4.2. Algebriskie un transcendentālie skaitļi

Reālos skaitļus dažreiz iedala arī algebriskajos un pārpasaulīgajos.

Algebriskie skaitļi ir skaitļi, kas ir algebrisko polinomu saknes ar veseliem skaitļiem, piemēram, 4, . Visi pārējie (nealgebriskie) skaitļi tiek uzskatīti par pārpasaulīgiem. Tā kā katrs racionālais skaitlis p/q ir atbilstošā pirmās pakāpes polinoma sakne ar veseliem skaitļu koeficientiem qx -p, tad visi pārpasaulīgie skaitļi ir iracionāli.

Izcelsim aplūkoto (dabisko, racionālo, reālo) skaitļu raksturīgās iezīmes: tie modelē tikai vienu īpašību - daudzumu; tie ir viendimensionāli un visi ir attēloti ar punktiem vienā taisnā līnijā, ko sauc par koordinātu asi.

5. Sarežģīti skaitļi

5.1. Iedomāti skaitļi

Vēl dīvaināki par iracionālajiem bija jaunas dabas skaitļi, ko 1545. gadā atklāja itāļu zinātnieks Cardano. Viņš parādīja, ka vienādojumu sistēmai, kurai nav atrisinājumu reālo skaitļu kopā, ir atrisinājumi formā, . Jums vienkārši jāpiekrīt rīkoties ar šādām izteiksmēm saskaņā ar parastās algebras noteikumiem un pieņemt, ka · = -.

Cardano šādus daudzumus sauca par "tīri negatīviem" un pat "izsmalcināti negatīviem", uzskatīja tos par bezjēdzīgiem un mēģināja tos neizmantot.

Ilgu laiku šie skaitļi tika uzskatīti par neiespējamiem, neesošiem, iedomātiem. Dekarts tos sauca par iedomātiem, Leibnics - "ķēms no ideju pasaules, vienība, kas atrodas starp būtību un nebūtību."

Faktiski ar šādu skaitļu palīdzību nav iespējams izteikt ne jebkura daudzuma mērīšanas rezultātu, ne jebkura daudzuma izmaiņas.

Uz koordinātu ass nebija vietas iedomātiem skaitļiem. Tomēr zinātnieki pamanīja, ka, ja ņemam reālo skaitli b uz koordinātu ass pozitīvās daļas un reizinām to ar, mēs iegūstam iedomātu skaitli b, kas atrodas nezināmā vietā. Bet, ja mēs reizinām šo skaitli vēlreiz, mēs iegūstam -b, tas ir, sākotnējo skaitli, bet uz koordinātu ass negatīvās daļas. Tātad, veicot divus reizinājumus ar, mēs iemetām skaitli b no pozitīva uz negatīvu, un tieši šī metiena vidū skaitlis bija iedomāts. Tādā veidā mēs atradām vietu iedomātajiem skaitļiem punktos uz iedomātas koordinātu ass, kas ir perpendikulāra reālās koordinātu ass vidum. Plaknes punkti starp iedomāto un reālo asi attēlo Cardano atrastos skaitļus, kuri vispārīgā formā a + b·i satur reālos skaitļus a un iedomāto b·i vienā kompleksā (sastāvā), tāpēc tos sauc kompleksie skaitļi.

Šis bija skaitļu vispārināšanas 4. līmenis.

Pamazām attīstījās operāciju tehnika ar iedomātiem skaitļiem. 17. un 17. gadsimta mijā tika izveidota vispārīga n-to pakāpju sakņu teorija, vispirms no negatīviem un pēc tam no jebkuriem kompleksajiem skaitļiem, pamatojoties uz šādu angļu matemātiķa A. Moivre formulu:

Izmantojot šo formulu, bija iespējams arī iegūt formulas vairāku loku kosinusiem un sinusiem.

Leonhards Eilers 1748. gadā atvasināja ievērojamu formulu:

kas saistīja eksponenciālo funkciju ar trigonometrisko funkciju. Izmantojot Eilera formulu, bija iespējams palielināt skaitli e līdz jebkurai sarežģītai pakāpei. Interesanti, piemēram, ka... Var atrast komplekso skaitļu sin un cos, aprēķināt šādu skaitļu logaritmus utt.

Ilgu laiku pat matemātiķi kompleksos skaitļus uzskatīja par noslēpumainiem un izmantoja tos tikai matemātiskām manipulācijām. Tādējādi Šveices matemātiķis Bernulli izmantoja kompleksos skaitļus, lai atrisinātu integrāļus. Nedaudz vēlāk viņi iemācījās izteikt lineāru diferenciālvienādojumu risinājumus ar nemainīgiem koeficientiem, izmantojot iedomātus skaitļus. Šādi vienādojumi ir atrodami, piemēram, materiāla punkta svārstību teorijā pretestīgā vidē.

Algebrisko matricu grupas

Algebriskās slēgšanas sistēmas

Sāksim ar algebriskās darbības jēdzienu. Lai A ir universāla algebra ar algebrisko operāciju kopu U. Katrai operācijai U no U ir noteikta aritāte n, nN(0). Jebkuram naturālam skaitlim n n-ārā darbība u ir kartēšana no An uz A...

Pirmskaitļu spēks

Savstarpēji pirmskaitļi ir naturāli vai veseli skaitļi, kas, šķiet, nav lielākie ekvivalenti, kas ir lielāki par 1, vai citādi šķiet, ka tie ir lielākie ekvivalenti, kas ir lielāki par 1. Tādējādi 2 un 3 ir savstarpēji vienkārši, un 2 un 4 nav ne viens, ne otrs. (dalīts ar 2)...

Grafiki un to funkcijas

Apskatīsim pamata algebriskās darbības ar funkcijām un to grafikiem, piemēram, saskaitīšanu un atņemšanu (y = f(x) ±g(x)), reizināšanu (y = f(x) g(x)), dalīšanu (y = f( x) / g(x)). Veidojot šāda veida grafiku, jāņem vērā...

Kompleksie skaitļi: to pagātne un tagadne

Matemātika viduslaikos

Nepieciešams nosacījums fan cheng metodes pielietošanai vienādojumu sistēmās bija negatīvu skaitļu ieviešana. Piemēram, risinot sistēmu, mēs iegūstam tabulu. Nākamais solis: atņemiet trešās kolonnas elementus no labās puses no pirmās...

Numeroloģija

Pitagors skaitļus uzskatīja ne tikai par abstraktiem reālu lietu aizstājējiem, bet arī par dzīvām būtnēm, kas atspoguļo telpas, enerģijas vai skaņas vibrācijas īpašības. Galvenā skaitļu zinātne, aritmētika...

Numeroloģija

Leģenda vēsta, ka harmoniskos skaitļus, kuru attiecība rada sfēru mūziku, atklājis Pitagors. Flammarions šo leģendu atstāsta šādi: “Stāsta, ka, ejot garām kalvei, viņš dzirdējis āmuru skaņas...

Kvadratūras formulu praktiska pielietošana ar Čebiševa-Hermīta atsvariem

Ļaujiet uz visas ass norādīt vienmērīga svara funkciju. (1.1) Secīgi diferencējot šo funkciju, mēs atklājam (1.2) Ar indukciju ir viegli pierādīt, ka funkcijas (1.1) n kārtas atvasinājums ir šīs funkcijas reizinājums ar kādu n pakāpes polinomu...

Ieviesīsim jaunu nederīgu skaitli, kura kvadrāts ir -1. Mēs apzīmējam šo skaitli ar simbolu I un saucam par iedomātu vienību. Tātad, (2.1) Tad. (2.2) 1. Kompleksā skaitļa algebriskā forma Ja, tad skaitli (2.3) sauc par komplekso...

Atkārtoti definētas skaitliskās secības

Risinot daudzas problēmas, nereti nākas saskarties ar atkārtoti uzdotām sekvencēm, taču atšķirībā no Fibonači secības ne vienmēr ir iespējams iegūt tās analītisko uzdevumu...

Transcendentālie vienādojumi ar parametriem un metodēm to atrisināšanai

Transcendentālais vienādojums ir vienādojums, kas satur nezināma (mainīgā) transcendentālās funkcijas (irracionālas, logaritmiskas, eksponenciālas, trigonometriskas un apgrieztas trigonometriskas), piemēram, vienādojums...

Apbrīnojami skaitļi

Jau sen, palīdzot skaitīt ar oļiem, cilvēki pievērsa uzmanību pareizajām figūriņām, kuras varētu izgatavot no oļiem. Jūs varat vienkārši salikt oļus pēc kārtas: viens, divi, trīs. Ja jūs ievietojat tos divās rindās, lai izveidotu taisnstūrus...

Apbrīnojami skaitļi

Dažreiz ideālie skaitļi tiek uzskatīti par īpašu draudzīgu skaitļu gadījumu: katrs ideāls skaitlis ir draudzīgs pats sev. Nikomahs no Geras, slavens filozofs un matemātiķis, rakstīja: "Perfekti skaitļi ir skaisti. Bet ir zināms...

Sociālo procesu fraktāļu īpašības

Ģeometriskie fraktāļi ir statiskas figūras. Šāda pieeja ir diezgan pieņemama, kamēr nav jāņem vērā tādas dabas parādības kā krītošas ​​ūdens straumes, nemierīgi dūmu virpuļi...

Transcendentāls skaitlis

skaitlis (reāls vai iedomāts), kas neapmierina nevienu algebrisko vienādojumu (sk. Algebrisko vienādojumu) ar veselu skaitļu koeficientiem. Tādējādi skaitļu skaitļi tiek pretstatīti algebriskajiem skaitļiem (sk. Algebrisko skaitli). Pirmo reizi T. ch. esamību konstatēja J. Liuvils (1844). Liuvila sākumpunkts bija viņa teorēma, saskaņā ar kuru racionālas daļas ar noteiktu saucēju tuvināšanas secība noteiktam iracionālam algebriskam skaitlim nevar būt patvaļīgi augsta. Proti, ja algebriskais skaitlis A apmierina nereducējamu algebrisko pakāpes vienādojumu n ar veselu skaitļu koeficientiem, tad jebkuram racionālam skaitlim c ir atkarīgs tikai no α ). Tāpēc, ja dotajam iracionālajam skaitlim α var norādīt bezgalīgu racionālu tuvinājumu kopu, kas neapmierina doto nevienādību nevienam Ar Un n(tas pats visiem tuvinājumiem), tad α ir T. h. Šāda skaitļa piemērs sniedz:

Vēl vienu skaitļu esamības pierādījumu sniedza G. Kantors (1874), atzīmējot, ka visu algebrisko skaitļu kopa ir saskaitāma (tas ir, visus algebriskos skaitļus var pārnumurēt; sk. Kopu teorija), savukārt visu reālo skaitļu kopa. ir nesaskaitāms. No tā izrietēja, ka skaitļu kopa ir nesaskaitāma, un tālāk, ka skaitļi veido visu skaitļu kopas lielāko daļu.

Absolūto skaitļu teorijas svarīgākais uzdevums ir noteikt, vai analītisko funkciju vērtības, kurām ir noteiktas aritmētiskās un analītiskās īpašības argumenta algebriskajām vērtībām, ir patiesi skaitļi. Šāda veida problēmas ir vienas no sarežģītākajām mūsdienu matemātikas problēmām. 1873. gadā C. Hermite pierādīja, ka Nepero numurs

1882. gadā vācu matemātiķis F. Lindemans ieguva vispārīgāku rezultātu: ja α ir algebrisks skaitlis, tad eα - T. h. Lipdemana rezultātu ievērojami vispārināja vācu matemātiķis K. Zīgels (1930), kurš pierādīja, piemēram, plašas cilindrisko funkciju klases vērtības pārsniegšanu argumenta algebriskajām vērtībām. 1900. gadā matemātikas kongresā Parīzē D. Hilberts starp 23 neatrisinātām matemātikas problēmām norādīja uz sekojošo: ir pārpasaulīgs skaitlis. α β , Kur α Un β - algebriskie skaitļi un β - iracionāls skaitlis, un jo īpaši tas ir pārpasaulīgs skaitlis e π (formas skaitļu transcendences problēma α β pirmo reizi privātā formā iestudēja L. Eilers, 1744). Pilnīgu šīs problēmas risinājumu (apstiprinošā nozīmē) ieguva tikai 1934. gadā A. O. Gelfond u. Jo īpaši no Gelfonda atklājuma izriet, ka visi naturālo skaitļu decimāllogaritmi (tas ir, "tabulas logaritmi") ir veseli skaitļi. Skaitļu teorijas metodes tiek izmantotas vairākām problēmām, risinot vienādojumus veselos skaitļos.

Lit.: Gelfonds A. O., Transcendentālie un algebriskie skaitļi, M., 1952.

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir “Transcendentālais numurs” citās vārdnīcās:

Skaitlis, kas neapmierina nevienu algebrisko vienādojumu ar veselu skaitļu koeficientiem. Transcendentālie skaitļi ir: skaitlis??3.14159...; jebkura vesela skaitļa decimāllogaritms, kas nav attēlots ar vieniniekiem, kam seko nulles; numurs e=2,71828... un citi... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

- (no latīņu valodas transcendere uz iziet, pārsniegt) ir reāls vai komplekss skaitlis, kas nav algebrisks, citiem vārdiem sakot, skaitlis, kas nevar būt polinoma sakne ar veseliem skaitļiem. Saturs 1 Rekvizīti 2 ... ... Wikipedia

Skaitlis, kas neapmierina nevienu algebrisko vienādojumu ar veselu skaitļu koeficientiem. Transcendentālie skaitļi ir: skaitlis π = 3,14159...; jebkura vesela skaitļa decimāllogaritms, kas nav attēlots ar vieniniekiem, kam seko nulles; skaitlis e = 2,71828... utt... enciklopēdiskā vārdnīca

Skaitlis, kas neapmierina nevienu algebru. vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Ieskaitot: skaitlis PI = 3,14159...; jebkura vesela skaitļa decimāllogaritms, kas nav attēlots ar vieniniekiem, kam seko nulles; skaitlis e = 2,71828... utt... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Skaitlis, kas nav neviena polinoma sakne ar veselu skaitļu koeficientiem. Šādu skaitļu definīcijas apgabals ir reālo, komplekso un raditisko skaitļu nulles. Reālo daļu esamību un izteiktās konstrukcijas pamatoja J. Liuvils... ... Matemātiskā enciklopēdija

Vienādojums, kas nav algebrisks. Parasti tie ir vienādojumi, kas satur eksponenciālas, logaritmiskas, trigonometriskas, apgrieztas trigonometriskas funkcijas, piemēram: Stingrāka definīcija ir: Transcendentāls vienādojums ir vienādojums ... Wikipedia

Skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,718, kas bieži sastopams matemātikā un dabaszinātnēs. Piemēram, radioaktīvai vielai sadaloties pēc laika t, no vielas sākotnējā daudzuma paliek daļa, kas vienāda ar e kt, kur k ir skaitlis,... ... Koljēra enciklopēdija

E ir matemātiskā konstante, dabiskā logaritma bāze, iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis. Dažreiz skaitli e sauc par Eilera skaitli (nejaukt ar tā sauktajiem pirmā veida Eilera skaitļiem) vai Napier skaitli. Apzīmē ar mazo latīņu burtu “e”.... ... Wikipedia

E ir matemātiskā konstante, dabiskā logaritma bāze, iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis. Dažreiz skaitli e sauc par Eilera skaitli (nejaukt ar tā sauktajiem pirmā veida Eilera skaitļiem) vai Napier skaitli. Apzīmē ar mazo latīņu burtu “e”.... ... Wikipedia

Reālajā rindā papildus algebriskajiem skaitļiem ir vēl viena kopa, kuras jauda sakrīt ar visas līnijas jaudu - šī ir pārpasaulīgo skaitļu kopa.

Definīcija 6 : Tiek izsaukts skaitlis, kas nav algebrisks pārpasaulīgs, tas ir, transcendentāls skaitlis (lat. transcendere — iet pāri, pārsniegt) ir reāls vai komplekss skaitlis, kas nevar būt polinoma sakne (nav identiski vienāds ar nulli) ar racionāliem koeficientiem.

Transcendentālo skaitļu īpašības:

· Pārpasaulīgo skaitļu kopa ir nepārtraukta.

· Katrs pārpasaulīgais reālais skaitlis ir iracionāls, bet otrādi nav taisnība. Piemēram, skaitlis ir iracionāls, bet ne pārpasaulīgs: tas ir polinoma (un līdz ar to algebriskā) sakne.

· Kārtība reālo pārpasaulīgo skaitļu kopā ir izomorfa iracionālo skaitļu kopas secībai.

· Gandrīz jebkura transcendentālā skaitļa iracionalitātes mērs ir 2.

Pārpasaulīgo skaitļu esamību vispirms pierādīja Liuvils. Lauvila pierādījums par pārpasaulīgo skaitļu esamību ir iedarbīgs; Pamatojoties uz šādu teorēmu, kas ir tiešas 5. teorēmas sekas, tiek konstruēti konkrēti transcendentālo skaitļu piemēri.

6. teorēma [3, 54. lpp.].: Ļaujiet - reālais skaitlis. Ja par kādu dabisko n 1 un jebkura reāla c>0 ir vismaz viena tāda racionāla daļa, ka (11), tad - pārpasaulīgais skaitlis.

Pierādījums: Ja bija algebrisks, tad būtu (5. teorēma) pozitīvs vesels skaitlis n un īsts c>0 tāda, ka tā būtu jebkurai daļai, un tas ir pretrunā ar patiesību (11). Pieņēmums ir tāds algebriskais skaitlis, t.i. pārpasaulīgais skaitlis. Teorēma ir pierādīta.

Skaitļi, kuriem, jebkuram n 1 un c>0 nevienādībai (11) ir atrisinājums veselos skaitļos a Un b tiek saukti par pārpasaulīgajiem Liuvila skaitļiem.

Tagad mums ir līdzeklis reālu skaitļu konstruēšanai, kas nav algebriski. Ir nepieciešams izveidot skaitli, kas pieļauj patvaļīgi augstas kārtas tuvinājumus.

Piemērs:

a- pārpasaulīgais skaitlis.

Ņemsim patvaļīgu reālu n 1 un c>0. Lai kur k izvēlēts tik liels, ka kn, Tad

Tā kā par patvaļīgu n 1 un c>0 var atrast tādu daļskaitli, kas tad ir pārpasaulīgs skaitlis.

Iestatīsim skaitli bezgalīgas decimāldaļskaitļa formā: kur

Tad jebkurā vietā, . Tādējādi, un tas nozīmē, ka tas pieļauj patvaļīgi augstas kārtas tuvinājumus un tāpēc nevar būt algebrisks.

1873. gadā C. Hermite pierādīja skaitļa transcendenci e, naturālo logaritmu bāzes.

Lai pierādītu skaitļa transcendenci e ir nepieciešamas divas lemmas.

Lemma 1. Ja g(x) ir polinoms ar veselu skaitļu koeficientiem, tad jebkuram kN visi tā koeficienti k- ak atvasinājums g (k) (x) ir sadalīti k!.

Pierādījums. Kopš operatora d/dx lineārs, tad pietiek pārbaudīt lemmas apgalvojumu tikai formas polinomiem g(x)=x s, s 0.

Ja k>s, Tas g (k) (x)= 0 un k!|0.

Ja k< s , Tas

binomiālais koeficients ir vesels skaitlis un g(k) ( x) atkal tiek dalīts ar k! pilnībā.

Lemma 2 (Ermīta identitāte).Ļaujiet f(x) — patvaļīgs pakāpes polinoms k ar reāliem koeficientiem,

F( x)=f(x)+f" (x)+f"(x)+ … +f (k) (x) ir visu tā atvasinājumu summa. Tad jebkuram reālam (un pat sarežģītam, bet mums tas šobrīd nebūs vajadzīgs) x darīts:

Pierādījums. Integrēsim pa daļām:

Mēs integrāli atkal integrējam pa daļām utt. Atkārtojot šo procedūru k+1 reizi, mēs iegūstam:

7. teorēma (Hermīts, 1873). Numurs e pārpasaulīgs.

Pierādījums. Pierādīsim šo apgalvojumu ar pretrunu. Pieņemsim, ka e - algebriskais skaitlis, pakāpes m. Tad

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

dažiem dabiskiem m un daži veseli a m ,… a 1 , a 0 . Tā vietā aizvietosim ar Ermīta identitāti (12). X vesels skaitlis k kas ņem vērtības no 0 līdz m; reiziniet katru vienādību

attiecīgi a k, un pēc tam pievienojiet tos visus. Mēs iegūstam:

Tā kā (šis ir mūsu pretējais pieņēmums), izrādās, ka jebkuram polinomam f(x) ir jāizpilda vienlīdzība:

Ar piemērotu polinoma izvēli f(x) varat izveidot (13) kreiso pusi par veselu skaitli, kas nav nulle, un labā puse būs no nulles līdz vienam.

Apsveriet polinomu kur n tiks noteikts vēlāk ( nN, Un n liels).

Skaitlis 0 ir reizinājuma sakne n-1 polinoms f(x), skaitļi 1, 2,…, m- daudzveidības saknes n, tātad:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Apsveriet g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n - polinoms, kas līdzīgs f(x), bet ar veselu skaitļu koeficientiem. Ar lemmu 1 koeficienti g ( l) (x) - veseli skaitļi, kas dalās ar l!, tāpēc, kad l< n , atvasinājums g ( l) (x) visi koeficienti ir veseli skaitļi, kas dalās ar n, jo g ( l) (x) iegūst no g (l) ( x) dalot tikai ar ( n-1)!. Tāpēc

Kur A- piemērots vesels skaitlis, un virs summas zīmes ir skaitlis ( m+1) n-1 - polinoma pakāpe f(x) un, lai gan ir iespējams summēt līdz bezgalībai, nulles atvasinājumi no f(x) tieši tik daudz.

Tāpat

Kur B k- piemēroti veseli skaitļi, k = 1, 2,…, m.

Ļaujiet tai tagad nN - jebkurš vesels skaitlis, kas atbilst šādiem nosacījumiem:

Vēlreiz apsveriet vienlīdzību (13):

Kreisajā pusē esošajā summā visi termini ir veseli skaitļi un a k F(k) plkst k = 1, 2,…, m dalīts ar n, A a 0 F(0) ieslēgts n nedalās. Tas nozīmē, ka visa summa, kas ir vesels skaitlis, ir n nav dalāms, t.i. nav nulle. Tāpēc

Tagad novērtēsim vienādības (13) labo pusi. Skaidrs, ka uz segmentu un tātad uz šo segmentu

kur ir konstantes C 0 un C 1 nav atkarīgi no n. Ir zināms, ka

tāpēc pietiekami lielam n, (13) labā puse ir mazāka par vienu un vienādība (13) nav iespējama.

1882. gadā Lindemans pierādīja teorēmu par skaitļa spēku transcendenci e ar algebrisko eksponentu, kas nav nulle, tādējādi pierādot skaitļa transcendenci.

8. teorēma (Lindemens) [3, 58. lpp]. Ja ir algebrisks skaitlis un, tad skaitlis ir pārpasaulīgs.

Lindemaņa teorēma ļauj konstruēt pārpasaulīgos skaitļus.

Piemēri:

No Lindemaņa teorēmas izriet, piemēram, ka skaitlis ln 2 - pārpasaulīgs, jo 2=e ln 2, un skaitlis 2 ir algebrisks un ja skaitlis ln 2 bija algebrisks, tad pēc lemmas skaitlis 2 bija pārpasaulīgs skaitlis.

Kopumā jebkurai algebriskai ln pēc Lindemaņa teorēmas ir pārpasaulīgs. Ja pārpasaulīgi, tad ln piemēram, ne vienmēr ir transcendentāls skaitlis e =1

Izrādās, ka vidusskolā mēs redzējām daudz pārpasaulīgu skaitļu - ln 2,ln 3,ln() un tā tālāk.

Ņemiet vērā arī to, ka pārpasaulīgie skaitļi ir skaitļi jebkuram algebriskam skaitļam, kas nav nulle (saskaņā ar Lindemaņa-Veijerštrāsa teorēmu, kas ir Lindemaņa teorēmas vispārinājums). Piemēram, skaitļi ir pārpasaulīgi.

Ja pārpasaulīgi, tad ne vienmēr pārpasaulīgi skaitļi, piemēram,

Lindemaņa teorēmas pierādīšanu var veikt, izmantojot Hermīta identitāti, līdzīgi kā tika pierādīta transcendence, ar dažiem sarežģījumiem transformācijās. Tieši tā to pierādīja pats Lindemans. Bet šo teorēmu var pierādīt citādi, kā to izdarīja padomju matemātiķis A.O. Gelfonds, kura idejas divdesmitā gadsimta vidū noveda pie Hilberta septītās problēmas risinājuma.

1900. gadā II Starptautiskajā matemātiķu kongresā Hilberts starp viņa formulētajām problēmām formulēja septīto problēmu: "Ja, vai tā ir taisnība, ka skaitļi formā, kur - algebriskais un - iracionālais ir pārpasaulīgi skaitļi?" . Šo problēmu 1934. gadā atrisināja Gelfonds, kurš pierādīja, ka visi šādi skaitļi patiešām ir pārpasaulīgi.

Gelfonda piedāvātais eksponenciālās funkcijas vērtību pārsnieguma pierādījums ir balstīts uz interpolācijas metožu izmantošanu.

Piemēri:

1) Balstoties uz Gelfonda teorēmu, ir iespējams pierādīt, piemēram, ka skaitlis ir pārpasaulīgs, jo, ja tas būtu algebriski iracionāls, tad, tā kā skaitlis 19 aiz Gelfonda teorēmas būtu pārpasaulīgs, kas nav patiesība.

2) Ļaujiet a Un b- neracionāli skaitļi. Vai var skaitli a b būt racionālam?

Protams, izmantojot Hilberta septīto uzdevumu, šo problēmu nav grūti atrisināt. Faktiski skaitlis ir pārpasaulīgs (jo tas ir algebrisks iracionāls skaitlis). Bet visi racionālie skaitļi ir algebriski, tāpēc iracionāli. Citā pusē,

Tātad, mēs vienkārši uzrādījām šos skaitļus: Tomēr šo problēmu var atrisināt bez atsauces uz Gelfonda rezultātu. Jūs varat pamatot šādi: apsveriet skaitli. Ja šis skaitlis ir racionāls, tad problēma ir atrisināta, piemēram a Un b atrasts. Ja tas ir neracionāli, tad ņemam, un.

Tātad, mēs uzrādījām divus skaitļu pārus a Un b, tā, ka viens no šiem pāriem atbilst izvirzītajam nosacījumam, bet viņš nezina, kurš no tiem. Bet nevajadzēja tādu pāri prezentēt! Tātad šis risinājums savā ziņā ir eksistences teorēma.

kas, ja a = 1, palīdzēja mums noteikt ģeometriskās progresijas summu. Pieņemot, ka Gausa teorēma ir pierādīta, pieņemsim, ka a = a 1 ir (17) vienādojuma sakne, lai

	) = a n + a		a n-1			a n-2		a 1 + a

Atņemot šo izteiksmi no f(x) un pārkārtojot terminus, mēs iegūstam identitāti

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Izmantojot formulu (20), mēs varam izolēt faktoru x − a 1 no katra termina un pēc tam izņemt to no iekavām, un iekavās paliekošā polinoma pakāpe kļūs par vienu mazāka. Atkal pārgrupējot terminus, mēs iegūstam identitāti

f(x) = (x − a1 )g(x),

kur g(x) ir n – 1 pakāpes polinoms:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Šeit mūs neinteresē ar b apzīmēto koeficientu aprēķināšana.) Tālāk piemērosim to pašu argumentāciju polinomam g(x). Saskaņā ar Gausa teorēmu vienādojumam g(x) = 0 ir sakne a2, tātad

g(x) = (x − a2 )h(x),

kur h(x) ir jauns polinoms ar pakāpi jau n − 2. Atkārtojot šos argumentus n − 1 reizi (protams, tas nozīmē matemātiskās indukcijas principa piemērošanu), mēs galu galā nonākam pie izvērsuma

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

No identitātes (22) izriet ne tikai tas, ka kompleksie skaitļi a1, a2,

An ir (17) vienādojuma saknes, bet arī šim vienādojumam (17) nav citu sakņu. Patiešām, ja skaitlis y būtu vienādojuma (17) sakne, tad no (22) tas izrietētu

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Bet mēs esam redzējuši (115. lpp.), ka komplekso skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tātad viens no faktoriem y − ar ir vienāds ar 0, t.i., y = ar, kas ir jānosaka.

§ 6.

1. Esības definīcija un jautājumi. Algebriskais skaitlis ir jebkurš skaitlis x, reāls vai iedomāts, kas apmierina kādu formas algebrisko vienādojumu

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6 = 0),

130 MATEMĀTISKĀ SKAITĻU SISTĒMA Ch. II

kur skaitļi ai ir veseli skaitļi. Tā, piemēram, skaitlis 2 ir algebrisks, jo tas apmierina vienādojumu

x2–2 = 0.

Tādā pašā veidā algebriskais skaitlis ir jebkura vienādojuma jebkura sakne ar trešās, ceturtās, piektās pakāpes veseliem skaitļiem neatkarīgi no tā, vai tas ir izteikts vai nav izteikts radikāļos. Algebriskā skaitļa jēdziens ir racionālā skaitļa jēdziena dabisks vispārinājums, kas atbilst īpašajam gadījumam n = 1.

Ne katrs reālais skaitlis ir algebrisks. Tas izriet no Kantora izteiktās teorēmas: visu algebrisko skaitļu kopa ir saskaitāma. Tā kā visu reālo skaitļu kopa ir nesaskaitāma, noteikti ir jābūt reāliem skaitļiem, kas nav algebriski.

Norādīsim vienu no algebrisko skaitļu kopas pārrēķināšanas metodēm. Katrs formas (1) vienādojums ir saistīts ar pozitīvu veselu skaitli

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

ko īsuma labad sauksim par vienādojuma “augstumu”. Katrai fiksētai n vērtībai ir tikai ierobežots skaits vienādojumu formā (1) ar augstumu h. Katram no šiem vienādojumiem ir ne vairāk kā n saknes. Tāpēc var būt tikai ierobežots algebrisko skaitļu skaits, ko ģenerē augstuma h vienādojumi; Līdz ar to visus algebriskos skaitļus var sakārtot secības veidā, vispirms uzskaitot tos, kas ģenerēti ar 1. augstuma vienādojumiem, pēc tam tos, kuru augstums ir 2 utt.

Šis pierādījums, ka algebrisko skaitļu kopa ir saskaitāma, nosaka reālu skaitļu esamību, kas nav algebriski. Tādus skaitļus sauc par pārpasaulīgiem (no latīņu valodas transcendere — pāriet, pārspēt); Eilers viņiem deva šo vārdu, jo viņi "pārsniedz algebrisko metožu spēku".

Kantora pierādījums par pārpasaulīgo skaitļu esamību nav konstruktīvs. Teorētiski runājot, būtu iespējams konstruēt pārpasaulīgu skaitli, izmantojot diagonālu procedūru, kas tiek veikta visu algebrisko skaitļu iedomātā decimālo paplašinājumu sarakstā; taču šādai procedūrai nav nekādas praktiskas nozīmes, un tā nenovestu pie skaitļa, kura izvēršanu decimāldaļā (vai kādā citā) daļskaitlī faktiski varētu ierakstīt. Interesantākās problēmas, kas saistītas ar pārpasaulīgajiem skaitļiem, ir saistītas ar pierādīšanu, ka noteikti, konkrēti skaitļi (tostarp skaitļi p un e, par kuriem sk. 319.–322. lpp.) ir pārpasaulīgi.

ALGEBRAISKIE UN TRANSCENDENTĀLIE SKAITĻI

**2. Liuvila teorēma un transcendentālo skaitļu konstruēšana. Pierādījumu pārpasaulīgo skaitļu esamībai jau pirms Kantora sniedza J. Liuvils (1809–1862). Tas ļauj faktiski izveidot šādu skaitļu piemērus. Liuvila pierādījums ir grūtāks nekā Kantoram, un tas nav pārsteidzoši, jo konstruēt piemēru, vispārīgi runājot, ir grūtāk nekā pierādīt esamību. Tālāk sniedzot Liuvila pierādījumu, mēs domājam tikai sagatavoto lasītāju, lai gan elementārās matemātikas zināšanas ir pilnīgi pietiekamas, lai saprastu pierādījumu.

Kā atklāja Liuvils, iracionāliem algebriskajiem skaitļiem ir tāda īpašība, ka tos nevar tuvināt ar racionāliem skaitļiem ar ļoti augstu precizitātes pakāpi, ja vien tuvināto daļskaitļu saucēji netiek uzskatīti par ārkārtīgi lieliem.

Pieņemsim, ka skaitlis z apmierina algebrisko vienādojumu ar veselu skaitļu koeficientiem

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0 (an 6 = 0),

bet neapmierina to pašu zemākas pakāpes vienādojumu. Tad

viņi saka, ka x pats par sevi ir n pakāpes algebrisks skaitlis. Piemēram,

skaitlis z = 2 ir 2. pakāpes algebrisks skaitlis, jo tas apmierina 2. pakāpes vienādojumu x2 − 2 = 0√, bet neapmierina pirmās pakāpes vienādojumu; skaitlis z = 3 2 ir 3. pakāpes, jo tas apmierina vienādojumu x3 − 2 = 0, bet neapmierina (kā mēs parādīsim III nodaļā) zemākas pakāpes vienādojumu. Pakāpju algebriskais skaitlis n > 1

nevar būt racionāls, jo racionālais skaitlis z = p q apmierina

apmierina 1. pakāpes vienādojumu qx − p = 0. Katru iracionālo skaitli z var tuvināt ar jebkuru precizitātes pakāpi, izmantojot racionālo skaitli; tas nozīmē, ka jūs vienmēr varat norādīt racionālu skaitļu secību

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

ar neierobežoti augošiem saucējiem, kam ir savs

ka

p r → z. qr

Liuvila teorēma nosaka: lai kāds būtu algebriskais skaitlis z ar pakāpi n > 1, to nevar tuvināt ar racionalizāciju.

Pietiekami lieliem saucējiem nevienlīdzība noteikti ir spēkā

z − p q			> q n1 +1 .

MATEMĀTISKĀ SKAITĻU SISTĒMA

Mēs sniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet vispirms parādīsim, kā to var izmantot, lai konstruētu pārpasaulīgos skaitļus. Apsveriet skaitli

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

kur ai apzīmē patvaļīgus skaitļus no 1 līdz 9 (vienkāršākais veids būtu iestatīt visus ai vienādus ar 1), un simbols n!, kā parasti (skat. 36. lpp.), apzīmē 1 · 2 · . . . · n. Šāda skaitļa decimālās izplešanās raksturīga īpašība ir tāda, ka nulles, kuru garums strauji palielinās, tajā mijas ar atsevišķiem cipariem, kas nav nulles. Apzīmēsim ar zm pēdējo decimālo daļu, kas iegūta, kad izvērsumā ņemam visus vārdus līdz am · 10−m! ieskaitot. Tad mēs iegūstam nevienlīdzību

Pieņemsim, ka z ir n pakāpes algebriskais skaitlis. Tad Liuvila nevienādībā (3) pieņemot, ka p q = zm = 10 p m! , mums ir jābūt

|z − zm | > 10 (n+1)m!

pietiekami lielām m vērtībām. Salīdzinot pēdējo nevienādību ar nevienādību (4), iegūst

10 (n+1) m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!−1

kas nozīmē (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 pietiekami lielam m. Bet tas neattiecas uz vērtībām, kas ir lielākas par n (lai lasītājs papūlas sniegt detalizētu šī apgalvojuma pierādījumu). Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Tātad skaitlis z ir pārpasaulīgs.

Atliek pierādīt Liuvila teorēmu. Pieņemsim, ka z ir algebriskais skaitlis ar pakāpi n > 1, kas apmierina (1) vienādojumu, lai

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

Abas puses dalot ar zm − z un izmantojot algebrisko formulu

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

mēs iegūstam:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6)

ALGEBRAISKIE UN TRANSCENDENTĀLIE SKAITĻI

Tā kā zm ir tendence uz z, tad pietiekami lielam m racionālais skaitlis zm atšķirsies no z mazāk par vienu. Tāpēc pietiekami lielam m var veikt šādu aptuvenu aprēķinu:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Turklāt skaitlis M labajā pusē ir nemainīgs, jo z pierādīšanas laikā nemainās. Ļaujiet mums tagad izvēlēties m tik lielu, ka

daļai z m = p m ir saucējs q m bija lielāks par M; Tad kv.m

|z − zm | >	|f(zm)|			|f(zm)|

|f(zm)| =							−q n
							1 p + . . . + a
Racionālais skaitlis zm =			nevar būt vienādojuma sakne

kopš tā laika būtu iespējams izolēt faktoru (x − zm) no polinoma f(x), un tāpēc z atbilstu pakāpes vienādojumam, kas ir zemāks par n. Tātad, f(zm) 6= 0. Bet skaitītājs vienādības (9) labajā pusē ir vesels skaitlis, un tāpēc absolūtā vērtībā tas ir vismaz vienāds ar vienu. Tādējādi no (8) un (9) attiecību salīdzinājuma izriet, ka

|z − zm | >
					qn+1

precīzi norādītās teorēmas saturs.

Pēdējo desmitgažu laikā pētījumi par iespēju tuvināt algebriskos skaitļus ar racionāliem skaitļiem ir kļuvuši daudz tālāk. Piemēram, norvēģu matemātiķis A. Thue (1863–1922) atklāja, ka Liuvila nevienādībā (3) eksponentu n + 1 var aizstāt ar mazāku eksponentu n 2 + 1.

K. L. Zīgels parādīja, ka ir iespējams paņemt vēl mazāku (vēl mazāku

lielākam n) rādītājs ir 2 n.

Transcendentālie skaitļi vienmēr ir bijusi tēma, kas ir piesaistījusi matemātiķu uzmanību. Taču vēl salīdzinoši nesen starp tiem skaitļiem, kas paši par sevi ir interesanti, bija zināms ļoti maz, kuru pārpasaulīgais raksturs bija nodibināts. (No skaitļa p transcendences, kas tiks apspriesta III nodaļā, izriet, ka apli nav iespējams kvadrātēt, izmantojot lineālu un kompasu.) Savā runā Parīzes Starptautiskajā matemātikas kongresā 1900. gadā Deivids Hilberts ierosināja trīsdesmit matemātikas

KOPU ALGEBRA

problēmas, kas ļāva formulēt vienkāršu, dažas pat diezgan elementāras un populāras, no kurām neviena nebija ne tikai atrisināta, bet pat nešķita atrisināma ar tā laikmeta matemātikas līdzekļiem. Šīm "Hilberta problēmām" bija spēcīga stimulējoša ietekme visā turpmākajā matemātikas attīstības periodā. Gandrīz visi no tiem tika pakāpeniski atrisināti, un daudzos gadījumos to risinājums bija saistīts ar skaidri izteiktiem panākumiem vispārīgāku un dziļāku metožu izstrādes nozīmē. Viena no problēmām, kas šķita diezgan bezcerīga, bija

pierādījums tam, ka numurs

ir pārpasaulīgs (vai vismaz iracionāls). Trīs gadu desmitus nevienam nebija pat mājiena par šādu pieeju jautājumam, kas pavērtu cerības uz panākumiem. Visbeidzot Zīgels un neatkarīgi no viņa jaunais krievu matemātiķis A. Gelfonds atklāja jaunas metodes, kā pierādīt daudzu transcendenci.

skaitļi, kuriem ir nozīme matemātikā. Jo īpaši tas tika izveidots

ne tikai Hilberta skaitļa 2 2, bet arī visas diezgan plašās formas ab skaitļu klases transcendence, kur a ir algebriskais skaitlis, kas atšķiras no 0 un 1, un b ir iracionāls algebriskais skaitlis.

II NODAĻAS PAPILDINĀJUMS

Kopu algebra

1. Vispārīgā teorija. Klases, kolekcijas vai objektu kopas jēdziens ir viens no vissvarīgākajiem matemātikā. Kopu definē kāda īpašība ("atribūts") A, kurai vai nu ir jābūt vai nav katrā konkrētajā objektā; tie objekti, kuriem ir īpašība A, veido kopu A. Tātad, ja mēs uzskatām veselus skaitļus un A īpašība ir "būt pirmskaitļiem", tad atbilstošā kopa A sastāv no visiem pirmskaitļiem 2, 3, 5, 7, . . .

Matemātiskās kopu teorijas pamatā ir fakts, ka jaunas kopas var izveidot no kopām, izmantojot noteiktas darbības (tāpat kā no skaitļiem tiek iegūti jauni skaitļi, veicot saskaitīšanas un reizināšanas darbības). Kopu darbību izpēte ir “kopu algebras” priekšmets, kam ir daudz kopīga ar parasto skaitlisko algebru, kaut arī tā savā ziņā atšķiras no tās. To, ka algebriskās metodes var pielietot neskaitlisku objektu, piemēram, kopu, pētīšanai, ilustrē

KOPU ALGEBRA

rada lielāku ideju kopību mūsdienu matemātikā. Pēdējā laikā ir kļuvis skaidrs, ka kopu algebra rada jaunu gaismu daudzās matemātikas jomās, piemēram, mērījumu teorijā un varbūtību teorijā; tas noder arī matemātisko jēdzienu sistematizēšanai un to loģisko saistību noskaidrošanai.

Turpinājumā es apzīmēšu noteiktu konstantu objektu kopu, kuras būtība ir vienaldzīga un ko mēs varam saukt par universālo kopu (vai spriešanas Visumu), un

A, B, C, . . . būs dažas I apakškopas. Ja I ir visu naturālo skaitļu kopa, tad A, teiksim, var apzīmēt visu pāra skaitļu kopu, B visu nepāra skaitļu kopu, C visu pirmskaitļu kopu utt. Ja I apzīmē kopu visus plaknes punktus, tad A var būt punktu kopa kāda apļa iekšpusē, B var būt punktu kopa cita apļa iekšpusē utt. Mums ir ērti iekļaut gan pašu I, gan " tukšs” kopa, kurā nav neviena elementa. Šāda mākslīga paplašinājuma mērķis ir saglabāt pozīciju, ka katrai īpašībai A atbilst noteikta elementu kopa no I, kam ir šī īpašība. Ja A ir universāli derīga īpašība, kuras piemērs (skaitļu gadījumā) ir triviālās vienādības x = x apmierināšanas īpašība, tad atbilstošā I apakškopa būs pati I, jo katram elementam ir šāda īpašība; no otras puses, ja A ir kaut kāda iekšēji pretrunīga īpašība (piemēram, x 6 = x), tad attiecīgajā apakškopā vispār nav elementu, tā ir “tukša” un tiek apzīmēta ar simbolu.

Viņi saka, ka kopa A ir kopas B apakškopa, īsi sakot, “A atrodas B” vai “B satur A”, ja kopā A nav neviena elementa, kas nav arī kopā B. sakarība atbilst apzīmējumam

A B vai B A.

Piemēram, visu ar 10 dalāmo veselo skaitļu kopa A ir visu ar 5 dalāmo veselo skaitļu kopas B apakškopa, jo katrs skaitlis, kas dalās ar 10, dalās arī ar 5. Attiecība A B neizslēdz relāciju B A. Ja tad gan šis, gan tas

Tas nozīmē, ka katrs A elements ir arī B elements un otrādi, tātad kopās A un B ir tieši tādi paši elementi.

Attiecība A B starp kopām daudzējādā ziņā atgādina attiecību a 6 b starp skaitļiem. Jo īpaši mēs atzīmējam sekojošo

KOPU ALGEBRA

šādas šīs attiecības īpašības:

1) A.

2) Ja A B un B A, tad A = B.

3) Ja A B un B C, tad A C.

Šī iemesla dēļ A B relāciju dažreiz sauc par "kārtības attiecību". Galvenā atšķirība starp aplūkojamo relāciju un attiecību a 6 b starp skaitļiem ir tāda, ka starp jebkuriem diviem dotajiem (reāliem) skaitļiem a un b vismaz viena no attiecībām a 6 b vai b 6 a noteikti ir izpildīta, turpretim attiecībā A B starp kopām līdzīgs apgalvojums ir nepatiess. Piemēram, ja A ir kopa, kas sastāv no skaitļiem 1, 2, 3,

un B ir kopa, kas sastāv no skaitļiem 2, 3, 4,

tad nepastāv ne relācija A B, ne relācija B A. Šī iemesla dēļ viņi saka, ka apakškopas A, B, C, . . . kopas I ir “daļēji sakārtotas”, savukārt reālie skaitļi a, b, c, . . .

veido “pilnīgi pasūtītu” komplektu.

Starp citu, ņemiet vērā, ka no attiecības A B definīcijas izriet, ka neatkarīgi no kopas I apakškopas A,

Īpašums 4) var šķist nedaudz paradoksāls, bet, ja tā padomā, tas loģiski stingri atbilst precīzai zīmes definīcijas nozīmei. Faktiski attiecības A tiktu tikai pārkāptas

V ja tukšā kopa saturētu elementu, kas nebūtu ietverts A; bet tā kā tukšā kopa vispār nesatur elementus, tas nevar būt neatkarīgi no tā, kas ir A.

Tagad mēs definēsim divas operācijas ar kopām, kurām formāli ir daudz algebrisku skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašību, lai gan pēc iekšējā satura tās pilnīgi atšķiras no šīm aritmētiskajām operācijām. Ļaujiet A un B ir kādas divas kopas. Ar A un B savienojumu jeb “loģisko summu” tiek saprasta kopa, kas sastāv no elementiem, kas ietverti vai nu A, vai

V B (ieskaitot tos elementus, kas ietverti gan A, gan B). Šo komplektu apzīmē ar A + B. 1 Ar A un B "krustošanos" vai "loģisko reizinājumu" tiek saprasta kopa, kas sastāv no elementiem, kas ietverti gan A, gan B. Šo kopu apzīmē ar AB.2.

Starp operāciju A + B un AB svarīgajām algebriskajām īpašībām mēs uzskaitām sekojošo. Lasītājs varēs pārbaudīt to derīgumu, pamatojoties uz pašu darbību definīciju:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B) (A + C).
	Attiecība A B ir līdzvērtīga katrai no abām attiecībām

Visu šo likumu pārbaude ir elementārākās loģikas jautājums. Piemēram, 10. noteikums nosaka, ka elementu kopa, kas ietverta vai nu A, vai A, ir tieši kopa A; 12. noteikums nosaka, ka to elementu kopa, kas ir ietverti A un tajā pašā laikā atrodas B vai C, sakrīt ar elementu kopu, kas vienlaikus ir ietverta A un B, vai vienlaikus ietverta A un C. Šāda veida noteikumu pierādīšanā izmantotā loģiskā argumentācija ir ērti ilustrēta, ja vienojamies attēlot kopas A, B, C, . . . dažu figūru veidā plaknē, un mēs būsim ļoti uzmanīgi, lai nepalaistu garām nevienu no loģiskajām iespējām, kas rodas, ja runa ir par divu kopu kopīgu elementu klātbūtni vai, gluži otrādi, par tādu elementu klātbūtni vienā komplektā, kas ir nav ietverts citā.

KOPU ALGEBRA

Lasītājs neapšaubāmi vērsa uzmanību uz to, ka likumi 6), 7), 8), 9) un 12) ir ārēji identiski labi zināmajiem parastās algebras komutatīvajiem, asociatīvajiem un sadales likumiem. No tā izriet, ka visi parastās algebras noteikumi, kas izriet no šiem likumiem, ir spēkā arī kopas algebrā. Turpretim likumiem 10), 11) un 13) nav analogu parastajā algebrā, un tie piešķir kopas algebrai vienkāršāku struktūru. Piemēram, kopas algebras binominālā formula reducējas līdz vienkāršākajai vienādībai

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

kas izriet no 11. likuma). 14), 15) un 17) likumi saka, ka kopu un I īpašības attiecībā uz kopu savienošanas un krustošanās operācijām ir ļoti līdzīgas skaitļu 0 un 1 īpašībām attiecībā uz skaitlisko saskaitīšanas un saskaitīšanas darbību darbībām. reizināšana. Bet likumam 16) nav analoga skaitliskajā algebrā.

Atliek definēt vēl vienu darbību kopas algebrā. Lai A ir kāda universālās kopas I apakškopa. Tad A papildinājums I tiek saprasts kā visu I elementu kopa, kas neietilpst A. Šai kopai mēs ieviešam apzīmējumu A0. Tātad, ja I ir visu naturālo skaitļu kopa un A ir visu pirmskaitļu kopa, tad A0 ir kopa, kas sastāv no visiem saliktajiem skaitļiem un skaitļa 1. Operācija pārejot no A uz A0, kurai ir nav analoga parastajā algebrā, ir šādas īpašības:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = I.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) A B attiecība ir līdzvērtīga B attiecībai 0 A0.

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Mēs atkal atstājam šo īpašību pārbaudi lasītāja ziņā.

Likumi 1)–26) ir kopu algebras pamatā. Viņiem ir ievērojama “dualitātes” īpašība šādā nozīmē:

Ja kādā no 1)–26) likumiem aizstājam atbilstošo

(katrā to rašanās gadījumā), tad rezultāts atkal ir viens no tiem pašiem likumiem. Piemēram, likums 6) pāriet uz likumu 7), 12) uz 13), 17) uz 16) utt. No tā izriet, ka katra teorēma, ko var atvasināt no 1)–26) likumiem, atbilst citam , tās “duālim”. teorēma, kas iegūta no pirmās, izmantojot norādītās simbolu permutācijas. Patiesībā, kopš pierādījuma

Ch. II KOPU ALGEBRA 139

pirmā teorēma sastāv no dažu 1.–26. likumu secīgas piemērošanas (dažādās argumentācijas stadijās), tad pielietojums attiecīgajos “duālo” likumu posmos būs “duālās” teorēmas pierādījums. (Par līdzīgu “dualitāti” ģeometrijā skatīt IV nodaļā.)

2. Pielietojums matemātiskajai loģikai. Kopu algebras likumu pārbaude balstījās uz sakarības A B un operāciju A + B, AB un A0 loģiskās nozīmes analīzi. Tagad mēs varam mainīt šo procesu un uzskatīt likumus 1)–26) par pamatu "loģikas algebrai". Teiksim precīzāk: to loģikas daļu, kas attiecas uz kopām vai, kas būtībā ir vienāda, aplūkojamo objektu īpašībām, var reducēt uz formālu algebrisku sistēmu, kuras pamatā ir likumi 1)–26). Loģiskais “parastais visums” definē kopu I; katra īpašība A definē kopu A, kas sastāv no tiem I objektiem, kuriem ir šī īpašība. Noteikumi parastās loģiskās terminoloģijas tulkošanai kopu valodā ir skaidri no

šādi piemēri:
"Ne A, ne B"			(A + B)0 vai, kas ir tas pats, A0 B0
"Tā nav taisnība, ka gan A, gan B"			(AB)0 vai, kas ir tas pats, A0 + B0
ir B", vai
"Ja A, tad B"
"No A seko B"
"Daži A ir B"
"Nē A nav B"			AB =
"Daži A nav B"			AB0 6=
"Nav A"

Runājot par kopas algebru, "Barbara" siloģisms, kas norāda, ka "ja katrs A ir B un katrs B ir C, tad katrs A ir C", ir vienkārša forma:

3) Ja A B un B C, tad A C.

Līdzīgi "pretrunu likums", kas nosaka, ka "objektam vienlaikus nevar būt un nepiemīt īpašums", tiek rakstīts šādi:

20) AA 0 = ,

A "Izslēgtā vidus likums", kas saka, ka "objektam vai nu ir jābūt vai nav jābūt kādam īpašumam", ir rakstīts:

19) A + A 0 = I.

KOPU ALGEBRA

Tādējādi to loģikas daļu, kas ir izteikta ar simboliem +, · un 0, var uzskatīt par formālu algebrisku sistēmu, ievērojot likumus 1)–26). Pamatojoties uz matemātikas loģiskās analīzes un loģikas matemātiskās analīzes saplūšanu, tika izveidota jauna disciplīna - matemātiskā loģika, kas šobrīd atrodas straujas attīstības procesā.

No aksiomātiskā viedokļa ir vērts pievērst uzmanību ievērojamajam faktam, ka apgalvojumi 1)–26) kopā ar visām pārējām kopas algebras teorēmām ir loģiski izsecināmi no šādām trim vienādībām:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

No tā izriet, ka kopas algebru var konstruēt kā tīri deduktīvu teoriju, piemēram, Eiklīda ģeometriju, pamatojoties uz šiem trim noteikumiem, kas pieņemti kā aksiomas. Ja šīs aksiomas tiek pieņemtas, operācija AB un sakarība A B tiek definētas A + B un A0 izteiksmē:

	apzīmē kopu (A0 + B0 )0,
	B apzīmē, ka A + B = B.

Pilnīgi cita veida matemātiskās sistēmas piemērs, kurā ir izpildīti visi kopas algebras formālie likumi, ir astoņu skaitļu sistēma 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: šeit a + b apzīmē , saskaņā ar

definīcija, a un b kopējais mazākais daudzkārtnis, ab ir a un b lielākais kopīgais dalītājs, a b ir apgalvojums “b dala ar a” un a0 ir skaitlis 30 a. Su-

Šādu piemēru esamība noveda pie vispārīgu algebrisko sistēmu izpētes, kas atbilst 27. gada likumiem). Šādas sistēmas sauc par "Būla algebrām" pēc Džordža Būla (1815–1864), angļu matemātiķa un loģiķa, kura grāmata An Investigation of the Laws of Thought parādījās 1854. gadā.

3. Viens no pielietojumiem varbūtību teorijā. Kopas algebra ir cieši saistīta ar varbūtību teoriju un ļauj mums paskatīties uz to jaunā gaismā. Apskatīsim vienkāršāko piemēru: iedomājieties eksperimentu ar ierobežotu skaitu iespējamo rezultātu, kas visi tiek uzskatīti par “vienādi iespējamiem”. Eksperimentā var, piemēram, nejauši izvilkt kārti no labi sajaukta pilna klāja. Ja mēs apzīmējam visu eksperimenta rezultātu kopu ar I un A apzīmē kādu I apakškopu, tad varbūtība, ka eksperimenta rezultāts piederēs apakškopai A, tiek definēta kā attiecība.

p(A) = A elementu skaits. elementu skaits I

KOPU ALGEBRA

Ja piekrītam elementu skaitu kādā kopā A apzīmēt ar n(A), tad pēdējai vienādībai var dot formu

Mūsu piemērā, pieņemot, ka A ir klubu apakškopa, mēs iegūstam
kur n(A) = 13, n(I) = 52 un p(A) =

Kopu algebras idejas atklājas, aprēķinot varbūtības, kad, zinot dažu kopu varbūtības, ir jāaprēķina citu kopu varbūtības. Piemēram, zinot varbūtības p(A), p(B) un p(AB), var aprēķināt varbūtību p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

To pierādīt nebūs grūti. Mums ir

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

jo elementi, kas vienlaikus atrodas A un B, t.i., elementi AB, tiek skaitīti divreiz, aprēķinot summu n(A) + n(B), un tāpēc, lai aprēķinātu, no šīs summas ir jāatņem n(AB) n(A + B) tika izveidots pareizi. Tad sadalot abas vienādības puses ar n(I), iegūstam sakarību (2).

Interesantāku formulu iegūst, ja runājam par trim kopām A, B, C no I. Izmantojot sakarību (2), iegūstam

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Likums (12) no iepriekšējās rindkopas dod mums (A + B)C = AC + BC. Tas nozīmē:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Aizvietojot vērtību p[(A + B)C] un vērtību p(A + B), kas ņemta no (2) iepriekš iegūtajā attiecībā, mēs nonākam pie mums nepieciešamās formulas:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Kā piemēru apsveriet šādu eksperimentu. Trīs skaitļi 1, 2, 3 ir uzrakstīti jebkurā secībā. Kāda ir varbūtība, ka vismaz viens no cipariem būs pareizajā (numerācijas ziņā) vietā? Lai A ir to permutāciju kopa, kurā skaitlis 1 ir pirmajā vietā, B permutāciju kopa, kurā skaitlis 2 ir otrajā vietā, C permutāciju kopa, kurā skaitlis 3 atrodas trešajā vietā. Mums jāaprēķina p(A + B + C). Tas ir skaidrs

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

patiešām, ja kāds cipars atrodas pareizajā vietā, tad ir divas iespējas pārkārtot atlikušos divus ciparus no kopējā skaita 3 · 2 · 1 = 6 iespējamās trīs ciparu permutācijas. Tālāk,

Vingrinājums. Atvasiniet atbilstošo formulu p(A + B + C + D) un pielietojiet to eksperimentam, kurā ir 4 cipari. Atbilstošā varbūtība ir 5 8 = 0,6250.

Vispārējā formula n kopu apvienošanai ir

p(A1 + A2 + . . + An ) =
	p(Ai) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... An), (4)
kur ir varoņi				apzīmē visu iespējamo summēšanu

kombinācijas, kas satur vienu, divus, trīs, . . . , (n − 1) burti no A1 , A2 , . . .

An. Šo formulu var noteikt ar matemātisko indukciju – tādā pašā veidā, kā formula (3) tika iegūta no formulas (2).

No formulas (4) varam secināt, ka, ja n cipari ir 1, 2, 3, . . . , n raksta jebkurā secībā, tad varbūtība, ka vismaz viens no cipariem būs pareizajā vietā, ir vienāda ar

pn = 1 −

un pirms pēdējā vārda ir + vai − zīme atkarībā no tā, vai n ir pāra vai nepāra. Konkrēti, n = 5 šī varbūtība ir vienāda ar

p5 = 1–2! + 3! – 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

VIII nodaļā mēs redzēsim, ka, n tuvojoties bezgalībai, izteiksme

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! − . . . ±n!

tiecas līdz robežai 1 e, kuras vērtība līdz piecām zīmēm aiz komata,

vienāds ar 0,36788. Tā kā no formulas (5) ir skaidrs, ka pn = 1 − Sn, no tā izriet, ka kā n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.