Este ușor să înveți un copil să împartă după o coloană. Este necesar să se explice algoritmul acestei acțiuni și să se consolideze materialul acoperit.

• Conform programului școlar, copiii încep să explice împărțirea după o coloană deja în clasa a treia. Elevii care înțeleg totul „din mers” înțeleg rapid acest subiect
• Dar, dacă copilul s-a îmbolnăvit și a ratat lecțiile de matematică sau nu a înțeles subiectul, atunci părinții trebuie să explice singuri materialul copilului. Este necesar să îi transmiteți informații cât mai clar posibil.
• Mamicile si tatii in timpul procesului educational al copilului trebuie sa aiba rabdare, sa arate tact in relatia cu copilul lor. În niciun caz nu trebuie să țipi la un copil dacă ceva nu-i merge, pentru că astfel îl poți descuraja de la toată dorința de a studia

Important: Pentru ca un copil să înțeleagă împărțirea numerelor, trebuie să cunoască temeinic tabla înmulțirii. Dacă copilul nu știe bine înmulțirea, nu va înțelege împărțirea.

În timpul orelor suplimentare acasă, pot fi folosite cheat sheets, dar copilul trebuie să învețe tabla înmulțirii înainte de a trece la subiectul „Diviziunea”.

Deci, cum îi explici unui copil diviziunea coloanei:

• Încercați să explicați mai întâi în număr mic. Luați bețișoare de numărat, de exemplu, 8 bucăți
• Întrebați copilul câte perechi sunt în acest rând de bețe? Corect - 4. Deci, dacă împărțiți 8 la 2, obțineți 4, iar dacă împărțiți 8 la 4, obțineți 2
• Lăsați copilul să împartă la sine un alt număr, de exemplu, unul mai complex: 24:4
• Când copilul a stăpânit împărțirea numerelor prime, atunci puteți trece la împărțirea numerelor din trei cifre în o singură cifră

Împărțirea este întotdeauna dată copiilor puțin mai dificil decât înmulțirea. Dar cursurile suplimentare diligente acasă îl vor ajuta pe copil să înțeleagă algoritmul acestei acțiuni și să țină pasul cu colegii lor de la școală.

Începe simplu - împărțirea cu o singură cifră:

Important: Calculați în minte astfel încât împărțirea să iasă fără rest, altfel copilul se poate încurca.

De exemplu, 256 împărțit la 4:

• Desenați o linie verticală pe o foaie de hârtie și împărțiți-o în jumătate pe partea dreaptă. Scrieți primul număr în stânga, iar al doilea în dreapta deasupra liniei.
• Întrebați copilul câți patru pați încap într-un doi - deloc
• Apoi luăm 25. Pentru claritate, separați acest număr de sus cu un colț. Întrebați din nou copilul câți patru încap în douăzeci și cinci? Așa e, șase. Scriem numărul „6” în colțul din dreapta jos sub linie. Copilul trebuie să folosească tabla înmulțirii pentru răspunsul corect.
• Notați numărul 24 sub 25 și subliniați pentru a nota răspunsul - 1
• Întrebați din nou: câți patru paturi pot încăpea într-o unitate - deloc. Apoi demolam numărul „6” la unu
• S-a dovedit 16 - câte patru încap în acest număr? Corect - 4. Notăm „4” lângă „6” în răspuns
• Sub 16 scriem 16, subliniem și iese „0”, ceea ce înseamnă că am împărțit corect și răspunsul s-a dovedit a fi „64”

Împărțire scrisă cu două cifre

Când copilul a stăpânit împărțirea cu un singur număr, puteți trece mai departe. Împărțirea scrisă printr-un număr de două cifre este puțin mai complicată, dar dacă bebelușul înțelege cum se realizează această acțiune, atunci nu va fi dificil pentru el să rezolve astfel de exemple.

Important: Din nou, începeți să explicați cu pași simpli. Copilul va învăța să selecteze corect numerele și îi va fi ușor să împartă numere complexe.

Efectuați împreună această acțiune simplă: 184:23 - cum să explicați:

• Mai întâi împărțim 184 la 20, rezultă aproximativ 8. Dar nu scriem numărul 8 în răspuns, deoarece acesta este un număr de probă.
• Verificați dacă 8 se potrivește sau nu. Înmulțim 8 cu 23, rezultă 184 - acesta este exact numărul pe care îl avem în divizor. Răspunsul va fi 8

Important: Pentru ca copilul să înțeleagă, încercați să luați 9 în loc de opt, lăsați-l să înmulțească 9 cu 23, se dovedește 207 - aceasta este mai mult decât avem în divizor. Nu ne convine numărul 9.

Deci, treptat, copilul va înțelege diviziunea și îi va fi ușor să împartă numere mai complexe:

• Împărțiți 768 la 24. Determinați prima cifră a privatului - împărțim 76 nu la 24, ci la 20, rezultă 3. Scriem 3 ca răspuns sub linia din dreapta
• Sub 76 notăm 72 și tragem o linie, notăm diferența - sa dovedit 4. Această cifră este divizibilă cu 24? Nu - demolăm 8, se pare că 48
• E 48 divizibil cu 24? Așa este - da. Se pare 2, scriem această cifră ca răspuns
• Sa dovedit 32. Acum puteți verifica dacă am efectuat corect acțiunea de împărțire. Înmulțiți într-o coloană: 24x32, rezultă 768, atunci totul este corect

Dacă copilul a învățat să împartă cu un număr din două cifre, atunci trebuie să treceți la subiectul următor. Algoritmul de împărțire la un număr din trei cifre este același cu algoritmul de împărțire la un număr de două cifre.

De exemplu:

• Împărțiți 146064 la 716. Mai întâi luăm 146 - întrebați copilul dacă acest număr este divizibil cu 716 sau nu. Așa este - nu, atunci luăm 1460
• De câte ori se va încadra numărul 716 în numărul 1460? Corect - 2, așa că scriem această cifră în răspuns
• Înmulțim 2 cu 716, rezultă 1432. Scriem această cifră sub 1460. Se pare că diferența este 28, scriem sub linie
• Demolare 6. Întrebați copilul - 286 este divizibil cu 716? Așa este - nu, așa că scriem 0 în răspuns lângă 2. Demolăm un alt număr 4
• Împărțim 2864 la 716. Luăm 3 fiecare - puțin, 5 fiecare - mult, ceea ce înseamnă că obținem 4. Înmulțim 4 cu 716, obținem 2864
• Scrieți 2864 sub 2864 pentru o diferență de 0. Răspundeți 204

Important: Pentru a verifica corectitudinea împărțirii, înmulțiți împreună cu copilul într-o coloană - 204x716 = 146064. Împărțirea este corectă.

Este timpul ca copilul să explice că diviziunea poate fi nu numai întreagă, ci și cu un rest. Restul este întotdeauna mai mic sau egal cu divizorul.

Împărțirea cu un rest ar trebui explicată cu un exemplu simplu: 35:8=4 (restul 3):

• Câte opturi încap în 35? Corect - 4. Rămâne 3
• Acest număr este divizibil cu 8? Așa este - nu. Deci restul este 3.

După aceea, copilul ar trebui să învețe că puteți continua împărțirea adăugând 0 la numărul 3:

• Răspunsul este numărul 4. După el, scriem o virgulă, deoarece adăugarea zero indică faptul că numărul va fi cu o fracție
• A ieșit 30. Împărțim 30 la 8, rezultă 3. Scriem ca răspuns, iar sub 30 scriem 24, subliniem și scriem 6
• Purtăm numărul 0 la numărul 6. Împărțim 60 la 8. Luați 7 fiecare, rezultă 56. Scrieți sub 60 și notați diferența 4
• Adăugăm 0 la numărul 4 și împărțim la 8, rezultă 5 - îl notăm ca răspuns
• Scădem 40 din 40, obținem 0. Deci, răspunsul este: 35:8=4.375

Sfat: Dacă copilul nu înțelege ceva, nu fi supărat. Lasă câteva zile să treacă și încearcă din nou să explici materialul.

Lecțiile de matematică de la școală vor consolida, de asemenea, cunoștințele. Timpul va trece și copilul va rezolva rapid și ușor orice exemplu de diviziune.

Algoritmul de împărțire a numerelor este următorul:

• Faceți o estimare a numărului care va fi în răspuns
• Găsiți primul dividend incomplet
• Determinați numărul de cifre dintr-un coeficient
• Găsiți cifrele din fiecare cifră a coeficientului
• Găsiți restul (dacă există)

Conform acestui algoritm, împărțirea se realizează atât prin numere cu o singură cifră, cât și prin orice număr cu mai multe cifre (două cifre, trei cifre, patru cifre și așa mai departe).

Când studiați cu un copil, cereți-i adesea exemple pentru a face o estimare. Trebuie să calculeze rapid răspunsul în minte. De exemplu:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Pentru a consolida rezultatul, puteți folosi următoarele jocuri de divizie:

• "Puzzle". Scrie cinci exemple pe o bucată de hârtie. Doar unul dintre ei ar trebui să aibă răspunsul corect.

Condiție pentru copil: Dintre câteva exemple, doar unul este rezolvat corect. Găsește-l într-un minut.

Video: Joc de aritmetică pentru copii adunare scădere diviziune înmulțire

Video: Desen animat educațional Matematică Învățarea pe de rost a tabelelor de înmulțire și împărțire cu 2

Împărțirea numerelor este considerată acțiunea împărțirii cu un rest: a împărți un întreg nenegativ A la un număr natural b- înseamnă a găsi astfel de numere întregi nenegative qȘi r, ce a = b q + r, și 0 ≤ r< b .

Dacă un număr cu o cifră sau două cifre (care nu depășește 89) este împărțit la un număr cu o singură cifră, atunci se utilizează tabelul numerelor cu o singură cifră. De exemplu, numerele private 56 și 8 vor fi numărul 7, deoarece 8 7 \u003d 56. Dacă trebuie să împărțiți 52 la 8, atunci găsiți cel mai apropiat număr mai mic care este divizibil cu 8 - acesta va fi numărul 48, și, prin urmare, câtul incomplet la împărțirea 52 la 8 va fi numărul 6. Pentru a găsi restul, trebuie să scădeți 48 din 52: 52 - 48 = 4. Astfel, 52 = 8 6 + 4, adică. când 52 este împărțit la 8, câtul parțial este 6, iar restul este 4.

Sarcina 8. Ilustrați baza teoretică pentru împărțirea numărului de trei cifre 377 la numărul de o singură cifră 4.

Soluţie. A împărți 377 la 4 înseamnă a găsi un astfel de coeficient incomplet q iar restul r că 377 = 4 q+ r, iar restul r trebuie să îndeplinească condiția 0 ≤ r< b , dar coeficientul incomplet q- starea 4 q≤ 377 < 4·(q+ 1).

Determinați câte cifre va conține numărul q. o singură cifră q nu poate fi, pentru că atunci produsul 4 q poate fi maxim egal cu 36 și, prin urmare, condițiile formulate mai sus pentru rȘi q. Dacă numărul q două cifre, adică daca 10< q< 100, то тогда 40 < 4q< 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

Pentru a găsi cifra zecilor coeficientului, înmulțim în serie divizorul 4 cu 20, 30, 40 etc. Deoarece 4 90 = 360 și 4 100 = 400 și 360< 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + q0. Dar atunci trebuie să fie valabile următoarele inegalități:

4 (90 + q0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0+ 1), de unde

360 + 4q0≤ 377 < 360 + 4·(q0+ 1) și 4 q 0 ≤ 17 < 4·(q0+ 1).

Număr q0(numărul de unități de coeficient) care satisface ultima inegalitate poate fi găsit prin selecție folosind tabelul. Înțelegem asta q0= 4 și deci coeficientul incomplet q\u003d 90 + 4 \u003d 94. Restul se găsește scăzând: 377 - 4 94 \u003d 1.

Deci, la împărțirea numărului 377 la 4, câtul parțial este 94, iar restul este 1: 377=4 94+1.

Sarcina 9. Ilustrați baza teoretică pentru împărțirea numărului cu mai multe cifre 4316 la numărul cu mai multe cifre 52.

Soluţie. Împărțirea lui 4316 la 52 înseamnă găsirea unor astfel de numere întregi nenegative qȘi r că 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Determinați numărul de cifre din câtul q.În mod evident, câtul este între numerele 10 și 100 (adică q- număr din două cifre), din 520< 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Dar atunci trebuie să fie valabile următoarele inegalități:

52 (80 + q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0+ 1),

4160 + 52 q0≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0≤ 153 < 52·(q0+ 1).

Număr q0(numărul de unități de coeficient) care satisface ultima inegalitate poate fi găsită prin selecție: 156 = 52 3, i.e. avem cazul când restul este 0. Prin urmare, la împărțirea 4316 la 52, obținem câtul 83.

Raționamentul de mai sus stă la baza împărțirii după un colț:

Generalizarea diferitelor cazuri de împărțire a unui număr întreg nenegativ dar la un număr natural b este următorul algoritm pentru împărțirea la un colț.

1. Dacă dar= b, apoi privat q = 1, restul r = 0.

2. Dacă a >bși numărul de cifre în numere AȘi b la fel, apoi privat q găsim prin enumerare, înmulțindu-se succesiv b prin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, deoarece dar< 10b. Această enumerare poate fi accelerată prin efectuarea împărțirii cu restul cifrelor celor mai mari cifre ale numerelor darȘi b.

3. Dacă a >bși numărul de cifre din număr dar mai mult decât la număr b, apoi scrieți dividendul dar iar în dreapta ei este împărțitorul b, care este separat de dar colț și căutați câtul și restul în următoarea secvență:

a) selectați dintre dar atâtea cifre de început câte cifre sunt în număr b sau, dacă este necesar, încă o cifră, dar astfel încât să formeze un număr d1 mai mare sau egal b.În căutarea coeficientului q1 numerele d1Și b,înmulțindu-se succesiv b pe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Notează q1 colț (dedesubt) b);

b) înmulțiți b pe q1și scrieți produsul sub număr dar astfel încât cifra cea mai puțin semnificativă a numărului bq1 a fost scris sub cifra cea mai puțin semnificativă a numărului evidențiat d1;

c) trageți o linie sub bq1și găsiți diferența r1= d1- bq1;

d) notează diferența r1 sub număr bq1, atribuie la dreapta r1 cea mai semnificativă cifră dintre cifrele neutilizate ale dividendului darși comparați numărul rezultat d2 cu număr b.

e) dacă numărul rezultat d2 mai mult sau egal b, atunci acționăm cu privire la acesta în conformitate cu paragraful 1 sau paragraful 2. Privat q2 noteaza dupa q1;

e) dacă numărul rezultat d2 Mai puțin b, apoi atribuim cât mai multe cifre următoare este necesar pentru a obține primul număr d3, mai mare sau egal b.În acest caz, scriem după q1 același număr de zerouri. Apoi relativ d3 actioneaza conform pct. 1, 2. Privat q2 scrie după zerouri. Dacă, atunci când se utilizează cifra cea mai puțin semnificativă a unui număr dar se pare că d3< b, apoi coeficientul d3Și b este egal cu zero, iar acest zero este scris ca ultima cifră a coeficientului și restul r= d3.

Exerciții pentru munca independentă

1. Fără a împărți, determinați numărul de cifre ale numerelor private:

a) 475 și 7; b) 6134 și 226; c) 5683 şi 25; d) 43127 și 536.

2. Ilustrați baza teoretică pentru împărțirea numărului de trei cifre 868 la numărul de o singură cifră 3.

3. Găsiți valoarea expresiei în două moduri:

a) (297 + 405 + 567): 27; c) 56 (378:14);

b) (240 23):48; d) 15120:(14 5 8).

4. Găsiți valoarea expresiei:

a) 8919:9 + 114240:21; b) 1190 - 35360: 34 + 271; c) 8631 - (99 + 44352:63);

d) 48600 (5045 - 2040) : 243 - (8604 3:43 + 504) 200.

Luați în considerare algoritmii pentru operația de împărțire a numerelor binare întregi pozitive la , unde DAR– dividend de 2n biți; ÎN– divizor i-bit; . Presupunem că coeficientul este un număr întreg din biți, în timp ce

Algoritm de împărțire cu recuperare a restului. Valorile cifrelor coeficientului sunt determinate ca urmare a analizei reziduurilor obținute după scăderea divizorului ÎN la prima etapă a algoritmului, din cifrele cele mai mari ale Dst-ului divizibil, iar la pașii ulterioare, din cifrele cele mai înalte ale restului curent.

La pozitivȘi glonţ coeficientul valorilor rămase c k = 1. În acest caz, pentru a obține următorul rest, restul curent este deplasat cu un bit la stânga și divizorul este scăzut din acesta ÎN.

La negativ valoarea restului este cifra curentă a coeficientului c k = 0. Apare un impas. Pentru a ieși din el, restul anterior este restabilit prin adăugarea unui divizor ÎN la un sold negativ. Restul restaurat este deplasat cu un bit la stânga și divizorul este scăzut din acesta. ÎN. Operațiile de restaurare și schimbare vă permit să dublați restul anterior și să continuați operația de divizare.

Exemplul 2.30. Să ilustrăm algoritmul cu restaurarea restului pentru caz P = 3 când dividend A = 100011 (35|0), divizor B = 111 (710). Pentru a scădea un divizor ÎN Să folosim operația de adunare algebrică în codul suplimentar. Valoarea negativă a divizorului în codul suplimentar (~B) = 1001. Pentru a efectua operația de împărțire, introducem cifre de semn suplimentare, pe care le evidențiem cu caractere aldine. Secvența acțiunilor în timpul divizării este prezentată mai jos, în fig. 2.17.

Orez. 2.17.

Exemplul 2.31. Diviziunea folosește operațiuni de adăugare și schimbare.

Ca rezultat al împărțirii, se obține coeficientul C= 0101, care, de fapt, este o colecție de porturi rezultate din operațiuni de adunare.

Algoritm pentru împărțire fără a restabili restul. Odată cu implementarea hardware a împărțirii numerelor binare, operația de adunare este implementată în sumator, iar operația de schimbare este implementată în registru. Registrul are capacitatea de a stoca soldul anterior în timpul operației de însumare. Prin urmare, restabilirea echilibrului este o operațiune opțională. La negativ valoarea soldului curent, trebuie să utilizați soldul anterior stocat în registru și să îl deplasați la stânga cu o cifră.

Exemplul 2.32. Algoritmul fără a restabili restul pentru același divizor și valorile dividendului este similar cu Exemplul 2.29 (Fig. 2.18).

Orez. 2.18.

În împărțirea algebrică a numerelor binare, este necesar să se efectueze pași separati pentru a determina semnul și modulul coeficientului. Semnul coeficientului este determinat folosind operația de adunare modulo doi peste biți de semn în același mod ca atunci când se înmulțesc numerele binare.

Împărțirea numerelor naturale, în special a numerelor cu mai multe valori, se realizează în mod convenabil printr-o metodă specială, care se numește împărțire pe o coloană (într-o coloană). Puteți vedea și numele diviziune de colt. Imediat, observăm că coloana poate fi efectuată atât împărțirea numerelor naturale fără rest, cât și împărțirea numerelor naturale cu rest.

În acest articol, vom înțelege cum se realizează împărțirea pe o coloană. Aici vom vorbi despre regulile de scriere și despre toate calculele intermediare. În primul rând, să ne oprim asupra împărțirii unui număr natural cu mai multe valori la un număr cu o singură cifră de către o coloană. După aceea, ne vom concentra asupra cazurilor în care atât dividendul, cât și divizorul sunt numere naturale cu valori multiple. Întreaga teorie a acestui articol este furnizată cu exemple caracteristice de împărțire printr-o coloană de numere naturale cu explicații detaliate ale soluției și ilustrații.

Navigare în pagină.

Reguli pentru înregistrarea la împărțirea la o coloană

Să începem prin a studia regulile de scriere a dividendului, a divizorului, a tuturor calculelor intermediare și a rezultatelor la împărțirea numerelor naturale la o coloană. Să spunem imediat că este cel mai convenabil să împărțiți într-o coloană în scris pe hârtie cu o linie în carouri - astfel încât există mai puține șanse de a vă abate de la rândul și coloana dorite.

În primul rând, dividendul și divizorul sunt scrise pe un rând de la stânga la dreapta, după care este afișat un simbol al formei între numerele scrise. De exemplu, dacă dividendul este numărul 6 105, iar divizorul este 5 5, atunci notația lor corectă atunci când este împărțită într-o coloană va fi:

Aruncă o privire la următoarea diagramă care ilustrează locurile pentru scrierea dividendelor, divizorului, coeficientului, restului și calculelor intermediare la împărțirea pe o coloană.

Din diagrama de mai sus se poate observa că sub divizor sub linia orizontală se va scrie câtul dorit (sau câtul incomplet la împărțirea cu un rest). Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă de disponibilitatea spațiului pe pagină în avans. În acest caz, ar trebui să ne ghidăm după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere este mai mare în intrările dividendului și divizorului, cu atât este necesar mai mult spațiu. De exemplu, la împărțirea unui număr natural 614.808 la 51.234 la o coloană (614.808 este un număr din șase cifre, 51.234 este un număr din cinci cifre, diferența dintre numărul de caractere din înregistrări este 6−5=1), intermediar calculele vor necesita mai puțin spațiu decât la împărțirea numerelor 8 058 și 4 (aici diferența dintre numărul de caractere este 4−1=3 ). Pentru a ne confirma cuvintele, prezentăm înregistrările completate ale împărțirii pe o coloană a acestor numere naturale:

Acum puteți trece direct la procesul de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

Împărțirea pe o coloană a unui număr natural cu un număr natural cu o singură cifră, algoritm de împărțire la o coloană

Este clar că împărțirea unui număr natural cu o singură cifră la altul este destul de simplă și nu există niciun motiv pentru a împărți aceste numere într-o coloană. Cu toate acestea, va fi util să exersați abilitățile inițiale de împărțire pe o coloană pe aceste exemple simple.

Exemplu.

Trebuie să împărțim la o coloană 8 la 2.

Soluţie.

Desigur, putem efectua împărțirea folosind tabelul înmulțirii și imediat notăm răspunsul 8:2=4.

Dar ne interesează cum să împărțim aceste numere la o coloană.

Mai întâi, scriem dividendul 8 și divizorul 2 așa cum este cerut de metoda:

Acum începem să ne dăm seama de câte ori este divizorul în dividend. Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când rezultatul este un număr egal cu dividendul (sau un număr mai mare decât dividendul, dacă există o împărțire cu rest. ). Dacă obținem un număr egal cu dividendul, atunci îl scriem imediat sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul cu care am înmulțit divizorul. Dacă obținem un număr mai mare decât divizibilul, atunci sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să mergem: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4; 2 3=6; 2 4=8 . Am primit un număr egal cu dividendul, așa că îl scriem sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul 4. Înregistrarea va arăta astfel:

Etapa finală a împărțirii numerelor naturale cu o singură cifră la o coloană rămâne. Sub numărul scris sub dividend, trebuie să desenați o linie orizontală și să scădeți numerele de deasupra acestei linii în același mod în care se face atunci când scădeți numerele naturale cu o coloană. Numărul obținut după scădere va fi restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest.

În exemplul nostru, obținem

Acum avem o înregistrare finală a împărțirii pe o coloană a numărului 8 cu 2. Vedem că câtul 8:2 este 4 (iar restul este 0).

Răspuns:

8:2=4 .

Acum luați în considerare modul în care se realizează împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră cu un rest.

Exemplu.

Împărțiți la o coloană 7 la 3.

Soluţie.

În etapa inițială, intrarea arată astfel:

Începem să aflăm de câte ori dividendul conține un divizor. Vom înmulți 3 cu 0, 1, 2, 3 etc. până când obținem un număr egal sau mai mare decât dividendul 7. Obținem 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (dacă este necesar, consultați articolul compararea numerelor naturale). Sub dividend scriem cifra 6 (a fost obținut la penultima treaptă), iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul 2 (înmulțirea s-a efectuat pe acesta la penultima treaptă).

Rămâne de efectuat scăderea, iar împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră 7 și 3 va fi finalizată.

Deci, câtul parțial este 2, iar restul este 1.

Răspuns:

7:3=2 (resti. 1).

Acum putem trece la împărțirea numerelor naturale cu valori multiple la numere naturale cu o singură cifră la o coloană.

Acum vom analiza algoritmul de împărțire a coloanelor. În fiecare etapă, vom prezenta rezultatele obținute prin împărțirea numărului natural cu mai multe valori 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4 . Acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece la rezolvarea lui vom întâlni toate nuanțele posibile, le vom putea analiza în detaliu.

În primul rând, ne uităm la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului. Dacă numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendelor și să lucrăm în continuare cu numărul determinat de cele două cifre în cauză. Pentru comoditate, selectăm în înregistrarea noastră numărul cu care vom lucra.

Prima cifră din stânga a dividendului 140.288 este numărul 1. Numărul 1 este mai mic decât divizorul 4, așa că ne uităm și la următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendelor. În același timp, vedem și numărul 14, cu care trebuie să lucrăm în continuare. Selectăm acest număr în notația dividendului.

Următoarele puncte de la al doilea la al patrulea se repetă ciclic până la finalizarea împărțirii numerelor naturale pe o coloană.

Acum trebuie să determinăm de câte ori este conținut divizorul în numărul cu care lucrăm (pentru comoditate, să notăm acest număr ca x ). Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu 0, 1, 2, 3, ... până când obținem numărul x sau un număr mai mare decât x. Când se obține un număr x, atunci îl scriem sub numărul selectat conform regulilor de notare folosite la scăderea unei coloane de numere naturale. Numărul cu care a fost efectuată înmulțirea este scris în locul coeficientului în timpul primei treceri a algoritmului (în timpul trecerilor ulterioare de 2-4 puncte ale algoritmului, acest număr este scris în dreapta numerelor deja existente). Când se obține un număr care este mai mare decât numărul x, atunci sub numărul selectat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul câtului (sau în dreapta numerelor deja existente) scriem numărul prin pe care înmulţirea s-a efectuat la penultimul pas. (Am efectuat acțiuni similare în cele două exemple discutate mai sus).

Înmulțim divizorul lui 4 cu numerele 0 , 1 , 2 , ... până când obținem un număr egal cu 14 sau mai mare decât 14 . Avem 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>paisprezece . Deoarece la ultimul pas am obținut numărul 16, care este mai mare decât 14, apoi sub numărul selectat scriem numărul 12, care s-a dovedit la penultimul pas, iar în locul coeficientului scriem numărul 3, deoarece în penultimul paragraf s-a efectuat înmulțirea tocmai pe el.


În această etapă, din numărul selectat, scădeți numărul de sub acesta într-o coloană. Sub linia orizontală este rezultatul scăderii. Cu toate acestea, dacă rezultatul scăderii este zero, atunci nu trebuie să fie notat (cu excepția cazului în care scăderea în acest moment este ultima acțiune care completează complet împărțirea printr-o coloană). Aici, pentru controlul dvs., nu va fi de prisos să comparați rezultatul scăderii cu divizorul și să vă asigurați că este mai mic decât divizorul. Altfel, undeva s-a făcut o greșeală.

Trebuie să scădem numărul 12 din numărul 14 dintr-o coloană (pentru notarea corectă, nu trebuie să uitați să puneți un semn minus în stânga numerelor scăzute). După finalizarea acestei acțiuni, numărul 2 a apărut sub linia orizontală. Acum ne verificăm calculele comparând numărul rezultat cu un divizor. Deoarece numărul 2 este mai mic decât divizorul 4, puteți trece în siguranță la următorul articol.


Acum, sub linia orizontală din dreapta numerelor aflate acolo (sau în dreapta locului unde nu am scris zero), notăm numărul aflat în aceeași coloană în evidența dividendului. Dacă nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană, atunci împărțirea pe o coloană se termină aici. După aceea, selectăm numărul format sub linia orizontală, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​cu el de la 2 la 4 puncte ale algoritmului.

Sub linia orizontală din dreapta numărului 2 deja acolo, scriem numărul 0, deoarece este numărul 0 care se află în înregistrarea dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, numărul 20 se formează sub linia orizontală.


Selectăm acest număr 20, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​acțiunile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului cu el.

Înmulțim divizorul lui 4 cu 0, 1, 2, ... până când obținem numărul 20 sau un număr mai mare decât 20. Avem 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Efectuăm scăderea printr-o coloană. Deoarece scădem numere naturale egale, atunci, datorită proprietății de a scădea numere naturale egale, obținem zero ca rezultat. Nu scriem zero (deoarece aceasta nu este etapa finală a împărțirii la o coloană), dar ne amintim locul unde l-am putea nota (pentru comoditate, vom marca acest loc cu un dreptunghi negru).


Sub linia orizontală din dreapta locului memorat, scriem numărul 2, deoarece ea este cea care se află în intrarea dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, sub linia orizontală avem numărul 2 .


Luăm numărul 2 ca număr de lucru, îl marchem și încă o dată va trebui să facem pașii din 2-4 puncte ale algoritmului.

Înmulțim divizorul cu 0 , 1 , 2 și așa mai departe și comparăm numerele rezultate cu numărul marcat 2 . Avem 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Prin urmare, sub numărul marcat, scriem numărul 0 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului din dreapta numărului deja acolo, scriem numărul 0 (am înmulțit cu 0 la penultimul pas). Etapa).


Efectuăm scăderea printr-o coloană, obținem numărul 2 sub linia orizontală. Ne verificăm prin compararea numărului rezultat cu divizorul 4 . Din 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sub linia orizontală din dreapta numărului 2, adăugăm numărul 8 (deoarece se află în această coloană în evidența dividendului 140 288). Astfel, sub linia orizontală se află numărul 28.


Acceptăm acest număr ca lucrător, îl marchem și repetăm ​​pașii 2-4 din paragrafe.

Nu ar trebui să fie probleme aici dacă ai fost atent până acum. După ce au făcut toate acțiunile necesare, se obține următorul rezultat.

Rămâne pentru ultima dată să efectuați acțiunile de la punctele 2, 3, 4 (ți-l oferim), după care veți obține o imagine completă a împărțirii numerelor naturale 140 288 și 4 într-o coloană:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0 este scris chiar în partea de jos a rândului. Dacă acesta nu ar fi ultimul pas al împărțirii la o coloană (adică dacă ar exista numere în coloanele din dreapta în înregistrarea dividendului), atunci nu am scrie acest zero.

Astfel, privind înregistrarea completă a împărțirii numărului natural cu mai multe cifre 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4, vedem că numărul 35 072 este privat (iar restul diviziunii este zero, este în chiar linia de jos).

Desigur, atunci când împărțiți numerele naturale la o coloană, nu veți descrie toate acțiunile dvs. atât de detaliat. Soluțiile dvs. vor arăta ceva ca următoarele exemple.

Exemplu.

Efectuați împărțirea lungă dacă dividendul este 7136 și divizorul este un număr natural cu o singură cifră 9.

Soluţie.

La primul pas al algoritmului de împărțire a numerelor naturale la o coloană, obținem o înregistrare a formei

După efectuarea acțiunilor din punctul al doilea, al treilea și al patrulea al algoritmului, înregistrarea împărțirii pe o coloană va lua forma

Repetând ciclul, vom avea

Încă o trecere ne va oferi o imagine completă a împărțirii după o coloană de numere naturale 7 136 și 9

Astfel, câtul parțial este 792 , iar restul împărțirii este 8 .

Răspuns:

7 136:9=792 (restul 8).

Și acest exemplu demonstrează cât de lungă ar trebui să arate diviziunea.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 7 042 035 la numărul natural de o singură cifră 7 .

Soluţie.

Cel mai convenabil este să efectuați împărțirea pe o coloană.

Răspuns:

7 042 035:7=1 006 005 .

Împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice

Ne grăbim să vă mulțumim: dacă ați stăpânit bine algoritmul de împărțire la o coloană din paragraful anterior al acestui articol, atunci aproape că știți deja cum să efectuați împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice. Acest lucru este adevărat, deoarece pașii de la 2 la 4 ai algoritmului rămân neschimbați și doar modificări minore apar în primul pas.

La prima etapă a împărțirii într-o coloană de numere naturale cu mai multe valori, trebuie să vă uitați nu la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului, ci la atâtea dintre ele câte cifre există în intrarea divizorului. Dacă numărul definit de aceste numere este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendului. După aceea, acțiunile indicate la paragrafele 2, 3 și 4 ale algoritmului sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Rămâne doar să vedem aplicarea algoritmului de împărțire la o coloană de numere naturale cu valori multiple în practică atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Să efectuăm împărțirea pe o coloană de numere naturale cu mai multe valori 5562 și 206.

Soluţie.

Deoarece 3 caractere sunt implicate în înregistrarea divizorului 206, ne uităm la primele 3 cifre din stânga în înregistrarea dividendului 5 562. Aceste numere corespund numărului 556. Deoarece 556 este mai mare decât divizorul 206, luăm numărul 556 ca număr de lucru, îl selectăm și trecem la următoarea etapă a algoritmului.

Acum înmulțim divizorul 206 cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când obținem un număr care este fie egal cu 556, fie mai mare decât 556. Avem (dacă înmulțirea este dificilă, atunci este mai bine să facem înmulțirea numerelor naturale într-o coloană): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Deoarece am obținut un număr care este mai mare decât numărul 556, atunci sub numărul selectat scriem numărul 412 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului scriem numărul 2 (deoarece a fost înmulțit la penultimul pas). Intrarea de împărțire a coloanei are următoarea formă:

Efectuați scăderea coloanei. Obținem diferența 144, acest număr este mai mic decât divizorul, astfel încât să puteți continua în siguranță să efectuați acțiunile necesare.

Sub linia orizontală din dreapta numărului disponibil acolo, scriem numărul 2, deoarece se află în înregistrarea dividendului 5 562 în această coloană:

Acum lucrăm cu numărul 1442, îl selectăm și trecem din nou prin pașii doi până la patru.

Înmulțim divizorul 206 cu 0 , 1 , 2 , 3 , ... până când obținem numărul 1442 sau un număr mai mare decât 1442 . Să mergem: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Scădem cu o coloană, obținem zero, dar nu îl notăm imediat, ci doar ne amintim poziția, pentru că nu știm dacă împărțirea se termină aici, sau va trebui să repetăm ​​pașii algoritmului din nou:

Acum vedem că sub linia orizontală din dreapta poziției memorate, nu putem nota niciun număr, deoarece nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană. Prin urmare, această împărțire pe o coloană s-a încheiat și completăm intrarea:

• Matematica. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematica. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.

Când vine vorba de tehnica împărțirii numerelor, acest proces este considerat acțiunea împărțirii cu un rest: împărțiți un întreg nenegativ a la un număr natural b - aceasta înseamnă găsirea numerelor întregi nenegative q r astfel încât a = bq + r și 0 £ r< b.

Să aflăm mai întâi cum împărțirea cu un singur număr. Dacă un număr cu o cifră sau două cifre (care nu depășește 89) este împărțit la un număr cu o singură cifră, atunci se utilizează tabelul de înmulțire pentru numerele cu o singură cifră. De exemplu, numerele private 54 și 9 vor fi numărul 6, deoarece 9 × 6 \u003d 54. Dacă trebuie să împărțiți 51 la 9, atunci găsiți cel mai apropiat număr mai mic de acesta, care este divizibil cu 9 - acesta este numărul 45 , și, prin urmare, un coeficient incomplet pentru împărțirea 51 la 9 va fi numărul 5. Pentru a găsi restul, trebuie să scădeți 45 din 51: 51 - 45 \u003d 6. Astfel, 51 \u003d 9 × 5 + 6, adică când împărțiți 51 la 9, obțineți un coeficient incomplet de 5 și un rest de 6. Puteți scrie acest lucru diferit, folosind împărțirea printr-un colț:

Vom împărți acum un număr de trei cifre la un număr de o cifră, de exemplu, 378 la 4. Împărțirea a 378 la 4 înseamnă a găsi un astfel de coeficient q incomplet și un rest r care 378=4q+r, iar restul r trebuie satisface conditia 0£r

Să stabilim câte cifre vor fi conținute în înregistrarea numărului q. Numărul q nu poate fi format dintr-o singură cifră, deoarece atunci produsul 4q poate fi maxim egal cu 36 și, prin urmare, condițiile formulate mai sus pentru r și q nu vor fi îndeplinite. Dacă numărul q este format din două cifre, adică sunt 10

Pentru a găsi cifra zecilor coeficientului, înmulțim în serie divizorul 4 cu 20, 30, 40 etc. Deoarece 4x90=360 și 4x100=400 și 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q 0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q 0)£ 378<4×(90q+q 0 +1), откуда 360+4q 0 £78<360+4(q 0 +1) и 4q 0 £18<4(q 0 +1). Число q 0 (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q 0 =4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Deci, când 378 este împărțit la 4, câtul parțial este 94, iar restul este 2: 378–4×94+2.

Procesul descris este baza împărțirii după un colț:

Efectuat în mod similar împărțirea unui număr din mai multe cifre la un număr din mai multe cifre . Să împărțim, de exemplu, 4316 la 52. ​​A efectua această împărțire înseamnă a găsi astfel de numere întregi nenegative q și r care 4316=52q+r, 0£r < 52, iar câtul incomplet trebuie să satisfacă inegalitatea 52q £ 4316<52(q+1).

Să determinăm numărul de cifre din câtul q. În mod evident, câtul este între numerele 10 și 100 (adică q este un număr din două cifre), deoarece 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52× 80=4160 și 52 × 90=4680 și 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q 0 .

Dar atunci trebuie să fie valabile următoarele inegalități:

52× (80+q 0) 4316 GBP< 52× (80+q 0 +1),

4160+52q 0 4316 GBP<4160+52× (q 0 +1),

52q 0 156 GBP<52× (q 0 +1).

Numărul q 0 (numărul de unități ale coeficientului) care satisface ultima inegalitate poate fi găsit prin selecție: 156=52 × 3, adică avem cazul când restul este 0. Prin urmare, la împărțirea 4316 la 52, obținem câtul 83.

Raționamentul de mai sus stă la baza împărțirii după un colț.