ამ სტატიაში ჩვენ ვისაუბრებთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის კონცეფციაზე. მივცემთ აუცილებელ განმარტებებს, ჩამოვწერთ ვექტორული ნამრავლის კოორდინატების პოვნის ფორმულას, ჩამოვთვლით და დავასაბუთებთ მის თვისებებს. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და განვიხილავთ სხვადასხვა ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ვექტორული პროდუქტის განმარტება.

სანამ ჯვარედინი ნამრავლის განმარტებას მივცემთ, მოდი შევეხოთ ვექტორთა მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციას სამგანზომილებიან სივრცეში.

გადავდოთ ვექტორები ერთი წერტილიდან. ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, სამეული შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ. ვექტორის ბოლოდან შევხედოთ, თუ როგორ ხდება უმოკლეს ბრუნი ვექტორიდან . თუ უმოკლეს ბრუნვა არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორთა სამმაგი ეწოდება უფლება, წინააღმდეგ შემთხვევაში - დატოვა.

ახლა ავიღოთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი და . განზე ვექტორები და A წერტილიდან. მოდით ავაშენოთ რამდენიმე ვექტორი, რომელიც არის პერპენდიკულარული და და ამავე დროს. ცხადია, ვექტორის აგებისას ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, ვექტორების მოწესრიგებული სამმაგი შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ.

ასე რომ, ჩვენ მივუახლოვდით ვექტორული პროდუქტის განმარტებას. იგი მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება.

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლიდა, მოცემული სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეწოდება ვექტორი ისეთი, რომ

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და აღინიშნება როგორც .

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები.

ახლა ვაძლევთ ვექტორული ნამრავლის მეორე განმარტებას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მისი კოორდინატები მოცემული ვექტორების კოორდინატებიდან და.

განმარტება.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი და არის ვექტორი, სადაც არის კოორდინატთა ვექტორები.

ეს განსაზღვრება გვაძლევს ჯვარედინი ნამრავლს კოორდინატულ ფორმაში.

მოსახერხებელია ვექტორული ნამრავლის წარმოდგენა, როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის პირველი მწკრივია ორტები, მეორე რიგი შეიცავს ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე მწკრივი შეიცავს ვექტორის კოორდინატებს. მოცემული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა:

თუ ამ განმსაზღვრელს გავაფართოვებთ პირველი რიგის ელემენტებით, მაშინ თანასწორობას ვიღებთ კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

უნდა აღინიშნოს, რომ ჯვარედინი პროდუქტის კოორდინატთა ფორმა სრულად შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. უფრო მეტიც, ჯვარედინი პროდუქტის ეს ორი განმარტება ექვივალენტურია. ამის დამადასტურებელი ფაქტი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიის ბოლოს მითითებულ წიგნში.

ვექტორული პროდუქტის თვისებები.

ვინაიდან კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგი შეიძლება ადვილად დასაბუთდეს საფუძველზე ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

მაგალითად, დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისება.

ა-პრიორიტეტი და . ჩვენ ვიცით, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა იცვლება, როდესაც ორი მწკრივი იცვლება, ასე რომ, , რომელიც ადასტურებს ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები.

ძირითადად არსებობს სამი სახის დავალება.

პირველი ტიპის ამოცანებში მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და საჭიროა ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძის პოვნა. ამ შემთხვევაში, ფორმულა გამოიყენება .

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და თუ ცნობილია .

გამოსავალი.

განმარტებიდან ვიცით, რომ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და ტოლია ვექტორების სიგრძის ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსზე გამრავლებული, შესაბამისად, .

პასუხი:

.

მეორე ტიპის ამოცანები ასოცირდება ვექტორების კოორდინატებთან, რომლებშიც ვექტორული ნამრავლი, მისი სიგრძე ან რაიმე სხვა იძებნება მოცემული ვექტორების კოორდინატებით. და .

აქ ბევრი სხვადასხვა ვარიანტია ხელმისაწვდომი. მაგალითად, არა ვექტორების კოორდინატები და, არამედ მათი გაფართოებები ფორმის კოორდინატულ ვექტორებში. და , ან ვექტორები და შეიძლება განისაზღვროს მათი საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებით.

განვიხილოთ ტიპიური მაგალითები.

მაგალითი.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი . იპოვეთ მათი ვექტორული პროდუქტი.

გამოსავალი.

მეორე განმარტების მიხედვით, კოორდინატებში ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი იწერება როგორც:

იგივე შედეგამდე მივიდოდით, თუ დავწერდით ვექტორულ ნამრავლს დეტერმინანტის მეშვეობით

პასუხი:

.

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და სად არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ორტები.

გამოსავალი.

პირველი, იპოვნეთ ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ვინაიდან ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ვექტორის კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში), მაშინ ჯვარედინი ნამრავლის მეორე განმარტების მიხედვით, გვაქვს

ანუ ვექტორული პროდუქტი აქვს კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი (ვექტორის სიგრძის პოვნის განყოფილებაში მივიღეთ ვექტორის სიგრძის ეს ფორმულა):

პასუხი:

.

მაგალითი.

სამი წერტილის კოორდინატები მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. იპოვეთ ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია და ამავე დროს.

გამოსავალი.

ვექტორები და აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (იხილეთ სტატია ვექტორის კოორდინატების პოვნა წერტილების კოორდინატების მეშვეობით). თუ ჩვენ ვიპოვით ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს და , მაშინ განსაზღვრებით ის არის ვექტორი პერპენდიკულარული ორივეზე და მის მიმართ, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. მოდი ვიპოვოთ იგი

პასუხი:

არის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანებში მოწმდება ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენების უნარი. თვისებების გამოყენების შემდეგ, გამოიყენება შესაბამისი ფორმულები.

მაგალითი.

და ვექტორები პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეა შესაბამისად 3 და 4. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე .

გამოსავალი.

ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ

ასოციაციური თვისების მიხედვით ვიღებთ რიცხვითი კოეფიციენტებს ვექტორული ნაწარმოებების ნიშნისთვის ბოლო გამოსახულებაში:

ვექტორული პროდუქტები და ტოლია ნულის, ვინაიდან და , მაშინ .

ვინაიდან ვექტორული პროდუქტი ანტიკომუტატიულია, მაშინ .

ასე რომ, ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით, მივედით თანასწორობამდე .

პირობით, ვექტორები და არიან პერპენდიკულარული, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის . ანუ ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი საჭირო სიგრძის საპოვნელად

პასუხი:

.

ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განმარტებით, ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე არის . ხოლო საშუალო სკოლის გეომეტრიის კურსიდან ჩვენ ვიცით, რომ სამკუთხედის ფართობი ტოლია სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარი. მაშასადამე, ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ორჯერ ფართობს ვექტორების გვერდებთან და თუ ისინი გადადებულია ერთი წერტილიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და ტოლია პარალელოგრამის ფართობი გვერდებით და მათ შორის კუთხე ტოლია . ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ტესტი No1

ვექტორები. უმაღლესი ალგებრის ელემენტები

1-20. ვექტორების სიგრძეები და და ცნობილია; არის კუთხე ამ ვექტორებს შორის.

გამოთვალეთ: 1) და, 2) .3) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი და.

გააკეთე ნახატი.

გამოსავალი. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის განმარტების გამოყენებით:

და სკალარული პროდუქტის თვისებები: ,

1) იპოვეთ ვექტორის სკალარული კვადრატი:

ანუ მაშინ.

ანალოგიურად კამათით მივიღებთ

ანუ მაშინ.

ვექტორული პროდუქტის განმარტებით:

იმის გათვალისწინებით, რომ

ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი უდრის

21-40. ცნობილია სამი წვერის კოორდინატები A, B, Dპარალელოგრამი Ა Ბ Გ Დ. ვექტორული ალგებრის საშუალებით დაგჭირდებათ:

ა(3;0;-7), ბ(2;4;6), დ(-7;-5;1)

გამოსავალი.

ცნობილია, რომ პარალელოგრამის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილში იყოფა შუაზე. მაშასადამე, წერტილის კოორდინატები ე- დიაგონალების კვეთები - იპოვეთ სეგმენტის შუა კოორდინატებად BD. მათი აღნიშვნა x ე ,წ ე , ზ ეჩვენ ამას ვიღებთ

ჩვენ ვიღებთ.

წერტილის კოორდინატების ცოდნა ე- დიაგონალური შუა წერტილები BDდა მისი ერთ-ერთი ბოლოს კოორდინატები ა(3;0;-7), ფორმულებით განვსაზღვრავთ წვეროს სასურველ კოორდინატებს თანპარალელოგრამი:

ასე რომ, ზედა.

2) ვექტორის პროექციის საპოვნელად ვექტორზე ვპოულობთ ამ ვექტორების კოორდინატებს:

ასევე . ვექტორის პროექციას ვექტორზე ვპოულობთ ფორმულით:

3) კუთხე პარალელოგრამის დიაგონალებს შორის გვხვდება, როგორც კუთხე ვექტორებს შორის

და სკალარული პროდუქტის თვისებით:

მერე

4) პარალელოგრამის ფართობი გვხვდება ვექტორული პროდუქტის მოდულად:

5) პირამიდის მოცულობა გვხვდება ვექტორების შერეული ნამრავლის მოდულის მეექვსედად, სადაც O(0;0;0), შემდეგ

შემდეგ სასურველი მოცულობა (კუბური ერთეული)

41-60. მატრიცის მონაცემები:

V C -1 +3A T

აღნიშვნები:

პირველი, ჩვენ ვპოულობთ C მატრიცის ინვერსიას.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მის განმსაზღვრელს:

განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი, შესაბამისად, მატრიცა არის არაერთგულოვანი და მისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა C-1

ვიპოვოთ ალგებრული დანამატები ფორმულით, სადაც არის ელემენტის მინორი:

შემდეგ , .

61–80. ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა:

კრამერის მეთოდი; 2. მატრიცული მეთოდი.

გამოსავალი.

ა) კრამერის მეთოდი

მოდი ვიპოვოთ სისტემის განმსაზღვრელი

მას შემდეგ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

იპოვეთ დეტერმინანტები და , შეცვალეთ პირველი, მეორე, მესამე სვეტები კოეფიციენტების მატრიცაში, შესაბამისად, თავისუფალი ტერმინების სვეტით.

კრამერის ფორმულების მიხედვით:

ბ)მატრიცული მეთოდი (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

ჩვენ ვწერთ ამ სისტემას მატრიცის სახით და ვხსნით მას შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით.

დაე აარის კოეფიციენტების მატრიცა უცნობისთვის; Xარის უცნობების სვეტის მატრიცა x, წ, ზდა ჰარის თავისუფალი წევრების სვეტის მატრიცა:

სისტემის (1) მარცხენა მხარე შეიძლება დაიწეროს როგორც მატრიცების ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე, როგორც მატრიცა ჰ. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მატრიცული განტოლება

ვინაიდან მატრიცის განმსაზღვრელი აგანსხვავდება ნულისაგან (პუნქტი "ა"), შემდეგ მატრიცისგან ააქვს შებრუნებული მატრიცა. მარცხნივ ტოლობის ორივე ნაწილის (2) გამრავლებით მატრიცით, მივიღებთ

საიდან ეარის იდენტურობის მატრიცა და , მაშინ

მოდით გვქონდეს არასიგნორული მატრიცა A:

შემდეგ ინვერსიული მატრიცა გვხვდება ფორმულით:

სად ა იჯ- ელემენტის ალგებრული დანამატი ა იჯმატრიცის განმსაზღვრელში ა, რომელიც არის ნამრავლი (-1) i+j-ისა და მინორის (განმსაზღვრელი) n-1წაშლით მიღებული შეკვეთა მე-ეხაზები და j-thსვეტები A მატრიცის განმსაზღვრელში:

აქედან ვიღებთ შებრუნებულ მატრიცას:

X სვეტი: X=A -1 H

81–100. ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ სისტემას გაფართოებული მატრიცის სახით:

ელემენტარულ გარდაქმნებს ვასრულებთ სიმებით.

მე-2 მწკრივს ვაკლებთ 2-ზე გამრავლებულ პირველ მწკრივს. მე-3 მწკრივს ვაკლებთ 4-ზე გამრავლებულ პირველ მწკრივს. მე-4 მწკრივს ვაკლებთ პირველ რიგს, მივიღებთ მატრიცას:

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ნულს მომდევნო რიგების პირველ სვეტში, ამისათვის ჩვენ ვაკლებთ მესამე რიგს მეორე მწკრივს. მესამე მწკრივს ვაკლებთ 2-ზე გამრავლებულ მეორე მწკრივს. მეოთხე მწკრივს გამოვაკლებთ 3-ზე გამრავლებულ მეორე რიგს. შედეგად მივიღებთ ფორმის მატრიცას:

გამოვაკლოთ მესამე მეოთხე სტრიქონს.

შეცვალეთ ბოლო და ბოლო სტრიქონები:

ბოლო მატრიცა არის განტოლებების სისტემის ექვივალენტი:

სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვხვდებით .

ბოლო განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ .

სისტემის მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ x:

პასუხი:

გამოცდა No2

ანალიტიკური გეომეტრია

1-20. მოცემულია სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები ABC.იპოვე:

1) მხარის სიგრძე აIN;

2) გვერდითი განტოლებები ABდა მზედა მათი ფერდობები;

3) კუთხე INრადიანებში ორ ათწილადამდე;

4) სიმაღლის განტოლება CDდა მისი სიგრძე

5) მედიანური განტოლება AE

მაღალი CD;

TOმხარის პარალელურად AB,

7) ნახატის გაკეთება.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

გამოსავალი.

(1) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ მხარის სიგრძეს AB:

2) გვერდითი განტოლებები ABდა მზედა მათი ფერდობები:

წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა

პუნქტების კოორდინატებში (2) ჩანაცვლება ადა IN, ვიღებთ გვერდითა განტოლებას AB:

(AB).

(ძვ.წ).

3) კუთხე INრადიანებში ორ ათწილადამდე.

ცნობილია, რომ კუთხის ტანგენსი ორ წრფეს შორის, რომლის დახრის კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია და გამოითვლება ფორმულით.

სასურველი კუთხე INჩამოყალიბდა პირდაპირი ABდა მზე, რომლის კუთხური კოეფიციენტები გვხვდება: ; . (3) გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ

; , ან

4) სიმაღლის განტოლება CDდა მისი სიგრძე.

მანძილი C წერტილიდან AB წრფემდე:

5) მედიანური განტოლება AEდა ამ მედიანას გადაკვეთის K წერტილის კოორდინატები

მაღალი CD.

შუა მხარე ძვ.წ.

შემდეგ განტოლება AE:

ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

6) წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება TOმხარის პარალელურად AB:

ვინაიდან სასურველი ხაზი გვერდის პარალელურია AB, მაშინ მისი დახრილობა სწორი ხაზის დახრილობის ტოლი იქნება AB. ნაპოვნი წერტილის კოორდინატებში (4) ჩანაცვლება TOდა კუთხოვანი კოეფიციენტი , მივიღებთ

; (კფ).

პარალელოგრამის ფართობია 12 კვადრატული მეტრი. ერთეული, მისი ორი წვერო არის წერტილი A(-1;3)და B(-2;4).იპოვეთ ამ პარალელოგრამის ორი სხვა წვერო, თუ ცნობილია, რომ მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი x ღერძზეა. გააკეთე ნახატი.

გამოსავალი. დაე, დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები.

მაშინ აშკარაა, რომ

აქედან გამომდინარე ვექტორების კოორდინატები.

პარალელოგრამის ფართობი გვხვდება ფორმულით

მაშინ დანარჩენი ორი წვერის კოორდინატები არის .

51-60 ამოცანებში პუნქტების კოორდინატები A და B. საჭირო:

დაწერეთ მოცემულ წერტილებში გამავალი ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება A და Bთუ ჰიპერბოლის კერები განლაგებულია x ღერძზე;

იპოვეთ ამ ჰიპერბოლის ასიმპტოტების ნახევარღერძები, კერები, ექსცენტრიულობა და განტოლებები;

იპოვნეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის ყველა წერტილი საწყისზე ცენტრირებულ წრესთან, თუ ეს წრე გადის ჰიპერბოლის კერებში;

ააგეთ ჰიპერბოლა, მისი ასიმპტოტები და წრე.

A(6;-2), B(-8;12).

გამოსავალი. დაწერილია სასურველი ჰიპერბოლის განტოლება კანონიკური ფორმით

სად აარის ჰიპერბოლის ნამდვილი ნახევარღერძი, ბ-წარმოსახვითი ღერძი. წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება ადა INამ განტოლებაში ვპოულობთ ამ ნახევარღერძებს:

- ჰიპერბოლის განტოლება: .

ნახევარღერძი a=4,

ფოკუსური მანძილი Foci (-8.0) და (8.0)

ექსცენტრიულობა

აციპტოტები:

თუ წრე გადის საწყისზე, მისი განტოლება

ერთ-ერთი ფოკუსის ჩანაცვლებით, ასევე ვპოულობთ წრის განტოლებას

იპოვეთ ჰიპერბოლისა და წრის გადაკვეთის წერტილები:

ნახატის აგება:

61-80 ამოცანებში დახაზეთ ფუნქცია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში წერტილების მიხედვით,  მნიშვნელობების მიცემით ინტერვალით  /8 (0   2). იპოვეთ წრფის განტოლება მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში (აბსცისის დადებითი ნახევარღერძი ემთხვევა პოლარულ ღერძს, ხოლო პოლუსი ემთხვევა საწყისს).

გამოსავალი.მოდით ავაშენოთ ხაზი წერტილებით, ადრე შევავსეთ მნიშვნელობების ცხრილი და φ.

ნომერი	φ ,	φ, გრადუსი			ნომერი	φ , გახარებული	გრადუსი
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 ჩვენ ვასკვნით, რომ ეს განტოლება განსაზღვრავს ელიფსს: მოცემული ქულები A, IN , C, D . საპოვნელად საჭიროა: 1. სიბრტყის განტოლება (ქ), წერტილების გავლით A, B, C დთვითმფრინავში (Q); 2. სწორი ხაზის განტოლება (ᲛᲔ)წერტილების გავლით INდა D; 3. კუთხე სიბრტყეს შორის (Q)და პირდაპირი (ᲛᲔ); 4. სიბრტყის განტოლება (R),წერტილის გავლით ახაზის პერპენდიკულარული (ᲛᲔ); 5. კუთხე სიბრტყეებს შორის (R)და (ქ) ; 6. სწორი ხაზის განტოლება (T),წერტილის გავლით ამისი რადიუსის ვექტორის მიმართულებით; 7. კუთხე სწორ ხაზებს შორის (ᲛᲔ)და (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),დ(6;4;0) 1. სიბრტყის განტოლება (ქ), წერტილების გავლით A, B, Cდა შეამოწმეთ, არის თუ არა წერტილი დსიბრტყეში განისაზღვრება ფორმულით იპოვეთ: 1) . 2) მოედანიპარალელოგრამი, აშენებული onდა. 3) პარალელეპიპედის მოცულობა, აშენებული on ვექტორები, და. კონტროლი Სამუშაოამ თემაზე" ელემენტებიწრფივი სივრცეების თეორია... საკვალიფიკაციო საბაკალავრო საკორესპონდენტო კურსების ტესტების განხორციელების სახელმძღვანელო 080100. 62 მიმართულებით გაიდლაინები პარალელეპიპედი და პირამიდის მოცულობა, აშენებული on ვექტორები, და. ამოხსნა: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. ამოცანები კონტროლი სამუშაოებიგანყოფილება I. ხაზოვანი ალგებრა. 1 – 10. დანა...

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება შეიქმნას შთაბეჭდილება, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში, ზოგადად, ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, თუნდაც ნაკლები ტიპიური ამოცანები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები სადღაც შორს ანათებენ, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის აღნიშვნას ამ გზით, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასო .

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, შემდეგ კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაშინ მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის ) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენებთ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმულას: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

ჩვენ ვიღებთ მეორე მნიშვნელოვან ფორმულას. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი- ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები „დაანიშნეთ“. მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიღეთ", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება დააკავშირეთ იგი "ორიგინალთან". სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადებები ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის სინუსი ანუ 180 გრადუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯვარედინი ნამრავლი თავისთავად ნულოვანი ვექტორის ტოლია, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ნამრავლი და საკუთარი თავი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

ვინაიდან იკითხებოდა სიგრძეზე, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით მოითხოვება მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხში ვექტორული პროდუქტის შესახებ საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის საკმარისი ლიტერალისტია და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ნიმუში - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამ და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში, დამატებით შეიძლებოდა გადაწყვეტილების მიმაგრება, მაგრამ ჩანაწერის შემცირების მიზნით, მე არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ნივთი, როგორც წესი, არ გამოირჩევა თვისებებით, მაგრამ პრაქტიკული თვალსაზრისით ძალიან მნიშვნელოვანია. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით გახსენით ფრჩხილები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ტოლია ნულის (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის საშუალებით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3-ის:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

მოცემული ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, მეორე და მესამე სტრიქონებში ვექტორების კოორდინატებს ვწერთ და ვსვამთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის "ve" კოორდინატები, შემდეგ ვექტორის "double-ve" კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:
ა)
ბ)

გამოსავალი: ტესტი ეფუძნება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დაეყრდნობა განმარტებას, გეომეტრიულ მნიშვნელობას და რამდენიმე სამუშაო ფორმულას.

ვექტორების შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე დგნენ მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები გამოსახულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) კიდევ ერთხელ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.