შეიძლება აღინიშნოს ამ მოქმედების თანდაყოლილი რამდენიმე შედეგი. ამ შედეგებს ე.წ ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებები. ამ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებებს, დავწერთ მათ ასოების გამოყენებით და მოვიყვანთ განმარტებით მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება.

ახლა ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს, რომელიც ასახავს ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციურ თვისებას.

წარმოიდგინეთ სიტუაცია: პირველი ვაშლის ხიდან 1 ვაშლი ჩამოვარდა, მეორე ვაშლის ხიდან კი 2 ვაშლი და კიდევ 4 ვაშლი. ახლა განვიხილოთ შემდეგი სიტუაცია: 1 ვაშლი და კიდევ 2 ვაშლი ჩამოვარდა პირველი ვაშლის ხისგან, ხოლო 4 ვაშლი ჩამოვარდა მეორე ვაშლის ხისგან. გასაგებია, რომ ერთნაირი რაოდენობის ვაშლი იქნება ადგილზე როგორც პირველ, ასევე მეორე შემთხვევაში (რისი გადამოწმებაც შესაძლებელია ხელახალი გაანგარიშებით). ანუ 2 და 4 რიცხვების ჯამს 1 რიცხვის მიმატების შედეგი უდრის 4 რიცხვში 1 და 2 რიცხვების ჯამის დამატების შედეგს.

განხილული მაგალითი საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება: მოცემულ რიცხვს ორი რიცხვის მოცემული ჯამის დასამატებლად, შეგიძლიათ ამ ჯამის პირველი წევრი დაუმატოთ ამ რიცხვს და დაამატოთ მეორე წევრი. ეს თანხა მიღებულ შედეგს. ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ასოების გამოყენებით: a+(b+c)=(a+b)+c, სადაც a , b და c არის თვითნებური ნატურალური რიცხვები.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ტოლობაში a+(b+c)=(a+b)+c არის ფრჩხილები "(" და ")". ფრჩხილები გამოიყენება გამონათქვამებში, რათა მიუთითონ მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა - მოქმედებები ფრჩხილებში შესრულებულია პირველ რიგში (დაწვრილებით ამის შესახებ განყოფილებაში). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფრჩხილებში შედის გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობები პირველ რიგში ფასდება.

ამ აბზაცის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ შეკრების ასოციაციური თვისება საშუალებას გვაძლევს ცალსახად განვსაზღვროთ სამი, ოთხი და მეტი ნატურალური რიცხვის შეკრება.

ნულისა და ნატურალური რიცხვის დამატების თვისება, ნულის ნულზე დამატების თვისება.

ჩვენ ვიცით, რომ ნული არ არის ნატურალური რიცხვი. მაშ, რატომ გადავწყვიტეთ ამ სტატიაში გავითვალისწინოთ ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების თვისება? ამის სამი მიზეზი არსებობს. პირველი: ეს თვისება გამოიყენება სვეტში ნატურალური რიცხვების დამატებისას. მეორე: ეს თვისება გამოიყენება ნატურალური რიცხვების გამოკლებისას. მესამე: თუ ჩავთვლით, რომ ნული ნიშნავს რაიმეს არარსებობას, მაშინ ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების მნიშვნელობა ემთხვევა ორი ნატურალური რიცხვის შეკრების მნიშვნელობას.

განვახორციელოთ მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება ნულისა და ნატურალური რიცხვის შეკრების თვისების ჩამოყალიბებაში. წარმოიდგინეთ, რომ ყუთში არ არის ელემენტი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყუთში არის 0 ელემენტი) და მასში მოთავსებულია ნივთები, სადაც a არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი. ანუ დაემატა 0 და ელემენტი. ნათელია, რომ ამ მოქმედების შემდეგ ყუთში არის ნივთები. მაშასადამე, ტოლობა 0+a=a მართალია.

ანალოგიურად, თუ ყუთი შეიცავს ერთეულს და მას ემატება 0 ელემენტი (ანუ არ არის დამატებული), მაშინ ამ მოქმედების შემდეგ ელემენტი იქნება ყუთში. ასე რომ, a+0=a.

ახლა შეგვიძლია განვაცხადოთ ნულისა და ნატურალური რიცხვის მიმატების თვისება: ორი რიცხვის ჯამი, რომელთაგან ერთი არის ნული, უდრის მეორე რიცხვს. მათემატიკურად, ეს თვისება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ტოლობის სახით: 0+a=aან a+0=a, სადაც a არის თვითნებური ნატურალური რიცხვი.

ცალკე ვაქცევთ ყურადღებას, რომ ნატურალური რიცხვისა და ნულის შეკრებისას ჭეშმარიტი რჩება შეკრების კომუტაციური თვისება, ანუ a+0=0+a .

დაბოლოს, ჩვენ ვაყალიბებთ ნულოვანი ნულოვანი დამატების თვისებას (ეს საკმაოდ აშკარაა და არ საჭიროებს დამატებით კომენტარს): ორი რიცხვის ჯამი, რომლებიც თითოეული ნულია, არის ნული. ე.ი. 0+0=0 .

ახლა დროა გავარკვიოთ, როგორ ხდება ნატურალური რიცხვების შეკრება.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. ნებისმიერი სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 1, 2, 3, 4 კლასებისთვის.
• მათემატიკა. საგანმანათლებლო დაწესებულებების 5 კლასის ნებისმიერი სახელმძღვანელო.

თემა, რომელსაც ეს გაკვეთილი ეძღვნება არის "მიმატების თვისებები." მასში თქვენ გაეცნობით შეკრების კომუტატიურ და ასოციაციურ თვისებებს, შეისწავლით მათ კონკრეტული მაგალითებით. გაარკვიეთ, როდის შეგიძლიათ მათი გამოყენება გაანგარიშების პროცესის გასაადვილებლად. ტესტის შემთხვევები დაგეხმარებათ განსაზღვროთ რამდენად კარგად ისწავლეთ მასალა.

გაკვეთილი: დამატების თვისებები

კარგად დააკვირდით გამონათქვამს:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მისი ღირებულება. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

გამოთქმის შედეგი 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
მითხარი, მოსახერხებელი იყო გამოთვლა? გამოთვლა არ იყო ძალიან მოსახერხებელი. კიდევ ერთხელ შეხედეთ ამ გამოთქმის ციფრებს. შესაძლებელია თუ არა მათი შეცვლა ისე, რომ გამოთვლები უფრო მოსახერხებელი იყოს?

თუ რიცხვებს სხვაგვარად გადავაწყობთ:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

გამოხატვის საბოლოო შედეგია 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
ჩვენ ვხედავთ, რომ გამონათქვამების შედეგები იგივეა.

პირობები შეიძლება შეიცვალოს, თუ ეს მოსახერხებელია გამოთვლებისთვის და თანხის ღირებულება არ შეიცვლება აქედან.

მათემატიკაში არსებობს კანონი: დამატების კომუტაციური კანონი. ნათქვამია, რომ თანხა არ იცვლება ვადების გადალაგებიდან.

ბიძა ფიოდორი და შარიკი კამათობდნენ. შარიკმა იპოვა გამოთქმის მნიშვნელობა ისე, როგორც ეს იყო დაწერილი, ხოლო ბიძია ფიოდორმა თქვა, რომ მან იცოდა სხვა, უფრო მოსახერხებელი გამოსათვლელი გზა. ხედავთ გაანგარიშების უფრო მოსახერხებელ გზას?

ბურთმა ამოხსნა გამოთქმა როგორც წერია. და ბიძა ფიოდორმა თქვა, რომ მან იცის კანონი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ პირობები, და შეცვალა ნომრები 25 და 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

ჩვენ ვხედავთ, რომ შედეგი იგივე რჩება, მაგრამ გაანგარიშება ბევრად უფრო ადვილი გახდა.

შეხედეთ შემდეგ გამონათქვამებს და წაიკითხეთ ისინი.

6 + (24 + 51) = 81 (6-ს დაუმატეთ 24-ისა და 51-ის ჯამი)
არის თუ არა გამოსათვლელი მოსახერხებელი გზა?
ვხედავთ, რომ თუ დავუმატებთ 6-ს და 24-ს, მივიღებთ მრგვალ რიცხვს. მრგვალ რიცხვში რაღაცის დამატება ყოველთვის ადვილია. აიღეთ ფრჩხილებში 6 და 24 რიცხვების ჯამი.
(6 + 24) + 51 = …
(6 და 24 რიცხვების ჯამს დაუმატეთ 51)

გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა და ვნახოთ შეიცვალა თუ არა გამოხატვის მნიშვნელობა?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

ჩვენ ვხედავთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა იგივე რჩება.

ვივარჯიშოთ კიდევ ერთი მაგალითით.

(27 + 19) + 1 = 47 (27 და 19 რიცხვების ჯამს დაუმატეთ 1)
რა რიცხვები შეიძლება მოხერხებულად დაჯგუფდეს ისე, რომ მოსახერხებელი გზა მივიღოთ?
თქვენ წარმოიდგინეთ, რომ ეს არის რიცხვები 19 და 1. ავიღოთ 19 და 1 რიცხვების ჯამი ფრჩხილებში.
27 + (19 + 1) = …
(27-ს დაუმატეთ 19 და 1 რიცხვების ჯამი)
მოდი ვიპოვოთ ამ გამოთქმის მნიშვნელობა. გვახსოვს, რომ ფრჩხილებში მოცემული მოქმედება ჯერ შესრულებულია.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

ჩვენი გამოთქმის მნიშვნელობა იგივე რჩება.

დამატების ასოციაციური კანონი: ორი მიმდებარე ტერმინი შეიძლება შეიცვალოს მათი ჯამით.

ახლა მოდით ვივარჯიშოთ ორივე კანონის გამოყენებით. ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

38 + 14 + 2 + 6 = …

პირველ რიგში, ჩვენ ვიყენებთ დამატების კომუტაციური თვისებას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს შევცვალოთ ტერმინები. მოდით გავცვალოთ ტერმინები 14 და 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

ახლა ვიყენებთ ასოციაციურ თვისებას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს შევცვალოთ ორი მეზობელი ტერმინი მათი ჯამით.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

პირველ რიგში, ჩვენ ვიგებთ 38-ისა და 2-ის ჯამის მნიშვნელობას.

ახლა ჯამი არის 14 და 6.

3. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი „ღია გაკვეთილი“ ().

გააკეთე სახლში

1. გამოთვალეთ ტერმინთა ჯამი სხვადასხვა გზით:

ა) 5 + 3 + 5 ბ) 7 + 8 + 13 გ) 24 + 9 + 16

2. გამოთვალეთ გამონათქვამების შედეგები:

ა) 19 + 4 + 16 + 1 ბ) 8 + 15 + 12 + 5 გ) 20 + 9 + 30 + 1

3. გამოთვალეთ თანხა მოსახერხებელი გზით:

ა) 10 + 12 + 8 + 20 ბ) 17 + 4 + 3 + 16 გ) 9 + 7 + 21 + 13

Ისე, ზოგადად, ნატურალური რიცხვების გამოკლებას არ გააჩნია შემცვლელი თვისება. მოდით დავწეროთ ეს განცხადება ასოებით. თუ a და b არათანაბარი ნატურალური რიცხვებია, მაშინ a−b≠b−a. მაგალითად, 45−21≠21−45 .

ნატურალურ რიცხვს ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება.

შემდეგი თვისება დაკავშირებულია ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლებასთან. მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომელიც მოგვცემს ამ თვისების გაგებას.

წარმოიდგინეთ, რომ ხელში 7 მონეტა გვაქვს. ჩვენ ჯერ გადავწყვიტეთ შევინახოთ 2 მონეტა, მაგრამ ვფიქრობთ, რომ ეს საკმარისი არ იქნება, გადავწყვიტეთ კიდევ ერთი მონეტა შევინახოთ. ნატურალური რიცხვების შეკრების მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ ამ შემთხვევაში გადავწყვიტეთ შევინახოთ მონეტების რაოდენობა, რომელიც განისაზღვრება ჯამით 2 + 1. ასე რომ, ვიღებთ ორ მონეტას, ვამატებთ კიდევ ერთ მონეტას და ვდებთ ყულაბაში. ამ შემთხვევაში ჩვენს ხელში დარჩენილი მონეტების რაოდენობა განისაზღვრება 7−(2+1) სხვაობით.

ახლა წარმოვიდგინოთ, რომ გვაქვს 7 მონეტა და ყულაბაში ჩავდოთ 2 მონეტა და ამის შემდეგ - კიდევ ერთი მონეტა. მათემატიკურად, ეს პროცესი აღწერილია შემდეგი რიცხვითი გამოსახულებით: (7−2)−1.

თუ ჩავთვლით ხელებში დარჩენილ მონეტებს, მაშინ პირველ და მეორე შემთხვევაში გვაქვს 4 მონეტა. ანუ 7−(2+1)=4 და (7−2)−1=4, ანუ 7−(2+1)=(7−2)−1.

განხილული მაგალითი საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ მოცემული ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება. მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლება ორი ნატურალური რიცხვის მოცემული ჯამის იგივეა, რაც ამ ჯამის პირველი წევრის გამოკლება მოცემულ ნატურალურ რიცხვს, შემდეგ კი მეორე წევრის გამოკლება მიღებული სხვაობიდან.

შეგახსენებთ, რომ ნატურალური რიცხვების გამოკლებას მნიშვნელობა მივეცით მხოლოდ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც მინუენდი მეტია ქვეტრაენდზე, ან მისი ტოლი. მაშასადამე, მოცემულ ნატურალურ რიცხვს შეგვიძლია გამოვაკლოთ მოცემული ჯამი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ჯამი არ აღემატება შემცირებულ ნატურალურ რიცხვს. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პირობით, თითოეული წევრი არ აღემატება იმ ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც აკლდება ჯამი.

ასოების გამოყენებით მოცემული ნატურალური რიცხვიდან ორი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება იწერება ტოლობის სახით. a−(b+c)=(a−b)−c, სადაც a , b და c არის რამდენიმე ნატურალური რიცხვი და დაკმაყოფილებულია პირობები a>b+c ან a=b+c.

განხილული თვისება, ისევე როგორც ნატურალური რიცხვების შეკრების ასოციაციური თვისება, საშუალებას გაძლევთ გამოკლოთ სამი ან მეტი რიცხვის ჯამი მოცემულ ნატურალურ რიცხვს.

ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ორი რიცხვის ჯამს.

გადავდივართ შემდეგ თვისებაზე, რომელიც დაკავშირებულია ორი ნატურალური რიცხვის მოცემული ჯამიდან მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლებასთან. განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც დაგვეხმარება ნატურალური რიცხვის გამოკლების ამ თვისების „დანახვაში“ ორი რიცხვის ჯამს.

დავუშვათ, რომ პირველ ჯიბეში გვაქვს 3 კანფეტი, ხოლო მეორეში 5 კანფეტი და უნდა მივცეთ 2 კანფეტი. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება სხვადასხვა გზით. ავიღოთ ისინი თავის მხრივ.

ჯერ შეგვიძლია ყველა კანფეტი ერთ ჯიბეში ჩავდოთ, შემდეგ 2 კანფეტი ამოვიღოთ და მივცეთ. მოდით აღვწეროთ ეს მოქმედებები მათემატიკურად. მას შემდეგ, რაც კანფეტებს ერთ ჯიბეში ჩავყრით, მათი რაოდენობა განისაზღვრება 3 + 5 ჯამით. ახლა კანფეტების საერთო რაოდენობადან 2 კანფეტს ვაჩუქებთ, ხოლო დარჩენილი კანფეტების რაოდენობა განისაზღვრება შემდეგი სხვაობით (3+5)−2.

მეორეც, შეგვიძლია გავაჩუქოთ 2 კანფეტი პირველი ჯიბიდან ამოღებით. ამ შემთხვევაში სხვაობა 3−2 განსაზღვრავს კანფეტების დარჩენილ რაოდენობას პირველ ჯიბეში, ხოლო კანფეტების ჯამური რაოდენობა, რომელიც დაგვრჩა, განვსაზღვრავთ ჯამით (3−2)+5.

მესამე, მეორე ჯიბიდან შეგვიძლია ვაჩუქოთ 2 კანფეტი. მაშინ სხვაობა 5−2 შეესატყვისება მეორე ჯიბეში დარჩენილი კანფეტების რაოდენობას, ხოლო დარჩენილი კანფეტების რაოდენობა განისაზღვრება ჯამით 3+(5−2) .

გასაგებია, რომ ყველა შემთხვევაში ერთნაირი ტკბილეული გვექნება. მაშასადამე, ტოლობები (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) მართებულია.

თუ არა 2, არამედ 4 კანფეტის მიცემა მოგვიწია, მაშინ ეს ორი გზით შეგვეძლო. პირველ რიგში, აჩუქეთ 4 კანფეტი, მანამდე ყველა ერთ ჯიბეში ჩადეთ. ამ შემთხვევაში ტკბილეულის დარჩენილი რაოდენობა განისაზღვრება ისეთი გამოსახულებით, როგორიცაა (3+5)−4. მეორეც, მეორე ჯიბიდან 4 კანფეტის გაცემა შეგვეძლო. ამ შემთხვევაში, კანფეტების საერთო რაოდენობა იძლევა შემდეგ ჯამს 3+(5−4) . გასაგებია, რომ პირველ და მეორე შემთხვევაში გვექნება ერთნაირი რაოდენობის ტკბილეული, შესაბამისად, ტოლობა (3+5)−4=3+(5−4) მართალია.

წინა მაგალითების ამოხსნისას მიღებული შედეგების გაანალიზების შემდეგ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ორი რიცხვის მოცემულ ჯამს. მოცემული ნატურალური რიცხვის გამოკლება ორი რიცხვის მოცემულ ჯამს იგივეა, რაც მოცემული რიცხვის გამოკლება ერთ-ერთ წევრს და შემდეგ მიღებულ სხვაობას და სხვა წევრს. გასათვალისწინებელია, რომ გამოკლებული რიცხვი არ უნდა იყოს მეტი იმ ტერმინზე, რომელსაც ეს რიცხვი აკლდება.

დავწეროთ ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება ჯამს ასოების გამოყენებით. მოდით a, b და c იყოს რამდენიმე ნატურალური რიცხვი. შემდეგ, იმ პირობით, რომ a მეტია ან ტოლია c-ზე, მაშინ ტოლობა (a+b)−c=(a−c)+bდა იმ პირობით, რომ b მეტია ან ტოლია c-ზე, ტოლობა (a+b)−c=a+(b−c). თუ ორივე a და b მეტია ან ტოლია c-ზე, მაშინ ორივე ბოლო ტოლობა ჭეშმარიტია და ისინი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

ანალოგიით, შეიძლება ჩამოყალიბდეს ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება სამი ან მეტი რიცხვის ჯამიდან. ამ შემთხვევაში, ეს ნატურალური რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს ნებისმიერ წევრს (რა თქმა უნდა, თუ ის მეტია ან ტოლია გამოკლებულ რიცხვზე), ხოლო დანარჩენი წევრები შეიძლება დაემატოს მიღებულ განსხვავებას.

გაჟღერებული ქონების ვიზუალიზაციისთვის შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ბევრი ჯიბე გვაქვს და მათში ტკბილეულია. დავუშვათ, ჩვენ უნდა მივცეთ 1 კანფეტი. გასაგებია, რომ ნებისმიერი ჯიბიდან შეგვიძლია მივცეთ 1 კანფეტი. ამავდროულად, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი ჯიბიდან ვაძლევთ მას, რადგან ეს გავლენას არ ახდენს ჩვენს დარჩენილი ტკბილეულის რაოდენობაზე.

ავიღოთ მაგალითი. მოდით a , b , c და d იყოს რამდენიმე ნატურალური რიცხვი. თუ a>d ან a=d , მაშინ სხვაობა (a+b+c)−d უდრის (a−d)+b+c ჯამის. თუ b>d ან b=d, მაშინ (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. თუ c>d ან c=d , მაშინ ტოლობა (a+b+c)−d=a+b+(c−d) მართალია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ნატურალური რიცხვის გამოკლების თვისება სამი ან მეტი რიცხვის ჯამიდან არ არის ახალი თვისება, ვინაიდან იგი გამომდინარეობს ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისებებიდან და ორი რიცხვის ჯამიდან რიცხვის გამოკლების თვისებიდან.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. ნებისმიერი სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 1, 2, 3, 4 კლასებისთვის.
• მათემატიკა. საგანმანათლებლო დაწესებულებების 5 კლასის ნებისმიერი სახელმძღვანელო.