მატრიცის განმსაზღვრელი

მატრიცის დეტერმინანტის პოვნა ძალიან გავრცელებული პრობლემაა უმაღლეს მათემატიკასა და ალგებრაში. როგორც წესი, განტოლებათა რთული სისტემების ამოხსნისას არ შეიძლება მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობის გარეშე. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კრამერის მეთოდი აგებულია მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშებაზე. დეტერმინანტის განმარტების გამოყენებით განისაზღვრება განტოლებათა სისტემების ამოხსნის არსებობა და უნიკალურობა. მაშასადამე, ძნელია მათემატიკაში მატრიცის განმსაზღვრელი სწორად და ზუსტად პოვნის უნარის მნიშვნელობის გადაჭარბება. დეტერმინანტების ამოხსნის მეთოდები თეორიულად საკმაოდ მარტივია, მაგრამ როგორც მატრიცის ზომა იზრდება, გამოთვლები ძალიან რთული ხდება და დიდ ზრუნვას და დიდ დროს მოითხოვს. ასეთ რთულ მათემატიკურ გამოთვლებში ძალიან ადვილია უმნიშვნელო შეცდომის დაშვება ან შეცდომა, რაც საბოლოო პასუხში შეცდომას გამოიწვევს. ამიტომ, თუნდაც იპოვო მატრიცის განმსაზღვრელიდამოუკიდებლად მნიშვნელოვანია შედეგის შემოწმება. ეს საშუალებას გვაძლევს გავხადოთ ჩვენი სერვისი მატრიცის განმსაზღვრელი მოძიება ონლაინ. ჩვენი სერვისი ყოველთვის იძლევა აბსოლუტურად ზუსტ შედეგს, რომელიც არ შეიცავს შეცდომებს ან ბეჭდურ შეცდომას. თქვენ შეგიძლიათ უარი თქვათ დამოუკიდებელ გამოთვლებზე, რადგან გამოყენებითი თვალსაზრისით, პოვნა მატრიცის განმსაზღვრელიარ აქვს სასწავლო ხასიათი, მაგრამ უბრალოდ მოითხოვს დიდ დროს და ციფრულ გამოთვლებს. ამიტომ, თუ თქვენს ამოცანაში მატრიცის დეტერმინანტის განსაზღვრაარის დამხმარე, გვერდითი გამოთვლები, ისარგებლეთ ჩვენი სერვისით და იპოვნეთ მატრიცის განმსაზღვრელი ონლაინ!

ყველა გამოთვლა ხდება ავტომატურად უმაღლესი სიზუსტით და სრულიად უფასოდ. ჩვენ გვაქვს ძალიან მოსახერხებელი ინტერფეისი მატრიცის ელემენტების შესაყვანად. მაგრამ მთავარი განსხვავება ჩვენს სერვისსა და მსგავსს შორის არის დეტალური გადაწყვეტის მოპოვების შესაძლებლობა. ჩვენი სერვისი ზე მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება ონლაინყოველთვის იყენებს უმარტივეს და უმოკლეს მეთოდს და დეტალურად აღწერს გარდაქმნებისა და გამარტივებების თითოეულ საფეხურს. ასე რომ თქვენ მიიღებთ არა მხოლოდ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობას, საბოლოო შედეგს, არამედ მთლიან დეტალურ ამონახსანს.

დეტერმინანტის ცნება ერთ-ერთი მთავარია წრფივი ალგებრის მსვლელობაში. ეს კონცეფცია თანდაყოლილია ONLY SQUARE MATRIXES-ში და ეს სტატია ეძღვნება ამ კონცეფციას. აქ ვისაუბრებთ მატრიცების დეტერმინანტებზე, რომელთა ელემენტები რეალური (ან რთული) რიცხვებია. ამ შემთხვევაში, განმსაზღვრელი არის რეალური (ან რთული) რიცხვი. ყველა შემდგომი პრეზენტაცია იქნება პასუხი კითხვებზე, თუ როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი და რა თვისებები აქვს მას.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ n-ით n-ის რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელ განმარტებას, როგორც მატრიცის ელემენტების პერმუტაციების ნამრავლების ჯამს. ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვწერთ ფორმულებს პირველი, მეორე და მესამე რიგის მატრიცების განმსაზღვრელთა გამოსათვლელად და დეტალურად ვაანალიზებთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნებს.

შემდეგ მივმართავთ დეტერმინანტის თვისებებს, რომლებსაც მტკიცების გარეშე ჩამოვაყალიბებთ თეორემების სახით. აქ, დეტერმინანტის გამოთვლის მეთოდი მიიღება მწკრივის ან სვეტის ელემენტებზე მისი გაფართოების გზით. ეს მეთოდი ამცირებს n რიგის მატრიცის განმსაზღვრელთა გამოთვლას n-ით მე-3 რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლამდე 3-ით ან ნაკლებით. დარწმუნდით, რომ აჩვენეთ გადაწყვეტილებები რამდენიმე მაგალითისთვის.

დასასრულს, მოდით ვისაუბროთ დეტერმინანტის გაანგარიშებაზე გაუსის მეთოდით. ეს მეთოდი კარგია 3-ზე 3-ზე მეტი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების მოსაძებნად, რადგან ის ნაკლებ გამოთვლით ძალისხმევას მოითხოვს. ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ მაგალითების ამოხსნას.

გვერდის ნავიგაცია.

მატრიცის დეტერმინანტის განმარტება, მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება განმარტებით.

ჩვენ გავიხსენებთ რამდენიმე დამხმარე კონცეფციას.

განმარტება.

ბრძანების პერმუტაცია nეწოდება რიცხვთა მოწესრიგებული სიმრავლე, რომელიც შედგება n ელემენტისგან.

n ელემენტის შემცველი ნაკრებისთვის არის n! (n ფაქტორიალი) n რიგის პერმუტაციების. პერმუტაციები ერთმანეთისგან განსხვავდება მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით.

მაგალითად, განვიხილოთ ნაკრები, რომელიც შედგება სამი რიცხვისგან: . ჩვენ ვწერთ ყველა პერმუტაციას (სულ ექვსია, მას შემდეგ ):

განმარტება.

ინვერსია n რიგის პერმუტაციაშიიწოდება p და q ინდექსების ნებისმიერი წყვილი, რომლისთვისაც პერმუტაციის p-ე ელემენტი მეტია q-th-ზე.

წინა მაგალითში 4 , 9 , 7 პერმუტაციის ინვერსია არის p=2 , q=3 , რადგან პერმუტაციის მეორე ელემენტი არის 9 და მეტია მესამე ელემენტზე, რომელიც არის 7 . 9 , 7 , 4 პერმუტაციის შებრუნებული იქნება სამი წყვილი: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) და p=2, q=3 (7>4).

ჩვენ უფრო მეტად დავინტერესდებით პერმუტაციაში ინვერსიების რაოდენობა, ვიდრე თავად ინვერსია.

მოდით იყოს კვადრატული მატრიცა n-ით n-ის რიგით რეალური (ან რთული) რიცხვების ველზე. მოდით იყოს სიმრავლის n რიგის ყველა პერმუტაციის სიმრავლე. ნაკრები შეიცავს n! პერმუტაციები. სიმრავლის kth პერმუტაცია ავღნიშნოთ როგორც , ხოლო ინვერსიების რაოდენობა kth პერმუტაციაში როგორც .

განმარტება.

მატრიცის განმსაზღვრელიდა არის რიცხვი ტოლი .

მოდით აღვწეროთ ეს ფორმულა სიტყვებით. n-ის რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი არის n-ის შემცველი ჯამი! ვადები. თითოეული ტერმინი არის მატრიცის n ელემენტის ნამრავლი და თითოეული პროდუქტი შეიცავს ელემენტს თითოეული მწკრივიდან და A მატრიცის თითოეული სვეტიდან. კოეფიციენტი (-1) ჩნდება k-ე წევრამდე, თუ ნამრავლში A მატრიცის ელემენტები დალაგებულია მწკრივის ნომრით, ხოლო ინვერსიების რაოდენობა სვეტების რიცხვთა სიმრავლის kth პერმუტაციაში კენტია.

A მატრიცის განმსაზღვრელი ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც , და ასევე გამოიყენება det(A). ისიც გესმის, რომ განმსაზღვრელს დეტერმინანტი ჰქვია.

Ისე, .

ეს აჩვენებს, რომ პირველი რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი არის ამ მატრიცის ელემენტი.

მეორე რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა - ფორმულა და მაგალითი.

ზოგადად 2-ზე 2-ზე.

ამ შემთხვევაში n=2, შესაბამისად n!=2!=2.

.

Ჩვენ გვაქვს

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა 2-დან 2-ზე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, მას აქვს ფორმა .

მაგალითი.

შეკვეთა.

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში. ჩვენ ვიყენებთ მიღებულ ფორმულას :

მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა - ფორმულა და მაგალითი.

ვიპოვოთ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი ზოგადად 3-ზე 3-ზე.

ამ შემთხვევაში n=3 , შესაბამისად n!=3!=6 .

ცხრილის სახით მოვაწყოთ ფორმულის გამოსაყენებლად საჭირო მონაცემები .

Ჩვენ გვაქვს

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმულა 3-დან 3-ის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, მას აქვს ფორმა

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულები 4-ით 4-ით, 5-ით 5-ით და უფრო მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოსათვლელად. ისინი ძალიან მოცულობით გამოიყურებიან.

მაგალითი.

გამოთვალეთ კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 3-ზე 3.

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში

ჩვენ გამოვიყენებთ შედეგად ფორმულას მესამე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად:

ძალიან ხშირად გამოიყენება მეორე და მესამე რიგის კვადრატული მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლის ფორმულები, ამიტომ გირჩევთ დაიმახსოვროთ ისინი.

მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებები, მატრიცული დეტერმინანტის გამოთვლა თვისებების გამოყენებით.

ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, შემდეგი სიმართლეა. მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებები.

A მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია ტრანსპონირებული მატრიცის A T განმსაზღვრელი, ანუ.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ტრანსპონირებული მატრიცის დეტერმინანტს.

გამოსავალი.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა 3-ზე 3-ზე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად:



ჩვენ გადავიტანთ A მატრიცას:


გამოთვალეთ ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი:



მართლაც, ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელს.

თუ კვადრატულ მატრიცაში ერთ-ერთი მწკრივის (ერთ-ერთი სვეტის) ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მაგალითი.

შეამოწმეთ მატრიცის განმსაზღვრელი შეკვეთა 3-ზე 3 არის ნული.

გამოსავალი.




მართლაც, ნულოვანი სვეტის მქონე მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

თუ კვადრატულ მატრიცაში შეცვლით ნებისმიერ ორ მწკრივს (სვეტს), მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი იქნება ორიგინალის საპირისპირო (ანუ, ნიშანი შეიცვლება).

მაგალითი.

მოცემულია 3-დან 3 რიგის ორი კვადრატული მატრიცა და . აჩვენეთ, რომ მათი განმსაზღვრელი საპირისპიროა.

გამოსავალი.

მატრიცა B მიიღება მატრიციდან A-დან მესამე რიგის პირველით, ხოლო პირველის მესამეთ შეცვლით. განხილული თვისების მიხედვით, ასეთი მატრიცების დეტერმინანტები ნიშნით უნდა განსხვავდებოდეს. მოდით შევამოწმოთ ეს დეტერმინანტების გამოთვლით ცნობილი ფორმულის გამოყენებით.



ნამდვილად,.

თუ მინიმუმ ორი მწკრივი (ორი სვეტი) ერთნაირია კვადრატულ მატრიცაში, მაშინ მისი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მაგალითი.

აჩვენეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნულს.

გამოსავალი.

ამ მატრიცაში მეორე და მესამე სვეტები ერთნაირია, ამიტომ, განხილული თვისების მიხედვით, მისი განმსაზღვრელი უნდა იყოს ნულის ტოლი. მოდით შევამოწმოთ.



სინამდვილეში, ორი იდენტური სვეტის მქონე მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული.

თუ კვადრატულ მატრიცაში ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი მრავლდება k რიცხვით, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება საწყისი მატრიცის განმსაზღვრელი, გამრავლებული k-ზე. Მაგალითად,



მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მატრიცის დეტერმინანტს სამჯერ .

გამოსავალი.

B მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტები მიიღება A მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტებიდან 3-ზე გამრავლებით. მაშინ, განხილული ქონების ძალით, უნდა იყოს თანასწორობა. შევამოწმოთ ეს A და B მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლით.



მაშასადამე, , რაც დასამტკიცებელი იყო.

ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ.

არ აურიოთ და არ აურიოთ მატრიცის და დეტერმინანტის ცნებები! მატრიცის დეტერმინანტის განხილული თვისება და მატრიცის რიცხვზე გამრავლების ოპერაცია შორს არის ერთი და იგივესგან.
, მაგრამ .

თუ კვადრატული მატრიცის რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი არის s წევრთა ჯამი (s არის ბუნებრივი რიცხვი ერთზე მეტი), მაშინ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება მატრიცების s დეტერმინანტების ჯამის ტოლი. ორიგინალი, თუ მწკრივის (სვეტის) ელემენტებად ტოვებს თითო ტერმინს. Მაგალითად,


მაგალითი.

დაამტკიცეთ, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მატრიცების განმსაზღვრელთა ჯამს .

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში მაშასადამე, მატრიცის დეტერმინანტის განხილული თვისების გამო, თანასწორობა . ჩვენ ვამოწმებთ მას 2-დან 2-ის რიგის მატრიცების შესაბამისი დეტერმინანტების გამოთვლით ფორმულის გამოყენებით .


მიღებული შედეგებიდან ჩანს, რომ . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

თუ მატრიცის რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს დავუმატებთ სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით k, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ თუ მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტები დაამატეთ ამ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული (-2-ზე) და დაამატეთ მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული თვითნებური რეალური რიცხვით, მაშინ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელი.

გამოსავალი.

თუ დავიწყებთ დეტერმინანტის განხილული თვისებიდან, მაშინ ამოცანაში მითითებული ყველა გარდაქმნის შემდეგ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება A მატრიცის განმსაზღვრელი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორიგინალური მატრიცის A-ს განმსაზღვრელს:



ახლა შევასრულოთ A მატრიცის აუცილებელი გარდაქმნები.

მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტებს დავუმატოთ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტები, წინასწარ გავამრავლოთ ისინი (-2)-ზე. ამის შემდეგ, მატრიცა ასე გამოიყურება:


შედეგად მიღებული მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტებს ვამატებთ პირველი სვეტის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული:


გამოთვალეთ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი და დარწმუნდით, რომ ის უდრის A მატრიცის განმსაზღვრელს, ანუ -24:



კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამი მათი მიხედვით. ალგებრული დამატებები.



აქ არის მატრიცის ელემენტის ალგებრული დანამატი, .

ეს თვისება საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ 3-ზე 3-ზე მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტები, მათი შემცირებით რიგის მატრიცების რამდენიმე განმსაზღვრელთა ჯამამდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის განმეორებადი ფორმულა ნებისმიერი რიგის კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოსათვლელად. ჩვენ გირჩევთ დაიმახსოვროთ ის საკმაოდ ხშირი გამოყენების გამო.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

შეუკვეთეთ 4 4-ით, გააფართოვეთ იგი

• მე -3 რიგის ელემენტებით,
• მე-2 სვეტის ელემენტებით.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მე-3 რიგის ელემენტებით განმსაზღვრელი გაფართოებისთვის



Ჩვენ გვაქვს



ასე რომ, მე-4 რიგის მატრიცის 4-ზე დეტერმინანტის პოვნის პრობლემა შემცირდა მე-3 რიგის მატრიცების სამი დეტერმინანტის გამოთვლამდე:



მიღებული მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივდივართ შედეგამდე:


ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას განმსაზღვრელი მე-2 სვეტის ელემენტებით გაფართოებისთვის


და ჩვენ ვმოქმედებთ იგივე გზით.

ჩვენ დეტალურად არ აღვწერთ მესამე რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლას.



მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 4 4-ზე.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ დაშალოთ მატრიცის განმსაზღვრელი ნებისმიერი სვეტის ან ნებისმიერი მწკრივის ელემენტებად, მაგრამ უფრო მომგებიანია აირჩიოთ სტრიქონი ან სვეტი, რომელიც შეიცავს ნულოვანი ელემენტების უდიდეს რაოდენობას, რადგან ეს დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ ზედმეტი გამოთვლები. მოდით გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებით:



ჩვენ ვიანგარიშებთ 3 რიგის მატრიცების მიღებულ დეტერმინანტებს ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის მიხედვით:



ჩვენ ვცვლით შედეგებს და ვიღებთ სასურველ მნიშვნელობას


მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 5-დან 5-ზე.

გამოსავალი.

მატრიცის მეოთხე რიგს აქვს ნულოვანი ელემენტების უდიდესი რაოდენობა ყველა მწკრივსა და სვეტს შორის, ამიტომ მიზანშეწონილია მატრიცის განმსაზღვრელი ზუსტად გავაფართოვოთ მეოთხე რიგის ელემენტებით, რადგან ამ შემთხვევაში ნაკლები გამოთვლები გვჭირდება.



4-დან 4 რიგის მატრიცების მიღებული დეტერმინანტები ნაპოვნი იქნა წინა მაგალითებში, ამიტომ გამოვიყენებთ მზა შედეგებს:



მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დაახლოებით 7-დან 7-ზე.

გამოსავალი.

დაუყოვნებლივ არ უნდა იჩქაროთ დეტერმინანტის დაშლა ნებისმიერი მწკრივის ან სვეტის ელემენტებით. თუ კარგად დააკვირდებით მატრიცას, შეამჩნევთ, რომ მატრიცის მეექვსე რიგის ელემენტების მიღება შესაძლებელია მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტების ორზე გამრავლებით. ანუ თუ მეექვსე რიგის ელემენტებს დავამატებთ (-2)-ზე გამრავლებულ მეორე რიგის შესაბამის ელემენტებს, მაშინ განმსაზღვრელი არ შეიცვლება მეშვიდე თვისების გამო და შედეგად მიღებული მატრიცის მეექვსე მწკრივი შედგება. ნულები. ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი მეორე თვისებით ნულის ტოლია.

პასუხი:

უნდა აღინიშნოს, რომ განხილული თვისება საშუალებას იძლევა გამოთვალოს ნებისმიერი რიგის მატრიცების განმსაზღვრელი, თუმცა ბევრი გამოთვლითი ოპერაციების შესრულებაა საჭირო. უმეტეს შემთხვევაში, უფრო მომგებიანია მესამეზე მაღალი რიგის მატრიცების პოვნა გაუსის მეთოდით, რომელსაც ქვემოთ განვიხილავთ.

კვადრატული მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებისა და სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამი ნულის ტოლია.


მაგალითი.

აჩვენეთ, რომ მატრიცის მესამე სვეტის ელემენტების ნამრავლების ჯამი პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტების ალგებრულ დანამატებზე ნულის ტოლია.

გამოსავალი.




იგივე რიგის კვადრატული მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია მათი დეტერმინანტების ნამრავლის, ანუ, , სადაც m არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, A k , k=1,2,…,m არის იგივე რიგის კვადრატული მატრიცები.

მაგალითი.

დარწმუნდით, რომ ორი მატრიცის ნამრავლის განმსაზღვრელი და უდრის მათი დეტერმინანტების ნამრავლს.

გამოსავალი.

ჯერ ვიპოვოთ A და B მატრიცების დეტერმინანტების ნამრავლი:


ახლა შევასრულოთ მატრიცის გამრავლება და გამოვთვალოთ მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი:



ამრიგად, , რომელიც უნდა ეჩვენებინა.

მატრიცის დეტერმინანტის გაანგარიშება გაუსის მეთოდით.

მოდით აღვწეროთ ამ მეთოდის არსი. ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მატრიცა A მცირდება ისეთ ფორმამდე, რომ პირველ სვეტში ყველა ელემენტი გარდა ნულოვანი ხდება (ეს ყოველთვის შესაძლებელია, თუ A მატრიცის განმსაზღვრელი არაა). ჩვენ აღვწერთ ამ პროცედურას ცოტა მოგვიანებით, მაგრამ ახლა განვმარტავთ, რატომ კეთდება ეს. ნულოვანი ელემენტები მიიღება პირველი სვეტის ელემენტებზე დეტერმინანტის უმარტივესი გაფართოების მისაღებად. A მატრიცის ასეთი გარდაქმნის შემდეგ, მერვე თვისების და , ვიღებთ

სად - მცირე (n-1)-ე რიგი, მიღებული მატრიციდან A-დან მისი პირველი რიგისა და პირველი სვეტის ელემენტების წაშლით.

იმ მატრიცით, რომელსაც მინორი შეესაბამება, კეთდება იგივე პროცედურა პირველ სვეტში ნულოვანი ელემენტების მისაღებად. და ასე შემდეგ დეტერმინანტის საბოლოო გაანგარიშებამდე.

ახლა რჩება პასუხის გაცემა კითხვაზე: "როგორ მივიღოთ ნულოვანი ელემენტები პირველ სვეტში"?

მოდით აღვწეროთ მოქმედებების ალგორითმი.

თუ , მაშინ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტები ემატება kth მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, რომელშიც . (თუ გამონაკლისის გარეშე A მატრიცის პირველი სვეტის ყველა ელემენტი ნულია, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის ნული მეორე თვისებით და არ არის საჭირო გაუსის მეთოდი). ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ, "ახალი" ელემენტი განსხვავდება ნულიდან. "ახალი" მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი მეშვიდე თვისების გამო.

ახლა ჩვენ გვაქვს მატრიცა, რომელსაც აქვს. როდესაც მეორე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს, მესამე რიგის ელემენტებს, პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული . Და ასე შემდეგ. დასასრულს, n-ე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული. ამრიგად, მიიღება გარდაქმნილი მატრიცა A, რომლის პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, გარდა , იქნება ნული. მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლი იქნება თავდაპირველი მატრიცის განმსაზღვრელი მეშვიდე თვისების გამო.

მაგალითის ამოხსნისას გავაანალიზოთ მეთოდი, ასე უფრო გასაგები იქნება.

მაგალითი.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი 5-დან 5-ზე .

გამოსავალი.

გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი. მოდით გარდავქმნათ A მატრიცა ისე, რომ მისი პირველი სვეტის ყველა ელემენტი, გარდა , გახდეს ნული.

ვინაიდან ელემენტი თავდაპირველად არის , მაშინ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტებს ვამატებთ შესაბამის ელემენტებს, მაგალითად, მეორე რიგს, ვინაიდან:

ნიშანი "~" ნიშნავს ეკვივალენტობას.

ახლა მეორე რიგის ელემენტებს ვამატებთ პირველი რიგის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული , მესამე რიგის ელემენტებზე - პირველი რიგის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული და გააგრძელეთ ანალოგიურად მეექვსე სტრიქონამდე:

ვიღებთ

მატრიცით ჩვენ ვატარებთ იგივე პროცედურას პირველ სვეტში ნულოვანი ელემენტების მისაღებად:

აქედან გამომდინარე,

ახლა ჩვენ ვასრულებთ გარდაქმნებს მატრიცით :

კომენტარი.

გაუსის მეთოდით მატრიცის ტრანსფორმაციის გარკვეულ ეტაპზე შეიძლება წარმოიშვას სიტუაცია, როდესაც მატრიცის ბოლო რამდენიმე მწკრივის ყველა ელემენტი ნული გახდება. აქ საუბარი იქნება დეტერმინანტის ტოლობაზე.

შეაჯამეთ.

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტებიც რიცხვებია, არის რიცხვი. ჩვენ განვიხილეთ სამი გზა დეტერმინანტის გამოსათვლელად:

1. მატრიცის ელემენტების კომბინაციების პროდუქციის ჯამის მეშვეობით;
2. დეტერმინანტის გაფართოების გზით მატრიცის მწკრივის ან სვეტის ელემენტებით;
3. მატრიცის ზედა სამკუთხედამდე შემცირების მეთოდი (გაუსის მეთოდით).

მიღებულ იქნა ფორმულები 2-ზე 2-ზე და 3-ზე 3-ის რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოსათვლელად.

ჩვენ გავაანალიზეთ მატრიცის დეტერმინანტის თვისებები. ზოგიერთი მათგანი საშუალებას გაძლევთ სწრაფად გაიგოთ, რომ განმსაზღვრელი არის ნული.

3-ზე 3-ზე მაღალი რიგის მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლისას მიზანშეწონილია გამოიყენოთ გაუსის მეთოდი: შეასრულეთ მატრიცის ელემენტარული გარდაქმნები და მიიყვანეთ იგი ზედა სამკუთხედამდე. ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ყველა ელემენტის ნამრავლს მთავარ დიაგონალზე.

გავიხსენოთ ლაპლასის თეორემა:
ლაპლასის თეორემა:

მოდით, k რიგები (ან k სვეტები) თვითნებურად იყოს არჩეული n, რიგის d განმსაზღვრელში. მაშინ არჩეულ მწკრივებში და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებში შემავალი ყველა k-ე რიგის მცირეწლოვანთა ნამრავლების ჯამი უდრის d-ს განმსაზღვრელს.

ზოგადი შემთხვევის განმსაზღვრელების გამოსათვლელად k აღებულია 1-ის ტოლი. n რიგის d განმსაზღვრელში თვითნებურად არჩეულია მწკრივი (ან სვეტი). მაშინ არჩეულ მწკრივში (ან სვეტში) და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებში შემავალი ყველა ელემენტის ნამრავლების ჯამი უდრის d-ს.

მაგალითი:
გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

გამოსავალი:

მოდით ავირჩიოთ თვითნებური მწკრივი ან სვეტი. იმ მიზეზის გამო, რომელიც ცოტა მოგვიანებით გახდება ცნობილი, ჩვენ შევზღუდავთ ჩვენს არჩევანს მესამე სტრიქონით ან მეოთხე სვეტით. და გაჩერდით მესამე ხაზზე.

გამოვიყენოთ ლაპლასის თეორემა.

არჩეული მწკრივის პირველი ელემენტია 10, ის არის მესამე რიგში და პირველ სვეტში. გამოვთვალოთ მისი ალგებრული დანამატი, ე.ი. იპოვეთ განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია სვეტისა და მწკრივის წაშლით, რომელზეც დგას ეს ელემენტი (10) და გაარკვიეთ ნიშანი.

"პლუს, თუ ყველა მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი, რომლებშიც მცირე M არის განთავსებული, არის ლუწი, და მინუს, თუ ეს ჯამი კენტია."
ჩვენ ავიღეთ მინორი, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან 10, რომელიც არის მესამე რიგის პირველ სვეტში.

Ისე:


ამ ჯამის მეოთხე წევრია 0, რის გამოც ღირს სტრიქონების ან სვეტების არჩევა ნულოვანი ელემენტების მაქსიმალური რაოდენობით.

პასუხი: -1228

მაგალითი:
გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

გამოსავალი:
ავირჩიოთ პირველი სვეტი, რადგან მასში ორი ელემენტი უდრის 0-ს. გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველ სვეტში.


ჩვენ ვაფართოვებთ მესამე რიგის თითოეულ განმსაზღვრელს პირველი და მეორე რიგის მიხედვით


ჩვენ ვაფართოებთ მეორე რიგის თითოეულ განმსაზღვრელს პირველ სვეტში


პასუხი: 48
კომენტარი:ამ პრობლემის გადაჭრისას არ იყო გამოყენებული მე-2 და მე-3 რიგის განმსაზღვრელთა გამოთვლის ფორმულები. გამოყენებული იყო მხოლოდ გაფართოება მწკრივის ან სვეტის მიხედვით. რაც იწვევს დეტერმინანტების რიგის შემცირებას.

დეტერმინანტების გაანგარიშება ნ- რიგი:

დეტერმინანტის ცნება ნ- ბრძანება

ამ სტატიის გამოყენებით განმსაზღვრელ ფაქტორებზე, თქვენ აუცილებლად ისწავლით როგორ გადაჭრათ შემდეგი პრობლემები:

ამოხსენით განტოლება:

და მრავალი სხვა, რომელთა მოფიქრება მასწავლებლებს ძალიან უყვართ.

მატრიცის დეტერმინანტი ან უბრალოდ განმსაზღვრელი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნაში. ზოგადად, ამ მიზნით გამოიგონეს დეტერმინანტები. ვინაიდან ხშირად ამბობენ აგრეთვე „მატრიცის განმსაზღვრელი“, ჩვენ აქაც მოვიხსენიებთ მატრიცებს. მატრიცაარის მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან, რომელთა შეცვლა შეუძლებელია. კვადრატული მატრიცა არის ცხრილი, რომელსაც აქვს იგივე რაოდენობის რიგები და სვეტები. მხოლოდ კვადრატულ მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს განმსაზღვრელი.

შემდეგი სქემის მიხედვით დეტერმინანტების დაწერის ლოგიკის გაგება მარტივია. ავიღოთ ორი განტოლების სისტემა სკოლიდან თქვენთვის ნაცნობი ორი უცნობით:

განმსაზღვრელში უცნობების კოეფიციენტები თანმიმდევრულად იწერება: პირველ სტრიქონში - პირველი განტოლებიდან, მეორე სტრიქონში - მეორე განტოლებიდან:

მაგალითად, თუ მოცემულია განტოლებათა სისტემა

მაშინ უცნობის კოეფიციენტებიდან წარმოიქმნება შემდეგი განმსაზღვრელი:

ასე რომ, ვთქვათ, გვეძლევა კვადრატული ცხრილი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან ნრიგები (ჰორიზონტალური რიგები) და ში ნსვეტები (ვერტიკალური რიგები). ამ ნომრების დახმარებით, ზოგიერთი წესის მიხედვით, რომელსაც ქვემოთ შევისწავლით, პოულობენ ნომერს, რომელსაც ურეკავენ განმსაზღვრელი ნრიგით და აღინიშნება შემდეგნაირად:

(1)

ნომრები ეძახიან ელემენტებიგანმსაზღვრელი (1) (პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის რაოდენობას, მეორე - სვეტის რიცხვს, რომლის გადაკვეთაზე არის ელემენტი; მე = 1, 2, ..., n; ჯ= 1, 2, ..., n). განმსაზღვრელი რიგი არის მისი რიგებისა და სვეტების რაოდენობა.

წარმოსახვითი სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს დეტერმინანტის ელემენტებს, რომლისთვისაც ორივე მაჩვენებელი ერთნაირია, ე.ი. ელემენტები

დაურეკა მთავარი დიაგონალი, მეორე დიაგონალი არის მხარე.

მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტების გაანგარიშება

მოდით ვნახოთ, როგორ გამოითვლება პირველი სამი რიგის განმსაზღვრელი.

პირველი რიგის განმსაზღვრელი არის თავად ელემენტი ე.ი.

მეორე რიგის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც მიღებულია შემდეგნაირად:

, (2)

ელემენტების ნამრავლი ძირითად და მეორად დიაგონალებზე, შესაბამისად.

ტოლობა (2) გვიჩვენებს, რომ მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი აღებულია მისი ნიშნით, ხოლო მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი აღებულია საპირისპირო ნიშნით. .

მაგალითი 1გამოთვალეთ მეორე რიგის დეტერმინანტები:

გამოსავალი. ფორმულით (2) ვხვდებით:

მესამე რიგის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც მიღებულია ასე:

(3)

ძნელია ამ ფორმულის დამახსოვრება. თუმცა, არსებობს მარტივი წესი, რომელსაც ე.წ სამკუთხედის წესი , რაც აადვილებს გამოხატვის (3) რეპროდუცირებას. განმსაზღვრელი ელემენტების წერტილებით აღნიშვნისას, სწორხაზოვანი სეგმენტებით ვაკავშირებთ მათ, რომლებიც იძლევა განმსაზღვრელი ელემენტების პროდუქტებს (ნახ. 1).

ფორმულა (3) გვიჩვენებს, რომ ძირითადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლები, აგრეთვე ორი სამკუთხედის წვეროებზე მდებარე ელემენტები, რომელთა ფუძეები მის პარალელურადაა, აღებულია მათი ნიშნებით; მოპირდაპირეებთან - მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნაწარმოებები, აგრეთვე ელემენტები, რომლებიც მდებარეობს მის პარალელურად ორი სამკუთხედის წვეროებზე. .

სურ.1-ში წითლად არის გამოკვეთილი მთავარი დიაგონალი და მის შესაბამისი სამკუთხედების ფუძეები და მეორადი დიაგონალი და მის შესაბამისი სამკუთხედების ფუძეები.

დეტერმინანტების გამოთვლისას ძალიან მნიშვნელოვანია, ისევე როგორც საშუალო სკოლაში, გვახსოვდეს, რომ მინუს რიცხვი გამრავლებული მინუს რიცხვზე იძლევა პლუს ნიშანს, ხოლო პლუს ნიშანი გამრავლებული მინუს რიცხვზე იძლევა რიცხვს მინუს ნიშნით.

მაგალითი 2გამოთვალეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი:

გამოსავალი. სამკუთხედების წესის გამოყენებით ვიღებთ

დეტერმინანტების გაანგარიშება ნ- ბრძანება

განმსაზღვრელი მწკრივის ან სვეტის გაფართოება

დეტერმინანტის გამოსათვლელად ნრიგით, აუცილებელია შემდეგი თეორემის ცოდნა და გამოყენება.

ლაპლასის თეორემა.განმსაზღვრელი უდრის რომელიმე მწკრივის ელემენტების ნამრავლებისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ჯამს, ე.ი.

განმარტება. თუ განმსაზღვრელში ნთვითნებურად აირჩიე რიგი გვხაზები და გვსვეტები ( გვ < ნ), შემდეგ ამ რიგებისა და სვეტების გადაკვეთაზე მყოფი ელემენტები ქმნიან შეკვეთის მატრიცას.

ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ეწოდება მცირეწლოვანი ორიგინალური განმსაზღვრელი. მაგალითად, განიხილეთ განმსაზღვრელი:

მოდით ავაშენოთ მატრიცა რიგებიდან და სვეტებიდან ლუწი რიცხვებით:

განმსაზღვრელი

დაურეკა მცირეწლოვანიგანმსაზღვრელი . მიიღო მეორე რიგის არასრულწლოვანი. ნათელია, რომ პირველი, მეორე და მესამე რიგის სხვადასხვა მცირეწლოვანი შეიძლება აშენდეს.

თუ ავიღებთ ელემენტს და გადავკვეთავთ მწკრივს და სვეტს, რომლის გადაკვეთაზეც ის დგას განმსაზღვრელში, მაშინ მივიღებთ მინორს, რომელსაც ელემენტის მინორი ეწოდება, რომელსაც აღვნიშნავთ:

.

თუ მინორი გამრავლებულია -ზე, სადაც 3 + 2 არის მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი, რომელთა გადაკვეთაზეც დგას ელემენტი, მაშინ მიღებული ნამრავლი ე.წ. ალგებრული დამატებაელემენტი და აღინიშნება,

ზოგადად, ელემენტის მინორი აღინიშნა -ით, ხოლო ალგებრული დანამატი - -ით,

(4)

მაგალითად, გამოვთვალოთ ელემენტების ალგებრული დანამატები და მესამე რიგის განმსაზღვრელი:

ფორმულით (4) ვიღებთ

დეტერმინანტის დაშლისას ხშირად გამოიყენება დეტერმინანტის შემდეგი თვისება ნ- რიგი:

თუ სხვა მწკრივის ან სვეტის შესაბამისი ელემენტების ნამრავლი მუდმივი ფაქტორით დაემატება რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს, მაშინ განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

მაგალითი 4

მოდით წინასწარ გამოვაკლოთ მეოთხე რიგის ელემენტები პირველ და მესამე რიგებს, შემდეგ გვექნება

მიღებული დეტერმინანტის მეოთხე სვეტში სამი ელემენტია ნული. აქედან გამომდინარე, უფრო მომგებიანია ამ განმსაზღვრელი მეოთხე სვეტის ელემენტებით გაფართოება, რადგან პირველი სამი პროდუქტი იქნება ნული. Ამიტომაც

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამოსავალი განმსაზღვრელი კალკულატორი ონლაინ .

და შემდეგი მაგალითი გვიჩვენებს, თუ როგორ შეიძლება ნებისმიერი (ამ შემთხვევაში, მეოთხე) რიგის განმსაზღვრელი გამოთვლა მეორე რიგის განმსაზღვრელ გამოთვლამდე.

მაგალითი 5გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

გამოვაკლოთ პირველი რიგის ელემენტები მესამე მწკრივს და დავამატოთ პირველი რიგის ელემენტები მეოთხე რიგის ელემენტებს, შემდეგ გვექნება

პირველ სვეტში ყველა ელემენტი პირველის გარდა არის ნულები. ანუ, განმსაზღვრელი უკვე შეიძლება დაიშალა პირველ სვეტში. მაგრამ ჩვენ ნამდვილად არ გვინდა გამოვთვალოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ გავაკეთებთ მეტ ტრანსფორმაციას: მესამე რიგის ელემენტებს ვამატებთ მეორე რიგის ელემენტებს, გამრავლებული 2-ზე, ხოლო მეოთხე რიგის ელემენტებს ვაკლებთ მეორე რიგის ელემენტებს. შედეგად, განმსაზღვრელი, რომელიც არის ალგებრული დანამატი, თავისთავად შეიძლება გაფართოვდეს პირველ სვეტში და ჩვენ მხოლოდ მეორე რიგის განმსაზღვრელი უნდა გამოვთვალოთ და არ დავბნედეთ ნიშნებში:

განმსაზღვრელი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანა

განმსაზღვრელს, სადაც ერთ-ერთი დიაგონალის ერთ მხარეს მდებარე ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, სამკუთხა ეწოდება. მეორადი დიაგონალის შემთხვევა მცირდება მთავარი დიაგონალის შემთხვევაში რიგების ან სვეტების რიგის შებრუნებით. ასეთი განმსაზღვრელი უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

სამკუთხა ფორმამდე დასაყვანად გამოიყენება დეტერმინანტის იგივე თვისება ნმე-ე რიგი, რომელიც გამოვიყენეთ წინა აბზაცში: თუ რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს მუდმივი კოეფიციენტით დავამატებთ სხვა მწკრივის ან სვეტის შესაბამისი ელემენტების ნამრავლს, მაშინ დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამოსავალი განმსაზღვრელი კალკულატორი ონლაინ .

განმსაზღვრელი თვისებები ნ- ბრძანება

წინა ორ აბზაცში ჩვენ უკვე გამოვიყენეთ დეტერმინანტის ერთ-ერთი თვისება ნ- ბრძანება. ზოგიერთ შემთხვევაში, დეტერმინანტის გაანგარიშების გასამარტივებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დეტერმინანტის სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები. მაგალითად, შეიძლება შემცირდეს განმსაზღვრელი ორი დეტერმინანტის ჯამამდე, რომელთაგან ერთი ან ორივე შეიძლება მოხერხებულად გაფართოვდეს რომელიმე მწკრივის ან სვეტის გასწვრივ. ასეთი გამარტივების უამრავი შემთხვევაა და დეტერმინანტის ამა თუ იმ თვისების გამოყენების საკითხი ინდივიდუალურად უნდა გადაწყდეს.

1. დაშლის თეორემა:

ნებისმიერი განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი რიგის ელემენტების წყვილი ნამრავლების ჯამს და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებს.

ამისთვის მე- th ხაზი:

ან ამისთვის ჯ-ე სვეტი:

მაგალითი 7.1. გამოთვალეთ დეტერმინანტი პირველი რიგის ელემენტებზე გაფართოებით:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

დაშლის თეორემა საშუალებას გვაძლევს შევცვალოთ ერთი დეტერმინანტის გამოთვლა n-რიგის გაანგარიშება ნგანმსაზღვრელი ( n- 1) რიგი.

თუმცა, გამოთვლების გასამარტივებლად, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ „ნულების გამრავლების“ მეთოდი მაღალი რიგის განმსაზღვრელებისთვის, მე-5 განყოფილების მე-6 თვისებაზე დაყრდნობით. მისი იდეაა:

პირველი, "გამრავლება ნულები" ზოგიერთ რიგში, ე.ი. მიიღეთ სერია, რომელშიც მხოლოდ ერთი ელემენტი არ არის ნულის ტოლი, დანარჩენი ნულებია;

შემდეგ გააფართოვეთ განმსაზღვრელი ამ სერიის ელემენტებზე.

მაშასადამე, დაშლის თეორემიდან გამომდინარე, თავდაპირველი განმსაზღვრელი ტოლია არანულოვანი ელემენტისა და მისი ალგებრული დანამატის ნამრავლის.

მაგალითი 7.2. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

.

"გამრავლება ნულები" პირველ სვეტში.

მეორე მწკრივს ვაკლებთ პირველს გამრავლებულს 2-ზე, მესამე მწკრივს ვაკლებთ პირველს გამრავლებულს 3-ზე, მეოთხე მწკრივს ვაკლებთ პირველს გამრავლებულს 4-ზე. ასეთი გარდაქმნებით დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

მე-5 ნაწილის მე-4 თვისების მიხედვით, განმსაზღვრელი ნიშანი შეგვიძლია ამოვიღოთ 1-ლი სვეტიდან, მე-2 სვეტიდან და მე-3 სვეტიდან.

შედეგი:ნულოვანი სერიით განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

2. ჩანაცვლების თეორემა:

ნებისმიერი რიცხვის დაწყვილებული ნამრავლებისა და განმსაზღვრელთა გარკვეული რიგის ალგებრული დანამატების ჯამი უდრის იმ განმსაზღვრელს, რომელიც მიიღება მოცემულიდან, თუ მასში ამ რიგის ელემენტები ჩანაცვლებულია აღებული რიცხვებით.

-ე ხაზისთვის:

1. გაუქმების თეორემა:

ნებისმიერი რიგის ელემენტებისა და პარალელური რიგის ალგებრული დანამატების წყვილი ნამრავლების ჯამი ნულის ტოლია.

მართლაც, ჩანაცვლების თეორემით ვიღებთ განმსაზღვრელს, რომლისთვისაც კ-ე სტრიქონი შეიცავს იგივე ელემენტებს, როგორც ში მე-მე ხაზი

მაგრამ მე-5 ნაწილის მე-3 თვისებით, ასეთი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

ამრიგად, დაშლის თეორემა და მისი თანმხლები შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

8. ზოგადი ინფორმაცია მატრიცების შესახებ. ძირითადი განმარტებები.

განმარტება 8.1 . მატრიცაეწოდება შემდეგი მართკუთხა ცხრილი:

ასევე გამოიყენება შემდეგი მატრიცის აღნიშვნები: , ან ან .

მატრიცის რიგები და სვეტები დასახელებულია რიგები.

მნიშვნელობა ეწოდება ზომამატრიცები.

თუ მატრიცაში ვცვლით რიგებს და სვეტებს, მივიღებთ მატრიცას, რომელსაც ეწოდება გადატანილი. მატრიცა გადატანილი ერთად , ჩვეულებრივ აღინიშნება სიმბოლოთი .

Მაგალითად:

განმარტება 8.2. ორი მატრიცა ადა ბდაურეკა თანაბარი, თუ

1) ორივე მატრიცა ერთი და იგივე ზომისაა, ე.ი. და ;

2) მათი ყველა შესაბამისი ელემენტი ტოლია, ე.ი.

მაშინ . (8.2)

აქ ერთი მატრიცული თანასწორობა (8.2) უდრის სკალარული ტოლობების (8.1).

9. მატრიცების ჯიშები.

1) მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება null მატრიცა:

2) თუ მატრიცა შედგება მხოლოდ ერთი მწკრივისაგან, მაშინ მას ეძახიან მწკრივის მატრიცა,Მაგალითად . ანალოგიურად, მატრიცას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი სვეტი, ეწოდება სვეტის მატრიცა,Მაგალითად .

ტრანსპოზიცია გარდაქმნის სვეტის მატრიცას მწკრივის მატრიცად და პირიქით.

3) თუ მ=ნ, მაშინ მატრიცა ეწოდება n-ე რიგის კვადრატული მატრიცა.

კვადრატული მატრიცის ტერმინების დიაგონალი, რომელიც გადადის ზედა მარცხენა კუთხიდან მის ქვედა მარჯვენა კუთხეში, ე.წ. მთავარი. მისი წევრების სხვა დიაგონალი, რომელიც მიდის ქვედა მარცხენა კუთხიდან მის ზედა მარჯვენა კუთხეში, ე.წ მხარე.

კვადრატული მატრიცისთვის, დეტერმინანტი შეიძლება გამოითვალოს det (A).