სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის საკითხს სამგანზომილებიან სივრცეში.
დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. a → , b → , c → სამმაგი ორიენტაცია არის მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია c → ვექტორის მიმართულებაზე. იმ მიმართულებიდან, რომლითაც კეთდება უმოკლესი ბრუნი a → b → ვექტორიდან c → → ვექტორის ბოლოდან, განისაზღვრება სამმაგი a → , b → , c →.
თუ უმოკლეს ბრუნვა არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.
შემდეგი, აიღეთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → და b → . შემდეგ გადავდოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, A D → = c → ვექტორის აგებისას, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).
a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეული შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.
ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განსაზღვრებამოცემულია ორი ვექტორისთვის, რომელიც განსაზღვრულია მართკუთხა სისტემაკოორდინატები სამგანზომილებიანი სივრცე.
განმარტება 1
ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:
- თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
- ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a → ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
- მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
- ვექტორების სამეულს a → , b → , c → აქვს იგივე ორიენტაცია, როგორც მოცემული კოორდინატთა სისტემა.
ვექტორული პროდუქტივექტორებს a → და b → აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b → .
ჯვარედინი პროდუქტის კოორდინატები
ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შესაძლებელია შემოვიტანოთ ჯვარედინი ნამრავლის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატებიდან.
განმარტება 2
სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) მოვუწოდებთ ვექტორს c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.
ვექტორული პროდუქტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც განმსაზღვრელი კვადრატული მატრიცამესამე რიგის, სადაც პირველი ხაზი არის ვექტორები i → , j → , k → , მეორე სტრიქონი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე ხაზი შეიცავს b → ვექტორის კოორდინატებს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატში. სისტემა, ეს მატრიცის განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებზე გავაფართოვოთ, მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b = → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები
ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ ფუძეზე. მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებიშემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:
- ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
- განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b → , სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.
ამ თვისებებს არ გააჩნია რთული მტკიცებულება.
მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისება.
ანტიკომუტატიურობის მტკიცებულება
განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი მწკრივი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , რაც და ადასტურებს ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობას.
ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები
უმეტეს შემთხვევაში, არსებობს სამი სახის დავალება.
პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → b → sin ∠ a → , b → .
მაგალითი 1
იპოვეთ a → და b → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, თუ ცნობილია a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.
გადაწყვეტილება
a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრის გამოყენებით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .
პასუხი: 15 2 2 .
მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, შეიცავს ვექტორულ ნამრავლს, მის სიგრძეს და ა.შ. მოძებნა ცნობილი კოორდინატებიმოცემული ვექტორები a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .
ამ ტიპის ამოცანებისთვის შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოებები კოორდინატთა ვექტორებიკეთილი b → = b x i → + b y j → + b z k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ან a → და b → ვექტორები შეიძლება მიცემული იყოს მათი კოორდინატებით. საწყისი და დასასრული წერტილები.
განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.
მაგალითი 2
მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დაყენებულია ორი ვექტორი a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . იპოვეთ მათი ვექტორული პროდუქტი.
გადაწყვეტილება
მეორე განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ ორი ვექტორის ვექტორულ ნამრავლს მოცემული კოორდინატები: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
თუ ჯვარედინი ნამრავლს დავწერთ მატრიცის დეტერმინანტის მიხედვით, მაშინ ამოხსნა ეს მაგალითიასე გამოიყურება: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
მაგალითი 3
იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, სადაც i → , j → , k → - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ორტები.
გადაწყვეტილება
ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.
ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1 ; - 1 ; 0) და (1 ; 1 ; 1) შესაბამისად. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის განმსაზღვრელი გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 კ → .
ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.
ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .
პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
მაგალითი 4
მართკუთხაში დეკარტის სისტემაკოორდინატები არის სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.
გადაწყვეტილება
A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. იპოვეთ ის A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.
პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . არის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.
მესამე ტიპის ამოცანები ორიენტირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.
მაგალითი 5
ვექტორები a → და b → პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეები შესაბამისად 3 და 4. იპოვეთ ჯვრის ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.
გადაწყვეტილება
ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ ბოლო გამოსახულებაში ვექტორული ნამრავლების ნიშნის მიღმა რიცხვობრივ კოეფიციენტებს: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → a → sin 0 = 0 და b → × b → = b → b → sin 0 = 0, შემდეგ 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. .
ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .
ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე π 2-ის ტოლია. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების შესაბამის ფორმულებში ჩანაცვლება: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.
პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .
ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით არის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b →. ვინაიდან უკვე ცნობილია (საიდან სკოლის კურსი) რომ სამკუთხედის ფართობი არის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნამრავლი მოცემულ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედის, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი ვექტორების სახით a → და b → , რომლებიც ჩამოშორებულია ერთი წერტილიდან, სინუსზე. მათ შორის კუთხის sin ∠ a → , b → .
სწორედ ეს არის გეომეტრიული გრძნობავექტორული პროდუქტი.
ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა
მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან შედარებით.
განმარტება 3
F → ძალის მომენტში, რომელიც გამოიყენება B წერტილზე, A წერტილის მიმართ ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება
სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნიან მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან უმოკლეს ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ჩანს, და მარცხენა თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. ნახ. თექვსმეტი).
ვექტორის a და b ვექტორის ნამრავლს ეწოდება ვექტორი c, რომელიც:
1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ;
2. მას აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.
3. a , b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.
ვექტორული ნამრავლი აღინიშნება x b ან [a,b]. ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ორთას შორის შემდეგი მიმართებები მე პირდაპირ მივყვები, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):
i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj \u003d k.
1) კ ^ ი , კ ^ j;
2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |ჯ| sin(90°)=1;
3) ვექტორები i , j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).
7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები
1. ფაქტორების გადალაგებისას ვექტორული ნამრავლი იცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb \u003d (b xa) (იხ. სურ. 19).
ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b და xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(bxa).
2. ვექტორულ ნამრავლს აქვს ასოციაციური საკუთრებასკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).
მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ასე რომ, ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:
Ისე ლ(a xb)= ლ xb. ანალოგიურად დადასტურებულია ლ<0.
3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბკოლინარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ე.ი. და ||b<=>და xb \u003d 0.
კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .
4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:
(ა+ბ) xs = a xs + ბ xs .
მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე.
7.3. ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება კოორდინატების თვალსაზრისით
ჩვენ გამოვიყენებთ ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის ცხრილს i, ჯდა კ:
თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.
მოდით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+აზ კდა b=bx მე+ მიერ ჯ+bz კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):
შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ:
ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილი დასამახსოვრებელია.
7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება
ვექტორების კოლინარობის დადგენა
პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა
ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S par = |a x b |. და, შესაბამისად, D S \u003d 1/2 | a x b |.
ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ
მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი ო- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).
ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ბრუნვის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით ოვექტორი ეწოდება მ ,რომელიც გადის წერტილში ოდა:
1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;
2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მხრის ნამრავლს
3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.
ამიტომ, M \u003d OA x F.
ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა
სიჩქარე ვქულები მ მყარი სხეული, ბრუნავს კუთხოვანი სიჩქარით ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w x r, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. ნახ. 21).
ერთეული ვექტორი- ეს ვექტორი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული) უდრის ერთს. ერთეული ვექტორის აღსანიშნავად გამოვიყენებთ ქვესკრიპტს e. ასე რომ, თუ მოცემულია ვექტორი ა, მაშინ მისი ერთეული ვექტორი იქნება ვექტორი აე) ეს ერთეული ვექტორი მიუთითებს იმავე მიმართულებით, როგორც თავად ვექტორი ადა მისი მოდული უდრის ერთს, ანუ e \u003d 1.
ცხადია, ა= ა აე (ა - ვექტორული მოდული ა). ეს გამომდინარეობს წესიდან, რომლითაც სრულდება სკალარის ვექტორზე გამრავლების ოპერაცია.
ერთეული ვექტორებიხშირად ასოცირდება კოორდინატთა სისტემის კოორდინატთა ღერძებთან (კერძოდ, დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან). ამ მიმართულებები ვექტორებიემთხვევა შესაბამისი ღერძების მიმართულებებს და მათი საწყისი ხშირად შერწყმულია კოორდინატთა სისტემის საწყისთან.
ამას შეგახსენებთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემასივრცეში ტრადიციულად ეწოდება ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძების სამმაგი, რომლებიც კვეთენ წერტილს, რომელსაც საწყისი ეწოდება. კოორდინატთა ღერძები ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით X, Y, Z და უწოდებენ აბსცისის ღერძს, ორდინატთა ღერძს და აპლიკაციის ღერძს. თავად დეკარტმა გამოიყენა მხოლოდ ერთი ღერძი, რომელზეც აბსციები იყო გამოსახული. გამოყენების დამსახურება სისტემებიცულები მის მოსწავლეებს ეკუთვნის. ამიტომ ფრაზა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაისტორიულად არასწორი. ჯობია ლაპარაკი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაან ორთოგონალური კოორდინატთა სისტემა. მიუხედავად ამისა, ჩვენ არ შევცვლით ტრადიციებს და მომავალში ვივარაუდებთ, რომ დეკარტისა და მართკუთხა (ორთოგონალური) კოორდინატთა სისტემები ერთი და იგივეა.
ერთეული ვექტორი, მიმართულია X ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება მე, ერთეული ვექტორი, მიმართული Y ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება ჯ, ა ერთეული ვექტორი, მიმართულია Z ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება კ. ვექტორები მე, ჯ, კდაურეკა ორტები(ნახ. 12, მარცხნივ), აქვთ ერთი მოდული, ე.ი
i = 1, j = 1, k = 1.
ცულები და ორტები მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაზოგიერთ შემთხვევაში მათ სხვა სახელები და აღნიშვნები აქვთ. ასე რომ, აბსცისის ღერძს X შეიძლება ეწოდოს ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება τ (ბერძნული პატარა ასო tau), y-ღერძი ნორმალური ღერძია, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება. ნ, აპლიკაციური ღერძი არის ბინორმალის ღერძი, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება ბ. რატომ იცვლება სახელები, თუ არსი იგივე რჩება?
ფაქტია, რომ, მაგალითად, მექანიკაში, სხეულების მოძრაობის შესწავლისას, ძალიან ხშირად გამოიყენება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. ასე რომ, თუ კოორდინატთა სისტემა თავისთავად უმოძრაოა და მოძრავი ობიექტის კოორდინატების ცვლილებას აკვირდება ამ უმოძრაო სისტემაში, მაშინ ჩვეულებრივ ღერძები აღნიშნავენ X, Y, Z და მათ. ორტებიშესაბამისად მე, ჯ, კ.
მაგრამ ხშირად, როდესაც ობიექტი მოძრაობს რაიმე სახის მრუდი ტრაექტორიის გასწვრივ (მაგალითად, წრის გასწვრივ), უფრო მოსახერხებელია განიხილოს მექანიკური პროცესები კოორდინატულ სისტემაში, რომელიც მოძრაობს ამ ობიექტთან. სწორედ ასეთი მოძრავი კოორდინატთა სისტემისთვის გამოიყენება ღერძების სხვა სახელები და მათი ერთეული ვექტორები. უბრალოდ მიღებულია. ამ შემთხვევაში, X-ღერძი მიმართულია ტანგენციურად ტრაექტორიაზე იმ წერტილში, სადაც ამჟამად მდებარეობს ეს ობიექტი. და მაშინ ამ ღერძს აღარ ეძახიან X ღერძი, არამედ ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღარ აღინიშნება მე, ა τ . Y ღერძი მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსის გასწვრივ (წრეში მოძრაობის შემთხვევაში - წრის ცენტრამდე). და რადგან რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია, ღერძს ნორმალის ღერძი ეწოდება (პერპენდიკულარული და ნორმალური ერთი და იგივეა). ამ ღერძის ორტი აღარ აღინიშნება ჯ, ა ნ. მესამე ღერძი (ყოფილი Z) პერპენდიკულარულია ორი წინა ღერძის მიმართ. ეს არის ბინორმა ვექტორთან ერთად ბ(სურ. 12, მარჯვნივ). სხვათა შორის, ამ შემთხვევაში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემახშირად მოიხსენიებენ როგორც "ბუნებრივ" ან ბუნებრივ.
განმარტება მოწესრიგებული კრებული (x 1 , x 2 , ... , x n) n რეალური რიცხვები ეწოდება n-განზომილებიანი ვექტორიდა რიცხვები x i (i = ) - კომპონენტებიან კოორდინატები,
მაგალითი. თუ, მაგალითად, საავტომობილო ქარხანამ უნდა აწარმოოს 50 მანქანა, 100 სატვირთო მანქანა, 10 ავტობუსი, მანქანების სათადარიგო ნაწილების 50 კომპლექტი და სატვირთო მანქანებისა და ავტობუსების 150 კომპლექტი ცვლაში, მაშინ ამ ქარხნის საწარმოო პროგრამა შეიძლება დაიწეროს როგორც ვექტორი (50, 100, 10, 50, 150), რომელსაც აქვს ხუთი კომპონენტი.
აღნიშვნა. ვექტორები აღინიშნება დიდი პატარა ასოებით ან ასოებით ზოლით ან ისრით ზედა, მაგალითად, აან. ორ ვექტორს ე.წ თანაბარითუ მათ აქვთ კომპონენტების ერთნაირი რაოდენობა და მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია.
ვექტორული კომპონენტები არ შეიძლება შეიცვალოს, მაგ. (3, 2, 5, 0, 1)და (2, 3, 5, 0, 1) სხვადასხვა ვექტორები.
ოპერაციები ვექტორებზე.მუშაობა
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) რეალურ რიცხვამდეλ ვექტორი ეწოდებაλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).
ჯამიx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) და წ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ეწოდება ვექტორს x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
ვექტორთა სივრცე.ნ -განზომილებიანი ვექტორული სივრცე რ n განისაზღვრება, როგორც ყველა n-განზომილებიანი ვექტორის ერთობლიობა, რომლისთვისაც განსაზღვრულია რეალურ რიცხვებზე გამრავლების და შეკრების მოქმედებები.
ეკონომიკური ილუსტრაცია. n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ეკონომიკური ილუსტრაცია: საქონლის სივრცე (საქონელი). ქვეშ საქონელიჩვენ გავიგებთ რაიმე საქონელს ან სერვისს, რომელიც გაიყიდა გარკვეულ დროს გარკვეულ ადგილას. დავუშვათ, რომ არსებობს საქონლის სასრული რაოდენობა n; მომხმარებლის მიერ შეძენილი თითოეული მათგანის რაოდენობა ხასიათდება საქონლის ნაკრებით
x= (x 1, x 2, ..., x n),
სადაც x i აღნიშნავს მომხმარებლის მიერ შეძენილი i-ე საქონლის რაოდენობას. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა საქონელს აქვს თვითნებური გაყოფის თვისება, ასე რომ, თითოეული მათგანის ნებისმიერი არაუარყოფითი რაოდენობის შეძენა შესაძლებელია. მაშინ საქონლის ყველა შესაძლო კომპლექტი არის საქონლის სივრცის ვექტორები C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).
ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.
სისტემა ე 1 , ე 2 , ... , ე m n-განზომილებიანი ვექტორები ეწოდება წრფივად დამოკიდებულითუ არის ასეთი რიცხვებიλ 1 , λ 2 , ... , λ m , რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, რაც აკმაყოფილებს ტოლობასλ1 ე 1 + λ2 ე 2+...+λm ემ = 0; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ვექტორთა ამ სისტემას ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი, ანუ ეს თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ყველა 
. ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა რ 3, ინტერპრეტირებული, როგორც მიმართული სეგმენტები, ახსენით შემდეგი თეორემები.
თეორემა 1. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს ვექტორი ნულის ტოლია.
თეორემა 2. იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს კოლინარული (პარალელური).
თეორემა 3 . იმისათვის, რომ სამი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს თანაპლანტარული (იგივე სიბრტყეში დევს).
ვექტორების მარცხენა და მარჯვენა სამეული. არაერთობლივი ვექტორების სამმაგი ა, ბ, გდაურეკა უფლება, თუ მათი საერთო წარმოშობის დამკვირვებელი გვერდს აუვლის ვექტორების ბოლოებს ა, ბ, გამ თანმიმდევრობით, როგორც ჩანს, მიმდინარეობს საათის ისრის მიმართულებით. წინააღმდეგ შემთხვევაში ა, ბ, გ -დარჩა სამმაგი. ვექტორების ყველა მარჯვენა (ან მარცხნივ) სამეულს უწოდებენ თანაბრად ორიენტირებული.
საფუძველი და კოორდინატები. ტროიკა ე 1, ე 2 , ე 3 არათანაბარი ვექტორი in რ 3-მა დარეკა საფუძველიდა თავად ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 - ძირითადი. ნებისმიერი ვექტორი აშეიძლება გაფართოვდეს უნიკალური გზით საბაზისო ვექტორების თვალსაზრისით, ანუ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით
ა= x 1 ე 1 + x2 ე 2 + x 3 ე 3, (1.1)
რიცხვები x 1 , x 2 , x 3 გაფართოებაში (1.1) ეწოდება კოორდინატებიასაფუძველზე ე 1, ე 2 , ე 3 და აღინიშნება ა(x 1, x 2, x 3).
ორთონორალური საფუძველი. თუ ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 არის წყვილი პერპენდიკულარული და თითოეული მათგანის სიგრძე ერთის ტოლია, მაშინ საფუძველი ე.წ. ორთონორალურიდა კოორდინატები x 1 , x 2 , x 3 - მართკუთხა.აღინიშნა ორთონორმალური საფუძვლის საბაზისო ვექტორები მე, ჯ, კ.
ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სივრცეში რ 3 დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების სწორი სისტემა (0, მე, ჯ, კ}.
ვექტორული პროდუქტი. ვექტორული ხელოვნება ავექტორზე ბვექტორი ეწოდება გ, რომელიც განისაზღვრება შემდეგი სამი პირობით:
1. ვექტორის სიგრძე გრიცხობრივად ტოლია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ადა ბ,ე.ი.
გ=
|ა||ბ|ცოდვა ( ა^ბ).
2. ვექტორი გთითოეული ვექტორის პერპენდიკულარული ადა ბ.
3. ვექტორები ა, ბდა გამ თანმიმდევრობით აღებული, ქმნიან მარჯვენა სამეულს.
ვექტორული პროდუქტისთვის გშემოღებულია აღნიშვნა c=[აბ] ან
c = a
× ბ.
თუ ვექტორები ადა ბკოლინარულია, მერე ცოდო( a^b) = 0 და [ აბ] = 0, კერძოდ, [ აა] = 0. ორტების ვექტორული პროდუქტები: [ იჯ]=კ, [ჯკ] = მე, [კი]=ჯ.
თუ ვექტორები ადა ბსაფუძველში მოცემული მე, ჯ, კკოორდინატები ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), შემდეგ
შერეული სამუშაო. თუ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ადა ბსკალარი გამრავლებული მესამე ვექტორზე გ,მაშინ სამი ვექტორის ასეთი ნამრავლი ეწოდება შერეული პროდუქტიდა აღინიშნება სიმბოლოთი ა ძვ.წ.
თუ ვექტორები ა, ბდა გსაფუძველზე მე, ჯ, კდაყენებულია მათი კოორდინატებით
ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), გ(c 1 , c 2 , c 3), შემდეგ
.
შერეულ პროდუქტს აქვს მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - ეს არის სკალარი, აბსოლუტური მნიშვნელობით, რომელიც უდრის სამ მოცემულ ვექტორზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობას.
თუ ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს, მაშინ მათი შერეული ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, რომელიც უდრის მითითებულ მოცულობას; თუ სამი a, b, c -დატოვა, მაშინ ა ბ გ<0 и V = - ა ბ გ, შესაბამისად V =|ა ბ გ|.
პირველი თავის ამოცანებში შეხვედრილი ვექტორების კოორდინატები მიჩნეულია სწორ ორთონორმალურ საფუძველთან შედარებით. ერთეული ვექტორი ვექტორის თანამიმართულებით ა,აღინიშნება სიმბოლოთი აშესახებ. სიმბოლო რ=OMაღინიშნება M წერტილის რადიუსის ვექტორით, სიმბოლოებით a, AB ან|ა|, | AB |აღინიშნება ვექტორების მოდულები ადა AB.
მაგალითი 1.2. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის ა= 2მ+4ნდა ბ= მ-ნ, სად მდა n-ერთეული ვექტორები და შორის კუთხე მდა ნუდრის 120 o.
გადაწყვეტილება. გვაქვს: cos φ = აბ/ab, ab=(2მ+4ნ) (მ-ნ) = 2მ 2 - 4ნ 2 +2წთ=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ა 2 = (2მ+4ნ) (2მ+4ნ) =
= 4მ 2 +16წთ+16ნ 2 = 4+16(-0.5)+16=12, ასე რომ a = . b= ; ბ 2 =
= (მ-ნ)(მ-ნ) = მ 2 -2წთ+ნ 2 =
1-2(-0.5)+1 = 3, ამიტომ b = . საბოლოოდ გვაქვს: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.
მაგალითი 1.3.ვექტორების ცოდნა AB(-3,-2.6) და ძვ.წ(-2,4,4), გამოთვალეთ ABC სამკუთხედის AD სიმაღლე.
გადაწყვეტილება. სამკუთხედის ABC ფართობის აღნიშვნა S-ით, მივიღებთ:
S = 1/2 B.C. AD. მერე AD=2S/BC, BC== 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC |.
AC=AB+BC, ასე რომ ვექტორი ACაქვს კოორდინატები
.
.
მაგალითი 1.4 . მოცემულია ორი ვექტორი ა(11,10,2) და ბ(4,0,3). იპოვეთ ერთეული ვექტორი გ,ორთოგონალური ვექტორების მიმართ ადა ბდა მიმართულია ისე, რომ ვექტორების მოწესრიგებული სამმაგი ა, ბ, გმართალი იყო.
გადაწყვეტილება.ავღნიშნოთ ვექტორის კოორდინატები გმოცემული უფლების ორთონორმალურ საფუძველთან დაკავშირებით x, y, z-ის მიხედვით.
Იმდენად, რამდენადაც გ ⊥ ა, გ ⊥ბ, მაშინ დაახლ= 0, cb= 0. ამოცანის პირობით, საჭიროა, რომ c = 1 და ა ბ გ >0.
გვაქვს განტოლებათა სისტემა x,y,z-ის საპოვნელად: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
სისტემის პირველი და მეორე განტოლებიდან ვიღებთ z = -4/3 x, y = -5/6 x. y და z მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით გვექნება: x 2 = 36/125, საიდანაც
x=±
. გამოყენების მდგომარეობა a b c > 0, ვიღებთ უტოლობას
z და y გამონათქვამების გათვალისწინებით, მიღებულ უტოლობას გადავწერთ სახით: 625/6 x > 0, საიდანაც გამოდის, რომ x>0. ასე რომ x =, y = -, z = -.
განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) ვექტორით (გამრავლებით), რომელიც არ არის მასთან კოლინარული, არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:
1) მისი მოდული არის რიცხვითი ფართობის ტოლიპარალელოგრამი ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებისა;
3) ამ შემთხვევაში, c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (§ 110).
აღნიშვნა: ან
განმარტების დამატება. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. ასე რომ, ვექტორული პროდუქტი კოლინარული ვექტორებიითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.
ვინაიდან ნულოვანი ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს კონვენცია არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.
შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (განსხვავებით წერტილოვანი პროდუქტი; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).
მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).
1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძეები მასშტაბის ერთეულის ტოლია, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის მოდული უდრის ერთს.
2. ვინაიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი k ვექტორის თანამიმართული; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, საჭირო ჯვარედინი პროდუქტი არის k ან -k.
3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან პირველი უნდა ავირჩიოთ, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (ხოლო ვექტორები ქმნიან მარცხენას).
მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი
გადაწყვეტილება. როგორც მაგალით 1-ში, დავასკვნათ, რომ ვექტორი არის k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან სწორ სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენას). Ისე,
მაგალითი 3 ვექტორებს აქვთ სიგრძე 80 და 50 სმ, შესაბამისად და ქმნიან 30° კუთხეს. მეტრის სიგრძის ერთეულის სახით იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a
გადაწყვეტილება. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის
მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.
გადაწყვეტილება. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ვექტორული ნამრავლის სიგრძის ტოლია 2000 სმ, ე.ი.
მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარება აჩვენებს, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზე.
ფიზიკური მნიშვნელობავექტორული პროდუქტი.მრავალრიცხოვანი ფიზიკური რაოდენობით, წარმოდგენილი ვექტორული ნამრავლით, განიხილეთ მხოლოდ ძალის მომენტი.
ვთქვათ A არის ძალის გამოყენების წერტილი. O წერტილთან მიმართებით ძალის მომენტს ეწოდება ვექტორული ნამრავლი. ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157), მომენტის მოდული უდრის ფუძის ნამრავლს სიმაღლით, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.
მექანიკაში დადასტურებულია, რომ ხისტი სხეულის წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ არა მხოლოდ სხეულზე მიმართული ძალების გამომსახველი ვექტორების ჯამი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც იყოს ნულის ტოლი. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი და იმავე სიბრტყის პარალელურად, მომენტების გამოსახული ვექტორების დამატება შეიძლება შეიცვალოს მათი მოდულების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებისთვის ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.
