ვარჯიში. წერტილები A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) არის ABC სამკუთხედის წვეროები.
ა) იპოვეთ ABC სამკუთხედის გვერდების განტოლებები.
ბ) იპოვეთ ABC სამკუთხედის ერთ-ერთი მედიანის განტოლება.
გ) იპოვეთ ABC სამკუთხედის ერთ-ერთი სიმაღლის განტოლება.
დ) იპოვეთ ABC სამკუთხედის ერთ-ერთი ბისექტრის განტოლება.
ე) იპოვეთ ABC სამკუთხედის ფართობი.

გამოსავალიგააკეთეთ ეს კალკულატორით.
მოცემულია სამკუთხედის კოორდინატები: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) ვექტორული კოორდინატები
ვექტორების კოორდინატები გვხვდება ფორმულით:
X = x j - x i; Y = y j - y i

მაგალითად, ვექტორისთვის AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC (-3;-1)
ძვ.წ.(-2;2)
2) ვექტორების მოდულები

3) კუთხე სწორ ხაზებს შორის
კუთხე a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) ვექტორებს შორის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

სადაც 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
იპოვეთ კუთხე AB და AC გვერდებს შორის

γ = arccos (0.6) = 53.13 0
4) ვექტორული პროექცია
ვექტორული პროექცია ბვექტორზე აშეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

იპოვეთ AB ვექტორის პროექცია AC ვექტორზე

5) სამკუთხედის ფართობი



გამოსავალი


ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

6) სეგმენტის დაყოფა ამ მხრივ
A წერტილის რადიუსის ვექტორი r, რომელიც ყოფს AB სეგმენტს AA:AB = m 1:m 2-თან მიმართებაში, განისაზღვრება ფორმულით:

A წერტილის კოორდინატები გვხვდება ფორმულებით:




სამკუთხედის შუალედური განტოლება
BC გვერდის შუა წერტილს აღვნიშნავთ M ასოთი. შემდეგ ვპოულობთ M წერტილის კოორდინატებს სეგმენტის შუაზე გაყოფის ფორმულებით.


M(0;-1)
ჩვენ ვპოულობთ AM მედიანას განტოლებას ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულის გამოყენებით. მედიანა AM გადის A(2;1) და M(0;-1 წერტილებში), შესაბამისად:

ან

ან
y=x-1 ან y-x+1=0
7) სწორი ხაზის განტოლება


AB წრფის განტოლება

ან

ან
y = 3x -5 ან y -3x +5 = 0
ხაზის AC განტოლება

ან

ან
y = 1 / 3 x + 1 / 3 ან 3y -x - 1 = 0
ხაზი BC განტოლება

ან

ან
y = -x -1 ან y + x +1 = 0
8) A წვეროდან გამოყვანილი სამკუთხედის სიმაღლის სიგრძე
მანძილი d M 1 წერტილიდან (x 1; y 1) სწორ ხაზამდე Ax + By + C \u003d 0 უდრის რაოდენობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას:

იპოვეთ მანძილი A(2;1) წერტილსა და BC წრფეს შორის (y + x +1 = 0)

9) სიმაღლის განტოლება C წვეროზე
წრფეს, რომელიც გადის M 0 (x 0 ;y 0) წერტილში და პერპენდიკულარულია Ax + By + C = 0 წრფეზე, აქვს მიმართულების ვექტორი (A;B) და, შესაბამისად, წარმოდგენილია განტოლებებით:


ეს განტოლება შეიძლება სხვა გზითაც მოიძებნოს. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ AB სწორი ხაზის k 1 დახრილობას.
განტოლება AB: y = 3x -5 ე.ი. k 1 = 3
ვიპოვოთ პერპენდიკულარის k დახრილობა ორი სწორი წრფის პერპენდიკულარობის პირობიდან: k 1 *k = -1.
ამ სწორი ხაზის დახრილობის k 1-ის ნაცვლად, მივიღებთ:
3k = -1, საიდანაც k = -1 / 3
ვინაიდან პერპენდიკულარი გადის C(-1,0) წერტილში და აქვს k = -1 / 3, ჩვენ ვეძებთ მის განტოლებას სახით: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
ან
y = -1 / 3 x - 1 / 3
სამკუთხედის ბისექტრის განტოლება
ვიპოვოთ A კუთხის ბისექტორი BC გვერდით ბისექტრის გადაკვეთის წერტილი M-ით აღვნიშნოთ.
მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა:

AB განტოლება: y -3x +5 = 0, AC განტოლება: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
ბისექტორი ყოფს კუთხეს, შესაბამისად კუთხე NAK ≈ 26,5 0
AB ფერდობის ტანგენსი არის 3 (რადგან y -3x +5 = 0). დახრის კუთხე არის 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg (45.5 0) = 1
ბისექტორი გადის A(2,1) წერტილში, ფორმულის გამოყენებით გვაქვს:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
ან
y=x-1
ჩამოტვირთვა

მაგალითი. მოცემულია ABC სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
საჭიროა: 1) გამოთვალეთ გვერდის სიგრძე BC; 2) BC გვერდის განტოლების შედგენა; 3) იპოვეთ სამკუთხედის შიდა კუთხე B წვეროზე; 4) A ზემოდან დახატული AK-ის სიმაღლის განტოლება; 5) იპოვნეთ ერთგვაროვანი სამკუთხედის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატები (მისი მედიანების გადაკვეთის წერტილი); 6) კოორდინატთა სისტემაში ნახატის გაკეთება.

ვარჯიში. მოცემულია ABC სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). საჭირო:

1. დაწერეთ B წვეროდან გამოყვანილი მედიანას განტოლება და გამოთვალეთ მისი სიგრძე.
2. დაწერეთ A წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლის განტოლება და გამოთვალეთ მისი სიგრძე.
3. იპოვეთ ABC სამკუთხედის B შიდა კუთხის კოსინუსი.

გააკეთე ნახატი.

გადაწყვეტის ჩამოტვირთვა

მაგალითი #3. მოცემულია სამკუთხედის A(1;1), B(7;4), C(4;5) წვეროები. იპოვეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) შიდა კუთხე A რადიანებში 0,001 სიზუსტით. გააკეთე ნახატი.
ჩამოტვირთვა

მაგალითი #4. მოცემულია სამკუთხედის A(1;1), B(7;4), C(4;5) წვეროები. იპოვეთ: 1) სიმაღლის განტოლება C წვეროზე გავლებული; 2) C წვეროზე გამოყვანილი მედიანის განტოლება; 3) სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილი; 4) C წვეროდან ჩამოშვებული სიმაღლის სიგრძე. გააკეთე ნახატი.
ჩამოტვირთვა

მაგალითი #5. ABC სამკუთხედის წვეროები მოცემულია: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). განსაზღვრეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) AB და AC გვერდების განტოლება და მათი ფერდობები; 3) სამკუთხედის ფართობი.

ვექტორების კოორდინატებს ვპოულობთ ფორმულით: X = x j - x i ; Y = y j - y i
აქ ვექტორის X,Y კოორდინატები; x i, y i - A i წერტილის კოორდინატები; x j, y j - A j წერტილის კოორდინატები
მაგალითად, ვექტორისთვის AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

სამკუთხედის გვერდების სიგრძე
a(X;Y) ვექტორის სიგრძე გამოიხატება მისი კოორდინატების მიხედვით ფორმულით:


სამკუთხედის ფართობი
მოდით, წერტილები A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) იყოს სამკუთხედის წვეროები, მაშინ მისი ფართობი გამოიხატება ფორმულით:

მარჯვენა მხარეს არის მეორე რიგის განმსაზღვრელი. სამკუთხედის ფართობი ყოველთვის დადებითია.
გამოსავალი. A-ს პირველ წვეროდ ავიღებთ, ვპოულობთ:

ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

სწორი ხაზის განტოლება
სწორი ხაზი, რომელიც გადის A 1 (x 1; y 1) და A 2 (x 2; y 2) წერტილებზე წარმოდგენილია განტოლებით:

AB წრფის განტოლება
სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება:

ან

ან
y = -3 / 4 x -15 / 4 ან 4y + 3x +15 = 0
AB ხაზის დახრილობა არის k = -3/4
ხაზის AC განტოლება

ან

ან
y = 13 / 16x + 65 / 16 ან 16y -13x - 65 = 0
AB ხაზის დახრილობა არის k = 13/16

ვარჯიში. მოცემულია ABCD პირამიდის წვეროების კოორდინატები. საჭირო:

1. ჩაწერეთ ვექტორები ორტის სისტემაში და იპოვეთ ამ ვექტორების მოდულები.
2. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის.
3. იპოვეთ ვექტორის პროექცია ვექტორზე.
4. იპოვნეთ სახის ფართობი ABC.
5. იპოვეთ ABCD პირამიდის მოცულობა.

გამოსავალი
მაგალითი #1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): მაგალითი #2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): მაგალითი #3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): მაგალითი #4

ვარჯიში. იპოვეთ მახვილი კუთხე x + y -5 = 0 და x + 4y - 8 = 0 წრფეებს შორის.
რეკომენდაციები გამოსავლისთვის. პრობლემა მოგვარებულია ორ ხაზს შორის კუთხის სერვისის გამოყენებით.
უპასუხე: 30.96o

მაგალითი #1. მოცემულია A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) წერტილების კოორდინატები. იპოვეთ A1A2 კიდის სიგრძე. დაწერეთ განტოლება A1A4 კიდესა და A1A2A3 სახისთვის. დაწერეთ განტოლება A4 წერტილიდან A1A2A3 სიბრტყეზე ჩამოშვებული სიმაღლისთვის. იპოვეთ A1A2A3 სამკუთხედის ფართობი. იპოვეთ A1A2A3A4 სამკუთხა პირამიდის მოცულობა.

ვექტორების კოორდინატებს ვპოულობთ ფორმულით: X = x j - x i ; Y = y j - y i; Z = z j - z i
აქ ვექტორის X,Y,Z კოორდინატები; x i, y i, z i - A i წერტილის კოორდინატები; x j , y j , z j - A j წერტილის კოორდინატები ;
ასე რომ, ვექტორისთვის A 1 A 2 ისინი იქნება შემდეგი:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
a(X;Y;Z) ვექტორის სიგრძე გამოიხატება მისი კოორდინატების მიხედვით ფორმულით:

დავალება 1. მოცემულია ABC სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). იპოვეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) AB და BC გვერდების განტოლებები და მათი ფერდობები; 3) კუთხე B რადიანებში ორი ათობითი ადგილის სიზუსტით; 4) სიმაღლის CD და მისი სიგრძის განტოლება; 5) AE მედიანას განტოლება და ამ მედიანას გადაკვეთის K წერტილის სიმაღლის CD კოორდინატები; 6) AB გვერდის პარალელურად K წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება; 7) M წერტილის კოორდინატები, რომლებიც განლაგებულია სიმეტრიულად A წერტილის მიმართ სწორი ხაზის CD-სთან მიმართებაში.

გამოსავალი:

1. მანძილი d A(x 1,y 1) და B(x2,y 2) წერტილებს შორის განისაზღვრება ფორმულით.

(1) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ AB მხარის სიგრძეს:

2. A (x 1, y 1) და B (x 2, y 2) წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა.

(2)

(2) A და B წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით, მივიღებთ AB მხარის განტოლებას:

y-ის ბოლო განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას სწორხაზოვანი განტოლების სახით დახრილობით:

სადაც

(2) B და C წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით, მივიღებთ BC სწორი წრფის განტოლებას:

ან

3. ცნობილია, რომ ორ წრფეს შორის კუთხის ტანგენსი, რომელთა კუთხური კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია და გამოითვლება ფორმულით.

(3)

სასურველ კუთხეს B ქმნიან სწორი ხაზები AB და BC, რომელთა კუთხური კოეფიციენტები გვხვდება: (3) გამოყენებით ვიღებთ

ან მიხარია.

4. მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა

(4)

სიმაღლე CD არის AB მხარის პერპენდიკულარული. სიმაღლის CD დახრის საპოვნელად ვიყენებთ ხაზების პერპენდიკულარობის პირობას. Მას შემდეგ (4) C წერტილის კოორდინატებით და სიმაღლის ნაპოვნი კუთხური კოეფიციენტით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

სიმაღლის CD სიგრძის საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ D წერტილის კოორდინატებს - AB და CD წრფეების გადაკვეთის წერტილი. სისტემის ერთად გადაჭრა:

იპოვე იმათ. D(8;0).

ფორმულით (1) ვიპოვით სიმაღლის CD სიგრძეს:

5. AE მედიანას განტოლების საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ E წერტილის კოორდინატებს, რომელიც არის BC მხარის შუა წერტილი, სეგმენტის ორ ტოლ ნაწილად გაყოფის ფორმულების გამოყენებით:

(5)

აქედან გამომდინარე,

(2) A და E წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით, ვპოულობთ მედიანურ განტოლებას:

სიმაღლის CD და მედიანას AE გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების საპოვნელად ერთობლივად ვხსნით განტოლებათა სისტემას.

Ჩვენ ვიპოვეთ .

6. ვინაიდან სასურველი ხაზი AB გვერდის პარალელურია, მაშინ მისი დახრილობა AB წრფის დახრილობის ტოლი იქნება. (4)-ში ნაპოვნი K წერტილის კოორდინატების და დახრილობის ჩანაცვლებით ვიღებთ

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. ვინაიდან AB წრფე პერპენდიკულარულია CD წრფეზე, სასურველი M წერტილი, რომელიც სიმეტრიულად მდებარეობს A წერტილის მიმართ CD წრფესთან მიმართებაში, დევს AB წრფეზე. გარდა ამისა, წერტილი D არის AM სეგმენტის შუა წერტილი. ფორმულების (5) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ სასურველი M წერტილის კოორდინატებს:

სამკუთხედი ABC, სიმაღლე CD, მედიანა AE, ხაზი KF და წერტილი M აგებულია xOy კოორდინატთა სისტემაში ნახ. 1.

დავალება 2. შეადგინეთ განტოლება წერტილების ლოკუსისთვის, რომლის მანძილების თანაფარდობა მოცემულ A წერტილთან (4; 0) და მოცემულ სწორ ხაზთან x \u003d 1 უდრის 2-ს.

გამოსავალი:

xOy კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ A(4;0) წერტილს და სწორ ხაზს x = 1. მოდით M(x;y) იყოს წერტილების სასურველი ლოკუსის თვითნებური წერტილი. ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარული MB მოცემულ წრფეზე x = 1 და განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან B წერტილი დევს მოცემულ წრფეზე, მისი აბსცისა უდრის 1-ს. B წერტილის ორდინატი უდრის ორდინატს. წერტილის M. მაშასადამე, B(1; y) (ნახ. 2).

პრობლემის პირობით |MA|: |MV| = 2. დისტანციები |MA| და |მბ| ჩვენ ვპოულობთ 1 პრობლემის ფორმულით (1):

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კვადრატში, მივიღებთ

ან

შედეგად მიღებული განტოლება არის ჰიპერბოლა, რომელშიც რეალური ნახევრადღერძი არის a = 2, ხოლო წარმოსახვითი არის

განვსაზღვროთ ჰიპერბოლის კერები. ჰიპერბოლისთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია.მაშასადამე და არის ჰიპერბოლის კერები. როგორც ხედავთ, მოცემული წერტილი A(4;0) არის ჰიპერბოლის სწორი ფოკუსი.

მოდით განვსაზღვროთ მიღებული ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა:

ჰიპერბოლის ასიმპტოტულ განტოლებებს აქვთ ფორმა და . მაშასადამე, ან და არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები. ჰიპერბოლის აგებამდე ჩვენ ვაშენებთ მის ასიმპტოტებს.

დავალება 3. შეადგინეთ განტოლება A (4; 3) წერტილიდან თანაბარი მანძილით დაშორებული წერტილების ლოკუსისთვის და სწორი ხაზით y \u003d 1. შეამცირეთ მიღებული განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე.

გამოსავალი: M(x; y) იყოს სასურველი წერტილის ერთ-ერთი წერტილი. ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარული MB M წერტილიდან მოცემულ y = 1 წრფეზე (ნახ. 3). განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები, აშკარაა, რომ B წერტილის აბსციზა ტოლია M წერტილის აბსცისა, ხოლო B წერტილის ორდინატი არის 1, ანუ B (x; 1). პრობლემის პირობით |MA|=|MV|. მაშასადამე, ნებისმიერი წერტილისთვის M (x; y), რომელიც მიეკუთვნება წერტილების სასურველ ადგილს, ტოლობა მართალია:

შედეგად მიღებული განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლას წვეროსთან ერთად იმ წერტილში, რომ პარაბოლის განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე მივიყვანოთ, ჩვენ ვაყენებთ და y + 2 = Y, შემდეგ პარაბოლის განტოლება იღებს ფორმას:

როგორ ვისწავლოთ ამოცანების ამოხსნა ანალიტიკურ გეომეტრიაში?
ტიპიური პრობლემა სამკუთხედის სიბრტყეზე

ეს გაკვეთილი შეიქმნა ეკვატორთან მიდგომაზე სიბრტყის გეომეტრიასა და სივრცის გეომეტრიას შორის. ამ დროისთვის საჭიროა დაგროვილი ინფორმაციის სისტემატიზაცია და ძალიან მნიშვნელოვან კითხვაზე პასუხის გაცემა: როგორ ვისწავლოთ ამოცანების ამოხსნა ანალიტიკურ გეომეტრიაში?სირთულე იმაში მდგომარეობს, რომ გეომეტრიაში უსასრულო რაოდენობის პრობლემაა და არცერთი სახელმძღვანელო არ შეიძლება შეიცავდეს მრავალ და მრავალფეროვან მაგალითს. Არ არის ფუნქციის წარმოებულიდიფერენცირების ხუთი წესით, ცხრილით და რამდენიმე ტექნიკით….

არსებობს გამოსავალი! მე არ ვიტყვი ხმამაღალ სიტყვებს, რომ მე შევიმუშავე რაიმე სახის გრანდიოზული ტექნიკა, თუმცა, ჩემი აზრით, განსახილველი პრობლემისადმი ეფექტური მიდგომაა, რაც საშუალებას აძლევს თუნდაც სავსე ქვაბს მიაღწიოს კარგ და ჩინებულ შედეგებს. ყოველ შემთხვევაში, გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრის ზოგადი ალგორითმი ძალიან მკაფიოდ ჩამოყალიბდა ჩემს თავში.

ის, რაც უნდა იცოდეთ და შეგეძლოთ
წარმატებით გადაჭრას პრობლემები გეომეტრიაში?

ამისგან თავის დაღწევა არ არის - იმისათვის, რომ ღილაკებს შემთხვევით არ მოხვიდეთ ცხვირით, თქვენ უნდა დაეუფლოთ ანალიტიკური გეომეტრიის საფუძვლებს. ამიტომ, თუ ახლახან დაიწყეთ გეომეტრიის შესწავლა ან სრულიად დაგავიწყდათ, გთხოვთ, გაკვეთილით დაიწყოთ ვექტორები დუმებისთვის. გარდა ვექტორებისა და მათთან მოქმედებებისა, თქვენ უნდა იცოდეთ სიბრტყის გეომეტრიის ძირითადი ცნებები, კერძოდ, სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებადა . სივრცის გეომეტრია წარმოდგენილია სტატიებით სიბრტყის განტოლება, სწორი ხაზის განტოლებები სივრცეში, ძირითადი დავალებები ხაზსა და თვითმფრინავზე და რამდენიმე სხვა გაკვეთილი. მეორე რიგის მრუდი ხაზები და სივრცითი ზედაპირები გარკვეულწილად ერთმანეთისგან დგას და მათთან არც ისე ბევრი კონკრეტული პრობლემაა.

დავუშვათ, მოსწავლეს უკვე აქვს ელემენტარული ცოდნა და უნარები ანალიტიკური გეომეტრიის უმარტივესი ამოცანების ამოხსნისას. მაგრამ ეს ასე ხდება: თქვენ კითხულობთ პრობლემის მდგომარეობას და ... გსურთ მთლიანად დახუროთ ყველაფერი, გადააგდოთ იგი შორეულ კუთხეში და დაივიწყოთ, როგორც კოშმარი. უფრო მეტიც, ეს ფუნდამენტურად არ არის დამოკიდებული თქვენი კვალიფიკაციის დონეზე, დროდადრო მე თვითონ ვხვდები ამოცანებს, რომელთა გამოსავალი არ არის აშკარა. როგორ მოვიქცეთ ასეთ შემთხვევებში? არ უნდა შეგეშინდეთ დავალების, რომელიც არ გესმით!

ჯერ ერთი, უნდა იყოს მითითებული ეს "პლანარი" თუ სივრცითი პრობლემაა?მაგალითად, თუ ვექტორები ორი კოორდინატით ჩნდება მდგომარეობაში, მაშინ, რა თქმა უნდა, ეს არის სიბრტყის გეომეტრია. და თუ მასწავლებელმა მადლიერი მსმენელი პირამიდით დატვირთა, მაშინ აშკარად ჩანს სივრცის გეომეტრია. პირველი ნაბიჯის შედეგები უკვე საკმაოდ კარგია, რადგან ჩვენ მოვახერხეთ ამ ამოცანისთვის არასაჭირო ინფორმაციის უზარმაზარი რაოდენობის ამოჭრა!

მეორე. მდგომარეობა, როგორც წესი, რაღაც გეომეტრიულ ფიგურას შეგაწუხებთ. მართლაც, გაიარეთ თქვენი მშობლიური უნივერსიტეტის დერეფნები და ნახავთ უამრავ შეშფოთებულ სახეს.

"ბრტყელ" პრობლემებში, რომ აღარაფერი ვთქვათ აშკარა წერტილებსა და ხაზებზე, ყველაზე პოპულარული ფიგურა არის სამკუთხედი. ჩვენ მას ძალიან დეტალურად გავაანალიზებთ. შემდეგ მოდის პარალელოგრამი, ხოლო მართკუთხედი, კვადრატი, რომბი, წრე და სხვა ფიგურები გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია.

სივრცითი ამოცანებში ფრენა შეუძლიათ იგივე ბრტყელ ფიგურებს + თვით თვითმფრინავებს და საერთო სამკუთხა პირამიდებს პარალელეპიპედებით.

კითხვა მეორე - იცით ყველაფერი ამ ფიგურის შესახებ?დავუშვათ, მდგომარეობა ეხება ტოლფერდა სამკუთხედს და თქვენ ძალიან ბუნდოვნად გახსოვთ, როგორი სამკუთხედია ეს. ვხსნით სასკოლო სახელმძღვანელოს და ვკითხულობთ ტოლფერდა სამკუთხედის შესახებ. რა ვქნა... ექიმმა რომბი თქვა, ასე რომბიო. ანალიტიკური გეომეტრია არის ანალიტიკური გეომეტრია, მაგრამ პრობლემა ხელს შეუწყობს თავად ფიგურების გეომეტრიული თვისებების ამოხსნასჩვენთვის ცნობილი სასკოლო სასწავლო გეგმიდან. თუ არ იცით რა არის სამკუთხედის კუთხეების ჯამი, მაშინ შეიძლება დიდხანს იტანჯოთ.

მესამე. ყოველთვის შეეცადეთ დაიცვას გეგმა(ნახაზზე / სუფთა / გონებრივად), მაშინაც კი, თუ ეს არ არის საჭირო პირობით. „ბრტყელ“ ამოცანებში თავად ევკლიდემ ბრძანა სახაზავის აღება ფანქრით ხელში – და არა მხოლოდ მდგომარეობის გასაგებად, არამედ თვითშემოწმების მიზნით. ამ შემთხვევაში, ყველაზე მოსახერხებელი მასშტაბი არის 1 ერთეული = 1 სმ (2 ტეტრადის უჯრედი). ნუ ვისაუბრებთ უყურადღებო სტუდენტებსა და მათემატიკოსებზე, რომლებიც მათ საფლავებში ტრიალებენ - ასეთ პრობლემებში შეცდომა თითქმის შეუძლებელია. სივრცითი ამოცანებისთვის ვასრულებთ სქემატურ ნახატს, რომელიც ასევე ხელს შეუწყობს მდგომარეობის ანალიზს.

ნახატი ან სქემატური ნახაზი ხშირად დაუყოვნებლივ გაძლევთ საშუალებას ნახოთ პრობლემის გადაჭრის გზა. რა თქმა უნდა, ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიის საფუძველი და ჩაჭრათ გეომეტრიული ფორმების თვისებები (იხ. წინა აბზაცი).

მეოთხე. ამოხსნის ალგორითმის შემუშავება. გეომეტრიის მრავალი პრობლემა მრავალმხრივია, ამიტომ ძალიან მოსახერხებელია ამოხსნის და მისი დიზაინის წერტილებად დაყოფა. ხშირად, ალგორითმი მაშინვე გახსენდებათ მდგომარეობის წაკითხვის ან ნახაზის დასრულების შემდეგ. სირთულეების შემთხვევაში ვიწყებთ პრობლემის კითხვით. მაგალითად, პირობის მიხედვით "საჭიროა სწორი ხაზის აშენება ...". აქ ყველაზე ლოგიკური კითხვაა: "რა არის საკმარისი იმისათვის, რომ ვიცოდეთ ამ ხაზის ასაშენებლად?". დავუშვათ, "ჩვენ ვიცით წერტილი, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ მიმართულების ვექტორი." ჩვენ ვსვამთ შემდეგ კითხვას: „როგორ ვიპოვოთ ეს მიმართულების ვექტორი? სად?" და ა.შ.

ხანდახან ჩნდება „შტეფსელი“ – ამოცანა არ წყდება და ეგაა. გაჩერების მიზეზები შეიძლება იყოს შემდეგი:

- სერიოზული ხარვეზია ელემენტარულ ცოდნაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ არ იცით ან (და) ვერ ხედავთ ძალიან მარტივ რამეს.

- გეომეტრიული ფორმების თვისებების იგნორირება.

- ამოცანა რთული იყო. დიახ, ეს ხდება. აზრი არ აქვს საათობით ორთქლვას და ცხვირსახოცში ცრემლების შეგროვებას. რჩევისთვის ჰკითხეთ თქვენს მასწავლებელს, თანაკლასელებს ან დასვით შეკითხვა ფორუმზე. უფრო მეტიც, სჯობს მისი განცხადება კონკრეტული იყოს - გადაწყვეტის იმ ნაწილზე, რომელიც არ გესმით. ტირილი "როგორ მოვაგვაროთ პრობლემა?" არ გამოიყურება კარგად... და უპირველეს ყოვლისა, საკუთარი რეპუტაციისთვის.

ეტაპი მეხუთე. ვხსნით-შემოწმება, გადაჭრა-შემოწმება, გადაჭრა-შემოწმება-გავცემთ პასუხს. სასარგებლოა დავალების თითოეული პუნქტის შემოწმება გაკეთებისთანავე. ეს დაგეხმარებათ დაუყოვნებლივ იპოვოთ შეცდომა. ბუნებრივია, არავინ კრძალავს მთელი პრობლემის სწრაფად გადაჭრას, მაგრამ არსებობს ყველაფრის ხელახლა გადაწერის რისკი (ხშირად რამდენიმე გვერდი).

აქ, ალბათ, ყველა ძირითადი მოსაზრებაა, რომლითაც მიზანშეწონილია იხელმძღვანელოთ პრობლემების გადაჭრისას.

გაკვეთილის პრაქტიკული ნაწილი წარმოდგენილია გეომეტრიით სიბრტყეზე. იქნება მხოლოდ ორი მაგალითი, მაგრამ ეს საკმარისი არ იქნება =)

მოდით გადავიდეთ ალგორითმის ძაფზე, რომელიც ახლახან გადავხედე ჩემს პატარა სამეცნიერო ნაშრომში:

მაგალითი 1

მოცემულია პარალელოგრამის სამი წვერო. იპოვე ზედა.

დავიწყოთ ამის გარკვევა:

Პირველი ნაბიჯი: აშკარაა, რომ საუბარია „ბრტყელ“ პრობლემაზე.

ნაბიჯი ორი: პრობლემა ეხება პარალელოგრამს. ყველას ახსოვს ასეთი პარალელოგრამის ფიგურა? არ არის საჭირო ღიმილი, ბევრი ადამიანი განათლებას იღებს 30-40-50 და მეტი წლის ასაკში, ამიტომ მარტივი ფაქტებიც კი შეიძლება წაიშალოს მეხსიერებიდან. პარალელოგრამის განმარტება გვხვდება გაკვეთილის მე-3 მაგალითში ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი.

ნაბიჯი სამი: დავხატოთ ნახატი, რომელზეც სამ ცნობილ წვეროს მოვნიშნავთ. სასაცილოა, რომ ადვილია სასურველი წერტილის დაუყოვნებლივ აშენება:

მშენებლობა, რა თქმა უნდა, კარგია, მაგრამ გამოსავალი ანალიტიკური უნდა იყოს ფორმალიზებული.

ნაბიჯი მეოთხე: ამოხსნის ალგორითმის შემუშავება. პირველი, რაც მახსენდება არის ის, რომ წერტილი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც ხაზების გადაკვეთა. მათი განტოლებები ჩვენთვის უცნობია, ამიტომ ამ საკითხს უნდა გავუმკლავდეთ:

1) მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია. ქულების მიხედვით იპოვეთ ამ გვერდების მიმართულების ვექტორი. ეს არის უმარტივესი დავალება, რომელიც გაკვეთილზე იქნა გათვალისწინებული. ვექტორები დუმებისთვის.

Შენიშვნა: უფრო სწორია ვთქვათ „გვერდის შემცველი სწორი ხაზის განტოლება“, მაგრამ შემდგომში, მოკლედ, გამოვიყენებ ფრაზებს „გვერდის განტოლება“, „გვერდის მიმართული ვექტორი“ და ა.შ.

3) მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია. წერტილებიდან ვპოულობთ ამ გვერდების მიმართულების ვექტორს.

4) შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და მიმართულების ვექტორით

1-2 და 3-4 პუნქტებში ერთი და იგივე პრობლემა ფაქტობრივად ორჯერ მოვაგვარეთ, სხვათა შორის, გაანალიზებულია გაკვეთილის მე-3 მაგალითში. სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემები. შესაძლებელი იყო უფრო გრძელი გზის გავლა - ჯერ იპოვნეთ ხაზების განტოლებები და მხოლოდ ამის შემდეგ "ამოიღეთ" მიმართულების ვექტორები მათგან.

5) ახლა ცნობილია წრფეების განტოლებები. რჩება წრფივი განტოლებათა შესაბამისი სისტემის შედგენა და ამოხსნა (იხ. მაგალითები No4, 5). სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემები).

წერტილი ნაპოვნია.

ამოცანა საკმაოდ მარტივია და მისი ამოხსნა აშკარაა, მაგრამ არსებობს უფრო მოკლე გზა!

გადაჭრის მეორე გზა:

პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება მათი გადაკვეთის წერტილით. წერტილი მოვნიშნე, მაგრამ იმისათვის, რომ ნახატი არ დამეჭედოს, დიაგონალები თავად არ დავხატე.

შეადგინეთ გვერდის განტოლება წერტილებით :

შესამოწმებლად, გონებრივად ან მონახაზზე, შეცვალეთ თითოეული წერტილის კოორდინატები მიღებულ განტოლებაში. ახლა ვიპოვოთ ფერდობი. ამისათვის ჩვენ ხელახლა ვწერთ ზოგად განტოლებას განტოლების სახით დახრილობით:

ასე რომ, დახრის ფაქტორი არის:

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ გვერდების განტოლებებს. მე ვერ ვხედავ დიდ აზრს ერთი და იგივეს დახატვაში, ამიტომ დაუყოვნებლივ მივცემ დასრულებულ შედეგს:

2) იპოვეთ მხარის სიგრძე. ეს არის გაკვეთილზე განხილული უმარტივესი დავალება. ვექტორები დუმებისთვის. ქულებისთვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

იგივე ფორმულის გამოყენებით ადვილია სხვა გვერდების სიგრძის პოვნა. შემოწმება ძალიან სწრაფად ხორციელდება ჩვეულებრივი სახაზავით.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .

მოდი ვიპოვოთ ვექტორები:

ამრიგად:

სხვათა შორის, გზაში აღმოვაჩინეთ გვერდების სიგრძე.

Როგორც შედეგი:

ისე, როგორც ჩანს, სიმართლეა, დამაჯერებლობისთვის შეგიძლიათ კუთხეში პროტრატორი მიამაგროთ.

ყურადღება! არ აურიოთ სამკუთხედის კუთხე სწორი ხაზებს შორის. სამკუთხედის კუთხე შეიძლება იყოს ბლაგვი, მაგრამ კუთხე სწორ ხაზებს შორის არა (იხილეთ სტატიის ბოლო პუნქტი სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემები). თუმცა, ზემოაღნიშნული გაკვეთილის ფორმულები ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ სამკუთხედის კუთხის საპოვნელად, მაგრამ უხეშობა ის არის, რომ ეს ფორმულები ყოველთვის იძლევა მახვილ კუთხეს. მათი დახმარებით გადავწყვიტე ეს პრობლემა დრაფტზე და მივიღე შედეგი. და სუფთა ასლზე, ​​თქვენ მოგიწევთ ამის დამატებითი გამართლების ჩაწერა.

4) დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის სწორი წრფის პარალელურ წერტილში.

სტანდარტული დავალება, დეტალურად განხილული გაკვეთილის No2 მაგალითში სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემები. სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან ამოიღეთ მიმართულების ვექტორი. შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიხედვით:

როგორ გავიგოთ სამკუთხედის სიმაღლე?

5) შევადგენთ სიმაღლის განტოლებას და ვიპოვით მის სიგრძეს.

მკაცრი განმარტებებისგან თავის დაღწევა არ არის, ასე რომ თქვენ უნდა მოიპაროთ სკოლის სახელმძღვანელოდან:

სამკუთხედის სიმაღლე ეწოდება სამკუთხედის წვეროდან მოპირდაპირე მხარის შემცველ წრფემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს.

ანუ აუცილებელია წვეროდან გვერდისკენ გამოყვანილი პერპენდიკულურის განტოლების შედგენა. ეს დავალება განხილულია გაკვეთილის No6, 7 მაგალითებში სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემები. განტოლებიდან ამოიღეთ ნორმალური ვექტორი. ჩვენ შევადგენთ სიმაღლის განტოლებას წერტილისა და მიმართულების ვექტორისთვის:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ არ ვიცით წერტილის კოორდინატები.

ზოგჯერ სიმაღლის განტოლება გვხვდება პერპენდიკულარული ხაზების ფერდობების შეფარდებით: . ამ შემთხვევაში, მაშინ: . ჩვენ შევადგენთ სიმაღლის განტოლებას წერტილისა და ფერდობისთვის (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება):

სიმაღლის სიგრძე შეიძლება მოიძებნოს ორი გზით.

არის შემოვლითი გზა:

ა) პოვნა - სიმაღლისა და მხარის გადაკვეთის წერტილი;
ბ) იპოვეთ მონაკვეთის სიგრძე ორი ცნობილი წერტილით.

მაგრამ კლასში სიბრტყეზე სწორი ხაზის უმარტივესი პრობლემებიგანიხილებოდა წერტილიდან ხაზამდე მანძილის მოსახერხებელი ფორმულა. წერტილი ცნობილია: , წრფის განტოლება ასევე ცნობილია: , ამრიგად:

6) გამოთვალეთ სამკუთხედის ფართობი. სივრცეში, სამკუთხედის ფართობი ტრადიციულად გამოითვლება გამოყენებით ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტი, მაგრამ აქ სიბრტყეში მოცემულია სამკუთხედი. ჩვენ ვიყენებთ სკოლის ფორმულას:
სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარი მის სიმაღლეზე.

Ამ შემთხვევაში:

როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის მედიანა?

7) შეადგინეთ მედიანური განტოლება.

სამკუთხედის მედიანა წრფის სეგმენტი, რომელიც აერთებს სამკუთხედის წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან, ეწოდება.

ა) იპოვეთ წერტილი - მხარის შუა წერტილი. Ჩვენ ვიყენებთ შუა წერტილის კოორდინატთა ფორმულები. სეგმენტის ბოლოების კოორდინატები ცნობილია: , შემდეგ შუა კოორდინატები:

ამრიგად:

ჩვენ ვადგენთ მედიანურ განტოლებას წერტილებით :

განტოლების შესამოწმებლად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მასში წერტილების კოორდინატები.

8) იპოვეთ სიმაღლისა და მედიანის გადაკვეთის წერტილი. ვფიქრობ, ყველამ უკვე ისწავლა, როგორ შეასრულოს ფიგურული სრიალის ეს ელემენტი დაცემის გარეშე: