Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple în matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Semnificația fizică a derivatului: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: scoateți constanta

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata unei funcții:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Decizie:

Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.

Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.

Cercetarea funcției. În acest articol, vom vorbi despre sarcini în care sunt luate în considerare funcțiile și în condiția să apară întrebări legate de studiul lor. Luați în considerare principalele puncte teoretice pe care trebuie să le cunoașteți și să le înțelegeți pentru a le rezolva.

Acesta este un întreg grup de sarcini incluse în examenul de matematică. Se pune de obicei întrebarea despre găsirea punctelor de maxim (minim) sau determinarea celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții pe un interval dat.Considerat:

— Puterea și funcțiile iraționale.

— Funcții raționale.

— Studiu de lucrări și privat.

— Funcții logaritmice.

— Funcții trigonometrice.

Dacă înțelegeți teoria limitelor, conceptul de derivată, proprietățile unei derivate pentru studiul graficelor funcțiilor și ale acesteia, atunci astfel de probleme nu vă vor cauza nicio dificultate și le veți rezolva cu ușurință.

Informațiile de mai jos sunt puncte teoretice, a căror înțelegere va face posibilă înțelegerea modului de rezolvare a unor astfel de probleme. Voi incerca sa le enunt in asa fel incat chiar si cei care au ratat acest subiect sau au studiat-o prost sa rezolve astfel de probleme fara mare dificultate.

În problemele acestui grup, așa cum sa menționat deja, este necesar să se găsească fie punctul minim (maxim) al funcției, fie cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe interval.

Puncte minime și maxime.Proprietăți derivate.

Luați în considerare graficul funcției:

Punctul A este punctul maxim, pe intervalul de la O la A funcția crește, pe intervalul de la A la B scade.

Punctul B este un punct minim, pe intervalul de la A la B funcția scade, pe intervalul de la B la C crește.

În aceste puncte (A și B), derivata dispare (egal cu zero).

Tangentele din aceste puncte sunt paralele cu axa bou.

Voi adăuga că punctele în care funcția își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere (și invers, de la descreștere la creștere) se numesc extreme.

Punct important:

1. Derivata pe intervale crescătoare are semn pozitiv (nLa substituirea unei valori din interval în derivată, se obține un număr pozitiv).

Deci, dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. Pe intervalele de scădere, derivata are semn negativ (la substituirea valorii din interval în expresia derivată se obține un număr negativ).

Deci, dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției pe acest interval scade.

Acest lucru trebuie clarificat!

Astfel, calculând derivata și echivalând-o cu zero, puteți găsi puncte care împart axa reală în intervale.Pe fiecare dintre aceste intervale, puteți determina semnul derivatei și apoi trageți o concluzie despre creșterea sau scăderea acesteia.

* Separat, ar trebui spus despre punctele în care derivata nu există. De exemplu, putem obține o derivată al cărei numitor dispare la un anumit x. Este clar că pentru un astfel de x derivata nu există. Deci, acest punct trebuie luat în considerare și la determinarea intervalelor de creștere (scădere).

Funcția în punctele în care derivata este egală cu zero nu își schimbă întotdeauna semnul. Acesta va fi un articol separat. Nu vor exista astfel de sarcini la USE în sine.

Proprietățile de mai sus sunt necesare pentru a studia comportamentul unei funcții în creștere și scădere.

Ce mai trebuie să știți pentru a rezolva problemele specificate: tabelul derivatelor și regulile de diferențiere. Nimic fără asta. Acestea sunt cunoștințe de bază în tema derivatelor. Ar trebui să cunoașteți foarte bine derivatele funcțiilor elementare.

Calcularea derivatei unei funcții complexef(g(X)), imaginați-vă funcțiag(X) este o variabilă și apoi calculați derivataf’(g(X)) prin formule tabelare ca derivată obișnuită a unei variabile. Apoi înmulțiți rezultatul cu derivata funcțieig(X) .

Urmărește un tutorial video de Maxim Semenikhin despre o funcție complexă:

Probleme pentru găsirea punctelor maxime și minime

Algoritmul pentru găsirea punctelor maxime (minime) ale funcției:

1. Aflați derivata funcției f’(X).

2. Aflați zerourile derivatei (echivalând derivata cu zero f’(X)=0 și rezolvați ecuația rezultată). Găsim și puncte în care derivata nu există(în special, aceasta se referă la funcții fracționale-raționale).

3. Marcam valorile obținute pe linia numerică și determinăm semnele derivatei pe aceste intervale prin înlocuirea valorilor din intervale în expresia derivată.

Ieșirea va fi una dintre cele două:

1. Punctul maxim este punctulîn care derivata se schimbă din pozitiv în negativ.

2. Punctul minim este punctulîn care derivata se schimbă din negativ în pozitiv.

Probleme pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori

funcţii pe interval.

Într-un alt tip de problemă, este necesar să se găsească cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval dat.

Algoritmul pentru găsirea celei mai mari (mai mici) valoare a funcției:

1. Stabiliți dacă există puncte maxime (minime). Pentru a face acest lucru, găsim derivata f’(X) , apoi rezolvați f’(X)=0 (punctele 1 și 2 din algoritmul anterior).

2. Determinăm dacă punctele obținute aparțin unui interval dat și le notăm pe cele care se află în el.

3. Substituim în funcția inițială (nu în derivată, ci în cea dată în condiție) limitele intervalului dat și punctele (maxim-minim) aflate în interval (item 2).

4. Calculăm valorile funcției.

5. Selectăm cea mai mare (mai mică) valoare dintre cele obținute, în funcție de ce întrebare a fost pusă în sarcină, apoi notăm răspunsul.

Întrebare: de ce în sarcinile de a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții, este necesar să se caute puncte maxime (minime)?

Răspunsul este cel mai bine ilustrat, vezi o reprezentare schematică a graficelor date de funcții:

În cazurile 1 și 2, este suficient să înlocuiți limitele intervalului pentru a determina valoarea maximă sau minimă a funcției. În cazurile 3 și 4, este necesar să găsiți zerourile funcției (puncte maxim-minim). Dacă înlocuim limitele intervalului (fără a găsi zerourile funcției), vom obține răspunsul greșit, acest lucru se vede din grafice.

Și lucrul este că nu putem vedea cum arată graficul pe interval (dacă are un maxim sau un minim în interval) folosind o funcție dată. Prin urmare, găsiți zerourile funcției fără greș!!!

Dacă ecuaţia f'(X)=0 nu va avea o soluție, aceasta înseamnă că nu există puncte maxim-minim (Figura 1.2), iar pentru a găsi sarcina setată, în această funcție sunt înlocuite doar limitele intervalului.

Un alt punct important. Amintiți-vă că răspunsul trebuie să fie un întreg sau o zecimală finală. Când calculați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții, veți primi expresii cu numărul e și pi, precum și expresii cu rădăcină. Amintiți-vă că nu trebuie să le calculați până la capăt și este clar că rezultatul unor astfel de expresii nu va fi răspunsul. Dacă există dorința de a calcula o astfel de valoare, atunci faceți-o (numerele: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Am scris multe, probabil confuz? Prin exemple specifice, vei vedea că totul este simplu.

În continuare, vreau să vă spun un mic secret. Cert este că multe sarcini pot fi rezolvate fără a cunoaște proprietățile derivatei și chiar fără regulile de diferențiere. Cu siguranță vă voi spune despre aceste nuanțe și vă voi arăta cum se face? nu ratați!

Dar atunci de ce am afirmat deloc teoria și, de asemenea, am spus că trebuie cunoscută fără greș. Așa este - trebuie să știi. Dacă înțelegi, atunci nicio sarcină din acest subiect nu te va deruta.

Acele „trucuri” despre care veți învăța vă vor ajuta să rezolvați probleme specifice (unelor) prototipuri. LaCa instrument suplimentar, aceste tehnici sunt, desigur, convenabile de utilizat. Problema poate fi rezolvată de 2-3 ori mai rapid și economisiți timp pentru rezolvarea părții C.

Toate cele bune!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Derivată a unei funcții a unei variabile.

Introducere.

Aceste dezvoltări metodologice sunt destinate studenților Facultății de Inginerie Industrială și Civilă. Ele sunt compilate în raport cu programul cursului de matematică în secțiunea „Calcul diferențial al funcțiilor unei variabile”.

Dezvoltarile reprezinta un singur ghid metodologic, care cuprinde: scurte informatii teoretice; sarcini și exerciții „tipice” cu soluții detaliate și explicații pentru aceste soluții; opțiunile de control.

Exerciții suplimentare la sfârșitul fiecărui paragraf. O astfel de structură de dezvoltări le face potrivite pentru stăpânirea independentă a secțiunii cu cea mai minimă asistență din partea profesorului.

§unu. Definiția unui derivat.

Semnificație mecanică și geometrică

derivat.

Conceptul de derivată este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematică.A apărut încă din secolul al XVII-lea. Formarea conceptului de derivată este asociată istoric cu două probleme: problema vitezei mișcării variabile și problema tangentei la o curbă.

Aceste sarcini, în ciuda conținutului lor diferit, duc la aceeași operație matematică care trebuie efectuată asupra unei funcții.Această operație a primit o denumire specială în matematică. Se numește operația de diferențiere a unei funcții. Rezultatul unei operații de diferențiere se numește derivată.

Deci, derivata funcției y=f(x) în punctul x0 este limita (dacă există) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului
la
.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:
.

Deci prin definiție

Simbolurile sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna derivata
.

Sensul mecanic al derivatului.

Dacă s=s(t) este legea mișcării rectilinie a unui punct material, atunci
este viteza acestui punct la momentul t.

Sensul geometric al derivatului.

Dacă funcția y=f(x) are o derivată într-un punct , apoi panta tangentei la graficul funcției în punct
egală
.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții
la punct =2:

1) Să dăm un punct =2 increment
. Observa asta.

2) Găsiți incrementul funcției în punct =2:

3) Compuneți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

Să găsim limita relației la
:

.

Prin urmare,
.

§ 2. Derivate ale unora

cele mai simple funcții.

Elevul trebuie să învețe cum să calculeze derivatele unor funcții specifice: y=x,y= iar în general y= .

Aflați derivata funcției y=x.

acestea. (x)′=1.

Să găsim derivata funcției

Derivat

Lasa
apoi

Este ușor de observat un model în expresiile pentru derivatele unei funcții de putere
la n=1,2,3.

Prin urmare,

. (1)

Această formulă este valabilă pentru orice n real.

În special, folosind formula (1), avem:

;

.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții

.

.

Această funcție este un caz special al unei funcții de formă

la
.

Folosind formula (1), avem

.

Derivate ale funcțiilor y=sin x și y=cos x.

Fie y=sinx.

Împărțiți cu ∆x, obținem

Trecând la limită ca ∆x→0, avem

Fie y=cosx .

Trecând la limită ca ∆x→0, obținem

;
. (2)

§3. Reguli de bază de diferențiere.

Luați în considerare regulile de diferențiere.

Teorema1 . Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct dat x, atunci suma lor este și ea diferențiabilă în acest punct, iar derivata sumei este egală cu suma termenilor derivați: (u+v)"=u"+v".(3)

Demonstrație: se consideră funcția y=f(x)=u(x)+v(x).

Creșterea ∆x a argumentului x corespunde incrementelor ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ale funcțiilor u și v. Apoi funcția y va fi incrementată

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prin urmare,

Deci, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct dat x, atunci produsul lor este și el diferențiabil în același punct.În acest caz, derivata produsului se găsește prin următoarea formulă : (uv) „=u” v + uv „. ( 4)

Demonstrație: Fie y=uv, unde u și v sunt câteva funcții diferențiabile ale lui x. Fie x incrementat cu ∆x, apoi u va fi incrementat cu ∆u, v va fi incrementat cu ∆v, iar y va fi incrementat cu ∆y.

Avem y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), sau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prin urmare, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aici

Trecând la limită ca ∆x→0 și ținând cont că u și v nu depind de ∆x, avem

Teorema 3. Derivată a unui cât de două funcții este egală cu o fracție, al cărei numitor este egal cu pătratul divizorului, iar numărătorul este diferența dintre produsul derivatului dividendului de către divizor și produsul lui. dividend prin derivata divizorului, i.e.

În cazul în care un
apoi
(5)

Teorema 4. Derivata constantei este zero, i.e. dacă y=C, unde С=const, atunci y"=0.

Teorema 5. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei, i.e. dacă y=Cu(x), unde С=const, atunci y"=Cu"(x).

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

.

Această funcție are forma
, unde u=x,v=cosx. Aplicând regula de diferențiere (4), aflăm

.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

.

Aplicam formula (5).

Aici
;
.

Sarcini.

Găsiți derivate ale următoarelor funcții:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Compuneți raportul și calculați limita.

Unde a făcut tabel de derivate și reguli de diferențiere? Datorită unei singure limită. Pare a fi magie, dar în realitate - delectare și nicio fraudă. La lecție Ce este un derivat? Am început să iau în considerare exemple specifice, în care, folosind definiția, am găsit derivatele unei funcții liniare și pătratice. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabel de derivate, perfecționând algoritmul și soluțiile tehnice:

Exemplul 1

De fapt, se cere să se dovedească un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabel: .

Decizie formalizat tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu o derivată într-un punct.

Considera niste(specific) punct aparținând domenii o funcție care are o derivată. Setați incrementul în acest moment (desigur, nu dincoloo/o -I)și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard considerată încă din secolul I î.Hr. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia adjunctă :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece ORICE punct al intervalului poate fi ales ca, atunci, prin înlocuirea , obținem:

Răspuns

Încă o dată, să ne bucurăm de logaritmi:

Exemplul 2

Găsiți derivata funcției folosind definiția derivatei

Decizie: să luăm în considerare o abordare diferită a promovării aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de indicele de la începutul soluției și să folosești litera în loc de litera .

Considera arbitrar punct aparținând domenii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Și aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător funcției este:

Să găsim derivata:

Ușurința de proiectare este echilibrată de confuzia pe care o pot experimenta începătorii (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vesel pe coridorul muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Utilizați proprietatea logaritmului .

(2) În paranteze, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x” pentru a profita de el limita minunata , în timp ce ca infinitezimal iese în evidență.

Răspuns: prin definiția derivatului:

Sau pe scurt:

Îmi propun să construim independent încă două formule tabelare:

Exemplul 3

În acest caz, incrementul compilat este imediat convenabil pentru a se reduce la un numitor comun. Un eșantion aproximativ al temei la sfârșitul lecției (prima metodă).

Exemplul 3:Decizie : luați în considerare un punct , apartinand domeniului functiei . Setați incrementul în acest moment și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata într-un punct :


Din moment ce poti alege orice punct domeniul de aplicare al funcției , apoi și
Răspuns : prin definiţia derivatului

Exemplul 4

Găsiți derivată prin definiție

Și aici totul trebuie redus la limita minunata. Soluția este încadrată în a doua modalitate.

În mod similar, o serie de altele derivate tabulare. O listă completă poate fi găsită într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost în rescrierea din cărți și dovezi ale regulilor de diferențiere - sunt generate și de formulă.

Exemplul 4:Decizie , Deținut , și setați un increment în el

Să găsim derivata:

Folosind limita minunată

Răspuns : a-prioriu

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții , folosind definiția derivatei

Decizie: Folosiți primul stil vizual. Să luăm în considerare un punct care aparține lui , să setăm incrementul argumentului în el. Apoi, incrementul corespunzător funcției este:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care ar trebui făcută o creștere. Luăm un punct (număr) și găsim valoarea funcției din el: , adică în funcție în loc de„x” trebuie înlocuit. Acum luăm și un număr foarte specific și, de asemenea, îl înlocuim în funcție în loc de"X": . Notăm diferența, în timp ce este necesar parantezezi complet.

Creșterea funcției compuse este benefic să simplificăm imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția limitei ulterioare.

Folosim formule, deschidem paranteze și reducem tot ce poate fi redus:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

În cele din urmă:

Deoarece orice număr real poate fi ales ca calitate, facem înlocuirea și obținem .

Răspuns: a-prioriu.

În scopuri de verificare, găsim derivata folosind reguli și tabele de diferențiere:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi mental sau pe o schiță funcția propusă într-un mod „rapid” chiar la începutul soluției.

Exemplul 6

Găsiți derivata unei funcții după definiția derivatei

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rezultatul se află la suprafață:

Exemplul 6:Decizie : luați în considerare un punct , Deținut , și setați incrementul argumentului din acesta . Apoi, incrementul corespunzător funcției este:


Să calculăm derivata:


Prin urmare:
Pentru că ca orice număr real poate fi ales și
Răspuns : a-prioriu.

Să revenim la stilul #2:

Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Decizie: luați în considerare un punct arbitrar aparținând lui , setați incrementul argumentului în el și compuneți incrementul funcției:

Să găsim derivata:


(1) Utilizare formula trigonometrică .

(2) Sub sinus deschidem parantezele, sub cosinus prezentăm termeni similari.

(3) Sub sinus reducem termenii, sub cosinus împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus, indicăm că termenul .

(5) Înmulțim artificial numitorul de utilizat prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, pieptănăm rezultatul.

Răspuns: a-prioriu

După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe complexitatea limitei în sine + o ușoară originalitate a ambalării. În practică, ambele metode de proiectare sunt întâlnite, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai convenabil pentru manechini să rămână la prima opțiune cu „X zero”.

Exemplul 8

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Exemplul 8:Decizie : luați în considerare un punct arbitrar , Deținut , să setăm un increment în el și faceți o creștere a funcției:

Să găsim derivata:

Folosim formula trigonometrică și prima limită remarcabilă:

Răspuns : a-prioriu

Să analizăm o versiune mai rară a problemei:

Exemplul 9

Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția unei derivate.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr

Să calculăm răspunsul în modul standard:

Decizie: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece formula consideră în schimb o anumită valoare.

Setăm un increment la punct și compunem incrementul corespunzător al funcției:

Calculați derivata într-un punct:

Folosim o formulă foarte rară pentru diferența de tangente si inca o data reduceti solutia la prima limită minunată:

Răspuns: prin definiţia derivatei la un punct.

Sarcina nu este atât de dificil de rezolvat și „în termeni generali” - este suficient să o înlocuiți cu sau pur și simplu, în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, desigur, nu obțineți un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10

Folosind definiția, găsiți derivata funcției la un punct (dintre care unul se poate dovedi infinit), despre care am vorbit deja în termeni generali despre lectie teoretica despre derivata.

Unele funcții definite în bucăți sunt, de asemenea, diferențiabile în punctele de „joncțiune” ale graficului, de exemplu, catdog are o derivată comună și o tangentă comună (abscisă) în punctul . Curba, da diferentiabila prin ! Cei care doresc pot verifica singuri acest lucru pe modelul exemplului tocmai rezolvat.

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-06-11

Tipul locului de muncă: 7

Condiție

Linia y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b , având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta dreptei către graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este y"(x_0). Dar y"=-2x+5, deci y"(x_0)=- 2x_0+5.Angular coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este -3.Drecțiile paralele au aceleași pante.De aceea, găsim o astfel de valoare x_0 care =-2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Afișează soluția

Decizie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(-6; 2) și B(-1; 1). Notăm cu C(-6; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=-6 și y=1, iar cu \alpha unghiul ABC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi obtuz \pi -\alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

După cum știți, tg(\pi -\alpha) va fi valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0. observa asta tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De aici, prin formulele de reducere, obținem: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-2x-4 este tangentă la graficul funcției y=16x^2+bx+12. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mare decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=16x^2+bx+12 prin care

este tangent la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0)=32x_0+b=-2. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cazuri)

Rezolvând sistemul, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mari decât zero, deci x_0=1, apoi b=-2-32x_0=-34.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y=6.

Afișează soluția

Decizie

Linia y=6 este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim astfel de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 4 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=4x-6 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=x^2-4x+9. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta tangentei la graficul funcției y \u003d x ^ 2-4x + 9 într-un punct arbitrar x_0 este y "(x_0). Dar y" \u003d 2x-4, ceea ce înseamnă y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Panta tangentei y \u003d 4x-7 specificată în condiție este egală cu 4. Dreptele paralele au aceleași pante. Prin urmare, găsim o astfel de valoare x_0 încât 2x_0-4 \u003d 4. Obținem : x_0 \u003d 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x_0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0.

Afișează soluția

Decizie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(1; 1) și B(5; 4). Se notează cu C(5; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=5 și y=1, iar cu \alpha unghiul BAC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi \alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.