В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (α; β; γ) и радиус r, определяется уравнением (х - α) 2 + (y - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х 2 + у 2 + z 2 = r 2 .

1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

1) сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус r = 9;

2) сфера имеет центр С (5; -3; 7) и радиус r = 2;

3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С (4; -4; -2);

4) сфера проходит через точку A(2; -1; -3) и имеет центр. С (3; -2; 1);

5) точки А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;

6) центром сферы является начало координат, ц плоскость 16x - 14у - 12z + 75 = 0 является касательной к сфере;

7) сфера имеет. центр С (3; -5; -2) и плоскость 2х - у - 3z + 11 = 0 является касательной к сфере;

8) сфера проходит через три точки M 1 (3; 1; -3), М 2 (-2; 4; 1) и М 3 (-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + y - z + 3 = 0;

9) сфера проходит через четыре точки:

М 1 (1; -2; -1), М 2 (-5; 10; -1),

M 3 (4; 1; 11), М 4 (- 8; -2, 2).

1085. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости x + 2y + 2z - 3 = 0 в точке М 1 (1; 1; -3).

1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей Зx + 2y - 6z - 15 = 0, Зх + 2y - 6z + 55 = 0.

1087. Сфера, центр которой лежит на прямой

касается плоскостей х + 2у - 2z - 2 = 0, х + 2y - 2z + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.

1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x - Зу - 2z - 35 = 0, 6x - - Зу - 2z + 63 = 0, причем одной из них в точке M 1 (5; -1; -1).

1089. Составить уравнение сферы с центром С (2, 3; - 1), которая отсекает от прямой

хорду, имеющую длину, равную 16.

1090. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:

1) (x - 3) 2 + (y + 2) 2 + (z - 5) 2 = 16;

2) (x + 1) 2 + (y - 3) 2 + z 2 = 9;

3) x 2 + y 2 + z 2 - 4x - 2у + 2z - 19 = 0;

4) х 2 + y 2 + z 2 - 6z = 0;

5) x 2 + у 2 + z 2 + 20у = 0.

1091. Составить параметрические уравнения диаметра сферы x 2 + y 2 + z 2 + 2х -6y + z - 11 = 0, перпендикулярного к плоскости 5x - y + 2z - 17 = 0.

1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы х 2 + y 2 + z 2 - х + 3y + z - 13 = 0, параллельного прямой х = 2t - 1, y = -3t + 5, z = 4t + 7,

1093. Установить, как расположена точка A (2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер - внутри, вне или на поверхности:

1) (х - 3) 2 + (y + 1) 2 + (z - 1) 2 = 4;

2) (х + 14) 2 + (y - 11) 2 + (z + 12) 2 = 625;

3) (х - 6) 2 + (y - 1) 2 + (z - 2) 2 = 25;

4) х 2 + y 2 + z 2 - 4х + 6y - 8z + 22 = 0;

5) х 2 + y 2 + z 2 - х + Зу - 2z - 3 = 0.

1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:

а) А (-2; 6; -3), х 2 + y 2 + z 2 = 4;

б) А (9; -4; -3), х 2 + у 2 + z 2 + 14х - 16y - 24z + 241 = 0;

в) A(1; -1; 3), х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 4y - 10z - 62 = 0.

1095. Определить, как расположена плоскость относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:

1) z = 3, х 2 + y 2 + z 2 - 6х + 2y - 10z + 22 = 0;

2) y = 1, х 2 + y 2 + z 2 + 4х - 2y - 6z + 14 = 0;

3) х = 5, х 2 + y 2 + z 2 - 2х + 4y - 2z - 4 = 0.

1096. Определить, как расположена прямая относительно сферы - пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:

1) х = -2t + 2, y = 3t - 7/2, z = t - 2,

х 2 + y 2 + z 2 + х - 4y - 3z + 1/2 = 0;

2) (x - 5)/3 = y/2 = (z + 25)/-2,

x 2 + y 2 + z 2 - 4х - 6y + 2z - 67 = 0;

1097. На сфере (x - 1) 2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 23 найти точку М 1 , ближайшую к плоскости 3x - 4z + 19 = 0, и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой плоскости.

1098. Определить центр С и радиус R окружности

1099. Точки A(3; -2; 5) и B(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.

1100. Точка С (1; -1; -2) является центром,окружности, отсекающей от прямой

хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.

1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М 1 (3; - 1; -2), М 2 (1; 1; -2) и М 3 (-1; 3; 0).

1102. Даны две сферы

(х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - p 1) 2 = = R 1 2 ,

{х - m 2) 2 + (у - n 2) 2 + (z - p 2) 2 = R 2 2 ,

которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости τ. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость τ могут быть представлены уравнением вида

α | (х - m 1) 2 + (у - n 1) 2 + (z - р 1) 2 - R 1 2 ] + β [(x - m 2) 2 + (y - n 2) 2 + (z - р 2) 2 - R 2 2 ] = 0

при надлежащем выборе чисел α и β.

1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер:

2х 2 + 2y 2 + 2z 2 + Зх - 2у + z - 5 = 0,

х 2 + у 2 + z 2 - х + 3у - 2z + 1 = 0.

1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность

1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

и точку A (2; -1; 1).

1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:

1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х 2 + у 2 + z 2 = 49 в точке М 1 (6; -3; -2).

1108. Доказать, что плоскость 2х - 6у + 3z - 49 = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = 49. Вычислить координаты точки касания.

1109. При каких значениях а плоскость х + y + z = а касается сферы х 2 + y 2 + z 2 = 12.

1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х - 3) 2 + (y - 1) 2 + (z + 2) 2 = 24 в точке М 1 (-1; 3; 0).

1111. Точка М 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) лежит на сфере x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М 1 .

1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах + Ву + Cz + D = 0 касается сферы х 2 + у 2 + z 2 = R 2 .

1113. Точка М 1 (x 1 ; у 1 ; z 1) лежит на сфере (х - α) 2 + {у - β) 2 + (z - γ) 2 = r 2 . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М

1114. Через точки пересечения прямой х = 3t - 5, у = 5t - 11, z = -4t + 9 и сферы (х + 2) 2 + (у - 1) 2 + (z + 5) 2 = 49 проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.

1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 = 9 и параллельных плоскости х + 2y - 2z + 15 = 0.

1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере (x - З) 2 + {у + 2) 2 + (z - 1) 2 = 25 и параллельных плоскости 4x + 3z - 17 = 0.

1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 10х + 2y + 26z - 113=0 и параллельныx прямых (x + 5)/2 = (y - 1)/-3 = (x + 13)/2 , (x + 7)/3 = (y + 1)/-2 = (z - 8)/0

1118. Доказать, что через прямую

можно провести две плоскости, касательные к сфере х 2 + y 2 + z 2 + 2x - 6y + 4z - 15 = 0, и составить их уравнения.

1119. Доказать, что через прямую (x + 6)/2 = у + 3 = z + 1 нельзя провести плоскость, касательную к сфере x 2 + y 2 + z 2 - 4х + 2у - 4z + 4 = 0.

1120. Доказать, что через прямую х = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х 2 + у 2 + z 2 - 2х + 6y + 2z + 8 = 0, и составить ее уравнение.

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

Определение.

Сфера (поверхность шара ) - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 - m 2 ,

Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С(x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 или

R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 .

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

(x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = R2

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = 54

Сфера задана уравнением:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+(y+1)2+(z-2)2-5=4 или

x2+(y+1)2+(z-2)2=9

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

x2+(y+1)2+(z-2)2=9

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

02+(m+1)2+(2-2)2=9

12+(1+1)2+(m-2-2)2=9

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

m=-4; m=2; m=6; m=2.

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.