Ponto - objeto abstrato no espaço que não possui nenhuma característica mensurável (um objeto de dimensão zero). O ponto é um dos conceitos fundamentais Na matemática.
Ponto na geometria euclidiana
Euclides definiu um ponto como "um objeto sem partes". Na axiomática moderna da geometria euclidiana, um ponto é um conceito primário, dado apenas por uma lista de suas propriedades - axiomas.
No sistema de coordenadas escolhido, qualquer ponto do espaço euclidiano bidimensional pode ser representado como um par ordenado ( x; y) numeros reais. Da mesma forma, ponto n O espaço euclidiano dimensional (assim como o espaço vetorial ou afim) pode ser representado como uma tupla ( uma 1 , uma 2 , … , uma n) a partir de n números.
Links
- apontar(Inglês) no site PlanetMath.
- WeissteinEric W. Aponte no site da Wolfram MathWorld.
o ponto é:
ponto ponto substantivo, Nós vamos., usar Frequentemente Morfologia: (não) o quê? pontos, que? ponto, (Veja o que? ponto, Como as? ponto, sobre o que? sobre o ponto; pl. que? pontos, (não o quê? pontos, que? pontos, (Veja o que? pontos, Como as? pontos, sobre o que? sobre pontos 1. Ponto- esta é uma pequena mancha redonda, um traço de um toque com algo afiado ou escrito.Padrão de ponto. | Ponto de punção. | A cidade no mapa é indicada por um pequeno ponto e a disponibilidade estrada de desvio só se pode adivinhar.
2. Ponto- isso é algo muito pequeno, pouco visível devido ao afastamento ou por outros motivos.
Ponto no horizonte. | À medida que a bola se aproximava do horizonte na parte oeste do céu, começou a diminuir lentamente de tamanho até se transformar em um ponto.
3. Ponto- um sinal de pontuação que é colocado no final de uma frase ou ao abreviar palavras.
Coloque um ponto. | Não se esqueça de colocar um ponto no final da frase
4. Em matemática, geometria e física pontoé uma unidade que tem uma posição no espaço, o limite de um segmento de linha.
5. ponto chamado certo lugar no espaço, no chão ou na superfície de algo.
ponto de colocação. | Ponto de dor.
6. ponto nomear o local onde algo está localizado ou realizado, um determinado nó no sistema ou rede de quaisquer pontos.
Cada saída deve ter seu próprio sinal.
7. ponto eles chamam o limite do desenvolvimento de algo, um certo nível ou momento do desenvolvimento.
Nai Ponto mais alto. | ponto no desenvolvimento. | A situação atingiu um ponto crítico. | Este é o ponto mais alto de manifestação do poder espiritual do homem.
8. ponto chamado de limite de temperatura no qual a transformação de uma substância de uma estado de agregação em outro.
Ponto de ebulição. | Ponto de congelamento. | Ponto de fusão. | Quão mais altura quanto menor o ponto de ebulição da água.
9. Ponto e vírgula (;) chamado de sinal de pontuação usado para separar comuns, mais partes independentes frase composta.
NO língua Inglesa praticamente os mesmos sinais de pontuação são usados como em russo: ponto, vírgula, ponto e vírgula, traço, apóstrofo, colchetes, reticências, interrogativo e pontos de exclamação, hífen.
10. Quando eles falam sobre ponto de vista, significa a opinião de alguém sobre um determinado problema, um olhar para as coisas.
Menos popular agora é outro ponto de vista, anteriormente quase universalmente reconhecido. | Ninguém compartilha desse ponto de vista hoje.
11. Se se diz que as pessoas têm pontos de contato então eles têm interesses comuns.
Podemos ser capazes de encontrar um terreno comum.
12. Se algo for dito ponto a ponto, significando uma correspondência absolutamente exata.
Ponto a ponto no local onde estava indicado, havia um carro cor de café.
13. Se se diz que uma pessoa é chegou ao ponto, o que significa que ele atingiu o limite extremo na manifestação de algumas qualidades negativas.
Chegamos ao ponto! Você não pode mais viver assim! | Você não pode dizer a ele que os serviços secretos chegaram ao ponto sob sua sábia liderança.
14. Se alguém coloca um fim em alguns negócios, isso significa que ele para.
Então ele voltou da emigração para sua terra natal, para a Rússia, para União Soviética, e isso pôs fim a todas as suas buscas e pensamentos.
15. Se alguém ponto o "e"(ou sobre eu), o que significa que ele leva o assunto à sua conclusão lógica, não deixa nada por dizer.
Vamos pontilhar os i's. Eu não sabia nada sobre sua iniciativa.
16. Se alguém bate um ponto, o que significa que ele concentrou todas as suas forças em alcançar um objetivo.
É por isso que suas imagens são tão distintas; ele sempre acerta um ponto, nunca se deixando levar por pequenos detalhes. | Ele entende muito bem qual é a tarefa de seu negócio e, propositalmente, atinge um ponto.
17. Se alguém acertar o local, o que significa que ele disse ou fez exatamente o que era necessário, adivinhou.
A primeira carta que chegou à próxima rodada do concurso surpreendeu agradavelmente os editores - em uma das opções listadas, nosso leitor acertou imediatamente!
apontar adj.Acupressão.
Dicionário explicativo da língua russa Dmitriev. D. V. Dmitriev. 2003.
Ponto
Ponto Pode significar:
O Wikcionário tem um artigo "ponto"- Um ponto é um objeto abstrato no espaço que não possui outras características mensuráveis além de coordenadas.
- Ponto - diacrítico, que pode ser colocado acima, abaixo ou no meio da carta.
- Ponto - uma unidade de medida de distância em russo e sistemas ingleses medidas.
- O ponto é uma das representações do separador decimal.
- Dot (tecnologias de rede) - designação do domínio raiz na hierarquia dos domínios de rede global.
- Tochka - cadeia de lojas de eletrônicos e entretenimento
- Tochka - álbum do grupo "Leningrado"
- Point - filme russo de 2006 baseado na história de mesmo nome de Grigory Ryazhsky
- Dot é o segundo álbum de estúdio do rapper Sten.
- Tochka é um sistema de mísseis divisionais.
- Tochka - Krasnoyarsk Youth and Subcultural Journal.
- Tochka é um clube e local de concertos em Moscou.
- O ponto é um dos caracteres do código Morse.
- O ponto é o lugar do dever de combate.
- Ponto (processamento) - o processo de usinagem, torneamento, afiação.
- PONTO - Programa informativo e analítico na NTV.
- Tochka é uma banda de rock da cidade de Norilsk, fundada em 2012.
Topônimo
Cazaquistão
- Ponto- até 1992, o nome da aldeia Bayash Utepov no distrito de Ulan da região leste do Cazaquistão.
Rússia
- Tochka é uma vila no distrito de Sheksninsky da região de Vologda.
- Tochka é uma vila no distrito de Volotovsky da região de Novgorod.
- Tochka é uma vila no distrito de Lopatinsky da região de Penza.
Você pode dar uma definição de conceitos como um ponto e uma linha?
Nossas escolas e universidades não tinham essas definições, embora sejam fundamentais na minha opinião (não sei como isso é em outros países). Podemos definir esses conceitos como "bem-sucedidos e malsucedidos" e considerar se isso é útil para o desenvolvimento do pensamento.
lutador
Estranho, mas nos foi dada a definição de um ponto. Este é um objeto abstrato (convenção) localizado no espaço, que não tem dimensões. Esta é a primeira coisa que foi martelada em nossas cabeças na escola - um ponto não tem dimensões, é um objeto "zero-dimensional". Um conceito condicional, como tudo na geometria.
Linhas retas são ainda mais difíceis. Em primeiro lugar, é uma linha. Em segundo lugar, é um conjunto de pontos localizados no espaço de uma determinada maneira. No muito definição simplesé uma linha definida pelos dois pontos por onde passa.
Medivh
Um ponto é algum tipo de objeto abstrato. Um ponto tem coordenadas, mas não tem massa ou dimensões. Na geometria, tudo começa precisamente a partir de um ponto, este é o início de todas as outras figuras (na escrita, aliás, também sem ponto não haverá início de palavra). Uma linha reta é a distância entre dois pontos.
Leonid Kutny
Você pode definir qualquer coisa e qualquer coisa. Mas há uma pergunta: essa definição "funcionará" em uma determinada ciência? Com base no que temos, não faz sentido definir um ponto, uma linha e um plano. Gostei muito das observações de Arthur. Gostaria de acrescentar que um ponto tem muitas propriedades: não tem comprimento, largura, altura, massa e peso, etc. objeto, um objeto no plano, no espaço. É por isso que precisamos de um ponto!Mas, um leitor esperto dirá que então um livro, uma cadeira, um relógio e outras coisas podem ser tomados como ponto. Absolutamente certo! Portanto, não faz sentido definir um ponto. Atenciosamente, L.A. Kutniy
Uma linha reta é um dos conceitos básicos da geometria.
O período é um sinal de pontuação na escrita em muitas línguas.
Além disso, o ponto é um dos símbolos do código Morse
Tantas definições :D
As definições de ponto, linha, plano foram dadas por mim no final dos anos 80 e início dos anos 90 do século XX. dou um link:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
Em um volume de 328 páginas, a essência cognitiva desses conceitos é descrita em um aspecto completamente novo, que é explicado com base em uma visão de mundo física real e um senso de eu existo, o que significa que "eu" existo, assim como o Universo própria a que pertenço existe.
Tudo escrito em Este trabalhoé confirmado pelo conhecimento da humanidade sobre a natureza e suas propriedades há muito descobertas e ainda sendo estudadas este momento Tempo. A matemática tornou-se tão complexa de entender e compreender para aplicar suas imagens abstratas à prática de avanços tecnológicos. Tendo revelado os Fundamentos, que são os princípios fundamentais, é possível explicar até mesmo a um estudante escola primária razões subjacentes à existência do universo. Leia e aproxime-se da Verdade. Ouse, o mundo em que existimos se abre diante de você sob uma nova luz.
Existe uma definição do conceito de "ponto" em matemática, geometria.
Mikhail Levin
"conceito indefinível" é uma definição?
Na verdade, é a incerteza dos conceitos que torna possível aplicar a matemática a diferentes objetos.
Um matemático pode até dizer "por um ponto quero dizer um plano euclidiano, por um plano quero dizer um ponto euclidiano" - verifique todos os axiomas e obtenha nova geometria ou novos teoremas.
A questão é que para definir o termo A, você precisa usar o termo B. Para definir B, você precisa do termo C. E assim por diante, ad infinitum. E para ser salvo desse infinito, é preciso aceitar alguns termos sem definições e construir neles definições de outros. ©
Grigory Piven
Em matemática, Piven Grigory Um ponto é uma parte do espaço que é abstratamente (espelhada) tomada como o segmento de comprimento mínimo igual a 1, que é usado para medir outras partes do espaço. Portanto, uma pessoa escolhe a escala de um ponto por conveniência, para um processo produtivo de medição: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. ano. etc.
Veja também: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
A abstração tem sido usada em matemática por dois milênios e meio. ponto adimensional, o que contraria não só senso comum, mas também o conhecimento sobre o mundo circundante, obtido por ciências como física, química, mecânica quântica e informática.
Ao contrário de outras abstrações, a abstração de um ponto matemático adimensional não idealiza a realidade, simplificando sua cognição, mas deliberadamente a distorce, dando-lhe o significado oposto, o que, em particular, torna fundamentalmente impossível compreender e estudar espaços de dimensão superior!
O uso da abstração de um ponto adimensional em matemática pode ser comparado com o uso do básico. unidade monetária com custo zero. Felizmente, a economia não pensou nisso.
Vamos provar o absurdo da abstração de um ponto adimensional.
Teorema. O ponto matemático é volumoso.
Prova.
Já que na matemática
Tamanho_ponto = 0,
Para um segmento de comprimento finito (diferente de zero), temos
Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
O tamanho zero do segmento obtido, como uma sequência de seus pontos constituintes, contradiz a condição de comprimento finito do segmento. Além disso, o tamanho do ponto zero é absurdo, pois a soma dos zeros não depende do número de termos, ou seja, o número de pontos "zero" no segmento não afeta o tamanho do segmento.
Portanto, a suposição original sobre o tamanho zero de um ponto matemático está ERRADA.
Assim, pode-se argumentar que um ponto matemático tem um tamanho diferente de zero (finito). Como o ponto não pertence apenas ao segmento, mas também ao espaço em que o segmento está localizado, ele tem a dimensão do espaço, ou seja, o ponto matemático é volumétrico. Q.E.D.
Consequência.
A prova acima, realizada usando o aparato matemático grupo júnior Jardim da infância infunde orgulho na sabedoria sem limites dos sacerdotes e adeptos da “rainha de todas as ciências”, que conseguiram levar através dos milênios e preservar para a posteridade em sua forma original a antiga ilusão da humanidade.
Avaliações
Caro Alexandre! Eu não sou forte em matemática, mas talvez VOCÊ possa me dizer onde e por quem é afirmado que o ponto é igual a zero? Outra coisa, ela tem infinito Pequena quantidade, até a convenção, mas não zero. Assim, qualquer segmento pode ser considerado zero, pois existe outro segmento que contém conjunto infinito segmentos iniciais, grosso modo. Talvez não devêssemos confundir matemática e física. A matemática é a ciência do ser, a física é sobre o existir. Sinceramente.
Mencionei Aquiles duas vezes em detalhes e muitas vezes de passagem:
"Por que Aquiles não alcança a tartaruga"
"Aquiles e a tartaruga - um paradoxo em um cubo"
Talvez uma solução para o paradoxo de Zenão seja que o espaço é discreto e o tempo é contínuo. Ele considerou, como é possível para você, que ambos são discretos. O corpo pode permanecer em algum ponto do espaço por algum tempo. Mas não pode estar em lugares diferentes ao mesmo tempo ao mesmo tempo. Isso tudo, é claro, amadorismo, como todo o nosso diálogo. Sinceramente.
A propósito, se um ponto é 3D, quais são suas dimensões?
A discrição do tempo decorre, por exemplo, da aporia "Seta". “Ficar simultaneamente em lugares diferentes” só pode ser um elétron para físicos que, em princípio, não entendem e não aceitam nem a estrutura do éter nem a estrutura do espaço quadridimensional. Não conheço nenhum outro exemplo desse fenômeno. Não vejo "amadorismo" em nossa conversa. Ao contrário, tudo é extremamente simples: um ponto ou é adimensional ou tem tamanho; continuidade e infinito existem ou não existem. O terceiro não é dado - VERDADEIRO ou FALSO! Fundamentos os matemáticos, infelizmente, são construídos sobre falsos dogmas, aceitos por ignorância há 2.500 anos.
O tamanho do ponto depende da condição do problema que está sendo resolvido e da precisão necessária. Por exemplo, se uma engrenagem for projetada para relógio de pulso, então a precisão pode ser limitada pelo tamanho do átomo, ou seja, oito casas decimais. O próprio átomo aqui será o análogo físico do ponto matemático. Você pode precisar de precisão de 16 caracteres em algum lugar; então o papel de um ponto será desempenhado por uma partícula de éter. Observe que falar sobre precisão supostamente "infinita" na prática se transforma em um absurdo ou, para dizer o mínimo, em um absurdo.
Eu ainda não entendo: o ponto existe? Se existe objetivamente, portanto tem um certo valor físico, se existe subjetivamente, na forma de uma abstração de nossa mente, então tem um valor matemático. Zero não tem NADA, não existe, esta é a definição abstrata de Não-existência na matemática ou vazio na física. O ponto não existe por si só fora do relacionamento. Assim que o segundo ponto aparece, aparece um segmento - Algo, etc. Este tópico pode ser desenvolvido infinitamente. Com uv.
Pareceu-me que eu trouxe bom exemplo, mas provavelmente não detalhado o suficiente. Objetivamente, há um mundo que a ciência conhece, e atualmente conhece principalmente métodos matemáticos. A matemática conhece o mundo construindo modelos matemáticos. Para construir esses modelos, o básico abstrações matemáticas, em particular, tais como: ponto, linha, continuidade, infinito. Essas abstrações são básicas porque não é mais possível subdividi-las e simplificá-las. Cada uma das abstrações básicas pode ser adequada realidade objetiva(verdadeiro) ou não (falso). Todas as abstrações acima são inicialmente falsas, porque contradizem o conhecimento mais recente sobre o mundo real. Então essas abstrações impedem compreensão correta mundo real. Alguém poderia, de alguma forma, tolerar isso enquanto a ciência estudava o mundo tridimensional. No entanto, as abstrações de um ponto adimensional e continuidade tornam todos os mundos de dimensão superior incognoscíveis em princípio!
O tijolo do universo - um ponto - não pode ser um vazio. Todo mundo sabe que nada vem do vazio. Os físicos, declarando o éter inexistente, encheram o mundo de vazio. Acredito que a matemática com seu ponto vazio os empurrou para essa estupidez. Não estou falando de átomos-pontos de mundos de dimensão superior a 4D. Assim, para cada dimensão o papel de um ponto matemático indivisível (condicionalmente) é desempenhado pelo átomo (condicionalmente) indivisível deste mundo (espaço, matéria). Para 3D - um átomo físico, para 4D - uma partícula de éter, para 5D - um átomo astral, para 6D - um átomo mental e assim por diante. Sinceramente,
Então, o tijolo do universo tem algum valor absoluto? E o que representa, na sua opinião, no mundo etéreo ou mental. Tenho medo de perguntar sobre os próprios mundos. Com interesse...
As partículas de éter (não são átomos!) são pares elétron-pósitron, nos quais as próprias partículas giram uma em relação à outra na velocidade da luz. Isso explica completamente a estrutura de todos os nucleons, a propagação oscilações eletromagnéticas e todos os efeitos do chamado vácuo físico. A estrutura do átomo do pensamento é desconhecida para qualquer um. Há apenas evidências de que TODOS os mais mundos superiores material, isto é, eles têm seus próprios átomos. Até a questão do Absoluto. Você está sendo irônico, no entanto. Sério buracos de minhoca e big bang Você acha mais crível?
Qual é a ironia aqui, apenas um pouco surpreso depois de uma avalanche de informações. Eu, ao contrário de você, não sou profissional e acho difícil dizer qualquer coisa sobre a cinco ou seis dimensões dos espaços. Eu sou totalmente a favor do nosso ponto de sofrimento... Até onde eu entendo, você é contra a continuidade material, e o ponto é que você tem um átomo "democrático" realmente existente. "Tijolo do Universo". Talvez eu estivesse desatento, mas ainda assim, não hesite em repetir quais são sua estrutura, parâmetros físicos, dimensões, etc.
E também responder, a unidade existe em si mesma, como tal, fora de quaisquer relações? Obrigada.
Tendo lidado com o que são unidades de medida e dimensão, podemos agora passar para as medidas reais. NO matemática escolar dois instrumento de medição- (1) uma régua para medir distâncias e (2) um transferidor para medir ângulos.
Ponto
A distância é sempre medida entre quaisquer dois pontos. Do ponto de vista prático, um ponto é uma pequena mancha que permanece no papel quando você o cutuca com um lápis ou caneta. Outra maneira mais preferida de especificar um ponto é desenhar uma cruz com duas linhas finas, que define ponto seus cruzamentos. Em desenhos em livros, o ponto é frequentemente representado como um pequeno círculo preto. Mas tudo isso são apenas aproximações. imagens visuais, mas no sentido matemático estrito, ponto - é um objeto imaginário cujo tamanho em todas as direções é zero. Para os matemáticos, o mundo inteiro é feito de pontos. Os pontos estão por toda parte. Quando espetamos uma caneta no papel ou desenhamos uma cruz, não estamos criando novo ponto, mas apenas coloque uma marca em um existente para chamar a atenção de alguém para ele. Salvo indicação em contrário, entende-se que os pontos são fixos e não alteram sua posição relativa. Mas não é difícil imaginar um ponto em movimento que se move de um lugar para outro, como se fundindo com um ponto fixo, depois por outro.
Em linha reta
Ao anexar uma régua a dois pontos, podemos traçar uma linha reta através deles e, além disso, o único jeito. matemática imaginária Em linha reta, desenhado ao longo de uma régua ideal imaginária, tem espessura zero e se estende em ambas as direções até o infinito. Em um desenho real, esse desenho imaginário assume a forma:
Na verdade, tudo nesta foto está errado. A espessura da linha aqui é claramente maior que zero, e não há como dizer que a linha se estende até o infinito. No entanto, esses desenhos incorretos são muito úteis como suporte para a imaginação, e os usaremos constantemente. Para tornar mais conveniente distinguir um ponto do outro, eles geralmente são marcados letras maiúsculas alfabeto latino. Nesta figura, por exemplo, os pontos são marcados com letras UMA e B. Linha que passa pelos pontos UMA e B, recebe automaticamente o nome "direct UMAB". Por brevidade, a notação ( UMAB), onde a palavra "hetero" é omitida e colchetes. As linhas também podem ser rotuladas minúsculas. Na figura acima, a linha reta UMAB marcado com uma letra n.
Além dos pontos UMA e B em linha reta n há um grande número de outros pontos, cada um dos quais pode ser representado como uma interseção com alguma outra linha. Muitas linhas podem ser traçadas através do mesmo ponto.
Se sabemos que existem pontos não coincidentes em uma linha UMA, B, C e D, então ele pode ser corretamente denotado não apenas como ( AB), mas também como ( CA), (BD), (CD) etc
Segmento de linha. Comprimento do corte. Distância entre pontos
A parte de uma linha limitada por dois pontos é chamada segmento. Esses pontos limitantes também pertencem ao segmento e são chamados. termina. Um segmento cujas extremidades estão em pontos UMA e B, denotado como "segmento UMAB' ou, um pouco mais curto, [ UMAB].
Cada segmento é caracterizado grandes- o número (possivelmente fracionário) de "passos" que devem ser dados ao longo do segmento para ir de uma ponta à outra. Nesse caso, o comprimento do "passo" em si é um valor estritamente fixo, que é tomado como unidade de medida. Os comprimentos dos segmentos de linha desenhados em uma folha de papel são medidos mais convenientemente em centímetros. Se as extremidades do segmento cairem nos pontos UMA e B, então seu comprimento é denotado como | UMAB|.
Debaixo distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os conecta. De fato, no entanto, não é necessário desenhar um segmento para medir a distância - basta anexar uma régua a ambos os pontos (nos quais são pré-marcados traços de “passos”). Como um ponto é um objeto fictício em matemática, nada nos impede de usar em nossa imaginação uma régua ideal que mede a distância com absoluta precisão. No entanto, não se deve esquecer que uma régua real aplicada a pontos ou centros de cruzes no papel permite definir a distância apenas aproximadamente - com precisão de um milímetro. A distância é sempre não negativa.
Posição de um ponto em uma linha
Deixe-nos ser dada alguma linha reta. Marcamos um ponto arbitrário nele e o denotamos pela letra O. Vamos colocar o número 0 ao lado dele. Um dos dois direções possíveis ao longo da linha reta, chamaremos "positivo" e o oposto - "negativo". Normalmente, a direção positiva é tomada da esquerda para a direita ou de baixo para cima, mas isso não é necessário. Marque a direção positiva com uma seta, conforme mostrado na figura:
Agora, para qualquer ponto localizado na linha, podemos determiná-lo posição. Posição do ponto UMAé dado por um valor que pode ser negativo, zero ou positivo. Sua valor absoluto igual à distância entre os pontos O e UMA(ou seja, o comprimento do segmento OUMA), e o sinal é determinado pela direção do ponto O você tem que se mover para chegar ao ponto UMA. Se você precisa se mover em uma direção positiva, o sinal é positivo. Se for negativo, então o sinal é negativo. Em vez da palavra "posição", a palavra " coordenada».
Números irracionais e reais (reais)
Quando estamos lidando com um desenho real e determinamos a posição de um ponto real em um buraco real usando uma régua escolar, obtemos um valor arredondado ao milímetro mais próximo. Em outras palavras, o resultado é um valor retirado da seguinte série:
0 milímetros, 1 milímetros, −1 milímetros, 2 milímetros, −2 milímetros, 3 milímetros, −3 milímetros etc.
O resultado não pode ser igual a, por exemplo, 1/3 cm, porque, como sabemos, um terço de um centímetro pode ser representado como uma fração periódica infinita
0,333333333... cm,
que após o arredondamento deve ser igual a 0,3 cm.
É uma questão diferente quando manipulamos objetos matemáticos ideais em nossa imaginação.
Em primeiro lugar, neste caso, pode-se facilmente descartar unidades de medida e operar exclusivamente com grandezas adimensionais. Então chegamos à construção geométrica que encontramos quando passamos por números racionais, e que nomeamos linha numérica:
Como a palavra "linha" na geometria já está fortemente "carregada", a mesma construção é frequentemente chamada de eixo numérico ou simplesmente eixo.
Em segundo lugar, podemos imaginar que a coordenada de um ponto é dada por algum decimal, Como
Além disso, podemos imaginar um infinito não periódico fração, como
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Esses números imaginários, representados como infinitas frações decimais não periódicas, são chamados irracional. Os números irracionais, juntamente com os números racionais que já conhecemos, formam os chamados válido números. Em vez da palavra "válido" usamos também a palavra " real". Qualquer posição concebível de um ponto em uma linha pode ser expressa como um número real. E vice-versa, se nos for dado algum número real x, podemos sempre imaginar um ponto X, cuja posição é dada pelo número x.
Viés
Deixe ser uma- coordenada do ponto UMA, uma b- coordenada do ponto B. Então o valor
v = b − uma
é um deslocamento, que traduz o ponto UMA exatamente B. Isso se torna especialmente óbvio se a igualdade anterior for reescrita como
b = uma + v.
Às vezes, em vez da palavra "deslocamento", eles usam a palavra " vetor". É fácil ver que a posição x ponto arbitrário X nada mais é do que um deslocamento que traduz o ponto O(com coordenada igual a zero) a um ponto X:
x= 0 + x.
Os deslocamentos podem ser adicionados uns aos outros, bem como subtraídos uns dos outros. Então, se o deslocamento ( b − uma) traduz o ponto UMA exatamente B, e o deslocamento ( c − b) apontar B exatamente C, então o deslocamento
(b − uma) + (c − b) = c − uma
traduz o ponto UMA exatamente C.
Observação. De acordo com a lógica das coisas, deve-se esclarecer aqui como somar e subtrair números irracionais, uma vez que o viés pode muito bem ser irracional. Claro, os matemáticos tiveram o cuidado de desenvolver os procedimentos formais apropriados, mas na prática não vamos lidar com isso, pois para a solução tarefas práticas cálculos aproximados com valores arredondados são sempre suficientes. Por enquanto, vamos simplesmente acreditar que os conceitos de "adição" e "subtração" - assim como "multiplicação" e "divisão" - estão corretamente definidos para quaisquer dois números reais (com a ressalva de que você não pode dividir por zero).
Aqui, talvez, seria apropriado notar a sutil diferença entre os conceitos de "deslocamento" e "distância". A distância é sempre não negativa. Trata-se, na verdade, de uma compensação retirada de valor absoluto. Então, se o deslocamento
v = b − uma
traduz o ponto UMA exatamente B, então a distância s entre pontos UMA e Bé igual a
s = |v| = |b − a|.
Esta igualdade permanece verdadeira independentemente de qual dos dois números é maior - uma ou b.
Plano
Em um sentido prático, um avião é uma folha de papel na qual desenhamos nossos desenhos geométricos. imaginário plano matemático difere de uma folha de papel por ter espessura zero e uma superfície ilimitada que se estende em lados diferentes ao infinito. Além disso, ao contrário de uma folha de papel, o plano matemático é absolutamente rígido: nunca se dobra ou enruga - mesmo que seja arrancado da mesa e colocado no espaço de alguma forma.
A localização do plano no espaço é dada exclusivamente por três pontos (a menos que eles estejam em qualquer linha reta). Para visualizar melhor, vamos desenhar três pontos arbitrários, O, UMA e B, e desenhe duas linhas retas através deles OA e OB, como mostrado na imagem:
Já é um pouco mais fácil “esticar” um plano na imaginação em duas linhas que se cruzam do que “incliná-lo” em três pontos. Mas para uma clareza ainda maior, faremos mais algumas construções adicionais. Vamos pegar alguns pontos aleatoriamente: um em qualquer lugar da linha OA, e o outro - em qualquer lugar na linha OB. Desenhe uma nova linha através deste par de pontos. Em seguida, de maneira semelhante, selecionamos outro par de pontos e traçamos outra linha através deles. Repetindo esse procedimento muitas vezes, obtemos algo como uma teia:
Colocar um avião em tal estrutura já é bastante simples - especialmente porque essa teia imaginária pode ser tão grossa que cobrirá todo o plano sem lacunas.
Observe que, se pegarmos um par de pontos não coincidentes em um plano e traçarmos uma linha através deles, essa linha estará necessariamente no mesmo plano.
Resumo
Ponto (UMA, B, etc.): um objeto imaginário cujo tamanho em todas as direções é zero.
Em linha reta (n, m ou ( AB)): linha infinitamente fina; passou por dois pontos ( UMA e B) ao longo da régua de forma inequívoca; estende-se em ambas as direções até o infinito.
Segmento de linha ([AB]): parte de uma linha delimitada por dois pontos ( UMA e B) - as extremidades do segmento, que também são consideradas pertencentes ao segmento.
Comprimento do corte(|AB|): (fracionário) número de centímetros (ou outra unidade de medida) que cabe entre as extremidades ( UMA e B).
Distância entre dois pontos: o comprimento do segmento de linha que termina nesses pontos.
Posição de um ponto em uma linha (coordenada): a distância de um ponto a algum centro pré-selecionado (também situado em uma linha reta) com um sinal de mais ou menos atribuído, dependendo de qual lado do centro o ponto está localizado.
A posição de um ponto em uma linha reta é dada válido(real)número, ou seja, uma fração decimal, que pode ser (1) periódica finita ou infinita ( números racionais), ou (2) infinito não periódico ( números irracionais).
Viés, que traduz o ponto UMA(com coordenada uma) exatamente B(com coordenada b): v = b − uma.
A distância é igual ao deslocamento, tomado em valor absoluto: | AB| = |b − uma|.
Plano: uma folha de papel infinitamente fina que se estende em diferentes direções até o infinito; é definida exclusivamente por três pontos que não estão na mesma linha reta.
O conceito de ponto crítico pode ser generalizado para o caso de mapeamentos diferenciáveis , e para o caso de mapeamentos diferenciáveis de variedades arbitrárias . f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). Neste caso, a definição de um ponto crítico é que o posto da matriz Jacobiana do mapeamento f (\displaystyle f) tem menos do que o máximo valor possível, igual a .
Pontos críticos funções e mapeamentos jogam papel importante em áreas da matemática, como equações diferenciais, cálculo de variações, teoria da estabilidade e em mecânica e física. O estudo dos pontos críticos de mapeamentos suaves é uma das principais questões da teoria das catástrofes. A noção de ponto crítico também é generalizada para o caso de funcionais definidos em espaços funcionais de dimensão infinita. A busca por pontos críticos de tais funcionais é parte importante cálculo de variações. Pontos críticos de funcionais (que, por sua vez, são funções) são chamados extremos.
Definição formal
crítico(ou especial ou estacionário) um ponto de um mapeamento continuamente diferenciável f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) um ponto é chamado em que o diferencial deste mapeamento f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))))é um degenerar transformação linear espaços tangentes correspondentes T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) e T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0))))\mathbb (R) ^(m)), ou seja, a dimensão da imagem de transformação f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) menor min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Na notação de coordenadas para n = m (\displaystyle n=m) isso significa que o jacobiano é o determinante da matriz jacobi do mapeamento f (\displaystyle f), composto por todas as derivadas parciais ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i)))))- desaparece em um ponto. Espaços e R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) nesta definição pode ser substituído por variedades N n (\estilo de exibição N^(n)) e M m (\estilo de exibição M^(m)) as mesmas dimensões.
Teorema de Sard
O valor exibido no ponto crítico é chamado de crítico. De acordo com o teorema de Sard, o conjunto de valores críticos de qualquer mapeamento suficientemente suave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) tem medida de Lebesgue zero (embora possa haver qualquer número de pontos críticos, por exemplo, para o mapeamento idêntico, qualquer ponto é crítico).
Mapeamentos de classificação constante
Se nas proximidades do ponto x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) classificação de um mapeamento continuamente diferenciável f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))é igual ao mesmo número r (\displaystyle r), então nas proximidades deste ponto x 0 (\displaystyle x_(0)) existem coordenadas locais centradas em x 0 (\displaystyle x_(0)), e na vizinhança de sua imagem - pontos y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- existem coordenadas locais (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))) centrado em f (\displaystyle f)é dado pelas relações:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)
Em particular, se r = n = m (\displaystyle r=n=m), então existem coordenadas locais (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))) centrado em x 0 (\displaystyle x_(0)) e coordenadas locais (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))) centrado em y 0 (\displaystyle y_(0)), de modo que exibem f (\displaystyle f)é idêntico.
Acontecendo m = 1
Quando esta definição significa que o gradiente ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))) desaparece neste momento.
Vamos supor que a função f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) tem uma classe de suavidade de pelo menos C 3 (\displaystyle C^(3)). Ponto crítico de uma função f chamado não degenerado, se contiver uma hessiana | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) diferente de zero. Em uma vizinhança de um ponto crítico não degenerado, existem coordenadas nas quais a função f tem uma forma normal quadrática (lema de Morse).
Uma generalização natural do lema de Morse para pontos críticos degenerados é Teorema de Toujron: na vizinhança de um ponto crítico degenerado da função f, diferenciável número infinito times() multiplicidade finita µ (\displaystyle \mu ) existe um sistema de coordenadas no qual função suave tem a forma de um polinômio de grau μ + 1 (\estilo de exibição \mu +1)(como P μ + 1 (x) (\estilo de exibição P_(\mu +1)(x)) pode-se tomar o polinômio de Taylor da função f (x) (\displaystyle f(x)) em um ponto nas coordenadas originais).
No m = 1 (\displaystyle m=1) faz sentido perguntar sobre o máximo e o mínimo de uma função. De acordo com a famosa declaração analise matemática, uma função continuamente diferenciável f (\displaystyle f), definido em todo o espaço R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ou em seu subconjunto aberto, pode atingir máximo local(mínimo) apenas em pontos críticos, e se o ponto não for degenerado, então a matriz (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j), (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) deve ser negativamente (positivamente) definida nele. Este último também é condição suficiente máximo local (respectivamente, mínimo).
Acontecendo n = m = 2
Quando n=m=2 temos um mapeamento f plano em um plano (ou variedade bidimensional em outra variedade bidimensional). Vamos supor que a tela f diferenciável um número infinito de vezes ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Neste caso, os pontos críticos típicos do mapeamento f são aqueles em que o determinante da matriz jacobiana é igual a zero, mas seu posto é igual a 1, e daí o diferencial do mapeamento f tem um kernel unidimensional em tais pontos. A segunda condição de tipicidade é que em uma vizinhança do ponto considerado no plano da imagem inversa, o conjunto de pontos críticos forma uma curva regular S, e em quase todos os pontos da curva S testemunho ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) não se preocupa S, enquanto os pontos onde isso não ocorre são isolados e a tangência neles é de primeira ordem. Os pontos críticos do primeiro tipo são chamados pontos de dobra, e o segundo tipo pontos de montagem. Dobras e dobras são os únicos tipos de singularidades de mapeamentos plano a plano que são estáveis em relação a pequenas perturbações: sob uma pequena perturbação, os pontos de dobra e dobra se movem apenas ligeiramente junto com a deformação da curva S, mas não desapareça, não degenere e não se desfaça em outras singularidades.
