Que já estão bastante fartos. E sinto que chegou o momento em que é hora de extrair novos alimentos enlatados das reservas estratégicas da teoria. É possível expandir a função em uma série de alguma outra maneira? Por exemplo, para expressar um segmento de reta em termos de senos e cossenos? Parece incrível, mas essas funções aparentemente distantes se prestam a
"reunião". Além dos graus familiares em teoria e prática, existem outras abordagens para expandir uma função em uma série.

Nesta lição, nos familiarizaremos com a série trigonométrica de Fourier, abordaremos a questão de sua convergência e soma e, é claro, analisaremos vários exemplos para expandir funções em uma série de Fourier. Eu sinceramente queria chamar o artigo de “Série Fourier para Leigos”, mas isso seria astuto, já que a resolução de problemas exigirá conhecimento de outras seções de análise matemática e alguma experiência prática. Portanto, o preâmbulo vai se assemelhar ao treinamento dos astronautas =)

Primeiro, o estudo dos materiais da página deve ser abordado em excelente forma. Sono, descansado e sóbrio. Sem fortes emoções sobre a pata quebrada de um hamster e pensamentos obsessivos sobre as dificuldades da vida dos peixes de aquário. A série de Fourier não é difícil do ponto de vista da compreensão, no entanto, as tarefas práticas exigem simplesmente uma maior concentração de atenção - idealmente, deve-se abandonar completamente os estímulos externos. A situação é agravada pelo fato de não haver uma maneira fácil de verificar a solução e a resposta. Assim, se sua saúde estiver abaixo da média, é melhor fazer algo mais simples. Verdade.

Em segundo lugar, antes de voar para o espaço, é necessário estudar o painel de instrumentos da espaçonave. Vamos começar pelos valores das funções que devem ser clicadas na máquina:

Para qualquer valor natural:

1) . E, de fato, a senóide "pisca" o eixo x através de cada "pi":
. No caso de valores negativos do argumento, o resultado, claro, será o mesmo: .

2). Mas nem todos sabiam disso. O cosseno "pi en" é o equivalente a uma "luz intermitente":

Um argumento negativo não altera o caso: .

Talvez o suficiente.

E em terceiro lugar, querido corpo de cosmonautas, você precisa ser capaz de ... integrar.
Em particular, com certeza trazer uma função sob um sinal diferencial, integrar por partes e estar em boas relações com Fórmula de Newton-Leibniz. Vamos começar os importantes exercícios pré-voo. Eu fortemente não recomendo ignorá-lo, para que mais tarde você não achate em gravidade zero:

Exemplo 1

Calcular integrais definidas

onde assume valores naturais.

Decisão: a integração é realizada sobre a variável "x" e nesta fase a variável discreta "en" é considerada uma constante. Em todas as integrais trazer a função sob o sinal do diferencial:

Uma versão curta da solução, que seria boa para atirar, se parece com isso:

Acostumando:

Os quatro pontos restantes estão por conta própria. Tente tratar a tarefa conscientemente e organizar as integrais de forma curta. Exemplos de soluções no final da lição.

Depois de um exercício de QUALIDADE, vestimos trajes espaciais
e se preparando para começar!

Expansão de uma função em uma série de Fourier no intervalo

Vamos considerar uma função que determinado pelo menos no intervalo (e, possivelmente, em um intervalo maior). Se esta função é integrável no segmento , então ela pode ser expandida em uma função trigonométrica Séries de Fourier:
, onde estão os chamados Coeficientes de Fourier.

Neste caso, o número é chamado período de decomposição, e o número é decomposição de meia-vida.

Obviamente, no caso geral, a série de Fourier consiste em senos e cossenos:

De fato, vamos escrevê-lo em detalhes:

O termo zero da série é geralmente escrito como .

Os coeficientes de Fourier são calculados usando as seguintes fórmulas:

Entendo perfeitamente que novos termos ainda são obscuros para os iniciantes estudarem o tema: período de decomposição, meio ciclo, Coeficientes de Fourier e outros. Não entre em pânico, não é comparável à excitação antes de uma caminhada espacial. Vamos descobrir tudo no exemplo mais próximo, antes de executar o que é lógico fazer perguntas práticas urgentes:

O que você precisa fazer nas seguintes tarefas?

Expanda a função em uma série de Fourier. Além disso, muitas vezes é necessário desenhar um gráfico de uma função, um gráfico da soma de uma série, uma soma parcial e, no caso de fantasias de professores sofisticados, fazer outra coisa.

Como expandir uma função em uma série de Fourier?

Essencialmente, você precisa encontrar Coeficientes de Fourier, ou seja, componha e calcule três integrais definidas.

Por favor, copie a forma geral da série de Fourier e as três fórmulas de trabalho em seu caderno. Estou muito feliz que alguns dos visitantes do site tenham um sonho de infância de se tornar um astronauta se tornando realidade bem na frente dos meus olhos =)

Exemplo 2

Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo . Construir um gráfico, um gráfico da soma de uma série e uma soma parcial.

Decisão: a primeira parte da tarefa é expandir a função em uma série de Fourier.

O início é padrão, certifique-se de anotar que:

Neste problema, o período de expansão , meio período .

Expandimos a função em uma série de Fourier no intervalo:

Usando as fórmulas apropriadas, encontramos Coeficientes de Fourier. Agora precisamos compor e calcular três integrais definidas. Por conveniência, numerarei os pontos:

1) A primeira integral é a mais simples, porém, já requer um olho e um olho:

2) Usamos a segunda fórmula:

Esta integral é bem conhecida e ele toma aos poucos:

Quando encontrado usado método de trazer uma função sob um sinal diferencial.

Na tarefa em consideração, é mais conveniente usar imediatamente fórmula para integração por partes em uma integral definida :

Algumas notas técnicas. Primeiro, depois de aplicar a fórmula a expressão inteira deve ser colocada entre colchetes grandes, uma vez que existe uma constante na frente da integral original. Não vamos perdê-lo! Os parênteses podem ser abertos em qualquer etapa posterior, eu fiz isso no último turno. Na primeira "peça" mostramos extrema precisão na substituição, como você pode ver, a constante está fora do negócio, e os limites de integração são substituídos no produto. Esta ação está marcada com colchetes. Bem, a integral da segunda "peça" da fórmula é bem conhecida por você da tarefa de treinamento ;-)

E o mais importante - a concentração final de atenção!

3) Estamos procurando o terceiro coeficiente de Fourier:

Uma relativa da integral anterior é obtida, que também é integrado por partes:

Esta instância é um pouco mais complicada, vou comentar os próximos passos passo a passo:

(1) A expressão inteira é colocada entre colchetes grandes.. Eu não queria parecer um chato, eles perdem a constante com muita frequência.

(2) Nesse caso, imediatamente expandi esses colchetes grandes. Atenção especial dedicamos à primeira “peça”: a constante fuma à margem e não participa da substituição dos limites de integração ( e ) no produto . Em vista da desordem do registro, é novamente aconselhável destacar esta ação entre colchetes. Com a segunda "peça" tudo é mais simples: aqui a fração apareceu depois de abrir grandes colchetes e a constante - como resultado da integração da integral familiar ;-)

(3) Entre colchetes, realizamos transformações e, na integral à direita, substituímos os limites de integração.

(4) Retiramos o “piscador” dos colchetes: , após o que abrimos os colchetes internos: .

(5) Cancelamos 1 e -1 entre parênteses, fazemos simplificações finais.

Finalmente encontrei todos os três coeficientes de Fourier:

Substitua-os na fórmula :

Não se esqueça de dividir ao meio. Na última etapa, a constante ("menos dois"), que não depende de "en", é retirada da soma.

Assim, obtivemos a expansão da função em uma série de Fourier no intervalo:

Vamos estudar a questão da convergência da série de Fourier. Vou explicar a teoria em particular Teorema de Dirichlet, literalmente "nos dedos", então se você precisar de formulações estritas, consulte um livro-texto sobre cálculo (por exemplo, o 2º volume de Bohan; ou o 3º volume de Fichtenholtz, mas é mais difícil nele).

Na segunda parte da tarefa, é necessário desenhar um gráfico, um gráfico de soma em série e um gráfico de soma parcial.

O gráfico da função é o usual linha reta no avião, que é desenhado com uma linha pontilhada preta:

Nós lidamos com a soma da série. Como você sabe, séries funcionais convergem para funções. No nosso caso, a série de Fourier construída para qualquer valor de "x" converge para a função mostrada em vermelho. Esta função está sujeita a quebras de 1º tipo em pontos, mas também definidos neles (pontos vermelhos no desenho)

Por isso: . É fácil ver que ela difere marcadamente da função original, razão pela qual na notação um til é usado em vez de um sinal de igual.

Vamos estudar um algoritmo pelo qual é conveniente construir a soma de uma série.

No intervalo central, a série de Fourier converge para a própria função (o segmento central vermelho coincide com a linha pontilhada preta da função linear).

Agora vamos falar um pouco sobre a natureza da expansão trigonométrica considerada. Séries de Fourier inclui apenas funções periódicas (constante, senos e cossenos), então a soma da série também é uma função periódica.

O que isso significa em nosso exemplo particular? E isso significa que a soma da série –necessariamente periódica e o segmento vermelho do intervalo deve ser repetido infinitamente à esquerda e à direita.

Acho que agora o significado da frase "período de decomposição" finalmente ficou claro. Simplificando, toda vez que a situação se repete de novo e de novo.

Na prática, geralmente é suficiente representar três períodos de decomposição, como é feito no desenho. Bem, e mais "tocos" de períodos vizinhos - para deixar claro que o gráfico continua.

De particular interesse são pontos de descontinuidade do 1º tipo. Nesses pontos, a série de Fourier converge para valores isolados, que se localizam exatamente no meio do "salto" da descontinuidade (pontos vermelhos no desenho). Como encontrar a ordenada desses pontos? Primeiro, vamos encontrar a ordenada do "piso superior": para isso, calculamos o valor da função no ponto mais à direita do período de expansão central: . Para calcular a ordenada do “piso inferior”, a maneira mais fácil é pegar o valor mais à esquerda do mesmo período: . A ordenada do valor médio é a média aritmética da soma do "superior e inferior": . Agradável é o fato de que, ao construir um desenho, você verá imediatamente se o meio é calculado corretamente ou incorretamente.

Vamos construir uma soma parcial da série e ao mesmo tempo repetir o significado do termo "convergência". O motivo é conhecido da lição sobre a soma da série numérica. Vamos descrever nossa riqueza em detalhes:

Para fazer uma soma parcial, você precisa escrever zero + mais dois termos da série. Ou seja,

No desenho, o gráfico da função é mostrado em verde e, como você pode ver, envolve a soma total com bastante força. Se considerarmos uma soma parcial de cinco termos da série, o gráfico dessa função aproximará as linhas vermelhas com ainda mais precisão; se houver cem termos, a “serpente verde” se fundirá completamente com os segmentos vermelhos, etc. Assim, a série de Fourier converge para sua soma.

É interessante notar que qualquer soma parcial é função contínua, mas a soma total da série ainda é descontínua.

Na prática, não é incomum construir um gráfico de soma parcial. Como fazer isso? No nosso caso, é necessário considerar a função no segmento, calcular seus valores nas extremidades do segmento e em pontos intermediários (quanto mais pontos você considerar, mais preciso será o gráfico). Em seguida, você deve marcar esses pontos no desenho e desenhar cuidadosamente um gráfico no período e, em seguida, “replicá-lo” em intervalos adjacentes. De que outra forma? Afinal, a aproximação também é uma função periódica... ...por alguma razão, seu gráfico me lembra um ritmo cardíaco regular no visor de um dispositivo médico.

Obviamente, não é muito conveniente realizar a construção, pois você deve ser extremamente cuidadoso, mantendo uma precisão não inferior a meio milímetro. No entanto, vou agradar os leitores que estão em desacordo com o desenho - em uma tarefa "real", está longe de ser sempre necessário realizar um desenho, em algum lugar em 50% dos casos é necessário expandir a função em uma série de Fourier e isso é isto.

Depois de concluir o desenho, concluímos a tarefa:

Responda:

Em muitas tarefas, a função sofre ruptura do 1º tipo logo no período de decomposição:

Exemplo 3

Expanda em uma série de Fourier a função dada no intervalo . Desenhe um gráfico da função e a soma total da série.

A função proposta é dada por partes (e, lembre-se, apenas no segmento) e suportar ruptura do 1º tipo no ponto . É possível calcular os coeficientes de Fourier? Sem problemas. As partes esquerda e direita da função são integráveis ​​em seus intervalos, de modo que as integrais em cada uma das três fórmulas devem ser representadas como a soma de duas integrais. Vejamos, por exemplo, como isso é feito para um coeficiente zero:

A segunda integral acabou sendo igual a zero, o que reduziu o trabalho, mas nem sempre é assim.

Dois outros coeficientes de Fourier são escritos de forma semelhante.

Como exibir a soma de uma série? No intervalo esquerdo, desenhamos um segmento de linha reta e no intervalo - um segmento de linha reta (destaque a seção do eixo em negrito). Ou seja, no intervalo de expansão, a soma da série coincide com a função em todos os lugares, exceto por três pontos "ruins". No ponto de quebra da função, a série de Fourier converge para um valor isolado, que está localizado exatamente no meio do “salto” da quebra. Não é difícil vê-lo oralmente: limite esquerdo:, limite direito: e, obviamente, a ordenada do ponto médio é 0,5.

Devido à periodicidade da soma , a imagem deve ser “multiplicada” em períodos vizinhos, em particular, retratar a mesma coisa nos intervalos e . Neste caso, nos pontos, a série de Fourier converge para os valores medianos.

Na verdade, não há nada de novo aqui.

Tente resolver esse problema sozinho. Uma amostra aproximada de bom design e desenho no final da lição.

Expansão de uma função em uma série de Fourier em um período arbitrário

Para um período de expansão arbitrário, onde "el" é qualquer número positivo, as fórmulas para a série de Fourier e coeficientes de Fourier diferem em um argumento seno e cosseno ligeiramente complicado:

Se , então obtemos as fórmulas para o intervalo com o qual começamos.

O algoritmo e os princípios para resolver o problema são completamente preservados, mas a complexidade técnica dos cálculos aumenta:

Exemplo 4

Expanda a função em uma série de Fourier e plote a soma.

Decisão: de fato, um análogo do Exemplo nº 3 com ruptura do 1º tipo no ponto . Neste problema, o período de expansão , meio período . A função é definida apenas no half-interval , mas isso não muda as coisas - é importante que ambas as partes da função sejam integráveis.

Vamos expandir a função em uma série de Fourier:

Como a função é descontínua na origem, cada coeficiente de Fourier deve obviamente ser escrito como a soma de duas integrais:

1) Vou escrever a primeira integral o mais detalhada possível:

2) Observe cuidadosamente a superfície da lua:

Segunda integral levar em partes:

O que você deve prestar atenção depois de abrirmos a continuação da solução com um asterisco?

Primeiro, não perdemos a primeira integral , onde executamos imediatamente trazendo sob o signo do diferencial. Em segundo lugar, não se esqueça da constante malfadada antes dos grandes colchetes e não se confunda com os sinais ao usar a fórmula . Suportes grandes, afinal, é mais conveniente abrir imediatamente na próxima etapa.

O resto é uma questão de técnica, apenas a experiência insuficiente na resolução de integrais pode causar dificuldades.

Sim, não foi em vão que os eminentes colegas do matemático francês Fourier ficaram indignados - como ele ousou decompor funções em séries trigonométricas ?! =) A propósito, provavelmente todos estão interessados ​​no significado prático da tarefa em questão. O próprio Fourier trabalhou em um modelo matemático de condução de calor e, posteriormente, a série que leva seu nome começou a ser usada para estudar muitos processos periódicos, que aparentemente são invisíveis no mundo exterior. Agora, a propósito, me peguei pensando que não foi por acaso que comparei o gráfico do segundo exemplo com um ritmo cardíaco periódico. Os interessados ​​podem conhecer a aplicação prática Transformadas de Fourier de fontes de terceiros. ... Embora seja melhor não - será lembrado como Primeiro Amor =)

3) Dados os elos fracos repetidamente mencionados, lidamos com o terceiro coeficiente:

Integrando por partes:

Substituímos os coeficientes de Fourier encontrados na fórmula , não esquecendo de dividir o coeficiente zero pela metade:

Vamos traçar a soma da série. Vamos repetir brevemente o procedimento: no intervalo construímos uma linha e no intervalo - uma linha. Com um valor zero de "x", colocamos um ponto no meio do "salto" do gap e "replicamos" o gráfico para períodos vizinhos:


Nas "junções" dos períodos, a soma também será igual aos pontos médios do "salto" do gap.

Preparar. Lembro que a função em si é condicionalmente definida apenas no meio-intervalo e, obviamente, coincide com a soma das séries nos intervalos

Responda:

Às vezes, uma função dada por partes também é contínua no período de expansão. O exemplo mais simples: . Decisão (Veja Bohan Volume 2)é o mesmo que nos dois exemplos anteriores: apesar continuidade de função no ponto , cada coeficiente de Fourier é expresso como a soma de duas integrais.

No intervalo de separação pontos de descontinuidade do 1º tipo e/ou pontos de "junção" do gráfico podem ser mais (dois, três e, em geral, qualquer final resultar). Se uma função é integrável em todas as partes, ela também é expansível em uma série de Fourier. Mas, por experiência prática, não me lembro de tal lata. No entanto, existem tarefas mais difíceis do que apenas consideradas, e no final do artigo para todos há links para séries de Fourier de maior complexidade.

Enquanto isso, vamos relaxar, recostando-nos em nossas cadeiras e contemplando as infinitas extensões de estrelas:

Exemplo 5

Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo e plote a soma da série.

Nesta tarefa, a função contínuo no meio-intervalo de decomposição, o que simplifica a solução. Tudo é muito semelhante ao Exemplo #2. Você não pode fugir da nave espacial - você terá que decidir =) Modelo de amostra no final da lição, a programação está em anexo.

Expansão em série de Fourier de funções pares e ímpares

Com funções pares e ímpares, o processo de resolução do problema é visivelmente simplificado. E é por causa disso. Vamos retornar à expansão da função em uma série de Fourier em um período de "dois pi" e período arbitrário "duas cervejas" .

Vamos supor que nossa função seja par. O termo geral da série, como você pode ver, contém cossenos pares e senos ímpares. E se decompusermos uma função EVEN, então por que precisamos de senos ímpares?! Vamos redefinir o coeficiente desnecessário: .

Por isso, uma função par se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos:

Na medida em que integrais de funções pares sobre um segmento de integração simétrico em relação a zero pode ser duplicado, então o resto dos coeficientes de Fourier também são simplificados.

Para intervalo:

Para um intervalo arbitrário:

Exemplos de livros didáticos encontrados em quase todos os livros didáticos de cálculo incluem expansões de funções pares . Além disso, eles se encontraram repetidamente em minha prática pessoal:

Exemplo 6

Dada uma função. Requerido:

1) expanda a função em uma série de Fourier com período , onde é um número positivo arbitrário;

2) escreva a expansão no intervalo , construa uma função e represente graficamente a soma total da série .

Decisão: no primeiro parágrafo, propõe-se resolver o problema de maneira geral, e isso é muito conveniente! Haverá uma necessidade - basta substituir o seu valor.

1) Neste problema, o período de expansão , meio período . No decurso de outras ações, em particular durante a integração, "el" é considerado uma constante

A função é par, o que significa que ela se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos: .

Os coeficientes de Fourier são procurados pelas fórmulas . Preste atenção às suas vantagens absolutas. Primeiro, a integração é realizada sobre o segmento positivo da expansão, o que significa que nos livramos do módulo com segurança , considerando apenas "x" de duas peças. E, em segundo lugar, a integração é visivelmente simplificada.

Dois:

Integrando por partes:

Por isso:
, enquanto a constante , que não depende de "en", é retirada da soma.

Responda:

2) Escrevemos a expansão no intervalo, para isso substituímos o valor desejado do meio período na fórmula geral:

uma série em cossenos e senos de arcos múltiplos, ou seja, uma série da forma

ou em forma complexa

Onde a k,bk ou, respectivamente, kkk chamado coeficientes de T. r.
Pela primeira vez T. r. encontro em L. Euler (L. Euler, 1744). Ele tem expansões

Tudo está. século 18 Em conexão com o estudo do problema da vibração livre de uma corda, surgiu a questão da possibilidade de representar a função que caracteriza a posição inicial da corda como uma soma de T. r. Esta questão causou um debate acalorado que durou várias décadas, os melhores analistas da época - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Disputas relacionadas ao conteúdo do conceito de função. Naquela época, as funções eram geralmente associadas às suas análises. atribuição, o que levou à consideração de apenas funções analíticas ou analíticas por partes. E aqui tornou-se necessário para uma função cujo gráfico é uma curva suficientemente arbitrária construir um T. r. representando esta função. Mas o significado dessas disputas é maior. Na verdade, eles discutiram ou surgiram em conexão com questões relacionadas a muitos conceitos e ideias fundamentalmente importantes da matemática. análise em geral - a representação de funções por séries de Taylor e analítica. continuação de funções, uso de séries divergentes, permutação de limites, sistemas infinitos de equações, interpolação de funções por polinômios, etc.
E no futuro, como neste período inicial, a teoria de T. r. serviu como uma fonte de novas idéias em matemática. A questão que gerou polêmica entre os matemáticos no século XVIII foi resolvida em 1807 por J. Fourier, que indicou fórmulas para calcular os coeficientes de T. r. (1), que deve. represente na função f(x):

e os aplicou na resolução de problemas de condução de calor. As fórmulas (2) são chamadas de fórmulas de Fourier, embora tenham sido encontradas anteriormente por A. Clairaut (1754), e L. Euler (1777) chegou a elas usando integração termo a termo. T.r. (1), cujos coeficientes são determinados pelas fórmulas (2), chamadas. perto da função de Fourier f, e os números ak, bk- Coeficientes de Fourier.
A natureza dos resultados obtidos depende de como se entende a representação de uma função como uma série, de como se entende a integral nas fórmulas (2). A visão moderna da teoria do rio T.. adquirida após o aparecimento da integral de Lebesgue.
A teoria de T. r. pode ser condicionalmente dividido em duas grandes seções - a teoria Séries de Fourier, em que se supõe que a série (1) é a série de Fourier de uma determinada função, e a teoria da T. R. geral, onde tal suposição não é feita. Abaixo estão os principais resultados obtidos na teoria de T. r geral. (neste caso, a medida de conjuntos e a mensurabilidade de funções são entendidas de acordo com Lebesgue).
A primeira sistemática A pesquisa T. r., na qual não se supunha que essas séries fossem séries de Fourier, foi a dissertação de V. Riemann (V. Riemann, 1853). Portanto, a teoria do general T. r. chamado às vezes a teoria riemanniana da termodinâmica.
Para estudar as propriedades de T. r. arbitrário. (1) com coeficientes tendendo a zero B. Riemann considerou a função contínua F(x) , que é a soma de uma série uniformemente convergente

obtido após integração de duas vezes termo a termo da série (1). Se a série (1) converge em algum ponto x para um número s, então neste ponto existe a segunda simétrica e é igual a s. derivada da função F:

então isso leva à soma da série (1) gerada pelos fatores chamado pelo método de soma de Riemann. Utilizando a função F, formula-se o princípio de localização de Riemann, segundo o qual o comportamento da série (1) no ponto x depende apenas do comportamento da função F em uma vizinhança arbitrariamente pequena deste ponto.
Se T.r. converge em um conjunto de medida positiva, então seus coeficientes tendem a zero (o teorema de Cantor-Lebesgue). Tendência para coeficientes zero T. r. também segue da sua convergência em um conjunto da segunda categoria (W. Young, W. Young, 1909).
Um dos problemas centrais da teoria da termodinâmica geral é o problema de representar uma função arbitrária T. r. Reforçando os resultados de N. N. Luzin (1915) sobre a representação de funções de T. R. por Abel-Poisson e Riemann métodos sumaráveis ​​em quase todos os lugares, D. E. Men'shov provou (1940) o seguinte teorema, que se refere ao caso mais importante quando a representação de a função f é entendida como a convergência de T. r. para f(x) em quase todos os lugares. Para toda função f mensurável e finita em quase toda parte existe um T. R. que converge para ela em quase toda parte (teorema de Men'shov). Deve-se notar que mesmo que a função f seja integrável, então, em geral, não se pode tomar a série de Fourier da função f como tal série, pois existem séries de Fourier que divergem em todos os lugares.
O teorema de Men'shov acima admite o seguinte refinamento: se uma função f é mensurável e finita em quase todo lugar, então existe uma função contínua tal que quase em toda parte e a série de Fourier diferenciada termo a termo da função j converge para f(x) em quase toda parte (N. K. Bari, 1952).
Não se sabe (1984) se é possível omitir a condição de finitude para a função f em quase toda parte no teorema de Men'shov. Em particular, não se sabe (1984) se T. r. convergem em quase todos os lugares
Portanto, o problema de representar funções que podem assumir valores infinitos em um conjunto de medida positiva foi considerado para o caso em que a convergência em quase todos os lugares é substituída por um requisito mais fraco, a convergência na medida. A convergência na medida para funções que podem assumir valores infinitos é definida da seguinte forma: uma sequência de somas parciais T. p. s n(x) converge em medida para a função f(x) . se onde f n(x) converge para / (x) em quase todos os lugares, e a sequência converge para zero em medida. Nesse cenário, o problema da representação de funções foi resolvido até o fim: para toda função mensurável, existe um T. R. que converge para ela em medida (D. E. Men'shov, 1948).
Muita pesquisa tem sido dedicada ao problema da unicidade de T. r.: Dois T. diferentes podem divergir para a mesma função? em uma formulação diferente: se T. r. converge para zero, segue-se que todos os coeficientes da série são iguais a zero. Aqui pode-se significar convergência em todos os pontos ou em todos os pontos fora de um determinado conjunto. A resposta a essas perguntas depende essencialmente das propriedades do conjunto fora do qual a convergência não é assumida.
A seguinte terminologia foi estabelecida. Muitos nomes. conjunto de exclusividade ou VOCÊ- conjunto se, a partir da convergência de T. r. a zero em todos os lugares, exceto, talvez, para pontos do conjunto E, segue-se que todos os coeficientes desta série são iguais a zero. Caso contrário Enaz. Conjunto M.
Como G. Cantor (1872) mostrou, o conjunto vazio, assim como qualquer conjunto finito, são U-conjuntos. Um conjunto contável arbitrário também é um conjunto U (W. Jung, 1909). Por outro lado, todo conjunto de medida positiva é um conjunto M.
A existência de conjuntos M de medida zero foi estabelecida por D. E. Men'shov (1916), que construiu o primeiro exemplo de um conjunto perfeito com essas propriedades. Este resultado é de fundamental importância no problema da unicidade. Segue-se da existência de M-conjuntos de medida zero que, na representação de funções de T. R. que convergem em quase toda parte, essas séries são definidas invariavelmente de forma ambígua.
Conjuntos perfeitos também podem ser conjuntos em U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Características muito sutis de conjuntos de medida zero desempenham um papel essencial no problema da unicidade. A questão geral sobre a classificação de conjuntos de medida zero em M- e U-sets permanece (1984) aberto. Não é resolvido mesmo para conjuntos perfeitos.
O problema a seguir está relacionado ao problema da unicidade. Se T.r. converge para a função então se esta série deve ser a série de Fourier da função /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) deu uma resposta positiva a esta questão se f é integrável no sentido de Riemann e a série converge para f(x) em todos os pontos. Dos resultados III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) implica que a resposta é positiva mesmo que a série convirja em todos os lugares, exceto para um conjunto contável de pontos e sua soma seja finita.
Se a T. p converge absolutamente em algum ponto x 0, então os pontos de convergência desta série, bem como os pontos de sua convergência absoluta, estão localizados simetricamente em relação ao ponto x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
De acordo com Denjoy - Teorema de Luzin da convergência absoluta de T. r. (1) em um conjunto de medida positiva, a série converge e, consequentemente, a convergência absoluta da série (1) para todos X. Esta propriedade também é possuída por conjuntos da segunda categoria, bem como por certos conjuntos de medida zero.
Esta pesquisa abrange apenas T. r. unidimensional. (1). Existem resultados separados relacionados com T. p. geral. de várias variáveis. Aqui, em muitos casos, ainda é necessário encontrar declarações de problemas naturais.

Aceso.: Bari N.K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Série trigonométrica, trad. de English, volumes 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trad. de German, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

• - a soma trigonométrica final, - uma expressão da forma com coeficientes reais a 0, ek, bk, k=l, . . ., n; número n chamado. ordem T. 0)...

  Enciclopédia Matemática

• - uma série em cossenos e senos de arcos múltiplos, ou seja, uma série da forma ou na forma complexa onde são chamados ak, bk ou, respectivamente, ck. coeficientes de T. r. Pela primeira vez T. r. encontro em L. Euler ...

  Enciclopédia Matemática

• - ponto de triangulação, - ponto geodésico, cuja posição na superfície da terra é determinada pelo método de triangulação ...

  Grande dicionário politécnico enciclopédico

• - veja Triangulação...

  Dicionário Enciclopédico de Brockhaus e Euphron

• - na geodésia, uma estrutura instalada no solo em pontos trigonométricos. º. consiste em duas partes - externa e subterrânea...

  Grande Enciclopédia Soviética

• - uma série funcional da forma, ou seja, uma série localizada ao longo dos senos e cossenos de múltiplos arcos. Muitas vezes T.r. escrito de forma complexa.

Seja dada uma série trigonométrica

Para saber se converge, é natural considerar a série numérica

(2)

a série majoritária, como se costuma dizer, (1). Seus membros excedem, respectivamente, os valores absolutos dos membros da série (1):

.

Segue-se que se a série (2) converge, então a série (1) converge para todos e, além disso, absolutamente e uniformemente (veja nosso livro Matemática Superior. Cálculo Diferencial e Integral, § 9.8, Teorema 1). Mas a série (1) pode convergir sem a série (2) convergir. Afinal, seus termos para cada mudança de sinal (oscilam) um número infinito de vezes ao mudar, e pode acabar convergindo devido à compensação de termos positivos por negativos. Na teoria geral das séries, há sinais de convergência de séries semelhantes. Tais testes são os testes de Dirichlet e Abel (ver § 9.9, Teoremas 3, 4 do mesmo livro), que são bem adaptados ao estudo de séries trigonométricas.

De uma forma ou de outra, se for estabelecido que a série (1) converge uniformemente, então, do fato de seus termos serem funções contínuas do período , segue-se que sua soma

(3)

é uma função de período contínuo (ver § 9.8, Teorema 2 e § 9.9, Teorema 2 do mesmo livro) e a série (3) pode ser integrada termo a termo.

A série (3) pode ser formalmente diferenciada por:

(4)

e compor sua série majoritária

(5)

Novamente, se a série (5) converge, então a série (4) converge uniformemente. Além disso, com base no bem conhecido teorema da teoria das séries uniformemente convergentes, então a soma da série (4) é a derivada da soma da série (3), ou seja,

.

Em geral, se uma série

converge para algum número natural, então a série (3) pode ser legalmente diferenciada termo a termo.

No entanto, devemos lembrar que é possível que a série (3) possa ser legitimamente diferenciada mais uma vez (ou seja, vezes).

Exemplo. Descubra quantas vezes uma série pode ser diferenciada termo a termo

Números a, b n ou c n são chamados os coeficientes de T. r.

T.r. desempenham um papel muito importante na matemática e suas aplicações. Em primeiro lugar, T. r. fornecem meios para descrever e estudar funções e são, portanto, um dos principais aparatos da teoria das funções. Além disso, a radiação térmica aparece naturalmente na solução de uma série de problemas de física matemática, entre os quais podemos destacar o problema da vibração de uma corda, o problema da propagação do calor e outros. Finalmente, a teoria da radiação térmica . contribuiu para o esclarecimento dos conceitos básicos da análise matemática (função, integral), deu vida a uma série de seções importantes da matemática (a teoria das integrais de Fourier, a teoria das funções quase periódicas), serviu como um dos pontos de partida para o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, a teoria das funções de uma variável real e a análise funcional, e deu início à análise harmônica geral.

Euler apontou a conexão entre série de potências e T. R.: se c n são reais, então

nomeadamente:

Aceso.: Luzin N. N., Série integral e trigonométrica, M. - L., 1951; Barin. K., Série trigonométrica, Moscou, 1961; Sigmund A., Série trigonométrica, trad. de Inglês, 2ª ed., vol. 1-2, M., 1965.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

Veja o que é a "Série Trigonométrica" ​​em outros dicionários:

Uma série de cossenos e senos de arcos múltiplos, ou seja, uma série da forma ou na forma complexa onde são chamados ak, bk ou, respectivamente, ck. coeficientes de T. r. Pela primeira vez T. r. encontro em L. Euler (L. Euler, 1744). Ele recebeu expansões em ser. século 18 em conexão com…… Enciclopédia Matemática

Uma série da forma onde os coeficientes a0, a1, b1, a2, b2 ... não dependem da variável x ... Grande Dicionário Enciclopédico

Em matemática, uma série trigonométrica é qualquer série da forma: Uma série trigonométrica é chamada de série de Fourier de uma função se os coeficientes e são definidos da seguinte forma ... Wikipedia

Uma série da forma onde os coeficientes a0, a1, b1, a2, b2, ... não dependem da variável x. * * * SÉRIE TRIGONOMETRICA SÉRIE TRIGONOMETRICA, uma série da forma onde os coeficientes a0, a1, b1, a2, b2 ... não dependem da variável x ... dicionário enciclopédico

A série trigonométrica de Fourier é uma representação de uma função arbitrária com um período na forma de uma série (1) ou, usando notação complexa, na forma de uma série: . Conteúdo... Wikipédia

série de Fourier trigonométrica infinita- - Tópicos de telecomunicações, conceitos básicos EN Série Fourier ... Manual do Tradutor Técnico

Série do tipo Série do tipo (1) K. Weierstrass introduziu em 1872 uma função contínua não diferenciável em nenhum lugar. J. Hadamard em 1892 aplicou séries (1), chamando-as lacunares, ao estudo da analítica. continuação da função. Sistemático… Enciclopédia Matemática

Para séries de séries Essas séries são, respectivamente, as partes real e imaginária da série em z=eix. A fórmula para as somas parciais da função j(x) conjugada com a série trigonométrica de Fourier. series onde é o kernel conjugado de Dirichlet. Se f(x) é uma função de variação limitada... ... Enciclopédia Matemática

Adicionando termos da série Fourier ... Wikipedia

I é uma soma infinita, por exemplo, da forma u1 + u2 + u3 + ... + un + ... ou, resumindo, Um dos exemplos mais simples de R., já encontrado na matemática elementar, é um infinitamente soma decrescente ... ... Grande Enciclopédia Soviética

Observações introdutórias

Nesta seção, consideraremos a representação de sinais periódicos usando uma série de Fourier. As séries de Fourier são a base da teoria da análise espectral, pois, como veremos mais adiante, a transformada de Fourier de um sinal não periódico pode ser obtida como a transição limite da série de Fourier com período de repetição infinito. Como resultado, as propriedades da série de Fourier também são válidas para a transformada de Fourier de sinais não periódicos.

Consideraremos as expressões para a série de Fourier nas formas trigonométricas e complexas, e também prestaremos atenção às condições de Dirichlet para a convergência da série de Fourier. Além disso, nos deteremos em detalhes na explicação de um conceito como a frequência negativa do espectro do sinal, que muitas vezes causa dificuldade ao se familiarizar com a teoria da análise espectral.

Sinal periódico. Série trigonométrica de Fourier

Seja um sinal periódico de tempo contínuo , que se repete com um período c, ou seja. , onde é um inteiro arbitrário.

Como exemplo, a Figura 1 mostra uma sequência de pulsos retangulares de duração c, repetindo-se com um período de c.

Figura 1. Sequência periódica

Pulsos retangulares

Do curso da análise matemática, sabe-se que o sistema de funções trigonométricas

com frequências múltiplas , onde rad/s é um número inteiro, forma uma base ortonormal para a expansão de sinais periódicos com um período que satisfaz as condições de Dirichlet .

As condições de Dirichlet para a convergência da série de Fourier requerem que um sinal periódico seja dado no segmento , satisfazendo as seguintes condições:

Por exemplo, a função periódica não satisfaz as condições de Dirichlet, porque a função tem descontinuidades do segundo tipo e assume valores infinitos para , onde é um inteiro arbitrário. Então a função não pode ser representado por uma série de Fourier. Você também pode dar um exemplo de uma função , que é limitado, mas também não satisfaz as condições de Dirichlet, pois possui um número infinito de pontos extremos à medida que se aproxima de zero. Gráfico de funções mostrado na figura 2.

Figura 2. Gráfico da função :

A - dois períodos de repetição; b - no bairro

A Figura 2a mostra dois períodos de repetição da função , e na Figura 2b é a área nas proximidades de . Pode-se observar que ao se aproximar de zero, a frequência de oscilação aumenta infinitamente, e tal função não pode ser representada por uma série de Fourier, pois não é monotônica por partes.

Deve-se notar que na prática não existem sinais com valores infinitos de corrente ou tensão. Funções com um número infinito de extremos do tipo também não são encontrados em problemas aplicados. Todos os sinais periódicos reais satisfazem as condições de Dirichlet e podem ser representados por uma série de Fourier trigonométrica infinita da forma:

Na expressão (2), o coeficiente especifica o componente constante do sinal periódico.

Em todos os pontos onde o sinal é contínuo, a série de Fourier (2) converge para os valores do sinal dado, e nos pontos de descontinuidade do primeiro tipo, para o valor médio , onde e são os limites à esquerda e à direita do ponto de descontinuidade, respectivamente.

Também é conhecido do curso da análise matemática que o uso de uma série de Fourier truncada contendo apenas os primeiros termos em vez de uma soma infinita leva a uma representação aproximada do sinal:

que garante o erro quadrático médio mínimo. A Figura 3 ilustra a aproximação de um trem de ondas quadradas periódicas e um sinal periódico de dente de serra usando diferentes números de termos da série de Fourier.

Figura 3. Aproximação de sinais por uma série de Fourier truncada:

A - pulsos retangulares; b - sinal dente de serra

Série de Fourier na forma complexa

No parágrafo anterior, consideramos a série trigonométrica de Fourier para expandir um sinal periódico arbitrário que satisfaça as condições de Dirichlet. Usando a fórmula de Euler, podemos mostrar:
Então a série trigonométrica de Fourier (2) levando em conta (4):

Assim, um sinal periódico pode ser representado pela soma de um componente DC e expoentes complexos girando em frequências com coeficientes para frequências positivas e para expoentes complexos girando em frequências negativas.

Considere os coeficientes para expoentes complexos girando com frequências positivas:

As expressões (6) e (7) coincidem, além disso, o componente constante também pode ser escrito em termos do exponencial complexo na frequência zero:

Assim, (5), levando em conta (6)-(8), pode ser representado como uma única soma quando indexado de menos infinito a infinito:

A expressão (9) é uma série de Fourier na forma complexa. Os coeficientes da série de Fourier na forma complexa estão relacionados com os coeficientes e da série na forma trigonométrica, e são definidos tanto para frequências positivas como negativas. O índice na notação de frequência indica o número do harmônico discreto, com índices negativos correspondendo a frequências negativas.

Segue da expressão (2) que para um sinal real os coeficientes e da série (2) também são reais. No entanto, (9) atribui a um sinal real , um conjunto de coeficientes conjugados complexos , relacionados a frequências positivas e negativas .

Algumas explicações para a série de Fourier em forma complexa

Na seção anterior, fizemos a transição da série trigonométrica de Fourier (2) para a série de Fourier na forma complexa (9). Como resultado, em vez de expandir os sinais periódicos na base de funções trigonométricas reais, obtivemos uma expansão na base de exponenciais complexos, com coeficientes complexos, e até frequências negativas apareceram na expansão! Uma vez que esta questão é muitas vezes mal compreendida, é necessário dar alguns esclarecimentos.

Primeiro, trabalhar com expoentes complexos é, na maioria dos casos, mais fácil do que trabalhar com funções trigonométricas. Por exemplo, ao multiplicar e dividir exponenciais complexas, basta adicionar (subtrair) os expoentes, enquanto as fórmulas para multiplicar e dividir funções trigonométricas são mais complicadas.

Diferenciar e integrar expoentes, mesmo complexos, também é mais fácil do que funções trigonométricas, que mudam constantemente ao diferenciar e integrar (seno torna-se cosseno e vice-versa).

Se o sinal é periódico e real, então a série trigonométrica de Fourier (2) parece mais ilustrativa, pois todos os coeficientes de expansão , e permanecem reais. No entanto, muitas vezes é preciso lidar com sinais periódicos complexos (por exemplo, modulação e demodulação usam uma representação em quadratura do envelope complexo). Neste caso, ao usar a série trigonométrica de Fourier, todos os coeficientes e expansões (2) se tornarão complexos, enquanto ao usar a série de Fourier na forma complexa (9), os mesmos coeficientes de expansão serão usados ​​para sinais de entrada reais e complexos .

E, finalmente, é necessário deter-se na explicação das frequências negativas que apareceram em (9). Esta pergunta é muitas vezes mal compreendida. Na vida cotidiana, não encontramos frequências negativas. Por exemplo, nunca sintonizamos nosso rádio em uma frequência negativa. Vamos considerar a seguinte analogia da mecânica. Seja um pêndulo de mola mecânica que oscile livremente com uma certa freqüência. Um pêndulo pode oscilar com frequência negativa? Claro que não. Assim como não há estações de rádio que vão ao ar em frequências negativas, a frequência do pêndulo não pode ser negativa. Mas um pêndulo de mola é um objeto unidimensional (o pêndulo oscila ao longo de uma linha reta).

Também podemos fazer outra analogia da mecânica: uma roda girando com uma frequência de . A roda, ao contrário do pêndulo, gira, ou seja, um ponto na superfície da roda se move em um plano e não oscila apenas ao longo de uma única linha reta. Portanto, para definir exclusivamente a rotação da roda, não basta definir a frequência de rotação, pois também é necessário definir o sentido de rotação. É exatamente para isso que podemos usar o sinal de frequência.

Portanto, se a roda gira em uma frequência de rad / s no sentido anti-horário, consideramos que a roda gira com uma frequência positiva e, se gira no sentido horário, a frequência de rotação será negativa. Assim, para especificar uma rotação, uma frequência negativa deixa de ser absurda e indica o sentido de rotação.

E agora a coisa mais importante que devemos entender. A oscilação de um objeto unidimensional (por exemplo, um pêndulo de mola) pode ser representada como a soma das rotações dos dois vetores mostrados na Figura 4.

Figura 4. Oscilação de um pêndulo de mola

Como a soma das rotações de dois vetores

no plano complexo

O pêndulo oscila ao longo do eixo real do plano complexo com uma frequência de acordo com a lei harmônica. O movimento do pêndulo é mostrado como um vetor horizontal. O vetor superior gira no plano complexo em uma frequência positiva (sentido anti-horário) e o vetor inferior gira em uma frequência negativa (sentido horário). A Figura 4 ilustra claramente a relação bem conhecida do curso de trigonometria:

Assim, a série de Fourier na forma complexa (9) representa sinais periódicos unidimensionais como a soma de vetores no plano complexo girando com frequências positivas e negativas. Ao mesmo tempo, notamos que no caso de um sinal real, conforme (9), os coeficientes de expansão para frequências negativas são conjugados complexos aos coeficientes correspondentes para frequências positivas . No caso de um sinal complexo, esta propriedade dos coeficientes não se mantém devido ao fato de que e também são complexos.

Espectro de sinais periódicos

A série de Fourier em forma complexa é a decomposição de um sinal periódico em uma soma de exponenciais complexos girando com frequências positivas e negativas em múltiplos de rad/s com os correspondentes coeficientes complexos, que determinam o espectro do sinal. Os coeficientes complexos podem ser representados pela fórmula de Euler como , onde é o espectro de amplitude e a é o espectro de fase.

Como os sinais periódicos são decompostos em série apenas em uma grade de frequência fixa, o espectro dos sinais periódicos é linear (discreto).

Figura 5. Espectro de uma Sequência Periódica

Pulsos retangulares:

A é o espectro de amplitude; b - espectro de fase

A Figura 5 mostra um exemplo do espectro de amplitude e fase de uma sequência periódica de pulsos retangulares (ver Figura 1) para c, duração de pulso c e amplitude de pulso B.

O espectro de amplitude do sinal real original é simétrico em relação à frequência zero, enquanto o espectro de fase é antisimétrico. Ao mesmo tempo, notamos que os valores do espectro de fase e correspondem ao mesmo ponto no plano complexo.

Pode-se concluir que todos os coeficientes de expansão do sinal reduzido são puramente reais, e o espectro de fase corresponde a coeficientes negativos.

Observe que a dimensão do espectro de amplitude coincide com a dimensão do sinal. Se descreve a mudança na tensão ao longo do tempo, medida em volts, então as amplitudes dos harmônicos do espectro também terão a dimensão de volts.

descobertas

Nesta seção, consideramos a representação de sinais periódicos usando a série de Fourier. Expressões para a série de Fourier em formas trigonométricas e complexas são dadas. Demos atenção especial às condições de Dirichlet para a convergência da série de Fourier e demos exemplos de funções para as quais a série de Fourier diverge.

Detivemo-nos em detalhes sobre a expressão da série de Fourier na forma complexa e mostramos que os sinais periódicos, tanto reais quanto complexos, são representados por uma série de exponenciais complexos com frequências positivas e negativas. Neste caso, os coeficientes de expansão também são complexos e caracterizam o espectro de amplitude e fase de um sinal periódico.

Na próxima seção, consideraremos as propriedades dos espectros de sinais periódicos com mais detalhes.

Implementação de software na biblioteca DSPL

Dé, G. Guia para a aplicação prática da transformada de Laplace. Moscou, Nauka, 1965, 288 p.