ცნობილი იყოს მათი ალბათობა და შესაბამისი პირობითი ალბათობა. მაშინ მოვლენის დადგომის ალბათობაა:
ამ ფორმულას ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულები. სახელმძღვანელოებში იგი ჩამოყალიბებულია თეორემით, რომლის დადასტურებაც ელემენტარულია: მიხედვით მოვლენის ალგებრა, (მოვლენა მოხდა და ანმოხდა მოვლენა დამას შემდეგ რაც მოვიდა ღონისძიება ანმოხდა მოვლენა დამას შემდეგ რაც მოვიდა ღონისძიება ან …. ანმოხდა მოვლენა დაღონისძიება მოჰყვა). ჰიპოთეზებიდან გამომდინარე 
შეუთავსებელია და მოვლენა არის დამოკიდებული, შემდეგ მიხედვით მიმატების თეორემა შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობებისთვის (პირველი ნაბიჯი)და დამოკიდებული მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემა (მეორე ნაბიჯი):
ალბათ, ბევრი ელის პირველი მაგალითის შინაარსს =)
სადაც არ უნდა გაფურთხოთ - ყველგან ურნა:
დავალება 1
სამი იდენტური ურნაა. პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 7 შავ ბურთულებს, მეორე ურნა შეიცავს მხოლოდ თეთრ ბურთებს, ხოლო მესამე ურნა შეიცავს მხოლოდ შავ ბურთულებს. ერთი ურნა ირჩევა შემთხვევით და მისგან შემთხვევით იშლება ბურთი. რა არის ალბათობა, რომ ეს ბურთი შავია?
გამოსავალი: განიხილეთ მოვლენა - შემთხვევით შერჩეული ურნიდან გამოიღებენ შავ ბურთს. ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთი შემდეგი ჰიპოთეზის განხორციელების შედეგად:
– შეირჩევა 1-ლი ურნა;
– აირჩევა მე-2 ურნა;
– აირჩევა მე-3 ურნა.
ვინაიდან ურნა არჩეულია შემთხვევით, სამივე ურნადან რომელიმეს არჩევანი თანაბრად შესაძლებელია, აქედან გამომდინარე: 
გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ჰიპოთეზები ყალიბდება მოვლენების სრული ჯგუფიანუ, მდგომარეობის მიხედვით, შავი ბურთი შეიძლება გამოჩნდეს მხოლოდ ამ ურნებიდან და, მაგალითად, ბილიარდის მაგიდიდან არ გაფრინდეს. მოდით გავაკეთოთ მარტივი შუალედური შემოწმება: 
კარგი, მოდით გადავიდეთ:
პირველი ურნა შეიცავს 4 თეთრ + 7 შავ = 11 ბურთულას, თითოეული კლასიკური განმარტება:
არის შავი ბურთის დახატვის ალბათობა იმის გათვალისწინებით, რომრომ 1-ლი ურნა შეირჩევა.
მეორე ურნა შეიცავს მხოლოდ თეთრ ბურთებს, ასე რომ თუ აირჩევაშავი ბურთის გამოჩენა ხდება შეუძლებელია: .
და ბოლოს, მესამე ურნაში არის მხოლოდ შავი ბურთები, რაც იმას ნიშნავს, რომ შესაბამისი პირობითი ალბათობაშავი ბურთის ამოღება იქნება (მოვლენა გარკვეულია).
არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ურნადან შავი ბურთი იქნება გამოყვანილი.
უპასუხე:
გაანალიზებული მაგალითი კიდევ ერთხელ გვიჩვენებს, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია მდგომარეობის გაგება. ავიღოთ იგივე პრობლემები ურმებთან და ბურთებთან - მათი გარეგანი მსგავსებით, გადაჭრის მეთოდები შეიძლება სრულიად განსხვავებული იყოს: სადღაც საჭიროა მხოლოდ გამოყენება. ალბათობის კლასიკური განმარტება, სადღაც მოვლენები დამოუკიდებელი, სადღაც დამოკიდებულიდა სადღაც ჰიპოთეზებზეა საუბარი. ამავდროულად, არ არსებობს მკაფიო ფორმალური კრიტერიუმი გადაწყვეტის გზის არჩევისთვის - თქვენ თითქმის ყოველთვის გჭირდებათ ამაზე ფიქრი. როგორ გააუმჯობესოთ თქვენი უნარები? ვხსნით, ვხსნით და ისევ ვხსნით!
დავალება 2
სასროლეთზე არის 5 სხვადასხვა თოფი. მოცემული მსროლელისთვის მიზანზე დარტყმის ალბათობა შესაბამისად უდრის 0,5-ს; 0,55; 0.7; 0.75 და 0.4. რა არის მიზანში მოხვედრის ალბათობა, თუ მსროლელმა შემთხვევით შერჩეული თოფიდან ერთ გასროლას გაისროლა?
მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
უმეტეს თემატურ პრობლემებში ჰიპოთეზები, რა თქმა უნდა, არ არის თანაბრად სავარაუდო:
დავალება 3
პირამიდაში არის 5 თოფი, რომელთაგან სამი აღჭურვილია ოპტიკური სამიზნით. ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი ტელესკოპური სამიზნე თოფიდან გასროლისას მიზანს მოხვდეს არის 0,95; ტელესკოპური სამიზნის გარეშე თოფისთვის ეს ალბათობა არის 0,7. იპოვნეთ სამიზნის დარტყმის ალბათობა, თუ მსროლელმა შემთხვევით აღებული თოფიდან ერთ გასროლას გაისროლა.
გამოსავალი: ამ პრობლემაში თოფების რაოდენობა ზუსტად იგივეა, რაც წინაში, მაგრამ არსებობს მხოლოდ ორი ჰიპოთეზა:
- მსროლელი ირჩევს თოფს ოპტიკური სამიზნით;
- მსროლელი შეარჩევს თოფს ტელესკოპური სამიზნის გარეშე.
მიერ ალბათობის კლასიკური განმარტება: 
.
კონტროლი:
განვიხილოთ მოვლენა: - მსროლელი ხვდება მიზანს შემთხვევით შერჩეული შაშხანით.
პირობით: .
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
უპასუხე: 0,85
პრაქტიკაში სავსებით მისაღებია ამოცანის შემუშავების შემცირებული გზა, რომელსაც თქვენც იცნობთ:
გამოსავალი: კლასიკური განმარტების მიხედვით: 
არის თოფის არჩევის ალბათობა, შესაბამისად, ოპტიკური სამიზნით და მის გარეშე.
პირობით, 
– შესაბამისი ტიპის თოფებით მიზანში დარტყმის ალბათობა.
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
არის ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი შემთხვევით შერჩეული შაშხანით მოხვდება სამიზნეს.
უპასუხე: 0,85
შემდეგი ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
დავალება 4
ძრავა მუშაობს სამ რეჟიმში: ნორმალური, იძულებითი და უმოქმედო. უმოქმედო რეჟიმში მისი წარუმატებლობის ალბათობაა 0.05, ნორმალურ რეჟიმში - 0.1, ხოლო იძულებით რეჟიმში - 0.7. 70% ძრავა მუშაობს ნორმალურ რეჟიმში და 20% იძულებით რეჟიმში. რა არის ძრავის უკმარისობის ალბათობა მუშაობის დროს?
ყოველი შემთხვევისთვის, შეგახსენებთ - ალბათობების მისაღებად პროცენტები უნდა გაიყოს 100-ზე. ძალიან ფრთხილად იყავით! ჩემი დაკვირვებით, საერთო ალბათობის ფორმულის ამოცანების პირობების აღრევას ხშირად ცდილობენ; და მე კონკრეტულად ავირჩიე ასეთი მაგალითი. საიდუმლოს გეტყვით - კინაღამ თავი დავიბნე =)
გამოსავალი გაკვეთილის ბოლოს (მოკლედ ჩამოყალიბებული)
პრობლემები ბეიზის ფორმულებისთვის
მასალა მჭიდრო კავშირშია წინა აბზაცის შინაარსთან. დაე, მოვლენა მოხდეს ერთ-ერთი ჰიპოთეზის განხორციელების შედეგად 
. როგორ განვსაზღვროთ იმის ალბათობა, რომ კონკრეტული ჰიპოთეზა მოხდა?
Იმის გათვალისწინებით, რომიმ მოვლენას უკვე მოხდა, ჰიპოთეზების ალბათობა გადაჭარბებული შეფასებაფორმულების მიხედვით, რომლებმაც მიიღეს ინგლისელი მღვდლის თომას ბეისის სახელი:
- ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა შედგა; 
- ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა შედგა;
…
არის ალბათობა იმისა, რომ ჰიპოთეზა იყო ჭეშმარიტი.
ერთი შეხედვით სრულ აბსურდულად გვეჩვენება - რატომ გადათვალეთ ჰიპოთეზების ალბათობა, თუ ისინი უკვე ცნობილია? მაგრამ სინამდვილეში არის განსხვავება:
- ეს აპრიორი(შეფასებული ადრეტესტები) ალბათობა.
- ეს უკანა მხარეს(შეფასებული შემდეგტესტები) იგივე ჰიპოთეზის ალბათობა, ხელახლა გამოთვლილი „ახლად აღმოჩენილ გარემოებებთან“ დაკავშირებით - იმის გათვალისწინებით, რომ მოვლენა მოხდა.
მოდით შევხედოთ ამ განსხვავებას კონკრეტული მაგალითით:
დავალება 5
საწყობმა მიიღო პროდუქციის 2 პარტია: პირველი - 4000 ცალი, მეორე - 6000 ცალი. არასტანდარტული პროდუქტების საშუალო პროცენტი პირველ პარტიაში 20%-ია, ხოლო მეორეში - 10%. საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი სტანდარტული აღმოჩნდა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის არის: ა) პირველი პარტიიდან, ბ) მეორე პარტიიდან.
Პირველი ნაწილი გადაწყვეტილებებიმოიცავს საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთვლები ხორციელდება იმ ვარაუდით, რომ ტესტი ჯერ არ არის წარმოებულიდა მოვლენა "პროდუქტი აღმოჩნდა სტანდარტული"სანამ მოვა.
განვიხილოთ ორი ჰიპოთეზა:
- შემთხვევით მიღებული პროდუქტი იქნება პირველი პარტიიდან;
- შემთხვევით მიღებული პროდუქტი იქნება მე-2 პარტიიდან.
სულ: 4000 + 6000 = 10000 ნივთი მარაგში. კლასიკური განმარტების მიხედვით:
.
კონტროლი:
განვიხილოთ დამოკიდებული მოვლენა: – საწყობიდან შემთხვევით აღებული ნივთი ნებასტანდარტული.
პირველ პარტიაში 100% - 20% = 80% სტანდარტული პროდუქტები, შესაბამისად: 
იმის გათვალისწინებით, რომრომ ის ეკუთვნის 1 პარტიას.
ანალოგიურად, მეორე პარტიაში 100% - 10% = 90% სტანდარტული პროდუქტები და 
არის ალბათობა იმისა, რომ საწყობში შემთხვევით შერჩეული ნივთი იქნება სტანდარტული ნივთი იმის გათვალისწინებით, რომრომ მე-2 მხარეს ეკუთვნის.
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
არის ალბათობა იმისა, რომ საწყობიდან შემთხვევით არჩეული პროდუქტი იქნება სტანდარტული პროდუქტი.
Მეორე ნაწილი. დავუშვათ, რომ საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი სტანდარტული აღმოჩნდა. ეს ფრაზა პირდაპირ არის გაწერილი პირობით და ის ასახავს იმ ფაქტს, რომ მოვლენა მოხდა.
ბეიზის ფორმულების მიხედვით:
ა) - ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული სტანდარტული პროდუქტი მიეკუთვნება პირველ პარტიას;
ბ) - ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული სტანდარტული პროდუქტი მიეკუთვნება მე-2 პარტიას.
შემდეგ გადაფასებაჰიპოთეზები, რა თქმა უნდა, ჯერ კიდევ იქმნება სრული ჯგუფი:
(გამოკვლევა;-))
უპასუხე: 
ჰიპოთეზების გადაფასების მნიშვნელობის გაგებაში დაგვეხმარება ივან ვასილიევიჩი, რომელმაც კვლავ შეცვალა პროფესია და ქარხნის დირექტორი გახდა. მან იცის, რომ დღეს პირველმა მაღაზიამ საწყობში 4000 ცალი, ხოლო მე-2 მაღაზიამ - 6000 პროდუქცია გადაიტანა და ამაში დასარწმუნებლად მოდის. დავუშვათ, რომ ყველა პროდუქტი ერთი და იგივე ტიპისაა და ერთსა და იმავე კონტეინერშია. ბუნებრივია, ივან ვასილიევიჩმა ადრე გამოთვალა, რომ პროდუქტი, რომელსაც ის ახლა ამოიღებდა გადამოწმებისთვის, სავარაუდოდ, პირველი სახელოსნოს მიერ წარმოებული იქნებოდა და ალბათობით მეორე. მაგრამ მას შემდეგ, რაც შერჩეული ნივთი სტანდარტული აღმოჩნდება, ის იძახის: „რა მაგარი ჭანჭიკია! - ეს უფრო მეტად გამოუშვა მე-2 სახელოსნომ. ამრიგად, მეორე ჰიპოთეზის ალბათობა გადაჭარბებულია უკეთესობისკენ, ხოლო პირველი ჰიპოთეზის ალბათობა არ არის შეფასებული: . და ეს გადაჭარბებული შეფასება არ არის უსაფუძვლო - ბოლოს და ბოლოს, მე-2 სახელოსნომ არა მხოლოდ აწარმოა მეტი პროდუქტი, არამედ 2-ჯერ უკეთ მუშაობს!
თქვენ ამბობთ, სუფთა სუბიექტივიზმი? ნაწილობრივ - დიახ, უფრო მეტიც, თავად ბეიესმა ინტერპრეტაცია მოახდინა უკანა მხარესალბათობა როგორც ნდობის დონე. თუმცა, ყველაფერი ასე მარტივი არ არის - ბაიესის მიდგომაში არის ობიექტური მარცვალი. ყოველივე ამის შემდეგ, ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი სტანდარტული იქნება (0.8 და 0.9 1-ლი და მე-2 მაღაზიებისთვის, შესაბამისად)ეს წინასწარი(აპრიორი) და საშუალოშეფასებები. მაგრამ, ფილოსოფიურად რომ ვთქვათ, ყველაფერი მიედინება, ყველაფერი იცვლება, მათ შორის ალბათობაც. სავსებით შესაძლებელია რომ კვლევის დროსუფრო წარმატებულმა მე-2 მაღაზიამ გაზარდა სტანდარტული პროდუქციის პროცენტი (და/ან 1-ლი მაღაზია შემცირდა)და თუ შეამოწმებთ მარაგში არსებულ 10 ათას ნივთს ან მეტს, მაშინ გადაჭარბებული მნიშვნელობები ბევრად უფრო ახლოს იქნება სიმართლესთან.
სხვათა შორის, თუ ივან ვასილიევიჩი ამოიღებს არასტანდარტულ ნაწილს, მაშინ პირიქით - ის უფრო და უფრო ნაკლებად "ეჭვობს" პირველ მაღაზიაში - მეორეში. მე გირჩევთ, თავად შეამოწმოთ:
დავალება 6
საწყობმა მიიღო პროდუქციის 2 პარტია: პირველი - 4000 ცალი, მეორე - 6000 ცალი. არასტანდარტული პროდუქტების საშუალო პროცენტი პირველ პარტიაში 20%-ია, მეორეში - 10%. საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი აღმოჩნდა არასტანდარტული. იპოვეთ ალბათობა, რომ ის არის: ა) პირველი პარტიიდან, ბ) მეორე პარტიიდან.
პირობა ორი ასოთი იქნება გამორჩეული, რომლებიც მე ხაზგასმული მაქვს თამამად. პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს ნულიდან, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა გამოთვლების შედეგები. ნიმუშში ჩავატარე სრული გადაწყვეტა, მაგრამ იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ ფორმალური გადაფარვა No5 ამოცანასთან, მოვლენა ,,საწყობიდან შემთხვევით აღებული პროდუქტი იქნება არასტანდარტული“აღინიშნება .
ალბათობათა ხელახალი შეფასების ბაიესის სქემა ყველგან გვხვდება და მას ასევე აქტიურად იყენებენ სხვადასხვა სახის თაღლითები. განვიხილოთ საზოგადო სახელით ქცეული სამასოიანი სააქციო საზოგადოება, რომელიც იზიდავს დეპოზიტებს მოსახლეობისგან, ვითომ სადმე ინვესტირებას ახორციელებს, რეგულარულად იხდის დივიდენდებს და ა.შ. Რა ხდება? გადის დღითი დღე, თვე შემდეგ თვე და უფრო და უფრო მეტი ახალი ფაქტი, რომელიც გადმოცემულია რეკლამით და ზეპირი სიტყვით, მხოლოდ ზრდის ფინანსური პირამიდის მიმართ ნდობის დონეს. (უკანა ბაიესის ხელახალი შეფასება წარსული მოვლენების გამო!). ანუ მეანაბრეების თვალში მუდმივად იზრდება იმის ალბათობა "ეს სერიოზული ოფისია"; ხოლო საპირისპირო ჰიპოთეზის ალბათობა ("ეს ჩვეულებრივი თაღლითები არიან")რა თქმა უნდა, მცირდება და მცირდება. დანარჩენი, ვფიქრობ, გასაგებია. აღსანიშნავია, რომ დამსახურებული რეპუტაცია ორგანიზატორებს აძლევს დროს, წარმატებით დაემალონ ივან ვასილიევიჩს, რომელიც დარჩა არა მხოლოდ ჭანჭიკების პარტია, არამედ შარვლის გარეშეც.
ჩვენ ცოტა მოგვიანებით დავუბრუნდებით არანაკლებ საინტერესო მაგალითებს, მაგრამ ახლა, ალბათ, ყველაზე გავრცელებული შემთხვევა სამი ჰიპოთეზის მიხედვით არის შემდეგი:
დავალება 7
ელექტრო ნათურები იწარმოება სამ ქარხანაში. 1-ლი ქარხანა აწარმოებს ნათურების საერთო რაოდენობის 30%-ს, მე-2 - 55%-ს, ხოლო მე-3 - დანარჩენს. 1-ლი ქარხნის პროდუქტები შეიცავს დეფექტურ ნათურებს 1%, მე-2 - 1,5%, მე-3 - 2%. მაღაზია სამივე ქარხნის პროდუქციას იღებს. ნაყიდი ნათურა იყო დეფექტური. რა არის იმის ალბათობა, რომ ის 2 მცენარემ გამოიმუშავა?
გაითვალისწინეთ, რომ Bayes-ის ფორმულების პრობლემებში მდგომარეობა აუცილებლადზოგიერთი რა მოხდაღონისძიება, ამ შემთხვევაში, ნათურის შეძენა.
მოვლენებმა მოიმატა და გამოსავალიუფრო მოსახერხებელია "სწრაფ" სტილში მოწყობა.
ალგორითმი ზუსტად იგივეა: პირველ ეტაპზე ვპოულობთ ალბათობას, რომ შეძენილი ნათურა იქნებადეფექტური.
საწყისი მონაცემების გამოყენებით, ჩვენ ვთარგმნით პროცენტებს ალბათებად:
არის ალბათობა იმისა, რომ ნათურა აწარმოებს, შესაბამისად, 1, მე-2 და მე-3 ქარხნებს.
კონტროლი:
ანალოგიურად: - დეფექტური ნათურის დამზადების ალბათობა შესაბამისი ქარხნებისთვის.
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით:
- ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი ნათურა იყოს დეფექტური.
ნაბიჯი მეორე. დაე, შეძენილი ნათურა იყოს დეფექტური (მოვლენა მოხდა)
ბეიზის ფორმულის მიხედვით: 
- ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი დეფექტური ნათურა არის მეორე ქარხნის მიერ წარმოებული
უპასუხე:
რატომ გაიზარდა მე-2 ჰიპოთეზის საწყისი ალბათობა ხელახალი შეფასების შემდეგ? მეორე ქარხანა ხომ აწარმოებს საშუალო ხარისხის ნათურებს (პირველი უკეთესია, მესამე უარესი). მაშ რატომ გაიზარდა უკანა მხარესალბათობა იმისა, რომ დეფექტური ნათურა მე-2 ქარხნისაა? ეს უკვე არა "რეპუტაციის" გამო, არამედ ზომისაა. ვინაიდან No2 ქარხანა აწარმოებდა ყველაზე მეტ ნათურებს, ისინი ამას ადანაშაულებენ (სულ მცირე, სუბიექტურად): "სავარაუდოდ, ეს დეფექტური ნათურა იქიდან არის".
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ 1-ლი და მე-3 ჰიპოთეზის ალბათობა გადაჭარბებული იყო მოსალოდნელი მიმართულებებით და თანაბარი გახდა:
კონტროლი: 
, რომელიც გადამოწმებული იყო.
სხვათა შორის, დაახლოებით დაუფასებელი და გადაჭარბებული:
დავალება 8
სტუდენტურ ჯგუფში 3 ადამიანს აქვს მაღალი მომზადების დონე, 19 - საშუალო დონე და 3 - დაბალი დონე. ამ სტუდენტებისთვის გამოცდის წარმატებით ჩაბარების ალბათობა არის შესაბამისად: 0,95; 0.7 და 0.4. ცნობილია, რომ ზოგიერთმა სტუდენტმა ჩააბარა გამოცდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ:
ა) ძალიან კარგად იყო მომზადებული;
ბ) მომზადებული იყო ზომიერად;
გ) ცუდად იყო მომზადებული.
განახორციელეთ გამოთვლები და გააანალიზეთ ჰიპოთეზების გადაფასების შედეგები.
დავალება რეალობასთან ახლოსაა და განსაკუთრებით დამაჯერებელია ნახევარ განაკვეთზე მოსწავლეთა ჯგუფისთვის, სადაც მასწავლებელმა პრაქტიკულად არ იცის ამა თუ იმ მოსწავლის შესაძლებლობები. ამ შემთხვევაში, შედეგმა შეიძლება გამოიწვიოს საკმაოდ მოულოდნელი შედეგები. (განსაკუთრებით პირველ სემესტრში გამოცდებისთვის). თუ ცუდად მომზადებულ მოსწავლეს გაუმართლა ბილეთი, მაშინ მასწავლებელი მას კარგ მოსწავლედ ან თუნდაც ძლიერ მოსწავლედ მიიჩნევს, რაც მომავალში კარგ დივიდენდებს მოიტანს. (რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა "აწიოთ ბარი" და შეინარჩუნოთ თქვენი იმიჯი). თუ სტუდენტი სწავლობდა, დატკეპნილი, გაიმეორა 7 დღე და 7 ღამე, მაგრამ მას უბრალოდ არ გაუმართლა, მაშინ შემდგომი მოვლენები შეიძლება განვითარდეს ყველაზე უარესი გზით - მრავალი ხელახლა და დაბალანსება გამგზავრების ზღვარზე.
ზედმეტია იმის თქმა, რომ რეპუტაცია ყველაზე მნიშვნელოვანი კაპიტალია, შემთხვევითი არ არის, რომ ბევრი კორპორაცია ატარებს დამფუძნებელ მამების სახელებს და გვარებს, რომლებიც 100-200 წლის წინ ხელმძღვანელობდნენ ბიზნესს და გახდნენ ცნობილი თავიანთი უნაკლო რეპუტაციით.
დიახ, ბაიესის მიდგომა გარკვეულწილად სუბიექტურია, მაგრამ ... ასე მუშაობს ცხოვრება!
მოდით გავაერთიანოთ მასალა საბოლოო სამრეწველო მაგალითით, რომელშიც ვისაუბრებ გადაწყვეტის ტექნიკურ დახვეწილობაზე, რომელიც ჯერ არ შემხვედრია:
დავალება 9
ქარხნის სამი სახელოსნო აწარმოებს იმავე ტიპის ნაწილებს, რომლებიც აწყობილია საერთო კონტეინერში ასაწყობად. ცნობილია, რომ პირველი მაღაზია აწარმოებს 2-ჯერ მეტ ნაწილს, ვიდრე მეორე მაღაზია, ხოლო 4-ჯერ მეტს, ვიდრე მესამე მაღაზია. პირველ სახელოსნოში დეფექტი არის 12%, მეორეში - 8%, მესამეში - 4%. კონტროლისთვის ერთი ნაწილი ამოღებულია კონტეინერიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ დეფექტური იყოს? რა არის იმის ალბათობა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი მე-3 სახელოსნომ დაამზადა?
ტაკი ივან ვასილიევიჩი ისევ ცხენზეა =) ფილმს ბედნიერი დასასრული უნდა ჰქონდეს =)
გამოსავალი: №5-8 დავალებისგან განსხვავებით, აქ ცალსახად დაისმება კითხვა, რომელიც წყდება საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. მაგრამ მეორეს მხრივ, მდგომარეობა ოდნავ „დაშიფრულია“ და სკოლის უნარი უმარტივესი განტოლებების შედგენისას დაგვეხმარება ამ რებუსის ამოხსნაში. "x"-სთვის მოსახერხებელია უმცირესი მნიშვნელობის აღება:
მოდით იყოს მესამე სახელოსნოს მიერ წარმოებული ნაწილების წილი.
პირობის მიხედვით, პირველი სახელოსნო აწარმოებს 4-ჯერ მეტს, ვიდრე მესამე სახელოსნო, ამიტომ 1-ლი სახელოსნოს წილი არის .
გარდა ამისა, პირველი სახელოსნო აწარმოებს 2-ჯერ მეტ პროდუქტს, ვიდრე მეორე სახელოსნო, რაც ნიშნავს, რომ ამ უკანასკნელის წილი: .
შევქმნათ და ამოხსნათ განტოლება:
ამრიგად: - ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან ამოღებული ნაწილი გამოუშვეს, შესაბამისად, 1, მე-2 და მე-3 სახელოსნოებმა.
კონტროლი:. გარდა ამისა, ზედმეტი არ იქნება ფრაზის გადახედვა ცნობილია, რომ პირველი სახელოსნო აწარმოებს პროდუქტს 2-ჯერ მეტს, ვიდრე მეორე სახელოსნო და 4-ჯერ მეტს, ვიდრე მესამე სახელოსნო.და დარწმუნდით, რომ მიღებული ალბათობები ნამდვილად შეესაბამება ამ მდგომარეობას.
„X“-სთვის თავიდან შესაძლებელი იყო 1-ის ან მე-2 მაღაზიის წილის აღება - ალბათობა იგივე გამოვა. მაგრამ, ასეა თუ ისე, ყველაზე რთული მონაკვეთი გაიარა და გამოსავალი გზაზეა:
მდგომარეობიდან ვხვდებით:
- შესაბამისი სახელოსნოებისთვის დეფექტური ნაწილის დამზადების ალბათობა.
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით: 
არის ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან შემთხვევით ამოღებული ნაწილი იყოს არასტანდარტული.
კითხვა მეორე: რა არის იმის ალბათობა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი მე-3 მაღაზიამ დაამზადა? ეს კითხვა ვარაუდობს, რომ ნაწილი უკვე ამოღებულია და აღმოჩენილია დეფექტური. ჩვენ გადავაფასებთ ჰიპოთეზას ბეიზის ფორმულის გამოყენებით: 
არის სასურველი ალბათობა. საკმაოდ მოსალოდნელია - ბოლოს და ბოლოს, მესამე სახელოსნო აწარმოებს არა მხოლოდ ნაწილების ყველაზე მცირე წილს, არამედ ლიდერობს ხარისხში!
ამ შემთხვევაში მომიწია ოთხსართულიანი წილადის გამარტივება, რომელიც Bayes-ის ფორმულების პრობლემებში საკმაოდ ხშირად უნდა გაკეთდეს. მაგრამ ამ გაკვეთილისთვის მე რატომღაც შემთხვევით ავიღე მაგალითები, რომლებშიც ბევრი გამოთვლა შეიძლება გაკეთდეს ჩვეულებრივი წილადების გარეშე.
იმის გამო, რომ პირობაში არ არის "a" და "be" პუნქტები, უმჯობესია პასუხი მოგვაწოდოთ ტექსტის კომენტარებით:
უპასუხე: 
- ალბათობა იმისა, რომ კონტეინერიდან ამოღებული ნაწილი დეფექტური იყოს; - ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული დეფექტური ნაწილი გამოუშვა მე-3 სახელოსნომ.
როგორც ხედავთ, პრობლემები საერთო ალბათობის ფორმულებზე და ბეიზის ფორმულებზე საკმაოდ მარტივია და, ალბათ, ამ მიზეზით ისინი ასე ხშირად ცდილობენ გაართულონ მდგომარეობა, რომელიც უკვე ავღნიშნე სტატიის დასაწყისში.
დამატებითი მაგალითები მოცემულია ფაილში მზა გადაწყვეტილებები F.P.V. და ბეიზის ფორმულებიგარდა ამისა, ალბათ არიან ისეთებიც, ვისაც სურს ამ თემის უფრო ღრმად გაცნობა სხვა წყაროებში. და თემა მართლაც ძალიან საინტერესოა - რა ღირს მარტო ბეის პარადოქსი, რომელიც ამართლებს ყოველდღიურ რჩევას, რომ თუ ადამიანს უიშვიათესი დაავადება დაუდგინდა, მაშინ აზრი აქვს მეორე და თუნდაც ორი განმეორებითი დამოუკიდებელი გამოკვლევის ჩატარებას. როგორც ჩანს, ისინი ამას აკეთებენ მხოლოდ სასოწარკვეთილების გამო ... - მაგრამ არა! ოღონდ სამწუხარო რამეებზე ნუ ვილაპარაკებთ.
არის ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული სტუდენტი ჩააბარებს გამოცდას.
მიეცით სტუდენტს გამოცდა ჩაბარება. ბეიზის ფორმულების მიხედვით:
ა)
- ალბათობა იმისა, რომ გამოცდაზე ჩაბარებული სტუდენტი ძალიან კარგად იყო მომზადებული. ობიექტური საწყისი ალბათობა გადაჭარბებულია, რადგან თითქმის ყოველთვის ზოგიერთ "საშუალო"-ს გაუმართლა კითხვები და ისინი ძალიან მკაცრად პასუხობენ, რაც უნაკლო მომზადების მცდარ შთაბეჭდილებას ტოვებს.ბ)
არის ალბათობა იმისა, რომ გამოცდაზე ჩაბარებული სტუდენტი იყო ზომიერად მომზადებული. საწყისი ალბათობა ოდნავ გადაჭარბებული აღმოჩნდება, რადგან მომზადების საშუალო დონის მოსწავლეები, როგორც წესი, უმრავლესობას წარმოადგენენ, გარდა ამისა, მასწავლებელი აქ წარუმატებლად უპასუხებს „წარჩინებულ მოსწავლეებს“ და ზოგჯერ ცუდად წარმდგენი მოსწავლეს, რომელსაც ძალიან გაუმართლა ბილეთი.V)
- ალბათობა იმისა, რომ გამოცდაზე ჩაბარებული სტუდენტი ცუდად იყო მომზადებული. საწყისი ალბათობა გადაჭარბებული იყო უარესობისკენ. გასაკვირი არ არის.გამოცდა:
უპასუხე :
ორივე ძირითადი თეორემის - ალბათობის მიმატების თეორემისა და ალბათობის გამრავლების თეორემის - ეგრეთ წოდებული საერთო ალბათობის ფორმულაა.
დაე, საჭირო გახდეს რაიმე მოვლენის ალბათობის განსაზღვრა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთ მოვლენასთან ერთად:
შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფის ჩამოყალიბება. ამ მოვლენებს ჰიპოთეზებს დავარქმევთ.
მოდით დავამტკიცოთ ეს ამ შემთხვევაში
, (3.4.1)
იმათ. მოვლენის ალბათობა გამოითვლება, როგორც თითოეული ჰიპოთეზის ალბათობისა და ამ ჰიპოთეზის მიხედვით მოვლენის ალბათობის პროდუქტების ჯამი.
ფორმულას (3.4.1) ეწოდება საერთო ალბათობის ფორმულა.
მტკიცებულება. ვინაიდან ჰიპოთეზები ქმნიან სრულ ჯგუფს, მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს მხოლოდ რომელიმე ამ ჰიპოთეზთან ერთად:
ვინაიდან ჰიპოთეზები არათანმიმდევრულია, კომბინაციები 
ასევე შეუთავსებელი; მათზე დამატების თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ:
მოვლენაზე გამრავლების თეორემის გამოყენებით მივიღებთ:
,
ქ.ე.დ.
მაგალითი 1. არსებობს სამი იდენტური გარეგნობის ურნა; პირველი ურნა შეიცავს ორ თეთრ და ერთ შავ ბურთულას; მეორეში - სამი თეთრი და ერთი შავი; მესამეში - ორი თეთრი და ორი შავი ბურთი. ვიღაც შემთხვევით ირჩევს ერთ-ერთ ურნას და მისგან გამოაქვს ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრია.
გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ჰიპოთეზა:
პირველი ურნის არჩევანი,
მეორე ურნის არჩევანი,
მესამე ურნის არჩევანი
და მოვლენა არის თეთრი ბურთის გამოჩენა.
ვინაიდან ჰიპოთეზები, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, თანაბრად სავარაუდოა, მაშინ
.
ამ ჰიპოთეზის მიხედვით მოვლენის პირობითი ალბათობა შესაბამისად ტოლია:
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით
.
მაგალითი 2. სამი ერთჯერადი გასროლა ხდება თვითმფრინავზე. პირველი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,4, მეორესთან - 0,5, მესამეზე 0,7. სამი დარტყმა აშკარად საკმარისია თვითმფრინავის გასათიშად; ერთი დარტყმით თვითმფრინავი მარცხდება 0,2 ალბათობით, ორი დარტყმით 0,6 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ სამი გასროლის შედეგად თვითმფრინავი მწყობრიდან გამოვა.
გამოსავალი. განვიხილოთ ოთხი ჰიპოთეზა:
არც ერთი ჭურვი არ მოხვდა თვითმფრინავს,
ერთი ჭურვი თვითმფრინავს მოხვდა
თვითმფრინავს ორი ჭურვი მოხვდა.
თვითმფრინავს სამი ჭურვი მოხვდა.
შეკრებისა და გამრავლების თეორემების გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ამ ჰიპოთეზების ალბათობას:
მოვლენის პირობითი ალბათობა (თვითმფრინავის უკმარისობა) ამ ჰიპოთეზის მიხედვით არის:
საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:
გაითვალისწინეთ, რომ პირველი ჰიპოთეზის გათვალისწინება არ შეიძლებოდა, რადგან საერთო ალბათობის ფორმულაში შესაბამისი ტერმინი ქრება. ეს ჩვეულებრივ კეთდება მთლიანი ალბათობის ფორმულის გამოყენებისას, განიხილება არა არათანმიმდევრული ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი, არამედ მხოლოდ ისინი, რომლებშიც შესაძლებელია მოცემული მოვლენა.
მაგალითი 3. ძრავის მუშაობას აკონტროლებს ორი რეგულატორი. განიხილება გარკვეული პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც სასურველია უზრუნველყოს ძრავის უპრობლემოდ მუშაობა. თუ ორივე რეგულატორია, ძრავა იშლება ალბათობით, თუ მხოლოდ პირველი მუშაობს, ალბათობით, თუ მუშაობს მხოლოდ მეორე, თუ ორივე რეგულატორი იშლება, ალბათობით. რეგულატორებიდან პირველს აქვს საიმედოობა, მეორეს -. ყველა ელემენტი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად იშლება. იპოვნეთ ძრავის მთლიანი საიმედოობა (უშეცდომოდ მუშაობის ალბათობა).
მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფი, თუ ერთი მათგანი მაინც აუცილებლად მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად და წყვილ-წყვილად შეუსაბამოა.
დავუშვათ, რომ მოვლენა აშეიძლება მოხდეს მხოლოდ რამდენიმე წყვილში შეუთავსებელი მოვლენადან ერთ-ერთთან ერთად, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. მოვლენებს ვუწოდოთ მე= 1, 2,…, ნ) ჰიპოთეზებიდამატებითი გამოცდილება (აპრიორი). A მოვლენის დადგომის ალბათობა განისაზღვრება ფორმულით სრული ალბათობა :
მაგალითი 16სამი ურნაა. პირველი ურნა შეიცავს 5 თეთრ და 3 შავ ბურთულას, მეორე ურნა შეიცავს 4 თეთრ და 4 შავ ბურთულას, ხოლო მესამე ურნა შეიცავს 8 თეთრ ბურთულას. ერთ-ერთი ურნა არჩეულია შემთხვევით (ეს შეიძლება ნიშნავს, რომ შერჩევა ხდება დამხმარე ურნიდან, რომელიც შეიცავს 1, 2 და 3 ნომრებით სამ ბურთულას). ამ ურნიდან შემთხვევით იშლება ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ შავი იყოს?
გამოსავალი.ღონისძიება ა- შავი ბურთია დახატული. თუ ცნობილი იქნებოდა, რომელი ურნადან არის გაყვანილი ბურთი, მაშინ საჭირო ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ალბათობის კლასიკური განმარტების მიხედვით. მოდით შემოვიტანოთ ვარაუდები (ჰიპოთეზები) იმის შესახებ, თუ რომელი ურნაა არჩეული ბურთის ამოსაღებად.
ბურთის ამოღება შესაძლებელია ან პირველი ურნადან (ჰიპოთეზა), ან მეორედან (ჰიპოთეზა), ან მესამედან (ჰიპოთეზა). ვინაიდან თანაბარი შანსებია რომელიმე ურნის არჩევისთვის, მაშინ 
.
აქედან გამომდინარეობს, რომ
მაგალითი 17.ელექტრო ნათურები იწარმოება სამ ქარხანაში. პირველი ქარხანა აწარმოებს ელექტრო ნათურების მთლიანი რაოდენობის 30%-ს, მეორე - 25%-ს.
ხოლო მესამე დანარჩენისთვის. პირველი ქარხნის პროდუქცია შეიცავს დეფექტურ ელექტრონათურებს 1%, მეორეში - 1,5%, მესამეში - 2%. მაღაზია სამივე ქარხნის პროდუქციას იღებს. რა არის იმის ალბათობა, რომ მაღაზიაში ნაყიდი ნათურა დეფექტურია?
გამოსავალი.უნდა შეიყვანოთ ვარაუდები, თუ რომელ ქარხანაში იყო წარმოებული ნათურა. ამის გაცნობიერებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ ის დეფექტურია. მოდით შემოვიტანოთ მოვლენის აღნიშვნა: ა– ნაყიდი ელექტრონათურა გაუმართავი აღმოჩნდა, – ნათურა პირველი ქარხნის დამზადებისა, – ნათურა მეორე ქარხნის წარმოების,
– ნათურა დამზადებულია მესამე ქარხნის მიერ.
სასურველი ალბათობა იპოვება საერთო ალბათობის ფორმულით:
ბეიზის ფორმულა. მოდით იყოს წყვილი შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი (ჰიპოთეზები). აშემთხვევითი მოვლენაა. შემდეგ,
ბოლო ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადააფასოთ ჰიპოთეზების ალბათობა მას შემდეგ, რაც ტესტის შედეგი გახდება ცნობილი, რის შედეგადაც გამოჩნდა მოვლენა A, ე.წ. ბეიზის ფორმულა .
მაგალითი 18.ამ დაავადების მქონე პაციენტების საშუალოდ 50% მოთავსებულია სპეციალიზებულ საავადმყოფოში TO, 30% დაავადებით ლ, 20 % –
დაავადებით მ. დაავადების სრული განკურნების ალბათობა კუდრის 0,7 დაავადებებს ლდა მეს ალბათობა არის შესაბამისად 0.8 და 0.9. საავადმყოფოში მოთავსებული პაციენტი ჯანმრთელად გაწერეს. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ პაციენტს ჰქონდა დაავადება კ.
გამოსავალი.შემოგთავაზებთ ჰიპოთეზებს: - პაციენტს დაავადდა TO ლ, ავადმყოფი დაავადდა მ.
მაშინ, პრობლემის პირობით, გვაქვს . წარმოგიდგენთ ღონისძიებას ასაავადმყოფოში მოთავსებული პაციენტი ჯანმრთელად გაწერეს. პირობით
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:
ბეიზის ფორმულა.
მაგალითი 19.დაე, ურნაში იყოს ხუთი ბურთი და ყველა ვარაუდი თეთრი ბურთების რაოდენობის შესახებ თანაბრად სავარაუდოა. ურნიდან შემთხვევით იღებენ ბურთს და ის თეთრი აღმოჩნდება. რა არის ყველაზე სავარაუდო ვარაუდი ურნის საწყისი შემადგენლობის შესახებ?
გამოსავალი.მოდით იყოს ჰიპოთეზა, რომ ურნაში თეთრი ბურთები 
, ანუ შესაძლებელია ექვსი ვარაუდის გაკეთება. მაშინ, პრობლემის პირობით, გვაქვს .
წარმოგიდგენთ ღონისძიებას აშემთხვევით დახატული თეთრი ბურთი. გამოვთვალოთ. მას შემდეგ, რაც ბეიზის ფორმულის მიხედვით გვაქვს: 
ამრიგად, ჰიპოთეზა ყველაზე სავარაუდოა, ვინაიდან .
მაგალითი 20.გამოთვლითი მოწყობილობის სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტიდან ორი ვერ მოხერხდა. იპოვეთ პირველი და მეორე ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა, თუ პირველი, მეორე და მესამე ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა შესაბამისად უდრის 0,2-ს; 0.4 და 0.3.
გამოსავალი.აღნიშნეთ მიერ აღონისძიება - ორი ელემენტი ვერ მოხერხდა. შემდეგი ჰიპოთეზების დადგენა შეიძლება:
- პირველი და მეორე ელემენტი ვერ მოხერხდა, ხოლო მესამე ელემენტი ემსახურება. ვინაიდან ელემენტები დამოუკიდებლად მუშაობენ, გამრავლების თეორემა მოქმედებს:
მაგალითი #1. კომპიუტერების მწარმოებელი კომპანია იძენს იგივე ნაწილებს სამი მომწოდებლისგან. პირველი აწვდის ყველა კომპონენტის 50%-ს, მეორე - 20%-ს, მესამეს - ნაწილების 30%-ს.ცნობილია, რომ მიწოდებული ნაწილების ხარისხი განსხვავებულია და პირველი მიმწოდებლის პროდუქტებში ხარვეზების პროცენტული მაჩვენებელია 4%, მეორეს - 5%, მესამეს - 2%. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ყველა მიღებულიდან შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იყოს დეფექტური.
გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები: A - "არჩეული ნივთი არის დეფექტური", H i - "არჩეული ნივთი მიღებულია მე-ე მიმწოდებლისგან", i =1, 2, 3 ჰიპოთეზა H 1 , H 2 , H 3 ქმნის სრულ ჯგუფს. შეუთავსებელი მოვლენები. პირობით
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით (1.11) A მოვლენის ალბათობა უდრის
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02=0.036
ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით არჩეული ნაწილი იქნება დეფექტური არის 0.036.
დაე, მოვლენა A უკვე მოხდა წინა მაგალითის პირობებში: არჩეული ნაწილი დეფექტური აღმოჩნდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ იგი პირველი მიმწოდებლისგან იქნა მიღებული? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია ბეიზის ფორმულით.
ჩვენ დავიწყეთ ალბათობების ანალიზი მხოლოდ წინასწარი, მოვლენების ალბათობის აპრიორი მნიშვნელობებით. შემდეგ ჩატარდა ექსპერიმენტი (შეირჩიეს ნაწილი) და მივიღეთ დამატებითი ინფორმაცია ჩვენთვის საინტერესო მოვლენის შესახებ. ამ ახალი ინფორმაციით, ჩვენ შეგვიძლია დავხვეწოთ წინა ალბათობების მნიშვნელობები. იგივე მოვლენების ალბათობების ახალი მნიშვნელობები უკვე იქნება ჰიპოთეზების შემდგომი (პოსტ-ექსპერიმენტული) ალბათობა (ნახ. 1.5).
ჰიპოთეზის ხელახალი შეფასების სქემა
დაე, მოვლენა A განხორციელდეს მხოლოდ ერთ-ერთ ჰიპოთეზასთან H 1 , H 2 , …, H n (შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი). ჩვენ აღვნიშნეთ ჰიპოთეზების აპრიორი ალბათობები P(H i) მოვლენის პირობითი ალბათობები A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. თუ ექსპერიმენტი უკვე ჩატარდა და ამის შედეგად მოხდა A მოვლენა, მაშინ ჰიპოთეზის აპოსტიორი ალბათობა იქნება პირობითი ალბათობა P(H i |A), i = 1, 2,…, n. წინა მაგალითის აღნიშვნაში P(H 1 |A) არის ალბათობა იმისა, რომ შერჩეული ნაწილი, რომელიც დეფექტური აღმოჩნდა, მიღებული იყო პირველი მიმწოდებლისგან.
ჩვენ გვაინტერესებს H k |A მოვლენის ალბათობა განვიხილოთ H k და A მოვლენების ერთობლივი წარმოშობა, ანუ მოვლენა AH k. მისი ალბათობა შეიძლება მოიძებნოს ორი გზით, გამრავლების ფორმულების გამოყენებით (1.5) და (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
გაათანაბრეს ამ ფორმულების მარჯვენა მხარეები
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
აქედან გამომდინარე H k ჰიპოთეზის უკანა ალბათობაა 
მნიშვნელი არის A მოვლენის ჯამური ალბათობა. P(A)-ის ნაცვლად მისი მნიშვნელობის ჩანაცვლება საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით (1.11), მივიღებთ: 
(1.12)
ფორმულა (1.12) ე.წ ბეიზის ფორმულა
და გამოიყენება ჰიპოთეზების ალბათობის ხელახლა შესაფასებლად.
წინა მაგალითის პირობებში ვპოულობთ ალბათობას, რომ დეფექტური ნაწილი პირველი მიმწოდებლისგან იყო მიღებული. ერთ ცხრილში შევაჯამოთ ჩვენთვის ცნობილი პირობით P(H i) ჰიპოთეზების აპრიორი ალბათობები, პირობითი ალბათობები P(A|H i) P(AH i) = ამოხსნის პროცესში გამოთვლილი ერთობლივი ალბათობები. P(H i) P(A|H i) და გამოითვლება ფორმულით (1.12) a posteriori ალბათობები P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (ცხრილი 1.3).
ცხრილი 1.3 - ჰიპოთეზების ხელახალი შეფასება
| ჰიპოთეზებიჰ ი | ალბათობები | |||
| წინა P(H i) | პირობითი P(A|H i) | ერთობლივი P(AH i) | A posteriori P(H i |A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - ნაწილი მიღებული პირველი მიმწოდებლისგან | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - ნაწილი მიღებული მეორე მიმწოდებლისგან | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - ნაწილი მიღებული მესამე მიმწოდებლისგან | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| ჯამი | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
მეოთხე სვეტში, თითოეული მწკრივის მნიშვნელობა (ერთობლივი ალბათობები) მიიღება ალბათობის გამრავლების წესით მეორე და მესამე სვეტებში შესაბამისი მნიშვნელობების გამრავლებით, ხოლო ბოლო რიგში 0,036 არის A მოვლენის საერთო ალბათობა. (საერთო ალბათობის ფორმულით).
მე-5 სვეტში, ჰიპოთეზების უკანა ალბათობა გამოითვლება ბეიზის ფორმულის გამოყენებით (1.12):
უკანა ალბათობები P(H 2 |A) და P(H 3 |A) გამოითვლება ანალოგიურად, წილადის მრიცხველი არის მე-4 სვეტის შესაბამის სტრიქონებში ჩაწერილი ერთობლივი ალბათობები, ხოლო მნიშვნელი არის საერთო ალბათობა. მოვლენა A ჩაწერილია მე-4 სვეტის ბოლო რიგში.
ექსპერიმენტის შემდეგ ჰიპოთეზების ალბათობათა ჯამი 1-ის ტოლია და მეხუთე სვეტის ბოლო სტრიქონში იწერება.
ასე რომ, ალბათობა იმისა, რომ დეფექტური ნაწილი იქნა მიღებული პირველი მიმწოდებლისგან არის 0,555. პოსტექსპერიმენტული ალბათობა უფრო დიდია ვიდრე აპრიორი (მიწოდების დიდი მოცულობის გამო). პოსტექსპერიმენტული ალბათობა იმისა, რომ დეფექტური ნაწილი იქნა მიღებული მეორე მიმწოდებლისგან არის 0,278 და ასევე მეტია პრეექსპერიმენტულზე (უარყოფის დიდი რაოდენობის გამო). პოსტექსპერიმენტული ალბათობა იმისა, რომ დეფექტური ნაწილი იქნა მიღებული მესამე მიმწოდებლისგან არის 0,167.
მაგალითი #3. სამი იდენტური ურნაა; პირველი ურნა შეიცავს ორ თეთრ და ერთ შავ ბურთულას; მეორეში სამი თეთრი და ერთი შავი; მესამეში - ორი თეთრი და ორი შავი ბურთი. ექსპერიმენტისთვის შემთხვევით ირჩევა ერთი ურნა და მისგან ამოიღება ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ბურთი თეთრია.
გამოსავალი.განვიხილოთ სამი ჰიპოთეზა: H 1 - არჩეულია პირველი ურნა, H 2 - არჩეულია მეორე ურნა, H 3 - არჩეულია მესამე ურნა და მოვლენა A - თეთრი ბურთი ამოღებულია.
ვინაიდან ჰიპოთეზები თანაბრად სავარაუდოა პრობლემის მდგომარეობით, მაშინ
A მოვლენის პირობითი ალბათობა ამ ჰიპოთეზებში შესაბამისად ტოლია:
საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით 
მაგალითი #4. პირამიდაში არის 19 თოფი, მათგან 3 ოპტიკური სამიზნით. მსროლელს, ოპტიკური სამიზნე თოფიდან სროლას შეუძლია მიზანში 0,81 ალბათობით, ხოლო თოფიდან სროლა ოპტიკური სამიზნის გარეშე, ალბათობით 0,46. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი შემთხვევით შერჩეული შაშხანიდან სროლით მოხვდება მიზანში.
გამოსავალი.აქ პირველი ტესტი არის შაშხანის შემთხვევითი არჩევანი, მეორე არის მიზანში სროლა. განვიხილოთ შემდეგი მოვლენები: A - მსროლელი მოხვდება მიზანში; H 1 - მსროლელი აიღებს თოფს ოპტიკური სამიზნით; H 2 - მსროლელი აიღებს თოფს ოპტიკური სამიზნის გარეშე. ჩვენ ვიყენებთ საერთო ალბათობის ფორმულას. Ჩვენ გვაქვს
თუ გავითვალისწინებთ, რომ თოფები ირჩევა ერთ ჯერზე და კლასიკური ალბათობის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
პრობლემის დებულებაში მოცემულია პირობითი ალბათობები: P(A|H 1) = 0;81 და P(A|H 2) = 0;46. აქედან გამომდინარე,
მაგალითი ნომერი 5. ურნადან, რომელიც შეიცავს 2 თეთრ და 3 შავ ბურთს, შემთხვევით გამოყვანილია ორი ბურთი და ურნას ემატება 1 თეთრი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი თეთრია.
გამოსავალი.მოვლენა „თეთრი ბურთი დახატულია“ აღინიშნა A-ით. მოვლენა H 1 - შემთხვევით დახატულია ორი თეთრი ბურთი; H 2 - შემთხვევით გათამაშდა ორი შავი ბურთი; H 3 - გათამაშებულია ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი. შემდეგ წამოყენებული ჰიპოთეზების ალბათობა
ამ ჰიპოთეზების პირობითი ალბათობები შესაბამისად ტოლია: P(A|H 1) = 1/4 - თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა, თუ ამჟამად ურნაში არის ერთი თეთრი და სამი შავი ბურთი, P(A|H 2) = 3/ 4 - თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა, თუ ამჟამად ურნაში არის სამი თეთრი და ერთი შავი ბურთი, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა, თუ ურნაში არის ორი თეთრი და ერთი შავი ბურთი ამ მომენტში ორი შავი ბურთი. საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით
მაგალითი ნომერი 6. მიზანში ისვრის ორი გასროლა. პირველი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,2, მეორეზე - 0,6. ერთი დარტყმით სამიზნის განადგურების ალბათობაა 0,3, ორით - 0,9. იპოვნეთ სამიზნის განადგურების ალბათობა.
გამოსავალი. დაე, მოვლენა A იყოს მიზანი განადგურებულია. ამისათვის საკმარისია ორიდან ერთი გასროლით ან მიზანში ზედიზედ ორი გასროლით აცილების გარეშე. წამოვაყენოთ ჰიპოთეზები: H 1 - ორივე გასროლა მიზანში მოხვდა. შემდეგ P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12. H 2 - ან პირველად ან მეორედ გაცდენა. შემდეგ P (H 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56. ჰიპოთეზა H 3 - ორივე გასროლა იყო გაშვებული - არ არის გათვალისწინებული, რადგან სამიზნის განადგურების ალბათობა ნულის ტოლია. მაშინ პირობითი ალბათობები შესაბამისად ტოლია: ორივე წარმატებული გასროლის პირობებში სამიზნის განადგურების ალბათობა არის P(A|H 1) = 0,9, ხოლო სამიზნის განადგურების ალბათობა მხოლოდ ერთი წარმატებული გასროლის პირობებში არის P( A|H 2) = 0.3. მაშინ სამიზნის განადგურების ალბათობა საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით უდრის.
