Prin definiție, diferența (prima diferență) a unei funcții este calculată prin formula
dacă este o variabilă independentă.

EXEMPLU.

Să arătăm că forma primei diferenţiale rămâne neschimbată (este invariabilă) chiar şi în cazul în care argumentul funcţiei este el însuși o funcție, adică pentru o funcție complexă
.

Lasa
sunt diferențiabile, apoi prin definiție

În plus, după cum se cere să dovedească.

EXEMPLE.

Invarianța dovedită a formei primului diferențial ne permite să presupunem că
adică derivata este egală cu raportul dintre diferenţialul funcţiei la diferența argumentului său, indiferent dacă argumentul este o variabilă independentă sau o funcție.

Diferențierea unei funcții definită parametric

Lăsați funcția If
are pe platou invers, atunci
Apoi egalitățile
definite pe platou o funcție definită parametric, – parametru (variabilă intermediară).

EXEMPLU. Trasează o funcție
.

y Aproximativ 1 X

Curba construită se numește cicloid(Fig. 25) și este traiectoria unui punct pe un cerc cu raza 1 care se rostogolește fără alunecare de-a lungul axei OX.

COMETARIU. Uneori, dar nu întotdeauna, un parametru poate fi eliminat din ecuațiile curbei parametrice.

EXEMPLE.
sunt ecuațiile parametrice ale cercului, deoarece, evident,

sunt ecuațiile parametrice ale elipsei, deoarece

sunt ecuațiile parametrice ale parabolei

Găsiți derivata unei funcții dată parametric:

Derivata unei funcții definite parametric este, de asemenea, o funcție definită parametric: .

DEFINIȚIE. A doua derivată a unei funcții se numește derivată a primei sale derivate.

derivat ordinul --lea este derivata derivatei sale de ordin
.

notează derivatele celui de-al doilea şi comandă astfel:

Din definiţia derivatei a doua şi regula de diferenţiere a unei funcţii date parametric rezultă că
Pentru a calcula derivata a treia, este necesar să se reprezinte derivata a doua în formă
și folosiți din nou regula rezultată. Derivatele de ordin superior sunt calculate într-un mod similar.

EXEMPLU. Găsiți derivate de ordinul I și II ale unei funcții

.

Teoreme de bază ale calculului diferenţial

TEOREMA(Fermă). Lasă funcția
are la punct
extremum. Daca exista
, apoi

DOVADA. Lasa
, de exemplu, este punctul minim. Prin definiția unui punct minim, există o vecinătate a acestui punct
, în cadrul căruia
, adică
- spor
la punct
. A-prioriu
Calculați derivatele unilaterale într-un punct
:

prin trecerea la teorema limitei în inegalitate,

la fel de

, la fel de
Dar după condiție
există, deci derivata stângă este egală cu cea dreaptă, iar acest lucru este posibil numai dacă

Presupunerea că
- punctul maxim, duce la același.

Sensul geometric al teoremei:

TEOREMA(Rola). Lasă funcția
continuu
, diferentiabil
și
apoi există
astfel încât

DOVADA. La fel de
continuu
, apoi prin a doua teoremă Weierstrass ajunge
cel mai mare al lor
si cel putin
valori fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.

1. Lasă
, apoi

2. Lasă
La fel de
fie
, sau
ajuns în punctul extrem
, ci prin teorema lui Fermat
Q.E.D.

TEOREMA(Lagrange). Lasă funcția
continuu
şi diferenţiabile
, atunci există
astfel încât
.

Sensul geometric al teoremei:

La fel de
, atunci secanta este paralelă cu tangenta. Astfel, teorema afirmă că există o tangentă paralelă cu o secante care trece prin punctele A și B.

DOVADA. Prin punctele A
și B
trageți o secantă AB. Ecuația ei
Luați în considerare funcția

- distanta dintre punctele corespunzatoare de pe grafic si de pe secanta AB.

1.
continuu
ca diferenţa de funcţii continue.

2.
diferentiabil
ca diferenţa de funcţii diferenţiabile.

3.

Mijloace,
satisface condițiile teoremei lui Rolle, deci există
astfel încât

Teorema a fost demonstrată.

COMETARIU. Formula se numește Formula Lagrange.

TEOREMA(Koshi). Lasă funcțiile
continuu
, diferentiabil
și
, atunci există un punct
astfel încât
.

DOVADA. Să arătăm asta
. Dacă
, apoi funcția
ar satisface condiția teoremei lui Rolle, deci ar exista un punct
astfel încât
este o contradicție cu condiția. Mijloace,
, iar ambele părți ale formulei sunt definite. Să luăm în considerare o funcție auxiliară.

continuu
, diferentiabil
și
, adică
satisface condiţiile teoremei lui Rolle. Apoi există un punct
, în care
, dar

Q.E.D.

Formula dovedită se numește Formula Cauchy.

REGULA lui L'Hopital(Teorema L'Hopital-Bernoulli). Lasă funcțiile
continuu
, diferentiabil
,
și
. În plus, există un finit sau infinit
.

Apoi există

DOVADA. Întrucât după condiție
, atunci definim
la punct
, presupunând
Apoi
deveni continuu
. Să arătăm asta

Să ne prefacem că
apoi există
astfel încât
, deoarece funcția
pe
satisface condiţiile teoremei lui Rolle. Dar după condiție
- o contradicție. Asa de

. Funcții
satisface condiţiile teoremei Cauchy pe orice segment
, care este cuprins în
. Să scriem formula Cauchy:

,
.

Prin urmare avem:
, din moment ce dacă
, apoi
.

Redenumind variabila în ultima limită, obținem necesarul:

NOTA 1. Regula lui L'Hopital rămâne valabilă chiar și atunci când
și
. Vă permite să dezvăluiți nu numai incertitudinea formei , dar și de formă :

.

NOTA 2. Dacă, după aplicarea regulii L'Hopital, incertitudinea nu a fost dezvăluită, atunci aceasta ar trebui aplicată din nou.

EXEMPLU.

COMETARIU 3 . Regula lui L'Hopital este o modalitate universală de a dezvălui incertitudinile, dar există limite care pot fi dezvăluite prin aplicarea doar a uneia dintre tehnicile particulare studiate anterior.

Dar evident
, deoarece gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, iar limita este egală cu raportul coeficienților la puteri mai mari

Expresia pentru diferența totală a unei funcții a mai multor variabile este aceeași indiferent dacă u și v sunt variabile independente sau funcții ale altor variabile independente.

Dovada se bazează pe formula diferenţială totală

Q.E.D.

5.Derivată totală a unei funcții este derivata în timp a funcției de-a lungul traiectoriei. Fie ca funcția să aibă forma și argumentele ei depind de timp: . Apoi, unde sunt parametrii care definesc traiectoria. Derivata totală a funcției (la punctul ) în acest caz este egală cu derivata în timp parțial (la punctul corespunzător) și poate fi calculată prin formula:

Unde - derivate parțiale. Trebuie remarcat faptul că desemnarea este condiționată și nu are nimic de-a face cu împărțirea diferențialelor. În plus, derivata totală a unei funcții depinde nu numai de funcția în sine, ci și de traiectorie.

De exemplu, derivata totală a unei funcții:

Nu există aici, deoarece în sine („explicit”) nu depinde de .

Diferenţial complet

Diferenţial complet

funcțiile f (x, y, z, ...) ale mai multor variabile independente - expresie

în cazul în care diferă de incrementul complet

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

la o valoare infinitezimală în comparaţie cu

Plan tangent la suprafață

(X, Y, Z - coordonatele curente ale punctului din planul tangent; - vector raza acestui punct; x, y, z - coordonatele punctului tangent (respectiv pentru normal); - vectori tangenți la liniile de coordonate, respectiv v = const;u = const ; )

1.

2.

3.

Suprafata normala

3.

4.

Conceptul de diferenţial. Sensul geometric al diferenţialului. Invarianța formei primului diferențial.

Se consideră o funcție y = f(x) derivabilă într-un punct dat x. Incrementul său Dy poate fi reprezentat ca

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

unde primul termen este liniar în raport cu Dx, iar al doilea termen în punctul Dx = 0 este o funcție infinitezimală de ordin mai mare decât Dx. Dacă f "(x) Nu. 0, atunci primul termen este partea principală a incrementului Dy. Această parte principală a incrementului este o funcție liniară a argumentului Dx și se numește diferența funcției y \u003d f ( x). Dacă f "(x) \u003d 0, atunci funcția diferențială, prin definiție, este considerată zero.

Definiția 5 (diferențial). Diferenţiala funcţiei y = f(x) este liniară principală faţă de partea Dx a incrementului Dy, egală cu produsul derivatei şi incrementul variabilei independente

Rețineți că diferența unei variabile independente este egală cu incrementul acestei variabile dx = Dx. Prin urmare, formula diferențială este de obicei scrisă în următoarea formă: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Să aflăm care este sensul geometric al diferenţialului. Luați un punct arbitrar M(x, y) pe graficul funcției y = f(x) (Fig. 21.). Desenați o tangentă la curba y = f(x) în punctul M, care formează un unghi f cu direcția pozitivă a axei OX, adică f "(x) = tgf. Din triunghiul dreptunghic MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

adică dy = KN.

Astfel, diferența unei funcții este creșterea în ordonată a tangentei trasate la graficul funcției y = f(x) la un punct dat când x este incrementat cu Dx.

Remarcăm principalele proprietăți ale diferenţialului, care sunt similare cu proprietăţile derivatei.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Să subliniem încă o proprietate pe care o are diferenţialul, dar derivata nu o are. Se consideră funcția y = f(u), unde u = f (x), adică se consideră funcția complexă y = f(f(x)). Dacă fiecare dintre funcțiile f și f sunt diferențiabile, atunci derivata funcției compuse, conform teoremei (3), este egală cu y" = f"(u) u". Atunci diferența funcției

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

întrucât u "dx = du. Adică dy = f" (u) du. (5)

Ultima egalitate înseamnă că formula diferențială nu se modifică dacă, în loc de o funcție a lui x, considerăm o funcție a variabilei u. Această proprietate a diferenţialului se numeşte invarianţa formei primei diferenţiale.

Cometariu. Rețineți că în formula (4) dx = Dx, în timp ce în formula (5) du este doar partea liniară a incrementului funcției u.

Calculul integral este o ramură a matematicii care studiază proprietățile și metodele de calcul a integralelor și aplicațiile acestora. Eu si. este strâns legat de calculul diferențial și, împreună cu acesta, constituie una dintre părțile principale

Diferenţial de funcţie

Funcția este numită diferentiabil la un punct, limitativ pentru set E, dacă incrementul său Δ f(X 0) corespunzătoare incrementului argumentului X, poate fi reprezentat ca

Δ f(X 0) = A(X 0)(X - X 0) + ω (X - X 0), (1)

Unde ω (X - X 0) = despre(X - X 0) la X → X 0 .

Display, sunat diferenţial funcții f la punct X 0 și valoarea A(X 0)h - valoare diferentialaîn acest moment.

Pentru valoarea diferenţialului funcţiei f desemnare acceptată df sau df(X 0) dacă vrei să știi în ce moment a fost calculat. Prin urmare,

df(X 0) = A(X 0)h.

Împărțirea în (1) prin X - X 0 și țintirea X la X 0, primim A(X 0) = f"(X 0). Prin urmare avem

df(X 0) = f"(X 0)h. (2)

Comparând (1) și (2), vedem că valoarea diferenţialului df(X 0) (când f"(X 0) ≠ 0) este partea principală a incrementului funcției f la punct X 0 , liniar și omogen în același timp față de increment h = X - X 0 .

Criteriul de diferențiere a funcției

Pentru functia f era diferențiabilă la un punct dat X 0 , este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct.

Invarianța formei primului diferențial

În cazul în care un X este o variabilă independentă, atunci dx = X - X 0 (increment fix). În acest caz avem

df(X 0) = f"(X 0)dx. (3)

În cazul în care un X = φ (t) este o funcție diferențiabilă, atunci dx = φ" (t 0)dt. Prin urmare,