លេខមិនសមហេតុផល- វាមិនសមហេតុផលទេ។ ចំនួនពិត, i.e. វាមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ \(\frac(m)(n)\) (ជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ពីរ) ដែល មគឺជាចំនួនគត់ ន- លេខធម្មជាតិ។ ចំនួនមិនសមហេតុផលអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់។

លេខមិនសមហេតុផលមិនអាចមានបានទេ។ តម្លៃ​ពិតប្រាកដ. ឧទាហរណ៍ ឫសការ៉េនៃពីរគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

សំណុំត្រូវបានតំណាង លេខមិនសមហេតុផលធំ អក្សរអង់គ្លេស\(ខ្ញុំ\) ។

សំណុំ​នៃ​លេខ​សនិទានភាព និង​មិន​សម​ហេតុ​ផល​បង្កើត​ជា​សំណុំ ចំនួនពិត. សំណុំនៃចំនួនពិតត្រូវបានតាងដោយអក្សរ \(R\) ។

ឫស​ការេ(ឫសការ៉េនព្វន្ធ) នៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន \(a\) ត្រូវបានគេហៅថាបែបនេះ លេខមិនអវិជ្ជមានដែលការ៉េគឺ \(a\) ។ \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\((x)^(2)))=a;\x,a\ge 0)\).

តម្លៃប្រហាក់ប្រហែល ឫស​ការេពី លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យរហូតដល់មួយ ពីរជាប់គ្នា។ លេខធម្មជាតិដែលការ៉េនៃទីមួយគឺតិចជាង ហើយការេទីពីរគឺធំជាងចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ទីមួយនៃលេខទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងកង្វះ, ទីពីរ - តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងលើស។

តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: \(\sqrt(10)\approx3 (\s\week); \sqrt(10)\approx4 (\s\est)\).

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល \(\sqrt3\) ដែលមានខ្ទង់ទសភាគពីរ។ ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ 3 ដំបូងជាលេខទាំងមូល។ ចាប់តាំងពី 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

ចូរយើងស្វែងរកចំនួនភាគដប់ឥឡូវនេះ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​នឹង​ការ៉េ​ប្រភាគ​ទសភាគ 1.1; ១.២; ១.៣; ... រហូតដល់យើងវាយតម្លៃម្តងទៀតនូវកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ 3 ជាមួយនឹងលេខបែបនេះ។ យើងមាន: 1.12 = 1.21; 1.22 = 1.44; 1.32 = 1.69; 1.42 = 1.96; 1.52 = 2.25; 1.62 = 2.56; 1.72 = 2.89; 1.82 = 3.24 ។ ចាប់តាំងពី 2.89< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

ដើម្បី​រក​ចំនួន​ខ្ទង់​រយ យើង​នឹង​ធ្វើ​ការ​ការ៉េ​ជា​បន្តបន្ទាប់​នៃ​ប្រភាគ​ទសភាគ 1.71; ១.៧២; ១.៧៣; ..., វាយតម្លៃម្តងទៀតនូវកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ 3. យើងមាន: 1.712 = 2.9241; 1.722 = 2.9584; 1.732 = 2.9929; 1.742 = 3.0276 ។ ចាប់តាំងពី 1.732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

ឧទាហរណ៍ ២គណនា \(\ sqrt(138384)\) ។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរបំបែកលេខជាមុខ៖ ១៣ "៨៣" ៨៤ - មានបីលេខ ដែលមានន័យថា លទ្ធផលគួរតែជាលេខបីខ្ទង់។ ខ្ទង់ទីមួយនៃលទ្ធផលគឺ 3 ចាប់តាំងពី 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. ដកលេខ 9 ចេញពី 13 យើងទទួលបាន 4. កំណត់មុខបន្ទាប់ទៅ 4 យើងទទួលបាន ក= 483. ទ្វេដងផ្នែកដែលមាននៃលទ្ធផល ឧ. លេខ 3 យើងទទួលបាន ក= 6. ឥឡូវនេះ ចូរយើងជ្រើសរើសខ្ទង់ធំបំផុត xដូច្នេះផលិតផលនៃលេខពីរខ្ទង់ ពូថៅនៅ​លើ xគឺតិចជាង 483។ លេខនេះនឹងមានចំនួន 7 ដោយហេតុថា 67 * 7 = 469 គឺតិចជាង 483 ខណៈដែល 68 * 8 = 544 គឺច្រើនជាង 483។ ដូច្នេះលេខទីពីរនៃលទ្ធផលគឺ 7 ។

ដក 469 ចេញពី 483 យើងទទួលបាន 14។ កំណត់គែមចុងក្រោយទៅខាងស្តាំនៃលេខនេះ យើងទទួលបាន ខ= 1484. ទ្វេដងនៃផ្នែកដែលមាននៃលទ្ធផល, i.e. លេខ 37 យើងទទួលបាន ខ= 74. ឥឡូវនេះ ចូរយើងជ្រើសរើសចំនួនធំបំផុតបែបនេះ yដូច្នេះផលិតផលនៃលេខបីខ្ទង់ ដោយនៅ​លើ yមិនលើសពី 1484 ។ តួលេខនេះនឹងមាន 2 ចាប់តាំងពី 742 * 2 = 1484 ។ លេខ 2 គឺជាខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលទ្ធផល។ ចម្លើយគឺ ៣៧២។

\\(\sqrt(138384)=372\) ។

ប្រសិនបើឫសមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទេ នោះសញ្ញាក្បៀសត្រូវបានដាក់បន្ទាប់ពីខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមុខបន្ថែមទៀតត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលនីមួយៗមានទម្រង់ 00។ ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការនៃការស្រង់ឫសគឺគ្មានទីបញ្ចប់។ វាឈប់នៅពេលដែលភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការត្រូវបានឈានដល់។

លេខពិត II

§ 39 ការស្រង់ឫសការ៉េពីលេខសនិទាន

ដូចដែលយើងដឹងនៅក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទាន ប្រតិបត្តិការនៃគុណគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន។ ជាពិសេសផលិតផល ម / ន ម / ន . ផលិតផលនេះត្រូវបានគេដឹងថាត្រូវបានគេហៅថាការ៉េនៃលេខ។ ម / ន និងតំណាងឱ្យ ( ម / ន ) 2:

( ម / ន ) 2 = ម / ន ម / ន

ដូច្នេះ ប្រសិនបើចំនួនមួយចំនួនមានសនិទានភាព នោះការេរបស់វាក៏ជាលេខសមហេតុផលផងដែរ។ ចំនួននេះច្បាស់ជាវិជ្ជមាន។ ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​ដាក់​បញ្ហា​បញ្ច្រាស៖ តើ​រាល់​លេខ​សនិទានភាព​វិជ្ជមាន​ជា​ការេ​នៃ​ចំនួន​សនិទានភាព​មួយ​ចំនួន​ឬ? នៅក្នុងភាសានៃសមីការពិជគណិត បញ្ហានេះអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម។ ផ្តល់សមីការ

X 2 = ក ,

កន្លែងណា ក គឺជាចំនួនសមហេតុផលវិជ្ជមានមួយចំនួន និង X - មិនស្គាល់តម្លៃ។ សំណួរគឺ៖ តើសមីការនេះតែងតែមានឫសសនិទានទេ? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ចំនួនសមហេតុផល ក អាចត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះសមីការ X 2 = ក នឹងមិនមានឫសសនិទានតែមួយទេ។ យើងជឿជាក់លើរឿងនេះ ជាពិសេសដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។មិនមានលេខសនិទានទេ ដែលការេគឺ 2 ។

ភស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ឧបមាថាមានលេខសមហេតុផល ម / ន ដែលការ៉េគឺ 2: ( ម / ន ) 2 = 2.

ប្រសិនបើចំនួនគត់ t និង ទំ មានមេគុណដូចគ្នា បន្ទាប់មកប្រភាគ ម / ន អាចត្រូវបានខ្លី។ ដូច្នេះចាប់ពីដើមដំបូងមក យើងអាចសន្មត់ថាប្រភាគ ម / ន មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

ពីលក្ខខណ្ឌ ( ម / ន ) 2 = 2 វាធ្វើតាមនោះ។

t 2 = 2ទំ 2 . .

ចាប់តាំងពីលេខ 2 ទំ 2 គឺស្មើ បន្ទាប់មកលេខ t 2 ត្រូវតែស្មើគ្នា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកលេខនឹងស្មើ t . (បញ្ជាក់!) ដូច្នេះ t = 2k កន្លែងណា k គឺជាចំនួនគត់មួយចំនួន។ ការជំនួសកន្សោមនេះសម្រាប់ t ចូលទៅក្នុងរូបមន្ត t 2 = 2ទំ ២ ទទួលបាន៖ ៤ k 2 = 2ទំ ២, មកពីណា

ទំ 2 =2k 2 .

ក្នុងករណីនោះលេខ ទំ 2 នឹងស្មើ; ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកលេខត្រូវតែស្មើ ទំ . វាប្រែថាលេខ t និង ទំ សូម្បីតែ។ ហើយនេះផ្ទុយពីការពិតដែលថាប្រភាគ ម / ន មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ ដូច្នេះការសន្មត់ដំបូងរបស់យើងអំពីអត្ថិភាពនៃប្រភាគ ម / ន បំពេញលក្ខខណ្ឌ ( ម / ន ) 2 = 2. , គឺមិនពិត។ វានៅតែត្រូវទទួលស្គាល់ថាក្នុងចំនោមលេខសនិទានទាំងអស់ គ្មាននរណាម្នាក់ដែលការេនឹងស្មើនឹង 2 នោះទេ។ ដូច្នេះសមីការ

X 2 = 2

នៅក្នុងហ្វូង ហេតុផលលេខគឺមិនអាចសម្រេចបាន។ ការសន្និដ្ឋានស្រដៀងគ្នានេះអាចត្រូវបានធ្វើឡើងអំពីសមីការផ្សេងទៀតជាច្រើននៃទម្រង់

X 2 = ក ,

កន្លែងណា ក គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងថ្នាក់ទី VIII យើងបាននិយាយម្តងហើយម្តងទៀតអំពីឫសគល់នៃសមីការបែបនេះ។ និងឫសវិជ្ជមាននៃសមីការ X 2 = ក យើងថែមទាំងបានផ្តល់ឈ្មោះពិសេសមួយថា "ឫសការ៉េនៃលេខ ក ” ហើយបានណែនាំការរចនាពិសេសសម្រាប់វា៖ √ ក .

ដូច្នេះ √2 មិនមែនជារបស់លេខសនិទានទេ។ ប៉ុន្តែ​តើ​គេ​អាច​កំណត់​លក្ខណៈ √2 ដោយ​របៀប​ណា? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់សម្រាប់ការស្រង់ចេញឫសការ៉េ។ នៅពេលអនុវត្តទៅលេខ 2 ច្បាប់នេះផ្តល់ឱ្យ:

ដំណើរការនៃការស្រង់ឫសក្នុងករណីនេះមិនអាចបញ្ចប់នៅជំហានណាមួយឡើយ។ បើមិនដូច្នេះទេ √2 នឹងស្មើនឹងប្រភាគទសភាគកំណត់មួយចំនួន ដូច្នេះហើយជាចំនួនសមហេតុផល។ ហើយនេះផ្ទុយនឹងទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញខាងលើ។ ដូច្នេះ នៅពេលយកឫសការ៉េនៃ 2 ប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ត្រូវបានទទួល។ ប្រភាគនេះមិនអាចតាមកាលកំណត់បានទេ បើមិនដូច្នេះទេ វាដូចជាប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ផ្សេងទៀត អាចត្រូវបានតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ពីរ។ ហើយនេះក៏ផ្ទុយនឹងទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញខាងលើ។ ដូច្នេះ √2 អាច​ត្រូវ​បាន​គិត​ថា​ជា​ទសភាគ​មិន​កំណត់​តាម​កាលកំណត់។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សកម្មភាពនៃការទាញយកឫសពីចំនួនគត់នាំយើងទៅកាន់ប្រភាគទសភាគមិនកំណត់តាមកាលកំណត់។

នៅក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម យើងនឹងពិចារណាបញ្ហាមួយទៀត ដែលជាទូទៅនិយាយមិនមានពាក់ព័ន្ធនឹងការដកឬសនោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏នាំយើងទៅកាន់ប្រភាគទសភាគដែលមិនមានកំណត់តាមកាលកំណត់។

លំហាត់

305. ចង្អុលប្រាប់លេខធម្មជាតិមួយចំនួន ឫសការ៉េដែលនឹងក្លាយជាលេខសមហេតុផល។

306. បង្ហាញថាប្រសិនបើឫសការេនៃចំនួនធម្មជាតិគឺជាលេខសនិទាន នោះលេខសនិទាននេះគឺចាំបាច់ជាចំនួនគត់។

307. បញ្ជាក់សមីការ X 3 = 5 ក្នុង​សំណុំ​លេខ​សនិទានភាព​គ្មាន​ឫស។

យើងបានបង្ហាញរួចហើយថា $1\frac25$ គឺនៅជិត $\sqrt2$។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹង $\sqrt2$ ។ បន្ទាប់មកសមាមាត្រ - $\frac(1\frac25)(1)$ ដែលអាចប្រែទៅជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ $\frac75$ ដោយគុណផ្នែកខាងលើ និងខាងក្រោមនៃប្រភាគដោយ 5 នឹងជាតម្លៃដែលចង់បាន។

ប៉ុន្តែជាអកុសល $1\frac25$ មិនមែនជាតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\sqrt2$ ទេ។ ចម្លើយដែលច្បាស់លាស់ជាង $1\frac(41)(100)$ ត្រូវបានផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង $\frac(141)(100)$។ យើងសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវកាន់តែច្រើននៅពេលដែលយើងធ្វើសមមូល $\sqrt2$ ទៅ $1\frac(207)(500)$ ។ ក្នុងករណីនេះ សមាមាត្រក្នុងចំនួនគត់នឹងស្មើនឹង $\frac(707)(500)$ ។ ប៉ុន្តែ $1\frac(207)(500)$ មិនមែនជាតម្លៃពិតប្រាកដនៃឬសការេនៃ 2 នោះទេ។ គណិតវិទូជនជាតិក្រិចបានចំណាយពេលវេលា និងកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងជាច្រើនដើម្បីគណនាតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\sqrt2$ ប៉ុន្តែពួកគេមិនដែលជោគជ័យឡើយ។ ពួកគេបានបរាជ័យក្នុងការតំណាងឱ្យសមាមាត្រ $\frac(\sqrt2)(1)$ ជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់។

ទីបំផុត គណិតវិទូជនជាតិក្រិចដ៏ឆ្នើម Euclid បានបង្ហាញថា ទោះបីជាភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាកើនឡើងប៉ុណ្ណាក៏ដោយ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\sqrt2$ ។ មិនមានប្រភាគទេ ដែលនៅពេលដែលការេនឹងលទ្ធផលជា 2។ គេនិយាយថា Pythagoras គឺជាអ្នកដំបូងដែលឈានដល់ការសន្និដ្ឋាននេះ ប៉ុន្តែការពិតដែលមិនអាចពន្យល់បាននេះបានធ្វើឱ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំង រហូតដល់គាត់បានស្បថ និងស្បថពីសិស្សរបស់គាត់ដើម្បីរក្សា ការរកឃើញនេះគឺជាអាថ៌កំបាំង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ព័ត៌មាននេះប្រហែលជាមិនពិតទេ។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើលេខ $\frac(\sqrt2)(1)$ មិនអាចតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ទេនោះ គ្មានលេខដែលមាន $\sqrt2$ ឧទាហរណ៍ $\frac(\sqrt2)(2)$ ឬ $\frac (4)(\sqrt2)$ ក៏មិនអាចតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់បានដែរ ព្រោះប្រភាគទាំងអស់អាចបំប្លែងទៅជា $\frac(\sqrt2)(1)$ គុណនឹងចំនួនមួយចំនួន។ ដូច្នេះ $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$ ។ ឬ $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ ដែលអាចបំប្លែងដោយគុណផ្នែកខាងលើ និងខាងក្រោមដោយ $\sqrt2$ ដើម្បីទទួលបាន $\frac(4) (\ sqrt2)$ ។ (យើងមិនគួរភ្លេចថាមិនថាលេខ $\sqrt2$ យ៉ាងណានោះទេ ប្រសិនបើយើងគុណនឹង $\sqrt2$ យើងទទួលបាន 2 ។)

ដោយសារលេខ $\sqrt2$ មិនអាចត្រូវបានតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ វាត្រូវបានហៅ លេខមិនសមហេតុផល. ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខទាំងអស់ដែលអាចតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ត្រូវបានហៅ ហេតុផល.

ចំនួនគត់ និងប្រភាគទាំងអស់ ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន គឺសមហេតុផល។

ដូចដែលវាប្រែចេញ ឫសការ៉េភាគច្រើនគឺជាលេខមិនសមហេតុផល។ ឫសការ៉េសនិទានគឺសម្រាប់តែលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងស៊េរីនៃលេខការ៉េប៉ុណ្ណោះ។ លេខទាំងនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរថាការ៉េល្អឥតខ្ចោះ។ លេខសនិទានភាពក៏ជាប្រភាគដែលបង្កើតឡើងដោយការេដ៏ល្អឥតខ្ចោះទាំងនេះផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ $\sqrt(1\frac79)$ គឺជាលេខសនិទាន ព្រោះ $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ឬ $1\frac13$ (4 ជា root ការេនៃ 16 និង 3 គឺជាឫសការេនៃ 9) ។