Obtido pela união de todos os raios emanados de um ponto ( picos cone) e passando por uma superfície plana. Às vezes, um cone é chamado de parte de tal corpo, obtido pela união de todos os segmentos que conectam o vértice e os pontos de uma superfície plana (o último neste caso é chamado de base cones, e o cone é chamado Sediada no dado terreno). Este caso será considerado abaixo, salvo indicação em contrário. Se a base de um cone é um polígono, o cone se torna uma pirâmide.

"== Definições relacionadas ==

• O segmento de linha que liga o vértice e o limite da base é chamado geratriz do cone.
• A união dos geradores de um cone é chamada geratriz(ou lado) superfície do cone. A geratriz de um cone é uma superfície cônica.
• Um segmento que cai perpendicularmente do vértice ao plano da base (e também o comprimento de tal segmento) é chamado altura do cone.
• Se a base do cone tem um centro de simetria (por exemplo, é um círculo ou uma elipse) e projeção ortogonal vértice do cone ao plano da base coincide com este centro, então o cone é chamado direto. A linha que liga o vértice e o centro da base é chamada eixo do cone.
• oblíquo (inclinado) cone - um cone no qual a projeção ortogonal do vértice à base não coincide com seu centro de simetria.
• cone circular Um cone cuja base é um círculo.
• Em linha reta cone circular (muitas vezes referido simplesmente como um cone) pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de uma linha contendo a perna (esta linha representa o eixo do cone).
• Um cone baseado em uma elipse, parábola ou hipérbole é chamado respectivamente elíptico, parabólico e cone hiperbólico(os dois últimos têm volume infinito).
• A parte de um cone que fica entre a base e um plano paralelo à base e entre o ápice e a base é chamada de cone truncado.

Propriedades

• Se a área da base é finita, então o volume do cone também é finito e é igual a um terço do produto da altura pela área da base. Assim, todos os cones apoiados em uma base dada e tendo um vértice localizado em um determinado plano paralelo à base têm volume igual porque suas alturas são iguais.
• O centro de gravidade de qualquer cone com volume finito fica a um quarto da altura da base.
• O ângulo sólido no vértice de um cone circular reto é igual a

Onde - ângulo de abertura cones (ou seja, ângulo duplo entre o eixo do cone e qualquer linha reta em sua superfície lateral).

• A área de superfície lateral de tal cone é igual a

onde é o raio da base, é o comprimento da geratriz.

• O volume de um cone circular é

• A intersecção de um plano com um cone circular reto é uma das seções cônicas (em casos não degenerados, uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo da posição do plano secante).

Generalizações

Em geometria algébrica coneé um subconjunto arbitrário do espaço vetorial sobre o corpo para o qual, para qualquer

Veja também

• Cone (topologia)

Fundação Wikimedia. 2010.

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Definições:
Definição 1. Cone
Definição 2. Cone circular
Definição 3. Altura do cone
Definição 4. Cone reto
Definição 5. Cone circular direito
Teorema 1. Geradores de um cone
Teorema 1.1. Corte axial do cone

Volume e área:
Teorema 2. Volume de um cone
Teorema 3. A área da superfície lateral do cone

Frusto :
Teorema 4. Seção paralela à base
Definição 6. Cone truncado
Teorema 5. Volume de um cone truncado
Teorema 6. Área da superfície lateral de um cone truncado

Definição
Corpo limitado lateralmente superfície cônica, tomada entre seu topo e o plano da guia, e a base plana da guia, formada por uma curva fechada, é chamada de cone.

Conceitos Básicos
Um cone circular é um corpo que consiste em um círculo (base), um ponto que não está no plano da base (topo) e todos os segmentos que ligam o topo aos pontos da base.

Um cone reto é um cone cuja altura contém o centro da base do cone como sua base.

Considere qualquer linha (curva, quebrada ou mista) (por exemplo, eu) deitado em algum plano, e ponto arbitrário(por exemplo, M) não está neste plano. Todas as linhas possíveis conectando o ponto M com todos os pontos da linha dada eu, Formato superfície chamada canônica. O ponto M é o vértice de tal superfície, e linha dada eu - guia. Todas as linhas conectando o ponto M com todos os pontos da linha eu, chamado gerando. Uma superfície canônica não é limitada por seu vértice ou guia. Estende-se indefinidamente em ambos os lados do cume. Agora deixe o guia ser uma linha convexa fechada. Se o guia é uma linha quebrada, então o corpo delimitado lateralmente por uma superfície canônica tomada entre seu topo e o plano do guia, e uma base plana no plano do guia, é chamado de pirâmide.
Se o guia é uma curva ou uma linha mista, então o corpo delimitado lateralmente por uma superfície canônica tomada entre seu topo e o plano do guia, e uma base plana no plano do guia, é chamado de cone ou
Definição 1 . Um cone é um corpo constituído por uma base - figura plana, delimitado por uma linha fechada (curva ou mista), um vértice - um ponto que não está no plano da base e todos os segmentos que conectam o vértice com todos os pontos possíveis da base.
Todas as linhas que passam pelo vértice do cone e qualquer um dos pontos da curva que delimita a figura da base do cone são chamadas geradoras do cone. Na maioria das vezes em problemas geométricos uma geratriz de uma linha reta significa um segmento dessa linha reta encerrado entre o topo e o plano da base do cone.
A base de uma linha mista limitada é muito caso raro. Ele está listado aqui apenas porque pode ser considerado em geometria. O caso com um guia curvo é mais frequentemente considerado. Embora, que o caso com uma curva arbitrária, que o caso com uma guia mista, seja de pouca utilidade e seja difícil derivar quaisquer regularidades neles. Do número de cones no curso da geometria elementar, estuda-se um cone circular reto.

Sabe-se que o círculo é caso especial linha curva fechada. Um círculo é uma figura plana limitada por um círculo. Tomando um círculo como guia, você pode definir um cone circular.
Definição 2 . Um cone circular é um corpo que consiste em um círculo (base), um ponto que não está no plano da base (topo) e todos os segmentos que ligam o topo aos pontos da base.
Definição 3 . A altura do cone é a perpendicular baixada do topo ao plano da base do cone. É possível destacar um cone, cuja altura cai no centro da figura plana da base.
Definição 4 . Um cone reto é um cone cuja altura contém o centro da base do cone como sua base.
Se conectarmos essas duas definições, obtemos um cone, cuja base é um círculo, e a altura cai no centro desse círculo.
Definição 5 . Um cone circular reto é chamado de cone, cuja base é um círculo, e sua altura conecta o topo e o centro da base desse cone. Tal cone é obtido girando-se triângulo retângulo em torno de uma das pernas. Portanto, um cone circular reto é um corpo de revolução e também é chamado de cone de revolução. Salvo indicação em contrário, por brevidade no que se segue, dizemos simplesmente um cone.
Então aqui estão algumas propriedades do cone:
Teorema 1. Todos os geradores do cone são iguais. Prova. A altura do MO é perpendicular a todas as linhas da base por definição, perpendicular à linha ao plano. Portanto, os triângulos MOA, MOV e MOS são retangulares e são iguais em duas pernas (MO - geral, OA \u003d OB \u003d OS - raios de base. Portanto, as hipotenusas, ou seja, geradores, também são iguais.
O raio da base de um cone às vezes é chamado de raio do cone. A altura de um cone também é chamada eixo do cone, então qualquer seção que passa por uma altura é chamada seção axial. Qualquer seção axial intercepta a base em diâmetro (já que a linha reta ao longo da qual a seção axial e o plano da base se cruzam passa pelo centro do círculo) e forma Triângulo isósceles.
Teorema 1.1. A seção axial do cone é um triângulo isósceles. Então o triângulo AMB é isósceles, porque. seus dois lados MB e MA são geradores. Ângulo AMB é o ângulo no vértice da seção axial.

Cone (do grego "konos")- Pinha. O cone é familiar para pessoas com tempos antigos. Em 1906, foi descoberto o livro "Sobre o Método", escrito por Arquimedes (287-212 aC), neste livro é dada uma solução para o problema do volume da parte comum dos cilindros que se cruzam. Arquimedes diz que essa descoberta pertence ao antigo filósofo grego Demócrito (470-380 aC), que, usando esse princípio, obteve fórmulas para calcular o volume de uma pirâmide e de um cone.

Cone (cone circular) - um corpo que consiste em um círculo - a base do cone, pontos, não pertencente ao avião este círculo, o vértice do cone e todos os segmentos que ligam o vértice do cone e os pontos da circunferência da base. Os segmentos que conectam o topo do cone com os pontos do círculo da base são chamados de geradores do cone. A superfície do cone consiste em uma base e uma superfície lateral.

Um cone é dito reto se a linha que liga o vértice do cone com o centro da base é perpendicular ao plano da base. Um cone circular reto pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de sua perna como um eixo.

A altura de um cone é a perpendicular traçada de seu topo ao plano de sua base. No cone reto a base da altura coincide com o centro da base. O eixo de um cone reto é uma linha reta que contém sua altura.

A seção de um cone por um plano que passa pela geratriz do cone e perpendicular à seção axial traçada por essa geratriz é chamada de plano tangente do cone.

Um plano perpendicular ao eixo do cone intercepta o cone em um círculo, e superfície lateral- ao longo de um círculo centrado no eixo do cone.

Um plano perpendicular ao eixo do cone corta dele um cone menor. O resto é chamado de cone truncado.

O volume de um cone é igual a um terço do produto da altura pela área da base. Assim, todos os cones apoiados sobre uma determinada base e tendo um vértice localizado em um determinado plano paralelo à base têm o mesmo volume, pois suas alturas são iguais.

A área de superfície lateral de um cone pode ser encontrada usando a fórmula:

lado S \u003d πRl,

A área total da superfície do cone é encontrada pela fórmula:

S con \u003d πRl + πR 2,

onde R é o raio da base, l é o comprimento da geratriz.

O volume de um cone circular é

V = 1/3 πR2H,

onde R é o raio da base, H é a altura do cone

A área da superfície lateral de um cone truncado pode ser encontrada pela fórmula:

lado S = π(R + r)l,

A área total da superfície de um cone truncado pode ser encontrada usando a fórmula:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

onde R é o raio da base inferior, r é o raio da base superior, l é o comprimento da geratriz.

O volume de um cone truncado pode ser encontrado da seguinte forma:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

onde R é o raio da base inferior, r é o raio da base superior, H é a altura do cone.

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Um cone truncado é obtido se um cone menor for cortado do cone por um plano paralelo à base (Fig. 8.10). Um cone truncado tem duas bases: "inferior" - a base do cone original - e "superior" - a base do cone cortado. De acordo com o teorema da seção do cone, as bases do cone truncado são semelhantes .

A altura de um cone truncado é a perpendicular baixada de um ponto de uma base ao plano de outra. Todas essas perpendiculares são iguais (ver Seção 3.5). A altura também é chamada de comprimento, ou seja, a distância entre os planos das bases.

O cone de revolução truncado é obtido a partir do cone de revolução (Fig. 8.11). Portanto, suas bases e todas as suas seções paralelas a elas são círculos com centros em uma linha reta - no eixo. Um cone de revolução truncado é obtido girando-se trapézio retangular ao lado dela perpendicular às bases, ou rotação

trapézio isósceles em torno do eixo de simetria (Fig. 8.12).

Superfície lateral de um cone de revolução truncado

Esta é a parte da superfície lateral do cone de revolução que lhe pertence, da qual é obtido. A superfície de um cone de revolução truncado (ou sua superfície completa) consiste em suas bases e sua superfície lateral.

8.5. Imagens de cones de revolução e cones de revolução truncados.

Um cone circular reto é desenhado assim. Primeiro, uma elipse é desenhada representando a circunferência da base (Fig. 8.13). Em seguida, eles encontram o centro da base - ponto O e desenham verticalmente um segmento RO, que representa a altura do cone. Do ponto P, linhas retas tangentes (referência) são desenhadas para a elipse (praticamente isso é feito a olho, aplicando uma régua) e os segmentos RA e PB dessas linhas são selecionados do ponto P para tocar os pontos A e B. Observe que o segmento AB não é o diâmetro do cone base, e o triângulo ARV não é uma seção axial do cone. A seção axial do cone é o triângulo APC: o segmento AC passa pelo ponto O. Linhas invisíveis são desenhadas com traços; o segmento OP muitas vezes não é desenhado, mas apenas delineado mentalmente para representar o topo do cone P diretamente acima do centro da base - ponto O.

Descrevendo um cone de revolução truncado, é conveniente primeiro desenhar o cone a partir do qual o cone truncado é obtido (Fig. 8.14).

8.6. Seções cônicas. Já dissemos que o plano intercepta a superfície lateral de um cilindro de revolução ao longo de uma elipse (Seção 6.4). Além disso, a seção da superfície lateral do cone de revolução por um plano que não intercepta sua base é uma elipse (Fig. 8.15). Portanto, a elipse é chamada de seção cônica.

As seções cônicas também incluem outras curvas bem conhecidas - hipérboles e parábolas. Considere um cone ilimitado obtido estendendo a superfície lateral do cone de revolução (Fig. 8.16). Vamos intersectá-lo com um plano a que não passa pelo vértice. Se a cruza todos os geradores do cone, então na seção, como já mencionado, obtemos uma elipse (Fig. 8.15).

Ao girar o plano OS, é possível garantir que ele cruze todos os geradores do cone K, exceto um (ao qual o OS é paralelo). Então, na seção, obtemos uma parábola (Fig. 8.17). Finalmente, girando ainda mais o plano OS, nós o transferimos para tal posição que a, cruzando parte dos geradores do cone K, não intercepta conjunto infinito seus outros geradores e é paralelo a dois deles (Fig. 8.18). Então na seção do cone K com o plano a obtemos uma curva chamada hipérbole (mais precisamente, um de seus "ramos"). Assim, uma hipérbole, que é um gráfico de uma função, é um caso especial de uma hipérbole - uma hipérbole isósceles, assim como um círculo é um caso especial de uma elipse.

Quaisquer hipérboles podem ser obtidas de isósceles usando projeção, semelhante à forma como uma elipse é obtida projeto paralelo círculos.

Para obter os dois ramos da hipérbole, deve-se tomar uma seção de um cone que possui duas "cavidades", ou seja, um cone formado não por raios, mas por linhas retas contendo geratrizes da superfície lateral do cone de revolução (Fig. . 8.19).

As seções cônicas foram estudadas pelos antigos geômetras gregos, e sua teoria foi um dos pináculos da geometria antiga. A maioria estudo completo seções cônicas nos tempos antigos foi realizada por Apolônio de Perga (século III aC).

Há um número propriedades importantes, combinando elipses, hipérboles e parábolas em uma classe. Por exemplo, eles esgotam "não degenerados", ou seja, não redutíveis a um ponto, uma linha reta ou um par de linhas retas, curvas que são definidas em um plano em Coordenadas cartesianas equações da forma

Seções cônicas jogam papel importante na natureza: corpos se movem ao longo de órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas em um campo gravitacional (lembre-se das leis de Kepler). As propriedades notáveis ​​das seções cônicas são frequentemente usadas em ciência e tecnologia, por exemplo, na fabricação de alguns dispositivos ópticos ou holofotes (a superfície de um espelho em um holofote é obtida girando o arco de uma parábola em torno do eixo da parábola). Seções cônicas podem ser observadas como os limites da sombra de abajures redondos (Fig. 8.20).