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Instrução

Encontre o escopo da função. Por exemplo, a função sin(x) é definida em todo o intervalo de -∞ a +∞, e a função 1/x é definida de -∞ a +∞, exceto para o ponto x = 0.

Defina áreas de continuidade e pontos de interrupção. Normalmente, uma função é contínua no mesmo domínio em que é definida. Para detectar descontinuidades, você precisa calcular quando o argumento se aproxima de pontos isolados dentro do domínio de definição. Por exemplo, a função 1/x tende a infinito quando x→0+ e a menos infinito quando x→0-. Isso significa que no ponto x = 0 há uma descontinuidade do segundo tipo.
Se os limites no ponto de descontinuidade são finitos, mas não iguais, então esta é uma descontinuidade do primeiro tipo. Se forem iguais, então a função é considerada contínua, embora não seja definida em um ponto isolado.

Achar assíntotas verticais, Se eles são. Os cálculos do passo anterior irão ajudá-lo aqui, já que a assíntota vertical está quase sempre no ponto de descontinuidade do segundo tipo. No entanto, às vezes não são pontos individuais que são excluídos do domínio de definição, mas intervalos inteiros de pontos, e então as assíntotas verticais podem ser localizadas nas bordas desses intervalos.

Verifique se a função tem propriedades especiais: par, ímpar e periódico.
A função será par para qualquer x no domínio f(x) = f(-x). Por exemplo cos(x) e x^2 - funções pares.

A periodicidade é uma propriedade que diz que existe um certo número T chamado período, que para qualquer x f(x) = f(x + T). Por exemplo, todos os principais funções trigonométricas(seno, cosseno, tangente) - periódico.

Encontre pontos. Para isso, calcule a derivada de determinada função e encontre esses valores de x onde ele desaparece. Por exemplo, a função f(x) = x^3 + 9x^2 -15 tem uma derivada g(x) = 3x^2 + 18x que desaparece em x = 0 e x = -6.

Para determinar quais pontos extremos são máximos e quais são mínimos, trace a mudança nos sinais da derivada nos zeros encontrados. g(x) muda o sinal de mais em x = -6 e volta de menos para mais em x = 0. Portanto, a função f(x) tem um mínimo no primeiro ponto e um mínimo no segundo.

Assim, você também encontrou áreas de monotonicidade: f(x) aumenta monotonicamente no intervalo -∞;-6, diminui monotonicamente em -6;0 e aumenta novamente em 0;+∞.

Encontre a segunda derivada. Suas raízes mostrarão onde o gráfico de uma determinada função será convexo e onde será côncavo. Por exemplo, a segunda derivada da função f(x) será h(x) = 6x + 18. Ela desaparece em x = -3, mudando seu sinal de menos para mais. Portanto, o gráfico f (x) antes desse ponto será convexo, depois dele - côncavo, e esse ponto em si será um ponto de inflexão.

Uma função pode ter outras assíntotas, exceto verticais, mas somente se seu domínio de definição incluir . Para encontrá-los, calcule o limite de f(x) quando x→∞ ou x→-∞. Se for finito, então você encontrou a assíntota horizontal.

A assíntota oblíqua é uma linha reta da forma kx + b. Para encontrar k, calcule o limite de f(x)/x como x→∞. Para encontrar b - limite (f(x) – kx) com o mesmo x→∞.

Um de tarefas críticas cálculo diferencialé o desenvolvimento exemplos comuns estudos do comportamento das funções.

Se a função y \u003d f (x) for contínua no intervalo e sua derivada for positiva ou igual a 0 no intervalo (a, b), então y \u003d f (x) aumentará em (f "(x) 0). Se a função y \u003d f (x) for contínua no segmento , e sua derivada for negativa ou igual a 0 no intervalo (a,b), então y=f(x) diminuirá em (f"( x)0)

Os intervalos em que a função não diminui ou aumenta são chamados de intervalos de monotonicidade da função. A natureza da monotonicidade de uma função pode mudar apenas naqueles pontos de seu domínio de definição, em que o sinal da primeira derivada muda. Os pontos em que a primeira derivada de uma função desaparece ou quebra são chamados de pontos críticos.

Teorema 1 (1º condição suficiente a existência de um extremo).

Seja a função y=f(x) definida no ponto x 0 e seja uma vizinhança δ>0 tal que a função seja contínua no segmento , diferenciável no intervalo (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) e sua derivada preserva marca permanente em cada um desses intervalos. Então se em x 0 -δ, x 0) e (x 0, x 0 + δ) os sinais da derivada são diferentes, então x 0 é um ponto extremo, e se eles combinam, então x 0 não é um ponto extremo . Além disso, se, ao passar pelo ponto x0, a derivada muda de sinal de mais para menos (à esquerda de x 0, f "(x)> 0 é executado, então x 0 é o ponto de máximo; se a derivada muda de sinal de menos para mais (à direita de x 0 é executado por f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Os pontos de máximo e mínimo são chamados de pontos extremos da função, e os máximos e mínimos da função são chamados de seus valores extremos.

Teorema 2 (critério necessário para um extremo local).

Se a função y=f(x) tem um extremo na corrente x=x 0, então f'(x 0)=0 ou f'(x 0) não existe.
Nos pontos extremos de uma função diferenciável, a tangente ao seu gráfico é paralela ao eixo Ox.

Algoritmo para estudar uma função para um extremo:

1) Encontre a derivada da função.
2) Encontre pontos críticos, ou seja, pontos onde a função é contínua e a derivada é zero ou não existe.
3) Considere a vizinhança de cada um dos pontos e examine o sinal da derivada à esquerda e à direita deste ponto.
4) Determine as coordenadas dos pontos extremos, para este valor Pontos críticos conecte-se a esta função. Usando condições extremas suficientes, tire as conclusões apropriadas.

Exemplo 18. Investigue a função y=x 3 -9x 2 +24x

Solução.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando a derivada a zero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. Nesse caso, a derivada é definida em todos os lugares; portanto, além dos dois pontos encontrados, não há outros pontos críticos.
3) O sinal da derivada y "=3(x-2)(x-4) muda dependendo do intervalo conforme mostrado na Figura 1. Ao passar pelo ponto x=2, a derivada muda de sinal de mais para menos, e ao passar pelo ponto x=4 - de menos para mais.
4) No ponto x=2, a função tem um máximo y max =20, e no ponto x=4 - um mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condição suficiente para a existência de um extremo).

Seja f "(x 0) ef "" (x 0) existir no ponto x 0. Então se f "" (x 0)> 0, então x 0 é o ponto mínimo, e se f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

No segmento, a função y \u003d f (x) pode atingir o menor (pelo menos) ou o maior (no máximo) valor nos pontos críticos da função situada no intervalo (a; b) ou nas extremidades do segmento.

O algoritmo para encontrar os maiores e menores valores de uma função contínua y=f(x) no segmento:

1) Encontre f "(x).
2) Encontre os pontos em que f "(x) = 0 ou f" (x) - não existe e selecione deles aqueles que estão dentro do segmento.
3) Calcule o valor da função y \u003d f (x) nos pontos obtidos no parágrafo 2), bem como nas extremidades do segmento e escolha o maior e o menor deles: eles são, respectivamente, os maiores ( para o maior) e o menor (para o menor) valores de função no segmento .

Exemplo 19. Encontre o maior valor de uma função contínua y=x 3 -3x 2 -45+225 no segmento .

1) Temos y "=3x 2 -6x-45 no segmento
2) A derivada y" existe para todo x. Vamos encontrar os pontos onde y"=0; Nós temos:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calcule o valor da função nos pontos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Apenas o ponto x=5 pertence ao segmento. O maior dos valores encontrados da função é 225, e o menor é o número 50. Então, no max = 225, no max = 50.

Investigação de uma função na convexidade

A figura mostra os gráficos de duas funções. O primeiro deles é virado com uma protuberância para cima, o segundo - com uma protuberância para baixo.

A função y=f(x) é contínua em um segmento e diferenciável no intervalo (a;b), é chamada convexa para cima (para baixo) nesse segmento se, para axb, seu gráfico não for superior (não inferior) ao tangente desenhada em qualquer ponto M 0 (x 0 ;f(x 0)), onde axb.

Teorema 4. Seja a função y=f(x) uma segunda derivada em qualquer ponto interno x do segmento e contínua nas extremidades deste segmento. Então, se a desigualdade f""(x)0 é satisfeita no intervalo (a;b), então a função é convexa para baixo no segmento ; se a desigualdade f""(x)0 for satisfeita no intervalo (à;b), então a função é convexa para cima em .

Teorema 5. Se a função y \u003d f (x) tiver uma segunda derivada no intervalo (a; b) e se mudar de sinal ao passar pelo ponto x 0, então M (x 0 ; f (x 0)) é um ponto de inflexão.

Regra para encontrar pontos de inflexão:

1) Encontre pontos onde f""(x) não existe ou desaparece.
2) Examine o sinal f""(x) à esquerda e à direita de cada ponto encontrado no primeiro passo.
3) Com base no Teorema 4, tire uma conclusão.

Exemplo 20. Encontre pontos extremos e pontos de inflexão do gráfico da função y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Temos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 para x 1 =0, x 2 =1. A derivada, ao passar pelo ponto x=0, muda de sinal de menos para mais, e ao passar pelo ponto x=1, não muda de sinal. Isso significa que x=0 é o ponto mínimo (y min =12), e não há extremo no ponto x=1. A seguir, encontramos . A segunda derivada se anula nos pontos x 1 = 1, x 2 = 1/3. Os sinais da segunda derivada mudam da seguinte forma: Na reta (-∞;) temos f""(x)>0, no intervalo (;1) temos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Portanto, x= é o ponto de inflexão do gráfico da função (transição da convexidade para baixo para convexidade para cima) e x=1 também é um ponto de inflexão (transição da convexidade para cima para convexidade para baixo). Se x=, então y=; se, então x=1, y=13.

Um algoritmo para encontrar a assíntota de um grafo

I. Se y=f(x) como x → a , então x=a é uma assíntota vertical.
II. Se y=f(x) como x → ∞ ou x → -∞ então y=A é a assíntota horizontal.
III. Para encontrar a assíntota oblíqua, usamos o seguinte algoritmo:
1) Calcule. Se o limite existe e é igual a b, então y=b é a assíntota horizontal; se , então vá para a segunda etapa.
2) Calcule. Se esse limite não existir, então não há assíntota; se existir e for igual a k, então vá para a terceira etapa.
3) Calcule. Se esse limite não existir, então não há assíntota; se existir e for igual a b, então vá para a quarta etapa.
4) Escreva a equação da assíntota oblíqua y=kx+b.

Exemplo 21: Encontre uma assíntota para uma função

1)
2)
3)
4) A equação assíntota oblíqua tem a forma

O esquema do estudo da função e a construção de seu gráfico

I. Encontre o domínio da função.
II. Encontre os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados.
III. Encontre assíntotas.
4. Encontre pontos de possível extremo.
V. Encontre pontos críticos.
VI. Usando o desenho auxiliar, investigue o sinal da primeira e da segunda derivada. Determine as áreas de aumento e diminuição da função, encontre a direção da convexidade do gráfico, pontos extremos e pontos de inflexão.
VII. Construa um gráfico, levando em consideração o estudo realizado nos parágrafos 1-6.

Exemplo 22: Plote um gráfico de função de acordo com o esquema acima

Solução.
I. O domínio da função é o conjunto de todos os números reais, exceto x=1.
II. Como a equação x 2 +1=0 não tem raízes reais, então o gráfico da função não tem pontos de interseção com o eixo Ox, mas intercepta o eixo Oy no ponto (0; -1).
III. Esclareçamos a questão da existência de assíntotas. Investigamos o comportamento da função próximo ao ponto de descontinuidade x=1. Como y → ∞ para x → -∞, y → +∞ para x → 1+, então a reta x=1 é uma assíntota vertical do gráfico da função.
Se x → +∞(x → -∞), então y → +∞(y → -∞); portanto, o gráfico não tem uma assíntota horizontal. Além disso, da existência de limites

Resolvendo a equação x 2 -2x-1=0, obtemos dois pontos de um possível extremo:
x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2

V. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a segunda derivada:

Como f""(x) não desaparece, não há pontos críticos.
VI. Investigamos o sinal da primeira e segunda derivadas. Possíveis pontos extremos a serem considerados: x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2, dividir a área de existência da função em intervalos (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) e (1+√2;+∞).

Em cada um desses intervalos, a derivada mantém seu sinal: no primeiro - mais, no segundo - menos, no terceiro - mais. A sequência de sinais da primeira derivada será escrita da seguinte forma: +, -, +.
Obtemos que a função em (-∞;1-√2) aumenta, em (1-√2;1+√2) diminui e em (1+√2;+∞) aumenta novamente. Pontos extremos: máximo em x=1-√2, além disso f(1-√2)=2-2√2 mínimo em x=1+√2, além disso f(1+√2)=2+2√2. Em (-∞;1) o gráfico é convexo para cima, e em (1;+∞) - para baixo.
VII Vamos fazer uma tabela dos valores obtidos

VIII Com base nos dados obtidos, construímos um esboço do gráfico da função

Se a tarefa exigir estudo completo funções f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 com a construção de seu gráfico, consideraremos esse princípio em detalhes.

Para resolver um problema deste tipo, deve-se usar as propriedades e gráficos dos principais funções elementares. O algoritmo de pesquisa inclui as seguintes etapas:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Encontrando o domínio de definição

Como a pesquisa é realizada no domínio da função, é necessário começar com esta etapa.

Exemplo 1

Por dado exemplo envolve encontrar os zeros do denominador para excluí-los do DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, você pode obter raízes, logaritmos e assim por diante. Então a ODZ pode ser buscada pela raiz de um grau par do tipo g (x) 4 pela desigualdade g (x) ≥ 0 , para o logaritmo log a g (x) pela desigualdade g (x) > 0 .

Investigação dos limites da ODZ e encontrar assíntotas verticais

Existem assíntotas verticais nos limites da função, quando os limites laterais em tais pontos são infinitos.

Exemplo 2

Por exemplo, considere os pontos de fronteira iguais a x = ± 1 2 .

Então é necessário estudar a função para encontrar o limite unilateral. Então temos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = limite x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limite x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Isso mostra que os limites laterais são infinitos, o que significa que as linhas x = ± 1 2 são as assíntotas verticais do gráfico.

Investigação da função e para par ou ímpar

Quando a condição y (- x) = y (x) é satisfeita, a função é considerada par. Isso sugere que o gráfico está localizado simetricamente em relação a O y. Quando a condição y (- x) = - y (x) é satisfeita, a função é considerada ímpar. Isso significa que a simetria vai em relação à origem das coordenadas. Se pelo menos uma desigualdade falhar, obtemos uma função de forma geral.

O cumprimento da igualdade y (- x) = y (x) indica que a função é par. Ao construir, é necessário levar em conta que haverá simetria em relação a O y.

Para resolver a desigualdade, são usados ​​intervalos de aumento e diminuição com as condições f "(x) ≥ 0 ef" (x) ≤ 0, respectivamente.

Definição 1

Pontos estacionários são pontos que transformam a derivada em zero.

Pontos críticos são pontos interiores do domínio onde a derivada da função é igual a zero ou não existe.

Ao tomar uma decisão, os seguintes pontos devem ser levados em consideração:

• para os intervalos existentes de aumento e diminuição da desigualdade da forma f"(x) > 0, os pontos críticos não estão incluídos na solução;
• pontos nos quais a função é definida sem uma derivada finita devem ser incluídos nos intervalos de aumento e diminuição (por exemplo, y \u003d x 3, onde o ponto x \u003d 0 torna a função definida, a derivada tem o valor de infinito neste ponto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 é incluído no intervalo de aumento);
• para evitar divergências, recomenda-se o uso da literatura matemática, recomendada pelo Ministério da Educação.

A inclusão de pontos críticos nos intervalos crescentes e decrescentes caso satisfaçam o domínio da função.

Definição 2

Por determinando os intervalos de aumento e diminuição da função, é necessário encontrar:

• derivado;
• Pontos críticos;
• quebrar o domínio de definição com a ajuda de pontos críticos em intervalos;
• determine o sinal da derivada em cada um dos intervalos, onde + é um aumento e - é uma diminuição.

Exemplo 3

Encontre a derivada no domínio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solução

Para resolver você precisa:

• encontre pontos estacionários, este exemplo tem x = 0 ;
• encontre os zeros do denominador, o exemplo assume o valor zero em x = ± 1 2 .

Expomos pontos no eixo numérico para determinar a derivada em cada intervalo. Para fazer isso, basta pegar qualquer ponto do intervalo e fazer um cálculo. Se o resultado for positivo, desenhamos + no gráfico, o que significa um aumento na função e - significa sua diminuição.

Por exemplo, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, o que significa que o primeiro intervalo à esquerda tem um sinal +. Considere o número linha.

Responda:

• há um aumento da função no intervalo - ∞ ; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
• há uma diminuição no intervalo [ 0 ; 1 2) e 1 2 ; +∞ .

No diagrama, usando + e -, a positividade e a negatividade da função são representadas, e as setas indicam decrescente e crescente.

Os pontos extremos de uma função são os pontos onde a função é definida e através dos quais a derivada muda de sinal.

Exemplo 4

Se considerarmos um exemplo em que x \u003d 0, o valor da função nele é f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Quando o sinal da derivada muda de + para - e passa pelo ponto x \u003d 0, o ponto com coordenadas (0; 0) é considerado o ponto máximo. Quando o sinal é alterado de - para +, obtemos o ponto mínimo.

A convexidade e a concavidade são determinadas resolvendo as desigualdades da forma f "" (x) ≥ 0 ef "" (x) ≤ 0 . Com menos frequência, eles usam o nome protuberância para baixo em vez de concavidade e protuberância para cima em vez de protuberância.

Definição 3

Por determinando as lacunas de concavidade e convexidade necessário:

• encontre a segunda derivada;
• encontre os zeros da função da segunda derivada;
• quebrar o domínio de definição pelos pontos que aparecem em intervalos;
• determinar o sinal da lacuna.

Exemplo 5

Encontre a segunda derivada do domínio de definição.

Solução

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos os zeros do numerador e denominador, onde, usando nosso exemplo, temos que os zeros do denominador x = ± 1 2

Agora você precisa colocar pontos em eixo numérico e determine o sinal da segunda derivada de cada intervalo. Nós entendemos isso

Responda:

• a função é convexa do intervalo - 1 2 ; 12;
• a função é côncava das lacunas - ∞ ; - 1 2 e 1 2 ; +∞ .

Definição 4

ponto de inflexãoé um ponto da forma x 0 ; f(x0). Quando ela tem uma tangente ao gráfico da função, então quando ela passa por x 0, a função muda de sinal para o oposto.

Em outras palavras, este é um ponto pelo qual a segunda derivada passa e muda de sinal, e nos próprios pontos é igual a zero ou não existe. Todos os pontos são considerados domínio da função.

No exemplo, foi visto que não há pontos de inflexão, pois a segunda derivada muda de sinal ao passar pelos pontos x = ± 1 2 . Eles, por sua vez, não estão incluídos no domínio da definição.

Encontrar assíntotas horizontais e oblíquas

Ao definir uma função no infinito, deve-se procurar assíntotas horizontais e oblíquas.

Definição 5

Assíntotas oblíquas representado por linhas retas dado pela equação y = k x + b , onde k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para k = 0 e b não igual ao infinito, obtemos que assíntota oblíqua torna-se horizontal.

Em outras palavras, as assíntotas são as linhas que o gráfico da função se aproxima no infinito. Isso contribui para a construção rápida do gráfico da função.

Se não houver assíntotas, mas a função estiver definida em ambos os infinitos, é necessário calcular o limite da função nesses infinitos para entender como o gráfico da função se comportará.

Exemplo 6

Como exemplo, considere que

k = limite x → ∞ f (x) x = limite x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = limite x → ∞ (f (x) - k x) = limite x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

é assíntota horizontal. Depois de pesquisar a função, você pode começar a construí-la.

Calculando o valor de uma função em pontos intermediários

Para tornar a plotagem mais precisa, é recomendável encontrar vários valores da função em pontos intermediários.

Exemplo 7

A partir do exemplo que consideramos, é necessário encontrar os valores da função nos pontos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Como a função é par, conseguimos que os valores coincidam com os valores nesses pontos, ou seja, obtemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Vamos escrever e resolver:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar os máximos e mínimos de uma função, pontos de inflexão, pontos intermediáriosé necessário construir assíntotas. Para designação conveniente, os intervalos de aumento, diminuição, convexidade e concavidade são fixos. Considere a figura abaixo.

É necessário traçar linhas do gráfico através dos pontos marcados, o que permitirá que você se aproxime das assíntotas, seguindo as setas.

Isso conclui o estudo completo da função. Há casos de construção de algumas funções elementares para as quais são usadas transformações geométricas.

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Realize um estudo completo e trace um gráfico de função

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Escopo da função. Como a função é uma fração, você precisa encontrar os zeros do denominador.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excluímos o único ponto x=1x=1 da área de definição da função e obtemos:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Vamos estudar o comportamento da função na vizinhança do ponto de descontinuidade. Encontre limites laterais:

Como os limites são iguais ao infinito, o ponto x=1x=1 é uma descontinuidade do segundo tipo, a linha x=1x=1 é uma assíntota vertical.

3) Vamos determinar os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados.

Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo das ordenadas OyOy, para os quais igualamos x=0x=0:

Assim, o ponto de intersecção com o eixo OyOy tem coordenadas (0;8)(0;8).

Vamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo de abcissas OxOx, para os quais definimos y=0y=0:

A equação não tem raízes, portanto não há pontos de interseção com o eixo OxOx.

Observe que x2+8>0x2+8>0 para qualquer xx. Portanto, para x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) a função y>0y>0(toma valores positivos, o gráfico está acima do eixo x), para x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) a função y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) A função não é par nem ímpar porque:

5) Investigamos a função para periodicidade. A função não é periódica, pois é uma função racional fracionária.

6) Investigamos a função para extremos e monotonicidade. Para fazer isso, encontramos a primeira derivada da função:

Vamos igualar a primeira derivada a zero e encontrar os pontos estacionários (nos quais y′=0y′=0):

Temos três pontos críticos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Dividimos todo o domínio da função em intervalos por pontos dados e determinamos os sinais da derivada em cada intervalo:

Para x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) a derivada y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) a derivada y′>0y′>0, a função aumenta nesses intervalos.

Neste caso, x=−2x=−2 é um ponto de mínimo local (a função diminui e depois aumenta), x=4x=4 é um ponto de máximo local (a função aumenta e depois diminui).

Vamos encontrar os valores da função nestes pontos:

Assim, o ponto mínimo é (−2;4)(−2;4), o ponto máximo é (4;−8)(4;−8).

7) Examinamos a função para dobras e convexidade. Vamos encontrar a segunda derivada da função:

Iguale a segunda derivada a zero:

A equação resultante não tem raízes, portanto não há pontos de inflexão. Além disso, quando x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 é satisfeito, ou seja, a função é côncava quando x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigamos o comportamento da função no infinito, ou seja, em .

Como os limites são infinitos, não há assíntotas horizontais.

Vamos tentar determinar assíntotas oblíquas da forma y=kx+by=kx+b. Calculamos os valores de k,bk,b de acordo com as fórmulas conhecidas:

Descobrimos que a função tem uma assíntota oblíqua y=−x−1y=−x−1.

9) Pontos adicionais. Vamos calcular o valor da função em alguns outros pontos para construir um gráfico com mais precisão.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Com base nos dados obtidos, vamos construir um gráfico, suplementá-lo com as assíntotas x=1x=1 (azul), y=−x−1y=−x−1 (verde) e marcar os pontos característicos (a interseção com o eixo y é roxo, extremos são laranja, pontos adicionais são pretos):

Tarefa 4: Problemas geométricos e econômicos (não tenho ideia do que, aqui está uma seleção aproximada de problemas com solução e fórmulas)

Exemplo 3.23. uma

Solução. x e y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por este ponto. Para xa/4 S "> 0, e para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplo 3.24.

Solução.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplo 3.22. Encontre os extremos da função f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solução. Como f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), então os pontos críticos da função x 1 \u003d 2 e x 2 \u003d 3. Pontos extremos podem estar apenas nesses pontos. Assim, ao passar pelo ponto x 1 \u003d 2, a derivada muda de sinal de mais para menos, então neste ponto a função tem um máximo. Ao passar pelo ponto x 2 \u003d 3, o derivada muda o sinal de menos para mais, portanto, no ponto x 2 \u003d 3, a função tem um mínimo. Calculando os valores da função em pontos
x 1 = 2 e x 2 = 3, encontramos os extremos da função: máximo f(2) = 14 e mínimo f(3) = 13.

Exemplo 3.23.É necessário construir uma área retangular perto do muro de pedra para que seja cercado com tela de arame em três lados e contíguo ao muro no quarto lado. Para isso existe uma metros lineares da rede. Em qual proporção o site terá a maior área?

Solução. Denote os lados do site por meio de x e y. A área do site é S = xy. Deixar yé o comprimento do lado adjacente à parede. Então, por condição, a igualdade 2x + y = a deve valer. Portanto y = a - 2x e S = x(a - 2x), onde
0 ≤ x ≤ a/2 (o comprimento e a largura da área não podem ser negativos). S "= a - 4x, a - 4x = 0 para x = a/4, de onde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por este ponto. Para xa/4 S "> 0, e para x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplo 3.24.É necessário fazer um tanque cilíndrico fechado com capacidade de V=16p ≈ 50 m 3 . Quais devem ser as dimensões do tanque (raio R e altura H) para que se utilize a menor quantidade de material para sua fabricação?

Solução. A área total da superfície do cilindro é S = 2pR(R+H). Conhecemos o volume do cilindro V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Assim, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Encontramos a derivada desta função:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 para R 3 \u003d 8, portanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

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