ტალღა არის სივრცეში რხევის (ან სხვა სიგნალის) გავრცელების პროცესი.

წარმოიდგინეთ, მაგალითად, რომ თვითმფრინავის ყველა წერტილში YOZზოგიერთი ფიზიკური პარამეტრი დროში იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით

მოდით, ამ აბსტრაქტული პარამეტრის რხევები გავრცელდეს ღერძის გასწვრივ ოქსისისწრაფით ვ(სურ. 13.1.). შემდეგ თვითმფრინავში კოორდინატით xთავდაპირველი რხევები კვლავ განმეორდება, მაგრამ წამის დაგვიანებით:

ბრინჯი. 13.1.

ფუნქციას (13.1) ეწოდება სიბრტყე ტალღის განტოლება. ეს მნიშვნელოვანი ფუნქცია ხშირად იწერება ამ ფორმით

Აქ: ე 0 და w - ტალღაში რხევების ამპლიტუდა და სიხშირე,

(ვ ტ – kx+ - ტალღის ფაზა,

ა - საწყისი ეტაპი,

ტალღის ნომერი,

ვ- ტალღის გავრცელების სიჩქარე.

სივრცის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლებშიც ხდება რხევები იმავე ფაზაში, განსაზღვრავს ფაზის ზედაპირი. ჩვენს მაგალითში ეს არის თვითმფრინავი.

(ვ ტ – kx+ = F = const - ფაზის ზედაპირის მოძრაობის განტოლება ტალღის გავრცელების პროცესში. ავიღოთ ამ განტოლების წარმოებული დროის მიმართ:

w - კ= 0.

აქ = ვφ - ფაზის ზედაპირის სიჩქარე - ფაზის სიჩქარე.

= ვვ = .

ამრიგად, ფაზის სიჩქარე ტოლია ტალღის გავრცელების სიჩქარის.

ფაზის ზედაპირს, რომელიც აშორებს ტალღის პროცესით დაფარულ სივრცეს იმ ნაწილისგან, სადაც ტალღა ჯერ არ მიუღწევია, ეწოდება ტალღის ფრონტი. ტალღის ფრონტი, როგორც ერთ-ერთი ფაზის ზედაპირი, ასევე მოძრაობს ფაზის სიჩქარით. ეს სიჩქარე, მაგალითად, ჰაერში აკუსტიკური ტალღის არის 330 მ/წმ, ხოლო მსუბუქი (ელექტრომაგნიტური) ტალღის ვაკუუმში - 3×10 8 მ/წმ.

ტალღის განტოლება ე = ე 0 × cos(w ტ – kx+ კ) არის ხსნარი დიფერენციალური ტალღის განტოლება. ამ დიფერენციალური განტოლების საპოვნელად, ჩვენ განვასხვავებთ ტალღის განტოლებას (13.2) დროში ორჯერ, შემდეგ კი ორჯერ კოორდინატში:

,

ამ ორი გამოთქმის შედარებისას ჩვენ ვხვდებით, რომ

.

მაგრამ ტალღის ნომერი კ= , ასე რომ

. (13.3)

ეს არის ტალღის პროცესის დიფერენციალური განტოლება - ტალღის განტოლება.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ ტალღის განტოლება(13.2) არის გამოსავალი ტალღის განტოლება (13.3).

ტალღის განტოლება, რა თქმა უნდა, შეიძლება დაიწეროს როგორც

ახლა აშკარაა, რომ ტალღის განტოლებაში მეორე წარმოებულის კოეფიციენტი კოორდინატთან მიმართებაში ტოლია ტალღის ფაზური სიჩქარის კვადრატის.

თუ მოძრაობის ამოცანის ამოხსნისას მივიღებთ ამ ტიპის დიფერენციალურ განტოლებას

ეს ნიშნავს, რომ შესწავლილი მოძრაობა არის საკუთარი დაბერებული რხევები…

თუ ჩვეულებრივი პრობლემის გადაჭრისას წარმოიშვა დიფერენციალური განტოლება

მაშინ ეს ნიშნავს, რომ შესწავლა ტალღის პროცესიდა ამ ტალღის გავრცელების სიჩქარე.

უსაფრთხოების შენიშვნა

ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულებისას

სამუშაოში გამოყენებული ელექტრული საზომი ხელსაწყოების შიგნით არის 220 ვ, 50 ჰც-ის ალტერნატიული ქსელის ძაბვა, რაც სიცოცხლისათვის საშიშია.

ყველაზე სახიფათო ადგილებია დენის ჩამრთველი, საფუარის სოკეტები, მოწყობილობების დენის კაბელი, ძაბვის ქვეშ მყოფი დამაკავშირებელი სადენები.

სტუდენტებს, რომლებმაც გაიარეს ტრენინგი ლაბორატორიული მუშაობის დროს უსაფრთხოების ზომებში, უფლება აქვთ შეასრულონ ლაბორატორიული სამუშაოები საგანმანათლებლო ლაბორატორიაში, ლაბორატორიული მუშაობის დროს უსაფრთხოების ზომების შესახებ ცოდნის შესამოწმებლად ოქმების ჟურნალში სავალდებულო რეგისტრაცია.

ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულებამდე მოსწავლეები
საჭირო:

გაეცანით ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულების მეთოდოლოგიას, მისი უსაფრთხო განხორციელების წესებს;

გაეცანით ექსპერიმენტულ ინსტალაციას; იცოდეთ ამ ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულებისას ინსტრუმენტებისა და აღჭურვილობის მართვის უსაფრთხო მეთოდები და ტექნიკა;

შეამოწმეთ დენის კაბელის ხარისხი; დარწმუნდით, რომ მოწყობილობების ყველა დენის მატარებელი ნაწილი დახურულია და მიუწვდომელია შეხებისთვის;

შეამოწმეთ ტერმინალების შეერთების საიმედოობა ხელსაწყოს კოლოფზე მიწის ავტობუსთან;

გაუმართაობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ შეატყობინეთ მასწავლებელს ან ინჟინერს;

მიიღეთ ნებართვა მასწავლებლისგან მისი განხორციელებისთვის, რაც დაადასტურებს თეორიული მასალის ათვისებას. სტუდენტი, რომელსაც არ მიუღია ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულების ნებართვა, დაუშვებელია.

მოწყობილობების ჩართვას ახორციელებს მასწავლებელი ან ინჟინერი. მხოლოდ მას შემდეგ, რაც ის დარწმუნდება მოწყობილობების ექსპლუატაციაში და მათი შეკრების სისწორეში, შეგიძლიათ გააგრძელოთ ლაბორატორიული სამუშაოები.

ლაბორატორიული სამუშაოს შესრულებისას სტუდენტებმა უნდა:

არ დატოვოთ მოწყობილობები ჩართული უყურადღებოდ;

არ დაეყრდნოთ მათ ახლოს, არ გაიაროთ მათში რაიმე საგნები და არ დაეყრდნოთ მათ;

წონებთან მუშაობისას, საიმედოდ დაამაგრეთ ისინი ღერძებზე დასამაგრებელი ხრახნებით.

მოხსნადი კავშირების ინსტალაციის, შეერთების ან გათიშვის ნებისმიერი ელემენტის შეცვლა უნდა განხორციელდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ელექტრომომარაგება გამორთულია მასწავლებლის ან ინჟინრის მკაფიო მეთვალყურეობის ქვეშ.

შეატყობინეთ მასწავლებელს ან ინჟინერს ლაბორატორიული მუშაობის დროს აღმოჩენილი ხარვეზების შესახებ

სამუშაოს დასასრულს მასწავლებლის ან ინჟინრის მიერ მოწყობილობები და მოწყობილობები გამორთულია ქსელიდან.

ლაბორატორია #5

ჰაერში ხმის სიჩქარის განსაზღვრა მუდმივი ტალღის მეთოდით

სამუშაოს მიზანი:

გაეცნონ ტალღური პროცესების ძირითად მახასიათებლებს;

მდგარი ტალღის ფორმირების პირობებისა და თავისებურებების შესწავლა.

სამუშაო ამოცანები

ჰაერში ხმის სიჩქარის დადგენა მუდმივი ტალღის მეთოდით;

განსაზღვრეთ ჰაერის იზობარული სითბოს სიმძლავრის თანაფარდობა იზოქორიულთან.

ტალღების კონცეფცია.

სხეული, რომელიც ასრულებს მექანიკურ ვიბრაციას, გადასცემს სითბოს გარემოში ხახუნის ან წინააღმდეგობის ძალების გამო, რაც აძლიერებს საშუალო ნაწილაკების შემთხვევით მოძრაობას. თუმცა, ხშირ შემთხვევაში, რხევითი სისტემის ენერგიის გამო, წარმოიქმნება გარემოს მეზობელი ნაწილაკების მოწესრიგებული მოძრაობა - ისინი იწყებენ იძულებითი რხევების შესრულებას თავდაპირველ პოზიციასთან შედარებით ელასტიური ძალების მოქმედებით, რომლებიც ნაწილაკებს ერთმანეთთან აკავშირებს. სივრცის მოცულობა, რომელშიც ხდება ეს რხევები, დროთა განმავლობაში იზრდება. ასეთი გარემოში რხევების გავრცელების პროცესს ეწოდება ტალღური მოძრაობა ან უბრალოდ ტალღური მოძრაობა.
ზოგადად, მასში ტალღების გავრცელებისთვის არ არის აუცილებელი გარემოში დრეკადი თვისებების არსებობა. მაგალითად, ელექტრომაგნიტური და გრავიტაციული ტალღები ასევე ვრცელდება ვაკუუმში. მაშასადამე, ფიზიკაში ტალღებს უწოდებენ მატერიის მდგომარეობის ან სივრცეში გავრცელების ველის ნებისმიერ აშლილობას. არეულობა გაგებულია, როგორც ფიზიკური რაოდენობების გადახრა მათი წონასწორობის მდგომარეობიდან.

მყარ სხეულებში, აშლილობა გაგებულია, როგორც პერიოდულად ცვალებადი დეფორმაცია, რომელიც წარმოიქმნება პერიოდული ძალის მოქმედებით და იწვევს გარემოს ნაწილაკების გადახრას წონასწორობის პოზიციიდან - მათი იძულებითი ვიბრაციები. სხეულებში ტალღის გავრცელების პროცესების განხილვისას, ჩვეულებრივ, უგულებელყოფს ამ სხეულების მოლეკულურ სტრუქტურას და განიხილავს სხეულებს, როგორც სივრცეში განუწყვეტლივ განაწილებულ უწყვეტ გარემოს. საშუალო ნაწილაკი, რომელიც ახორციელებს იძულებით ვიბრაციას, გაგებულია, როგორც საშუალო მოცულობის მცირე ელემენტი, რომლის ზომები ამავე დროს მრავალჯერ აღემატება მოლეკულურ დისტანციებს. დრეკადობის ძალების მოქმედების გამო, დეფორმაცია გავრცელდება გარემოში გარკვეული სიჩქარით, რომელსაც ეწოდება ტალღის სიჩქარე.

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ საშუალების ნაწილაკები მოძრავი ტალღის მიერ არ არის გაჟღენთილი. მათი რხევითი მოძრაობის სიჩქარე განსხვავდება ტალღის სიჩქარისგან. ნაწილაკების ტრაექტორია არის დახურული მრუდი და მათი მთლიანი გადახრა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში არის ნული. ამიტომ ტალღების გავრცელება არ იწვევს მატერიის გადატანას, თუმცა ენერგია რხევების წყაროდან მიმდებარე სივრცეში გადადის.

იმისდა მიხედვით, თუ რა მიმართულებით ხდება ნაწილაკების რხევები, საუბარია გრძივი ან განივი პოლარიზაციის ტალღებზე.

ტალღებს უწოდებენ გრძივი, თუ საშუალო ნაწილაკების გადაადგილება ხდება ტალღის გავრცელების მიმართულებით (მაგალითად, მისი ღერძის გასწვრივ თხელი ღეროს პერიოდული ელასტიური შეკუმშვის ან დაჭიმვის დროს). გრძივი ტალღები ვრცელდება მედიაში, რომელშიც დრეკადი ძალები წარმოიქმნება შეკუმშვის ან დაჭიმვის დროს (ანუ მყარ, თხევად და აირისებრში).

თუ ნაწილაკები ირხევა ტალღის გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარული მიმართულებით, მაშინ ტალღებს განივი ეწოდება. ისინი მრავლდებიან მხოლოდ საშუალებებში, რომლებშიც შესაძლებელია ათვლის დეფორმაცია (მხოლოდ მყარ სხეულებში). გარდა ამისა, ათვლის ტალღები ვრცელდება სითხის თავისუფალ ზედაპირზე (მაგალითად, ტალღები წყლის ზედაპირზე) ან ორ შეურევ სითხეს შორის (მაგალითად, მტკნარი და მარილიანი წყლის საზღვარზე).

აირისებრ გარემოში ტალღები არის უფრო მაღალი და დაბალი წნევისა და სიმკვრივის მონაცვლეობითი რეგიონები. ისინი წარმოიქმნება გაზის ნაწილაკების იძულებითი რხევების შედეგად, რომლებიც წარმოიქმნება სხვადასხვა ფაზებით სხვადასხვა წერტილში. ცვალებადი წნევის გავლენის ქვეშ, ყურის ტიმპანური გარსი ახდენს იძულებით ვიბრაციას, რაც სმენის აპარატის უნიკალური რთული სისტემის მეშვეობით იწვევს ტვინში ბიოდინების გადინებას.

სიბრტყის ტალღის განტოლება. ფაზის სიჩქარე

ტალღის ზედაპირიეწოდება იმავე ფაზაში რხევადი წერტილების ადგილს. უმარტივეს შემთხვევაში მათ აქვთ სიბრტყის ან სფეროს ფორმა და შესაბამის ტალღას სიბრტყე ან სფერული ტალღა ეწოდება. ტალღის ფრონტიარის წერტილების ადგილი, სადაც რხევები აღწევს მოცემულ დროს. ტალღის ფრონტი ჰყოფს სივრცის რეგიონებს, რომლებიც უკვე ჩართულია ტალღის პროცესში და ჯერ არ არის ჩართული. ტალღის ზედაპირის უსასრულო რაოდენობაა და ისინი უმოძრაოა, ხოლო ტალღის ფრონტი ერთია და ის მოძრაობს დროთა განმავლობაში.

განვიხილოთ სიბრტყე ტალღა, რომელიც ვრცელდება x ღერძის გასწვრივ. ნება მიეცით სიბრტყეში მყოფი საშუალო ნაწილაკები x= 0, დაიწყეთ მომენტში ტ=0 რხევა ჰარმონიული კანონის მიხედვით საწყის წონასწორობის პოზიციასთან მიმართებაში. ეს ნიშნავს, რომ ნაწილაკების გადაადგილება მათი საწყისი პოზიციიდან ვდროში ცვლილებები სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით, მაგალითად:

სად ვარის ამ ნაწილაკების გადაადგილება მათი საწყისი წონასწორობის პოზიციიდან დროის მომენტში ტ, ა- მაქსიმალური ოფსეტური მნიშვნელობა (ამპლიტუდა); ω - ციკლური სიხშირე.

გარემოში დემპირების უგულებელყოფით, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას ნაწილაკების რხევისთვის, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში, რომელიც შეესაბამება თვითნებურ მნიშვნელობას x>0). მოდით, ტალღა გავრცელდეს კოორდინატის გაზრდის მიმართულებით X. თვითმფრინავიდან გასასვლელად x=0 მითითებულ სიბრტყემდე, ტალღას დრო სჭირდება

სად ვ- მუდმივი ფაზის ზედაპირის მოძრაობის სიჩქარე (ფაზის სიჩქარე).

მაშასადამე, სიბრტყეში მყოფი ნაწილაკების რხევები X, დაიწყება ამ მომენტში ტ = τ და მოხდება იმავე კანონის მიხედვით, როგორც x=0 სიბრტყეში, მაგრამ დროის შუალედით τ , კერძოდ:

(3)

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნაწილაკების გადაადგილება, რომლებიც იმ მომენტში იყო ტ\u003d 0 x სიბრტყეში, ამ მომენტში ტიგივე იქნება როგორც თვითმფრინავში X=0, მაგრამ უფრო ადრე

t1= (4)

(4) გამოთქმა (3) გარდაიქმნება:

(5)

განტოლება (5) არის სიბრტყის მოძრავი ტალღის განტოლება, რომელიც ვრცელდება ღერძის დადებითი მიმართულებით X. მისგან შეიძლება განისაზღვროს გარემოს ნაწილაკების გადახრა წონასწორობიდან სივრცის ნებისმიერ წერტილში კოორდინატთან. Xდა ნებისმიერ დროს ტამ ტალღის გავრცელების დროს. განტოლება (5) შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც საწყისი სიჩქარე მიენიჭა ნაწილაკებს საწყის მომენტში. თუ საწყის მომენტში ნაწილაკებს ეცნობებათ წონასწორობის პოზიციიდან გადახრის შესახებ სიჩქარის შეტყობინების გარეშე, სინუსის ნაცვლად (5) უნდა ჩაიწეროს კოსინუსი. კოსინუსის ან სინუსის არგუმენტს რხევის ფაზა ეწოდება. ფაზა განსაზღვრავს რხევითი პროცესის მდგომარეობას დროის მოცემულ მომენტში (ნაწილაკების შედარებითი გადახრის ნიშანი და მათი წონასწორული პოზიციიდან აბსოლუტური მნიშვნელობა). (5)-დან ჩანს, რომ სიბრტყეში მდებარე ნაწილაკების რხევების ფაზა X, სიბრტყეში მდებარე ნაწილაკების შესაბამის მნიშვნელობაზე ნაკლები X=0, მნიშვნელობით ტოლი .

თუ სიბრტყე ტალღა ვრცელდება კლების მიმართულებით X(მარცხნივ), შემდეგ განტოლება (5) გარდაიქმნება ფორმაში:

(6)

Იმის გათვალისწინებით, რომ

ჩვენ ვწერთ (6) ფორმაში:

(8)

სად თ- რხევის პერიოდი, ν - სიხშირე.

მანძილი λ, რომელზეც ტალღა ვრცელდება პერიოდში თ, ეწოდება ტალღის სიგრძე.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ტალღის სიგრძე და მანძილი ორ უახლოეს წერტილს შორის, რომელთა რხევის ფაზები განსხვავდება 2π-ით (ნახ. 1).

როგორც ზემოთ აღინიშნა, აირებში ელასტიური ტალღები არის უფრო მაღალი და დაბალი წნევის და სიმკვრივის მონაცვლეობითი რეგიონები. ეს ილუსტრირებულია სურათზე 1, რომელიც გვიჩვენებს დროის გარკვეულ მომენტში ნაწილაკების გადაადგილებას (a), მათ სიჩქარეს (b), წნევას ან სიმკვრივეს (c) სივრცის სხვადასხვა წერტილში. საშუალო ნაწილაკები მოძრაობენ სიჩქარით (არ უნდა აგვერიოს ფაზის სიჩქარეში ვ). წერტილების მარცხნივ და მარჯვნივ A 1, A 3, A5და სხვა ნაწილაკების სიჩქარე მიმართულია ამ წერტილებისკენ. ამიტომ, ამ წერტილებში ყალიბდება სიმკვრივის (წნევის) მაქსიმუმები. წერტილებიდან მარჯვნივ და მარცხნივ A2, A4, A6და სხვა ნაწილაკების სიჩქარეები მიმართულია ამ წერტილებიდან და მათში წარმოიქმნება სიმკვრივის (წნევის) მინიმუმები.

საშუალო ნაწილაკების გადაადგილება მასში მოძრავი ტალღის გავრცელების დროს დროის სხვადასხვა მომენტში ნაჩვენებია ნახ. 2. როგორც ჩანს, სითხის ზედაპირზე ტალღების ანალოგია. წონასწორობის პოზიციიდან გადახრების მაქსიმუმი და მინიმალური მოძრაობს სივრცეში დროთა განმავლობაში ფაზის სიჩქარით. ვ. სიმკვრივის (წნევის) მაქსიმალური და მინიმალური სიჩქარით მოძრაობს.

ტალღის ფაზის სიჩქარე დამოკიდებულია გარემოს ელასტიურ თვისებებზე და სიმკვრივეზე. დავუშვათ, რომ არსებობს გრძელი ელასტიური ღერო (ნახ. 3), რომლის კვეთის ფართობი ტოლია. ს, რომელშიც გრძივი აურზაური ვრცელდება ღერძის გასწვრივ Xბრტყელი ტალღის ფრონტით მოდით დროის ინტერვალით დან t0ადრე t0+Δtწინ გადავა წერტილიდან ააზრამდე INმანძილზე AB = v Δt, სად ვარის დრეკადი ტალღის ფაზის სიჩქარე. ინტერვალის ხანგრძლივობა Δtჩვენ ვიღებთ მას იმდენად მცირე, რომ ნაწილაკების სიჩქარე მთელ მოცულობაში (ანუ ღერძზე პერპენდიკულარულად გამავალ მონაკვეთებს შორის Xქულების მეშვეობით ადა IN) იქნება იგივე და თანაბარი u. ნაწილაკები წერტილიდან აგადაადგილეთ მანძილი მოცემულ დროის ინტერვალში u Δt. ნაწილაკები, რომლებიც მდებარეობს წერტილში IN, მომენტში t0+Δtუბრალოდ დაიწყეთ მოძრაობა და მათი გადაადგილება დროის ამ მომენტისთვის ნულის ტოლი იქნება. მოდით საწყისი სიგრძე მონაკვეთზე ABუდრის ლ. იმ მომენტამდე t0+Δtის შეიცვლება u Δt, რაც იქნება დეფორმაციის მნიშვნელობა Δl. წვერის მონაკვეთის მასა წერტილებს შორის ადა INუდრის ∆მ =ρSvΔt.ამ მასის იმპულსის ცვლილება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში t0ადრე t0+Δtუდრის

Δρ = ρSvuΔt(10).

მასაზე მოქმედი ძალა ∆მ, შეიძლება განისაზღვროს ჰუკის კანონით:

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით ანუ. გათანაბრება

ბოლო გამონათქვამისა და გამონათქვამის (10) მარჯვენა მხარეს ვიღებთ:

საიდანაც შემდეგია:

ათვლის ტალღის სიჩქარე

სად გ- ათვლის მოდული.

ჰაერში ხმის ტალღები გრძივია. სითხეებისა და აირების შემთხვევაში, იანგის მოდულის ნაცვლად, ფორმულა (1) მოიცავს წნევის გადახრის თანაფარდობას ΔΡ შედარებით მოცულობის ცვლილებამდე

(13)

მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ წნევის მატება (საშუალების შეკუმშვის პროცესი) შეესაბამება მოცულობის შემცირებას და პირიქით. თუ დავუშვებთ მოცულობისა და წნევის ცვლილებას უსასრულოდ მცირედ, შეგვიძლია დავწეროთ

(14)

აირებში ტალღების გავრცელებისას წნევა და სიმკვრივე პერიოდულად იზრდება და კლებულობს (შესაბამისად, შეკუმშვისა და იშვიათობის დროს), რის შედეგადაც იცვლება გარემოს სხვადასხვა ნაწილის ტემპერატურა. შეკუმშვა და იშვიათობა ხდება ისე სწრაფად, რომ მიმდებარე მონაკვეთებს ენერგიის გაცვლის დრო არ აქვთ. პროცესებს, რომლებიც ხდება სისტემაში გარემოსთან სითბოს გაცვლის გარეშე, ეწოდება ადიაბატური. ადიაბატურ პროცესში აირის მდგომარეობის ცვლილება აღწერილია პუასონის განტოლებით

(15)

პარამეტრს γ ეწოდება ადიაბატური მაჩვენებლები. ის უდრის გაზის მოლური სითბოს სიმძლავრის თანაფარდობას მუდმივი წნევის C p და მუდმივი მოცულობის Cv-ზე:

ტოლობის ორივე მხარის დიფერენციალიდან (15), მივიღებთ

,

საიდანაც შემდეგია:

ჩანაცვლებით (6) (4)-ით, ვიღებთ გაზის ელასტიურობის მოდულს

(7) (1) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ ელასტიური ტალღების სიჩქარეს გაზებში:

მენდელეევ-კლაპეირონის განტოლებიდან შეუძლია გამოხატოს გაზის სიმკვრივე

, (19)

სად - მოლური მასა.

(9) (8)-ით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ საბოლოო ფორმულას გაზში ბგერის სიჩქარის საპოვნელად:

სად რარის უნივერსალური გაზის მუდმივი, თ- გაზის ტემპერატურა.

ხმის სიჩქარის გაზომვა ერთ-ერთი ყველაზე ზუსტი მეთოდია ადიაბატური მაჩვენებლის დასადგენად.

ფორმულის (10) გარდაქმნის შემდეგ მივიღებთ:

ამრიგად, ადიაბატური მაჩვენებლის დასადგენად, საკმარისია გაზომოთ გაზის ტემპერატურა და ხმის გავრცელების სიჩქარე.

შემდეგში უფრო მოსახერხებელია კოსინუსის გამოყენება ტალღის განტოლებაში. (19 და 20) გათვალისწინებით, მოგზაური ტალღის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

(22)

სად არის ტალღის რიცხვი, რომელიც აჩვენებს რამდენი ტალღის სიგრძე ჯდება 2π მეტრის ტოლ მანძილზე.

მოძრავი ტალღისთვის, რომელიც ვრცელდება x-ღერძის დადებითი მიმართულებით, მივიღებთ:

(23)

განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ჰარმონიული ტალღები (იხილეთ, მაგალითად, განტოლებები (5, 6, 22, 23)). ეს გამოწვეულია იმით, რომ ნებისმიერი გამავრცელებელი რხევა, როგორიც არ უნდა იყოს მისი ფორმა, ყოველთვის შეიძლება ჩაითვალოს ჰარმონიული ტალღების სუპერპოზიციის (დამატების) შედეგად, შესაბამისად შერჩეული სიხშირეებით, ამპლიტუდებითა და ფაზებით.

მდგარი ტალღები.

განსაკუთრებით საინტერესოა ორი ტალღის ერთნაირი ამპლიტუდისა და სიხშირის ერთმანეთის მიმართ გავრცელების ჩარევის შედეგი. ექსპერიმენტულად, ეს შეიძლება გაკეთდეს, თუ კარგად ამრეკლავი ბარიერი განთავსდება გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარულად მიმავალი ტალღის გზაზე. ინციდენტისა და არეკლილი ტალღების დამატების (ჩარევის) შედეგად წარმოიქმნება ე.წ.

მოდით, ინციდენტის ტალღა აღიწეროს განტოლებით (22), ხოლო ასახული ტალღა, განტოლებით (23). სუპერპოზიციის პრინციპის მიხედვით, მთლიანი გადაადგილება უდრის ორივე ტალღის მიერ შექმნილი გადაადგილების ჯამს. გამოთქმების (22) და (23) დამატება იძლევა

ეს განტოლება, რომელსაც ეწოდება მუდმივი ტალღის განტოლება, შეიძლება მოხერხებულად გაანალიზდეს შემდეგი ფორმით:

, (25)

სად არის მულტიპლიკატორი

(26)

არის მდგარი ტალღის ამპლიტუდა. როგორც გამოსახულებიდან ჩანს (26), მდგარი ტალღის ამპლიტუდა დამოკიდებულია წერტილის კოორდინატზე, მაგრამ არ არის დამოკიდებული დროზე. მოგზაურობის სიბრტყის ტალღისთვის ამპლიტუდა არ არის დამოკიდებული არც კოორდინატზე და არც დროზე (შემცირების არარსებობის შემთხვევაში).

(27) და (28)-დან გამომდინარეობს, რომ მანძილი მეზობელ კვანძებს შორის, ისევე როგორც მეზობელ ანტიკვანძებს შორის, უდრის , ხოლო მეზობელ კვანძებსა და ანტიკვანძებს შორის მანძილი უდრის .

განტოლებიდან (25) გამომდინარეობს, რომ გარემოს ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს ორ მეზობელ კვანძს შორის, ერთსა და იმავე ფაზაში ირხევა და ფაზის მნიშვნელობა განისაზღვრება მხოლოდ დროით. კერძოდ, ისინი ერთდროულად აღწევენ მაქსიმალურ გადახრას. მიმავალი ტალღისთვის, როგორც (16)-დან ჩანს, ფაზა განისაზღვრება როგორც დროით, ასევე სივრცითი კოორდინატებით. ეს არის კიდევ ერთი განსხვავება მდგარ და მოგზაურ ტალღებს შორის. კვანძში გავლისას მდგარი ტალღის ფაზა მკვეთრად იცვლება 180 o-ით.

წონასწორული პოზიციიდან გადაადგილება დროის სხვადასხვა მომენტში მდგარ ტალღაში ნაჩვენებია ნახ. 4. მომენტი, როდესაც გარემოს ნაწილაკები მაქსიმალურად არიან გადახრილი საწყისი წონასწორობის პოზიციიდან, აღებულია დროის საწყის მომენტად (მრუდი 1).

და , წარმოდგენილი მრუდებით 6, 7, 8 და 9, ემთხვევა გადახრებს პირველი ნახევარციკლის შესაბამის მომენტებში (ანუ, მრუდი 6 ემთხვევა მრუდ 4-ს და ა.შ.). როგორც ჩანს, იმ მომენტიდან, როდესაც ნაწილაკების გადაადგილება კვლავ იცვლის ნიშანს.

როდესაც ტალღები აისახება ორი მედიის საზღვარზე, ჩნდება ან კვანძი ან ანტინოდი (დამოკიდებულია მედიის ე.წ. აკუსტიკური წინაღობაზე). საშუალების აკუსტიკური წინააღმდეგობა ეწოდება მნიშვნელობას, სადაც. არის საშუალო სიმკვრივე, არის ელასტიური ტალღების სიჩქარე გარემოში. თუ გარემოს, საიდანაც ტალღა აირეკლება, აქვს უფრო მაღალი აკუსტიკური წინააღმდეგობა, ვიდრე ის, რომელშიც ეს ტალღა აღგზნებულია, მაშინ კვანძი იქმნება ინტერფეისზე (ნახ. 5). ამ შემთხვევაში, ტალღის ფაზა არეკვლისას იცვლება საპირისპიროდ (180°-ით). როდესაც ტალღა აირეკლება დაბალი აკუსტიკური წინააღმდეგობის მქონე გარემოდან, რხევის ფაზა არ იცვლება.

მოგზაური ტალღისგან განსხვავებით, რომელიც ენერგიას ატარებს, მდგარ ტალღაში ენერგიის გადაცემა არ ხდება. მოძრავ ტალღას შეუძლია გადაადგილება მარჯვნივ ან მარცხნივ, მაგრამ მდგარ ტალღას არ აქვს გავრცელების მიმართულება. ტერმინი „მდგარი ტალღა“ უნდა გავიგოთ, როგორც გარემოს სპეციალური რხევითი მდგომარეობა, რომელიც წარმოიქმნება ჩარევის ტალღებით.

იმ მომენტში, როდესაც საშუალო ნაწილაკები გადიან წონასწორობის პოზიციას, რხევით დაჭერილი ნაწილაკების ჯამური ენერგია კინეტიკურის ტოლია. ის კონცენტრირებულია ანტინოდების სიახლოვეს. პირიქით, იმ მომენტში, როდესაც ნაწილაკების გადახრა წონასწორული პოზიციიდან მაქსიმალურია, მათი მთლიანი ენერგია უკვე პოტენციურია. ის კონცენტრირებულია კვანძებთან ახლოს. ამრიგად, პერიოდის განმავლობაში ორჯერ ხდება ენერგიის გადასვლა ანტინოდებიდან მეზობელ კვანძებზე და პირიქით. შედეგად, დროის საშუალო ენერგიის ნაკადი მუდმივი ტალღის ნებისმიერ მონაკვეთში ნულის ტოლია.

როგორც ხელნაწერი

ფიზიკა

Ლექციის ჩანაწერები

(ნაწილი 5. ტალღები, ტალღური ოპტიკა)

230400 მიმართულების სტუდენტებისთვის

"საინფორმაციო სისტემები და ტექნოლოგიები"

ელექტრონული საგანმანათლებლო რესურსი

შემდგენელი: ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატი, ასოცირებული პროფესორი ვ.ვ. კონოვალენკო

04.09.2013წ. No1 ოქმი

ტალღური პროცესები

ძირითადი ცნებები და განმარტებები

განვიხილოთ ზოგიერთი ელასტიური საშუალება - მყარი, თხევადი ან აირისებრი. თუ მისი ნაწილაკების ვიბრაციები აღგზნებულია ამ საშუალების ნებისმიერ ადგილას, მაშინ ნაწილაკებს შორის ურთიერთქმედების გამო, ვიბრაცია, რომელიც გადაეცემა საშუალო ნაწილაკიდან მეორეზე, გავრცელდება გარემოში გარკვეული სიჩქარით. პროცესი ვიბრაციის გავრცელება სივრცეში ეწოდება ტალღა .

თუ გარემოში ნაწილაკები რხევა ტალღის გავრცელების მიმართულებით, მაშინ მას ე.წ გრძივი. თუ ნაწილაკების რხევა ხდება ტალღის გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარულ სიბრტყეში, მაშინ ტალღა ე.წ. განივი . განივი მექანიკური ტალღები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ გარემოში, რომელსაც აქვს არანულოვანი ათვლის მოდული. ამიტომ, თხევად და აირისებრ გარემოში, მხოლოდ გრძივი ტალღები . გრძივი და განივი ტალღების განსხვავება ყველაზე ნათლად ჩანს ზამბარში რხევების გავრცელების მაგალითზე - იხ. ნახაზი.

განივი რხევების დასახასიათებლად აუცილებელია პოზიციის დაყენება სივრცეში სიბრტყე, რომელიც გადის რხევის მიმართულებით და ტალღის გავრცელების მიმართულებით - პოლარიზაციის სიბრტყეები .

სივრცის რეგიონს, რომელშიც რხევა გარემოს ყველა ნაწილაკი, ეწოდება ტალღის ველი . ტალღის ველსა და დანარჩენ გარემოს შორის საზღვარი ეწოდება ტალღის ფრონტი . Სხვა სიტყვებით, ტალღის ფრონტი - წერტილების ადგილი, რომლებზეც რხევებმა მიაღწიეს დროის მოცემულ წერტილს. ერთგვაროვან და იზოტროპულ გარემოში, ტალღის გავრცელების მიმართულება პერპენდიკულარულიტალღის წინ.

სანამ გარემოში ტალღაა, საშუალო ნაწილაკები ირხევიან თავიანთი წონასწორული პოზიციების გარშემო. დაე ეს რხევები იყოს ჰარმონიული და ამ რხევების პერიოდი ტოლია თ. ნაწილაკები ერთმანეთისგან დაშორებული მანძილით

ტალღის გავრცელების მიმართულებით, იგივენაირად რხევა, ე.ი. დროის ნებისმიერ მომენტში მათი გადაადგილება იგივეა. მანძილი ე.წ ტალღის სიგრძე . Სხვა სიტყვებით, ტალღის სიგრძე არის მანძილი, რომელიც ტალღამ გაიარა რხევის ერთ პერიოდში .

წერტილების ლოკუსი, რომელიც რხევა ერთ ფაზაში ეწოდება ტალღის ზედაპირი . ტალღის ფრონტი ტალღის ზედაპირის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ტალღის სიგრძე - მინიმალურიმანძილი ორ ტალღის ზედაპირს შორის, რომლებშიც წერტილები ერთნაირად ირხევა, ან შეიძლება ასე ვთქვათ მათი რხევების ფაზები განსხვავდება .

თუ ტალღის ზედაპირები სიბრტყეებია, მაშინ ტალღა ეწოდება ბინა და თუ სფეროების მიხედვით, მაშინ სფერული. სიბრტყე ტალღა აღგზნებულია უწყვეტ ერთგვაროვან და იზოტროპულ გარემოში უსასრულო სიბრტყის რხევების დროს. სფერული ზედაპირის აგზნება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სფერული ზედაპირის რადიალური პულსაციის შედეგად, ასევე მოქმედების შედეგად. წერტილის წყარო,რომლის ზომები დაკვირვების წერტილამდე მანძილთან შედარებით შეიძლება უგულებელყო. ვინაიდან ნებისმიერ რეალურ წყაროს აქვს სასრული ზომები, მისგან საკმარისად დიდ მანძილზე, ტალღა ახლოს იქნება სფერულთან. ამავდროულად, სფერული ტალღის ტალღის ზედაპირის მონაკვეთი, როგორც მისი ზომა მცირდება, თვითნებურად უახლოვდება თვითმფრინავის ტალღის ზედაპირის მონაკვეთს.

სიბრტყე ტალღის გავრცელების განტოლება

ნებისმიერი მიმართულებით

მივიღებთ. მოდით, რხევებს ტალღის ზედაპირის პარალელურად და კოორდინატების საწყისში გავლის სიბრტყეში ჰქონდეს ფორმა:

საწყისს მანძილით გამოყოფილ თვითმფრინავში ლ, რხევები დროში ჩამორჩება . ამრიგად, ამ სიბრტყეში რხევების განტოლებას აქვს ფორმა:

ანალიტიკური გეომეტრიიდან ცნობილია, რომ მანძილი კოორდინატების წარმოშობიდან გარკვეულ სიბრტყემდე ტოლია სიბრტყის გარკვეული წერტილის რადიუსის ვექტორის სკალარული ნამრავლისა და სიბრტყეზე ნორმალურის ერთეული ვექტორის: . ფიგურა ასახავს ამ სიტუაციას ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის. შეცვალეთ მნიშვნელობა ლგანტოლებაში (22.13):

(22.14)

ვექტორი, რომელიც ტოლია ტალღის რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობით და მიმართულია ნორმალური ტალღის ზედაპირის გასწვრივ, ეწოდება ტალღის ვექტორი . თვითმფრინავის ტალღის განტოლება ახლა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ფუნქცია (22.15) იძლევა გადახრას რადიუსის ვექტორის მქონე წერტილის წონასწორობის პოზიციიდან დროის მომენტში ტ. კოორდინატებზე და დროზე დამოკიდებულების მკაფიოდ წარმოჩენის მიზნით, აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ

. (22.16)

ახლა თვითმფრინავის ტალღის განტოლება იღებს ფორმას:

ხშირად სასარგებლო წარმოადგენენ ტალღის განტოლებას ექსპონენციალური ფორმით . ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ეილერის ფორმულას:

სადაც ჩვენ ვწერთ განტოლებას (22.15) სახით:

. (22.19)

ტალღის განტოლება

ნებისმიერი ტალღის განტოლება არის გამოსავალი მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებისა, რომელსაც ე.წ ტალღა . ამ განტოლების ფორმის დასადგენად, სიბრტყე ტალღის განტოლების (22.17) თითოეული არგუმენტის მიმართ ვპოულობთ მეორე წარმოებულებს:

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

ჩვენ ვამატებთ პირველ სამ განტოლებას წარმოებულებით კოორდინატებთან მიმართებაში:

. (22.24)

გამოვხატავთ განტოლებიდან (22.23): და გაითვალისწინეთ, რომ:

(22.25)

ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე წარმოებულების ჯამს (22.25)-ის მარცხენა მხარეს, როგორც ლაპლასის ოპერატორის მოქმედების შედეგად, ხოლო საბოლოო სახით წარმოვადგენთ ტალღის განტოლება როგორც:

(22.26)

აღსანიშნავია, რომ ტალღის განტოლებაში, დროის საპასუხო წარმოებულის კვადრატული ფესვი იძლევა ტალღის გავრცელების სიჩქარეს.

შეიძლება აჩვენოს, რომ ტალღის განტოლება (22.26) დაკმაყოფილებულია ფორმის ნებისმიერი ფუნქციით:

და თითოეული მათგანი არისტალღის განტოლება და აღწერს ზოგიერთ ტალღას.

ელასტიური ტალღის ენერგია

განვიხილოთ გარემოში, რომელშიც ელასტიური ტალღა (22.10) ვრცელდება, ელემენტარული მოცულობა საკმარისად მცირეა, რომ დეფორმაცია და მასში ნაწილაკების სიჩქარე შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივი და თანაბარი:

საშუალოში ტალღის გავრცელების გამო, მოცულობას აქვს ელასტიური დეფორმაციის ენერგია

(22.38)

(22.35) შესაბამისად, იანგის მოდული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . Ამიტომაც:

. (22.39)

განხილულ მოცულობას ასევე აქვს კინეტიკური ენერგია:

. (22.40)

მთლიანი მოცულობის ენერგია:

და ენერგიის სიმკვრივე:

, ა (22.43)

ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამები (22.42) და გაითვალისწინეთ, რომ:

ამრიგად, ენერგიის სიმკვრივე განსხვავებულია სივრცის სხვადასხვა წერტილში და იცვლება დროის მიხედვით კვადრატული სინუს კანონის მიხედვით.

სინუსის კვადრატის საშუალო მნიშვნელობა არის 1/2, რაც ნიშნავს საშუალო დროში, ენერგიის სიმკვრივის მნიშვნელობა გარემოს თითოეულ წერტილში , რომელშიც ტალღა ვრცელდება:

. (22.45)

გამოთქმა (22.45) მოქმედებს ყველა ტიპის ტალღისთვის.

Ისე, გარემოს, რომელშიც ტალღა ვრცელდება, აქვს ენერგიის დამატებითი მარაგი. აქედან გამომდინარე, ტალღა ატარებს ენერგიას .

X.6 დიპოლური გამოსხივება

რხევადი ელექტრო დიპოლი, ე.ი. დიპოლი, რომლის ელექტრული მომენტი პერიოდულად იცვლება, მაგალითად, ჰარმონიული კანონის მიხედვით, არის უმარტივესი სისტემა, რომელიც გამოყოფს ელექტრომაგნიტურ ტალღებს. რხევადი დიპოლის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მაგალითია სისტემა, რომელიც შედგება უარყოფითი მუხტისაგან, რომელიც ირხევა დადებითი მუხტის გარშემო. სწორედ ეს სიტუაცია რეალიზდება, როდესაც ელექტრომაგნიტური ტალღა მოქმედებს ნივთიერების ატომზე, როდესაც ტალღის ველის მოქმედებით ელექტრონები ირხევა ატომის ბირთვის სიახლოვეს.

დავუშვათ, რომ დიპოლური მომენტი იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით:

სად არის უარყოფითი მუხტის რადიუსის ვექტორი, ლ- რხევის ამპლიტუდა, - დიპოლური ღერძის გასწვრივ მიმართული ერთეული ვექტორი.

ჩვენ შემოვიფარგლებით განხილვით ელემენტარული დიპოლი , რომლის ზომები მცირეა გამოსხივებულ ტალღის სიგრძესთან შედარებითდა განიხილეთ ტალღის ზონა დიპოლი, ე.ი. სივრცის რეგიონი, რომლისთვისაც წერტილის რადიუსის ვექტორის მოდული არის . ერთგვაროვანი და იზოტროპული გარემოს ტალღის ზონაში ტალღის ფრონტი სფერული იქნება - ნახაზი 22.4.

ელექტროდინამიკური გამოთვლა აჩვენებს, რომ ტალღის ვექტორი დევს სიბრტყეში, რომელიც გადის დიპოლის ღერძსა და განხილული წერტილის რადიუსის ვექტორზე. ამპლიტუდები და დამოკიდებულია მანძილზე რდა კუთხე და დიპოლური ღერძი. ვაკუუმში

მას შემდეგ, რაც Poynting ვექტორი, მაშინ

, (22.33)

და შეიძლება ითქვას, რომ დიპოლი ყველაზე მეტად ასხივებს , და რადიაციული ნიმუში დიპოლს აქვს 22.5-ზე ნაჩვენები ფორმა. რადიაციული ნიმუში ეწოდება გამოსხივების ინტენსივობის განაწილების გრაფიკულ გამოსახულებას სხვადასხვა მიმართულებით მრუდის სახით აგებული ისე, რომ დიპოლიდან გარკვეული მიმართულებით გამოყვანილი სხივის სეგმენტის სიგრძე მრუდის წერტილამდე პროპორციულია გამოსხივების ინტენსივობისა.

გამოთვლებიც ამას აჩვენებს ძალა რ დიპოლური გამოსხივება პროპორციულია დიპოლური მომენტის მეორე დროის წარმოებულის კვადრატისა :

Იმიტომ რომ

, (22.35)

რომ საშუალო სიმძლავრე

აღმოჩნდა დიპოლური მომენტის ამპლიტუდის კვადრატის პროპორციული და მეოთხე სიმძლავრის სიხშირე.

მეორე მხრივ, იმის გათვალისწინებით, რომ და , ჩვენ ამას მივიღებთ რადიაციის სიმძლავრე აჩქარების კვადრატის პროპორციულია:

ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მუხტის რხევებისთვის, არამედ თვითნებური მუხტის მოძრაობისთვისაც.

ტალღის ოპტიკა

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ ისეთ სინათლის ფენომენებს, რომლებშიც ვლინდება სინათლის ტალღური ბუნება. შეგახსენებთ, რომ სინათლეს ახასიათებს კორპუსკულარულ-ტალღური დუალიზმი და არის ფენომენები, რომელთა ახსნა შესაძლებელია მხოლოდ სინათლის, როგორც ნაწილაკების ნაკადის კონცეფციის საფუძველზე. მაგრამ ჩვენ განვიხილავთ ამ ფენომენებს კვანტურ ოპტიკაში.

ზოგადი ინფორმაცია სინათლის შესახებ

ასე რომ, ჩვენ ვფიქრობთ სინათლეზე, როგორც ელექტრომაგნიტურ ტალღაზე. ელექტრომაგნიტურ ტალღაში და რხევა. ექსპერიმენტულად დადგენილია, რომ სინათლის ფიზიოლოგიური, ფოტოქიმიური, ფოტოელექტრული და სხვა ეფექტები განისაზღვრება სინათლის ტალღის ვექტორით, ამიტომ მას სინათლე ეწოდება. შესაბამისად, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სინათლის ტალღა აღწერილია განტოლებით:

სად არის ამპლიტუდა,

- ტალღის ნომერი (ტალღის ვექტორი),

მანძილი გამრავლების მიმართულებით.

სიბრტყეს, რომელშიც ის ირხევა ე.წ ვიბრაციის თვითმფრინავი. სინათლის ტალღა მოძრაობს სიჩქარით

, (2)

დაურეკა გარდატეხის ინდექსი და ახასიათებს განსხვავებას მოცემულ გარემოში სინათლის სიჩქარესა და ვაკუუმში სინათლის სიჩქარეს შორის (სიცარიელე).

უმეტეს შემთხვევაში, გამჭვირვალე ნივთიერებებს აქვთ მაგნიტური გამტარიანობა და თითქმის ყოველთვის შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ რეფრაქციული ინდექსი განისაზღვრება საშუალო დიელექტრიკული მუდმივით:

მნიშვნელობა ნგამოიყენება დასახასიათებლად საშუალების ოპტიკური სიმკვრივე: რაც უფრო დიდია n, მით უფრო ოპტიკურად მკვრივი ეწოდება საშუალოს .

ხილულ სინათლეს აქვს ტალღის სიგრძე ვაკუუმში დიაპაზონში და სიხშირე

ჰც

რეალური სინათლის მიმღებები ვერ ახერხებენ თვალყური ადევნონ ასეთ წარმავალ პროცესებს და დარეგისტრირდნენ დროის საშუალო ენერგიის ნაკადი . ა-პრიორიტეტი , სინათლის ინტენსივობა ეწოდება სინათლის ტალღის მიერ გადატანილი ენერგიის ნაკადის სიმკვრივის დროში საშუალო მნიშვნელობის მოდული :

(4)

ვინაიდან ელექტრომაგნიტურ ტალღაში

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I~A2(8)

სხივებიჩვენ ვუწოდებთ ხაზებს, რომლებზეც სინათლის ენერგია ვრცელდება.

საშუალო ენერგიის ნაკადის ვექტორი ყოველთვის მიმართულია სხივზე ტანგენციურად. იზოტროპულ მედიაში მიმართულებით ემთხვევა ტალღის ნორმალურ ზედაპირებს.

ბუნებრივ შუქზე არის ტალღები რხევის სიბრტყის ძალიან განსხვავებული ორიენტირებით. მაშასადამე, სინათლის ტალღების განივიების მიუხედავად, ჩვეულებრივი სინათლის წყაროების გამოსხივება არ ავლენს ასიმეტრიას გავრცელების მიმართულების მიმართ. სინათლის ეს თვისება (ბუნებრივი) აიხსნება შემდეგით: წყაროს წარმოქმნილი სინათლის ტალღა შედგება სხვადასხვა ატომების მიერ გამოსხივებული ტალღებისგან. თითოეული ატომი ასხივებს ტალღას წამებში. ამ დროს იქმნება სივრცე ტალღის მატარებელი („კეხებისა და ხეობების“ თანმიმდევრობა) დაახლოებით 3 მეტრი სიგრძისა.

თითოეული მატარებლის რხევის სიბრტყე საკმაოდ განსაზღვრულია. მაგრამ ამავე დროს, ატომების დიდი რაოდენობა ასხივებს თავის მატარებლებს და თითოეული მატარებლის რხევების სიბრტყე ორიენტირებულია სხვებისგან დამოუკიდებლად, შემთხვევითი გზით. Ამიტომაც მიღებულ ტალღაში სხეულიდან თანაბარი ალბათობით არის წარმოდგენილი სხვადასხვა მიმართულების რხევები. Ეს ნიშნავს, რომ, თუ რომელიმე მოწყობილობა გამოიყენება სინათლის ინტენსივობის შესასწავლად ვექტორის სხვადასხვა ორიენტირებით, მაშინ ბუნებრივ შუქზე ინტენსივობა არ არის დამოკიდებული ორიენტაციაზე. .

ინტენსივობის გაზომვა ტალღის პერიოდთან შედარებით ხანგრძლივი პროცესია და ბუნებრივი სინათლის ბუნების შესახებ განხილული იდეები მოსახერხებელია საკმარისად ხანგრძლივი პროცესების აღწერისთვის.

თუმცა, დროის მოცემულ მომენტში, სივრცის კონკრეტულ წერტილში, ცალკეული მატარებლების ვექტორების დამატების შედეგად, ყალიბდება რაიმე კონკრეტული. შემთხვევითი „ჩართული“ და „გამორთული“ ცალკეული ატომების გამო სინათლის ტალღა აღძრავს მოცემულ წერტილში ჰარმონიულთან მიახლოებულ რხევას, მაგრამ რხევების ამპლიტუდა, სიხშირე და ფაზა დამოკიდებულია დროზე და იცვლება შემთხვევით. ვიბრაციული სიბრტყის ორიენტაცია ასევე შემთხვევით იცვლება. uy. ამრიგად, სინათლის ვექტორის რხევები გარემოს მოცემულ წერტილში შეიძლება აღწერილი იყოს განტოლებით:

(9)

უფრო მეტიც, და არის ქაოტურად ცვალებადი ფუნქციები ii. ბუნებრივი სინათლის ასეთი კონცეფცია მოსახერხებელია, თუ განიხილება სინათლის ტალღის პერიოდთან შედარებით დროის ინტერვალები.

სინათლეს, რომელშიც ვექტორული რხევების მიმართულებები გარკვეულწილად არის დალაგებული, ეწოდება პოლარიზებული.

თუ მოხდება სინათლის ვექტორის რხევები მხოლოდ ერთ თვითმფრინავშიგადის სხივში, მაშინ სინათლე ე.წ ბინა - ან ხაზოვანი პოლარიზებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიბრტყის პოლარიზებულ შუქზე, რხევის სიბრტყეს აქვს მკაცრად ფიქსირებული პოზიცია. შესაძლებელია სხვა სახის შეკვეთაც, ანუ მსუბუქი პოლარიზაციის ტიპები.

ჰიუგენსის პრინციპი

გეომეტრიული ოპტიკის მიახლოებით სინათლე არ უნდა შეაღწიოს გეომეტრიული ჩრდილის არეში. სინამდვილეში, სინათლე აღწევს ამ მხარეში და ეს ფენომენი რაც უფრო მნიშვნელოვანი ხდება, რაც უფრო მცირეა დაბრკოლებების ზომა. თუ ხვრელების ან სლოტების ზომები შედარებით გრძელი ტალღის სიგრძეა, მაშინ გეომეტრიული ოპტიკა არ გამოიყენება.

ხარისხობრივად, ბარიერის უკან სინათლის ქცევა აიხსნება ჰაიგენსის პრინციპით, რაც შესაძლებელს ხდის ტალღის ფრონტის აგებას მომენტში ცნობილი პოზიციიდან.

ჰაიგენსის პრინციპის მიხედვით, ტალღური მოძრაობით მიღწეული თითოეული წერტილი ხდება მეორადი ტალღების წერტილოვანი წყარო. მეორადი ტალღების ფრონტის გასწვრივ კონვერტი იძლევა ტალღის ფრონტის პოზიციას.

მსუბუქი ჩარევა

მოდით, საშუალო რაღაც წერტილში ორი ტალღის (სიბრტყის პოლარიზებული) ორი რხევა აღგზნდეს იგივე სიხშირე და იგივე მიმართულება:

და . (24.14)

შედეგად მიღებული რხევის ამპლიტუდა განისაზღვრება გამოსახულებით:

არათანმიმდევრული ტალღებისთვის, ის იცვლება შემთხვევით და ყველა მნიშვნელობა თანაბრად სავარაუდოა. ამრიგად, (24.15) შემდეგნაირად გამოიყურება:

6 თუ ტალღები თანმიმდევრულია და , მაშინ

მაგრამ დამოკიდებულია , არის თუ არა ბილიკების სიგრძე ტალღის წყაროებიდან მოცემულ წერტილამდე და განსხვავებული გარემოს სხვადასხვა წერტილებისთვის. აქედან გამომდინარე, როდესაც თანმიმდევრული ტალღები ზემოდან არის გადანაწილებული, სინათლის ნაკადი გადანაწილდება სივრცეში, რის შედეგადაც სინათლის ინტენსივობა იზრდება საშუალოს ზოგიერთ წერტილში, ხოლო ზოგიერთში მცირდება -. ამ ფენომენს ე.წ ჩარევა.

რამდენიმე სინათლის წყაროს გამოყენებისას ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩარევის არარსებობა აიხსნება მათით არათანმიმდევრულობა. ცალკეული ატომები ასხივებენ იმპულსებს c-სთვის და მატარებლის სიგრძე ≈ 3 მეტრია. ახალი მატარებლისთვის არა მხოლოდ პოლარიზაციის სიბრტყის ორიენტაციაა შემთხვევითი, არამედ ფაზაც არაპროგნოზირებადია.

მართლაც თანმიმდევრული ტალღები მიიღება ერთი წყაროს გამოსხივების ორ ნაწილად გაყოფით. ნაწილების გადახურვისას შეიძლება შეინიშნოს ჩარევა. მაგრამ ამავე დროს, ოპტიკური სიგრძის განცალკევება არ უნდა იყოს მატარებლის სიგრძის თანმიმდევრობით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩარევა არ იქნება, რადგან სხვადასხვა მატარებლები ზედგამოჭრილია.

მოდით განცალკევება მოხდეს O წერტილში და გადახურვა P წერტილში. რხევები აღგზნებულია P-ში.

და (24.17)

ტალღების გავრცელების სიჩქარე შესაბამის მედიაში.

გაანაწილეთ ფაზები ერთ წერტილში რ:

სად არის სინათლის ტალღის სიგრძე ვაკუუმში.

ღირებულება, ე.ი. განხილულ წერტილებს შორის ოპტიკური ბილიკის სიგრძის სხვაობის ტოლი ეწოდება ოპტიკური ბილიკის განსხვავება.

მაშინ , in (24.16) უდრის ერთს და სინათლის ინტენსივობა იქნება მაქსიმალური.

(24.20)

რომ რხევები წერტილში ხდება ანტიფაზაში, რაც ნიშნავს, რომ სინათლის ინტენსივობა მინიმალურია.

თანმიმდევრულობა

თანმიმდევრულობა -ორი ან მეტი ტალღური პროცესის კოორდინირებული ნაკადი. აბსოლუტური თანმიმდევრულობა არასოდეს ხდება, ამიტომ შეგვიძლია ვისაუბროთ თანმიმდევრულობის სხვადასხვა ხარისხზე.

განასხვავებენ დროებით და სივრცით თანმიმდევრულობას.

დროითი თანმიმდევრულობა

რეალური ტალღის განტოლება

ჩვენ განვიხილეთ ტალღების ჩარევა, რომელიც აღწერილია ფორმის განტოლებით:

(1)

თუმცა, ასეთი ტალღები მათემატიკური აბსტრაქციაა, ვინაიდან (1)-ით აღწერილი ტალღა დროში და სივრცეში უსასრულო უნდა იყოს. მხოლოდ მაშინ შეიძლება რაოდენობები იყოს განსაზღვრული მუდმივები.

რეალური ტალღა, რომელიც წარმოიქმნება სხვადასხვა ატომების მატარებლების სუპერპოზიციის შედეგად, შეიცავს კომპონენტებს, რომელთა სიხშირეები დევს სასრულ სიხშირის დიაპაზონში (შესაბამისად, ტალღის ვექტორები ში), და განიცდის უწყვეტ ქაოტურ ცვლილებებს. რხევები აღფრთოვანებული რაღაც მომენტში მიერ superimposed რეალურიტალღები, შეიძლება აღწერილი იყოს გამონათქვამით:

და (2)

უფრო მეტიც, ფუნქციების ქაოტური ცვლილებები დროში (2) დამოუკიდებელია.

ანალიზის სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ტალღის ამპლიტუდები მუდმივი და იდენტურია (ექსპერიმენტულად, ეს პირობა ხორციელდება საკმაოდ მარტივად):

სიხშირე და ფაზური ცვლილებები შეიძლება შემცირდეს მხოლოდ სიხშირეზე ან მხოლოდ ფაზის ცვლილებებამდე. მართლაც, დავუშვათ, რომ ფუნქციების (2) არაჰარმონიულობა განპირობებულია ფაზური ნახტომებით. მაგრამ, იმის მიხედვით, რაც მათემატიკაშია დადასტურებული ფურიეს თეორემანებისმიერი არაჰარმონიული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჰარმონიული კომპონენტების ჯამი, რომელთა სიხშირეები ჩართულია ზოგიერთში. შეზღუდვის შემთხვევაში, ჯამი გადადის ინტეგრალში: ნებისმიერი სასრული და ინტეგრირებადი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფურიეს ინტეგრალით:

, (3)

სად არის ჰარმონიული სიხშირის კომპონენტის ამპლიტუდა,ანალიტიკურად განისაზღვრება მიმართებით:

(4)

ასე რომ, არაჰარმონიული ფუნქცია ფაზის ცვლილების გამო შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჰარმონიული კომპონენტების სუპერპოზიცია ზოგიერთში სიხშირით.

მეორეს მხრივ, ცვლადი სიხშირის და ფაზის მქონე ფუნქცია შეიძლება შემცირდეს მხოლოდ ცვლადი ფაზის ფუნქციამდე:

ამიტომ, შემდგომი ანალიზის დასამშვიდებლად, ჩვენ ვივარაუდებთ:

ანუ ვახორციელებთ ფაზის მიდგომა„დროებითი თანმიმდევრობის“ კონცეფციას.

თანაბარი დახრილობის ზოლები

მოდით, თხელი სიბრტყის პარალელური ფირფიტა დიფუზურით იყოს განათებული მონოქრომატულიმსუბუქი. მოდით მოვათავსოთ კონვერტაციული ლინზა ფირფიტის პარალელურად, მის ფოკუსურ სიბრტყეში - ეკრანი. გაფანტული სინათლე შეიცავს სხვადასხვა მიმართულების სხივებს. კუთხით მოხვედრილი სხივები იძლევა 2 ასახულ სხივს, რომლებიც ერთ წერტილში გადაიყრება. ეს ეხება ყველა სხივს, რომელიც ეცემა ფირფიტის ზედაპირზე მოცემული კუთხით, ფირფიტის ყველა წერტილში. ლინზა უზრუნველყოფს ყველა ასეთი სხივის ერთ წერტილში შეკრებას, ვინაიდან ლინზაზე დაცემული პარალელური სხივები გარკვეული კუთხით გროვდება მის მიერ ფოკუსური სიბრტყის ერთ წერტილში, ე.ი. ეკრანზე. O წერტილში ლინზის ოპტიკური ღერძი კვეთს ეკრანს. ამ დროს გროვდება სხივები, რომლებიც მიემართება ოპტიკური ღერძის პარალელურად.

სხივები, რომლებიც ხვდებიან კუთხით, მაგრამ არა ფიგურის სიბრტყეში, არამედ სხვა სიბრტყეებში, გროვდება წერტილებიდან იმავე მანძილზე, როგორც წერტილი. ამ სხივების ჩარევის შედეგად წერტილიდან გარკვეულ მანძილზე წარმოიქმნება წრე შემოსვლის სინათლის გარკვეული ინტენსივობით. განსხვავებული კუთხით მოხვედრილი სხივები ქმნიან წრეს ეკრანზე განსხვავებული განათებით, რაც დამოკიდებულია მათი ოპტიკური ბილიკის განსხვავებაზე. შედეგად, ეკრანზე ყალიბდება მონაცვლეობითი მუქი და მსუბუქი ზოლები წრეების სახით. თითოეული წრე წარმოიქმნება გარკვეული კუთხით დაცემული სხივებით და მათ ე.წ თანაბარი დახრილობის ზოლები. ეს ზოლები ლოკალიზებულია უსასრულობაში.

ლინზის როლი შეიძლება შეასრულოს ლინზამ, ხოლო ეკრანს - ბადურა. ამ შემთხვევაში თვალი უსასრულობამდე უნდა იყოს მოთავსებული. თეთრ შუქზე მიიღება მრავალფერადი ზოლები.

თანაბარი სისქის ზოლები

ავიღოთ ფირფიტა სოლის სახით. დაე, დაეცეს სინათლის პარალელური სხივი. განვიხილოთ ფირფიტის ზედა და ქვედა ნაწილებიდან არეკლილი სხივები. თუ ეს სხივები ერთ წერტილში ლინზებით არის შეკრებილი, მაშინ ისინი ხელს უშლიან. ფირფიტის სახეებს შორის მცირე კუთხით, სხივების გზაზე სხვაობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმიდან
სიბრტყე პარალელური ფირფიტისთვის. სხივები, რომლებიც წარმოიქმნება სხივის დაცემიდან ფირფიტის სხვა წერტილში, შეგროვდება ლინზების მიერ ამ წერტილში. განსხვავება მათ კურსში განისაზღვრება ფირფიტის სისქით შესაბამის ადგილას. შეიძლება დადასტურდეს, რომ P ტიპის ყველა წერტილი დევს ერთ სიბრტყეში, რომელიც გადის სოლის წვეროზე.

თუ ეკრანი განლაგებულია ისე, რომ იგი შერწყმულია ზედაპირთან, რომელშიც დევს წერტილები P, P 1 P 2, მაშინ მასზე გამოჩნდება ღია და მუქი ზოლების სისტემა, რომელთაგან თითოეული წარმოიქმნება ფირფიტიდან ასახვის გამო. გარკვეული სისქის ადგილები. ამიტომ, ამ შემთხვევაში, ზოლები ე.წ თანაბარი სისქის ზოლები.

თეთრ შუქზე დანახვისას ზოლები ფერადი იქნება. თანაბარი სისქის ზოლები ლოკალიზებულია ფირფიტის ზედაპირთან ახლოს. სინათლის ნორმალური სიხშირის პირობებში - ზედაპირზე.

რეალურ პირობებში, საპნის და ზეთის ფენების შეღებვაზე დაკვირვებისას, შეინიშნება შერეული ტიპის ზოლები.

სინათლის დიფრაქცია.

27.1. სინათლის დიფრაქცია

დიფრაქციადაურეკაფენომენების ერთობლიობა, რომელიც შეინიშნება გარემოში მკვეთრი ოპტიკური არაერთგვაროვნებით და დაკავშირებულია გეომეტრიული ოპტიკის კანონებიდან სინათლის გავრცელების გადახრებთან. .

დიფრაქციის დასაკვირვებლად, გარკვეული წყაროს სინათლის ტალღის გზაზე მოთავსებულია გაუმჭვირვალე ბარიერი, რომელიც ფარავს წყაროს მიერ გამოსხივებული ტალღის ზედაპირის ნაწილს. წარმოქმნილი დიფრაქციის ნიმუში შეინიშნება ეკრანზე, რომელიც მდებარეობს სხივების გაგრძელებაზე.

არსებობს ორი სახის დიფრაქცია. თუ წყაროდან და დაბრკოლებიდან დაკვირვების პუნქტამდე მომავალი სხივები შეიძლება ჩაითვალოს თითქმის პარალელურად, მაშინ ამბობენ, რომ არსებობსფრაუნჰოფერის დიფრაქცია, ან დიფრაქცია პარალელურ სხივებში. თუ ფრაუნჰოფერის დიფრაქციის პირობები არ არის დაცული,საუბარია ფრენელის დიფრაქციაზე.

ნათლად უნდა გვესმოდეს, რომ არ არსებობს ფუნდამენტური ფიზიკური განსხვავება ჩარევასა და დიფრაქციას შორის. ორივე ფენომენი განპირობებულია გადანაწილებული თანმიმდევრული სინათლის ტალღების ენერგიის გადანაწილებით. ჩვეულებრივ, როდესაც განიხილება სასრული რიცხვიდისკრეტული წყაროები სინათლეზე საუბრობენჩარევა . თუ გავითვალისწინებთ ტალღების სუპერპოზიციასთანმიმდევრული წყაროები მუდმივად ნაწილდება სივრცეში , შემდეგ ისინი საუბრობენდიფრაქცია .

27.2. ჰიუგენს-ფრენელის პრინციპი

ჰიუგენსის პრინციპი პრინციპში შესაძლებელს ხდის ახსნას სინათლის შეღწევა გეომეტრიული ჩრდილის რეგიონში, მაგრამ არაფერს ამბობს სხვადასხვა მიმართულებით გავრცელებულ ტალღების ინტენსივობაზე. ფრენელმა დაამატა ჰაიგენსის პრინციპი იმის მითითებით, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ რადიაციის ინტენსივობა ტალღის ზედაპირის ელემენტიდან სხვადასხვა მიმართულებით, ასევე იმის მითითებით, რომ მეორადი ტალღები თანმიმდევრულია და სინათლის ინტენსივობის გამოთვლისას გარკვეულ წერტილში, აუცილებელია გავითვალისწინოთ მეორადი ტალღების ჩარევა. .

ტალღური პროცესები

ძირითადი ცნებები და განმარტებები

განვიხილოთ ზოგიერთი ელასტიური საშუალება - მყარი, თხევადი ან აირისებრი. თუ მისი ნაწილაკების ვიბრაციები აღგზნებულია ამ საშუალების ნებისმიერ ადგილას, მაშინ ნაწილაკებს შორის ურთიერთქმედების გამო, ვიბრაცია, რომელიც გადაეცემა საშუალო ნაწილაკიდან მეორეზე, გავრცელდება გარემოში გარკვეული სიჩქარით. პროცესი ვიბრაციის გავრცელება სივრცეში ეწოდება ტალღა .

თუ გარემოში ნაწილაკები რხევა ტალღის გავრცელების მიმართულებით, მაშინ მას ე.წ გრძივი. თუ ნაწილაკების რხევა ხდება ტალღის გავრცელების მიმართულების პერპენდიკულარულ სიბრტყეში, მაშინ ტალღა ე.წ. განივი . განივი მექანიკური ტალღები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ გარემოში, რომელსაც აქვს არანულოვანი ათვლის მოდული. ამიტომ, თხევად და აირისებრ გარემოში, მხოლოდ გრძივი ტალღები . გრძივი და განივი ტალღების განსხვავება ყველაზე ნათლად ჩანს ზამბარში რხევების გავრცელების მაგალითზე - იხ. ნახაზი.

განივი რხევების დასახასიათებლად აუცილებელია პოზიციის დაყენება სივრცეში სიბრტყე, რომელიც გადის რხევის მიმართულებით და ტალღის გავრცელების მიმართულებით - პოლარიზაციის სიბრტყეები .

სივრცის რეგიონს, რომელშიც რხევა გარემოს ყველა ნაწილაკი, ეწოდება ტალღის ველი . ტალღის ველსა და დანარჩენ გარემოს შორის საზღვარი ეწოდება ტალღის ფრონტი . Სხვა სიტყვებით, ტალღის ფრონტი - წერტილების ადგილი, რომლებზეც რხევებმა მიაღწიეს დროის მოცემულ წერტილს. ერთგვაროვან და იზოტროპულ გარემოში, ტალღის გავრცელების მიმართულება პერპენდიკულარულიტალღის წინ.

სანამ გარემოში ტალღაა, საშუალო ნაწილაკები ირხევიან თავიანთი წონასწორული პოზიციების გარშემო. დაე ეს რხევები იყოს ჰარმონიული და ამ რხევების პერიოდი ტოლია თ. ნაწილაკები ერთმანეთისგან დაშორებული მანძილით

ტალღის გავრცელების მიმართულებით, იგივენაირად რხევა, ე.ი. დროის ნებისმიერ მომენტში მათი გადაადგილება იგივეა. მანძილი ე.წ ტალღის სიგრძე . Სხვა სიტყვებით, ტალღის სიგრძე არის მანძილი, რომელიც ტალღამ გაიარა რხევის ერთ პერიოდში .

წერტილების ლოკუსი, რომელიც რხევა ერთ ფაზაში ეწოდება ტალღის ზედაპირი . ტალღის ფრონტი ტალღის ზედაპირის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ტალღის სიგრძე - მინიმალურიმანძილი ორ ტალღის ზედაპირს შორის, რომლებშიც წერტილები ერთნაირად ირხევა, ან შეიძლება ასე ვთქვათ მათი რხევების ფაზები განსხვავდება .

თუ ტალღის ზედაპირები სიბრტყეებია, მაშინ ტალღა ეწოდება ბინა და თუ სფეროების მიხედვით, მაშინ სფერული. სიბრტყე ტალღა აღგზნებულია უწყვეტ ერთგვაროვან და იზოტროპულ გარემოში უსასრულო სიბრტყის რხევების დროს. სფერული ზედაპირის აგზნება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სფერული ზედაპირის რადიალური პულსაციის შედეგად, ასევე მოქმედების შედეგად. წერტილის წყარო,რომლის ზომები დაკვირვების წერტილამდე მანძილთან შედარებით შეიძლება უგულებელყო. ვინაიდან ნებისმიერ რეალურ წყაროს აქვს სასრული ზომები, მისგან საკმარისად დიდ მანძილზე, ტალღა ახლოს იქნება სფერულთან. ამავდროულად, სფერული ტალღის ტალღის ზედაპირის მონაკვეთი, როგორც მისი ზომა მცირდება, თვითნებურად უახლოვდება თვითმფრინავის ტალღის ზედაპირის მონაკვეთს.

სიბრტყე და სფერული ტალღის განტოლებები

ტალღის განტოლებაარის გამოხატულება, რომელიც განსაზღვრავს რხევადი წერტილის გადაადგილებას წერტილისა და დროის წონასწორობის პოზიციის კოორდინატების ფუნქციით:

თუ წყარო აკეთებს პერიოდულირყევები, მაშინ ფუნქცია (22.2) უნდა იყოს როგორც კოორდინატების, ასევე დროის პერიოდული ფუნქცია. დროში პერიოდულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ფუნქცია აღწერს წერტილის პერიოდულ რხევებს კოორდინატებით; პერიოდულობა კოორდინატებში - იქიდან, რომ ტალღის გავრცელების მიმართულებით დაშორებული წერტილები მერყეობენ იგივენაირად

მოდით შემოვიფარგლოთ ჰარმონიული ტალღების განხილვით, როდესაც გარემოს წერტილები ასრულებენ ჰარმონიულ რხევებს. უნდა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი არაჰარმონიული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჰარმონიული ტალღების სუპერპოზიციის შედეგად. ამიტომ, მხოლოდ ჰარმონიული ტალღების გათვალისწინება არ იწვევს მიღებული შედეგების საერთოობის ფუნდამენტურ გაუარესებას.

განვიხილოთ თვითმფრინავის ტალღა. ჩვენ ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ ღერძი ოჰემთხვევა ტალღის გავრცელების მიმართულებას. მაშინ ტალღის ზედაპირი ღერძის პერპენდიკულარული იქნება ოჰდა რადგან ტალღის ზედაპირის ყველა წერტილი ერთნაირად ირხევა, გარემოს წერტილების გადაადგილება წონასწორული პოზიციებიდან დამოკიდებული იქნება მხოლოდ x და t:

დაე, სიბრტყეში მდებარე წერტილების რხევებს ჰქონდეს ფორმა:

(22.4)

რხევები სიბრტყეში მანძილზე Xკოორდინატების წარმოშობიდან, დროში ჩამორჩება რხევებს ტალღის მანძილის დასაძლევად საჭირო დროის ინტერვალით X,და აღწერილია განტოლებით

რომელიც Ox-ის ღერძის მიმართულებით გავრცელებული სიბრტყე ტალღის განტოლება.

განტოლების (22.5) გამოყვანისას ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ რხევების ამპლიტუდა ყველა წერტილში ერთნაირია. სიბრტყე ტალღის შემთხვევაში, ეს მართალია, თუ ტალღის ენერგია არ შეიწოვება გარემოს მიერ.

განვიხილოთ ფაზის გარკვეული მნიშვნელობა განტოლებაში (22.5):

(22.6)

განტოლება (22.6) იძლევა დროის ურთიერთობას ტდა ადგილი - X, რომელშიც მითითებული ფაზის მნიშვნელობა ამჟამად დანერგილია. განტოლებიდან (22.6) განვსაზღვრავთ, ვპოულობთ სიჩქარეს, რომლითაც მოძრაობს მოცემული ფაზის მნიშვნელობა. დიფერენცირებით (22.6), მივიღებთ:

საიდან მოჰყვება (22.7)

ტალღის განტოლებაარის განტოლება, რომელიც გამოხატავს ტალღის პროცესში მონაწილე რხევადი ნაწილაკების გადაადგილების დამოკიდებულებას მისი წონასწორობის პოზიციისა და დროის კოორდინატზე:

ეს ფუნქცია პერიოდული უნდა იყოს როგორც დროის, ასევე კოორდინატებთან მიმართებაში. გარდა ამისა, წერტილები, რომლებიც მანძილზეა ლ ერთმანეთისგან, ერთნაირად მერყეობენ.

მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის ტიპი x თვითმფრინავის ტალღის შემთხვევაში.

განვიხილოთ სიბრტყე ჰარმონიული ტალღა, რომელიც ვრცელდება ღერძის დადებითი მიმართულებით ისეთ გარემოში, რომელიც არ შთანთქავს ენერგიას. ამ შემთხვევაში, ტალღის ზედაპირი ღერძის პერპენდიკულარული იქნება. ყველა სიდიდე, რომელიც ახასიათებს საშუალო ნაწილაკების რხევად მოძრაობას, დამოკიდებულია მხოლოდ დროზე და კოორდინატზე. კომპენსაცია დამოკიდებული იქნება მხოლოდ და: . წერტილის რხევა კოორდინატთან (რხევების წყარო) მოცემული იყოს ფუნქციით. დავალება: იპოვეთ სიბრტყეში წერტილების რყევის ტიპი, რომელიც შეესაბამება თვითნებურ მნიშვნელობას. დრო სჭირდება ტალღას თვითმფრინავიდან ამ თვითმფრინავამდე მისასვლელად. შესაბამისად, სიბრტყეში მყოფი ნაწილაკების რხევები ფაზაში გარკვეული დროით ჩამორჩება სიბრტყეში ნაწილაკების რხევებს. მაშინ სიბრტყეში ნაწილაკების რხევების განტოლება ასე გამოიყურება:

შედეგად, მივიღეთ სიბრტყე ტალღის განტოლება, რომელიც გავრცელდება ზრდის მიმართულებით:

. (3)

ამ განტოლებაში არის ტალღის ამპლიტუდა; - ციკლური სიხშირე; არის საწყისი ეტაპი, რომელიც განისაზღვრება საცნობარო წერტილის არჩევით და ; არის სიბრტყე ტალღის ფაზა.

მოდით, ტალღის ფაზა იყოს მუდმივი მნიშვნელობა (ჩვენ ვაფიქსირებთ ფაზის მნიშვნელობას ტალღის განტოლებაში):

მოდით შევამციროთ ეს გამოთქმა და განვასხვავოთ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

ან .

ამრიგად, სიბრტყე ტალღის განტოლებაში ტალღის გავრცელების სიჩქარე სხვა არაფერია, თუ არა ტალღის ფიქსირებული ფაზის გავრცელების სიჩქარე. ამ სიჩქარეს ე.წ ფაზის სიჩქარე .

სინუსუსური ტალღისთვის ენერგიის გადაცემის სიჩქარე უდრის ფაზის სიჩქარეს. მაგრამ სინუსუსური ტალღა არანაირ ინფორმაციას არ ატარებს და ნებისმიერი სიგნალი არის მოდულირებული ტალღა, ე.ი. არა სინუსოიდური (არა ჰარმონიული). ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრისას აღმოჩნდება, რომ ფაზის სიჩქარე სინათლის სიჩქარეზე მეტია. აქ პარადოქსი არ არის, რადგან ფაზის მოძრაობის სიჩქარე არ არის ენერგიის გადაცემის (გავრცელების) სიჩქარე. ენერგია, მასა სინათლის სიჩქარეზე სწრაფად ვერ მოძრაობს გ .

ჩვეულებრივ, სიბრტყე ტალღის განტოლებას ეძლევა ფორმა, რომელიც სიმეტრიულია და. ამისათვის შეიყვანეთ მნიშვნელობა , რომელსაც ქვია ტალღის ნომერი . მოდით გადავცვალოთ ტალღის რიცხვის გამოხატულება. ჩვენ ვწერთ მას ფორმაში (). ჩაანაცვლეთ ეს გამოხატულება სიბრტყე ტალღის განტოლებაში:

ბოლოს მივიღებთ

ეს არის სიბრტყე ტალღის განტოლება, რომელიც ვრცელდება გაზრდის მიმართულებით. ტალღის გავრცელების საპირისპირო მიმართულება ხასიათდება განტოლებით, რომელშიც შეიცვლება ტერმინის წინ ნიშანი.

მოსახერხებელია სიბრტყის ტალღის განტოლების დაწერა შემდეგი ფორმით.

ჩვეულებრივ ხელს აწერენ რე გამოტოვებულია, რაც ნიშნავს, რომ აღებულია შესაბამისი გამოხატვის მხოლოდ რეალური ნაწილი. გარდა ამისა, დანერგილია რთული რიცხვი.

ამ რიცხვს კომპლექსური ამპლიტუდა ეწოდება. ამ რიცხვის მოდული იძლევა ამპლიტუდას, არგუმენტი კი ტალღის საწყის ფაზას.

ამგვარად, სიბრტყეზე დაუცველი ტალღის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით.

ყველაფერი, რაც ზემოთ იყო განხილული, მიუთითებდა გარემოზე, სადაც არ იყო ტალღის შესუსტება. ტალღის შესუსტების შემთხვევაში, ბუგეს კანონის (პიერ ბუგე, ფრანგი მეცნიერი (1698 - 1758)) შესაბამისად, ტალღის ამპლიტუდა მისი გავრცელებისას შემცირდება. მაშინ სიბრტყე ტალღის განტოლებას ექნება შემდეგი ფორმა.

აარის ტალღის შესუსტების კოეფიციენტი. A0 არის რხევის ამპლიტუდა კოორდინატების მქონე წერტილში. ეს არის საპასუხო მანძილი, რომლის დროსაც ტალღის ამპლიტუდა მცირდება ე ერთხელ.

ვიპოვოთ სფერული ტალღის განტოლება. რხევების წყაროს მივიჩნევთ წერტილოვან წყაროდ. ეს შესაძლებელია, თუ შემოვიფარგლებით ტალღის გათვალისწინებით წყაროს ზომაზე ბევრად დიდ მანძილზე. ასეთი წყაროდან ტალღა იზოტროპულ და ერთგვაროვან გარემოში იქნება სფერული . რადიუსის ტალღის ზედაპირზე მდებარე წერტილები მერყეობენ ფაზასთან ერთად

რხევის ამპლიტუდა ამ შემთხვევაში, მაშინაც კი, თუ ტალღის ენერგია არ შეიწოვება გარემოს მიერ, არ დარჩება მუდმივი. კანონის მიხედვით წყაროდან დაშორებით მცირდება. ამრიგად, სფერული ტალღის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან

დაშვებული ვარაუდების მიხედვით, განტოლება მოქმედებს მხოლოდ ტალღის წყაროს ზომებზე მნიშვნელოვნად აღემატება. განტოლება (6) არ გამოიყენება მცირე მნიშვნელობებისთვის, რადგან ამპლიტუდა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, რაც აბსურდია.

გარემოში შესუსტების არსებობისას, სფერული ტალღის განტოლება იწერება შემდეგნაირად.

ჯგუფის სიჩქარე

მკაცრად მონოქრომატული ტალღა არის დროში და სივრცეში „კეხების“ და „ღრმულების“ დაუსრულებელი თანმიმდევრობა.

ამ ტალღის ფაზის სიჩქარე, ან (2)

ასეთი ტალღის დახმარებით შეუძლებელია სიგნალის გადაცემა, რადგან. ტალღის ნებისმიერ წერტილში, ყველა "კეხი" ერთნაირია. სიგნალი განსხვავებული უნდა იყოს. იყავი ნიშანი (იარლიყი) ტალღაზე. მაგრამ მაშინ ტალღა აღარ იქნება ჰარმონიული და არ იქნება აღწერილი (1) განტოლებით. სიგნალი (იმპულსი) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფურიეს თეორემის მიხედვით, როგორც ჰარმონიული ტალღების სუპერპოზიცია სიხშირეებით, რომლებიც შეიცავს გარკვეულ ინტერვალს. Dw . ტალღების სუპერპოზიცია, რომლებიც ერთმანეთისგან მცირედ განსხვავდება სიხშირით

დაურეკა ტალღის პაკეტი ან ტალღის ჯგუფი .

ტალღების ჯგუფის გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად.

(3)

Ხატი ვ ხაზს უსვამს, რომ ეს რაოდენობები დამოკიდებულია სიხშირეზე.

ეს ტალღური პაკეტი შეიძლება იყოს ტალღების ჯამი ოდნავ განსხვავებული სიხშირით. სადაც ტალღების ფაზები ემთხვევა, ხდება ამპლიტუდის მატება, ხოლო სადაც ფაზები საპირისპიროა, ხდება ამპლიტუდის დემპინგი (ჩარევის შედეგი). ასეთი სურათი ნაჩვენებია ფიგურაში. იმისათვის, რომ ტალღების სუპერპოზიცია ჩაითვალოს ტალღების ჯგუფად, უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობა Dw<< w 0 .

არადისპერსიულ გარემოში, ყველა სიბრტყე ტალღა, რომელიც ქმნის ტალღის პაკეტს, ვრცელდება იგივე ფაზის სიჩქარით. ვ . დისპერსია არის სინუსოიდური ტალღის ფაზის სიჩქარის დამოკიდებულება სიხშირეზე. დისპერსიის ფენომენს მოგვიანებით განვიხილავთ ტალღის ოპტიკის განყოფილებაში. დისპერსიის არარსებობის შემთხვევაში, ტალღის პაკეტის მოძრაობის სიჩქარე ემთხვევა ფაზის სიჩქარეს ვ . დისპერსიულ გარემოში, თითოეული ტალღა იშლება თავისი სიჩქარით. ამრიგად, ტალღის პაკეტი დროთა განმავლობაში ვრცელდება, მისი სიგანე იზრდება.

თუ დისპერსია მცირეა, მაშინ ტალღის პაკეტის გავრცელება ძალიან სწრაფად არ ხდება. ამრიგად, მთელი პაკეტის მოძრაობას შეიძლება მიენიჭოს გარკვეული სიჩქარე უ .

სიჩქარეს, რომლითაც მოძრაობს ტალღის პაკეტის ცენტრი ( წერტილი მაქსიმალური ამპლიტუდის მნიშვნელობით) ჯგუფური სიჩქარე ეწოდება.

დისპერსიულ გარემოში v¹ U . თავად ტალღური პაკეტის მოძრაობასთან ერთად, თავად პაკეტის შიგნით ხდება "კუხების" მოძრაობა. „ჰუმფსი“ სივრცეში სიჩქარით მოძრაობს ვ , და პაკეტი მთლიანად სიჩქარით უ .

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ტალღის პაკეტის მოძრაობა ერთი და იგივე ამპლიტუდის და განსხვავებული სიხშირის მქონე ორი ტალღის სუპერპოზიციის მაგალითის გამოყენებით. ვ (სხვადასხვა ტალღის სიგრძე ლ ).

მოდით დავწეროთ ორი ტალღის განტოლებები. სიმარტივისთვის ავიღოთ საწყისი ფაზები j0 = 0.

Აქ

დაე Dw<< w , შესაბამისად დკ<< k .

ჩვენ ვამატებთ რყევებს და ვახორციელებთ გარდაქმნებს ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებით კოსინუსების ჯამისთვის:

პირველ კოსინუსში უგულებელყოფთ დვტ და Dkx , რომლებიც ბევრად უფრო მცირეა ვიდრე სხვა რაოდენობები. ჩვენ ამას ვსწავლობთ cos(–a) = cosa . მოდი ბოლოს ჩამოვწეროთ.

(4)

კვადრატულ ფრჩხილებში მოცემული ფაქტორი დროთა განმავლობაში იცვლება და კოორდინაციას გაცილებით ნელა, ვიდრე მეორე ფაქტორი. ამრიგად, გამოხატულება (4) შეიძლება ჩაითვალოს სიბრტყე ტალღის განტოლებად პირველი ფაქტორით აღწერილი ამპლიტუდით. გრაფიკულად, გამოსახულებით (4) აღწერილი ტალღა ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში.

შედეგად მიღებული ამპლიტუდა მიიღება ტალღების დამატების შედეგად, შესაბამისად, დაფიქსირდება ამპლიტუდის მაქსიმუმი და მინიმალური.

მაქსიმალური ამპლიტუდა განისაზღვრება შემდეგი პირობით.

(5)

მ = 0, 1, 2…

xmaxარის მაქსიმალური ამპლიტუდის კოორდინატი.

კოსინუსი იღებს მოდულის მაქსიმალურ მნიშვნელობას გვ .

თითოეული ეს მაქსიმუმი შეიძლება ჩაითვალოს ტალღების შესაბამისი ჯგუფის ცენტრად.

გადაწყვეტა (5) მიმართ xmax მიიღეთ.

ფაზის სიჩქარიდან გამომდინარე ჯგუფის სიჩქარეს უწოდებენ. ამ სიჩქარით მოძრაობს ტალღის პაკეტის მაქსიმალური ამპლიტუდა. ლიმიტში ჯგუფის სიჩქარის გამოხატულებას შემდეგი ფორმა ექნება.

(6)

ეს გამოთქმა მოქმედებს ტალღების თვითნებური რაოდენობის ჯგუფის ცენტრისთვის.

უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც გაფართოების ყველა პირობა ზუსტად არის გათვალისწინებული (ტალღების თვითნებური რაოდენობისთვის), ამპლიტუდის გამოხატულება მიიღება ისე, რომ მისგან გამომდინარეობს, რომ ტალღის პაკეტი დროთა განმავლობაში ვრცელდება.
ჯგუფის სიჩქარის გამოხატულება შეიძლება მიენიჭოს სხვადასხვა ფორმას.

დისპერსიის არარსებობის შემთხვევაში

ინტენსივობის მაქსიმუმი მოდის ტალღის ჯგუფის ცენტრში. ამრიგად, ენერგიის გადაცემის სიჩქარე ტოლია ჯგუფის სიჩქარეზე.

ჯგუფური სიჩქარის კონცეფცია გამოიყენება მხოლოდ იმ პირობით, რომ საშუალო ტალღის შთანთქმა მცირეა. ტალღების მნიშვნელოვანი შესუსტებით, ჯგუფური სიჩქარის კონცეფცია კარგავს თავის მნიშვნელობას. ეს შემთხვევა შეინიშნება ანომალიური დისპერსიის რეგიონში. ამას განვიხილავთ ტალღის ოპტიკის განყოფილებაში.