Vienkāršs algoritms ekstremitāšu atrašanai.

• Funkcijas atvasinājuma atrašana
• Pielīdziniet šo atvasinājumu nullei
• Mēs atrodam iegūtās izteiksmes mainīgā vērtības (tā mainīgā vērtības, kurā atvasinājums tiek pārvērsts par nulli)
• Mēs sadalām koordinātu līniju intervālos ar šīm vērtībām (tajā pašā laikā nevajadzētu aizmirst par pārtraukuma punktiem, kas arī jāpiemēro līnijai), visi šie punkti tiek saukti par "aizdomīgiem" galējības punktiem.
• Mēs aprēķinām, kurā no šiem intervāliem atvasinājums būs pozitīvs un kurā tas būs negatīvs. Lai to izdarītu, vērtība no intervāla ir jāaizstāj ar atvasinājumu.

No punktiem, par kuriem ir aizdomas par ekstrēmu, ir nepieciešams precīzi atrast . Lai to izdarītu, mēs aplūkojam mūsu atstarpes koordinātu līnijā. Ja, ejot cauri kādam punktam, atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tad šis punkts būs maksimums, un ja no mīnusa uz plusu, tad minimums.

Lai atrastu funkcijas lielāko un mazāko vērtību, ir jāaprēķina funkcijas vērtība segmenta galos un galējos punktos. Pēc tam izvēlieties lielāko un mazāko vērtību.

Apsveriet piemēru
Mēs atrodam atvasinājumu un pielīdzinām to nullei:

Mēs izmantojam iegūtās mainīgo vērtības uz koordinātu līniju un aprēķinām atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem. Nu, piemēram, pirmajai uzņemšanai-2 , tad atvasinājums būs-0,24 , par otro uzņemšanu0 , tad atvasinājums būs2 , un trešo mēs ņemam2 , tad atvasinājums būs-0,24. Noliekam atbilstošās zīmes.

Mēs redzam, ka, ejot caur punktu -1, atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tas ir, tas būs minimālais punkts, un, ejot cauri 1, attiecīgi no plusa uz mīnusu, tas ir maksimālais punkts.

1°

1°. Funkcijas galējības noteikšana.

Divu mainīgo funkcijas maksimālās, minimālās, galējības jēdziens ir līdzīgs viena neatkarīga mainīgā funkcijas atbilstošajiem jēdzieniem.

Ļaujiet funkcijai z=f(x; y) noteiktā apgabalā D, punkts N(x 0 ;y0) D.

Punkts (x 0 ;y0) sauc par punktu maksimums funkcijas z= f(x;y ), ja eksistē tāda punkta -apkaime (x 0 ;y 0), ka par katru punktu (x; y), atšķirīgs no (x 0 ;y0)šī apkārtne apmierina nevienlīdzību f(x;y )< f(x 0 ;y0). 12. attēls: N 1 - maksimālais punkts, a N 2 - funkcijas minimālais punkts z=f(x;y ).

Jēga minimums funkcijas: visiem punktiem (x 0 ;y 0), citāds nekā (x 0 ;y 0), no punkta d-apkaimes (x 0 ;y0) pastāv šāda nevienlīdzība: f(x 0 ;y 0) >f(x 0 ;y0).

Līdzīgi tiek noteikts trīs vai vairāku mainīgo lielumu funkcijas ekstrēmums.

Tiek izsaukta funkcijas vērtība maksimālā (minimālā) punktā maksimums (minimums) funkcijas.

Tiek izsaukts funkcijas maksimums un minimums ekstrēma.

Ņemiet vērā, ka saskaņā ar definīciju funkcijas galējais punkts atrodas funkcijas domēna iekšpusē; maksimālais un minimums ir vietējā(lokālā) rakstzīme: funkcijas vērtība punktā (x 0 ;y0) tiek salīdzināts ar tā vērtībām punktos, kas ir pietiekami tuvu (x 0 ;y0). Teritorijā D Funkcijai var būt vairākas galējības vai nevienas.

2°. Nepieciešamie nosacījumi ekstrēmam.

Apsveriet funkcijas ekstrēma pastāvēšanas nosacījumus.

Ģeometriski vienāds f"y (x 0 ;y0)= 0 un f"y (x 0 ;y 0) = 0 nozīmē, ka funkcijas galējā punktā z = f(x; y) pieskares plakne virsmai, kas attēlo funkciju f(x; y), paralēli plaknei Ak, hu jo pieskares plaknes vienādojums ir z=z0.

komentēt. Funkcijai var būt ekstrēmums punktos, kur neeksistē vismaz viens no daļējiem atvasinājumiem. Piemēram, funkcija punktā ir maksimums PAR(0;0), bet šajā brīdī tam nav daļēju atvasinājumu.

Punkts, kurā funkcijas pirmās kārtas daļējie atvasinājumi z = f(x;y ) ir vienādi ar nulli, t.i. f"x = 0, f" y= 0, zvanīja stacionārs punkts funkcijas z.

Tiek izsaukti stacionāri punkti un punkti, kuros neeksistē vismaz viens daļējs atvasinājums kritiskie punkti.

Kritiskajos punktos funkcijai var būt vai nebūt galējība. Daļēju atvasinājumu vienlīdzība ar nulli ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai. Apsveriet, piemēram, funkciju z = hu. Tam punkts 0(0; 0) ir kritisks (pie tā tie pazūd). Tomēr galējība tajā darbojas z = xy nav, jo pietiekami mazā punkta O(0;0) apkārtnē ir punkti, kuriem z > 0 (punkts I un III ceturtdaļa) un z< 0 (punkts II un IV ceturtdaļa).

Tādējādi, lai atrastu funkcijas ekstrēmu noteiktā reģionā, ir nepieciešams katru funkcijas kritisko punktu pakļaut papildu pētījumam.

Stacionāri punkti tiek atrasti, risinot vienādojumu sistēmu

fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0

(nepieciešamie nosacījumi ekstremitātei).

Sistēma (1) ir ekvivalenta vienam vienādojumam df(x, y)=0. Vispār galējā punktā P(a, b) funkcijas f(x, y) vai df(x, y)=0, vai df(a, b) neeksistē.

3°. Pietiekami apstākļi ekstrēmam. Ļaujiet P(a; b)- funkcijas stacionārais punkts f(x, y), t.i. . df(а, b) = 0. Pēc tam:

un ja d2f (a, b)< 0 pie , tad f(a, b) Tur ir maksimums funkcijas f (x, y);

b) ja d2f (а, b) > 0 pie , tad f(a, b)Tur ir minimums funkcijas f (x,y);

c) ja d2f (a, b) maina zīmi, tad f (a, b) nav funkcijas galējība f (x, y).

Iepriekš minētie nosacījumi ir līdzvērtīgi šādiem: let Un . Sacerēsim diskriminējoša ∆=AC-B2.

1) ja Δ > 0, tad funkcijai punktā ir ekstrēmums P (a; b) proti maksimālais ja A<0 (vai AR<0 ), un minimālais, ja A>0(vai С>0);

2) ja Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Nē;

3) ja Δ = 0, tad jautājums par funkcijas ekstrēma esamību punktā P(a; b) paliek atvērts (nepieciešama turpmāka izpēte).

4°. Daudzu mainīgo funkcijas gadījums. Trīs vai vairāku mainīgo funkcijai nepieciešamie nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai ir līdzīgi nosacījumiem (1), un pietiekamie nosacījumi ir līdzīgi nosacījumiem a), b), c) 3°.

Piemērs. Izpētiet ekstrēma funkciju z=x³+3xy²-15x-12y.

Risinājums. Atradīsim daļējos atvasinājumus un izveidosim vienādojumu sistēmu (1):

Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam četrus stacionārus punktus:

Atradīsim 2. kārtas atvasinājumus

un padarīt diskriminantu ∆=AC - B² katram stacionāram punktam.

1) Punktam: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Tātad punktā nav ekstrēma.

2) P2 punktam: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Punktā P2 funkcijai ir minimums. Šis minimums ir vienāds ar funkcijas vērtību at x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Punktam: A = -6, B = -12, C = -6; Δ = 36-144<0 . Ekstrēmu nav.

4) P 4. punktam: A = -12, B = -6, C = -12; Δ=144-36>0. Punktā P4 funkcijas maksimums ir vienāds ar Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Nosacīts ekstremāls. Vienkāršākajā gadījumā nosacīts ekstrēms funkcijas f(x,y) ir šīs funkcijas maksimums vai minimums, kas tiek sasniegts ar nosacījumu, ka tās argumenti ir saistīti ar vienādojumu φ(x,y)=0 (savienojuma vienādojums). Lai atrastu funkcijas nosacīto ekstrēmu f(x, y) attiecības klātbūtnē φ(x, y) = 0, veido tā saukto Lagranža funkcija

F(x ,y )=f(x ,y )+λφ (x ,y ),

kur λ ir nenoteikts konstants faktors, un meklējiet šīs palīgfunkcijas parasto galējību. Ekstrēmumam nepieciešamie nosacījumi tiek reducēti līdz trīs vienādojumu sistēmai

ar trim nezināmajiem x, y, λ, no kura, vispārīgi runājot, var noteikt šos nezināmos.

Jautājums par nosacītā ekstrēma esamību un būtību tiek atrisināts, pamatojoties uz Lagranža funkcijas otrās diferenciāļa zīmes izpēti.

pārbaudītajai vērtību sistēmai x, y, λ iegūts no (2) ar nosacījumu, ka dx Un du kas saistīti ar vienādojumu

.

Proti, funkcija f(x,y) ir nosacīts maksimums, ja d²F< 0, un nosacījuma minimums, ja d²F>0. Jo īpaši, ja funkcijas diskriminants Δ F(x, y) stacionārā punktā ir pozitīvs, tad šajā punktā ir funkcijas nosacīts maksimums f(x, y), Ja A< 0 (vai AR< 0), un nosacījuma minimums, ja A > O(vai С>0).

Līdzīgi trīs vai vairāku mainīgo funkcijas nosacītā galējība tiek atrasta viena vai vairāku savienojuma vienādojumu klātbūtnē (kuru skaitam tomēr jābūt mazākam par mainīgo skaitu). Šeit ir nepieciešams Lagranža funkcijā ieviest tik daudz nenoteiktu faktoru, cik ir savienojuma vienādojumu.

Piemērs. Atrodiet funkcijas galējību z=6-4x-3y ar nosacījumu, ka mainīgie X Un plkst apmierina vienādojumu x²+y²=1.

Risinājums. Ģeometriski problēma tiek samazināta līdz aplikācijas lielāko un mazāko vērtību atrašanai z lidmašīna z=6 - 4x - Zu krustpunktiem ar cilindru x2+y2=1.

Izveidojiet Lagrange funkciju F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Mums ir . Nepieciešamie nosacījumi dod vienādojumu sistēmu

risinot, ko mēs atrodam:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Ja un tad d²F >0, un tāpēc šajā brīdī funkcijai ir nosacīts minimums. Ja un tad d²F<0, un tāpēc šajā brīdī funkcijai ir nosacīts maksimums.

Tādējādi

6°. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Ļaujiet funkcijai z=f(x; y) definēts un nepārtraukts ierobežotā slēgtā domēnā . Tad tas sasniedz dažus punktus viņa lielākais M un vismazāk T vērtības (tā sauktās. globālā galējība).Šīs vērtības funkcija sasniedz punktos, kas atrodas reģiona iekšienē , vai punktos, kas atrodas uz reģiona robežas.

Funkciju vērtības un maksimālie un minimālie punkti

Funkcijas lielākā vērtība

Funkcijas mazākā vērtība

Kā teica krusttēvs: "Nekā personīga." Tikai atvasinājumi!

12. uzdevums statistikā tiek uzskatīts par diezgan sarežģītu, un tas viss tāpēc, ka puiši šo rakstu neizlasīja (joks). Vairumā gadījumu vainojama neuzmanība.

12 uzdevums ir divu veidu:

1. Atrodiet augstāko/zemāko punktu (tiek prasīts atrast "x" vērtības).
2. Atrodiet objekta lielāko/mazāko vērtību (tiek prasīts atrast "y" vērtības).

Kā rīkoties šādos gadījumos?

Atrodiet augstāko/zemāko punktu

1. Pielīdziniet to nullei.
2. Atrasts vai atrasts "x", un tas būs minimālais vai maksimālais punktu skaits.
3. Nosakiet zīmes, izmantojot intervāla metodi, un izvēlieties, kurš punkts ir nepieciešams uzdevumā.

Uzdevumi ar eksāmenu:

Atrodiet funkcijas maksimālo punktu

• Mēs ņemam atvasinājumu:

Tieši tā, vispirms funkcija palielinās, tad samazinās - tas ir maksimālais punkts!
Atbilde: -15

Atrodiet funkcijas minimālo punktu

• Pārveidojiet un paņemiet atvasinājumu:

• Lieliski! Pirmkārt, funkcija samazinās, pēc tam palielinās - tas ir minimālais punkts!

Atbilde: -2

Atrodiet funkcijas lielāko/mazāko vērtību

1. Ņemiet piedāvātās funkcijas atvasinājumu.
   
2. Pielīdziniet to nullei.
   
3. Atrastais “x” būs minimālais vai maksimālais punkts.
   
4. Nosakiet zīmes, izmantojot intervāla metodi, un izvēlieties, kurš punkts ir nepieciešams uzdevumā.
5. Šādos uzdevumos vienmēr tiek iestatīta atstarpe: 3. punktā atrastie x ir jāiekļauj šajā spraugā.
6. Sākotnējā vienādojumā aizstājot iegūto maksimālo vai minimālo punktu, mēs iegūstam funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

Uzdevumi ar eksāmenu:

Atrast funkcijas lielāko vērtību intervālā [−4; −1]

Atbilde: -6

Atrodiet segmenta funkcijas lielāko vērtību

• Funkcijas augstākā vērtība ir "11" maksimālajā punktā (šajā segmentā) "0".

Atbilde: 11

Secinājumi:

1. 70% kļūdu ir tādas, ka puiši neatceras uz ko atbildot lielākā / mazākā funkcijas vērtība, kas jums jāraksta "y", un tālāk ierakstiet maksimālo / minimālo punktu "x".
2. Vai atvasinātajam ir risinājums, meklējot funkcijas vērtības? Tas nav svarīgi, aizstājiet galējos spraugas punktus!
3. Atbildi vienmēr var uzrakstīt kā skaitli vai decimāldaļu. Nē? Pēc tam mainiet piemēru.
4. Lielākajā daļā uzdevumu tiks iegūts viens punkts un mūsu slinkums pārbaudīt maksimumu vai minimumu attaisnosies. Mēs saņēmām vienu punktu - jūs varat droši rakstīt atbildi.
5. Un šeit meklējot funkcijas vērtību, to nevajadzētu darīt! Pārliecinieties, vai tas ir vēlamais punkts, pretējā gadījumā spraugas galējās vērtības var būt lielākas vai mazākas.

No šī raksta lasītājs uzzinās par to, kas ir funkcionālās vērtības ekstrēms, kā arī par tā izmantošanas iezīmēm praksē. Šādas koncepcijas izpēte ir ārkārtīgi svarīga, lai izprastu augstākās matemātikas pamatus. Šī tēma ir būtiska kursa dziļākai izpētei.

Saskarsmē ar

Kas ir galējība?

Skolas kursā ir sniegtas daudzas jēdziena "ekstrēmums" definīcijas. Šis raksts ir paredzēts, lai sniegtu visdziļāko un skaidrāko izpratni par šo terminu tiem, kas par šo jautājumu nezina. Tātad termins ir saprotams, cik lielā mērā funkcionālais intervāls iegūst minimālo vai maksimālo vērtību noteiktā kopā.

Ekstrēmums vienlaikus ir gan funkcijas minimālā, gan maksimālā vērtība. Ir minimālais punkts un maksimālais punkts, tas ir, argumenta galējās vērtības grafikā. Galvenās zinātnes, kurās šis jēdziens tiek izmantots:

• statistika;
• mašīnas vadība;
• ekonometrija.

Ekstrēmiem punktiem ir svarīga loma noteiktās funkcijas secības noteikšanā. Koordinātu sistēma grafikā vislabāk parāda galējās pozīcijas izmaiņas atkarībā no funkcionalitātes izmaiņām.

Atvasinātās funkcijas ekstrēma

Ir arī tāda lieta kā "atvasinājums". Ir nepieciešams noteikt galējo punktu. Ir svarīgi nejaukt minimālos vai maksimālos punktus ar lielākajām un mazākajām vērtībām. Tie ir dažādi jēdzieni, lai gan tie var šķist līdzīgi.

Funkcijas vērtība ir galvenais faktors, kas nosaka, kā atrast maksimālo punktu. Atvasinājums veidojas nevis no vērtībām, bet tikai no tā galējās pozīcijas vienā vai otrā secībā.

Pats atvasinājums tiek noteikts, pamatojoties uz galējo punktu datiem, nevis lielāko vai mazāko vērtību. Krievu skolās robeža starp šiem diviem jēdzieniem nav skaidri novilkta, kas ietekmē izpratni par šo tēmu kopumā.

Tagad apsvērsim tādu lietu kā "asu ekstrēmu". Līdz šim ir noteikta akūtā minimālā vērtība un akūta maksimālā vērtība. Definīcija ir dota saskaņā ar Krievijas funkcijas kritisko punktu klasifikāciju. Ekstrēma punkta jēdziens ir pamats kritisko punktu atrašanai diagrammā.

Lai definētu šādu jēdzienu, tiek izmantota Fermā teorēma. Tas ir vissvarīgākais ekstremālo punktu izpētē un sniedz skaidru priekšstatu par to esamību vienā vai otrā veidā. Lai nodrošinātu ekstrēmumu, ir svarīgi radīt noteiktus nosacījumus diagrammā samazināšanai vai palielināšanai.

Lai precīzi atbildētu uz jautājumu "kā atrast maksimālo punktu", jums jāievēro šādi noteikumi:

1. Precīzas definīcijas apgabala atrašana diagrammā.
2. Meklējiet funkcijas un ekstrēma punkta atvasinājumu.
3. Atrisiniet standarta nevienādības argumenta jomā.
4. Prast pierādīt, kādās funkcijās punkts grafikā ir definēts un nepārtraukts.

Uzmanību! Funkcijas kritiskā punkta meklēšana iespējama tikai tad, ja ir vismaz otrās kārtas atvasinājums, ko nodrošina liels ekstrēma punkta klātbūtnes īpatsvars.

Nepieciešams nosacījums funkcijas ekstremitātei

Lai ekstrēms pastāvētu, ir svarīgi, lai būtu gan minimālie punkti, gan maksimālie punkti. Ja šis noteikums tiek ievērots tikai daļēji, tad tiek pārkāpts ekstrēma pastāvēšanas nosacījums.

Katra funkcija jebkurā pozīcijā ir jādiferencē, lai identificētu tās jaunās nozīmes. Ir svarīgi saprast, ka gadījums, kad punkts pazūd, nav galvenais diferencējamā punkta atrašanas princips.

Asa ekstremitāte, kā arī funkcijas minimums ir ārkārtīgi svarīgs aspekts matemātiskas problēmas risināšanā, izmantojot ekstrēmas vērtības. Lai labāk izprastu šo komponentu, ir svarīgi atsaukties uz tabulas vērtībām, lai definētu funkciju.

Pilnīga nozīmes izpēte

Vērtības uzzīmēšana

1. Vērtību pieauguma un samazinājuma punktu noteikšana. 2. Lūzuma punktu, ekstremitāšu un krustpunktu atrašana ar koordinātu asīm. 3. Pozīcijas izmaiņu noteikšanas process diagrammā. 4. Izliekuma un izliekuma indeksa un virziena noteikšana, ņemot vērā asimptotu klātbūtni. 5. Pētījuma kopsavilkuma tabulas izveide tā koordinātu noteikšanas ziņā. 6. Ekstrēmo un akūto punktu pieauguma un samazināšanās intervālu atrašana. 7. Līknes izliekuma un ieliekuma noteikšana. 8. Grafika izveidošana, pamatojoties uz pētījumu, ļauj atrast minimumu vai maksimumu.

Galvenais elements, kad nepieciešams strādāt ar ekstrēmiem, ir precīza tā grafika konstrukcija. Skolu skolotāji nereti pievērš maksimālu uzmanību tik svarīgam aspektam, kas ir rupjš izglītības procesa pārkāpums. Grafiks ir veidots, tikai pamatojoties uz funkcionālo datu izpētes rezultātiem, asu ekstremitāšu definīciju, kā arī punktiem grafikā. Funkcijas atvasinājuma asās ekstrēmas tiek parādītas precīzu vērtību diagrammā, izmantojot standarta procedūru asimptotu noteikšanai. Funkcijas maksimālais un minimālais punkts tiek papildināts ar sarežģītāku grafiku. Tas ir saistīts ar dziļāku nepieciešamību risināt asas ekstremitātes problēmu. Ir arī jāatrod sarežģītas un vienkāršas funkcijas atvasinājums, jo tas ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem ekstrēma problēmā.

Funkcionālais ekstremums

Lai atrastu iepriekš minēto vērtību, jums jāievēro šādi noteikumi:

• noteikt nepieciešamo nosacījumu ekstremālajai attiecībai;
• ņem vērā grafikas galējo punktu pietiekamu stāvokli;
• veikt akūtas ekstremitātes aprēķinu.

Ir arī tādi jēdzieni kā vājš minimums un spēcīgais minimums. Tas jāņem vērā, nosakot ekstrēmu un tā precīzu aprēķinu. Tajā pašā laikā asa funkcionalitāte ir visu nepieciešamo apstākļu meklēšana un radīšana darbam ar funkciju grafiku.

Funkcijas galējais punkts ir punkts funkcijas domēnā, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkciju vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..

Definīcija. Punkts x1 funkciju darbības joma f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.

Definīcija. Punkts x2 funkciju darbības joma f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x2 minimums.

Teiksim būtību x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0 ), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Fermā teorēma (nepieciešams kritērijs funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x), tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti .

1. piemērs Apskatīsim funkciju.

Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējības punkts.

Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamām norādēm, kas ļauj spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēmums un kurš - maksimums vai minimums.

Teorēma (pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 f(x) , ja funkcijas atvasinājums maina zīmi, ejot cauri šim punktam, un ja zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad maksimālais punkts, un ja no "mīnus" uz "pluss", tad minimālais punkts. .

Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās kādā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekāda ekstrēma.

Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
3. Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitliskās ass un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no "mīnus" uz "pluss", tad kritiskais punkts ir minimālais punkts.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

2. piemērs Atrodiet funkcijas galējības .

Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:

.

Tā kā jebkurai "x" vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, tad mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:

Ir viens kritisks punkts x= 3. Mēs nosakām atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:

diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnus zīme, tas ir, funkcija samazinās,

diapazonā no 3 līdz plus bezgalībai - plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.

Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.

Atrodiet funkcijas vērtību minimālajā punktā:

Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0) , un tas ir minimālais punkts.

Teorēma (otrais pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x), ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0 ), turklāt, ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Piezīme 1. Ja kādā punktā x0 pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrās pietiekamās zīmes. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekams funkcijas galējības kritērijs.

2. piezīme. Otrs pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēmam nav piemērojams arī tad, ja stacionārajā punktā nav pirmā atvasinājuma (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir nepieciešams arī izmantot pirmo pietiekamo kritēriju funkcijas ekstremitātei.

Funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs

No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmam ir lokāls raksturs - tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām.

Pieņemsim, ka apsverat savus ienākumus viena gada laika posmā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, bet aprīlī - 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir peļņas funkcijas maksimums, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tāpēc oktobra peļņa ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.

Vispārīgi runājot, funkcijai vienā intervālā var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka jebkurš funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .

Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimālā un minimālā vērtība ir attiecīgi tās maksimālā un minimālā vērtība visā aplūkojamā segmentā. Maksimuma punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar šīm vērtībām. ka tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.

Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš minēto funkcijas ekstremālo punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimālajiem punktiem, bet maksimālos punktus - par vietējiem maksimālajiem punktiem.

Mēs kopā meklējam funkcijas galējības

3. piemērs

Risinājums Funkcija ir definēta un nepārtraukta veselā skaitļa rindā. Tā atvasinājums eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc šajā gadījumā tikai tie, kuros , t.i., kalpo kā kritiskie punkti. , no kurienes un . Kritiskos punktus un sadaliet visu funkcijas domēnu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem izvēlamies vienu kontrolpunktu un šajā punktā atrodam atvasinājuma zīmi.

Intervālam atskaites punkts var būt: mēs atrodam . Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam , un, ņemot punktu intervālā, mums ir . Tātad, intervālos un , Un intervālā . Saskaņā ar pirmo pietiekamo ekstrēma zīmi punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā ), un funkcijai punktā ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu caur šo punktu). Atrodiet atbilstošās funkcijas vērtības: , un . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā.

Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes un , t.i., ir atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumā).

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.

Funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .

Lai saīsinātu pētījumu, mēs varam izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo . Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam .

Atvasinājuma atrašana un funkcijas kritiskie punkti:

1) ;

2) ,

taču funkcija šajā brīdī tiek pārtraukta, tāpēc tā nevar būt galējības punkts.

Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudām tikai punktu ar otro pietiekamo ekstrēma zīmi. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu un noteikt tā zīmi pie : mēs saņemam . Kopš un , tad ir funkcijas minimālais punkts, while .

Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas domēna robežās:

(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli labajā pusē un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli kreisajā pusē un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam

,

tie. ja tad .

Funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

Kopā turpinām meklēt funkcijas ekstrēmus

8. piemērs Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums. Atrodiet funkcijas domēnu. Tā kā nevienlīdzībai ir jābūt spēkā, mēs iegūstam no .

Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu.