3.1. Mișcare uniformă în linie dreaptă.

3.1.1. Mișcare uniformă în linie dreaptă- mișcare în linie dreaptă cu modul și direcția de accelerație constante:

3.1.2. Accelerare()- o mărime vectorială fizică care arată cât de mult se va schimba viteza în 1 s.

În formă vectorială:

unde este viteza inițială a corpului, este viteza corpului în momentul de timp t.

În proiecția pe axă Bou:

unde este proiecția vitezei inițiale pe axă Bou, - proiecția vitezei corpului pe axă Bou la momentul t.

Semnele proiecțiilor depind de direcția vectorilor și de axă Bou.

3.1.3. Graficul proiecției accelerației în funcție de timp.

Cu o mișcare uniform variabilă, accelerația este constantă, prin urmare vor fi drepte paralele cu axa timpului (vezi fig.):

3.1.4. Viteza în mișcare uniformă.

În formă vectorială:

În proiecția pe axă Bou:

Pentru o mișcare uniform accelerată:

Pentru mișcare lentă:

3.1.5. Graficul de proiecție a vitezei în funcție de timp.

Graficul proiecției vitezei în timp este o linie dreaptă.

Direcția de mișcare: dacă graficul (sau o parte a acestuia) este deasupra axei timpului, atunci corpul se mișcă în direcția pozitivă a axei Bou.

Valoarea accelerației: cu cât tangenta unghiului de înclinare este mai mare (cu cât urcă sau coboară mai abruptă), cu atât modulul de accelerație este mai mare; unde este schimbarea vitezei în timp

Intersecția cu axa timpului: dacă graficul traversează axa timpului, atunci corpul a încetinit înainte de punctul de intersecție (mișcare la fel de lentă), iar după punctul de intersecție a început să accelereze în direcția opusă (mișcare la fel de accelerată).

3.1.6. Semnificația geometrică a zonei de sub grafic în axe

Aria de sub grafic când se află pe axă Oi viteza este întârziată, iar pe axă Bou Timpul este calea parcursă de corp.

Pe fig. 3.5 este desenat cazul mișcării uniform accelerate. Calea în acest caz va fi egală cu aria trapezului: (3.9)

3.1.7. Formule pentru calcularea traseului

Mișcare uniform accelerată	Mișcare uniformă lentă
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Toate formulele prezentate în tabel funcționează numai menținând direcția de mișcare, adică până la intersecția dreptei cu axa timpului pe graficul dependenței proiecției vitezei în timp.

Dacă intersecția a avut loc, atunci mișcarea este mai ușor de împărțit în două etape:

înainte de traversare (frânare):

După traversare (accelerare, mișcare în sens opus)

În formulele de mai sus - timpul de la începutul mișcării până la intersecția cu axa timpului (timpul până la oprire), - calea pe care corpul a parcurs de la începutul mișcării până la intersecția cu axa timpului, - timpul scurs din momentul traversării axei timpului până în momentul prezent t, - traseul pe care corpul l-a parcurs în sens invers în timpul scurs din momentul traversării axei timpului până în momentul prezent t, - modulul vectorului deplasare pentru tot timpul de mișcare, L- traseul parcurs de corp pe parcursul intregii miscari.

3.1.8. Deplasați-vă în -a secundă.

În timp, corpul va parcurge calea:

În timp, corpul va parcurge calea:

Apoi, în intervalul i-lea, corpul va parcurge calea:

Intervalul poate fi orice perioadă de timp. Cel mai adesea cu

Apoi, în 1 secundă, corpul parcurge calea:

Pentru a 2-a secundă:

Pentru a 3-a secundă:

Dacă ne uităm cu atenție, vom vedea că etc.

Astfel, ajungem la formula:

Cu cuvinte: traseele parcurse de corp în perioade succesive de timp se corelează între ele ca o serie de numere impare, iar aceasta nu depinde de accelerația cu care se mișcă corpul. Subliniem că această relație este valabilă pentru

3.1.9. Ecuația coordonatelor corpului pentru o mișcare uniform variabilă

Ecuația de coordonate

Semnele proiecțiilor vitezei și accelerației inițiale depind de poziția relativă a vectorilor corespunzători și de axa Bou.

Pentru a rezolva probleme, este necesar să adăugați la ecuație ecuația pentru modificarea proiecției vitezei pe axă:

3.2. Grafice ale mărimilor cinematice pentru mișcarea rectilinie

3.3. Corpul în cădere liberă

Căderea liberă înseamnă următorul model fizic:

1) Căderea are loc sub influența gravitației:

2) Nu există rezistență la aer (în sarcini se scrie uneori „neglijează rezistența aerului”);

3) Toate corpurile, indiferent de masă, cad cu aceeași accelerație (uneori se adaugă - „indiferent de forma corpului”, dar considerăm mișcarea doar a unui punct material, astfel încât forma corpului nu mai este luată în considerare);

4) Accelerația căderii libere este îndreptată strict în jos și este egală pe suprafața Pământului (în probleme o luăm adesea pentru comoditatea calculelor);

3.3.1. Ecuații de mișcare în proiecția pe axă Oi

Spre deosebire de mișcarea de-a lungul unei linii drepte orizontale, când departe de toate sarcinile se schimbă direcția de mișcare, în cădere liberă este mai bine să folosiți imediat ecuațiile scrise în proiecții pe axă. Oi.

Ecuația coordonatelor corpului:

Ecuația de proiecție a vitezei:

De regulă, în probleme este convenabil să alegeți axa Oi in felul urmator:

Axă Oiîndreptat vertical în sus;

Originea coordonatelor coincide cu nivelul Pământului sau cu punctul cel mai de jos al traiectoriei.

Cu această alegere, ecuațiile și sunt rescrise în următoarea formă:

3.4. Mișcarea într-un avion Oxy.

Am luat în considerare mișcarea unui corp cu accelerație de-a lungul unei linii drepte. Cu toate acestea, mișcarea uniformă nu se limitează la asta. De exemplu, un corp aruncat într-un unghi față de orizont. În astfel de sarcini, este necesar să se țină cont de mișcarea de-a lungul a două axe simultan:

Sau sub formă vectorială:

Și modificarea proiecției vitezei pe ambele axe:

3.5. Aplicarea conceptului de derivată și integrală

Nu vom oferi aici o definiție detaliată a derivatei și integralei. Pentru a rezolva probleme, avem nevoie doar de un mic set de formule.

Derivat:

Unde A, Bși acestea sunt constantele.

integral:

Acum să vedem cum conceptul de derivată și integrală este aplicabil mărimilor fizice. În matematică, derivata se notează cu „””, în fizică, derivata în timp se notează cu „∙” peste o funcție.

Viteză:

adică viteza este o derivată a vectorului rază.

Pentru proiecția vitezei:

Accelerare:

adică accelerația este o derivată a vitezei.

Pentru proiecția accelerației:

Astfel, dacă legea mișcării este cunoscută, atunci putem găsi cu ușurință atât viteza, cât și accelerația corpului.

Acum folosim conceptul de integrală.

Viteză:

adică viteza poate fi găsită ca integrală de timp a accelerației.

Vector rază:

adică vectorul rază poate fi găsit luând integrala funcției viteză.

Astfel, dacă funcția este cunoscută, atunci putem găsi cu ușurință atât viteza, cât și legea mișcării corpului.

Constantele din formule sunt determinate din condițiile inițiale - valoarea și momentul de timp

3.6. Triunghiul vitezei și triunghiul deplasării

3.6.1. triunghiul vitezei

În formă vectorială, la accelerație constantă, legea schimbării vitezei are forma (3.5):

Această formulă înseamnă că vectorul este egal cu suma vectorială a vectorilor, iar suma vectorială poate fi întotdeauna reprezentată în figură (vezi figura).

În fiecare sarcină, în funcție de condiții, triunghiul vitezei va avea propria sa formă. O astfel de reprezentare face posibilă utilizarea considerațiilor geometrice în rezolvare, ceea ce simplifică adesea rezolvarea problemei.

3.6.2. Triunghiul Mișcării

În formă vectorială, legea mișcării la accelerație constantă are forma:

La rezolvarea problemei, puteți alege sistemul de referință în modul cel mai convenabil, prin urmare, fără a pierde generalitatea, putem alege sistemul de referință astfel încât, adică, originea sistemului de coordonate să fie plasată în punctul în care se află corpul. situat la momentul initial. Apoi

adică vectorul este egal cu suma vectorială a vectorilor și Să desenăm în figură (vezi Fig.).

Ca și în cazul precedent, în funcție de condiții, triunghiul de deplasare va avea o formă proprie. O astfel de reprezentare face posibilă utilizarea considerațiilor geometrice în rezolvare, ceea ce simplifică adesea rezolvarea problemei.

HORAJE

Determinarea tipului de deplasare conform orarului

1. Mișcarea uniform accelerată corespunde unui grafic al dependenței modulului de accelerație în timp, indicat în figură prin litera

1) A

2) B

3) LA

4) G

2. Figurile prezintă grafice ale dependenței modulului de accelerație în timp pentru diferite tipuri de mișcare. Care grafic corespunde mișcării uniforme?

1 4

3.
corpul care se deplasează de-a lungul axei Oh accelerat rectiliniu și uniform, de ceva timp și-a redus viteza de 2 ori. Care dintre graficele proiecției accelerației în funcție de timp corespunde unei astfel de mișcări?

1 4

4. Parașutistul se deplasează vertical în jos cu o viteză constantă. Care grafic - 1, 2, 3 sau 4 - reflectă corect dependența coordonatelor sale Y din momentul mişcării t raportat la suprafața pământului? Ignorați rezistența aerului.

1) 3 4) 4

5. Care dintre graficele dependenței proiecției vitezei în timp (Fig.) Corespunde mișcării unui corp aruncat vertical în sus cu o anumită viteză (axa Yîndreptat vertical în sus)?

13 4) 4

6.
Un corp este aruncat vertical în sus cu o anumită viteză inițială de la suprafața pământului. Care dintre graficele dependenței înălțimii corpului deasupra suprafeței pământului în timp (fig.) corespunde acestei mișcări?

12

Determinarea și compararea caracteristicilor de mișcare conform orarului

7. Graficul arată dependența proiecției vitezei corpului în timp pentru mișcarea rectilinie. Determinați proiecția accelerației corpului.

1) – 10 m/s2

2) – 8 m/s2

3) 8 m/s2

4) 10 m/s2

8. Figura prezintă un grafic al dependenței vitezei de mișcare a corpurilor în timp. Care este accelerația corpului?

1) 1 m/s2

2) 2 m/s2

3) 3 m/s2

4) 18 m/s2

9. Conform graficului proiecției vitezei în funcție de timpnici depusîn figură, determinați modulul de accelerație în linie dreaptămutarea corpului înăuntru moment de timp t= 2 s.

1) 2 m/s2

2) 3 m/s2

3) 10 m/s2

4) 27 m/s2

10. x = 0 și punctul B la punctul x = 30 km. Care este viteza autobuzului pe drumul de la A la B?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

11. Figura arată programul autobuzului de la punctul A la punctul B și înapoi. Punctul A este în punct x = 0 și punctul B la punctul x = 30 km. Care este viteza autobuzului pe drumul de la B la A?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

12. Mașina se deplasează pe o stradă dreaptă. Graficul arată dependența vitezei mașinii de timp. Modulul de accelerație este maxim în intervalul de timp

1) 0 s până la 10 s

2) de la 10 s la 20 s

3) 20-30s

font-family: „times new roman>4) de la 30 la 40

13. Patru corpuri se mișcă de-a lungul unei axe Bou.Figura prezintă graficele proiecţiilor vitezelorυx din timp t pentru aceste corpuri. Care dintre corpuri se mișcă cu cea mai mică accelerație modulo?

1) 3 4) 4

14. Figura prezintă un grafic de dependență de caleSbiciclist din când în cândt. Determinați intervalul de timp în care biciclistul se deplasa cu o viteză de 2,5 m/s.

1) 5 s până la 7 s

2) 3 s până la 5 s

3) 1s la 3s

4) 0 la 1 s

15. Figura prezintă un grafic al dependenței coordonatelor unui corp care se mișcă de-a lungul axeiOX, din timp. Comparați vitezelev1 , v2 șiv3 corpuri uneori t1, t2, t3

1) v1 > v2 = v3

2) v1 > v2 > v3

3) v1 < v2 < v3

4) v 1 = v 2 > v 3

16. Figura prezintă un grafic al dependenței proiecției vitezeicreșterea organismului în timp.

Proiecția accelerației corpului în intervalul de timp de la 5 la 10 s este reprezentată printr-un grafic

13 4) 4

17. Un punct material se mișcă în linie dreaptă cu accelerație, a cărei dependență de timp este prezentată în figură. Viteza inițială a punctului este 0. Care punct din grafic corespunde vitezei maxime a punctului material:

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

Compilarea dependențelor cinematice (funcții ale dependenței mărimilor cinematice în timp) conform orarului

18. Pe fig. arată un grafic al coordonatelor corpului în funcție de timp. Determinați legea cinematică a mișcării acestui corp

1) X( t) = 2 + 2 t

2) X( t) = – 2 – 2 t

3) X( t) = 2 – 2 t

4) X ( t ) = – 2 + 2 t

19. Din graficul vitezei unui corp în funcție de timp, determinați funcția vitezei acestui corp în funcție de timp

1) vX= – 30 + 10 t

2) vX = 30 + 10 t

3) v X = 30 – 10 t

4) vX = – 30 + 10 t

Determinarea deplasării și a traseului conform programului

20. Determinați calea parcursă de un corp care se mișcă rectiliniu în 3 s din graficul dependenței vitezei unui corp în timp.

1) 2 m

2) 4 m

3) 18 m

4) 36 m

21. O piatră este aruncată vertical în sus. Proiecția vitezei sale pe direcția verticală se modifică cu timpul conform graficului din figură. Care este distanța parcursă de piatră în primele 3 secunde?

1) 30 m

2) 45 m

3) 60 m

4) 90 m

22. O piatră este aruncată vertical în sus. Proiecția vitezei sale pe direcția verticală se modifică cu timpul conform graficului din figura h.21. Care este distanța parcursă de piatră pe parcursul întregului zbor?

1) 30 m

2) 45 m

3) 60 m

4) 90 m

23. O piatră este aruncată vertical în sus. Proiecția vitezei sale pe direcția verticală se modifică cu timpul conform graficului din figura h.21. Care este deplasarea pietrei în primele 3 s?

1) 0 m

2) 30 m

3) 45 m

4) 60 m

24. O piatră este aruncată vertical în sus. Proiecția vitezei sale pe direcția verticală se modifică cu timpul conform graficului din figura h.21. Care este deplasarea pietrei pe parcursul întregului zbor?

1) 0 m

2) 30 m

3) 60 m

4) 90 m

25. Figura prezintă un grafic al dependenței proiecției vitezei unui corp care se mișcă de-a lungul axei Ox în timp. Care este calea parcursă de corp în timpul t = 10 s?

1) 1 m

2) 6 m

3) 7 m

4) 13 m

26. poziție:rudă; z-index:24">Căruciorul începe să se miște din repaus de-a lungul benzii de hârtie. Pe cărucior există un picurător, care la intervale regulate lasă pete de vopsea pe bandă.

Alegeți un grafic al vitezei în funcție de timp care descrie corect mișcarea căruciorului.

1 4

ECUATII

27. Mișcarea unui troleibuz în timpul frânării de urgență este dată de ecuația: x = 30 + 15t – 2,5t2, m Care este coordonata inițială a troleibuzului?

1) 2,5 m

2) 5 m

3) 15 m

4) 30 m

28. Mișcarea aeronavei în timpul cursei de decolare este dată de ecuația: x = 100 + 0,85t2, m Care este accelerația aeronavei?

1) 0 m/s2

2) 0,85 m/s2

3) 1,7 m/s2

4) 100 m/s2

29. Mișcarea unui autoturism este dată de ecuația: x = 150 + 30t + 0,7t2, m. Care este viteza inițială a mașinii?

1) 0,7 m/s

2) 1,4 m/s

3) 30 m/s

4) 150 m/s

30. Ecuația pentru proiecția în timp a vitezei unui corp în mișcare:vX= 2 +3t(Domnișoară). Care este ecuația corespunzătoare pentru proiecția deplasării corpului?

1) S x = 2 t + 3 t2 2) S x = 4 t + 3 t2 3) S x = t + 6 t2 4) S x = 2 t + 1,5 t 2

31. Dependența coordonatei de timp pentru un corp este descrisă de ecuație x = 8t - t2. În ce moment este viteza corpului zero?

1) 8 s

2) 4 s

3) 3 s

4) 0 s

MESE

32. X mișcarea uniformă a unui corp în timp t:

t, cu
X , m

Cu ce ​​viteză s-a deplasat corpul de la timpul 0 s la lunătimp 4 s?

1) 0,5 m/s

2) 1,5 m/s

3) 2 Domnișoară

4) 3 m/s

33. Tabelul arată dependența coordonatei X mișcările corpului în timp t:

t, cu
X, m

Determinați viteza medie a corpului în intervalul de timp de la 1 la 3 secunde.

1) 0 m/s

2) ≈0,33 m/s

3) 0,5 m/s

4) 1 m/s

t, cu	0	1	2	3	4	5
X1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Care dintre corpuri ar putea avea o viteză constantă și poate fi diferit de zero?

1) 1

35. Patru corpuri s-au mișcat de-a lungul axei Ox. Tabelul arată dependența coordonatele lor de timp.

t, cu	0	1	2	3	4	5
X1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Care dintre corpuri ar putea avea accelerație constantă și poate fi diferit de zero?

Mișcare uniformă- aceasta este mișcarea la o viteză constantă, adică atunci când viteza nu se modifică (v \u003d const) și nu există accelerație sau decelerare (a \u003d 0).

Mișcare rectilinie- aceasta este mișcarea în linie dreaptă, adică traiectoria mișcării rectilinie este o linie dreaptă.

Mișcare rectilinie uniformă este o mișcare în care corpul face aceleași mișcări pentru orice intervale egale de timp. De exemplu, dacă împărțim un interval de timp în segmente de o secundă, atunci cu mișcare uniformă corpul se va deplasa la aceeași distanță pentru fiecare dintre aceste segmente de timp.

Viteza mișcării rectilinie uniforme nu depinde de timp și în fiecare punct al traiectoriei este direcționată în același mod ca și mișcarea corpului. Adică, vectorul deplasare coincide în direcție cu vectorul viteză. În acest caz, viteza medie pentru orice perioadă de timp este egală cu viteza instantanee:

Viteza mișcării rectilinie uniforme este o mărime vectorială fizică egală cu raportul dintre deplasarea corpului pentru orice perioadă de timp și valoarea acestui interval t:

Astfel, viteza mișcării rectilinie uniforme arată ce mișcare face un punct material pe unitatea de timp.

in miscare cu mișcare rectilinie uniformă este determinată de formula:

Distanta parcursaîn mișcare rectilinie este egală cu modulul de deplasare. Dacă direcția pozitivă a axei OX coincide cu direcția de mișcare, atunci proiecția vitezei pe axa OX este egală cu viteza și este pozitivă:

v x = v, adică v > 0

Proiecția deplasării pe axa OX este egală cu:

s \u003d vt \u003d x - x 0

unde x 0 este coordonata inițială a corpului, x este coordonata finală a corpului (sau coordonata corpului în orice moment)

Ecuația mișcării, adică dependența coordonatei corpului de timpul x = x(t), ia forma:

Dacă direcția pozitivă a axei OX este opusă direcției de mișcare a corpului, atunci proiecția vitezei corpului pe axa OX este negativă, viteza este mai mică decât zero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Dependența de viteză, coordonate și traseu în timp

Dependența proiecției vitezei corpului în timp este prezentată în fig. 1.11. Deoarece viteza este constantă (v = const), graficul vitezei este o linie dreaptă paralelă cu axa timpului Ot.

Orez. 1.11. Dependența proiecției vitezei corpului în timp pentru o mișcare rectilinie uniformă.

Proiecția mișcării pe axa de coordonate este numeric egală cu aria dreptunghiului OABS (Fig. 1.12), deoarece mărimea vectorului de mișcare este egală cu produsul vectorului viteză și timpul în care a fost mișcarea. făcut.

Orez. 1.12. Dependența proiecției mișcării corpului în timp pentru o mișcare rectilinie uniformă.

Graficul deplasării în funcție de timp este prezentat în Fig. 1.13. Din grafic se poate observa că proiecția vitezei este egală cu

v = s 1 / t 1 = tg α

unde α este unghiul de înclinare a graficului față de axa timpului.

Cu cât unghiul α este mai mare, cu atât corpul se mișcă mai repede, adică cu atât viteza lui este mai mare (cu cât corpul se deplasează mai mult în mai puțin timp). Tangenta pantei tangentei la graficul dependenței coordonatei de timp este egală cu viteza:

Orez. 1.13. Dependența proiecției mișcării corpului în timp pentru o mișcare rectilinie uniformă.

Dependența coordonatei de timp este prezentată în fig. 1.14. Din figură se poate observa că

tg α 1 > tg α 2

prin urmare, viteza corpului 1 este mai mare decât viteza corpului 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Dacă corpul este în repaus, atunci graficul coordonatei este o linie dreaptă paralelă cu axa timpului, adică

Orez. 1.14. Dependența coordonatei corpului de timp pentru o mișcare rectilinie uniformă.

Relația dintre valorile unghiulare și cele liniare

Punctele separate ale unui corp în rotație au viteze liniare diferite. Viteza fiecărui punct, fiind îndreptată tangenţial la cercul corespunzător, îşi schimbă continuu direcţia. Mărimea vitezei este determinată de viteza de rotație a corpului și de distanța R a punctului luat în considerare față de axa de rotație. Lăsați corpul să se întoarcă printr-un unghi într-o perioadă scurtă de timp (Figura 2.4). Un punct situat la o distanta R de axa parcurge o cale egala cu

Viteza liniară a unui punct prin definiție.

Accelerația tangențială

Folosind aceeași relație (2.6), obținem

Astfel, atât accelerațiile normale, cât și cele tangențiale cresc liniar cu distanța punctului față de axa de rotație.

Noțiuni de bază.

oscilație periodică este un proces în care un sistem (de exemplu, mecanic) revine în aceeași stare după o anumită perioadă de timp. Această perioadă de timp se numește perioadă de oscilație.

Restabilirea forței- forţa sub acţiunea căreia are loc procesul oscilator. Această forță tinde să readucă corpul sau punctul material deviat de la poziția de repaus în poziția inițială.

În funcție de natura impactului asupra unui corp oscilant, se disting vibrațiile libere (sau naturale) și vibrațiile forțate.

Vibrații libere au loc atunci când asupra corpului oscilant acţionează numai forţa de restabilire. În cazul în care nu are loc nicio disipare a energiei, oscilațiile libere sunt neamortizate. Cu toate acestea, procesele oscilatorii reale sunt amortizate, deoarece un corp oscilant este afectat de forțe de rezistență la mișcare (în principal forțe de frecare).

Vibrații forțate sunt efectuate sub acțiunea unei forțe externe care se schimbă periodic, care se numește forță motrice. În multe cazuri, sistemele efectuează oscilații care pot fi considerate armonice.

Vibrații armonice numite astfel de mișcări oscilatorii în care deplasarea corpului din poziția de echilibru se realizează conform legii sinusului sau cosinusului:

Pentru a ilustra semnificația fizică, luăm în considerare un cerc și vom roti raza OK cu o viteză unghiulară ω săgețile în sens invers acelor de ceasornic (7.1). Dacă în momentul inițial de timp OK se află într-un plan orizontal, atunci după un timp t se va deplasa cu un unghi. Dacă unghiul inițial este diferit de zero și egal cu φ 0 , atunci unghiul de rotație va fi egal cu Proiecția pe axa XO 1 este egală cu . Pe măsură ce raza OK se rotește, valoarea proiecției se schimbă, iar punctul va oscila în raport cu punctul - sus, jos etc. În acest caz, valoarea maximă a lui x este egală cu A și se numește amplitudine de oscilație; ω - frecvență circulară sau ciclică; - faza de oscilație; - faza inițială. Pentru o revoluție a punctului K de-a lungul cercului, proiecția sa va face o oscilație completă și va reveni la punctul de plecare.

Perioada T este timpul unei oscilații complete. După timpul T, se repetă valorile tuturor mărimilor fizice care caracterizează oscilațiile. Într-o perioadă, un punct oscilant parcurge o cale numeric egală cu patru amplitudini.

Viteză unghiulară se determină din condiția ca pentru perioada T raza OK să facă o rotație, adică. se va roti printr-un unghi de 2π radiani:

Frecvența de oscilație- numărul de oscilații ale unui punct într-o secundă, adică frecvența de oscilație este definită ca reciproca perioadei de oscilație:

Forțe elastice pendulului elastic.

Pendulul cu arc constă dintr-un arc și o bilă masivă montată pe o tijă orizontală de-a lungul căreia poate aluneca. Lasă o minge cu orificiu să fie montată pe un arc, care alunecă de-a lungul axei de ghidare (tijă). Pe fig. 7.2a arată poziția mingii în repaus; în fig. 7.2, b - compresie maximă și în fig. 7.2, в - poziția arbitrară a mingii.

Sub acțiunea unei forțe de restabilire egală cu forța de compresie, mingea va oscila. Forța de compresie F \u003d -kx, unde k este coeficientul rigidității arcului. Semnul minus arată că direcția forței F și deplasarea x sunt opuse. Energia potențială a unui arc comprimat

cinetic .

Pentru a obține ecuația de mișcare a mingii, este necesar să se conecteze x și t. Concluzia se bazează pe legea conservării energiei. Energia mecanică totală este egală cu suma energiei cinetice și potențiale a sistemului. În acest caz:

. In pozitia b): .

Deoarece legea conservării energiei mecanice este îndeplinită în mișcarea luată în considerare, putem scrie:

. Să definim viteza de aici:

Dar la rândul său, și deci . Variabile separate . Integrând această expresie, obținem: ,

unde este constanta integrării. Din acesta din urmă rezultă că

Astfel, sub acțiunea unei forțe elastice, corpul efectuează oscilații armonice. Forțele de altă natură decât elastică, dar în care condiția F = -kx este îndeplinită, se numesc cvasielastice. Sub influența acestor forțe, corpurile fac și oscilații armonice. în care:

părtinire:
viteză:
accelerare:

Pendul matematic.

Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir inextensibil fără greutate, care oscilează într-un plan vertical sub acțiunea gravitației.

Un astfel de pendul poate fi considerat o minge grea de masă m, suspendată pe un fir subțire, a cărui lungime l este mult mai mare decât dimensiunea bilei. Dacă este deviat cu un unghi α (Fig. 7.3.) față de linia verticală, atunci sub influența forței F - una dintre componentele greutății P, va oscila. Cealaltă componentă, îndreptată de-a lungul firului, nu este luată în considerare, deoarece echilibrat de tensiunea din sfoară. La unghiuri mici de deplasare, atunci coordonata x poate fi numărată pe direcția orizontală. Din fig. 7.3 se poate observa că componenta de greutate perpendiculară pe filet este egală cu

Semnul minus din partea dreaptă înseamnă că forța F este îndreptată spre scăderea unghiului α. Ținând cont de micimea unghiului α

Pentru a deriva legea mișcării pendulelor matematice și fizice, folosim ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație

Momentul de forță relativ la punctul O: și momentul de inerție: M=FL. Moment de inerție Jîn acest caz accelerația unghiulară:

Ținând cont de aceste valori, avem:

Decizia lui ,

După cum puteți vedea, perioada de oscilație a unui pendul matematic depinde de lungimea sa și de accelerația gravitației și nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

vibrații amortizate.

Toate sistemele oscilatorii reale sunt disipative. Energia oscilațiilor mecanice ale unui astfel de sistem este cheltuită treptat pentru a lucra împotriva forțelor de frecare, prin urmare, oscilațiile libere se atenuează întotdeauna - amplitudinea lor scade treptat. În multe cazuri, când nu există frecare uscată, în prima aproximare se poate considera că la viteze mici de mișcare, forțele care provoacă amortizarea vibrațiilor mecanice sunt proporționale cu viteza. Aceste forțe, indiferent de originea lor, se numesc forțe de rezistență.

Să rescriem această ecuație în următoarea formă:

si noteaza:

unde reprezintă frecvența cu care s-ar produce oscilații libere ale sistemului în absența rezistenței medii, i.e. la r = 0. Această frecvență se numește frecvența naturală de oscilație a sistemului; β - factor de amortizare. Apoi

Vom căuta o soluție pentru ecuația (7.19) sub forma în care U este o funcție a lui t.

Diferențiam această expresie de două ori față de timpul t și, înlocuind valorile derivatelor I și a doua în ecuația (7.19), obținem

Rezolvarea acestei ecuații depinde în esență de semnul coeficientului la U. Luați în considerare cazul în care acest coeficient este pozitiv. Introducem notația Apoi Cu real ω, soluția acestei ecuații, după cum știm, este funcția

Astfel, în cazul rezistenței scăzute a mediului , soluția ecuației (7.19) va fi funcția

Graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 7.8. Liniile punctate arată limitele în care se află deplasarea punctului oscilant. Mărimea se numește frecvența naturală de oscilație ciclică a sistemului disipativ. Oscilațiile amortizate sunt oscilații neperiodice, deoarece nu se repetă niciodată, de exemplu, valorile maxime ale deplasării, vitezei și accelerației. Valoarea este de obicei numită perioada oscilațiilor amortizate, mai corect, perioada condiționată a oscilațiilor amortizate,

Logaritmul natural al raportului amplitudinilor deplasării care se succed după un interval de timp egal cu perioada T se numește decrement de amortizare logaritmică.

Să notăm cu τ intervalul de timp în care amplitudinea oscilației scade cu un factor de e. Apoi

Prin urmare, coeficientul de amortizare este o mărime fizică reciprocă cu intervalul de timp τ în care amplitudinea scade cu un factor de e. Valoarea τ se numește timp de relaxare.

Fie N numărul de oscilații după care amplitudinea scade cu un factor de e. Atunci

În consecință, decrementul de amortizare logaritmică δ este o mărime fizică reciprocă cu numărul de oscilații N, după care amplitudinea scade cu un factor de e

Vibrații forțate.

În cazul oscilațiilor forțate, sistemul oscilează sub acțiunea unei forțe externe (forțate), iar datorită muncii acestei forțe, pierderile de energie ale sistemului sunt compensate periodic. Frecvența oscilațiilor forțate (frecvența forțată) depinde de frecvența modificării forței externe.

Fie ca această forță să se schimbe în timp conform legii, unde este amplitudinea forței motrice. Forța de restabilire și forța de rezistență Atunci a doua lege a lui Newton poate fi scrisă în forma următoare.

Mișcare rectilinie uniformă Acesta este un caz special de mișcare neuniformă.

Mișcare neuniformă- aceasta este o miscare in care un corp (punct material) face miscari inegale in intervale egale de timp. De exemplu, un autobuz urban se mișcă inegal, deoarece mișcarea sa constă în principal în accelerare și decelerare.

Mișcare egal-variabilă- aceasta este o mișcare în care viteza unui corp (punct material) se modifică în același mod pentru orice intervale de timp egale.

Accelerația unui corp în mișcare uniformă rămâne constantă în mărime și direcție (a = const).

Mișcarea uniformă poate fi uniform accelerată sau uniform încetinită.

Mișcare uniform accelerată- aceasta este mișcarea unui corp (punct material) cu o accelerație pozitivă, adică cu o astfel de mișcare, corpul accelerează cu o accelerație constantă. În cazul mișcării uniform accelerate, modulul vitezei corpului crește cu timpul, direcția de accelerație coincide cu direcția vitezei de mișcare.

Mișcare uniformă lentă- aceasta este mișcarea unui corp (punct material) cu accelerație negativă, adică cu o astfel de mișcare corpul încetinește uniform. Cu o mișcare uniformă lentă, vectorii viteză și accelerație sunt opuși, iar modulul vitezei scade cu timpul.

În mecanică, orice mișcare rectilinie este accelerată, așa că mișcarea lentă diferă de mișcarea accelerată doar prin semnul proiecției vectorului de accelerație pe axa selectată a sistemului de coordonate.

Viteza medie a mișcării variabile este determinată prin împărțirea mișcării corpului la timpul în care a fost efectuată această mișcare. Unitatea de măsură a vitezei medii este m/s.

V cp = s / t

- aceasta este viteza corpului (punctul material) la un moment dat în timp sau într-un punct dat al traiectoriei, adică limita la care tinde viteza medie cu o scădere infinită a intervalului de timp Δt:

Vector viteză instantanee mișcarea uniformă poate fi găsită ca prima derivată a vectorului deplasare în raport cu timpul:

Proiecție vectorială viteză pe axa OX:

V x = x'

aceasta este derivata coordonatei în raport cu timpul (proiecțiile vectorului viteză pe alte axe de coordonate sunt obținute în mod similar).

- aceasta este valoarea care determină viteza de schimbare a vitezei corpului, adică limita la care tinde modificarea vitezei cu o scădere infinită a intervalului de timp Δt:

Vector de accelerație al mișcării uniforme poate fi găsită ca derivată întâi a vectorului viteză în raport cu timpul sau ca derivată a doua a vectorului deplasare în raport cu timpul:

Dacă corpul se mișcă rectiliniu de-a lungul axei OX a unui sistem de coordonate carteziene rectiliniu care coincide în direcția cu traiectoria corpului, atunci proiecția vectorului viteză pe această axă este determinată de formula:

V x = v 0x ± a x t

Semnul „-” (minus) din fața proiecției vectorului de accelerație se referă la mișcarea uniformă lentă. Ecuațiile proiecțiilor vectorului viteză pe alte axe de coordonate sunt scrise în mod similar.

Deoarece accelerația este constantă (a \u003d const) cu mișcare variabilă uniform, graficul de accelerație este o linie dreaptă paralelă cu axa 0t (axa timpului, Fig. 1.15).

Orez. 1.15. Dependența accelerației corpului de timp.

Viteza versus timp este o funcție liniară, al cărei grafic este o linie dreaptă (Fig. 1.16).

Orez. 1.16. Dependența vitezei corpului de timp.

Graficul vitezei în funcție de timp(Fig. 1.16) arată că

În acest caz, deplasarea este numeric egală cu aria figurii 0abc (Fig. 1.16).

Aria unui trapez este jumătate din suma lungimilor bazelor sale cu înălțimea. Bazele trapezului 0abc sunt numeric egale:

0a = v 0bc = v

Înălțimea trapezului este t. Astfel, aria trapezului și, prin urmare, proiecția deplasării pe axa OX, este egală cu:

În cazul mișcării uniform lente, proiecția accelerației este negativă, iar în formula de proiecție a deplasării, semnul „–” (minus) este plasat în fața accelerației.

Graficul dependenței vitezei corpului în timp la diferite accelerații este prezentat în Fig. 1.17. Graficul dependenței deplasării în timp la v0 = 0 este prezentat în fig. 1.18.

Orez. 1.17. Dependența vitezei corpului de timp pentru diferite valori ale accelerației.

Orez. 1.18. Dependența deplasării corpului în timp.

Viteza corpului la un moment dat t 1 este egală cu tangentei unghiului de înclinare dintre tangenta la grafic și axa timpului v \u003d tg α, iar mișcarea este determinată de formula:

Dacă timpul de mișcare al corpului este necunoscut, puteți utiliza o altă formulă de deplasare prin rezolvarea unui sistem de două ecuații:

Ne va ajuta să obținem o formulă pentru proiecția deplasării:

Deoarece coordonatele corpului în orice moment este determinată de suma coordonatei inițiale și proiecția deplasării, va arăta astfel:

Graficul coordonatei x(t) este, de asemenea, o parabolă (la fel ca și graficul deplasării), dar vârful parabolei, în general, nu coincide cu originea. Pentru un x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Vom arăta cum puteți găsi calea parcursă de corp folosind un grafic al vitezei în funcție de timp.

Să începem cu cel mai simplu caz - mișcare uniformă. Figura 6.1 prezintă o diagramă a v(t) - viteză în funcție de timp. Este un segment de linie dreaptă paralel cu baza timpului, deoarece cu mișcare uniformă viteza este constantă.

Figura inclusă sub acest grafic este un dreptunghi (este umbrită în figură). Aria sa este numeric egală cu produsul dintre viteza v și timpul de mișcare t. Pe de altă parte, produsul vt este egal cu calea l parcursă de corp. Deci, cu mișcare uniformă

calea este numeric egală cu aria figurii incluse sub graficul vitezei în funcție de timp.

Să arătăm acum că mișcarea neuniformă posedă și această proprietate remarcabilă.

Să fie, de exemplu, graficul vitezei în funcție de timp să arate ca curba prezentată în Figura 6.2.

Să împărțim mental întregul timp de mișcare în intervale atât de mici încât pe parcursul fiecăruia dintre ele mișcarea corpului poate fi considerată aproape uniformă (această împărțire este prezentată prin linii întrerupte în Figura 6.2).

Apoi, calea parcursă pentru fiecare astfel de interval este numeric egală cu aria figurii de sub bulgărea corespunzătoare a graficului. Prin urmare, întreaga cale este egală cu aria cifrelor incluse sub întregul grafic. (Tehnica pe care am folosit-o stă la baza calculului integral, ale cărui elemente de bază le veți învăța la cursul „Începuturile calculului”.)

2. Calea și deplasarea în mișcare rectilinie uniform accelerată

Să aplicăm acum metoda descrisă mai sus pentru a găsi calea către mișcarea rectilinie uniform accelerată.

Viteza inițială a corpului este zero

Să direcționăm axa x către accelerația corpului. Atunci a x = a, v x = v. Prin urmare,

Figura 6.3 prezintă o diagramă a v(t).

1. Folosind figura 6.3, demonstrați că într-o mișcare rectilinie uniform accelerată fără viteză inițială, calea l este exprimată în termeni de modulul de accelerație a și timpul de deplasare t prin formula

l = at2/2. (2)

Concluzia principală:

într-o mișcare rectilinie uniform accelerată fără o viteză inițială, calea parcursă de corp este proporțională cu pătratul timpului de mișcare.

Această mișcare uniform accelerată diferă semnificativ de uniformă.

Figura 6.4 prezintă grafice ale traseului în funcție de timp pentru două corpuri, dintre care unul se mișcă uniform, iar celălalt uniform accelerat fără viteza inițială.

2. Priviți figura 6.4 și răspundeți la întrebări.
a) Ce culoare are graficul unui corp care se mișcă uniform accelerat?
b) Care este accelerația acestui corp?
c) Care sunt vitezele corpurilor în momentul în care au parcurs aceeași cale?
d) În ce moment sunt egale vitezele corpurilor?

3. Pornind, mașina a parcurs o distanță de 20 m în primele 4 s. Considerați mișcarea mașinii drept rectilinie și uniform accelerată. Fără a calcula accelerația mașinii, determinați cât de departe va parcurge mașina:
a) în 8 s? b) în 16 s? c) în 2 s?

Să găsim acum dependența proiecției deplasării s x de timp. În acest caz, proiecția accelerației pe axa x este pozitivă, deci s x = l, a x = a. Astfel, din formula (2) rezultă:

s x \u003d a x t 2 /2. (3)

Formulele (2) și (3) sunt foarte asemănătoare, ceea ce duce uneori la erori la rezolvarea unor probleme simple. Ideea este că valoarea proiecției deplasării poate fi negativă. Așa va fi dacă axa x este îndreptată opus deplasării: atunci s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. Figura 6.5 prezintă grafice ale timpului de călătorie și ale proiecției deplasării pentru un anumit corp. Ce culoare are graficul de proiecție a deplasării?

Viteza inițială a corpului nu este zero

Reamintim că în acest caz, dependența proiecției vitezei de timp este exprimată prin formula

v x = v 0x + a x t, (4)

unde v 0x este proiecția vitezei inițiale pe axa x.

Vom lua în considerare în continuare cazul în care v 0x > 0, a x > 0. În acest caz, putem folosi din nou faptul că calea este numeric egală cu aria figurii de sub graficul vitezei în funcție de timp. (Luați în considerare alte combinații de semne ale proiecției vitezei inițiale și a accelerației pe cont propriu: rezultatul va fi aceeași formulă generală (5).

Figura 6.6 prezintă o diagramă a v x (t) pentru v 0x > 0, a x > 0.

5. Folosind figura 6.6, demonstrați că cu o mișcare rectilinie uniform accelerată cu o viteză inițială, proiecția deplasării

s x \u003d v 0x + a x t 2 /2. (5)

Această formulă vă permite să găsiți la timp dependența coordonatei x a corpului. Amintiți-vă (vezi formula (6), § 2) că coordonata x a corpului este legată de proiecția deplasării sale s x prin relația

s x \u003d x - x 0,

unde x 0 este coordonata inițială a corpului. Prin urmare,

x = x 0 + s x , (6)

Din formulele (5), (6) obținem:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. Dependența coordonatei de timp pentru un corp care se deplasează de-a lungul axei x este exprimată în unități SI prin formula x = 6 – 5t + t 2 .
a) Care este coordonata inițială a corpului?
b) Care este proiecția vitezei inițiale pe axa x?
c) Care este proiecția accelerației pe axa x?
d) Desenați un grafic al coordonatei x în funcție de timp.
e) Desenați un grafic al proiecției vitezei în funcție de timp.
e) Când este viteza corpului egală cu zero?
g) Se va întoarce corpul la punctul de plecare? Dacă da, în ce moment(e) de timp?
h) Va trece corpul prin origine? Dacă da, în ce moment(e) de timp?
i) Desenați un grafic al proiecției deplasării în funcție de timp.
j) Desenați un grafic al traseului în funcție de timp.

3. Relația dintre cale și viteză

La rezolvarea problemelor se folosește adesea relația dintre cale, accelerație și viteză (v 0 inițial, v final sau ambele). Să derivăm aceste relații. Să începem cu mișcarea fără viteza inițială. Din formula (1) obținem pentru timpul de mișcare:

Inlocuim aceasta expresie in formula (2) pentru calea:

l \u003d la 2 / 2 \u003d a / 2 (v / a) 2 \u003d v 2 / 2a. (nouă)

Concluzia principală:

într-o mișcare rectilinie uniform accelerată fără o viteză inițială, calea parcursă de corp este proporțională cu pătratul vitezei finale.

7. Pornind de la o oprire, mașina a luat o viteză de 10 m/s pe un traseu de 40 m. Considerați mișcarea mașinii drept rectilinie și uniform accelerată. Fără a calcula accelerația mașinii, stabiliți ce distanță a parcurs mașina de la începutul mișcării când viteza sa era egală cu: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

Relația (9) poate fi obținută și amintindu-ne că calea este egală numeric cu aria figurii incluse sub graficul vitezei în funcție de timp (Fig. 6.7).

Această considerație vă va ajuta să faceți față cu ușurință următoarei sarcini.

8. Folosind figura 6.8, demonstrați că atunci când frânați cu accelerație constantă, corpul se oprește complet pe calea l t \u003d v 0 2 / 2a, unde v 0 este viteza inițială a corpului, a este modulul de accelerație.

În cazul frânării unui vehicul (mașină, tren), traseul parcurs până la oprirea completă se numește distanță de frânare. Vă rugăm să rețineți: distanța de frânare la viteza inițială v 0 și distanța parcursă în timpul accelerației de la oprire la viteza v 0 cu aceeași accelerație a modulo sunt aceleași.

9. În timpul frânării de urgență pe pavaj uscat, accelerația mașinii este modulo 5 m/s 2 . Care este distanța de oprire a mașinii la viteza inițială: a) 60 km/h (viteza maximă admisă în oraș); b) 120 km/h? Găsiți distanța de oprire la vitezele indicate în timpul gheții, când modulul de accelerație este de 2 m/s 2 . Comparați distanțele de oprire pe care le-ați găsit cu lungimea sălii de clasă.

10. Folosind figura 6.9 și formula care exprimă aria unui trapez în termeni de înălțime și jumătate din suma bazelor sale, demonstrați că într-o mișcare rectilinie uniform accelerată:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, dacă viteza corpului crește;
b) l \u003d (v 0 2 - v 2) / 2a, dacă viteza corpului scade.

11. Demonstrați că proiecțiile deplasării, vitezei inițiale și finale și ale accelerației sunt legate prin relația

s x \u003d (v x 2 - v 0x 2) / 2ax (10)

12. O mașină pe o cale de 200 m a accelerat de la o viteză de 10 m/s la 30 m/s.
a) Cât de repede se mișca mașina?
b) Cât timp i-a luat mașina să parcurgă distanța indicată?
c) Care este viteza medie a mașinii?

Întrebări și sarcini suplimentare

13. Ultimul vagon este decuplat din trenul în mișcare, după care trenul se mișcă uniform, iar vagonul se deplasează cu o accelerație constantă până când se oprește complet.
a) Desenați pe un desen grafice ale vitezei în funcție de timp pentru un tren și o mașină.
b) De câte ori este distanța parcursă de vagon până la oprire mai mică decât distanța parcursă de tren în același timp?

14. Plecând din gară, trenul a călătorit uniform timp de ceva timp, apoi timp de 1 minut - uniform cu o viteză de 60 km/h, apoi din nou accelerat uniform până la oprire la următoarea stație. Modulele de accelerație în timpul accelerației și decelerației au fost diferite. Trenul a călătorit între stații în 2 minute.
a) Desenați o diagramă schematică a dependenței proiecției vitezei trenului în timp.
b) Folosind acest grafic, găsiți distanța dintre stații.
c) Ce distanță ar parcurge trenul dacă ar accelera pe prima secțiune a căii și ar încetini pe a doua? Care ar fi viteza sa maxima?

15. Corpul se mișcă uniform de-a lungul axei x. La momentul inițial, se afla la originea coordonatelor, iar proiecția vitezei sale era egală cu 8 m/s. După 2 s, coordonatele corpului a devenit egală cu 12 m.
a) Care este proiecția accelerației corpului?
b) Graficul v x (t).
c) Scrieți o formulă care exprimă dependența x(t) în unități SI.
d) Va fi viteza corpului nulă? Dacă da, în ce moment?
e) Va vizita corpul a doua oară punctul cu coordonata 12 m? Dacă da, în ce moment?
f) Se va întoarce corpul la punctul de plecare? Dacă da, în ce moment și care va fi distanța parcursă?

16. După împingere, mingea se rostogolește pe planul înclinat, după care revine la punctul de plecare. La o distanță b de punctul de plecare, mingea a vizitat de două ori la intervalele de timp t 1 și t 2 după împingere. În sus și în jos de-a lungul planului înclinat, mingea s-a deplasat cu aceeași accelerație modulo.
a) Îndreptați axa x în sus de-a lungul planului înclinat, alegeți originea în poziția inițială a mingii și scrieți o formulă care exprimă dependența x(t), care include modulul vitezei inițiale v0 a bilei și modulul accelerația mingii a.
b) Folosind această formulă și faptul că mingea se afla la distanța b de punctul de plecare în momentele t 1 și t 2, alcătuiește un sistem de două ecuații cu două necunoscute v 0 și a.
c) După ce am rezolvat acest sistem de ecuații, exprimă v 0 și a prin b, t 1 și t 2.
d) Exprimați întregul drum l parcurs de minge în termeni de b, t 1 și t 2.
e) Aflați valorile numerice v 0 , a și l la b = 30 cm, t 1 = 1s, t 2 = 2 s.
f) Graficul v x (t), s x (t), l(t) dependențe.
g) Folosiți graficul lui sx(t) pentru a determina momentul în care modulul de deplasare al mingii a fost maxim.