Temperatūras lauka noteikšanas uzdevumu risinājums tiek veikts, pamatojoties uz siltuma vadīšanas diferenciālvienādojumu, kura secinājumi parādīti speciālajā literatūrā. Šajā rokasgrāmatā ir sniegti diferenciālvienādojumu varianti bez atvasinājumiem.

Vienādojums

Vienādojums (4.10) ir diferenciālenerģijas vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā (Furjē  Kirhhofa vienādojums). Šajā formā to izmanto, pētot siltuma vadīšanas procesu jebkurā ķermenī.

Ja  x = y = z =0, t.i., tiek aplūkots ciets ķermenis un ja nav iekšējo siltuma avotu q v =0, tad enerģijas vienādojums (4.10) nonāk cietvielu siltuma vienādojumā (Furjē vienādojums)

(4.11)

Vērtību С=a, m 2 sek vienādojumā (4.10) sauc par termisko difūziju, kas ir vielas fizikāls parametrs, kas raksturo temperatūras izmaiņu ātrumu organismā nepastāvīgu procesu laikā.

Ja siltumvadītspējas koeficients raksturo ķermeņu spēju vadīt siltumu, tad siltuma difūzijas koeficients ir ķermeņa siltuminerciālo īpašību mērs. No (4.10) vienādojuma izriet, ka temperatūras izmaiņas laikā t jebkuram telpas punktam ir proporcionālas vērtībai "a", t.i., temperatūras maiņas ātrums jebkurā ķermeņa punktā būs lielāks, lielāka termiskā difūzija. Tāpēc, ceteris paribus, temperatūras izlīdzināšana visos telpas punktos ātrāk notiks ķermenī, kam ir liela termiskā difūzija. Termiskā difūzija ir atkarīga no vielas veida. Piemēram, šķidrumiem un gāzēm ir liela termiskā inerce un līdz ar to arī zema termiskā difūzija. Metāliem ir zema termiskā inerce, jo tiem ir liels termiskās difūzijas koeficients.

Lai apzīmētu otro atvasinājumu summu attiecībā pret koordinātām vienādojumos (4.10) un (4.11), varat izmantot simbolu  2 , tā saukto Laplasa operatoru un pēc tam Dekarta koordinātu sistēmā.

Izteiksmei  2 t cilindriskā koordinātu sistēmā ir forma

Cietam ķermenim stacionāros apstākļos ar iekšēju siltuma avotu vienādojums (4.10) tiek pārveidots par Puasona vienādojumu

(4.12)

Visbeidzot, stacionārai siltuma vadīšanai un ja nav iekšējo siltuma avotu, vienādojums (4.10.) ir Laplasa vienādojuma formā.

(4.13)

Diferenciālais siltuma vienādojums cilindriskās koordinātās ar iekšējo siltuma avotu

(4.14)

4.2.6. Siltuma vadīšanas procesu unikalitātes nosacījumi

Tā kā siltumvadītspējas diferenciālvienādojums ir iegūts, pamatojoties uz vispārējiem fizikas likumiem, tas raksturo siltuma vadīšanas fenomenu tās vispārīgākajā formā. Tāpēc mēs varam teikt, ka iegūtais diferenciālvienādojums raksturo veselu siltuma vadīšanas parādību klasi. Lai no neskaitāma skaitļa izdalītu konkrēti aplūkoto procesu un sniegtu tā pilnīgu matemātisko aprakstu, diferenciālvienādojumam jāpievieno visu aplūkojamā procesa konkrēto pazīmju matemātisks apraksts. Šīs īpašās pazīmes, kas kopā ar diferenciālvienādojumu sniedz pilnīgu matemātisko aprakstu konkrētam siltuma vadīšanas procesam, sauc par unikalitātes nosacījumiem vai robežnosacījumiem, kas ietver:

a) ģeometriski apstākļi, kas raksturo ķermeņa formu un izmērus, kurā notiek process;

b) vides un ķermeņa fizikālās īpašības raksturojošie fizikālie apstākļi (, С z , , a utt.);

c) laika (sākotnējie) apstākļi, kas raksturo temperatūru sadalījumu pētāmajā ķermenī sākotnējā laika momentā;

d) robežnosacījumi, kas raksturo aplūkojamā ķermeņa mijiedarbību ar vidi.

Sākotnējie nosacījumi ir nepieciešami, apsverot nestacionārus procesus, un tie sastāv no temperatūras sadalījuma likuma noteikšanas ķermeņa iekšienē sākotnējā laika brīdī. Vispārīgā gadījumā sākotnējo nosacījumu =0 var analītiski uzrakstīt šādi:

t =  1 x, y, z. (4.15)

Vienmērīga temperatūras sadalījuma gadījumā organismā sākuma nosacījums tiek vienkāršots: pie =0; t=t0=idem.

Robežnosacījumus var norādīt vairākos veidos.

A. Pirmā veida robežnosacījumi, kas norāda temperatūras sadalījumu uz ķermeņa virsmas t c katram laika momentam:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

Konkrētajā gadījumā, kad temperatūra uz virsmas ir nemainīga visā siltuma pārneses procesu laikā, vienādojums (4.16) tiek vienkāršots un iegūst formu t c =idem.

B. Otrā veida robežnosacījumi, kas norāda siltuma plūsmas blīvuma vērtību katram virsmas punktam un jebkurā laika momentā. Analītiski to var attēlot šādi:

q n = x, y, z, , (4.17.)

kur q n  siltuma plūsmas blīvums uz ķermeņa virsmas.

Vienkāršākajā gadījumā siltuma plūsmas blīvums virs virsmas un laikā paliek nemainīgs q n =idem. Šāds siltuma pārneses gadījums notiek, piemēram, dažādus metāla izstrādājumus karsējot augstas temperatūras krāsnīs.

B. Trešā veida robežnosacījumi, kas nosaka apkārtējās vides temperatūru t W un siltuma pārneses likumu starp ķermeņa virsmu un vidi. Ņūtona likumu izmanto, lai aprakstītu siltuma pārneses procesu starp ķermeņa virsmu un vidi.

Saskaņā ar Ņūtona likumu, siltuma daudzums, ko ķermeņa virsmas vienība izdala laika vienībā, ir proporcionāls temperatūras starpībai starp ķermeni t c un vidi t f

q = t c  t f . (4.18)

Siltuma pārneses koeficients raksturo siltuma pārneses intensitāti starp ķermeņa virsmu un vidi. Skaitliski tas ir vienāds ar siltuma daudzumu, ko izdala (vai uztver) virsmas vienība laika vienībā ar temperatūras starpību starp ķermeņa virsmu un vidi, kas vienāda ar vienu grādu.

Saskaņā ar enerģijas nezūdamības likumu siltuma daudzumam, kas tiek noņemts no virsmas vienības laika vienībā siltuma pārneses dēļ (4.18.), ir jābūt vienādam ar siltumu, kas tiek piegādāts virsmas vienībai laika vienībā siltuma vadīšanas rezultātā no virsmas. ķermeņa iekšējie tilpumi (4.7), t.i.

, (4.19)

kur n  normāls pret ķermeņa virsmu; indekss "C" norāda, ka temperatūra un gradients attiecas uz ķermeņa virsmu (kad n = 0).

Trešā veida galīgo robežnosacījumu var uzrakstīt kā

. (4.20)

Vienādojums (4.20) būtībā ir ķermeņa virsmas enerģijas nezūdamības likuma īpaša izpausme.

D. Ceturtā veida robežnosacījumi, kas raksturo ķermeņu sistēmas vai ķermeņa siltuma apmaiņas nosacījumus ar vidi saskaņā ar siltuma vadīšanas likumu. Tiek pieņemts, ka starp ķermeņiem ir ideāls kontakts (saskares virsmu temperatūras ir vienādas). Aplūkojamos apstākļos siltuma plūsmas, kas iet caur saskares virsmu, ir vienādas:

. (4.21)

TMO uzdevumu izklāsts

Mums ir tilpums, ko ietekmē termiskās slodzes, ir nepieciešams noteikt skaitlisko vērtību q V un sadalījums pēc tilpuma.

2. att. Ārējie un iekšējie berzes avoti

1. Nosakiet pētāmā tilpuma ģeometriju jebkurā izvēlētajā koordinātu sistēmā.

2. Noteikt pētāmā tilpuma fizikālās īpašības.

3. Nosakiet nosacījumus, kas ierosina TMT procesu.

4. Precizēt likumus, kas nosaka siltuma pārnesi pētāmajā tilpumā.

5. Noteikt sākotnējo termisko stāvokli pētāmajā tilpumā.

TMT analīzē risināmie uzdevumi:

1. TMT "Tiešie" uzdevumi

Dots: 1,2,3,4,5

Noteikt: temperatūras sadalījumu telpā un laikā (turpmāk 6).

2. TMT "apgrieztās" problēmas (apgrieztās):

a) otrādi robeža uzdevumus

Dots: 1,2,4,5,6

Definējiet: 3;

b) otrādi izredzes uzdevumus

Dots: 1,3,4,5,6

Definējiet: 2;

c) otrādi retrospektīvs uzdevums

Dots: 1,2,3,4,6

Nosakiet: 5.

3. TMT "induktīvie" uzdevumi

Dots: 1,2,3,5,6

Nosakiet: 4.

SILTUMA PĀRDOŠANAS FORMAS UN TERMISKIE PROCESI

Ir 3 siltuma pārneses veidi:

1) siltumvadītspēja cietās vielās (ko nosaka mikrodaļiņas, bet metālos - brīvie elektroni);

2) konvekcija (nosaka kustīgās vides makrodaļiņas);

3) termiskais starojums (nosaka elektromagnētiskie viļņi).

Cieto vielu siltumvadītspēja

Vispārīgi jēdzieni

Temperatūras lauks ir temperatūras vērtību kopums pētāmajā tilpumā, kas ņemts noteiktā laika posmā.

t(x, y, z, τ) ir funkcija, kas nosaka temperatūras lauku.

Ir stacionāri un nestacionāri temperatūras lauki:

stacionārs - t(x,y,z);

nestacionārs - t(x, y, z, τ).

Stacionaritātes nosacījums ir:

Paņemsim noteiktu ķermeni un savienosim punktus ar vienādām temperatūrām

3. att.-Temperatūras gradients un siltuma plūsma

grad t- temperatūras gradients;

citā pusē: .

Furjē likums - siltuma plūsma cietās vielās ir proporcionāla temperatūras gradientam, virsmai, caur kuru tā iet, un aplūkotajam laika intervālam.

Proporcionalitātes koeficientu sauc par siltumvadītspējas koeficientu λ , W/m K.

parāda, ka siltums izplatās virzienā, kas ir pretējs temperatūras gradienta vektoram.

;

Bezgalīgi mazai virsmai un laika intervālam:

Siltuma vienādojums (Furjē vienādojums)

Apsveriet bezgalīgi mazu tilpumu: dv =dx dy dz

4. attēls. Bezgalīgi maza tilpuma termiskais stāvoklis

Mums ir Teilora sērija:

Līdzīgi:

; ; .

Vispārīgā gadījumā mēs esam kubā q V. Secinājums ir balstīts uz vispārināto enerģijas nezūdamības likumu:

.

Saskaņā ar Furjē likumu:

; ; .

Pēc pārvērtībām mums ir:

.

Stacionāram procesam:

Problēmu telpisko dimensiju nosaka virzienu skaits, kuros notiek siltuma pārnese.

Viendimensijas problēma: ;

stacionāram procesam: ;

Priekš :

Priekš : ;

a- termiskās difūzijas koeficients, .kartēziskā sistēma;

k = 1, ξ =x- cilindriskā sistēma;

k = 2, ξ =x- sfēriska sistēma.

Unikalitātes nosacījumi

Unikalitātes nosacījums – tie ir nosacījumi, kas ļauj no iespējamo risinājumu kopas izvēlēties vienu un tikai vienu, kas atbilst uzdevumam.

Kur ar p, J/(kg×K) – izobāriskā siltumietilpība; r, kg/m 3 - blīvums; l, W/(m×K) – siltumvadītspējas koeficients; w x, w y , w z ir šķidruma ātruma vektora projekcijas; qv, W / m 3 - šķidruma iekšējā siltuma izdalīšanās tilpuma blīvums.

Gadījumam ir uzrakstīts vienādojums (1.12). l=konst.

Diferenciāls priekš cietvielas sauc par siltuma vadīšanas diferenciālvienādojumu, un to var iegūt no (1.12) ar nosacījumu w x = w y = w z = 0, ar p=ar v=Ar:

,

kur - termiskā difūzija, raksturo ķermeņa temperatūras izmaiņu ātrumu. Vērtības a = f(t) dažādām struktūrām ir dotas uzziņu grāmatās.

Siltuma vadīšanas diferenciālvienādojums

(1.13)

apraksta cietvielu nestacionāro temperatūras lauku ar iekšēju siltuma izdalīšanos (ar iekšējiem siltuma avotiem). Šādi siltuma avoti var būt: džoulu siltums, kas izdalās, plūstot elektriskajai strāvai caur vadītājiem; siltums, ko izdala kodolreaktoru degvielas elementi utt.

Diferenciālo siltuma vienādojumu (1.13), kas uzrakstīts Dekarta koordinātēs, var attēlot cilindriski (r,z, φ) un sfērisks (r, φ , ψ).

Jo īpaši iekšā cilindrisks koordinātas ( r- rādiuss; φ ir polārais leņķis; z- piemērot), siltuma vadīšanas diferenciālvienādojumam ir forma

(1.14)

Unikalitātes nosacījumi

Diferenciālvienādojums apraksta daudzus siltuma vadīšanas procesus. Lai no šīs kopas izdalītu kādu konkrētu procesu, ir jāformulē šī procesa pazīmes, kuras sauc unikalitātes nosacījumi un ietver:

· ģeometriskie apstākļi raksturo ķermeņa formu un izmēru;

· fiziskajiem apstākļiem raksturojot siltuma apmaiņā iesaistīto ķermeņu īpašības;

· pierobežas apstākļi raksturojot procesa apstākļus pie ķermeņa robežas;

· sākotnējie nosacījumi raksturojot sistēmas sākotnējo stāvokli plkst nestacionāri procesi.

Risinot siltuma vadīšanas problēmas, ir:

· pirmā veida robežnosacījumi kad ir norādīts temperatūras sadalījums uz ķermeņa virsmas:

t c = f (x, y, z, τ) vai t c = konst;

· otrā veida robežnosacījumi kad ir dots siltuma plūsmas blīvums uz ķermeņa virsmas:

q c = f (x, y, z, τ) vai q c = konst;

· trešā veida robežnosacījumi kad ir iestatīta vidējā temperatūra t un siltuma pārneses koeficients starp virsmu un vidi.

Saskaņā ar Ņūtona-Rihmaņa likumu siltuma plūsma tiek pārnesta no 1m 2 virsmas uz vidi ar temperatūru t,

Tajā pašā laikā šī siltuma plūsma tiek piegādāta 1m 2 virsmas no ķermeņa dziļajiem slāņiem, izmantojot siltumvadītspēju.

Tad ķermeņa virsmas siltuma bilances vienādojumu var ierakstīt formā

(1.15)

Vienādojums (1.15) ir trešā veida robežnosacījumu matemātisks formulējums.

Diferenciālvienādojumu sistēma kopā ar unikalitātes nosacījumiem ir problēmas matemātisks formulējums. Diferenciālvienādojumu risinājumi satur integrācijas konstantes, kuras nosaka, izmantojot unikalitātes nosacījumus.

Kontroles jautājumi un uzdevumi

1. Analizējiet, kā siltums tiek pārnests no karstā ūdens uz gaisu caur radiatora sienu: no ūdens uz iekšējo virsmu, caur sienu, no ārējās virsmas uz gaisu.

2. Kāpēc vienādojuma (1.3) labajā pusē ir mīnuss?

3. Ar uzziņu literatūras palīdzību analizēt atkarību λ(t) metāliem, sakausējumiem, siltumizolācijas materiāliem, gāzēm, šķidrumiem un atbildiet uz jautājumu: kā šiem materiāliem mainās siltumvadītspējas koeficients līdz ar temperatūru?

4. Kā tiek noteikta siltuma plūsma? (J, V ) ar konvektīvo siltuma pārnesi, siltumvadītspēju, siltuma starojumu?

5. Dekarta koordinātēs pierakstiet siltumvadītspējas diferenciālvienādojumu, kas apraksta trīsdimensiju stacionāru temperatūras lauku bez iekšējiem siltuma avotiem.

6. Pierakstiet diferenciālvienādojumu stieples temperatūras laukam, kas ilgstoši tiek pieslēgts pie pastāvīgas elektriskās slodzes.

2. SILTUMU VADĪTĪBA UN SILTUMA PADOME
STACIONĀRĀ REŽĪMĀ

2.1. Plakanas sienas siltumvadītspēja

Ņemot vērā: plakans vienmērīgs sienas biezums δ (2.1. att.) ar nemainīgu siltumvadītspējas koeficientu λ un nemainīgas temperatūras t1 Un t2 uz virsmām.

Definēt: temperatūras lauka vienādojums t=f(x) un siltuma plūsmas blīvums q, W/m2.

Sienas temperatūras lauku apraksta ar diferenciālās siltuma vadīšanas vienādojumu (1.3) šādos apstākļos:

Tā kā režīms ir stacionārs;

· jo nav iekšējo siltuma avotu;

· jo temperatūra t1 Un t2 uz sienu virsmām ir nemainīgas.

Sienas temperatūra ir tikai vienas koordinātas funkcija X un vienādojums (1.13) iegūst formu

Izteiksmes (2.1), (2.2), (2.3) ir uzdevuma matemātiskais formulējums, kura risinājums ļaus iegūt nepieciešamo temperatūras lauka vienādojumu t=f(x).

Vienādojuma (2.1) integrācija dod

Atkārtoti integrējot, iegūstam diferenciālvienādojuma atrisinājumu formā

Atkarība t=f(x), saskaņā ar (2.5) ir taisne (2.1. att.), kas ir taisnība λ=konst.

Lai noteiktu caur sienu ejošās siltuma plūsmas blīvumu, mēs izmantojam Furjē likumu

Ņemot vērā iegūstam caur plakanu sienu pārraidītās siltuma plūsmas blīvuma aprēķina formulu,

Formulu (2.6) var uzrakstīt kā

Kur

Vērtību sauc siltumvadītspēja siltuma pretestība plakana siena.

Pamatojoties uz vienādojumu

qR=t 1 – t 2

var secināt, ka sienas termiskā pretestība ir tieši proporcionāla temperatūras starpībai visā sienas biezumā.

Ņem vērā siltumvadītspējas koeficienta atkarību no temperatūras, λ(t), tas ir iespējams, ja vērtības aizstājam vienādojumos (2.6) un (2.7) λav temperatūras diapazonam t 1 - t 2.

Apsveriet siltumvadītspēju daudzslāņu plakana siena, kas sastāv, piemēram, no trim slāņiem
(2.2. att.).

Ņemot vērā:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = konst, t4=konst.

Definēt: q, W / m 2; t2, t3.

Stacionārajā režīmā un nemainīgās sienu virsmu temperatūrās siltuma plūsmu, kas tiek pārraidīta caur trīsslāņu sienu, var attēlot ar vienādojumu sistēmu:

Temperatūra pie slāņu robežām t2 Un t3 var aprēķināt, izmantojot vienādojumus (2.8) - (2.10) pēc siltuma plūsmas blīvuma ( q) līdz (2.12.).

Vienādojuma (2.12) vispārīgā forma daudzslāņu plakanai sienai, kas sastāv no P viendabīgi slāņi ar nemainīgu temperatūru uz ārējām virsmām un , ir forma

2.2. Cilindriskas sienas siltumvadītspēja
pirmā veida robežnosacījumos

Ņemot vērā: Viendabīga cilindriska siena (caurules siena) ar iekšējo rādiusu r1, ārējais - r2, garums , ar nemainīgu siltumvadītspēju λ , ar nemainīgu virsmas temperatūru t1 Un t2.
(2.3. att.).

Definēt: temperatūras lauka vienādojums
t=f(r), siltuma plūsma, kas tiek pārnesta caur sienu
J, V.

Diferenciālais siltuma vienādojums cilindriskās koordinātēs (1.14) šīs problēmas nosacījumiem:

ieņem formu

Vienādojumu sistēmas (2.15) - (2.17) risināšanas procedūra ir tāda pati kā plakanas sienas gadījumā: tiek atrasts otrās kārtas diferenciālvienādojuma (2.15) vispārējais integrālis, kas satur divas integrācijas konstantes.
no 1 Un kopš 2. Pēdējos nosaka, izmantojot robežnosacījumus (2.16) un (2.17), un pēc to vērtību aizstāšanas diferenciālvienādojuma risinājumā (vispārējais integrālis) iegūstam cilindriskas sienas temperatūras lauka vienādojums t = f (r) kā

Ja ņemam vienādojuma (2.18) labās puses atvasinājumu un aizstājam to ar (2.19), iegūstam aprēķina formulu cilindriskās sienas siltuma plūsma

(2.20)

Tehniskajos aprēķinos siltuma plūsmu bieži aprēķina uz 1 m caurules garuma:

un piezvanīja lineārā siltuma plūsmas blīvums.

Mēs rakstām vienādojumu (2.20) kā

Kur – cilindriskas sienas siltumvadītspējas siltuma pretestība.

Trīsslāņu cilindriskai sienai(caurule pārklāta ar diviem siltumizolācijas slāņiem) ar zināmu nemainīgu virsmas temperatūru ( t1 Un t4), ar zināmiem ģeometriskajiem izmēriem ( r1, r2, r3, r4, ) un slāņu siltumvadītspējas koeficienti ( λ1, λ2, λ 3) (2.4. att.), siltuma plūsmai varam uzrakstīt šādus vienādojumus J:

Temperatūra pie slāņu robežām (t 2,t3) var aprēķināt no vienādojumiem (2.21).

Priekš daudzslāņu cilindriska siena, kas sastāv no P slāņi, formulu (2.22) var rakstīt vispārīgā formā

(2.23)

Efektīva siltumvadītspēja daudzslāņu cilindriskai sienai, kā arī daudzslāņu plakanai sienai nosaka no daudzslāņu sienas siltuma pretestību summas vienādības ar homogēnas sienas, kuras biezums ir vienāds ar daudzslāņu sienu, siltuma pretestību. Tātad, caurules divslāņu siltumizolācijai
(2.4. att.) efektīvā siltumvadītspēja (λeff) tiek noteikts no vienlīdzības

2.3. Plakano un cilindrisko sienu siltumvadītspēja
trešā veida robežnosacījumos (siltuma pārnese)

Trešā veida robežnosacījumi sastāv no šķidruma temperatūras iestatīšanas (t w) un siltuma pārneses koeficients () starp sienas virsmu un šķidrumu.

Tiek saukta siltuma pārnese no viena šķidruma uz otru caur sienu, kas tos atdala siltuma pārnesi.

Siltuma pārneses piemēri ir siltuma pārnešana no dūmgāzēm uz ūdeni caur tvaika katla caurules sienu, siltuma pārnešana no karstā ūdens uz apkārtējo gaisu caur apkures akumulatora sienu utt.

Siltuma apmaiņa starp virsmu un vidi (dzesēšanas šķidrumu) var būt konvektīvā ja dzesēšanas šķidrums ir šķidrums (ūdens, eļļa utt.) vai izstarojoši-konvektīvi kad siltums tiek pārnests ar konvekcijas siltuma pārnesi un ar starojumu, ja dzesēšanas šķidrums ir gāze (dūmgāzes, gaiss utt.).

Apskatīsim siltuma pārnesi caur plakanām un cilindriskām sienām ar nosacījumu, ka uz virsmām notiek tikai konvektīva siltuma pārnese. Siltuma pārnese ar starojuma-konvektīvo siltuma pārnesi (kompleksā siltuma pārnese) uz virsmām tiks apspriesta vēlāk W / m 2 siltuma pārnese (Q

Ja a 1 Un a 2 salīdzināmi.

Siltuma pārnese caur daudzslāņu cilindrisku sienu aprēķina pēc formulas

(2.35)

Kur F1 Un F2 ir daudzslāņu cilindriskās sienas iekšējās un ārējās virsmas laukumi.

Jebkura fiziska procesa izpēte ir saistīta ar attiecību nodibināšanu starp lielumiem, kas raksturo šo procesu. Sarežģītiem procesiem, kas ietver siltuma pārnesi ar siltuma vadīšanu, nosakot attiecību starp lielumiem, ir ērti izmantot matemātiskās fizikas metodes, kas ņem vērā procesa gaitu nevis visā pētāmajā telpā, bet elementārā vielas tilpumā bezgalīgi mazā laika intervālā. Saikni starp daudzumiem, kas iesaistīti siltuma pārnesē pēc siltumvadītspējas, šajā gadījumā nosaka t.s siltuma vadīšanas diferenciālvienādojums. Izvēlētā elementārā apjoma un bezgala maza laika perioda robežās kļūst iespējams neņemt vērā dažu procesu raksturojošo lielumu izmaiņas.

Atvasinot siltuma vadīšanas diferenciālvienādojumu, tiek izdarīti šādi pieņēmumi: fizikālie lielumi λ, ar p Un ρ nemainīgs; nav iekšējo siltuma avotu; ķermenis ir viendabīgs un izotropisks; tiek izmantots enerģijas nezūdamības likums, kas šajā gadījumā ir formulēts šādi: starpība starp siltuma daudzumu, kas siltuma vadītspējas dēļ ieplūda elementārā paralēlskaldnī laikā dτ un atbrīvots no tā tajā pašā laikā tiek tērēts aplūkotā elementārā tilpuma iekšējās enerģijas maiņai. Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma:

Vērtību sauc Laplasa operators un parasti tiek saīsināts kā 2 t(zīme lasāma "nabla"); vērtību λ /cρ sauca termiskā difūzija un apzīmēts ar burtu A. Izmantojot iepriekš minēto apzīmējumu, siltuma vadīšanas diferenciālvienādojums iegūst formu

Tiek izsaukts vienādojums (1-10). siltuma vadīšanas diferenciālvienādojums, vai Furjē vienādojums trīsdimensiju nestacionāram temperatūras laukam, ja nav iekšēju siltuma avotu. Tas ir galvenais vienādojums ķermeņu sildīšanas un dzesēšanas pētījumos siltuma pārneses procesā ar siltumvadītspēju un nosaka saistību starp laika un telpiskās temperatūras izmaiņām jebkurā lauka punktā.

Termiskā difūzija A= λ/kr ir vielas fizikāls parametrs, un tā mērvienība ir m 2 / s. Nestacionāros termiskajos procesos vērtība A raksturo temperatūras izmaiņu ātrumu. Ja siltumvadītspējas koeficients raksturo ķermeņu spēju vadīt siltumu, tad siltuma difūzijas koeficients A ir ķermeņu termiski inerciālo īpašību mērs. No (1-10) vienādojuma izriet, ka temperatūras izmaiņas laika gaitā ∂t / ∂τ jebkuram ķermeņa punktam ir proporcionāls vērtībai A Tāpēc tādos pašos apstākļos ķermeņa temperatūra, kurai ir lielāka termiskā difūzija, palielināsies ātrāk. Gāzēm ir mazas, bet metāliem - lielas termiskās difūzijas vērtības.

Siltuma vadīšanas diferenciālvienādojumam ar siltuma avotiem ķermeņa iekšienē būs forma

Kur qv- izdalītā siltuma daudzums uz vielas tilpuma vienību laika vienībā, Ar ir ķermeņa masas siltuma jauda, ρ - ķermeņa blīvums .

Siltuma diferenciālajam vienādojumam cilindriskās koordinātās ar iekšējo siltuma avotu būs forma

Kur r- rādiusa vektors cilindriskās koordinātēs; φ - stūris.