Como investigar uma função e traçar seu gráfico?

Parece que estou começando a entender o rosto comovente do líder do proletariado mundial, autor de obras coletadas em 55 volumes .... A longa jornada começou com informações elementares sobre funções e gráficos, e agora trabalhar em um tópico trabalhoso termina com um resultado natural - um artigo sobre o estudo de função completa. A tão esperada tarefa é formulada da seguinte forma:

Investigue a função por métodos de cálculo diferencial e, com base nos resultados do estudo, construa seu gráfico

Ou resumindo: examine a função e plote-a.

Por que explorar? Em casos simples, não será difícil para nós lidar com funções elementares, desenhe um gráfico obtido usando transformações geométricas elementares etc. No entanto, as propriedades e representações gráficas de funções mais complexas estão longe de ser óbvias, razão pela qual é necessário todo um estudo.

As principais etapas da solução estão resumidas no material de referência Esquema de Estudo de Função, este é o seu guia de seção. Os leigos precisam de uma explicação passo a passo do tema, alguns leitores não sabem por onde começar e como organizar o estudo, e os alunos avançados podem se interessar apenas por alguns pontos. Mas seja você quem for, caro visitante, o resumo proposto com indicações para várias lições irá orientá-lo e direcioná-lo na direção de seu interesse no menor tempo possível. Os robôs derramaram uma lágrima =) O manual foi feito em formato pdf e tomou o seu devido lugar na página Fórmulas matemáticas e tabelas.

Eu costumava dividir o estudo da função em 5-6 pontos:

6) Pontos adicionais e gráfico com base nos resultados do estudo.

Quanto à ação final, acho que todos entendem tudo - será muito decepcionante se em questão de segundos ela for riscada e a tarefa for devolvida para revisão. UM DESENHO CORRETO E PRECISO é o principal resultado da solução! É muito provável que "encobrir" descuidos analíticos, enquanto um cronograma incorreto e/ou desleixado causará problemas mesmo com um estudo perfeitamente conduzido.

Deve-se notar que em outras fontes, o número de itens de pesquisa, a ordem de sua implementação e o estilo de design podem diferir significativamente do esquema proposto por mim, mas na maioria dos casos é suficiente. A versão mais simples do problema consiste em apenas 2-3 etapas e é formulada assim: “explore a função usando a derivada e plote” ou “explore a função usando a 1ª e 2ª derivada, plote”.

Naturalmente, se outro algoritmo for analisado em detalhes em seu manual de treinamento ou seu professor exigir estritamente que você siga as aulas dele, você terá que fazer alguns ajustes na solução. Não é mais difícil do que substituir um garfo por uma colher de motosserra.

Vamos verificar a função para par/ímpar:

Isso é seguido por um modelo de cancelamento de assinatura:
, então esta função não é nem par nem ímpar.

Como a função é contínua em , não há assíntotas verticais.

Também não há assíntotas oblíquas.

Observação : Relembro que quanto maior ordem de crescimento que , então o limite final é exatamente " mais infinidade."

Vamos descobrir como a função se comporta no infinito:

Em outras palavras, se formos para a direita, o gráfico vai infinitamente para cima, se formos para a esquerda, infinitamente para baixo. Sim, também existem dois limites em uma única entrada. Se você tiver dificuldade em decifrar os sinais, visite a lição sobre funções infinitesimais.

Então a função não limitado de cima e não limitado a partir de baixo. Considerando que não temos break points, fica claro e intervalo de funções: também é qualquer número real.

TÉCNICA ÚTIL

Cada etapa da tarefa traz novas informações sobre o gráfico da função, portanto, no decorrer da solução, é conveniente usar um tipo de LAYOUT. Vamos desenhar um sistema de coordenadas cartesianas no rascunho. O que se sabe com certeza? Em primeiro lugar, o gráfico não possui assíntotas, portanto, não há necessidade de traçar linhas retas. Segundo, sabemos como a função se comporta no infinito. De acordo com a análise, traçamos a primeira aproximação:

Observe que com efeito continuidade função on e o fato de que , o gráfico deve cruzar o eixo pelo menos uma vez. Ou talvez existam vários pontos de interseção?

3) Zeros da função e intervalos de sinal constante.

Primeiro, encontre o ponto de interseção do gráfico com o eixo y. É simples. É necessário calcular o valor da função quando:

Metade acima do nível do mar.

Para encontrar os pontos de interseção com o eixo (zeros da função), você precisa resolver a equação, e aqui uma surpresa desagradável nos espera:

No final, um membro livre espreita, o que complica significativamente a tarefa.

Tal equação tem pelo menos uma raiz real e, na maioria das vezes, essa raiz é irracional. No pior conto de fadas, três porquinhos estão esperando por nós. A equação é solúvel usando o chamado Fórmulas de Cardano, mas o dano do papel é comparável a quase todo o estudo. Nesse sentido, é mais sensato oralmente ou em um rascunho tentar pegar pelo menos um inteira raiz. Vamos verificar se esses números são:
- não serve;
- há!

Aqui é sorte. Em caso de falha, você também pode testar e, se esses números não se encaixarem, temo que haja muito poucas chances de uma solução lucrativa para a equação. Então é melhor pular completamente o ponto de pesquisa - talvez algo fique mais claro na etapa final, quando pontos adicionais surgirem. E se a raiz (raízes) for claramente “ruim”, é melhor permanecer modestamente em silêncio sobre os intervalos de constância dos sinais e completar o desenho com mais precisão.

No entanto, temos uma bela raiz, então dividimos o polinômio sem resto:

O algoritmo para dividir um polinômio por um polinômio é discutido em detalhes no primeiro exemplo da lição. Limites complexos.

Como resultado, o lado esquerdo da equação original se expande em um produto:

E agora um pouco sobre um estilo de vida saudável. Claro que eu entendo isso equações quadráticas precisam ser resolvidos todos os dias, mas hoje vamos abrir uma exceção: a equação tem duas raízes reais.

Na reta numérica, plotamos os valores encontrados e método de intervalo Defina os sinais da função:


og Assim, nos intervalos gráfico localizado
abaixo do eixo x, e em intervalos - acima deste eixo.

As descobertas resultantes nos permitem refinar nosso layout, e a segunda aproximação do gráfico se parece com isso:

Observe que a função deve ter pelo menos um máximo no intervalo e pelo menos um mínimo no intervalo. Mas não sabemos quantas vezes, onde e quando a programação vai "dar voltas". A propósito, uma função pode ter infinitas extremos.

4) Crescente, decrescente e extremo da função.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Esta equação tem duas raízes reais. Vamos colocá-los na reta numérica e determinar os sinais da derivada:


Portanto, a função aumenta em e diminui em .
No ponto em que a função atinge seu máximo: .
No ponto em que a função atinge seu mínimo: .

Os fatos estabelecidos conduzem nosso modelo a uma estrutura bastante rígida:

Escusado será dizer que o cálculo diferencial é uma coisa poderosa. Vamos finalmente lidar com a forma do gráfico:

5) Convexidade, concavidade e pontos de inflexão.

Encontre os pontos críticos da segunda derivada:

Vamos definir os signos:


O gráfico da função é convexo em e côncavo em . Vamos calcular a ordenada do ponto de inflexão: .

Quase tudo esclarecido.

6) Resta encontrar pontos adicionais que ajudarão a construir um gráfico com mais precisão e realizar um autoteste. Nesse caso, eles são poucos, mas não vamos descuidar:

Vamos executar o desenho:

O ponto de inflexão é marcado em verde, pontos adicionais são marcados com cruzes. O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão, que está sempre localizado exatamente no meio entre o máximo e o mínimo.

No decorrer do trabalho, dei três desenhos intermediários hipotéticos. Na prática, basta desenhar um sistema de coordenadas, marcar os pontos encontrados e, após cada ponto do estudo, imaginar mentalmente como seria o gráfico da função. Não será difícil para os alunos com um bom nível de preparação realizar tal análise apenas em suas mentes sem envolver um rascunho.

Para uma solução autônoma:

Exemplo 2

Explore a função e construa um gráfico.

Aqui tudo é mais rápido e divertido, um exemplo aproximado de finalização no final da aula.

Muitos segredos são revelados pelo estudo de funções racionais fracionárias:

Exemplo 3

Utilizando os métodos de cálculo diferencial, investigue a função e, com base nos resultados do estudo, construa seu gráfico.

Decisão: a primeira etapa do estudo não difere em nada notável, com exceção de um buraco na área de definição:

1) A função é definida e contínua em toda a reta numérica, exceto no ponto , domínio: .

, então esta função não é nem par nem ímpar.

Obviamente, a função não é periódica.

O gráfico da função consiste em dois ramos contínuos localizados no semiplano esquerdo e direito - esta é talvez a conclusão mais importante do 1º parágrafo.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

a) Com a ajuda de limites laterais, estudamos o comportamento da função próximo ao ponto suspeito, onde a assíntota vertical deve ser claramente:

De fato, as funções perduram intervalo sem fim no ponto
e a reta (eixo) é assíntota vertical Artes gráficas .

b) Verifique se existem assíntotas oblíquas:

Sim, a linha é assíntota oblíqua gráficos se .

Não faz sentido analisar os limites, pois já está claro que a função em um abraço com sua assíntota oblíqua não limitado de cima e não limitado a partir de baixo.

O segundo ponto do estudo trouxe muitas informações importantes sobre a função. Vamos fazer um rascunho:

A conclusão nº 1 diz respeito aos intervalos de constância do sinal. Em "menos infinito", o gráfico da função está localizado exclusivamente abaixo do eixo x, e em "mais infinito" está acima desse eixo. Além disso, os limites laterais nos disseram que tanto à esquerda quanto à direita do ponto, a função também é maior que zero. Observe que no semiplano esquerdo, o gráfico deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez. No semiplano direito, pode não haver zeros da função.

A conclusão nº 2 é que a função aumenta à esquerda do ponto (vai “de baixo para cima”). À direita deste ponto, a função diminui (vai “de cima para baixo”). O ramo direito do gráfico certamente deve ter pelo menos um mínimo. À esquerda, os extremos não são garantidos.

A conclusão nº 3 fornece informações confiáveis ​​sobre a concavidade do gráfico nas proximidades do ponto. Ainda não podemos dizer nada sobre convexidade/concavidade no infinito, pois a linha pode ser pressionada contra sua assíntota tanto de cima quanto de baixo. De um modo geral, existe uma maneira analítica de descobrir isso agora, mas a forma do gráfico "para nada" ficará mais clara em um estágio posterior.

Por que tantas palavras? Para controlar os pontos de pesquisa subsequentes e evitar erros! Cálculos adicionais não devem contradizer as conclusões tiradas.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de sinal constante da função.

O gráfico da função não cruza o eixo.

Usando o método do intervalo, determinamos os sinais:

, E se ;
, E se .

Os resultados do parágrafo são totalmente consistentes com a Conclusão nº 1. Após cada etapa, olhe para o rascunho, consulte mentalmente o estudo e termine de desenhar o gráfico da função.

Neste exemplo, o numerador é dividido termo a termo pelo denominador, o que é muito benéfico para a diferenciação:

Na verdade, isso já foi feito ao encontrar assíntotas.

- ponto crítico.

Vamos definir os signos:

aumenta em e diminui para

No ponto em que a função atinge seu mínimo: .

Também não houve discrepâncias com a Conclusão nº 2 e, muito provavelmente, estamos no caminho certo.

Isso significa que o gráfico da função é côncavo em todo o domínio de definição.

Excelente - e você não precisa desenhar nada.

Não há pontos de inflexão.

A concavidade é consistente com a Conclusão nº 3, além disso, indica que no infinito (lá e ali) o gráfico da função está localizado superior sua assíntota oblíqua.

6) Fixaremos conscientemente a tarefa com pontos adicionais. Aqui temos que trabalhar muito, porque conhecemos apenas dois pontos do estudo.

E uma imagem que, provavelmente, muitos apresentam há muito tempo:

No decorrer do trabalho, deve-se ter o cuidado de garantir que não haja contradições entre as etapas do estudo, mas às vezes a situação é urgente ou até desesperadamente sem saída. Aqui a análise "não converge" - e é isso. Neste caso, recomendo uma técnica de emergência: encontramos o maior número possível de pontos pertencentes ao gráfico (quanta paciência é suficiente) e os marcamos no plano de coordenadas. A análise gráfica dos valores encontrados na maioria dos casos lhe dirá onde está a verdade e onde está a mentira. Além disso, o gráfico pode ser pré-construído usando algum programa, por exemplo, no mesmo Excel (é claro que isso requer habilidades).

Exemplo 4

Usando os métodos de cálculo diferencial, investigue a função e trace seu gráfico.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Nele, o autocontrole é aprimorado pela uniformidade da função - o gráfico é simétrico em relação ao eixo e, se algo em seu estudo contradiz esse fato, procure um erro.

Uma função par ou ímpar só pode ser investigada para , e então a simetria do gráfico pode ser usada. Esta solução é ótima, mas parece, na minha opinião, muito incomum. Pessoalmente, considero todo o eixo numérico, mas ainda encontro pontos adicionais apenas à direita:

Exemplo 5

Faça um estudo completo da função e trace seu gráfico.

Decisão: apressado:

1) A função é definida e contínua em toda a reta real: .

Isso significa que esta função é ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Obviamente, a função não é periódica.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

Como a função é contínua em , não há assíntotas verticais

Para uma função que contém um expoente, normalmente separado o estudo do "mais" e "menos infinito", no entanto, nossa vida é facilitada apenas pela simetria do gráfico - ou há uma assíntota à esquerda e à direita, ou não é. Portanto, ambos os limites infinitos podem ser organizados em uma única entrada. No decorrer da solução, usamos Regra de L'Hopital:

A linha reta (eixo) é a assíntota horizontal do gráfico em .

Preste atenção em como eu habilmente evitei o algoritmo completo para encontrar a assíntota oblíqua: o limite é bastante legal e esclarece o comportamento da função no infinito, e a assíntota horizontal foi encontrada "como se ao mesmo tempo".

Segue da continuidade e da existência de uma assíntota horizontal que a função limitado de cima e limitado por baixo.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de constância.

Aqui também encurtamos a solução:
O gráfico passa pela origem.

Não há outros pontos de interseção com os eixos coordenados. Além disso, os intervalos de constância são óbvios, e o eixo não pode ser desenhado: , o que significa que o sinal da função depende apenas do "x":
, E se ;
, E se .

4) Crescente, decrescente, extremos da função.


são pontos críticos.

Os pontos são simétricos em torno de zero, como deveria ser.

Vamos definir os sinais da derivada:


A função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos

No ponto em que a função atinge seu máximo: .

Por causa da propriedade (estranheza da função) o mínimo pode ser omitido:

Como a função diminui no intervalo , então, obviamente, o gráfico está localizado em "menos infinito" debaixo com sua assíntota. No intervalo, a função também diminui, mas aqui o oposto é verdadeiro - depois de passar pelo ponto máximo, a linha se aproxima do eixo por cima.

Também segue do acima que o gráfico da função é convexo em "menos infinito" e côncavo em "mais infinito".

Após este ponto do estudo, também foi desenhada a área dos valores da função:

Se você tiver uma compreensão errônea de algum ponto, mais uma vez o exorto a desenhar eixos coordenados em seu caderno e, com um lápis nas mãos, reanalisar cada conclusão da tarefa.

5) Convexidade, concavidade, inflexões do gráfico.

são pontos críticos.

A simetria dos pontos é preservada e, provavelmente, não estamos enganados.

Vamos definir os signos:


O gráfico da função é convexo em e côncavo em .

A convexidade/concavidade em intervalos extremos foi confirmada.

Em todos os pontos críticos há inflexões no gráfico. Vamos encontrar as ordenadas dos pontos de inflexão, reduzindo novamente o número de cálculos, usando a estranheza da função:

Reshebnik Kuznetsov.
III Gráficos

Tarefa 7. Faça um estudo completo da função e construa seu gráfico.

        Antes de iniciar o download de suas opções, tente resolver o problema seguindo o exemplo abaixo para a opção 3. Algumas das opções estão arquivadas no formato .rar

        7.3 Faça um estudo completo da função e faça um gráfico

Decisão.

        1) Escopo:         ou        , ou seja,       .
.
Assim:         .

        2) Não há pontos de interseção com o eixo Ox. De fato, a equação         não tem soluções.
Não há pontos de interseção com o eixo Oy porque        .

        3) A função não é nem par nem ímpar. Não há simetria em torno do eixo y. Também não há simetria sobre a origem. Como
.
Vemos que         e      .

        4) A função é contínua no domínio
.

; .

; .
Portanto, o ponto         é um ponto de descontinuidade do segundo tipo (descontinuidade infinita).

5) Assíntotas verticais:       

Encontre a assíntota oblíqua        . Aqui

;
.
Portanto, temos uma assíntota horizontal: y=0. Não há assíntotas oblíquas.

        6) Encontre a primeira derivada. Primeira derivada:
.
E é por causa disso
.
Vamos encontrar pontos estacionários onde a derivada é igual a zero, ou seja
.

        7) Encontre a segunda derivada. Segunda derivada:
.
E isso é fácil de verificar, pois

Há algum tempo, no TheBat (não está claro por qual motivo), o banco de dados interno de certificados para SSL deixou de funcionar corretamente.

Ao verificar a postagem, um erro aparece:

Certificado de CA desconhecido
O servidor não apresentou um certificado raiz na sessão e o certificado raiz correspondente não foi encontrado no catálogo de endereços.
Esta conexão não pode ser secreta. Você é bem vindo
entre em contato com o administrador do servidor.

E é oferecida uma escolha de respostas - SIM / NÃO. E assim toda vez que você atira no correio.

Decisão

Nesse caso, você precisa substituir o padrão de implementação S/MIME e TLS pelo Microsoft CryptoAPI no TheBat!

Como eu precisava mesclar todos os arquivos em um, primeiro converti todos os arquivos doc em um único arquivo pdf (usando o programa Acrobat) e depois o transferi para o fb2 por meio de um conversor online. Você também pode converter arquivos individualmente. Os formatos podem ser absolutamente qualquer (fonte) e doc, jpg e até arquivo zip!

O nome do site corresponde à essência:) Online Photoshop.

Atualização de maio de 2015

Encontrei outro ótimo site! Ainda mais conveniente e funcional para criar uma colagem completamente arbitrária! Este site é http://www.fotor.com/ru/collage/ . Uso na saúde. E eu mesmo vou usar.

Confrontado na vida com o reparo de fogões elétricos. Eu já fiz muitas coisas, aprendi muito, mas de alguma forma eu tinha pouco a ver com azulejos. Foi necessário substituir os contatos dos reguladores e queimadores. Surgiu a questão - como determinar o diâmetro do queimador no fogão elétrico?

A resposta acabou sendo simples. Não há necessidade de medir nada, você pode determinar com calma o tamanho que você precisa.

O menor queimadoré de 145 milímetros (14,5 centímetros)

Queimador médioé de 180 milímetros (18 centímetros).

E finalmente o mais grande queimadoré de 225 milímetros (22,5 centímetros).

Basta determinar o tamanho a olho nu e entender de que diâmetro você precisa de um queimador. Quando eu não sabia disso, eu estava subindo com esses tamanhos, não sabia medir, qual borda navegar, etc. Agora eu sou sábio :) Espero que tenha ajudado você também!

Na minha vida eu enfrentei esse problema. Acho que não sou o único.

Se no problema for necessário realizar um estudo completo da função f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 com a construção de seu gráfico, consideraremos esse princípio em detalhes.

Para resolver um problema deste tipo, deve-se usar as propriedades e gráficos das principais funções elementares. O algoritmo de pesquisa inclui as seguintes etapas:

Encontrando o domínio de definição

Como a pesquisa é realizada no domínio da função, é necessário começar com esta etapa.

Exemplo 1

O exemplo dado envolve encontrar os zeros do denominador para excluí-los do DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, você pode obter raízes, logaritmos e assim por diante. Então a ODZ pode ser buscada pela raiz de um grau par do tipo g (x) 4 pela desigualdade g (x) ≥ 0 , para o logaritmo log a g (x) pela desigualdade g (x) > 0 .

Investigação dos limites da ODZ e encontrar assíntotas verticais

Existem assíntotas verticais nos limites da função, quando os limites laterais em tais pontos são infinitos.

Exemplo 2

Por exemplo, considere os pontos de fronteira iguais a x = ± 1 2 .

Então é necessário estudar a função para encontrar o limite unilateral. Então temos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = limite x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limite x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Isso mostra que os limites laterais são infinitos, o que significa que as linhas x = ± 1 2 são as assíntotas verticais do gráfico.

Investigação da função e para par ou ímpar

Quando a condição y (- x) = y (x) é satisfeita, a função é considerada par. Isso sugere que o gráfico está localizado simetricamente em relação a O y. Quando a condição y (- x) = - y (x) é satisfeita, a função é considerada ímpar. Isso significa que a simetria vai em relação à origem das coordenadas. Se pelo menos uma desigualdade falhar, obtemos uma função de forma geral.

O cumprimento da igualdade y (- x) = y (x) indica que a função é par. Ao construir, é necessário levar em conta que haverá simetria em relação a O y.

Para resolver a desigualdade, são usados ​​intervalos de aumento e diminuição com as condições f "(x) ≥ 0 ef" (x) ≤ 0, respectivamente.

Definição 1

Pontos estacionários são pontos que transformam a derivada em zero.

Pontos críticos são pontos interiores do domínio onde a derivada da função é igual a zero ou não existe.

Ao tomar uma decisão, os seguintes pontos devem ser levados em consideração:

• para os intervalos existentes de aumento e diminuição da desigualdade da forma f"(x) > 0, os pontos críticos não estão incluídos na solução;
• pontos nos quais a função é definida sem uma derivada finita devem ser incluídos nos intervalos de aumento e diminuição (por exemplo, y \u003d x 3, onde o ponto x \u003d 0 torna a função definida, a derivada tem o valor de infinito neste ponto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 é incluído no intervalo de aumento);
• para evitar divergências, recomenda-se o uso da literatura matemática, recomendada pelo Ministério da Educação.

A inclusão de pontos críticos nos intervalos crescentes e decrescentes caso satisfaçam o domínio da função.

Definição 2

Por determinando os intervalos de aumento e diminuição da função, é necessário encontrar:

• derivado;
• Pontos críticos;
• quebrar o domínio de definição com a ajuda de pontos críticos em intervalos;
• determine o sinal da derivada em cada um dos intervalos, onde + é um aumento e - é uma diminuição.

Exemplo 3

Encontre a derivada no domínio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Decisão

Para resolver você precisa:

• encontre pontos estacionários, este exemplo tem x = 0 ;
• encontre os zeros do denominador, o exemplo assume o valor zero em x = ± 1 2 .

Expomos pontos no eixo numérico para determinar a derivada em cada intervalo. Para fazer isso, basta pegar qualquer ponto do intervalo e fazer um cálculo. Se o resultado for positivo, desenhamos + no gráfico, o que significa um aumento na função e - significa sua diminuição.

Por exemplo, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, o que significa que o primeiro intervalo à esquerda tem um sinal +. Considere o número linha.

Responda:

• há um aumento da função no intervalo - ∞ ; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
• há uma diminuição no intervalo [ 0 ; 1 2) e 1 2 ; +∞ .

No diagrama, usando + e -, a positividade e a negatividade da função são representadas, e as setas indicam decrescente e crescente.

Os pontos extremos de uma função são os pontos onde a função é definida e através dos quais a derivada muda de sinal.

Exemplo 4

Se considerarmos um exemplo em que x \u003d 0, então o valor da função nele é f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Quando o sinal da derivada muda de + para - e passa pelo ponto x \u003d 0, o ponto com coordenadas (0; 0) é considerado o ponto máximo. Quando o sinal é alterado de - para +, obtemos o ponto mínimo.

A convexidade e a concavidade são determinadas resolvendo as desigualdades da forma f "" (x) ≥ 0 ef "" (x) ≤ 0 . Com menos frequência, eles usam o nome protuberância para baixo em vez de concavidade e protuberância para cima em vez de protuberância.

Definição 3

Por determinando as lacunas de concavidade e convexidade necessário:

• encontre a segunda derivada;
• encontre os zeros da função da segunda derivada;
• quebrar o domínio de definição pelos pontos que aparecem em intervalos;
• determinar o sinal da lacuna.

Exemplo 5

Encontre a segunda derivada do domínio de definição.

Decisão

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos os zeros do numerador e denominador, onde, usando nosso exemplo, temos que os zeros do denominador x = ± 1 2

Agora você precisa colocar pontos na reta numérica e determinar o sinal da segunda derivada de cada intervalo. Nós entendemos isso

Responda:

• a função é convexa do intervalo - 1 2 ; 12;
• a função é côncava das lacunas - ∞ ; - 1 2 e 1 2 ; +∞ .

Definição 4

ponto de inflexãoé um ponto da forma x 0 ; f(x0). Quando ela tem uma tangente ao gráfico da função, então quando ela passa por x 0, a função muda de sinal para o oposto.

Em outras palavras, este é um ponto pelo qual a segunda derivada passa e muda de sinal, e nos próprios pontos é igual a zero ou não existe. Todos os pontos são considerados domínio da função.

No exemplo, foi visto que não há pontos de inflexão, pois a segunda derivada muda de sinal ao passar pelos pontos x = ± 1 2 . Eles, por sua vez, não estão incluídos no domínio da definição.

Encontrar assíntotas horizontais e oblíquas

Ao definir uma função no infinito, deve-se procurar assíntotas horizontais e oblíquas.

Definição 5

Assíntotas oblíquas são desenhadas usando linhas dadas pela equação y = k x + b, onde k = lim x → ∞ f (x) x eb = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para k = 0 e b não igual ao infinito, descobrimos que a assíntota oblíqua se torna horizontal.

Em outras palavras, as assíntotas são as linhas que o gráfico da função se aproxima no infinito. Isso contribui para a construção rápida do gráfico da função.

Se não houver assíntotas, mas a função estiver definida em ambos os infinitos, é necessário calcular o limite da função nesses infinitos para entender como o gráfico da função se comportará.

Exemplo 6

Como exemplo, considere que

k = limite x → ∞ f (x) x = limite x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = limite x → ∞ (f (x) - k x) = limite x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

é uma assíntota horizontal. Depois de pesquisar a função, você pode começar a construí-la.

Calculando o valor de uma função em pontos intermediários

Para tornar a plotagem mais precisa, é recomendável encontrar vários valores da função em pontos intermediários.

Exemplo 7

A partir do exemplo que consideramos, é necessário encontrar os valores da função nos pontos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Como a função é par, conseguimos que os valores coincidam com os valores nesses pontos, ou seja, obtemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Vamos escrever e resolver:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar os máximos e mínimos da função, pontos de inflexão, pontos intermediários, é necessário construir assíntotas. Para designação conveniente, os intervalos de aumento, diminuição, convexidade e concavidade são fixos. Considere a figura abaixo.

É necessário traçar linhas do gráfico através dos pontos marcados, o que permitirá que você se aproxime das assíntotas, seguindo as setas.

Isso conclui o estudo completo da função. Há casos de construção de algumas funções elementares para as quais são utilizadas transformações geométricas.

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