អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រគឺជាសមភាពដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកមុខងារទាំងនេះ ដោយផ្តល់ថា ណាមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះនិយាយថាផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុសនៃមុំមួយ និងការ៉េនៃកូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺស្មើនឹងមួយ ដែលក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងធ្វើឱ្យវាអាចគណនាស៊ីនុសនៃមុំមួយនៅពេលដែលកូស៊ីនុសរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ និងច្រាសមកវិញ។ .

នៅពេលបំប្លែងកន្សោមត្រីកោណមាត្រ អត្តសញ្ញាណនេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃមុំមួយ និងអនុវត្តប្រតិបត្តិការជំនួសតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ការស្វែងរកតង់សង់ និងកូតង់សង់តាមរយៈស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

អត្តសញ្ញាណទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងពីនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើល តាមនិយមន័យ លំដាប់នៃ y គឺជាស៊ីនុស ហើយ abscissa នៃ x គឺជាកូស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកតង់សង់នឹងស្មើនឹងសមាមាត្រ \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), និងសមាមាត្រ \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- នឹងក្លាយជាកូតង់សង់។

យើងបន្ថែមថាសម្រាប់តែមុំ \alpha ដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមបញ្ចូលក្នុងពួកវាសមហេតុផល អត្តសញ្ញាណនឹងប្រព្រឹត្តទៅ , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ឧទាហរណ៍: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)មានសុពលភាពសម្រាប់មុំអាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2)+\pi z, ក ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- សម្រាប់មុំ \ អាល់ហ្វាក្រៅពី \ pi z, z គឺជាចំនួនគត់។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់តែមុំ \ អាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2) z. បើមិនដូច្នោះទេ កូតង់សង់ ឬតង់ហ្សង់នឹងមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ដោយផ្អែកលើចំណុចខាងលើយើងទទួលបាន tg \alpha = \frac(y)(x), ក ctg\alpha=\frac(x)(y). ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ដូច្នេះតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយដែលពួកគេយល់បានគឺជាលេខទៅវិញទៅមក។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូស៊ីនុស កូតង់សង់ និងស៊ីនុស

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- ផលបូកនៃតង់សង់ការេនៃមុំ \ អាល់ហ្វា និង 1 គឺស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ទាំងអស់ក្រៅពី \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- ផលបូកនៃ 1 និងការ៉េនៃកូតង់សង់នៃមុំ \ អាល់ហ្វា ស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃស៊ីនុសនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ណាមួយក្រៅពី \pi z ។

ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក \sin \alpha និង tg \alpha ប្រសិនបើ \cos \alpha=-\frac12និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

មុខងារ \sin \alpha និង \cos \alpha ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1. ជំនួសរូបមន្តនេះ។ \cos \alpha = -\frac12, យើង​ទទួល​បាន:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12\right)^2 = 1

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយ ២៖

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅក្នុងត្រីមាសទី 2 ស៊ីនុសគឺវិជ្ជមានដូច្នេះ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ដើម្បីស្វែងរក tg \alpha យើងប្រើរូបមន្ត tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក \cos \alpha និង ctg \alpha ប្រសិនបើ និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1លេខតាមលក្ខខណ្ឌ \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), យើង​ទទួល​បាន \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. សមីការនេះមានដំណោះស្រាយពីរ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅក្នុងត្រីមាសទី 2 កូស៊ីនុសគឺអវិជ្ជមានដូច្នេះ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ដើម្បីស្វែងរក ctg \alpha យើងប្រើរូបមន្ត ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). យើងដឹងពីតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលយ៉ាងទូលំទូលាយ។ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានគឺជាសមភាពដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រណាមួយតាមរយៈមុខងារផ្សេងទៀតដែលគេស្គាល់។

យើងរាយបញ្ជីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់ៗភ្លាមៗ ដែលយើងនឹងវិភាគក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងសរសេរពួកវាក្នុងតារាងមួយ ហើយខាងក្រោមយើងផ្តល់ប្រភពនៃរូបមន្តទាំងនេះ និងផ្តល់ការពន្យល់ចាំបាច់។

ការរុករកទំព័រ។

ទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយ។

ពេលខ្លះពួកគេនិយាយមិនមែនអំពីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានដែលបានរាយក្នុងតារាងខាងលើទេ ប៉ុន្តែអំពីតែមួយ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានប្រភេទ . ការពន្យល់សម្រាប់ការពិតនេះគឺសាមញ្ញណាស់៖ សមភាពត្រូវបានទទួលពីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន បន្ទាប់ពីបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ និងរៀងៗខ្លួន និងសមភាព។ និង ធ្វើតាមនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់។ យើង​នឹង​ពិភាក្សា​អំពី​រឿង​នេះ​យ៉ាង​លម្អិត​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​ខាងក្រោម។

នោះ​គឺ​វា​ជា​សមភាព​ដែល​មាន​ការ​ចាប់​អារម្មណ៍​ជា​ពិសេស​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ឲ្យ​ឈ្មោះ​នៃ​អត្តសញ្ញាណ​ត្រីកោណមាត្រ​សំខាន់។

មុននឹងបង្ហាញអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន យើងផ្តល់រូបមន្តរបស់វា៖ ផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងមួយ។ ឥឡូវ​សូម​បញ្ជាក់​វា។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុង ការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមត្រីកោណមាត្រ. វាអនុញ្ញាតឱ្យផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយត្រូវបានជំនួសដោយមួយ។ មិនតិចទេជាញឹកញាប់ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានត្រូវបានប្រើក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ឯកតាត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំណាមួយ។

តង់សង់ និងកូតង់សង់ តាមរយៈស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

អត្តសញ្ញាណតភ្ជាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់ជាមួយស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយនៃទម្រង់ និង ធ្វើតាមភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ តាមពិតតាមនិយមន័យ ស៊ីនុសគឺជា​ការចាត់តាំងរបស់ y កូស៊ីនុសជា abscissa នៃ x តង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃ ordinate ទៅ abscissa នោះគឺ ហើយកូតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa ទៅ ordinate នោះគឺ .

ដោយសារតែភាពច្បាស់លាស់នៃអត្តសញ្ញាណនេះហើយ ជាញឹកញាប់ និយមន័យនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈសមាមាត្រនៃ abscissa និង ordinate នោះទេ ប៉ុន្តែតាមរយៈសមាមាត្រនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ដូច្នេះតង់ហ្សង់នៃមុំគឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ ហើយកូតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។

ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកនេះវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាអត្តសញ្ញាណនិង សង្កត់សម្រាប់មុំបែបនេះទាំងអស់ ដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងពួកវាមានន័យ។ ដូច្នេះរូបមន្តមានសុពលភាពសម្រាប់អ្វីផ្សេងក្រៅពី (បើមិនដូច្នេះទេភាគបែងនឹងជាសូន្យ ហើយយើងមិនបានកំណត់ការបែងចែកដោយសូន្យទេ) និងរូបមន្ត - សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ខុសគ្នាពីកន្លែងដែល z ជាណាមួយ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រច្បាស់ជាងពីរមុន គឺអត្តសញ្ញាណភ្ជាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយនៃទម្រង់ . វាច្បាស់ណាស់ថាវាកើតឡើងសម្រាប់មុំណាមួយក្រៅពី បើមិនដូច្នោះទេ តង់ហ្សង់ ឬកូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត សាមញ្ញ​ណាស់។ តាមនិយមន័យ និងមកពីណា . ភស្តុតាង​អាច​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ក្នុង​វិធី​ផ្សេង​គ្នា​បន្តិច។ ចាប់តាំងពី និង បន្ទាប់មក .

ដូច្នេះតង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ដែលវាសមហេតុផលគឺ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល. វាពាក់ព័ន្ធនឹងការបញ្ចេញមតិនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំណាមួយតាមរយៈតង់ហ្សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។ លើសពីនេះទៅទៀតការជំនួសបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយសមហេតុផលពោលគឺដោយគ្មានឫស។

ដំបូង យើង​សរសេរ​រូបមន្ត​បង្ហាញ​ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និង​កូតង់សង់​ក្នុង​ន័យ​តង់ហ្សង់​នៃ​មុំ​ពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់​មក យើង​បង្ហាញ​ពី​ប្រភព​នៃ​រូបមន្ត​ទាំងនេះ។ ហើយសរុបមក យើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការប្រើប្រាស់ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល។

ការរុករកទំព័រ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ តាមរយៈតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។

ដំបូង ចូរយើងសរសេររូបមន្តចំនួនបួនដែលបង្ហាញពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ក្នុងន័យនៃតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។

រូបមន្តទាំងនេះមានសុពលភាពសម្រាប់មុំទាំងអស់ដែលតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងពួកវាត្រូវបានកំណត់៖

ដេរីវេនៃរូបមន្ត

ចូរយើងវិភាគពីប្រភពនៃរូបមន្តដែលបង្ហាញពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ តាមរយៈតង់ហ្សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

យើងតំណាងឱ្យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដោយប្រើរូបមន្តមុំទ្វេជា និង រៀងគ្នា។ ឥឡូវនេះការបញ្ចេញមតិ និង សរសេរជាប្រភាគជាមួយភាគបែង 1 as និង . លើសពីនេះ ដោយផ្អែកលើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់ យើងជំនួសឯកតាក្នុងភាគបែងដោយផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស បន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន និង . ជាចុងក្រោយ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផលដោយ (តម្លៃរបស់វាខុសពីសូន្យ ផ្តល់ ) ជាលទ្ធផលខ្សែសង្វាក់ទាំងមូលនៃសកម្មភាពមើលទៅដូចនេះ:


និង

វាបញ្ចប់ការទាញយករូបមន្តដែលបង្ហាញពីស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស តាមរយៈតង់ហ្សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។

វានៅសល់ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់។ ឥឡូវនេះដោយយកទៅក្នុងគណនីរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើនិងរូបមន្តនិង យើងទទួលបានរូបមន្តភ្លាមៗដែលបង្ហាញពីតង់សង់ និងកូតង់សង់តាមរយៈតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាល៖

ដូច្នេះ យើងបានទាញយករូបមន្តទាំងអស់សម្រាប់ការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកល។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកល

ជាដំបូង សូមពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការប្រើការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល នៅពេលបំប្លែងកន្សោម។

ឧទាហរណ៍។

បញ្ចេញមតិ ទៅកន្សោមដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

.

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖ប្រូក សម្រាប់ 9 កោសិកា។ មធ្យម សាលា / យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; អេដ។ S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc. សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ មធ្យម សាលា - ទី 3 ed ។ - M. : Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4 ។
• ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc ។ សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn និងអ្នកដទៃ; អេដ។ A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3 ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

ការណែនាំ

ប្រើចំណេះដឹងរបស់អ្នកអំពី Planimetry ដើម្បីបង្ហាញ ប្រហោងឆ្អឹងតាមរយៈសហ ប្រហោងឆ្អឹង. តាម​និយមន័យ, ប្រហោងឆ្អឹង ohm នៃ​មុំ​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង​នៃ​ប្រវែង​ទល់​មុខ​នឹង និង​ទៅ ប្រហោងឆ្អឹង om - ជើងជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សូម្បីតែចំណេះដឹងអំពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរដែលចង់បានយ៉ាងឆាប់រហ័សនៅក្នុងករណីខ្លះ។

បង្ហាញ ប្រហោងឆ្អឹងតាមរយៈសហ ប្រហោងឆ្អឹងដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត យោងទៅតាមផលបូកនៃការ៉េនៃបរិមាណទាំងនេះផ្តល់ភាពឯកភាព។ សូមកត់សម្គាល់ថាអ្នកអាចបំពេញភារកិច្ចបានត្រឹមត្រូវលុះត្រាតែអ្នកដឹងថាមុំដែលចង់បានគឺនៅក្នុងត្រីមាសបើមិនដូច្នេះទេអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលពីរដែលអាចមាន - ជាមួយសញ្ញាវិជ្ជមាននិងសញ្ញា។

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

មានត្រីកោណដែលមានជ្រុង a, b, c ស្មើនឹង 3, 4, 5 ម, រៀងគ្នា។

ស្វែងរក កូស៊ីនុសមុំរុំព័ទ្ធរវាងភាគីធំ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់មុំទល់មុខនឹងចំហៀង a ឆ្លងកាត់? បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្តដែលបានមកពីខាងលើយើងមាន:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

ចម្លើយ៖ ០.៨ ។

ប្រសិនបើ​ត្រីកោណ​ជា​ត្រីកោណ​កែង​នោះ​ត្រូវ​រក កូស៊ីនុសហើយវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីរនៃមុំ ( កូស៊ីនុសមុំខាងស្តាំគឺ ០) ។

សូម​ឲ្យ​មាន​ត្រីកោណ​កែង​ដែល​មាន​ជ្រុង a, b, c ដែល c ជា​អ៊ីប៉ូតេនុស។

ពិចារណាជម្រើសទាំងអស់៖

ស្វែងរក cos ប្រសិនបើប្រវែងនៃជ្រុង a និង b (នៃត្រីកោណ) ត្រូវបានគេស្គាល់

ចូរយើងប្រើបន្ថែមលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

ដើម្បីឱ្យភាពត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្តលទ្ធផលយើងជំនួសវាពីឧទាហរណ៍ 1 i.e.

ដោយបានធ្វើការគណនាបឋមយើងទទួលបាន:

ដូចគ្នានេះដែរមាន កូស៊ីនុសនៅក្នុងរាងចតុកោណ ត្រីកោណក្នុងករណីផ្សេងទៀត៖

ស្គាល់ a និង c (អ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងទល់មុខ) រក cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s។

ការជំនួសតម្លៃ a=3 និង c=5 ពីឧទាហរណ៍ យើងទទួលបាន៖

b និង c ត្រូវបានគេស្គាល់ (អ៊ីប៉ូតេនុស និងជើងជាប់គ្នា)។

ស្វែងរក sos?

ដោយបានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរស្រដៀងគ្នា (បង្ហាញក្នុងឧទាហរណ៍ 2 និង 3) យើងទទួលបានវាក្នុងករណីនេះ កូស៊ីនុសក្នុង ត្រីកោណគណនាដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត៖

ភាពសាមញ្ញនៃរូបមន្តដែលបានមកពីត្រូវបានពន្យល់ក្នុងវិធីបឋមមួយ: តាមពិតនៅជាប់នឹងជ្រុង? ជើងគឺជាការព្យាករនៃអ៊ីប៉ូតេនុស ប្រវែងរបស់វាគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស គុណនឹង cos?

ការជំនួសតម្លៃ b=4 និង c=5 ពីឧទាហរណ៍ទីមួយ យើងទទួលបាន៖

ដូច្នេះរូបមន្តរបស់យើងទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវ។

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តដែលទាក់ទង ប្រហោងឆ្អឹងនិងសហ ប្រហោងឆ្អឹងមុំ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តល់ ឬរំលឹកនិយមន័យមួយចំនួន។ ដូច្នេះ ប្រហោងឆ្អឹងមុំគឺជាសមាមាត្រ (កូតានៃការបែងចែក) នៃជើងទល់មុខនៃត្រីកោណកែងទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សហ។ ប្រហោងឆ្អឹងមុំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

ការណែនាំ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

តម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំណាមួយមិនអាចធំជាង 1 បានទេ។

ស៊ីនុសនិង កូស៊ីនុស- ទាំងនេះគឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្ទាល់ដែលមាននិយមន័យជាច្រើន - តាមរយៈរង្វង់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian តាមរយៈដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល តាមរយៈមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ។ និយមន័យនីមួយៗទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់ទំនាក់ទំនងរវាងមុខងារទាំងពីរនេះ។ ខាងក្រោមនេះប្រហែលជាវិធីសាមញ្ញបំផុតក្នុងការបញ្ចេញមតិ កូស៊ីនុសតាមរយៈស៊ីនុស - តាមរយៈនិយមន័យរបស់ពួកគេសម្រាប់មុំស្រួចនៃត្រីកោណខាងស្តាំ។

ការណែនាំ

បង្ហាញ​ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ស្រួច​នៃ​ត្រីកោណ​ស្តាំ​ក្នុង​ន័យ​នៃ​ប្រវែង​នៃ​ជ្រុង​នៃ​តួលេខ​នេះ។ យោងតាមនិយមន័យស៊ីនុសនៃមុំ (α) ត្រូវតែជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃចំហៀង (ក) ទល់មុខវា - ជើង - ទៅប្រវែងនៃចំហៀង (គ) ទល់មុខមុំខាងស្តាំ - អ៊ីប៉ូតេនុស: អំពើបាប (α) = a/c ។

ស្វែងរករូបមន្តស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ កូស៊ីនុសប៉ុន្តែមុំដូចគ្នា។ តាមនិយមន័យ តម្លៃនេះគួរតែត្រូវបានបញ្ជាក់ជាសមាមាត្រនៃប្រវែងចំហៀង (ខ) ជាប់នឹងជ្រុងនេះ (ជើងទីពីរ) ទៅប្រវែងចំហៀង (គ) ដេកទល់មុខមុំខាងស្តាំ៖ cos (a) \u003d ក/គ។

សរសេរឡើងវិញនូវសមីការខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ តាមរបៀបដែលវាប្រើទំនាក់ទំនងរវាងជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុសដែលបានមកពីពីរជំហានមុន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងត្រូវបែងចែកទាំងពីរដើមនៃទ្រឹស្តីបទនេះ (a² + b² = c²) ដោយការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស (a² / c² + b² / c² = 1) ហើយបន្ទាប់មកសរសេរសមភាពលទ្ធផលឡើងវិញក្នុងទម្រង់នេះ៖ (a / c)² + (b / c)² = 1 ។

ជំនួសនៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល សមាមាត្រនៃប្រវែងជើង និងអ៊ីប៉ូតេនុស ជាមួយនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនៃជំហានទីមួយ និងទីពីរ៖ sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Express កូស៊ីនុសពីសមភាពលទ្ធផល៖ cos(a) = √(1 - sin²(a)) ។ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបទូទៅ។

ប្រសិនបើបន្ថែមពីលើទូទៅ អ្នកត្រូវទទួលបានលទ្ធផលជាលេខ ប្រើឧទាហរណ៍ ម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលបង្កើតឡើងក្នុងប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការ Windows ។ តំណភ្ជាប់ទៅការបើកដំណើរការរបស់វានៅក្នុងផ្នែករង "ស្តង់ដារ" នៃផ្នែក "កម្មវិធីទាំងអស់" នៃម៉ឺនុយប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការ។ តំណភ្ជាប់នេះត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេប - "ម៉ាស៊ីនគិតលេខ" ។ ដើម្បីអាចគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីកម្មវិធីនេះ បើកចំណុចប្រទាក់ "វិស្វកម្ម" របស់វា - ចុចបន្សំគ្រាប់ចុច Alt + 2 ។

បញ្ចូលតម្លៃនៃស៊ីនុសនៃមុំក្នុងលក្ខខណ្ឌ ហើយចុចលើប៊ូតុងចំណុចប្រទាក់ជាមួយនឹងការរចនា x² - វានឹងការ៉េតម្លៃដើម។ បន្ទាប់មកវាយ *-1 នៅលើក្តារចុចចុច Enter វាយ +1 ហើយចុច Enter ម្តងទៀត - តាមរបៀបនេះអ្នកនឹងដកការ៉េនៃស៊ីនុសចេញពីឯកតា។ ចុចលើប៊ូតុងរូបតំណាងរ៉ាឌីកាល់ដើម្បីស្រង់ការ៉េ និងទទួលបានលទ្ធផលចុងក្រោយ។

មូលដ្ឋានគ្រឹះមួយក្នុងចំណោមមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដគឺគោលគំនិតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ ពួកគេកំណត់ទំនាក់ទំនងសាមញ្ញរវាងជ្រុងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ។ ស៊ីនុសជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារទាំងនេះ។ ការស្វែងរកវាដោយដឹងពីមុំអាចត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីជាច្រើន រួមទាំងការពិសោធន៍ វិធីសាស្ត្រគណនា ក៏ដូចជាការប្រើប្រាស់ព័ត៌មានយោងផងដែរ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ

• - ម៉ាស៊ីនគិតលេខ;
• - កុំព្យូទ័រ;
• - សៀវភៅបញ្ជី;
• - តារាង bradys;
• - ក្រដាស;
• - ខ្មៅដៃ។

ការណែនាំ

ប្រើជាមួយអនុគមន៍ស៊ីនុសដើម្បីទទួលបានតម្លៃដែលចង់បានដោយផ្អែកលើការដឹងពីមុំ។ សូម្បីតែឧបករណ៍សាមញ្ញបំផុតក៏មានមុខងារស្រដៀងគ្នាសព្វថ្ងៃនេះដែរ។ ក្នុងករណីនេះ ការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃភាពត្រឹមត្រូវ (ជាធម្មតារហូតដល់ប្រាំបី ឬច្រើនខ្ទង់ទសភាគ)។

អនុវត្ត កម្មវិធីដែលជាបរិស្ថានសៀវភៅបញ្ជីដែលកំពុងដំណើរការ កុំព្យូទ័រ​ផ្ទាល់ខ្លួន. ឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីបែបនេះគឺ Microsoft Office Excel និង OpenOffice.org Calc ។ បញ្ចូលក្នុងក្រឡាណាមួយនូវរូបមន្តដែលមានការហៅមុខងារស៊ីនុសជាមួយនឹងអាគុយម៉ង់ដែលចង់បាន។ ចុច Enter ។ តម្លៃដែលចង់បាននឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងក្រឡា។ អត្ថប្រយោជន៍នៃសៀវភៅបញ្ជីគឺសមត្ថភាពក្នុងការគណនាតម្លៃមុខងារយ៉ាងរហ័សសម្រាប់សំណុំធំនៃអាគុយម៉ង់។

ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃស៊ីនុសនៃមុំពីតារាង Bradys ប្រសិនបើមាន។ គុណវិបត្តិរបស់ពួកគេគឺភាពត្រឹមត្រូវនៃតម្លៃដែលត្រូវបានកំណត់ត្រឹមខ្ទង់ទសភាគបួន។

ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃស៊ីនុសនៃមុំដោយបង្កើតសំណង់ធរណីមាត្រ។ គូរបន្ទាត់នៅលើក្រដាសមួយ។ ដោយប្រើ protractor កំណត់ឡែកពីវានូវមុំដែលអ្នកចង់ស្វែងរក។ គូរបន្ទាត់មួយទៀតដែលប្រសព្វនឹងទីមួយនៅចំណុចណាមួយ។ កាត់​កែង​ទៅ​ផ្នែក​ទី​មួយ គូរ​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​ប្រសព្វ​នឹង​ផ្នែក​ដែល​មាន​ស្រាប់​ពីរ។ អ្នកទទួលបានត្រីកោណកែង។ វាស់ប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វា និងជើងទល់មុខមុំដែលបានសាងសង់ជាមួយ protractor ។ ចែកតម្លៃទីពីរដោយទីមួយ។ នេះនឹងជាតម្លៃដែលចង់បាន។

គណនាស៊ីនុសនៃមុំដោយប្រើការពង្រីកស៊េរី Taylor ។ ប្រសិនបើតម្លៃមុំគិតជាដឺក្រេ បម្លែងវាទៅជារ៉ាដ្យង់។ ប្រើរូបមន្តដូចនេះ៖ sin(x) = x − (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... ដើម្បីបង្កើនល្បឿននៃការគណនា សូមសរសេរតម្លៃបច្ចុប្បន្ននៃភាគយក និងភាគបែងនៃសមាជិកចុងក្រោយនៃស៊េរី ដោយគណនាតម្លៃបន្ទាប់ដោយផ្អែកលើលេខមុន។ បង្កើនប្រវែងនៃជួរដេកសម្រាប់តម្លៃត្រឹមត្រូវជាងមុន។

នេះជារបៀបដែលគោលគំនិតនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសត្រូវបានណែនាំ។ ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយកូស៊ីនុសគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

ទ្រឹស្តីបទនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស

ប៉ុន្តែ​កូស៊ីនុស និង​ស៊ីនុស​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​មិន​ត្រឹម​តែ​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃមុំ obtuse ឬ acute ជ្រុងនៃត្រីកោណណាមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសគឺសាមញ្ញណាស់៖ "ការេនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃភាគីទាំងពីរទៀត ដកពីរដងនៃផលគុណនៃជ្រុងទាំងនេះដោយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។"

មានការបកស្រាយពីរនៃទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសៈ តូច និងពង្រីក។ យោងតាមតូច: "នៅក្នុងត្រីកោណមួយមុំគឺសមាមាត្រទៅនឹងភាគីផ្ទុយ" ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានពង្រីកជាញឹកញាប់ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនៃរង្វង់នៃត្រីកោណមួយ: "នៅក្នុងត្រីកោណមួយ មុំគឺសមាមាត្រទៅនឹងជ្រុងផ្ទុយគ្នា ហើយសមាមាត្ររបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានគូសរង្វង់" ។

និស្សន្ទវត្ថុ

ដេរីវេគឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដែលបង្ហាញពីរបៀបដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងលឿនទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដេរីវេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងធរណីមាត្រ និងក្នុងវិញ្ញាសាបច្ចេកទេសមួយចំនួន។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកត្រូវដឹងពីតម្លៃតារាង នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ៖ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺកូស៊ីនុស ហើយដេរីវេនៃកូស៊ីនុសគឺជាស៊ីនុស ប៉ុន្តែមានសញ្ញាដក។

ការដាក់ពាក្យក្នុងគណិតវិទ្យា

ជាពិសេសជាញឹកញាប់ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយត្រីកោណកែង និងបញ្ហាដែលទាក់ទងនឹងពួកវា។

ភាពងាយស្រួលនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ក៏ត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាផងដែរ។ មុំ និងជ្រុងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការវាយតម្លៃដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស ដោយបំបែកទម្រង់ស្មុគស្មាញ និងវត្ថុទៅជាត្រីកោណ "សាមញ្ញ" ។ វិស្វករ ហើយជារឿយៗដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនាសមាមាត្រ និងរង្វាស់ដឺក្រេ បានចំណាយពេលវេលា និងកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងជាច្រើនក្នុងការគណនាកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃមុំដែលមិនមែនជាតារាង។

បន្ទាប់មកតារាងរបស់ Bradis បានមកជួយសង្គ្រោះដែលផ្ទុកនូវតម្លៃរាប់ពាន់នៃ sines, cosine, tangents និង cotangents នៃមុំផ្សេងគ្នា។ នៅសម័យសូវៀត គ្រូបង្រៀនខ្លះបានបង្ខំវួដរបស់ពួកគេឱ្យទន្ទេញចាំទំព័រនៃតារាង Bradis ។

រ៉ាដ្យង់ - តម្លៃមុំនៃធ្នូតាមបណ្តោយប្រវែងស្មើនឹងកាំឬ 57.295779513 °ដឺក្រេ។

ដឺក្រេ (ក្នុងធរណីមាត្រ) - 1/360 នៃរង្វង់ឬ 1/90 នៃមុំខាងស្តាំ។

π = 3.141592653589793238462… (តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃ pi) ។

តារាងកូស៊ីនុសសម្រាប់មុំ៖ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°។

មុំ x (គិតជាដឺក្រេ)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	១៣៥°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	៣០០°	315°	330°	360°
មុំ x (គិតជារ៉ាដ្យង់)	0	π/៦	π/4	π/៣	π/2	2 x π/3	៣xπ/៤	៥xπ/៦	π	៧xπ/៦	៥xπ/៤	៤xπ/៣	៣xπ/២	៥xπ/៣	៧xπ/៤	១១xπ/៦	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

ខ្ញុំនឹងមិនបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកឱ្យសរសេរសន្លឹកបន្លំទេ។ សរសេរ! រួមទាំងសន្លឹកបន្លំនៅលើត្រីកោណមាត្រ។ ក្រោយមក ខ្ញុំមានគម្រោងពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជាត្រូវការសន្លឹកបន្លំ និងរបៀបដែលសន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍។ ហើយនៅទីនេះ - ព័ត៌មានអំពីរបៀបមិនរៀន ប៉ុន្តែត្រូវចងចាំរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន។ ដូច្នេះ - ត្រីកោណមាត្រដោយគ្មានសន្លឹកបន្លំ! យើងប្រើសមាគមសម្រាប់ការទន្ទេញចាំ។

1. រូបមន្តបន្ថែម៖

កូស៊ីនុសតែងតែ "ទៅជាគូ" : កូស៊ីនុស - កូស៊ីនុស, ស៊ីនុស - ស៊ីនុស។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ កូស៊ីនុសគឺ "មិនគ្រប់គ្រាន់" ។ ពួកគេ "អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុស" ដូច្នេះពួកគេផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា: "-" ទៅ "+" និងច្រាសមកវិញ។

ប្រហោងឆ្អឹង - "លាយ": ស៊ីនុ-កូស៊ីនុស, កូស៊ីនុស-ស៊ីនុស។

2. រូបមន្តបូក និងភាពខុសគ្នា៖

កូស៊ីនុសតែងតែ "ទៅជាគូ" ។ ដោយបានបន្ថែមកូស៊ីនុសពីរ - "នំ" យើងទទួលបានកូស៊ីនុសមួយគូ - "កូឡូបក" ។ ហើយដក យើងប្រាកដជាមិនទទួលបានកូឡូបកទេ។ យើងទទួលបានស៊ីនុសពីរបី។ នៅតែមានដកមួយនៅខាងមុខ។

ប្រហោងឆ្អឹង - "លាយ" :

3. រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងផលិតផលទៅជាផលបូក និងភាពខុសគ្នា។

តើយើងទទួលបានកូស៊ីនុសមួយគូនៅពេលណា? នៅពេលបន្ថែមកូស៊ីនុស។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

តើនៅពេលណាដែលយើងទទួលបានស៊ីនុសមួយគូ? នៅពេលដកកូស៊ីនុស។ ពី​ទីនេះ:

"ការលាយ" ត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែម និងដកស៊ីនុស។ តើមួយណាសប្បាយជាង៖ បូកឬដក? ត្រូវហើយ បត់។ ហើយសម្រាប់រូបមន្តយកបន្ថែម៖

នៅក្នុងរូបមន្តទីមួយនិងទីបីនៅក្នុងតង្កៀប - ចំនួន។ ពីការរៀបចំឡើងវិញនៃទីកន្លែងនៃលក្ខខណ្ឌ ផលបូកមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ លំដាប់គឺសំខាន់សម្រាប់តែរូបមន្តទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ ក្នុងរូបមន្តទាំងបីក្នុងតង្កៀបទីមួយ យើងយកភាពខុសគ្នា

ហើយទីពីរ ផលបូក

សន្លឹកគ្រែក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នកផ្តល់ភាពស្ងប់ស្ងាត់ក្នុងចិត្ត៖ ប្រសិនបើអ្នកភ្លេចរូបមន្ត អ្នកអាចសរសេរវាចោលបាន។ ហើយពួកគេផ្តល់ទំនុកចិត្ត៖ ប្រសិនបើអ្នកបរាជ័យក្នុងការប្រើប្រាស់សន្លឹកបន្លំ រូបមន្តអាចត្រូវបានគេចងចាំយ៉ាងងាយស្រួល។