამოისახოს \mathbf(e)_1-ით, ე.ი. წარმოდგენილი სახით \alpha\cdot \mathbf(e)_1\მძიმე r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, სადაც \alpha_1=\log_2r . ამრიგად, ამ სივრცის განზომილება არის 1, ხოლო რიცხვი \mathbf(e)_1=2 არის საფუძველი.

10. დაე \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nარის რეალური წრფივი სივრცის საფუძველი V. ჩვენ განვსაზღვრავთ წრფივ სკალარული ფუნქციებს V-ზე დაყენებით:

\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\დაწყება(შემთხვევები)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(შემთხვევები)

ამავდროულად, \mathcal(E)_i ფუნქციის წრფივობის გამო, თვითნებური ვექტორისთვის ვიღებთ \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.

ასე რომ, განსაზღვრულია n ელემენტი (კოვექტორები). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nორმაგი სივრცე V^(\ast) . ეს დავამტკიცოთ \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- საფუძველი V^(\ast) .

პირველ რიგში, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ სისტემა \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nწრფივი დამოუკიდებელი. მართლაც, აიღეთ ამ კოვექტორების წრფივი კომბინაცია (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=და გავათანაბრო ის ნულოვანი ფუნქცია

\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\-ში ვ.

ჩანაცვლება ამ თანასწორობაში \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, ვიღებთ \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. მაშასადამე, ელემენტების სისტემა \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nსივრცე V^(\ast) წრფივად დამოუკიდებელია, რადგან თანასწორობაა \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)შესაძლებელია მხოლოდ ტრივიალურ შემთხვევაში.

მეორე, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ ნებისმიერი წრფივი ფუნქცია f\-ში V^(\ast) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც კოვექტორების წრფივი კომბინაცია. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. მართლაც, ნებისმიერი ვექტორისთვის \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n f ფუნქციის წრფივობის გამო ვიღებთ:

\ დასაწყისი (გასწორებული)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end (გასწორებული)

იმათ. ფუნქცია f წარმოდგენილია წრფივი კომბინაციის სახით f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nფუნქციები \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(ნომრები \beta_i=f(\mathbf(e)_i)არის წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტები). მაშასადამე, კოვექტორების სისტემა \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nარის V^(\ast) ორმაგი სივრცის საფუძველი და \dim(V^(\ast))=\dim(V)(სასრული განზომილებიანი სივრცისთვის V ).

თუ შეამჩნევთ შეცდომას, ბეჭდურ შეცდომას ან გაქვთ შემოთავაზება, დაწერეთ კომენტარებში.