În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă la cursul de matematică din școală. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi, găsiți lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat la cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, ele sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzătoare tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangente ale unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, este de obicei folosită expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurtă - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului în 8 π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1.

Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se atribuie un punct al cercului unitar centrat la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0) ;
• un număr pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• un număr negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisă și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definiţiilor date în paragraful precedent, fiecărui unghi de rotaţie α îi corespunde o valoare bine definită sin α , precum şi valoarea cos α . În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argumentul unghiului), cât și ca argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim de funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Desenați un cerc unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru invatamantul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a 9-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Identități trigonometrice sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți, atunci, prin definiție, ordonata lui y este sinusul, iar abscisa lui x este cosinusul. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile vor avea loc, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z , z este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). De aici rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta unui unghi la care au sens sunt numere reciproc reciproce.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha , este egal cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha, altul decât \pi z .

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afișează soluția

Decizie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi tg \alpha , folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afișează soluția

Decizie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr condiționat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula mărimi în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raportului de aspect și al măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. În vremea sovietică, unii profesori își obligau pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradis.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.

π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).

Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Unghiul x (în grade)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Unghiul x (în radiani)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

- sigur vor fi sarcini în trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru că trebuie să înghesuiți o cantitate imensă de formule dificile pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.

Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci formule trigonometrice simple și să avem o idee generală despre restul și să le deducem pe parcurs. Este ca și în cazul ADN-ului: desenele complete ale unei ființe vii terminate nu sunt stocate în moleculă. Conține, mai degrabă, instrucțiuni de asamblare din aminoacizii disponibili. Deci in trigonometrie, cunoscand cateva principii generale, vom obtine toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie retinute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

Din formulele pentru sinus și cosinus ale sumelor, știind că funcția cosinus este pară și că funcția sinus este impară, înlocuind -b cu b, obținem formule pentru diferențe:

1. Sinus al diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
2. diferența de cosinus: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb

Punând a \u003d b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinusul și cosinusul unghiurilor duble:

1. Sinusul unui unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
2. Cosinusul unui unghi dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
2. Cosinusul unui unghi triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3a-3 cosA

Înainte de a trece mai departe, să luăm în considerare o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
pentru că , apoi păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umor matematic)

Deci, definiția tangentei conectează această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care oferă legătura tangentei doar cu cosinusul. Pentru a o deriva, luăm identitatea trigonometrică de bază: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, semnul + este luat la extragerea rădăcinii)

Formula pentru tangenta sumei este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

ieșire imediată și

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2 A = cos 2 A-păcat 2 A
adăugăm o unitate, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, i.e. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2 A = cos2 A+1
exprimând cosA prin cos2 Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din partea dreaptă, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2 A = 1-cos2 A

Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următorul truc. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . Asa de

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de partiție produse de sinus și cosinusîn Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți formule pentru conversia produsului diferenței sinusurilor și suma și diferența cosinusurilor într-un produs, precum și pentru împărțirea produselor sinusurilor și cosinusurilor într-o sumă. După ce ați făcut aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil control, olimpiada sau testare.

Nu te voi convinge să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și cum sunt utile foile de înșelăciune. Și aici - informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.

1. Formule de adunare:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. Ei „totul este greșit”, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”. După ce adăugați două cosinus - „chile”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom primi koloboks. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - "mix" :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și o diferență.

Când primim o pereche de cosinus? La adăugarea cosinusurilor. Asa de

Când primim o pereche de sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât prin adăugarea, cât și prin scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă luați adunarea:

În prima și a treia formulă între paranteze - suma. Din rearanjarea locurilor termenilor, suma nu se modifică. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând, suma

Cearșafurile pentru pătuț în buzunar oferă liniște sufletească: dacă uiți formula, o poți șterge. Și dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, formulele pot fi reținute cu ușurință.