cipari trigonometriskā formā.

De Moivre formula

Pieņemsim, ka z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) un z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir ērti lietojama, lai veiktu reizināšanas, dalīšanas, paaugstināšanas līdz veselam pakāpēm un n pakāpes saknes izņemšanu.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Reizinot divus kompleksos skaitļus trigonometriskā formā to moduļi tiek reizināti un to argumenti tiek pievienoti. Sadalot to moduļi ir sadalīti un to argumenti atņemti.

Kompleksā skaitļa reizināšanas noteikuma sekas ir noteikums kompleksā skaitļa paaugstināšanai pakāpē.

z = r(cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Šo attiecību sauc De Moivre formula.

Piemērs 8.1 Atrodiet reizinājumu un skaitļu daļu:

Un

Risinājums

z1∙z2
∙

=

;

Piemērs 8.2 Uzrakstiet skaitli trigonometriskā formā

∙
-i) 7.

Risinājums

Apzīmē
un z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Kompleksā skaitļa saknes izvilkšana

Definīcija. saknenkompleksa skaitļa pakāpe z (apzīmē
) ir tāds komplekss skaitlis, ka w n = z. Ja z = 0, tad
= 0.

Pieņemsim, ka z  0, z = r(cos + isin). Apzīmē w = (cos + sin), tad rakstām vienādojumu w n = z šādā formā

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Tādējādi  n = r,

 =

Tādējādi w k =
·
.

Starp šīm vērtībām ir tieši n atšķirīgas vērtības.

Tāpēc k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Sarežģītajā plaknē šie punkti ir regulāra n-stūra virsotnes, kas ierakstītas aplī ar rādiusu
centrēts punktā O (12. attēls).

12. attēls

Piemērs 9.1 Atrodiet visas vērtības
.

Risinājums.

Attēlosim šo skaitli trigonometriskā formā. Atrodiet tā moduli un argumentu.

w k =
, kur k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Sarežģītajā plaknē šie punkti ir kvadrāta virsotnes, kas ierakstītas aplī ar rādiusu
centrēts izcelsmē (13. attēls).

13. attēls 14. attēls

Piemērs 9.2 Atrodiet visas vērtības
.

Risinājums.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, kur k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Sarežģītajā plaknē šie punkti ir regulāra sešstūra virsotnes, kas ierakstītas aplī ar rādiusu 2 un kura centrs ir punktā O (0; 0) - 14. attēls.

10. § Kompleksā skaitļa eksponenciālā forma.

Eilera formula

Apzīmē
= cos  + isin  un
= cos  - isin  . Šīs attiecības sauc Eilera formulas .

Funkcija
ir eksponenciālas funkcijas parastās īpašības:

Komplekso skaitli z rakstīsim trigonometriskā formā z = r(cos + isin).

Izmantojot Eilera formulu, mēs varam rakstīt:

z = r
.

Šo ierakstu sauc indikatīvā forma kompleksais skaitlis. Izmantojot to, mēs iegūstam reizināšanas, dalīšanas, kāpināšanas un sakņu ekstrakcijas noteikumus.

Ja z 1 = r 1
un z 2 = r 2
?Tas

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, kur k = 0, 1, … , n – 1.

Piemērs 10.1 Uzrakstiet skaitli algebriskā formā

z=
.

Risinājums.

Piemērs 10.2 Atrisiniet vienādojumu z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Risinājums.

Jebkuriem kompleksiem koeficientiem šim vienādojumam ir divas saknes z 1 un z 1 (iespējams, sakrīt). Šīs saknes var atrast, izmantojot to pašu formulu kā reālajā gadījumā. Jo
iegūst divas vērtības, kas atšķiras tikai pēc zīmes, tad šai formulai ir šāda forma:

Tā kā –9 \u003d 9 e  i, tad vērtības
cipari būs:

Tad
Un
.

Risinājums.

Vēlamās vienādojuma saknes būs vērtības
.

Ja z = –1 mums ir r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Vingrinājumi

9 Parādiet eksponenciālā formā skaitļus:

10 Ierakstiet skaitļa eksponenciālā un algebriskā formā:

11 Pierakstiet skaitļus algebriskā un ģeometriskā formā:

12 Dotie skaitļi

Uzrādot tos eksponenciālā formā, atrodiet
.

13 Izmantojot kompleksā skaitļa eksponenciālo formu, rīkojieties šādi:

A)
b)

V)
G)

Ar un naturālais skaitlis n 2 .

Komplekss skaitlis Z sauca saknen– c, Ja Z n = c.

Atrodiet visas saknes vērtības n– pakāpe no kompleksā skaitļa Ar. Ļaujiet c=| c|·(cos Arg c+ i· grēks Argar), A Z = | Z|·(aros Arg Z + i· grēks Arg Z) , Kur Z sakne n- pakāpe no kompleksā skaitļa Ar. Tad tam jābūt = c = | c|·(cos Arg c+ i· grēks Argar). No tā izriet, ka
Un n· Arg Z = ArgAr
Arg Z =
(k=0,1,…) . Tāpēc Z =
(cos
+ i· grēks
), (k=0,1,…) . Ir viegli redzēt, ka kāda no vērtībām
, (k=0,1,…) atšķiras no vienas no atbilstošajām vērtībām
,(k = 0,1,…, n-1) uz daudzkārtni 2π. Tāpēc , (k = 0,1,…, n-1) .

Piemērs.

Aprēķināt sakni no (-1).

, acīmredzot |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· grēks π )

, (k = 0, 1).

= i

Pakāpe ar patvaļīgu racionālo eksponentu

Ņemiet patvaļīgu komplekso skaitli Ar. Ja n naturālais skaitlis, tad Ar n = | c| n · (Aros nArgar +i· grēks nArgar)(6). Šī formula ir patiesa arī gadījumā n = 0 (c≠0)
. Ļaujiet n < 0 Un n Z Un c ≠ 0, Tad

Ar n =
(cos nArgAr+i sin nArgAr) = (cos nArgAr+ i sin nArgAr) . Tādējādi formula (6) ir derīga jebkurai n.

Ņemsim racionālu skaitli , Kur q naturālais skaitlis un R ir vesels skaitlis.

Tad zem grāds c r sapratīsim numuru
.

Mēs to saņemam ,

(k = 0, 1, …, q-1). Šīs vērtības q gabaliem, ja frakcija nav samazināta.

Lekcija №3 Komplekso skaitļu virknes robeža

Tiek izsaukta dabiskā argumenta kompleksa vērtība komplekso skaitļu secība un apzīmēts (Ar n ) vai Ar 1 , Ar 2 , ..., Ar n . Ar n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kompleksie skaitļi.

Ar 1 , Ar 2 , … - secības dalībnieki; Ar n - kopīgs biedrs

Komplekss skaitlis Ar = a+ b· i sauca komplekso skaitļu virknes robeža (c n ) , Kur Ar n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , kur par jebkuru

, tas visiem n > N nevienlīdzība
. Tiek izsaukta secība, kurai ir ierobežots ierobežojums saplūst secība.

Teorēma.

Lai kompleksu skaitļu secība (ar n ) (Ar n = a n + b n · i) saplūst ar skaitli ar = a+ b· i, ir nepieciešams un pietiekams vienlīdzībailim a n = a, lim b n = b.

Pierādījums.

Teorēmu pierādīsim, pamatojoties uz sekojošo acīmredzamo dubultnevienādību

, Kur Z = x + y· i (2)

Nepieciešamība.Ļaujiet lim(Ar n ) = ar. Ļaujiet mums parādīt, ka vienādības lim a n = a Un lim b n = b (3).

Acīmredzot (4)

Jo
, Kad n → ∞ , tad no nevienādības (4) kreisās puses izriet, ka
Un
, Kad n → ∞ . tāpēc vienādības (3) ir spēkā. Nepieciešamība ir pierādīta.

Atbilstība. Tagad ļaujiet vienādībām (3) pastāvēt. No vienlīdzības (3) izriet, ka
Un
, Kad n → ∞ , tāpēc nevienlīdzības labās puses (4) dēļ tā būs
, Kad n→∞ , Līdzekļi lim(Ar n )=s. Pietiekamība ir pierādīta.

Tātad jautājums par komplekso skaitļu virknes konverģenci ir līdzvērtīgs divu reālu skaitļu secību konverģencei, tāpēc visas reālo skaitļu secību robežu pamatīpašības attiecas uz komplekso skaitļu sekvencēm.

Piemēram, komplekso skaitļu sekvencēm ir derīgs Košī kritērijs: lai iegūtu komplekso skaitļu secību (ar n ) saplūst, ir nepieciešams un pietiekams, ka jebkurai

, ka jebkuramn, m > Nnevienlīdzība
.

Teorēma.

Ļaujiet komplekso skaitļu secībai (ar n ) Un (z n ) saplūst attiecīgi ar unz, tad vienlīdzībalim(Ar n z n ) = c z, lim(Ar n · z n ) = c· z. Ja tas ir droši zināmsznav vienāds ar 0, tad vienādība
.