Maksimums ir jāsauc par lielāko skaitli vai lielāko robežu, ko var sasniegt. Minimums, kā mēs visi ļoti labi zinām, ir tieši pretējs maksimumam, t.i. tas ir mazākais skaitlis un mazākais ierobežojums. Vārdi minimums un maksimums, kā arī to atvasinājumi ir atrodami tādos izteicienos un frāzēs kā:

Iegūstiet maksimālu labumu no komunikācijas.

Lai iemācītos dzejoli, tas jāizlasa vismaz 3-4 reizes.

Lielākais, ko viņš var darīt, ir...

Viņiem ir vismaz divi kopīgi draugi.

Viņš ieguva augstāko punktu skaitu.

Izmantojiet visas savas iespējas!

Tas ir minimums, kas jums jāzina.

Iztikas minimums.

Minimālais atmosfēras spiediens.

Minimālais/maksimālais aukstums ….. gadus.

Lai pabeigtu šo darbu, jums būs nepieciešamas vismaz dažas stundas.

Tādus jēdzienus kā maksimums un minimums var atrast arī īpašos zinātniskos terminos. Piemēram, matemātikā ir tāds jēdziens kā funkcijas maksimums un minimums.

Tādējādi maksimums matemātikā ir lielākā funkcijas vērtība. Šajā gadījumā funkcijas maksimālā vērtība ir lielāka par visām tai blakus esošajām vērtībām. Funkcijas maksimums ir tās vērtība, kad vērtība vispirms palielinās un pēc tam uzreiz sāk samazināties, savukārt tai ir maksimums vietā, kur funkcijas pieaugums un samazinājums pāriet no viena uz otru. Funkcijas minimums attiecīgi ir funkcijas mazākā vērtība.

Funkcijas pirmo atvasinājumu var uzskatīt par pozitīvu, ja tas palielinās, palielinot mainīgo, tad funkciju var uzskatīt par pozitīvu. Ja pirmais mainīgais samazinās, palielinoties atvasinājumam, tad funkcija jāuzskata par negatīvu.

Atvasinājums ir galvenā vērtība, ko izmanto diferenciālos aprēķinos (atvasinājuma un diferenciāļa izpēte, kas palīdz pētīt matemātiskās funkcijas), to var saprast kā funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā. Jo lielāks ātrums, jo spēcīgāk mainās funkcija, jo mazāka, jo lēnāka (tomēr tas ir taisnība tikai tad, ja funkcija ir pozitīva). Tādējādi funkcijas izmaiņu ātrums noteiktā punktā nosaka tās slīpumus un izliekumus. Mainīgais ir lielums, kas var mainīt tā vērtību. Tas ir apzīmēts kā x vai laiks.

Mainīgo var uzskatīt par sistēmas atribūtu (gan fizisko, gan abstrakto), kas var mainīt tā vērtību. Globālākā izpratnē par mainīgo var saukt gan laiku, gan temperatūru, gan vispār visu dzīvi (tie var mainīties). Mainīgajam ir daudz vērtību, kuras tas var pieņemt. Mēs varam pieņemt, ka šī kopa ir mainīgs lielums.

Kas attiecas uz pašu funkciju, tai ir jāvirzās no pozitīvas uz negatīvu vērtību līdz nullei. Tādējādi pie mainīgā lieluma vērtības, kas atbilst funkcijas maksimumam, tā atvasinājums būs vienāds ar nulli. Tieši šī funkcijas īpašība ļauj noteikt x vērtības, pie kurām funkcija sasniedz maksimumu. Taču, ja mēs palielinām mainīgo un tajā pašā laikā funkcija vispirms palielinās un pēc tam samazinās, tad funkcija, pārejot no negatīvas vērtības uz pozitīvu (ejot cauri nullei), nesasniegs maksimumu, bet, gluži pretēji, minimālā vērtība. Lai gan, loģiski, to varētu uzskatīt par maksimālo vērtību (tas atrodas funkcijas augšpusē).

Funkcijas maksimālos un minimālos punktus sauc arī par galējībām.

Tādējādi gan parastajā dzīvē, gan matemātikā maksimums un minimums ir divi galēji pretstati, kas apzīmē kaut ko lielāko un kaut ko mazāko.

Funkcijas galējais punkts ir punkts funkcijas domēnā, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkciju vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..

Definīcija. Punkts x1 funkciju darbības joma f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.

Definīcija. Punkts x2 funkciju darbības joma f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x2 minimums.

Teiksim būtību x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0 ), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Fermā teorēma (nepieciešams kritērijs funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x), tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti .

1. piemērs Apskatīsim funkciju.

Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējības punkts.

Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamām norādēm, kas ļauj spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēmums un kurš - maksimums vai minimums.

Teorēma (pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 f(x) , ja funkcijas atvasinājums maina zīmi, ejot cauri šim punktam, un ja zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad maksimālais punkts, un ja no "mīnus" uz "pluss", tad minimālais punkts. .

Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās kādā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekāda ekstrēma.

Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
3. Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitliskās ass un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no "mīnus" uz "pluss", tad kritiskais punkts ir minimālais punkts.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

2. piemērs Atrodiet funkcijas galējības .

Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:

.

Tā kā jebkurai "x" vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, tad mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:

Ir viens kritisks punkts x= 3. Mēs nosakām atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:

diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnus zīme, tas ir, funkcija samazinās,

diapazonā no 3 līdz plus bezgalībai - plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.

Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.

Atrodiet funkcijas vērtību minimālajā punktā:

Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0) , un tas ir minimālais punkts.

Teorēma (otrais pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x), ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0 ), turklāt, ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Piezīme 1. Ja kādā punktā x0 pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrās pietiekamās zīmes. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekams funkcijas galējības kritērijs.

2. piezīme. Otrs pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēmam nav piemērojams arī tad, ja stacionārajā punktā nav pirmā atvasinājuma (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir nepieciešams arī izmantot pirmo pietiekamo kritēriju funkcijas ekstremitātei.

Funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs

No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmam ir lokāls raksturs - tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām.

Pieņemsim, ka apsverat savus ienākumus viena gada laika posmā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, bet aprīlī - 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir peļņas funkcijas maksimums, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tāpēc oktobra peļņa ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.

Vispārīgi runājot, funkcijai vienā intervālā var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka jebkurš funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .

Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimālā un minimālā vērtība ir attiecīgi tās maksimālā un minimālā vērtība visā aplūkojamā segmentā. Maksimuma punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar šīm vērtībām. ka tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.

Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš minēto funkcijas ekstremālo punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimālajiem punktiem, bet maksimālos punktus - par vietējiem maksimālajiem punktiem.

Mēs kopā meklējam funkcijas galējības

3. piemērs

Risinājums Funkcija ir definēta un nepārtraukta veselā skaitļa rindā. Tā atvasinājums eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc šajā gadījumā tikai tie, kuros , t.i., kalpo kā kritiskie punkti. , no kurienes un . Kritiskos punktus un sadaliet visu funkcijas domēnu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem izvēlamies vienu kontrolpunktu un šajā punktā atrodam atvasinājuma zīmi.

Intervālam atskaites punkts var būt: mēs atrodam . Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam , un, ņemot punktu intervālā, mums ir . Tātad, intervālos un , Un intervālā . Saskaņā ar pirmo pietiekamo ekstrēma zīmi punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā ), un funkcijai punktā ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu caur šo punktu). Atrodiet atbilstošās funkcijas vērtības: , un . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā.

Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes un , t.i., ir atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumā).

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.

Funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .

Lai saīsinātu pētījumu, mēs varam izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo . Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam .

Atvasinājuma atrašana un funkcijas kritiskie punkti:

1) ;

2) ,

taču funkcija šajā brīdī tiek pārtraukta, tāpēc tā nevar būt galējības punkts.

Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudām tikai punktu ar otro pietiekamo ekstrēma zīmi. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu un noteikt tā zīmi pie : mēs saņemam . Kopš un , tad ir funkcijas minimālais punkts, while .

Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas domēna robežās:

(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli labajā pusē un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli kreisajā pusē un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam

,

tie. ja tad .

Funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

Kopā turpinām meklēt funkcijas ekstrēmus

8. piemērs Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums. Atrodiet funkcijas domēnu. Tā kā nevienlīdzībai ir jābūt spēkā, mēs iegūstam no .

Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu.

Teorēma. (nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai) Ja funkcija f (x) ir diferencējama punktā x \u003d x 1 un punkts x 1 ir ekstrēma punkts, tad funkcijas atvasinājums šajā punktā pazūd.

Pierādījums. Pieņemsim, ka funkcijai f(x) ir maksimums punktā x = x 1.

Tad pietiekami mazam pozitīvam Dх>0 ir patiesa šāda nevienādība:

A-prioritāte:

Tie. ja Dх®0, bet Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, tad f¢(x 1) £ 0.

Un tas ir iespējams tikai tad, ja pie Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Gadījumā, ja funkcijai f(x) ir minimums punktā x 2, teorēma tiek pierādīta līdzīgi.

Teorēma ir pierādīta.

Sekas. Pretēji nav taisnība. Ja funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, tad tas nenozīmē, ka funkcijai šajā punktā ir ekstrēmums. Daiļrunīgs piemērs tam ir funkcija y \u003d x 3, kuras atvasinājums punktā x \u003d 0 ir vienāds ar nulli, taču šajā brīdī funkcijai ir tikai locījums, nevis maksimums vai minimums.

Definīcija. kritiskie punkti Funkcijas ir punkti, kuros funkcijas atvasinājums neeksistē vai ir vienāds ar nulli.

Iepriekš aplūkotā teorēma sniedz mums nepieciešamos nosacījumus ekstrēma pastāvēšanai, taču ar to nepietiek.

Piemērs: f(x) = ôxô Piemērs: f(x) =

g g

Punktā x = 0 funkcijai ir minimums, bet punktā x = 0 funkcijai nav neviena

nav atvasinājuma. maksimums, nav minimums, nē

Vispārīgi runājot, funkcijai f(x) var būt ekstrēmums punktos, kur atvasinājums neeksistē vai ir vienāds ar nulli.

Teorēma. (Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai)

Lai funkcija f(x) ir nepārtraukta intervālā (a, b), kas satur kritisko punktu x 1 , un ir diferencējama visos šī intervāla punktos (izņemot, iespējams, pašu punktu x 1).

Ja, ejot caur punktu x 1 no kreisās uz labo pusi, funkcijas f¢(x) atvasinājums maina zīmi no “+” uz “-”, tad punktā x = x 1 funkcijai f(x) ir maksimums, un, ja atvasinājums maina zīmi no “-” uz “+”, tad funkcijai ir minimums.

Pierādījums.

Ļaujiet

Saskaņā ar Lagranža teorēmu: f(x) - f(x 1) = f¢(e) (x - x 1), kur x< e < x 1 .

Tad: 1) Ja x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x–x1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Ja x > x 1, tad e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Tā kā atbildes ir vienādas, mēs varam teikt, ka f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Teorēmas pierādījums minimālajam punktam ir līdzīgs.

Teorēma ir pierādīta.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir iespējams izstrādāt vienotu procedūru, lai segmentā atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības:

1) Atrodiet funkcijas kritiskos punktus.

2) Atrodiet funkcijas vērtības kritiskajos punktos.

3) Atrodiet funkcijas vērtības segmenta galos.

4) Izvēlieties no iegūtajām vērtībām lielāko un mazāko.

Ekstrēma funkcijas izpēte, izmantojot

augstākas kārtas atvasinājumi.

Pieņemsim, ka f¢(x 1) = 0 punktā x = x 1 un lai f¢¢(x 1) pastāv un ir nepārtraukts kādā punkta x 1 tuvumā.

Teorēma. Ja f¢(x 1) = 0, tad funkcijai f(x) punktā x = x 1 ir maksimums, ja f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Pierādījums.

Pieņemsim f¢(x 1) = 0 un f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Jo f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 pie x x 1 . Tas nozīmē, ka, ejot caur punktu x = x 1, atvasinājums f¢(x) maina zīmi no “+” uz “-”, t.i.

šajā brīdī funkcijai f(x) ir maksimums.

Funkcijas minimuma gadījumā teorēma tiek pierādīta līdzīgi.

Ja f¢¢(x) = 0, tad kritiskā punkta raksturs nav zināms. Lai to noteiktu, ir nepieciešami turpmāki pētījumi.

Līknes izliekums un ieliekums.

Līkuma punkti.

Definīcija. Līkne ir izliekta uz augšu intervālā (a, b), ja visi tā punkti atrodas zem jebkuras tā pieskares šajā intervālā. Tiek saukta līkne ar izliektu punktu uz augšu izliekts, un tiek saukta līkne, kas ir izliekta uz leju ieliekts.

plkst

Attēlā parādīta iepriekš minētās definīcijas ilustrācija.

1. teorēma. Ja visos intervāla (a, b) punktos funkcijas f(x) otrais atvasinājums ir negatīvs, tad līkne y = f(x) ir izliekta uz augšu (izliekta).

Pierādījums. Pieņemsim x 0 О (a, b). Šajā punktā uzzīmējiet līknes pieskari.

Līknes vienādojums: y = f(x);

Pieskares vienādojums:

Tas ir jāpierāda.

Saskaņā ar Lagranža teorēmu f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Saskaņā ar Lagranža teorēmu par

Ļaujiet x > x 0, tad x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 un c - x 0 > 0, un turklāt pēc nosacījuma

Līdz ar to,.

Ļaujiet x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Līdzīgi var pierādīt, ka, ja f¢¢(x) > 0 uz intervāla (a, b), tad līkne y=f(x) ir ieliekta uz intervāla (a, b).

Teorēma ir pierādīta.

Definīcija. Tiek saukts punkts, kas atdala līknes izliekto daļu no ieliektās daļas lēciena punkts.

Acīmredzot lēciena punktā tangenss šķērso līkni.

2. teorēma. Ļaujiet, lai līkne tiktu definēta ar vienādojumu y = f(x). Ja otrais atvasinājums f¢¢(a) = 0 vai f¢¢(a) neeksistē un, ejot caur punktu x = a f¢¢(x), mainās zīme, tad līknes punkts ar abscisu x = a ir lēciena punkts.

Pierādījums. 1) Ļaujiet f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 — x > a. Tad plkst

x< a кривая выпукла, а при x >līkne ir ieliekta, t.i. punkts x = a ir lēciena punkts.

2) Ļaujiet f¢¢(x) > 0 priekš x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - izspiesties uz augšu. Tad x = b ir lēciena punkts.

Teorēma ir pierādīta.

Asimptotes.

Funkciju izpētē bieži gadās, ka, noņemot līknes punkta x koordinātu līdz bezgalībai, līkne bezgalīgi tuvojas noteiktai taisnei.

Definīcija. Tiešais zvans asimptote līkne, ja attālumam no līknes mainīgā punkta līdz šai taisnei ir tendence uz nulli, kad punkts tiek noņemts līdz bezgalībai.

Jāatzīmē, ka ne katrai līknei ir asimptote. Asimptoti var būt taisni vai slīpi. Funkciju izpētei asimptotu klātbūtnei ir liela nozīme, un tā ļauj precīzāk noteikt funkcijas raksturu un līknes grafika uzvedību.

Vispārīgi runājot, līkne, kas tuvojas savai asimptotam bezgalīgi, var to šķērsot, nevis vienā punktā, kā parādīts zemāk esošās funkcijas grafikā. . Tās slīpā asimptote y = x.

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt metodes, kā atrast līkņu asimptotus.

Vertikālās asimptotes.

No asimptotes definīcijas izriet, ka, ja vai vai , tad taisne x = a ir līknes y = f(x) asimptote.

Piemēram, funkcijai līnija x = 5 ir vertikālā asimptote.

Slīpi asimptoti.

Pieņemsim, ka līknei y = f(x) ir slīpa asimptote y = kx + b.

Norādīsim līknes un asimptotam perpendikulāra krustpunktu - M, P - šī perpendikula krustpunktu ar asimptotu. Leņķis starp asimptotu un x asi tiks apzīmēts ar j. Perpendikulārais MQ pret x asi šķērso asimptotu punktā N.

Tad MQ = y ir līknes punkta ordināta, NQ = ir asimptotes punkta N ordināta.

Pēc nosacījuma: , РNMP = j, .

Leņķis j ir nemainīgs un nav vienāds ar 90 0 , tad

Tad .

Tātad, līnija y = kx + b ir līknes asimptote. Lai precīzi noteiktu šo līniju, ir jāatrod veids, kā aprēķināt koeficientus k un b.

Iegūtajā izteiksmē mēs izņemam x no iekavām:

Jo x®¥, tad , jo b = const, tad .

Tad , tātad,

.

Jo , Tas , tātad,

Ņemiet vērā, ka horizontālās asimptotes ir īpašs slīpo asimptotu gadījums k = 0.

Piemērs. .

1) Vertikālās asimptotes: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, tāpēc x = 0 ir vertikāla asimptote.

2) Slīpi asimptoti:

Tādējādi taisne y = x + 2 ir slīpa asimptote.

Uzzīmēsim funkciju:

Piemērs. Atrodiet asimptotes un izveidojiet funkcijas grafiku.

Līnijas x=3 un x=-3 ir līknes vertikālās asimptotes.

Atrodiet slīpos asimptotus:

y = 0 ir horizontālā asimptote.

Piemērs. Atrodiet asimptotes un izveidojiet funkcijas grafiku .

Līnija x = -2 ir līknes vertikālā asimptote.

Atradīsim slīpos asimptotus.

Kopumā līnija y = x - 4 ir slīpa asimptote.

Funkciju izpētes shēma

Funkcijas izpētes process sastāv no vairākiem posmiem. Lai iegūtu vispilnīgāko priekšstatu par funkcijas darbību un tās grafika raksturu, ir jāatrod:

1) Funkcijas apjoms.

Šis jēdziens ietver gan vērtību jomu, gan funkcijas darbības jomu.

2) Pārtraukuma punkti. (Ja tie ir pieejami).

3) pieauguma un samazināšanās intervāli.

4) Maksimālais un minimums.

5) Funkcijas maksimālā un minimālā vērtība tās definīcijas jomā.

6) Izliekuma un ieliekuma zonas.

7) Līkuma punkti (ja tādi ir).

8) Asimptotes (ja tādas ir).

9) Grafika veidošana.

Izmantosim šo shēmu ar piemēru.

Piemērs. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Atrodiet funkcijas eksistences apgabalu. Ir skaidrs, ka definīcijas joma funkcija ir laukums (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Savukārt redzams, ka taisnes x = 1, x = -1 ir vertikālās asimptotes greizs.

Vērtību apgabals no šīs funkcijas ir intervāls (-¥; ¥).

pārtraukuma punkti funkcijas ir punkti x=1, x=-1.

Mēs atradām kritiskie punkti.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu

Kritiskie punkti: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Atradīsim funkcijas otro atvasinājumu

Noteiksim līknes izliekumu un ieliekumu pa intervāliem.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, līkne ieliekta

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, līkne ieliekta

< x < ¥, y¢¢ >0, līkne ieliekta

Atšķirību atrašana pieaug Un lejupejoša funkcijas. Lai to izdarītu, mēs nosakām funkcijas atvasinājuma zīmes uz intervāliem.

-¥ < x < - , y¢ >0, funkcija palielinās

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, funkcija palielinās

Var redzēt, ka punkts x = - ir punkts maksimums, un punkts x = ir punkts minimums. Funkciju vērtības šajos punktos ir attiecīgi -3/2 un 3/2.

Par vertikāli asimptoti jau teikts augstāk. Tagad atradīsim slīpi asimptoti.

Tātad, slīpā asimptota vienādojums ir y = x.

Celsim grafiks Iespējas:

Vairāku mainīgo funkcijas

Apsverot vairāku mainīgo funkcijas, mēs aprobežojamies ar divu mainīgo funkciju detalizētu aprakstu, jo visi iegūtie rezultāti būs derīgi patvaļīga skaita mainīgo funkcijām.

Definīcija: ja katram neatkarīgo skaitļu pārim (x, y) no noteiktas kopas saskaņā ar kādu noteikumu tiek piešķirta viena vai vairākas mainīgā z vērtības, tad mainīgo z sauc par divu mainīgo funkciju.

Definīcija: Ja skaitļu pāris (x, y) atbilst vienai z vērtībai, tad funkcija tiek izsaukta nepārprotami, un, ja vairāk nekā viens, tad - neviennozīmīgi.

Definīcija: Definīcijas darbības joma funkcija z ir pāru kopa (x, y), kuriem pastāv funkcija z.

Definīcija: Apkaimes punkts M 0 (x 0, y 0) ar rādiusu r ir visu punktu (x, y) kopums, kas atbilst nosacījumam .

Definīcija: Tiek izsaukts cipars A ierobežojums funkcija f(x, y) kā punkts M(x, y) tiecas uz punktu M 0 (x 0, y 0), ja katram skaitlim e > 0 ir tāds skaitlis r > 0, ka jebkuram punktam M (x, y), kuram nosacījums

nosacījums arī ir patiess .

Pierakstīt:

Definīcija: Pieņemsim, ka punkts M 0 (x 0, y 0) pieder funkcijas f(x, y) apgabalam. Tad tiek izsaukta funkcija z = f(x, y). nepārtraukts punktā M 0 (x 0, y 0), ja

(1)

turklāt punkts M(x, y) patvaļīgā veidā tiecas uz punktu M 0 (x 0, y 0).

Ja nosacījums (1) nevienā punktā nav izpildīts, tad šo punktu sauc Lūzuma punkts funkcijas f(x, y). Tas var būt šādos gadījumos:

1) Funkcija z \u003d f (x, y) nav definēta punktā M 0 (x 0, y 0).

2) nav ierobežojumu.

3) Šī robeža pastāv, bet tā nav vienāda ar f(x 0 , y 0).

Īpašums. Ja funkcija f(x, y, …) ir definēta un nepārtraukta slēgtā un

norobežots apgabals D, tad šajā apgabalā ir vismaz viens punkts

N(x 0 , y 0 , …) tā, ka nevienādība

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

kā arī punkts N 1 (x 01 , y 01 , ...), lai visiem pārējiem punktiem nevienlīdzība būtu patiesa

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

tad f(x 0 , y 0 , …) = M – augstākā vērtība funkcijas, un f(x 01 , y 01 , ...) = m - mazākā vērtība funkcijas f(x, y, …) domēnā D.

Nepārtraukta funkcija slēgtā un ierobežotā domēnā D vismaz vienu reizi sasniedz savu maksimālo vērtību un vienu reizi minimālo vērtību.

Īpašums. Ja funkcija f(x, y, …) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā domēnā D, un M un m ir attiecīgi lielākās un mazākās funkcijas vērtības šajā domēnā, tad jebkuram punktam m О tur ir punkts

N 0 (x 0 , y 0 , …) tā, lai f(x 0 , y 0 , …) = m.

Vienkārši sakot, nepārtraukta funkcija domēnā D ņem visas starpvērtības starp M un m. Šīs īpašības sekas var būt secinājums, ka, ja skaitļiem M un m ir dažādas zīmes, tad domēnā D funkcija pazūd vismaz vienu reizi.

Īpašums. Funkcija f(x, y, …), nepārtraukta slēgtā ierobežotā domēnā D, ierobežotsšajā apgabalā, ja ir tāds skaitlis K, ka visiem apgabala punktiem nevienādība ir patiesa .

Īpašums. Ja funkcija f(x, y, …) ir definēta un nepārtraukta slēgtā ierobežotā domēnā D, tad tā vienmērīgi nepārtrauktsšajā jomā, t.i. jebkuram pozitīvam skaitlim e ir tāds skaitlis D > 0, ka jebkuriem diviem punktiem (x 1 , y 1) un (x 2 , y 2) apgabalā, kas atrodas attālumā, kas mazāks par D, nevienādība

Iepriekš minētās īpašības ir līdzīgas viena mainīgā funkciju īpašībām, kas ir nepārtrauktas intervālā. Skatiet sadaļu Nepārtrauktu intervālā funkciju īpašības.

Funkciju atvasinājumi un diferenciāļi

vairāki mainīgie.

Definīcija. Lai funkcija z = f(x, y) ir dota kādā jomā. Paņemiet patvaļīgu punktu M(x, y) un iestatiet pieauguma Dx uz mainīgo x. Tad lielumu D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) sauc daļējs funkcijas pieaugums x.

Var rakstīt

.

Tad zvanīja daļējs atvasinājums funkcijas z = f(x, y) x.

Apzīmējums:

Funkcijas daļējais atvasinājums attiecībā pret y tiek definēts līdzīgi.

ģeometriskā sajūta daļējais atvasinājums (teiksim) ir pieskares slīpuma pieskare, kas punktā N 0 (x 0, y 0, z 0) novilkta virsmas griezumam ar plakni y \u003d y 0.

Kopējais pieaugums un kopējā starpība.

pieskares plakne

Lai N un N 0 ir dotās virsmas punkti. Novelkam taisni NN 0 . Plakni, kas iet caur punktu N 0 sauc pieskares plakne uz virsmu, ja leņķim starp sekantu NN 0 un šo plakni ir tendence uz nulli, kad attālumam NN 0 ir tendence uz nulli.

Definīcija. normāli uz virsmu punktā N 0 sauc par taisni, kas iet caur punktu N 0 perpendikulāri šīs virsmas pieskares plaknei.

Kādā brīdī virsmai ir vai nu tikai viena pieskares plakne, vai arī tās nav vispār.

Ja virsma ir norādīta ar vienādojumu z \u003d f (x, y), kur f (x, y) ir funkcija, kas diferencējama punktā M 0 (x 0, y 0), pieskares plakne punktā N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) pastāv, un tam ir vienādojums:

Virsmas normas vienādojums šajā punktā ir šāds:

ģeometriskā sajūta no divu mainīgo funkcijas kopējās diferenciāles f (x, y) punktā (x 0, y 0) ir pieskares plaknes pielietojuma (z-koordinātas) pieaugums virsmai pārejas laikā no punkta. (x 0, y 0) līdz punktam (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Kā redzat, divu mainīgo funkcijas kopējās diferenciāļa ģeometriskā nozīme ir viena mainīgā lieluma funkcijas diferenciāļa ģeometriskās nozīmes telpiskais analogs.

Piemērs. Atrodiet virsmas pieskares plaknes un normālās vienādojumus

punktā M(1, 1, 1).

Pieskares plaknes vienādojums:

Normāls vienādojums:

Aptuvenie aprēķini, izmantojot kopējo starpību.

Funkcijas u kopējā starpība ir:

Precīza šīs izteiksmes vērtība ir 1,049275225687319176.

Augstākas kārtas daļēji atvasinājumi.

Ja funkcija f(x, y) ir definēta kādā domēnā D, tad tās daļējie atvasinājumi un arī tiks definēti tajā pašā domēnā vai tā daļā.

Mēs sauksim šos atvasinājumus pirmās kārtas daļējie atvasinājumi.

Šo funkciju atvasinājumi būs otrās kārtas daļēji atvasinājumi.

Turpinot diferencēt iegūtās vienādības, iegūstam augstāku kārtu daļējus atvasinājumus.

No šī raksta lasītājs uzzinās par to, kas ir funkcionālās vērtības ekstrēms, kā arī par tā izmantošanas iezīmēm praksē. Šādas koncepcijas izpēte ir ārkārtīgi svarīga, lai izprastu augstākās matemātikas pamatus. Šī tēma ir būtiska kursa dziļākai izpētei.

Saskarsmē ar

Kas ir galējība?

Skolas kursā ir sniegtas daudzas jēdziena "ekstrēmums" definīcijas. Šis raksts ir paredzēts, lai sniegtu visdziļāko un skaidrāko izpratni par šo terminu tiem, kas par šo jautājumu nezina. Tātad termins ir saprotams, cik lielā mērā funkcionālais intervāls iegūst minimālo vai maksimālo vērtību noteiktā kopā.

Ekstrēmums vienlaikus ir gan funkcijas minimālā, gan maksimālā vērtība. Ir minimālais punkts un maksimālais punkts, tas ir, argumenta galējās vērtības grafikā. Galvenās zinātnes, kurās šis jēdziens tiek izmantots:

• statistika;
• mašīnas vadība;
• ekonometrija.

Ekstrēmiem punktiem ir svarīga loma noteiktās funkcijas secības noteikšanā. Koordinātu sistēma grafikā vislabāk parāda galējās pozīcijas izmaiņas atkarībā no funkcionalitātes izmaiņām.

Atvasinātās funkcijas ekstrēma

Ir arī tāda lieta kā "atvasinājums". Ir nepieciešams noteikt galējo punktu. Ir svarīgi nejaukt minimālos vai maksimālos punktus ar lielākajām un mazākajām vērtībām. Tie ir dažādi jēdzieni, lai gan tie var šķist līdzīgi.

Funkcijas vērtība ir galvenais faktors, kas nosaka, kā atrast maksimālo punktu. Atvasinājums veidojas nevis no vērtībām, bet tikai no tā galējās pozīcijas vienā vai otrā secībā.

Pats atvasinājums tiek noteikts, pamatojoties uz galējo punktu datiem, nevis lielāko vai mazāko vērtību. Krievu skolās robeža starp šiem diviem jēdzieniem nav skaidri novilkta, kas ietekmē izpratni par šo tēmu kopumā.

Tagad apsvērsim tādu lietu kā "asu ekstrēmu". Līdz šim ir noteikta akūtā minimālā vērtība un akūta maksimālā vērtība. Definīcija ir dota saskaņā ar Krievijas funkcijas kritisko punktu klasifikāciju. Ekstrēma punkta jēdziens ir pamats kritisko punktu atrašanai diagrammā.

Lai definētu šādu jēdzienu, tiek izmantota Fermā teorēma. Tas ir vissvarīgākais ekstremālo punktu izpētē un sniedz skaidru priekšstatu par to esamību vienā vai otrā veidā. Lai nodrošinātu ekstrēmumu, ir svarīgi radīt noteiktus nosacījumus diagrammā samazināšanai vai palielināšanai.

Lai precīzi atbildētu uz jautājumu "kā atrast maksimālo punktu", jums jāievēro šādi noteikumi:

1. Precīzas definīcijas apgabala atrašana diagrammā.
2. Meklējiet funkcijas un ekstrēma punkta atvasinājumu.
3. Atrisiniet standarta nevienādības argumenta jomā.
4. Prast pierādīt, kādās funkcijās punkts grafikā ir definēts un nepārtraukts.

Uzmanību! Funkcijas kritiskā punkta meklēšana iespējama tikai tad, ja ir vismaz otrās kārtas atvasinājums, ko nodrošina liels ekstrēma punkta klātbūtnes īpatsvars.

Nepieciešams nosacījums funkcijas ekstremitātei

Lai ekstrēms pastāvētu, ir svarīgi, lai būtu gan minimālie punkti, gan maksimālie punkti. Ja šis noteikums tiek ievērots tikai daļēji, tad tiek pārkāpts ekstrēma pastāvēšanas nosacījums.

Katra funkcija jebkurā pozīcijā ir jādiferencē, lai identificētu tās jaunās nozīmes. Ir svarīgi saprast, ka gadījums, kad punkts pazūd, nav galvenais diferencējamā punkta atrašanas princips.

Asa ekstremitāte, kā arī funkcijas minimums ir ārkārtīgi svarīgs aspekts matemātiskas problēmas risināšanā, izmantojot ekstrēmas vērtības. Lai labāk izprastu šo komponentu, ir svarīgi atsaukties uz tabulas vērtībām, lai definētu funkciju.

Pilnīga nozīmes izpēte

Vērtības uzzīmēšana

1. Vērtību pieauguma un samazinājuma punktu noteikšana. 2. Lūzuma punktu, ekstremitāšu un krustpunktu atrašana ar koordinātu asīm. 3. Pozīcijas izmaiņu noteikšanas process diagrammā. 4. Izliekuma un izliekuma indeksa un virziena noteikšana, ņemot vērā asimptotu klātbūtni. 5. Pētījuma kopsavilkuma tabulas izveide tā koordinātu noteikšanas ziņā. 6. Ekstrēmo un akūto punktu pieauguma un samazināšanās intervālu atrašana. 7. Līknes izliekuma un ieliekuma noteikšana. 8. Grafika izveidošana, pamatojoties uz pētījumu, ļauj atrast minimumu vai maksimumu.

Galvenais elements, kad nepieciešams strādāt ar ekstrēmiem, ir precīza tā grafika konstrukcija. Skolu skolotāji nereti pievērš maksimālu uzmanību tik svarīgam aspektam, kas ir rupjš izglītības procesa pārkāpums. Grafiks ir veidots, tikai pamatojoties uz funkcionālo datu izpētes rezultātiem, asu ekstremitāšu definīciju, kā arī punktiem grafikā. Funkcijas atvasinājuma asās ekstrēmas tiek parādītas precīzu vērtību diagrammā, izmantojot standarta procedūru asimptotu noteikšanai. Funkcijas maksimālais un minimālais punkts tiek papildināts ar sarežģītāku grafiku. Tas ir saistīts ar dziļāku nepieciešamību risināt asas ekstremitātes problēmu. Ir arī jāatrod sarežģītas un vienkāršas funkcijas atvasinājums, jo tas ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem ekstrēma problēmā.

Funkcionālais ekstremums

Lai atrastu iepriekš minēto vērtību, jums jāievēro šādi noteikumi:

• noteikt nepieciešamo nosacījumu ekstremālajai attiecībai;
• ņem vērā grafikas galējo punktu pietiekamu stāvokli;
• veikt akūtas ekstremitātes aprēķinu.

Ir arī tādi jēdzieni kā vājš minimums un spēcīgais minimums. Tas jāņem vērā, nosakot ekstrēmu un tā precīzu aprēķinu. Tajā pašā laikā asa funkcionalitāte ir visu nepieciešamo apstākļu meklēšana un radīšana darbam ar funkciju grafiku.

Aplūkosim funkciju y = f(x), kas tiek aplūkota intervālā (a, b).

Ja ir iespējams norādīt tādu intervālam (a, b) piederoša punkta x1 b-apkārtni, ka visiem x (x1, b) ir izpildīta nevienādība f(x1) > f(x), tad y1 = f1(x1) tiek izsaukts funkcijas maksimums y = f(x) sk. att.

Funkcijas y = f(x) maksimumu apzīmē ar max f(x). Ja ir iespējams norādīt intervālam (a, b) piederoša punkta x2 6-apkārtni tā, ka visiem x tas pieder pie O(x2, 6), x nav vienāds ar x2, nevienādība f(x2)< f(x) , tad y2= f(x2) sauc par funkcijas y-f(x) minimumu (skat. att.).

Maksimuma atrašanas piemēru skatiet nākamajā videoklipā

Funkcijas minimums

Funkcijas y = f(x) minimumu apzīmē ar min f(x). Citiem vārdiem sakot, funkcijas maksimums vai minimums y = f(x) sauca tā vērtība, kas ir lielāka (mazāka) par visām pārējām vērtībām, kas ņemtas punktos, kas ir pietiekami tuvu dotajam un atšķiras no tā.

1. piezīme. Funkcijas maksimums, ko nosaka nevienlīdzība, sauc par stingru maksimumu; nestingru maksimumu nosaka nevienādība f(x1) > = f(x2)

2. piezīme. ir lokāls raksturs (tās ir lielākās un mazākās funkcijas vērtības pietiekami mazā attiecīgā punkta apkārtnē); atsevišķu funkciju minimumi var būt lielāki par tās pašas funkcijas maksimumiem

Rezultātā tiek izsaukts funkcijas maksimums (minimums). vietējais maksimums(lokālais minimums) pretstatā absolūtajam maksimumam (minimumam) - lielākā (mazākā) vērtība funkcijas domēnā.

Funkcijas maksimumu un minimumu sauc par ekstrēmu. . Ekstrēmi funkciju zīmēšanas funkciju atrašanā

latīņu valoda galējība nozīmē "ekstrēms" nozīmē. Argumenta x vērtību, pie kuras tiek sasniegts galējais punkts, sauc par galējības punktu. Ekstrēma nepieciešamais nosacījums ir izteikts ar šādu teorēmu.

Teorēma. Diferencējamās funkcijas un tās atvasinājuma galējā punktā ir vienāda ar nulli.

Teorēmai ir vienkārša ģeometriskā nozīme: diferencējamas funkcijas grafika pieskare attiecīgajā punktā ir paralēla x asij