განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) ვექტორით (გამრავლებით), რომელიც არ არის მასთან კოლინარული არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:

1) მისი მოდული არის რიცხვითი ფართობის ტოლიპარალელოგრამი ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებისა;

3) ამ შემთხვევაში, c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ c ვექტორებმა შექმნან მარჯვენა სისტემა (§ 110).

აღნიშვნა: ან

განმარტების დამატება. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. ამრიგად, კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.

ვინაიდან ნულოვანი ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს კონვენცია არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.

შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (განსხვავებით წერტილოვანი პროდუქტი; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).

1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძეები მასშტაბის ერთეულის ტოლია, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის მოდული უდრის ერთს.

2. ვინაიდან სიბრტყის პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, კოლინარული ვექტორიმდე; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, საჭირო ჯვარედინი პროდუქტი არის k ან -k.

3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან პირველი უნდა ავირჩიოთ, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (ხოლო ვექტორები ქმნიან მარცხენას).

მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი

გამოსავალი. როგორც მაგალით 1-ში, დავასკვნათ, რომ ვექტორი არის k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან სწორ სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენას). Ისე,

მაგალითი 3 ვექტორებს აქვთ სიგრძე 80 და 50 სმ, შესაბამისად და ქმნიან 30° კუთხეს. მეტრის სიგრძის ერთეულის სახით იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a

გამოსავალი. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის

მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.

გამოსავალი. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ვექტორული ნამრავლის სიგრძის ტოლია 2000 სმ, ე.ი.

მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარება აჩვენებს, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზე.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა.მრავალრიცხოვანი ფიზიკური რაოდენობით, წარმოდგენილი ვექტორული ნამრავლით, განიხილეთ მხოლოდ ძალის მომენტი.

ვთქვათ A არის ძალის გამოყენების წერტილი. O წერტილთან მიმართებით ძალის მომენტს ეწოდება ვექტორული ნამრავლი. ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157), მომენტის მოდული უდრის ფუძის ნამრავლს სიმაღლით, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.

მექანიკაში დამტკიცებულია, რომ წონასწორობისთვის მყარი სხეულიაუცილებელია, რომ არა მხოლოდ სხეულზე მიმართული ძალების გამომსახველი ვექტორების ჯამი იყოს ნულის ტოლი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი და იგივე სიბრტყის პარალელურად, მომენტების გამოსახული ვექტორების დამატება შეიძლება შეიცვალოს მათი მოდულების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებისთვის, ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნიან მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან უმოკლეს ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ჩანს, და მარცხენა თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. სურ. 16).

ვექტორის a და b ვექტორის ნამრავლს ეწოდება ვექტორი c, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ;

2. მას აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a , b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული პროდუქტიაღინიშნება x b ან [a,b]. ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ორთას შორის შემდეგი მიმართებები მე პირდაპირ მივყვები, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj \u003d k.

1) კ ^ ი , კ ^ j;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |ჯ| sin(90°)=1;

3) ვექტორები i , j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადალაგებისას ვექტორული ნამრავლი იცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb \u003d (b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b და xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(bxa).

2. ვექტორულ ნამრავლს აქვს ასოციაციური საკუთრებასკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ასე რომ, ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ამიტომაც ლ(a xb)= ლ xb. ანალოგიურად დადასტურებულია ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბკოლინარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ე.ი. და ||b<=>და xb \u003d 0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xs = a xs + ბ xs .

მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება კოორდინატების თვალსაზრისით

ჩვენ გამოვიყენებთ ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის ცხრილს i, ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მოდით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+აზ კდა b=bx მე+ მიერ ჯ+bz კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით, ტოლობა (7.2) ადვილი დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S par = |a x b |. და, შესაბამისად, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი ო- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ბრუნვის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით ოვექტორი ეწოდება მ ,რომელიც გადის წერტილში ოდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მკლავის ნამრავლს

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M \u003d OA x F.

ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w x r, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. ნახ. 21).

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება შეგექმნათ შთაბეჭდილება, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. Ეს არ არის სიმართლე. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში, ზოგადად, ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, თუნდაც ნაკლები ტიპიური ამოცანები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადღაც შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომელიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის აღნიშვნას ამ გზით, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაშინ მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენებთ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმულას: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

ჩვენ ვიღებთ მეორე მნიშვნელოვან ფორმულას. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი- ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები "დაანიშნეთ". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები „უხვევენ“ ან ორიენტირებენ სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიყვანთ", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება დააკავშირეთ იგი "ორიგინალთან". სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია.

ამრიგად, თუ, მაშინ . მკაცრად რომ ვთქვათ, ჯვარედინი ნამრავლი თავისთავად ნულოვანი ვექტორის ტოლია, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ ის უბრალოდ ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის და საკუთარი თავის ვექტორული ნამრავლი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

რაკი სიგრძის შესახებ იკითხეს, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ვექტორული პროდუქტის შესახებ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის არის საკმარისი ლიტერალისტი და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ნიმუში - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამ და/ან არ ჩაუღრმავდა ამოცანის არსს. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა დამატებით მიეწებო გამოსავალზე, მაგრამ ჩანაწერის შემცირების მიზნით, მე არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ ჩამონათვალში შევიტან.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ნივთი, როგორც წესი, არ გამოირჩევა თვისებებით, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვე თუ

გამოსავალი:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ საფეხურზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს გამოვხატავთ ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით გახსენით ფრჩხილები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი უდრის ნულს (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის საშუალებით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს ქმედება მსგავსია მაგალითი 3:

3) იპოვეთ სასურველი სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვე თუ

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, მეორე და მესამე სტრიქონებში ვექტორების კოორდინატებს ვწერთ და ვსვამთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის კოორდინატები "ve", შემდეგ ვექტორის კოორდინატები "double-ve". თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გამოსავალი: ტესტი ეფუძნება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ჯვარედინი ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დაეყრდნობა განმარტებას, გეომეტრიულ მნიშვნელობას და რამდენიმე სამუშაო ფორმულას.

ვექტორების შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე დგანან მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ, სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის რიცხვი: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

Განმარტებით შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებით და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.

ამ სტატიაში ჩვენ ვისაუბრებთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის კონცეფციაზე. მივცემთ საჭირო განმარტებებს, ჩამოვწერთ ვექტორული ნამრავლის კოორდინატების პოვნის ფორმულას, ჩამოვთვლით და დავასაბუთებთ მის თვისებებს. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და განვიხილავთ სხვადასხვა ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ვექტორული პროდუქტის განმარტება.

სანამ ჯვარედინი ნამრავლის განმარტებას მივცემთ, მოდი შევეხოთ ვექტორთა მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციას სამგანზომილებიან სივრცეში.

გადავდოთ ვექტორები ერთი წერტილიდან. ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, სამეული შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ. მოდი ვექტორის ბოლოდან შევხედოთ, თუ როგორ ხდება უმოკლეს ბრუნი ვექტორიდან . თუ უმოკლესი ბრუნი არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორთა სამმაგი ეწოდება უფლება, წინააღმდეგ შემთხვევაში - დატოვა.

ახლა ავიღოთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი და . განზე გადადო ვექტორები და A წერტილიდან. მოდით ავაშენოთ რამდენიმე ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია და და ამავე დროს. ცხადია, ვექტორის აგებისას ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, ვექტორების მოწესრიგებული სამმაგი შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ.

ასე რომ, ჩვენ მივუახლოვდით ვექტორული პროდუქტის განმარტებას. იგი მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება.

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლიდა, მოცემული სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეწოდება ვექტორი ისეთი, რომ

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და აღინიშნება როგორც .

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები.

ახლა ვაძლევთ ვექტორული ნამრავლის მეორე განმარტებას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მისი კოორდინატები მოცემული ვექტორების კოორდინატებიდან და.

განმარტება.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი და არის ვექტორი, სადაც არის კოორდინატთა ვექტორები.

ეს განსაზღვრება გვაძლევს ჯვარედინი ნამრავლს კოორდინატულ ფორმაში.

ვექტორული ნამრავლი მოხერხებულად არის წარმოდგენილი, როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის პირველი რიგი არის ორტები, მეორე რიგი შეიცავს ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე მწკრივი შეიცავს მოცემულ ვექტორის კოორდინატებს. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა:

თუ ამ განმსაზღვრელს გავაფართოვებთ პირველი რიგის ელემენტებით, მაშინ თანასწორობას ვიღებთ კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

უნდა აღინიშნოს, რომ ჯვარედინი პროდუქტის კოორდინატთა ფორმა სრულად შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. უფრო მეტიც, ჯვარედინი პროდუქტის ეს ორი განმარტება ექვივალენტურია. ამის დამადასტურებელი ფაქტი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიის ბოლოს მითითებულ წიგნში.

ვექტორული პროდუქტის თვისებები.

ვინაიდან კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგი შეიძლება ადვილად დასაბუთდეს საფუძველზე ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

მაგალითად, მოდით დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისება.

Განმარტებით და . ჩვენ ვიცით, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა შებრუნებულია, როდესაც ორი მწკრივი იცვლება, ასე რომ, , რომელიც ადასტურებს ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები.

ძირითადად არსებობს სამი სახის დავალება.

პირველი ტიპის ამოცანებში მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და საჭიროა ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძის პოვნა. ამ შემთხვევაში, ფორმულა გამოიყენება .

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და თუ ცნობილია .

გამოსავალი.

განმარტებიდან ვიცით, რომ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და ტოლია ვექტორების სიგრძის ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსზე გამრავლებული, შესაბამისად, .

პასუხი:

.

მეორე ტიპის ამოცანები ასოცირდება ვექტორების კოორდინატებთან, რომლებშიც ვექტორული ნამრავლი, მისი სიგრძე ან რაიმე სხვა იძებნება მოცემული ვექტორების კოორდინატებით. და .

აქ ბევრი სხვადასხვა ვარიანტია ხელმისაწვდომი. მაგალითად, არა ვექტორების კოორდინატები და, არამედ მათი გაფართოებები ფორმის კოორდინატულ ვექტორებში. და , ან ვექტორები და შეიძლება განისაზღვროს მათი საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებით.

განვიხილოთ ტიპიური მაგალითები.

მაგალითი.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი . იპოვეთ მათი ვექტორული პროდუქტი.

გამოსავალი.

მეორე განმარტების მიხედვით, კოორდინატებში ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი იწერება როგორც:

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ დავწერდით ვექტორულ ნამრავლს დეტერმინანტის მეშვეობით

პასუხი:

.

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და სად არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ორტები.

გამოსავალი.

პირველი, იპოვნეთ ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ვინაიდან ვექტორებს აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ვექტორის კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში), მაშინ ჯვარედინი ნამრავლის მეორე განმარტების მიხედვით, გვაქვს

ანუ ვექტორული პროდუქტი აქვს კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი (ვექტორის სიგრძის პოვნის განყოფილებაში მივიღეთ ეს ფორმულა ვექტორის სიგრძისთვის):

პასუხი:

.

მაგალითი.

სამი წერტილის კოორდინატები მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. იპოვეთ ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია და ამავე დროს.

გამოსავალი.

ვექტორები და აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (იხილეთ სტატია ვექტორის კოორდინატების პოვნა წერტილების კოორდინატების მეშვეობით). თუ ჩვენ ვიპოვით ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს და , მაშინ განსაზღვრებით ის არის ვექტორი პერპენდიკულარული ორივეზე და მის მიმართ, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. მოდი ვიპოვოთ იგი

პასუხი:

არის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანებში მოწმდება ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენების უნარი. თვისებების გამოყენების შემდეგ გამოიყენება შესაბამისი ფორმულები.

მაგალითი.

და ვექტორები პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძე არის 3 და 4 შესაბამისად. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე .

გამოსავალი.

ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ

ასოციაციური თვისების მიხედვით ვიღებთ რიცხვითი კოეფიციენტებს ვექტორული ნაწარმოებების ნიშნისთვის ბოლო გამოსახულებაში:

ვექტორული პროდუქტები და ტოლია ნულის, ვინაიდან და , მაშინ .

ვინაიდან ვექტორული პროდუქტი ანტიკომუტაციურია, მაშინ .

ასე რომ, ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით მივედით თანასწორობამდე .

პირობით, ვექტორები და არიან პერპენდიკულარული, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის . ანუ ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი საჭირო სიგრძის საპოვნელად

პასუხი:

.

ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განმარტებით, ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე არის . ხოლო საშუალო სკოლის გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ სამკუთხედის ფართობი ტოლია სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარი. მაშასადამე, ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ორჯერ ფართობს ვექტორების გვერდებთან და თუ ისინი განზეა განთავსებული ერთი წერტილიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე და ტოლია პარალელოგრამის ფართობი გვერდებით და მათ შორის კუთხე ტოლია . ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ერთეული ვექტორი- ეს არის ვექტორი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული) უდრის ერთს. ერთეული ვექტორის აღსანიშნავად გამოვიყენებთ ქვესკრიპტს e. ასე რომ, თუ მოცემულია ვექტორი ა, მაშინ მისი ერთეული ვექტორი იქნება ვექტორი აე) ეს ერთეული ვექტორი მიუთითებს იმავე მიმართულებით, როგორც თავად ვექტორი ადა მისი მოდული უდრის ერთს, ანუ e \u003d 1.

ცხადია, ა= ა აე (ა - ვექტორული მოდული ა). ეს გამომდინარეობს წესიდან, რომლითაც სრულდება სკალარის ვექტორზე გამრავლების ოპერაცია.

ერთეული ვექტორებიხშირად ასოცირდება კოორდინატთა სისტემის კოორდინატთა ღერძებთან (კერძოდ, დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან). ამ მიმართულებები ვექტორებიემთხვევა შესაბამისი ღერძების მიმართულებებს და მათი საწყისი ხშირად შერწყმულია კოორდინატთა სისტემის საწყისთან.

ამას შეგახსენებთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემასივრცეში ტრადიციულად ეწოდება ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძების სამმაგი, რომლებიც კვეთენ წერტილს, რომელსაც საწყისი ეწოდება. კოორდინატთა ღერძები ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით X, Y, Z და უწოდებენ აბსცისის ღერძს, ორდინატთა ღერძს და აპლიკაციის ღერძს. თავად დეკარტმა გამოიყენა მხოლოდ ერთი ღერძი, რომელზეც აბსციები იყო გამოსახული. გამოყენების დამსახურება სისტემებიცულები მის მოსწავლეებს ეკუთვნის. ამიტომ ფრაზა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაისტორიულად არასწორი. ჯობია ლაპარაკი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაან ორთოგონალური კოორდინატთა სისტემა. მიუხედავად ამისა, ჩვენ არ შევცვლით ტრადიციებს და მომავალში ვივარაუდებთ, რომ დეკარტისა და მართკუთხა (ორთოგონალური) კოორდინატთა სისტემები ერთი და იგივეა.

ერთეული ვექტორი, მიმართულია X ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება მე, ერთეული ვექტორი, მიმართული Y ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება ჯ, ა ერთეული ვექტორი, მიმართულია Z ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება კ. ვექტორები მე, ჯ, კდაურეკა ორტები(ნახ. 12, მარცხნივ), აქვთ ერთი მოდული, ე.ი
i = 1, j = 1, k = 1.

ცულები და ორტები მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაზოგიერთ შემთხვევაში მათ სხვა სახელები და აღნიშვნები აქვთ. ასე რომ, აბსცისის ღერძს X შეიძლება ეწოდოს ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება τ (ბერძნული პატარა ასო tau), y-ღერძი ნორმალური ღერძია, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება. ნ, აპლიკაციური ღერძი არის ბინორმალის ღერძი, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება ბ. რატომ იცვლება სახელები, თუ არსი იგივე რჩება?

ფაქტია, რომ, მაგალითად, მექანიკაში, სხეულების მოძრაობის შესწავლისას, ძალიან ხშირად გამოიყენება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. ასე რომ, თუ კოორდინატთა სისტემა თავისთავად უმოძრაოა და მოძრავი ობიექტის კოორდინატების ცვლილებას აკვირდება ამ უმოძრაო სისტემაში, მაშინ ჩვეულებრივ ღერძები აღნიშნავენ X, Y, Z და მათ. ორტებიშესაბამისად მე, ჯ, კ.

მაგრამ ხშირად, როდესაც ობიექტი მოძრაობს რაიმე სახის მრუდი ტრაექტორიის გასწვრივ (მაგალითად, წრის გასწვრივ), უფრო მოსახერხებელია განიხილოს მექანიკური პროცესები კოორდინატულ სისტემაში, რომელიც მოძრაობს ამ ობიექტთან. სწორედ ასეთი მოძრავი კოორდინატთა სისტემისთვის გამოიყენება ღერძების სხვა სახელები და მათი ერთეული ვექტორები. უბრალოდ მიღებულია. ამ შემთხვევაში, X-ღერძი მიმართულია ტანგენციურად ტრაექტორიაზე იმ წერტილში, სადაც ამჟამად მდებარეობს ეს ობიექტი. და მაშინ ამ ღერძს აღარ ეძახიან X ღერძი, არამედ ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღარ აღინიშნება მე, ა τ . Y ღერძი მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსის გასწვრივ (წრეში მოძრაობის შემთხვევაში - წრის ცენტრამდე). და რადგან რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია, ღერძს ნორმალის ღერძი ეწოდება (პერპენდიკულარული და ნორმალური ერთი და იგივეა). ამ ღერძის ორტი აღარ აღინიშნება ჯ, ა ნ. მესამე ღერძი (ყოფილი Z) პერპენდიკულარულია ორი წინა ღერძის მიმართ. ეს არის ბინორმა ვექტორთან ერთად ბ(სურ. 12, მარჯვნივ). სხვათა შორის, ამ შემთხვევაში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემახშირად მოიხსენიებენ როგორც "ბუნებრივ" ან ბუნებრივ.